Aqu encontrars herramientas para el estudio o la aplicacin de tu carrera

de Ingeniera Industrial, encontrars contenido actualizado, programas tiles, libros

imprescindibles, ejercicios resueltos y distintos formatos que desarrollados por

expertos buscan brindarte soporte siendo conscientes de la dura labor del Ingeniero

y del estudiante de Ingeniera Industrial.

Investigacin de Operaciones

Administracin de Inventarios

Diseo y Distribucin en Planta

Estudio del Trabajo

Estudio de Tiempos

Pronstico de Ventas

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El propsito de la Investigacin de Operaciones consiste en preparar al profesional

para decidir entre diferentes medios o mtodos disponibles para realizar todo

objetivo que se proponga, de modo que se alcance un resultado en relacin a un

cierto criterio de optimizacin. Ciertamente, fundndose en la experiencia y la

intuicin es como cada uno de nosotros asume las decisiones que implica la vida

profesional o personal. Sin embargo, algunas decisiones merecen un estudio ms

profundo, en razn de sus consecuencias y de la complejidad del contexto,

hacindose imprescindible un sustento metodolgico para la toma de decisiones, el

cual puede hallarse en los procedimientos propios de la investigacin operativa.

Podra verse que uno de los primeros ejemplos histricos del uso de la investigacin

operacional es la misin confiada a Arqumedes por Hiern, tirano de Siracusa, de

aplicar los mejores medios y mtodos para defender a la ciudad contra los ataques y

el sitio de los romanos. Pero la investigacin operacional slo se ha beneficiado de

una aplicacin sistemtica en ocasin de la segunda Guerra Mundial, principalmente

en la conduccin de las grandes operaciones

militares. La investigacin operacional utiliza, en gran medida, a los ordenadores, y

la invencin y comercializacin de estas mquinas fueron la condicin primordial de

su desarrollo en el dominio civil y especialmente en la economa de empresa. Por

una feliz coincidencia, slo en nuestra poca los problemas de gestin de las

grandes empresas se han convertido en irremediablemente complejos. Si bien es

indispensable, para el tcnico en investigacin de operacional, el estudiar los

problemas generales que se presentan y los algoritmos clsicos que permiten

resolverlos, debe estar tambin totalmente persuadido de que las situaciones

prcticas que encontrar sern mucho ms complicadas y que deber emprender

una tarea original para dar satisfaccin al encargado de tomar decisiones

ofrecindole la posibilidad de optimizar segn su propio criterio. Es necesario, pues,

en funcin de las motivaciones del responsable de la decisin que plantea un

problema, identificar los fenmenos a estudiar mediante un anlisis profundo de la

situacin. Este anlisis se funda sobre la observacin de la situacin real, mediante

conversaciones con los hombres que participan en ella directamente y mediante

acopio de datos estadsticos o provisionales (resultantes de encuestas, de medidas

o de estudios tcnicos).

La investigacin de operaciones puede definirse como un mtodo cientfico de

resolucin de problemas, la cual brinda las herramientas suficientes para que con

base en abstracciones de la realidad se puedan generar y resolver modelos

matemticos con el objetivo de elaborar un anlisis y concluir de los mismos para as

poder sustentar cuantitativamente las decisiones que se tomen respecto a la

situacin problema.

Bryan Antonio Salazar Lpez

Otra de las muchas definiciones que de la investigacin de operaciones se

encuentran es la siguiente:

"La Investigacin de Operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del

mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o

sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de

toda organizacin."

Ackoff, R. L. y Sasieni M. W. Fundamentals of Operations Research, John Wiley & Sons,1968.

do

matemtico. Aunque la solucin del modelo matemtico establece una base para

tomar una decisin, se deben tener en cuenta factores intangibles o no

cuantificables, por ejemplo el comportamiento humano, para poder llegar a una

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

javascript:;

TAHA, Hamdy. Investigacin de Operaciones. Pearson, 2004.

COMO ABORDAR UN PROBLEMA REAL DE OPTIMIZACIN? La Optimizacin puede considerarse como la bsqueda de la mejor solucin

(solucin ptima) de un problema. El trmino mejor aqu depende del contexto en el

que se trabaje. Por ejemplo, en un contexto operativo atinente a las utilidades la

optimizacin del sistema constituye la maximizacin de los resultados, todo lo

contrario a los costos o las distancias, casos en los cuales la optimizacin

depender de la minimizacin de los resultados

Bryan Antonio Salazar Lpez

MODELIZACIN Un modelo es una abstraccin o una representacin de la realidad o un concepto o

una idea con el que se pretende aumentar su comprensin, hacer predicciones y/o

controlar/analizar un sistema. Cuando el sistema no existe, sirve para definir la

estructura ideal de ese sistema futuro indicando las relaciones funcionales entre sus

elementos. En la actualidad un modelo se define como un constructo basado en

nuestras propias percepciones pasadas y actuales; la anterior representacin puede

ser holista o reduccionista.

Los modelos se pueden clasificar segn su grado de abstraccin en:

- Modelos Abstractos (no fsicos)

- Modelos Concretos (fsicos)

Y se pueden clasificar igualmente si son matemticos en:

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

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- Estticos

- Dinmicos

- Determinsticos

- Estocsticos

Francisco Chediak - Ingeniero Industrial

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(69,64,61))

javascript:;

La Programacin Lineal corresponde a un algoritmo a travs del cual se resuelven

situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para

aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y

costosos), aumentando as los beneficios. El objetivo primordial de laProgramacin

Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias

variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales),

optimizando una funcin objetivo tambin lineal.

Los resultados y el proceso de optimizacin se convierten en un respaldo

cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las

que sera importante tener en cuenta diversos criterios administrativos como:

Los hechos

La experiencia

La intuicin

La autoridad

COMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL? El primer paso para la resolucin de un problema de programacin lineal consiste en

la identificacin de los elementos bsicos de un modelo matemtico, estos son:

Funcin Objetivo

Variables

Restricciones

El siguiente paso consiste en la determinacin de los mismos, para lo cual

proponemos seguir la siguiente metodologa:

LA FUNCIN OBJETIVO La funcin objetivo tiene una estrecha relacin con la pregunta general que se desea

responder. S en un modelo resultasen distintas preguntas, la funcin objetivo se

relacionara con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. As

por ejemplo, si en una situacin se desean minimizar los costos, es muy probable

que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en

lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.

