hacer y pensar en matematica -...

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HACER Y PENSAR ENMATEMATICA

MATEMATICA NUEVO ENFOQUE DE SU ENSENANZA. PRIMER CICLO.

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“INDICADORES DE PROGRESIÓN DE APRENDIZAJES PRIORITARIOS”Sobre la base del Anexo Resolución CFE N° 342/18.

PRImER CIClOGeometría y medida

Comenzar a considerar, en la representación gráfica de los distintos espacios, los tamaños,las posiciones y las distancias en los objetos y entre los objetos, e iniciar la representación grá-fica de distancias y recorridos anticipándose a la acción de realizarlos.

Cuerpos geométricos, describiendo y comparando sus características (número y forma decaras, de aristas, rueda o no, tiene punta o no, etc.).

Figuras planas describiendo y comparando características (número de lados, de vértices,bordes curvos o rectos, igualdad en la medida de los lados).

Medir y comparar longitudes, capacidades y pesos por medio de unidades convencionalesde uso frecuente, usando también números fraccionarios de uso cotidiano (medios, cuartos).

Usar el calendario y el reloj para ubicarse en el tiempo y determinar duraciones (meses delaño, semanas, días, horas, minutos).

Número y operaciones

Identificar regularidades del sistema de numeración en contextos significativos y compren-der el valor posicional de las cifras para leer/ escribir y comparar números naturales de 4 ó máscifras.

Resolver situaciones del campo aditivo (suma y resta) y del campo multiplicativo (multipli-caciones y divisiones) con distintos significados.

GEOmETRíA

Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios.

la propuesta didáctica.

metas: lo que los alumnos deben saber hacer al finalizar cada grado.

Secuencia de actividades del maestro y de los alumnos.

matem primer ciclo_Maquetación 1 21/01/2019 11:12 Página 1

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Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios, sobre la base del Anexo ResoluciónCFE N° 342/18

Cuerpos geométricos, describiendo y comparando sus características (número y forma decaras, de aristas, rueda o no, tiene punta o no, etc.).

Figuras planas describiendo y comparando características (número de lados, de vértices,bordes curvos o rectos, igualdad en la medida de los lados).

Describir e interpretar, en forma oral y gráfica, trayectos y posiciones de objetos y personasen planos usando relaciones espaciales.

Comenzar a considerar, en la representación gráfica de los distintos espacios, los tamaños,las posiciones y las distancias en los objetos y entre los objetos, e iniciar la representación grá-fica de distancias y recorridos anticipándose a la acción de realizarlos.

lA PROPuESTA DIDáCTICALa enseñanza tradicional puso énfasis, durante mucho tiempo, en que los alumnos apren-

dieran las definiciones de las figuras y los cuerpos, “de memoria”. Que los niños y los jóvenespudieran decir sin dudar qué es un triángulo equilátero o un trapecio.

Para ello bastaba que los estudiantes copiaran las definiciones del pizarrón o las escribieransiguiendo el dictado del docente o las leyeran en los manuales y las repitieran suficiente can-tidad de veces para poder “recitarlas” cuando les fueran requeridas en la “lección oral”.

Como reacción a esas propuestas, por cierto inapropiadas e ineficaces para producir apren-dizajes significativos, a partir de la década del 60 aproximadamente, se entendió que no sepodía aprender geometría sin ver las figuras y, entonces, pizarrones, láminas y libros se lle-naron de abundantes triángulos, cuadrados, pentágonos, ángulos, semirrectas y bisectrices.

Parecía que bastaba ver abundante cantidad de figuras triangulares para “saber qué era untriángulo” y para demostrar que se lo había aprendido, el alumno debía señalar entre las figuras

presentadas cuál era esa figura requerida. En los mejorescasos, se pedía que el alumno dibujara ese bendito trián-gulo. Nada de dar antiguas lecciones orales. Nada de enu-merar qué elementos tenía la figura, ni de describirla engeneral. Eso era demostración del antiguo y superado “ver-balismo”.

