Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:

{3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Producto cartesiano Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas

(a, b) en donde a A y b B se llama producto o producto cartesiano de A y B.

La definicin de producto cartesiano puede extenderse fcilmente al caso de ms de dos

Conjuntos.

Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de

Pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:

A x B = {(a, b) / a A, b B}

El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B B x A.

Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.

EJEMPLO Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

Se puede representar grficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuacin. Aqu, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de nmeros reales y viceversa; la lnea vertical a travs de P encuentra al eje x en a, y la lnea horizontal a travs de P encuentra el eje y en b. A esta representacin se le conoce como diagrama cartesiano.

Hay otra manera de visualizar una relacin y es a travs de una representacin grfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relacin que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B.

A esta representacin grfica se le conoce como un diagrama de flechas.

Correspondencias y aplicaciones entre conjuntosA partir de la definicin de producto cartesiano, introduciremos las relaciones ms importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.

Correspondencias Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia entre A y B a un subconjunto del producto cartesiano de A por B.

Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G.

Se definen tambin los siguientes conjuntos:

El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las flechas.

El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las flechas.

El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original est incluido en el conjunto inicial.

El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen est incluido en el conjunto final.

EJEMPLO

Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un subconjunto de A x B, es decir, G (A x B).

La correspondencia est representada grficamente en:

a) un diagrama cartesiano:

B 4 3 2 1

a b c A

b) Un diagrama de flechas:

B

A 1

a 2

b 3

Relacin binaria La relacin binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.

EJEMPLO Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relacin binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.

X

Y

Z

Se dice que dos elementos a y b estn relacionados, y se escribe a R b, a est relacionado con b mediante la relacin binaria R, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relacin.

Si dos elementos a y b no estn relacionados mediante R en algn sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas. Propiedades de una relacin binaria Las principales propiedades que puede presentar una relacin binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

Propiedad Condicin

1. Reflexiva a A, a R a

2. Anti reflexiva a A, a R a

3. Simtrica a, b A, a R b b R a

4. Anti simtrica en sentido amplio a, b A, ( a R b y b R a) a = b

5. Anti simtrica en sentido estricto a, b A, a R b b R a

6. Transitiva a, b, c A, (a R b y b R c) a R c

Relacin de equivalencia Una relacin binaria R es una relacin de equivalencia definida en un conjunto A, si cumple las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva.

As, en el plano eucldeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relacin R ser paralela a es una relacin de equivalencia. Comprobmoslo:

a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a s misma.

b) Simtrica: si a || b, entonces b || a.

c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.

Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relacin de equivalencia.

Clases de equivalencia, conjunto cociente Dada una relacin de equivalencia R definida en un conjunto A, si a A se llama clase de equivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todos los elementos de A relacionados con a por la relacin de equivalencia R.

[ a ] = {x / x A y x R a}

Relaciones de orden Una relacin binaria R es una relacin de orden amplio si cumple las propiedades reflexiva, antisimtrica en sentido amplio y transitiva.

Una relacin binaria R es una relacin de orden estricto si cumple las propiedades

antirreflexiva, antisimtrica en sentido estricto y transitiva.

Una relacin binaria R es una relacin de orden total si dos elementos cualesquiera estn relacionados en cualquier sentido. Es decir:

a, b A, a R b o b R a

EJEMPLO La relacin R ser menor o igual que definida en un conjunto numrico A, es una relacin de orden amplio, y adems de orden total.

Si tomamos:

A = {1, 3, 4, 8}

La relacin est formada por:

R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}

http://es.slideshare.net/relaciones-entre-conjuntos-13545483?from_action=savehttp://es.slideshare.net/l/relaciones-entre-conjuntos-13621730?related=1Fundamentos y Conceptos de Sistemas:1. Parmetros:Entradas (Input), Procesos (Throughput), Salidas/Objetivos (Output), Retroalimentacin (FeedBack) - Autocontrol, Frontera, Ambiente2. Principios:Subsidiaridad, Interaccin, Determinismo, Equifinalidad, Totalidad.3.Caractersticas:Estabilidad, Adaptabilidad, Eficiencia, Sinergia, Homeostasis.EstructuraOrgnicade Sistemas:La EstructuraOrgnicade Sistemas se define a partir de la identificacin de sus elementos oparmetros, componentes y relaciones entre ellos, organizados para cumplirsus objetivos. Los componentes incluyen susbsistemas, limites y relaciones internas, suprasistemasdel ambiente y relaciones externas de entrada/salida.Ejemplo: Sistema Familia: (Relaciones naturales, herencia,consanguinidad, afectivas, respeto, autoridad, socio-tcnicas, laborales, legales)