LAS VARIABLES DE DECISIN Similar a la relacin que existe entre objetivos especficos y objetivo general se

comportan las variables de decisin respecto a la funcin objetivo, puesto que estas

se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta

fundamental. Las variables de decisin son en teora factores controlables del

sistema que se est modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores

posibles, de los cuales se precisa conocer su valor ptimo, que contribuya con la

consecucin del objetivo de la funcin general del problema.

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

LAS RESTRICCIONES Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programacin lineal, nos

referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las

variables de decisin. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso

hipottico en el que decidiramos darle un valor infinito a nuestras variables de

decisin, por ejemplo, qu pasara s en un problema que precisa maximizar sus

utilidades en un sistema de produccin de calzado decidiramos producir una

cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgiran mltiples

interrogantes, como por ejemplo:

Con cunta materia prima cuento para producirlos?

Con cunta mano de obra cuento para fabricarlos?

Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?

Podra mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?

Puedo financiar tal empresa?

Pues bueno, entonces habramos descubierto que nuestro sistema presenta una

serie de limitantes, tanto fsicas, como de contexto, de tal manera que los valores

que en un momento dado podran tomar nuestras variables de decisin se

encuentran condicionados por una serie de restricciones.

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

EJEMPLO DE RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL EL PROBLEMA La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad

Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72

27 gr de c.

be

El problema se recomienda leer en ms de una ocasin para facilitar el

reconocimiento de las variables, adems es muy recomendable la elaboracin

de tablas o matrices que faciliten una mayor comprensin del mismo.

PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA" Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.

Y la formulacin es:

PASO 2: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIN Basndonos en la formulacin del problema nuestras variables de decisin

son:

XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

PASO 3: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas estn

dadas por capacidad, disponibilidad, proporcin, no negatividad entre otras.

De disponibilidad de materia prima:

De no negatividad

PASO 4: DETERMINAR LA FUNCIN OBJETIVO En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del

problema para de esta forma determinar si es de Maximizacin o Minimizacin.

En este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es

Maximizar.

Funcin Objetivo

PASO 5: RESOLVER EL MODELO UTILIZANDO SOFTWARE O MTODOS MANUALES A menudo los problemas de programacin lineal estn constituidos por innumerables

variables, lo cual dificulta su resolucin manual, es por esto que se recurre a

software especializado, como es el caso de WinQSB, TORA, Lingo o para modelos

menos complejos se hace til la herramienta Solver de Excel.

El anterior ejercicio fue resuelto mediante Solver - Excel, y su resultado fue:

Bryan Salazar Lpez

En Descargas y Multimedia podrn encontrar diversos ejercicios de prctica, dado

que es esta la nica garanta de aprendizaje. Cada ejercicio de programacin lineal

trae consigo nuevos retos que requerirn de destreza matemtica para su

resolucin.

Descargas y Multimedia

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

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WINQSB es un paquete de herramientas muy verstil que permite el anlisis y

resolucin de modelos matemticos, problemas administrativos, de produccin,

proyectos, inventarios, transporte, entre muchos otros. Ofrece una interfaz bsica

pero amigable, y es la aplicacin por excelencia utilizada por profesionales

de Ingeniera Industrial y reas administrativas para la resolucin de sus modelos

de programacin lineal, continua o entera.

ACERCA DE LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING

"Linear and integer programming " es el mdulo de WinQSB creado con el fin de

resolver problemas de programacin lineal y programacin lineal entera. Un

problema de programacin lineal implica una funcin objetivo lineal, un nmero

limitado de restricciones lineales, y una serie de variables que pueden ser acotadas

con valores limitados.

SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON WINQSB El primer paso para resolver un problema de programacin lineal (PL) consiste en el

modelamiento matemtico, y es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera

Industrial debe desarrollar su mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un

problema de PL se encuentran en el mdulo de programacin lineal.

El PROBLEMA

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Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de

paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos

cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero

y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas

bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?

EL MODELO MATEMTICO

Acero Aluminio Precio de Venta

Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000

Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000

Disponibilidad 80 kg 120 kg

Declaracin de variables

x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir

y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir

Restricciones de capacidad

Aluminio:

x + 2y

En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que ya

hayamos desarrollado. Una vez demos clic en "Nuevo Problema (New Problem)" se

abrir un men emergente que nos permitir ingresar los parmetros bsicos del

problema:

El programa requiere que se definan las especificaciones del problema, que incluye

el nombre de problema, el nmero de variables, el nmero de restricciones, el

criterio de la funcin objetivo, los tipos de variable por defecto, y el formato de

entrada de datos, ya sea en forma de matriz o en forma de modelo normal . El

nombre de problema, los nombres de variables, nombres de restriccin, el nmero

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

de variables, nmero de restricciones , el criterio de la funcin objetivo, tipos de

variables, y la entrada de datos formato se pueden modificar mediante el men

Formato y men Editar una vez se haya abierto el modelo.

Para el problema que estamos abordando es necesario que ingresemos los

siguientes parmetros:

Nmero de variables: 2 (x , y )

Nmero de restricciones: 2 (Disponibilidad de Aluminio y Acero)

Funcin Objetivo: Maximizar (Utilidades)

Tipos de variables por defecto: Enteras no negativas (Sern bicicletas, unidades

enteras)

Formato de entrada: Matriz (Recomendado)

Una vez se registren los parmetros y al dar clic en el botn OK, se mostrar

la siguiente ventana, en aras de utilizar las mismas variables que en el modelo,

mostraremos el mtodo de renombrar las variables:

Desde el men EDIT, tambin podremos modificar el nombre de las restricciones, tal

como se aprecia en la siguiente imagen:

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

La interfaz para ingresar los valores que controlan el problema es la siguiente:

En ella hemos registrado los datos que controlan nuestro problema de estudio. El

siguiente paso, consiste en resolver el problema, para ello damos clic en el botn

"Solve and Analize": Este comando resuelve el problema . Si se especifica alguna

variable como un entero o binario, el programa utilizar automticamente el mtodo

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

de Branch and Bound (Rama y Cotas) para resolver el problema. El mtodo

simplex modificado es utilizado para resolver problemas de programacin lineal

continua.