Es cierto que se sabe mejor qué es una determinada fi-gura si además de escuchar o copiar una definición, se la

observa. Pero cuando sólo se trata de mirar, apenas si hemos reemplazado el “verbalismo de lapalabra” por el “verbalismo de la imagen” (Como dijera Jean Piaget: “¡Cuidado! Que tambiénhay un verbalismo de la imagen”). Y puede ser tal el pensamiento “mecánico y estereotipado”que puede producir la imagen, que todas las figuras tenían su base horizontal (aunque rombosy romboides tenían el raro y extraño privilegio de ser presentados “de punta”). Por eso un cua-drado era un rombo (aunque realmente lo fuera, pero por otras razones, no justamente las per-ceptivas) si se lo presentaba “de punta” o un rombo con un lado horizontal, pasaba a ser unparalelogramo propiamente dicho (cabe la misma indicación que para el cuadrado con res-pecto al rombo). Y un triángulo con “la punta para abajo” requería que diéramos vuelta el libroo la lámina o nos pusiéramos prácticamente “de cabeza” para reconocerlo como tal.

¿Por qué, entonces, todas las figuras siempre “quietas” en la misma posición? Porque la per-cepción es efímera si no la acompañamos de otras conductas cognitivas y para que no lo sea,

la enseñanza tradicionalpuso énfasis en que los

alumnos aprendieran lasdefiniciones de las figuras

y los cuerpos, “de memoria”.


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las presentamos “siempre igual”, siempre en la misma posición. Ya en los 70, descubrimos que el niño para aprender necesitaba

“hacer” (gracias al tan condenado conductismo - que sin embargo supohacer interesantes aportes a la enseñanza en muchos aspectos -) y en-tonces incorporamos la construcción con los “elementos” de geometría. Yano ver, ya no hablar: construir. Se suponía que si el estudiante “construía”, apren-día. Pero se repitieron los mismos errores: se tomó lo peor del conductismo: los pro-cedimientos mecanizados de construcción. Se trataba de repetir cada construcciónhasta que se la “aprendiera de memoria” (extraña coincidencia con la enseñanza tra-dicional, la única diferencia era que ya no se trataba de una memoria verbal sino de una me-moria motriz, pero memoria al fin). Aclaremos que, por supuesto, sabemos que no hayaprendizaje sin memoria pero con memoria solamente no se producen aprendizajes significa-tivos. Se aprende con la memoria (no de memoria) pero no sólo con la memoria.

¿Se aprende geometría hablando?Sí. Es imprescindible.

¿Se aprende geometría viendo?Sí. Es imprescindible.

¿Se aprende geometría construyendo?Sí. Es imprescindible.

Pero falta algo. Ese algo que falta, Piaget, Vigotski, Gagné, Ausubel,entre tantos otros, lo demostraron científicamente. Eso que falta es lo queHumberto Eco ha dicho que es la tarea fundamental e indelegable de la es-cuela en estos tiempos de tanta información digitalizada disponible. La fun-ción de siempre de la escuela: hacer pensar, enseñar a pensar.

Por eso, para no escribir aquí un capítulo entero de didáctica de la geometría, podemos sin-tetizar diciendo que para que los niños aprendan bien geometría lo primero es: que construyan(como sea de acuerdo al nivel: con plastilina, con cartones, con hilos, con cintas, con el geo-plano, etc. y alguna vez con los “instrumentos de geometría” ¿con los software de la computa-dora? Por supuesto: ¡también!

Una vez que construyeron y “apareció” la figura, la ven. Entonces, hay que observar. Inme-diatamente después hay que enumerar lo que se ve: tantos lados, tantos vértices, tantos án-gulos, tantas diagonales. Y cuando corresponda por el grado y la edad, decir cómo son esoselementos y qué relaciones tienen entre sí.

De las enumeraciones surgen las descripciones: “Este triángulo tiene tres lados de igual me-dida y tres ángulos no rectos”. Y de las descripciones y las comparaciones entre figuras surgirán

en el momento apropiado las definiciones: “Un cuadrado es un polígono de cuatro ladosy cuatro ángulos de igual medida”.

Obviamente, los que construyen, observan, enumeran, describen, relacionan,comparan, distinguen y definen son los alumnos. Con la orientación del

maestro, claro. la palabra por sí sola no enseña. la percepción visual (o

táctil) sola no enseña. El geoplano, las construcciones,la computadora, los videos, por sí solos no enseñan.

lo que enseña es lo que los maestros hacenhacer y pensar a sus alumnos mientras ha-

A partirde la décadadel sesenta

aproximadamente,se entendió que no se

podía aprendergeometría sin ver las

figuras.

