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Lunes 7 de Septiembre de 2015. Semestre 2016-1

1

Guía de Problemas para el Examen Parcial #2. Curso de Cálculo Diferencial e Integral I.Grupo 4037. Profesor: Héctor de Jesús Argueta Villamar. Facultad de Ciencias. UNAM.

1. Dibujar el conjunto de todos los puntos ( , ) x y del plano cartesiano que satisface cada una

de las siguientes condiciones. Justificar detalladamente su respuesta.

Indicación: En la mayor parte de los casos la imagen será una parte apreciable del plano

cartesiano y no simplemente una recta o una curva).

a) x y b) 1 x y c)2 y x<

d)2 y x e) 1 x y f) 1 x y

g) .es un entero x y + h)

1.es un entero

x y

+

i)2 2

0 x y

j)2 2( 1) ( 2) 1 x y k)

2 4 x y x l) 0 xy

m) 1 1 x y- = - n) 1 x y ñ) 2 2 x y

Funciones

2. Dadas las funciones ( ) , f x x R y ( ) [ ], [ 2,3] g x x x . Proporcionar los

dominios de las funciones f g , , f

g fg y f g , así como sus respectivas gráficas.

Indicación: recordar que el símbolo [ ] x denota el mayor entero menor o igual que

x . Por ejemplo: 3 5[ ] 1, [ 0.5] 0, [ ] 3, [0.9] 1,[ ] 3 ,

3. Las siguientes funciones tienen como dominio los números reales, determinar si son inyectivas,

o suprayectivas , o biyectivas. Demostrar su respuesta.

) ( ) [ ]i f x x x 3) ( )ii f x x ) ( ) 3iii f x x

) ( ) sen( )iv f x x 2) ( ) 2v f x x x ) ( ) cos( )vi f x x

4. Investigar si cada una de las siguientes funciones con dominio los números reales, es par o

impar o ninguna de las dos cosas. Demostrar su respuesta.

3) ( )i f x x 2

1) ( )

1i i f x

x

2

) ( )1

xiii f x

x

2

2) ( )

1

xi v f x

x

2

2) ( ) xv f x

2 3) ( )vi f x x

) ( ) 3 1vii f x x

1) ( )

xviii f x

3) ( )ix f x x

3 2) ( ) x f x x

1) ( ) xi f x x

x

2

2

1) ( ) xii f x x

x

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2

5. Demostrar que cada una de las siguientes funciones, con Dominio los números reales, es

acotada.

2

1) ( )

1i i f x

x

2

) ( )1

xi i i f x

x

Tomar casos: 0 1 1 x o x , etc.

2

2) ( )

1

xi v f x

x

6. ¿Es cada una de las siguientes funciones creciente o decreciente en el intervalo (0, ) ? o

ninguna de las dos cosas. Demostrar su respuesta.

2) ( )i f x x 2

1) ( )

1i i f x

x

2

2) ( )

1

xiii f x

x

) ( ) xi v f x

7. ¿Es cada una de las siguientes funciones creciente o decreciente en el intervalo ( ,0) ? o

ninguna de las dos cosas. Demostrar su respuesta.

2

) ( )i f x x 2

1

) ( ) 1i i f x x

2

2) ( ) 1

x

iii f x x ) ( ) xi v f x

8. Sea1

( ) , 0 f x x x

= " ¹ . ¿Cuál es el Dominio de cada una de las siguientes reglas de

correspondencia?

( )( )) f f xi

1) f

xii

æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

( 3 )) f xiii

- ( ) f xiv )

9. Las siguientes dos funciones están definidas en el conjunto de los números reales.

Sean2( ) g x x= y

0,( )

1,

x racional h x

x irracional

=ìïïíïïî

Realizar lo que se pide en cada uno de los siguientes incisos:

) ¿ ( ) ?i Para cuáles t es h t t £ ) ¿ ( ) ( ) ?ii Para cuáles t es h t g t

£

) ( ( )) ( )iii Calcular g h w h w

- ) ¿ ( ) ?iv Para cuáles w es g w w

£

) ¿ ( ( )) ?v Para cuáles r es g g r r = ) ¿ ( ) 4 ?vi Para cuáles x es g x

£

10. Encontrar el dominio de las funciones definidas por las expresiones matemáticas.

2) ( ) 1-i f x x= ( ) 2) 1 1ii f x x= - -

1 1) ( )