Esta opcin mostrar automticamente un tabulado resumen de la solucin si el

problema tiene una solucin ptima, mostrar la inviabilidad de anlisis si el

problema no es factible, o mostrar si el anlisis no acotacin si el problema no est

acotado en funcin objetivo o valores de las variables.

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

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Este mensaje nos indica que el problema ha sido resuelto, y que existe una solucin

ptima que ha sido encontrada. Al dar clic en Aceptar, nos llevar al cuadro resumen

de la solucin:

Interpretar cada uno de los valores del cuadro solucin, es cuan o ms importante

que obtener la solucin ptima, dado que de dicha interpretacin podremos extraer

un buen anlisis de sensibilidad:

Solution value: Valor solucin, es el valor que toman las variables de decisin en

nuestra solucin ptima, en este caso nos indica que se debern producir 20

bicicletas tipo paseo y 30 bicicletas tipo montaa.

Unit Cost or Profit: El costo unitario o contribucin es el valor que les fue asignado

a las variables por nosotros en la funcin objetivo.

Total Contribution: Es la contribucin total a la solucin objetivo, es el producto del

valor solucin * costo unitario o contribucin.

Basic Status: Despus de que el problema se resuelve , esto representa si la

variable es una variable de base, en el lmite inferior, o en el lmite superior en

la tabla simplex final.

Allowable MIN, MAX C(j): Para un coeficiente de la funcin objetivo en particular.

Este es el rango en que la base actual de la solucin sigue siendo la misma.

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

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Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este

caso la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000

Left Hand Side: Del lado izquierdo, es el valor que toma la ecuacin de cada

restriccin luego de reemplazar las variables que la componen por los valores

solucin. Por ejemplo, la ecuacin de la restriccin de Acero que es x + 2y

modelo y las restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a las que afecte la

frmula de la celda objetivo, lo cual lo constituyen en una herramienta adecuada

para solucionar problemas de programacin lineal, y programacin lineal entera.

ALGORITMOS Y MTODOS UTILIZADOS POR SOLVER La herramienta Microsoft Excel Solver utiliza el cdigo de optimizacin no lineal

(GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la

Universidad Allan Waren (Cleveland).

Los problemas lineales y enteros utilizan el Mtodo Simplex con lmites en las

variables y el mtodo de ramificacin y lmite (mtodo de branch and bound),

implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc. El mtodo de

branch and bound corresponde al mismo mtodo utilizado por WinQSB para la

solucin de problemas de programacin lineal entera y/o que utilicen variables

binarias.

CMO HABILITAR EL COMPLEMENTO SOLVER DE EXCEL? Aqu se encuentra la explicacin acerca de cmo habilitar este complemento para

las versiones de Microsoft Excel 2007 (izquierda) y 2010 (derecha).

Mtodo para Microsoft Excel 2007: El primer paso consiste en dirigirse al botn de

"Office", y seleccionar la opcin "Opciones de Excel":

Luego, se abrir una ventana emergente de "Opciones de Excel", en ella vamos a la

opcin "Complementos" (ubicada en la barra lateral izquierda). Ya en complementos,

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

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nos dirigimos a la opcin "Administrar: Complementos de Excel" y damos clic en

botn "IR":

Luego se abrir una pequea ventana emergente, en ella se podrn observar varios

complementos junto con una casilla de verificacin cada uno. Activamos la casilla de

verificacin de Solver y damos clic en "Aceptar":

Mtodo para Microsoft Excel 2010: El primer paso consiste en dirigirse a la pestaa

"Archivo", dirigirse a la opcin "Ayuda" y seleccionar la opcin "Opciones":

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

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Luego, se abrir una ventana emergente de "Opciones de Excel", en ella vamos a la

opcin "Complementos" (ubicada en la barra lateral izquierda). Ya en complementos,

nos dirigimos a la opcin "Administrar: Complementos de Excel" y damos clic en

botn "IR":

Luego se abrir una pequea ventana emergente, en ella se podrn observar varios

complementos junto con una casilla de verificacin cada uno. Activamos la casilla de

verificacin de Solver y damos clic en "Aceptar":

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

javascript:;javascript:;

Una vez se ha habilitado el complemento, para ambas versiones, Solver se ubicar

en la pestaa de "Datos".

SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON SOLVER Al igual que para cualquier otro mtodo de resolucin, el primer paso para resolver

un problema de programacin lineal (PL) consiste en el modelamiento matemtico, y

es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera Industrial debe desarrollar su

mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se

encuentran en el mdulo de programacin lineal. Sin embargo, dada la interfaz de

Excel, el modelamiento se hace ms simple, siempre y cuando nos caractericemos

por organizar muy bien la informacin.

El PROBLEMA Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de

paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos

cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero

y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas

bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?

EL MODELO MATEMTICO

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

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Acero Aluminio Precio de Venta

Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000

Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000

Disponibilidad 80 kg 120 kg

Declaracin de variables

x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir

y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir

Restricciones de capacidad

Aluminio:

x + 2y

El siguiente paso corresponde a registrar la informacin en la plantilla, de acuerdo a

los datos que tenemos en el problema:

El siguiente paso consiste en formular la

plantilla, para ello debemos considerar qu pasara si cambiaran las variables de

decisin?... Pues, en caso tal de que las variables sufrieran cambios se alterara la

contribucin total, y el inventario de recursos. Por ello, debemos formular en

consecuencia:

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

javascript:;javascript:;

Ahora que ya tenemos nuestra plantilla formulada, el siguiente paso consiste en

utilizar Solver para resolver el modelo, para ello, vamos a la pestaa Datos (En

cualquier versin de Office), y seleccionamos el complemento Solver:

Una vez iniciemos Solver se abrir una ventana emergente llamada "Parmetros de

Solver", en ella como primera medida seleccionaremos nuestra celda objetivo

(Contribucin Total) y seleccionaremos el criterio Maximizar:

El siguiente paso, es indicarle a Solver que debe alcanzar el mximo valor para la

celda objetivo mediante la variacin de las siguientes celdas (Cambiando las

celdas), es decir, le indicaremos cuales son las variables de decisin:

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

javascript:;

El siguiente paso consiste en asignarle las restricciones a las que el modelo est

sujeto, las cuales son restricciones de disponibilidad de recursos:

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Lo que nos muestra la imagen anterior es la forma de indicarle la restriccin a

Solver, para que el inventario usado sea menor o igual al inventario disponible. De

igual forma debe hacerse para el recurso de Aluminio.