En los 70,descubrimosque el niño necesitaba“hacer” para aprender. Ya no era suficiente ver,hablar, era necesario construir.


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blan con ellos, los hacen observar y los hacen construir.Si la escuela puede diseñar un plan estratégico que dé continuidad a esta propuesta en los

distintos grados y esa continuidad se respeta, también, al interior de cada año lectivo (quierodecir: si todas la semanas “tenemos” una clase de geometría durante todo el año y no una uni-dad en algún momento del año), los alumnos estarán aprendiendo significativamente geo-metría, pensando y expresando con palabras (¿por qué no?) sus pensamientos.

ESTRuCTuRA CONCEPTuAl DEl TEmA Las figuras y los cuerpos geométricos son una abstracción del mundo de objetos de la reali-

dad. Insistiendo: las figuras y los cuerpos geométricos no son objetos sino conceptos. Obviamente, en la educación primaria lo que hacemos es que los chicos piensen manipu-

lando objetos que son representaciones de esos conceptos. También hay que tener en cuenta, y hablando con precisión geométrica, que los cuerpos

también son figuras si adoptamos como definición de figura “todo conjunto de puntos”.El cuadrado, el rectángulo, el triángulo, etc. son polígonos. O sea: porciones cerradas de plano

limitadas por líneas rectas. Descubrir que el cuadrado y el rectángulo, entre sus semejanzas tienen 4 ángulos rectos va

preparando la comprensión (en 5º ó 6º grado) de que los cuadrados son un subconjunto espe-cial de los rectángulos (los rectángulos que tienen cuatro lados de igual medida). Así comotambién es un caso especial (un subconjunto) de los rombos (los cuadriláteros que tienen 4lados de igual medida), aquéllos que tienen 4 ángulos rectos. (Contenidos para 5º ó 6º grado).

mETAS(lo que los alumnos deben saber hacer al finalizar cada grado)

PRImER GRADO

Poder agrupar cuerpos (esferas, cilindros, conos, prismas, pirámides, cubos) según susformas geométricas.

Reconocer un cuerpo determinado dado su nombre.

Dar el nombre de un cuerpo indicado.

Reconocer en la realidad, objetos con las distintas formas geométricas mencionadas enel punto 1.

Reconocer figuras planas en los cuerpos trabajados: cuadrados, rectángulos, triángulosy círculos.

Poder agrupar figuras planas según sus formas geométricas.

Dar el nombre de una figura señalada.

Reconocer una figura plana dado su nombre.

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Reconocer en la realidad, las distintas formas geométricasmencionadas en el punto 5.

Reconocer arriba, abajo, sobre, entre, atrás, delante, cerca, lejos,adentro, afuera entre objetos y con respecto al propio cuerpo; y delpropio cuerpo con respecto al espacio cercano y cotidiano.

Colocar objetos y el propio cuerpo de acuerdo con estas posiciones: arriba,abajo, sobre, entre, atrás, delante, cerca, lejos, adentro, afuera.

SEGuNDO GRADO

Poder agrupar cuerpos (esferas, cilindros, conos, prismas, pirámides, cubos) según susformas geométricas.

Reconocer un cuerpo determinado dado su nombre.

Dar el nombre de un cuerpo indicado.

Reconocer en la realidad, objetos con las distintas formas geométricas mencionadas enel punto 1.

Reconocer figuras planas en los cuerpos trabajados: cuadrados, rectángulos, triángulosy círculos.

Poder agrupar figuras planas según sus formas geométricas.

Dar el nombre de una figura señalada.

Reconocer una figura plana dado su nombre.

Reconocer en la realidad, las distintas formas geométricas mencionadas en el punto 5.

Dibujar “a pulso” sin elementos geométricos, adecuadas representaciones de las figurasplanas mencionadas.

Expresar oralmente las descripciones de cuadrado, rectángulo, triángulo y círculo anteel pedido de la docente: ¿Cómo es el ………?

Expresar las semejanzas y las diferencias, teniendo en cuenta las características de suselementos (lados, ángulos, vértices), entre las figuras planas mencionadas.

Reconocer arriba, abajo, sobre, entre, atrás, delante, cerca, lejos, adentro, afuera entreobjetos y con respecto al propio cuerpo; y del propio cuerpo con respecto al espaciocercano y cotidiano.