1 2 iii f x

x x= +

- -

2) ( ) 1iv f x x x= - +

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3

) ( ) 1 2v f x x x= - + + 2) ( ) 1vi f x x x= -

2) ( ) 2vii f x x= +

) ( ) 5viii f x x= -

1) ( )

1

xi x f x

x

+=

- 2

1) ( )

9

x x f x

x

+=

-

1) ( )

9

x xi f x

x

+=

-

1) ( )

4

x xii f x

x

-=

+

2) ( )

2

x xiii f x

x x=

- 2

4) ( )

4

x xiv f x

x

-=

-

( )

36) ( )

1 3

x xv f x

x x

-=

+ +

3, 3) ( )

10 , 1

x si x xvi f x

x si x

ì + £ïï= í

ï >ïî

11. Sean2( )r x x= , ( ) 2 x P x = y ( ) ( ) s x sen x= , ( ) f x x y ( ) 2 3 g x x . Calcular la

regla de correspondencia que se pide:

( )) ( )i r P t ) ( )( )ii r s w ) ( )( )iii f g u

( ) ( )) ( ) ( )iv r P s t s P t + 3) ( )v s t ) (g )( )vi f u

) ( )( ) ( )( )vii f g t g f t 1( )) xviii f

1( )) xix g

12. Expresar cada una de las siguientes funciones ( ) f x en términos , ,r P s

usando solamente

, , + × . Por ejemplo la función )i es P s . En cada caso, el resultado debe ser una

función.

sin( )) ( ) 2 xi f x = ) ( ) sin 2 xi i f x = 2

( )) sin f xiii x

2) ( ) siniv f x x= 2) ( ) 2t

v f x = ) ( ) sin(sin 2 ) xv i f x

13. Demostrar que la función ( ) [ ], f x x x x R tiene periodo 1.

14. Demostrar que si ( ) f x está definida para todo x R y es periódica entonces no es inyectiva.

15. En cada caso se supone que el dominio de la función son los números reales. Demostrar su

respuesta.

a) Dar un ejemplo de una función par.

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4

b) Dar un ejemplo de una función impar

c) Dar un ejemplo de una función acotada.

d) Dar un ejemplo de una función no acotada

e) ¿Qué significa que una función tenga período 0 p ? Dar dos ejemplos.

f) Exhibir un ejemplo de una función, que no sea monótona no creciente (esto es, que

decrece o se mantiene).

g) Exhibir un ejemplo de una función, que sea inyectiva, pero que no sea monótona

creciente ni monótona decreciente.

16. a) Si f es par o impar y g es para o impar, entonces f g es par, impar o ninguna de las

dos cosas. Las soluciones pueden ser convenientemente dispuestas en una tabla de 2x2.b) Hágase lo mismo para f g (multiplicación).

c) Hágase lo mismo para f g (composición).

Límites

17. A partir de la definición de límite (( )

, demostrar que

2

2) 4

xi lim x

®=

1) 1

xii lim x

®=

20

1) 1

1

xiii

xlim®

=-

2

1 1)

1 3

xiv lim

x®=

+

3

1) 1

2

xv lim

x® -= -

+ 2

) 2 x

ix lim x®

=

21

1) 1

xvii lim

x®=

0

2) 0

1

x

xviii lim

x®=

+

1

1) 1

2 xv lim

x

® -=

+

18. a) Demostrar que si ( ) 0 x alim g x®

= , entonces1

( ) 0 x alim g x sen

x®

æ öç ÷ =ç ÷ç ÷è ø

b) Demostrar que si ( ) 0 x alim g x®

= , entonces ( ) cos( ) 0 x alim g x x®

=

19. Para cada uno de los siguientes incisos:

Dados los números , 0 a L y > determinar 0 > tal que x Dom f " Î y

0 x a

< - < implica ( ) f x L - <

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La función a L 1 0 > 2 0 >

) ( ) 1 2i f x x= - 1a = - 3 L = 1 0 01 .= 2 0 001 .=

2) ( ) 4ii f x x= - 2a = 0 L = 1 0 01 .= 2 0 0001 .=

3) ( )iii f x x= 1a = 1 L = 1 0 002 .= 2 0 001 .=

20. Demostrar que:

Si f es una función definida en el conjunto de los números reales, cuya regla de

correspondencia es:

0,( )

1,

x irracional f x

x racional

=

ìïïíïïî

Entonces ( ) x alim f x®

no existe, cualquiera que sea a .