La siguiente restriccin es la de no negatividad, es decir, que las variables de

decisin no puedan tomar valores menores que cero.

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Si quisiramos resolver el modelo tal cual como est pudisemos hacerlo, y

obtendramos quiz una respuesta que distara de su aplicacin prctica, dado que

es probable que la respuesta nos de variables continuas, y en la prctica vender 0,6

bicicletas es un poco complicado. Por tal razn, agregaremos una restriccin que

hace que el ejercicio se resuelva mediante programacin lineal entera, indicando

que las variables de decisin deban ser enteras:

Hecho esto, damos clic en Aceptar y en Resolver... Podemos observar como las

variables de decisin, las restricciones (inventario usado) y la contribucin total

(celda objetivo) han tomado valores, estos son los valores ptimos segn el modelo

formulado. Ahora nos aparecer un cuadro de dilogo que nos preguntar si

deseamos utilizar la solucin de Solver y unos informes que debemos seleccionar

para obtener una tabla resumen de la respuesta y un anlisis de sensibilidad que se

insertarn como hojas al archivo de Excel:

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

El informe de sensibilidad arrojado por Solver es mucho ms bsico que el que nos

puede proporcionar WinQSB, sin embargo destacamos la informacin referente al

"Multiplicador de Lagrange" que corresponde al "Shadow Price de WinQSB"

conocido como el precio sombra, es decir, el cambio marginal de la funcin objetivo

cuando el valor del lado derecho de la restriccin aumenta en una unidad, en este

caso, por cada kg de Acero adicional que dispongamos, la funcin objetivo

aumentara en $ 1250.

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

Este mismo ejercicio fue resuelto con WinQSB y TORA arrojando iguales resultados,

el archivo de Excel utilizado para esta demostracin se adjuntar a continuacin

para su descarga:

Cmo resolver ejercicios de programacin lineal en Solver - Vdeo

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))

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El software TORA de optimizacin es un programa basado en Windows que tiene

por objeto usarse con muchas de las tcnicas presentadas en el libro Investigacin

de Operaciones de TAHA . TORA es una aplicacin muy simple, con una interfaz

grfica de baja calidad. Una de las ventajas de TORA es que puede utilizarse en

procesadores de 32 y 64 bits, hoy por hoy su principal desventaja es que deber

ajustarse la configuracin de pantalla para adecuarse a sus ajustes de presentacin

de 800 x 600 y 1024 x 768 pixeles. Se recomienda el segundo ajuste, porque

produce una distribucin ms proporcionada de la pantalla.

SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON TORA

Al igual que para cualquier otro mtodo de resolucin, el primer paso para resolver

un problema de programacin lineal (PL) consiste en el modelamiento matemtico, y

es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera Industrial debe desarrollar su

mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se

encuentran en el mdulo de programacin lineal.

El PROBLEMA Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de

paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos

cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero

y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas

bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?

EL MODELO MATEMTICO

Acero Aluminio Precio de Venta

Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000

Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000

Disponibilidad 80 kg 120 kg

Declaracin de variables

x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir

y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir

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Restricciones de capacidad

Aluminio:

x + 2y

El siguiente paso consiste en completar la informacin solicitada en la nueva

ventana, correspondiente al nombre del problema, la cantidad de variables y

restricciones:

Una vez consignada la informacin anterior, y luego de teclear ENTER, nos mostrar

la siguiente interfaz, en la cual debemos consignar la informacin del modelo, se

trata de un formato tipo matricial muy similar al utilizado por WinQSB:

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Una vez completa la informacin de la matriz, procedemos a resolver el modelo,

presionando el botn SOLVE. Una vez hagamos esto nos mostrar un men en el

que podemos modificar el formato numrico de la solucin. Luego de esto, nos

mostrar un men emergente en el que podemos elegir el tipo de solucin que

queremos visualizar, se encuentra la solucin grfica y la algebraica, elegimos la

algebraica en este caso y seleccionamos que se nos muestre el tabulado final:

En el tabulado solucin podemos observar como la funcin objetivo toma el mismo

valor obtenido con los programas de solucin de Solver y WinQSB. A partir de este

tabulado podemos efectuar un anlisis de sensibilidad teniendo en cuenta que:

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Objective Value: Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este caso

la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000.

Value: El valor que toman las variables de decisin.

Obj Val Contrib: Es la contribucin unitaria de las variables de decisin en la

funcin objetivo.

Slack-/Surplus+: Cuando la restriccin en cuestin tiene el operador =, corresponde a un

exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la

restriccin de mnimo uso.

Min and Max Obj Coeff: Para un coeficiente de la funcin objetivo en particular.

Este es el rango en que la base actual de la solucin sigue siendo la misma.

Dual price: Llamado en WinQSB como Shadow Price, y en Solver como

Multiplicador de Lagrange, corresponde al cambio marginal de la funcin objetivo

cuando el valor del lado derecho de la restriccin aumenta en una unidad. En

nuestro ejemplo sera as: por cada kg de acero adicional que tengamos disponible,

la funcin objetivo aumentar en $1250.

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LINGO es una herramienta diseada para construir y resolver modelos de

optimizacin matemtica. LINGO proporciona un paquete integrado que incluye un

potente lenguaje para expresar modelos de optimizacin, un ambiente con todas las

funciones para los problemas de construccin y edicin, y un conjunto de

solucionadores rpidos incorporados, capaces de resolver de manera eficiente la

mayora de las clases de modelos de optimizacin.

resolver de manera eficiente la mayora de las clases de modelos de optimizacin.

Aprender acerca del acceso a las herramientas ms poderosas de LINGO a travs

de su lenguaje es una tarea compleja, sin embargo los modelos que no precisan de

un complejo uso de recursos pueden resolverse con una sintaxis sumamente

sencilla.

SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON LINGO Al igual que para cualquier otro mtodo de resolucin, el primer paso para resolver

un problema de programacin lineal (PL) consiste en el modelamiento matemtico, y

es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera Industrial debe desarrollar su

mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se

encuentran en el mdulo de programacin lineal.

El PROBLEMA Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de

paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos

cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero

y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas

bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?