Colocar objetos y el propio cuerpo de acuerdo con estas posiciones: arriba, abajo,sobre, entre, atrás, delante, cerca, lejos, adentro, afuera.

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Realizar, recordar y graficar recorridos en lugares muy cercanos y cotidianos.

TERCER GRADO

Todos los desempeños señalados de 1 a 15 en 2º grado.

Reconocer los lados como segmentos.

Medir y trazar segmentos o lados con cm exactos.

Reconocer los vértices como puntos.

Reconocer ángulos rectos en las figuras geométricas y en objetos de la realidad.

Distinguir ángulos rectos de los no rectos y reconocer ángulos no rectos en las figurasgeométricas y en objetos de la realidad.

Reconocer cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos como caras en los cuerpos geo-métricos; reconocer aristas y vértices.

Dibujar cuerpos geométricos “tal como los ven” (no se exigen representaciones en pers-pectiva).

Reconocer arriba, abajo, sobre, entre, atrás, delante, cerca, lejos, adentro, afuera entreobjetos y con respecto al propio cuerpo; y del propio cuerpo con respecto al espaciocercano y cotidiano.

Colocar objetos y el propio cuerpo de acuerdo con estas posiciones: arriba, abajo,sobre, entre, atrás, delante, cerca, lejos, adentro, afuera.

Realizar, recordar y graficar recorridos en lugares muy cercanos y cotidianos y algunosmás amplios: la plaza, la manzana de la escuela.

Leer recorridos en planos y realizarlos de acuerdo con lo interpretado.

El desarrollo didáctico detallado por medio de secuencias de actividades de alumnos y do-cente se puede hallar en www.edibalibros.com

mEDIDA





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Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios, sobrela base del Anexo Resolución CFE N° 342/18Medir y comparar longitudes, capacidades y pesos por medio de unidadesconvencionales de uso frecuente, usando también números fraccionariosde uso cotidiano (medios, cuartos).Usar el calendario y el reloj para ubicarse en el tiempo y determinar duraciones(meses del año, semanas, días, horas, minutos).

lA PROPuESTA DIDáCTICA

Lo primero que tendríamos que tener en cuenta para poder desarrollar una propuesta or-gánica para la enseñanza de este tema en la escuela primaria, es el concepto de medición.

Tengamos en claro, desde el principio, que MEDIR ES COMPARAR. Para comparar necesitamos, obviamente, por lo menos dos componentes. ¿Qué habremos de comparar cuando se trata de medir? Compararemos un objeto (el objeto

a medir), mejor dicho: una cualidad del objeto a medir (su longitud, su peso, su superficie, etc.)con UN PATRÓN DE MEDIDA – cuando la comparación es entre dos objetos para, por ejemplo,decidir cuál es el más largo de los dos; se está usando uno de ellos como patrón - .

La comparación con un patrón de medida es una actividad que aparece “na-turalmente” muy temprano en los niños. Expresiones como: “Yo quiero el pe-luche grande”, “A mí me gusta tomar el té en la taza grande”, “Qué linda es lapelota chiquita”, “Ese oso es enoooooorme”, “Mi primo tiene una moto gi-gaaaaaante”, “Yo soy grande, mi hermana es chiquita…” son algunos ejem-plos de lo que afirmamos. Quizás no hiciera falta señalar el hecho de pararseal lado de otro chico para saber quién es más alto.

Que algo sea “grande”, “chiquito”, “enorme” o “gigante” implica decir que ”algoes más grande que…”, o “que es más chiquito que…”, “es enorme porque esmucho más grande que…” Obviamente a nivel implícito en chicos de 3; 4 ó 5 años.

Por eso, desde el Jardín de infantes, se realizan actividades de comparación de longitudesde objetos (varillas, palillos, bastones, lápices, marcadores, cintas, etc.): “Cuál es el más corto,cuál es el más largo”. En esta actividad, lo que se propone a los niños es que pongan unos ob-jetos al lado de los otros a fin de CONCRETAR LA COMPARACIÓN. De la misma manera, habríaque hacer para hallar “el más alto”, “el más bajo” y más adelante ordenar un grupo de objetosde menor a mayor y de mayor a menor, así como encontrar el que debería ubicarse entre otrosdos objetos, de acuerdo con las distintas cualidades (o magnitudes tomadas en consideración

en el momento). Estas comparaciones directas entre objetos (o entre

cualidades o magnitudes de los objetos, reiteremos) de-berían realizarse también en primer grado, sobre todosi observáramos que los chicos tienen algunas dificul-tades a pesar del trabajo realizado en el nivel inicial.