Indicación: Un esbozo de la gráfica de esta función puede ayudar.

Los siguientes ejercicios los pueden consultar en el libro: Cálculo de Arizmendi, Carrillo y Lara. Procedimientos para el

Cálculo de Algunos Límites.

21. Suponiendo que

01

( )

x

sen x

xlim®

= 01cos( )

x xlim

®=

00( )

x sen xlim

®=

Calcular los siguientes límites:

0

(5 ))

x

sen xi lim

x®

2

0

( ))

h

sen hii lim

h®

0

( ))

x

sen axiii lim

x®

0

(5 ))

(2 )

x

sen xiv lim

sen x®

( ) ( ))

x a

sen x sen av lim

x a®

-

-

20

( ))

(2 )

h

sen hvi lim h

sen h®

æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

cos( ) cos( ))

x a

x avii lim

x a®

-

-

0

( ) ( ))

h

sen x h sen xviii lim

h®

+ -

0

cos( ) cos( ))

h

x h xix lim

h

22. Calcular los siguientes límites:

21

1)

1

x

xi lim

x®

-

-

6

3

729)

3

x

xii lim

x®

-

-

2

22

6 8)

2 8

x

x xiii lim

x x®

+ +

- -

2

32

4)

8

x

xiv lim

x®

-

+

4 2

4 21

2)

10 9

x

x xv lim

x x®

+ -

- +

2

3 22

3 5 2)

2 3 6

x

x xvi lim

x x x®

- -

- + -

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6

9

31

1)

1

x

xvii lim

x®-

+

+

2

24

20)

2 8

x

x xviii lim

x x®

+ -

- -

2

22

6 16)

10 16

x

x xix lim

x x®

+ -

+ -

23. Calcular los siguientes límites.

2

1

1)

1

x

xi lim

x®

-

+

3

2

8)

2

x

xii lim

x®

-

-

3

3

8)

2

x

xiii lim

x®

-

-

) n n

x y

x yiv lim

x y®

-

- )

n n

y x

x yv lim

x y®

-

-

0)

h

a h avi lim

h®

+ -

24. Esbozar las gráficas de las siguientes funciones, trazando una cantidad suficiente de sus

puntos en el plano cartesiano, para obtener una idea del aspecto general, y poder responder

las preguntas siguientes:

¿Qué ocurre cuando x está muy próximo a 0? ¿Qué ocurre cuando x es muy grande? ¿Qué

posición ocupa la gráfica en relación con la gráfica de la función identidad? ¿Por qué es

suficiente considerar sólo números reales positivos?

1) ( )i f x x

x

1) ( )ii f x x

x

2

2

1) ( )iii f x x

x

2

2

1) ( )iv f x x

x

Bibliografía

Michael Spivak. Calculus

3ª edición. Editorial Reverté

Haaser, Lassalle y Sullivan. Análisis

Introducción al Análisis Matemático Vol. 1.Editorial Trillas

Arizmendi, Carrillo, Lara. Cálculo.

Primer Curso. Editorial Limusa

Ignacio Canals Navarrete, Manuel Meda

Vidal, Rafael Pérez Flores, Carlos Antonio

Ulín Jiménez. Coordinador: Ernesto Javier

Espinosa Herrera. CÁLCULO

Diferencial.Editorial Reverté. 2009

Sitio de interés:Cálculo interactivo: http://newton.matem.unam.mx/calculo1/

Fecha del Examen Parcial #2:Viernes 9 de octubre de 2015. De 16:00 a 18:00 horas, en el salón de clases.

http://newton.matem.unam.mx/calculo1/



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