EL MODELO MATEMTICO

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Acero Aluminio Precio de Venta

Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000

Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000

Disponibilidad 80 kg 120 kg

Declaracin de variables

x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir

y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir

Restricciones de capacidad

Aluminio:

x + 2y

Como podemos observar, el comando "MAX:" se utiliza para consignar la funcin

objetivo y su criterio (en caso de minimizar se utilizar MIN:). Para separar cada

lnea de cdigo es necesario utilizar el caracter ";". Una vez tenemos el cdigo con

nuestras restricciones establecidas, procedemos a resolver, dando clic en el botn

Solve:

Al resolver obtendremos el reporte solucin, con base en sus datos podremos

efectuar un anlisis de sensibilidad, hay que tener en cuenta que los datos

expresados en el reporte se encuentran en funcin de la lnea de cdigo ingresada,

por lo tanto hay que considerar en que lnea se escribi cada restriccin y funcin

objetivo para hacer un adecuado anlisis.

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Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este

caso la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000.

Value: Es el valor que toman las variables de decisin en la funcin objetivo.

Slack or Surplus: Cuando la restriccin en cuestin tiene el operador =, corresponde a un

exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la

restriccin de mnimo uso.

Dual Price: El precio sombra de una restriccin, es el cambio marginal de la

funcin objetivo cuando el valor del lado derecho de la restriccin aumenta en una

unidad. En nuestro ejemplo sera as: por cada kg de acero adicional que tengamos

disponible, la funcin objetivo aumentar en $ 1250.

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El mtodo grfico es un procedimiento de solucin de problemas de programacin

lineal muy limitado en cuanto al nmero de variables (2 si es un grfico 2D y 3 si es

3D) pero muy rico en materia de interpretacin de resultados e incluso anlisis de

sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar

en la medida de lo posible el polgono (poliedro) factible, comnmente llamado el

conjunto solucin o regin factible, en el cual por razones trigonomtricas en uno de

sus vrtices se encuentra la mejor respuesta (solucin ptima).

EL PROBLEMA La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad

Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72

27 gr de c.

bricar?

LA MODELIZACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL VARIABLES

XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

RESTRICCIONES

0,15XT +

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Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se

trata de un ejercicio de maximizacin, cuando el ejercicio sea de minimizacin lo

ms recomendado es incluirlas.

FUNCIN OBJETIVO

LA SOLUCIN MEDIANTE MTODO GRFICO

PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las

restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar

con la tabulacin que nos otorgar las coordenadas para esbozar cada una de las

grficas. Adems dado que se trabajar en el plano cartesiano sera prudente

renombrar las variables

XT = x

XT' = y

Igualamos las restricciones,

0,12X + 0,2y = 500

0,15X + 0,1y = 300

0,072X + 0,027y = 108

Acto seguido iniciamos con la primera restriccin, hallamos las primeras dos

coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las

variables a cero, para de esta manera despejar ms fcilmente la segunda.

Por ejemplo, para un x = 0

0,12(0) + 0,2y = 500

0,2y = 500

500/0,2 = y

2500 = y

y para un y = 0

0,12x + 0,2(0) = 500

0,12x = 500

x = 500/0,12

x = 4167

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Seguimos con la segunda restriccin,

0,15X + 0,1y = 300

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Tercera restriccin,

0,072X + 0,027y = 108

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En el siguiente grfico se muestra el polgono solucin de color gris, en este

conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales

se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta caracterstica se

representa con una flecha haca abajo.

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Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones ptimas se

alojan en los vrtices del polgono solucin (color gris) y que identificar a la solucin

ptima es cuestin de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas

disponibles (tecnolgicas y conocimientos matemticos).

La primera opcin es la geomtrica, esta depende de trazar la ecuacin que

representa a la funcin objetivo (este paso consiste en realizar el mismo

procedimiento de las restricciones).

Funcin objetivo,

ZMAX = 4000x + 5000y

luego igualamos a 0.

4000x + 5000y = 0

luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la grfica

correspondientes a la ecuacin (en esta ocasin es recomendable ms de dos

coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).

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Una vez se ha esbozado la funcin objetivo (lnea negra) sacamos replicas

perpendiculares a esta que se encuentren con cada vrtice, y solo en el caso en que

la lnea imaginaria perpendicular a la funcin objetivo no corte el polgono solucin

se ha encontrado la solucin ptima. En otras palabras trasladamos la funcin

objetivo por todo el polgono conservando la perpendicularidad con la original, la

detenemos en los vrtices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solucin.

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Claramente solo en el punto "B", es decir en el vrtice formado por la interseccin

de las ecuaciones 1 y 2, la lnea imaginaria no corta el polgono solucin, entonces

es este punto el correspondiente a la coordenada ptima.

Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolucin de

ecuaciones lineales 2x2, y se pueden considerar varios mtodos de solucin entre

ellos:

Mtodo por sustitucin

- Mtodo por igualacin

- Mtodo por reduccin o Eliminacin

- Mtodo por eliminacin Gauss

- Mtodo por eliminacin Gauss - Jordn

- Mtodo por determinantes

La riqueza de las matemticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el

mtodo de reduccin o eliminacin es muy sencillo de aplicar.

El mtodo por reduccin o eliminacin consiste en igualar los coeficientes de una de

las variables multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos

coeficientes queden iguales pero con signos contrarios.

Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500

Ecuacin 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)

Ecuacin 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600

Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100

Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)

x = 555,55

luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con

el objetivo de despejar "y".

Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500

Reemplazamos "x" 0,12(555,55) + 0,2y = 500

Despejamos "y" 66,666 + 0,2y = 500

0,2y = 500 - 66,666

0,2y = 433,334

y = 433,334 / 0,2

y = 2166,67

De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y".

Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT

y XT'

x = XT

y = XT'

XT = 555,55

XT' = 2166,67

y la contribucin obtenida (reemplazando las variables en la funcin objetivo) es de:

Zmax = 4000XT + 5000XT'

Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)

Zmax = 13.055.550

Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolucin

por Solver - Excel, sin embargo recuerden que el mtodo de bsqueda de la

solucin ptima en el mtodo grfico que utilizamos es el geomtrico y que existe

una posibilidad mucho ms engorrosa pero igualmente efectiva, este es el mtodo

de iteracin por vrtice, y que consiste en hallar todas las coordenadas de los

vrtices y luego en cada coordenada se evala la funcin objetivo, (cada

coordenada nos proporciona un valor en "x" y otro en "y", luego reemplazamos estos

valores en la funcin objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los resultados

seleccionando la mayor cantidad).

Una herramienta muy til al momento de resolver ejercicios mediante el mtodo

grfico es una calculadora graficadora, como es el caso de la calculadora de encarta

(disponibleaqu).

VARIANTES EN EL MTODO GRFICO

Como en la mayora de los casos el ejemplo con el que aqu se explic el mtodo

grfico es el ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solucin ptima

nica, sin embargo existen una variedad de problemas diferentes a los ideales y que

vale la pena analizar:

SOLUCIN PTIMA MLTIPLE Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programacin

lineal consiste en la cantidad de soluciones ptimas, gran cantidad de ellos presenta

ms de una solucin ptima, es decir una solucin en la cual la funcin objetivo es

exactamente igual en una combinacin cuantitativa de variables diferente.

Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el anlisis de

sensibilidad, es decir una vez encontradas mltiples soluciones iguales se debe

proceder al comportamiento del consumo de los recursos y restricciones,

evidentemente prevaleciendo el concepto de productividad de los recursos ms

limitados y costosos.

Un ejemplo de este caso es el siguiente:

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La ebanistera "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes

prefabricadas para la elaboracin de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un

plan de produccin enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos

restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos

modelos, modelo A y B, y estas no requieren ms que ser ensambladas y pintadas.

Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para

elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa

modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que

cada mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura

respectivamente. Si el margen de utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y

$10000 por cada mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de produccin

para esta semana.

X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana

Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana

Restricciones

2X + Y

Como nos podemos dar cuenta mediante la geometra en dos vrtices la lnea

imaginaria perpendicular a la funcin objetivo no atraviesa el conjunto solucin, por

ende en dos puntos se presentan soluciones ptimas, que son los puntos B y C.

Observemos la solucin ptima mltiple

Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0

Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000

Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000

Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000

Existen entonces dos soluciones ptimas

Solucin ptima 1

X = 4 Y = 2

Solucin ptima 2

X = 5 Y = 0

La pregunta siguiente es cul decisin tomar?, pues depende de factores tales

como una anlisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de

determinados recursos (horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al

modelo como lo puede llegar a ser en este caso una necesidad de espacio de

almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se elaboran ms mesas

que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar los

resultados pues requerir de la capacidad de quien toma las decisiones.

SOLUCIN PTIMA NO ACOTADA Otra de las variantes que presentan los modelos de programacin lineal corresponde

a los modelos de solucin ptima no acotada, es decir problemas con infinitas

soluciones ptimas. Hay que reconocer que en la vida real gran parte de estos

problemas se deben a un mal planteamiento de las restricciones, sin embargo es

comn que este tipo de problemas sean evaluados en la vida acadmica.

Un ejemplo:

La compaa comercializadora de bebidas energticas "CILANTRO SALVAJE" se

encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se

encuentran en promocin se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de

demanda, sin embargo existen 2 polticas que la empresa debe tener en cuenta. Una

de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor

que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500

bebidas de cualquier tipo.

Dado que se encuentran en promocin el precio de venta de ambas bebidas

equivale a $1800 pesos.

Determine la cantidad de unidades que deben venderse!!

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Variables

X = Cantidad de bebidas tipo A a vender

Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender

Restricciones

X => Y

X + Y => 1500

Funcin Objetivo

Zmax = 1800X + 1800Y

La grfica resultante sera:

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Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando

indefinidamente la funcin objetivo, en estos casos se dice que la solucin ptima no

es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.

SOLUCIN INFACTIBLE El caso de la solucin infactible es ms tpico de lo pensado, y corresponde a los

casos en los cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones.

Es muy comn ver este fenmeno producto de inviables proporciones de oferta y

demanda.

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Un ejemplo:

La compaa de galletas "CAROLA" desea planificar la produccin de galletas que

tendr que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compaa

"CAROLA" se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera

sea su tipo (presentacin D, presentacin N o una combinacin de ambas

presentaciones), cada caja de galletas presentacin D tiene un tiempo de

elaboracin de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de

presentacin N tiene un tiempo de elaboracin de 3 horas y un tiempo de horneado

de 1 hora. La compaa cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboracin

y con 480 horas de horneado.

Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentacin

D y N es de $8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de

programacin lineal el plan de produccin que maximice las utilidades.

Variables

X = Cantidad de cajas de galletas presentacin D a producir en 2 semanas

Y = Cantidad de cajas de galletas presentacin N a producir en 2 semanas

Restricciones

2X + 3Y

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Evidentemente no existe forma alguna de satisfacer todas las restricciones, por ende

se concluye que no existe solucin factible.

REDUNDANTES O SOBRANTES Existen en los modelos de programacin lineal un tipo de restricciones que no

juegan rol alguno en la determinacin del conjunto solucin (de igual manera en la

solucin ptima), lo que lleva a deducir que estas son redundantes.

Por ejemplo:

La compaa "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de

congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres

operaciones antes de su comercializacin: Ensamblaje, pintura y control de calidad.

Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas

de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg

de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada

congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente.

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La compaa dispone como mximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840

kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la informacin

suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia

para maximizar las utilidades.

Las variables:

X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente

Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente

Las restricciones:

2X + 3Y

El Mtodo Simplex es un mtodo analtico de solucin de problemas

de programacin lineal capaz de resolver modelos ms complejos que los resueltos

mediante elmtodo grfico sin restriccin en el nmero de variables.

El Mtodo Simplex es un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en

cada paso. La razn matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en

caminar del vrtice de un poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o

disminuya (segn el contexto de la funcin objetivo, sea maximizar o minimizar),

dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro solucin es finito siempre

se hallar solucin.

Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense

George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de

crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?

Una matriz puede definirse como una ordenacin rectangular de elementos, (o

listado finito de elementos), los cuales pueden ser nmeros reales o complejos,

dispuestos en forma de filas y de columnas.

La matriz idntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo nmero

tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos

diagonales iguales a uno (1) y todos los dems componentes iguales a cero (0), se

denomina matriz idntica o identidad de orden n, y se denota por:

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La importancia de la teora de matrices en el Mtodo Simplex es fundamental, dado

que el algoritmo se basa en dicha teora para la resolucin de sus problemas.

OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MTODO SIMPLEX

VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Mtodo Simplex trabaja basndose en ecuaciones y las restricciones iniciales que

se modelan mediante programacin lineal no lo son, para ello hay que convertir

estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura

y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restriccin y que en

el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos

programas de resolucin de investigacin de operaciones, estas variables adquieren

un gran valor en el anlisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la

creacin de la matriz identidad base del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restriccin

es de signo "=".

Por ejemplo:

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VARIABLE ARTIFICIAL / MTODO DE LA "M" Una variable artificial es un truco matemtico para convertir inecuaciones ">=" en

ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la caracterstica

principal de estas variables es que no deben formar parte de la solucin, dado que

no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formacin

de la matriz identidad.

Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones,

su coeficiente es M (por esto se le denomina Mtodo de la M grande, donde M

significa un nmero demasiado grande muy poco atractivo para la funcin objetivo),

y el signo en la funcin objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en

problemas de Maximizacin su signo es menos (-) y en problemas de Minimizacin

su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solucin sea cero (0).

MTODO SIMPLEX PASO A PASO

EL PROBLEMA La empresa el SAMN Ltda. Dedicada a la fabricacin de muebles, ha ampliado su

produccin en dos lneas ms. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas

y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas

cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2

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piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines,

1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada

biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2

pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se

vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada

cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta

producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fbrica es maximizar las

utilidades.

Problema planteado por Edwin Bastidas - Ingeniero Industrial

PASO 1: MODELACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL Las variables:

X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)

X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)

X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)

X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)

Las restricciones:

2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4

PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado

que todas las restricciones son "

Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de

la fila "solucin" en la funcin objetivo.

Variable Solucin = En esta columna se consigna la solucin bsica inicial, y a

partir de esta en cada iteracin se van incluyendo las variables que formarn parte

de la solucin final.

Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su

derecha "Variable solucin" en la funcin objetivo.

Zj = En esta fila se consigna la contribucin total, es decir la suma de los productos

entre trmino y Cb.

Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado

es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de

la variable correspondiente que no forme parte de la solucin.

Solucin inicial:

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PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS Este es el paso definitivo en la resolucin por medio del Mtodo Simplex, consiste en

realizar intentos mientras el modelo va de un vrtice del poliedro objetivo a otro.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Evaluar que variable entrar y cual saldr de la solucin ptima:

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Maximizar Minimizar

Variable que entra

La ms positiva de los Cj - Zj La ms negativa de los Cj - Zj

Variable que sale

Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor correspondiente a la interseccin entre b y la variable que entra. La menos positiva de los b/a.

Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor correspondiente a la interseccin entre b y la variable que entra. La ms positiva de los b/a.

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2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solucin implica

una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarn a

continuacin.

- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en

este caso el "a = 4".

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- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.

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- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harn los

clculos correspondientes en el resto de las celdas.

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De esta manera se culmina la primera iteracin, este paso se repetir cuantas veces

sea necesario y solo se dar por terminado el mtodo segn los siguientes criterios.

Maximizar Minimizar

Solucin ptima

Cuando todos los Cj - Zj sean = 0

- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos

anteriores.

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En esta ltima iteracin podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj

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La manera de llegar a la otra solucin consiste en alterar el orden en que cada una

de las variables entro a la solucin bsica, recordemos que el proceso fue decidido

al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aqu les presentamos

una de las maneras de llegar a la otra solucin.

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Podemos observar como existe una solucin ptima alternativa en la cual la

combinacin de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado

que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solucin ptima con un

coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso

(pieza rectangular de 8 pines).

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X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)

X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)

X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)

X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)

S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)

Con una utilidad de: $ 340000

PROBLEMAS DE MINIMIZACIN CON EL MTODO SIMPLEX

Para resolver problemas de minimizacin mediante el algoritmo simplex existen dos

procedimientos que se emplean con regularidad.

El primero, que a mi juicio es el ms recomendable se basa en un artificio

aplicable al algoritmo fundamentado en la lgica matemtica que dicta

que "para cualquier funcin f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizar

tambin a - f(x)". Por lo tanto el procedimiento a aplicar es multiplicar por el

factor negativo (-1) a toda la funcin objetivo.

a continuacin se resuelve el algoritmo como un problema de maximizacin.

El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimizacin

consiste en aplicar los criterios de decisin que hemos esbozado con

anterioridad, en los casos de la variable que entra, que sale y el caso en el

que la solucin ptima es encontrada. Aqu recordamos los procedimientos

segn el criterio dado el caso "minimizar".

Minimizar

Variable que entra La ms negativa de los (Cj - Zj)

Variable que sale Siendo "b" los valores bajo la celda solucin y "a" el valor correspondiente a la interseccin entre "b" y la variable que entra. La ms positiva de los "b/a".

Solucin ptima Cuando todos los (Cj - Zj) sean >= 0.

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El problema del transporte o distribucin es un problema de redes especial

en programacin lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto

especfico llamadoFuente u Origen hacia otro punto especfico llamado Destino.

Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfaccin de todos los

requerimientos establecidos por los destinos y claro est la minimizacin de los

costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.

El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar

soluciones atinentes al rea de operaciones, inventario y asignacin de elementos.

El procedimiento de resolucin de un modelo de transporte se puede llevar a cabo

mediante programacin lineal comn, sin embargo su estructura permite la creacin

de mltiples alternativas de solucin tales como laestructura de asignacin o los

mtodos heursticos ms

populares como Vogel, Esquina Noroeste o Mnimos Costos.

Bryan Antonio Salazar Lpez

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Los problemas de transporte o distribucin son uno de los ms aplicados en la

economa actual, dejando como es de prever mltiples casos de xito a escala

global que estimulan la aprehensin de los mismos.

PROBLEMA DE TRANSPORTE MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL Como se mencion anteriormente la programacin lineal puede ser utilizada para la

resolucin de modelos de transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos

mediante el Mtodo Simplex si puede ser de gran utilidad la fase de modelizacin, la

programacin carece de la practicidad de los mtodos de asignacin, pero puede ser

de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales

que puede presentar un problema particular.

EL PROBLEMA Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para

satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y

Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW

al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y

Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre

cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

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Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades

de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

SOLUCIN MEDIANTE PL El modelo bsico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual

a la cantidad demandada, como es el caso de este ejercicio, sin embargo trasladar

esta suposicin a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orgenes

y/o destinos ficticios con el excedente de oferta y/o demanda.

Como ya lo hemos planteado en mdulos anteriores el primer paso corresponde a la

definicin de las variables, regularmente se le denomina a las variables de manera

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algebraica Xi,j donde i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este

caso i define el conjunto {Planta 1, Planta 2, Planta 3 y Planta 4}, y j define el

conjunto {Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla}. Sin embargo es prctico renombrar

cada fuente y destino por un nmero respectivo, por ende la variable

X1,2 corresponde a la cantidad de millones de KW enviados diariamente de la Planta

1 a la ciudad de Bogot.

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El segundo paso corresponde a la formulacin de las restricciones de oferta y

demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y

destinos, en este caso 16 restricciones.

Restricciones de oferta o disponibilidad, las cuales son de signo :

X1,1 + X1,2 + X1,3 + X1,4 80

X2,1 + X2,2 + X2,3 + X2,4 30

X3,1 + X3,2 + X3,3 + X3,4 60

X4,1 + X4,2 + X4,3 + X4,4 45

X1,1 + X2,1 + X3,1 + X4,1

X1,2 + X2,2 + X3,2 + X4,2

X1,3 + X2,3 + X3,3 + X4,3

X1,4 + X2,4 + X3,4 + X4,4

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Luego se procede a formular la funcin objetivo, en la cual se relaciona el costo

correspondiente a cada ruta.

ZMIN = 5X1,1 + 2X1,2 + 7X1,3 + 3X1,4 + 3X2,1 + 6X2,2 + 6X2,3 + 1X2,4 + 6X3,1 + 1X3,2 +

2X3,3 + 4X3,4 + 4X4,1 + 3X4,2 + 6X4,3 + 6X4,4

Luego se puede proceder al uso de la herramienta WinQSB para resolver el modelo

realizado, aqu estn los resultados.

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Este problema presenta una solucin ptima alternativa, aqu los resultados.

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Red Solucin

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Los anlisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser

bastante interesantes, pues pueden llegar a determinar aumentos de capacidad en

las fuentes si el precio sombra de las rutas en relacin a ellas lo justifica.

El mtodo de aproximacin de Vogel es un mtodo heurstico de resolucin

de problemas de transporte capaz de alcanzar una solucin bsica no artificial de

inicio, este modelo requiere de la realizacin de un nmero generalmente mayor de

iteraciones que los dems mtodos heursticos existentes con este fin, sin embargo

produce mejores resultados iniciales que los mismos.

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ALGORITMO DE VOGEL

El mtodo consiste en la realizacin de un algoritmo que consta de 3 pasos

fundamentales y 1 ms que asegura el ciclo hasta la culminacin del mtodo.

PASO 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalizacin restando los dos

costos menores en filas y columnas.

PASO 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalizacin, es decir que de la resta

realizada en el "Paso 1" se debe escoger el nmero mayor. En caso de haber

empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).

PASO 3 De la fila o columna de mayor penalizacin determinada en el paso anterior

debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor

cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda

quedar satisfecha por ende se tachar la fila o columna, en caso de empate solo se

tachar 1, la restante quedar con oferta o demanda igual a cero (0).

PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES - Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda,

detenerse.

Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las

variables bsicas en la fila o columna con el mtodo de costos mnimos, detenerse.

Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda,

determine las variables bsicas cero por el mtodo del costo mnimo, detenerse.

Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las

ofertas y las demandas se hayan agotado.

EJEMPLO DEL MTODO DE APROXIMACIN DE VOGEL Por medio de este mtodo resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en

mdulos anteriores mediante programacin lineal.

EL PROBLEMA Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para

satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y

Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW

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al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y

Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre

cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

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Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades

de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

SOLUCIN PASO A PASO El primer paso es determinar las medidas de penalizacin y consignarlas en el

tabulado de costos, tal como se muestra a continuacin.

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El paso siguiente es escoger la mayor penalizacin, de esta manera:

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El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela

se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el

menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como mximo 60

unidades "que es la capacidad de la planta 3".

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Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades)

esta debe desaparecer.

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Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso

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Iniciamos una nueva iteracin

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Continuamos con las iteraciones,

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Iniciamos otra iteracin

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Al finalizar esta iteracin podemos observar como el tabulado queda una fila sin

tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables bsicas y hemos

concluido el mtodo.

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Los costos asociados a la distribucin son:

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De esta manera hemos llegado a la solucin a la cual tambin llegamos

medianteprogramacin lineal, definitivamente desarrollar la capacidad para modelar

mediante programacin lineal y apoyarse de una buena herramienta como WinQSB,

STORM,LINGO, TORA etc. termina siendo mucho ms eficiente que la utilizacin de

los mtodos

heursticos para problemas determinsticos; sin embargo cabe recordar que uno de

los errores ms frecuentes en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de

adaptar a sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son los

modelos los que deben adaptarse a las organizaciones lo cual requiere de

determinada habilidad para realizar de forma inmediata cambios innovadores para

sus fines, en pocas palabras un ingeniero industrial requiere de un buen toque

de heurstica.

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Cada uno de los problemas abordados hasta entonces en los mdulos anteriores se

consideran problemas primales dado que tienen una relacin directa con la

necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulacin del

problema original; sin embargo cada vez que se plantea y resuelve un problema

lineal, existe otro problema nsitamente planteado y que puede ser resuelto,

es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y

propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la

toma de decisiones. Los problemas primales y duales se encuentran ligados por una

serie de relaciones, saber la existencia de estas puede ser considerado de gran

utilidad para la resolucin de problemas que parecen no factibles, o que no pueden

ser resueltos mediante un mtodo en particular.

Relaciones entre problemas primales y duales

El nmero de variables que presenta el problema dual se ve determinado por

el nmero de restricciones que presenta el problema primal.

El nmero de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado

por el nmero de variables que presenta el problema primal.

Los coeficientes de la funcin objetivo en el problema dual corresponden a los

trminos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro

lado de las variables.

Los trminos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual

corresponden a los coeficientes de la funcin objetivo en el problema primal.

La matriz que determina los coeficientes tcnicos de cada variable en cada

restriccin corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes tcnicos

del problema primal.

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