Ya en primer grado, pero seguramente en segundo,pueden presentarse discusiones sobre “cuál es el máslargo” por ejemplo. Sobre todo si se trata de objetos queno pueden ponerse uno al lado del otro, por caso el pi-

medir es comparar con un patrón de

medida. En el iniciose tratará de hacercomparaciones a

nivel concreto.

Desde los momentos inicia-les, es necesario introducir laestimación, que no deberáser abandonada nunca por-que esta habilidad será sinduda la que quizás más usa-remos como adultos en lavida cotidiana.


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zarrón que está en la pared de enfrente y elque está al lado de las ventanas.

Hacer que los alumnos propongan sus propiassoluciones puede ser muy rico, pero además, im-prescindible para darle “potencia” cognitiva al pro-blema. Seguramente algunas de las solucionespueden ser: “Tomemos una cuerda, “midamos” un piza-rrón y luego llevemos la cuerda sobre el otro y así vere-mos cuál es más largo”. Otra: ”Contemos cuántos pasos haydesde el principio hasta el final de cada pizarrón”. Algún niñopodría proponer: “Tomemos la regla larga que usa la maestray veamos cuántas veces entra en un pizarrón y cuántas en elotro”.

Observemos que en todos los casos, los niños proponen intuiti-vamente usar patrones de medida: la cuerda, los pasos, la regla. Atodos estos patrones, los llamamos “no convencionales” porque no son los que los matemá-ticos han convenido usar para medir ciertas magnitudes. Son ”no convencionales” como lamano, el pie, un vaso, un dedo.

Desde estos momentos iniciales, es necesario introducir los ejercicios de estimación (queno deberán ser abandonados nunca y ser trabajados también cuando se incorporen los patro-nes convencionales) porque esta habilidad será sin duda la que quizás más usaremos comoadultos en la vida cotidiana.

El camino para introducir los patrones convencionales es plantear situaciones que generan“conflictos” que presenten las medidas con patrones no convencionales debido a que no todoslos pasos son de igual medida, ni todas las manos, ni todos los pies, ni todos los vasos y ni quédecir la dificilísima decisión acerca de cuál de los dos objetos que queremos comparar es máspesado.

El metro, el centímetro, los recipientes graduados, las pesas de distinto peso para usar en labalanza de platillos son los patrones adecuados para ser introducidos en un principio para di-lucidar los problemas que nos ocasionaron las mediciones con patrones no convencionales.En todos los casos, son los alumnos quienes deberán realizar las acciones concretas de medi-ción, por ejemplo, tomar el metro de madera y transportarlo a lo largo del aula para sabercuánto mide el largo del aula; o ir sacando “medios litros” con el vaso graduado para averiguarcuántos medios litros hay en una jarra, etc.

En síntesis: el aprendizaje de los conceptos incluidos en el tema “Medición” comienzan consituaciones en las que sea necesario comparar concretamente diversos objetos, sigue con eltrabajo con situaciones que requieren el uso de patrones (en el inicio no convencionales) y fi-nalmente la introducción de los patrones convencionales de uso cotidiano para resolver losconflictos que suele generar el uso de los no convencionales.

Posteriormente, en el segundo ciclo, será el momento de trabajar con equivalencias usuales:entre metros y centímetros, entre metros y kilómetros; con litro, un cuarto de litro, medio litro,tres cuartos de litro; gramos y kilogramos, kilogramos y toneladas; etc.

Recién en 5º o 6º grado, sería recomendable la introducción del sistema métrico decimal contodos sus múltiplos y submúltiplos pero solamente para mostrar y comprender el funciona-miento del sistema y no para pretender desarrollar “habilidades sofisticadas” pero para nadaútiles como el hallazgo de equivalencias, por caso, entre miligramos y hectogramos.

… para introducir los patronesconvencionales … plantear

situaciones que generen“conflictos”

que presentan lasmedidas con

patronesno convencionales …


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PRImER GRADO

Dados dos objetos de distinta longitud, reconocer mediante “mediciones”concretas cuál es el más largo, cuál es el más corto.

Dados dos objetos de distinta longitud, poder elegir entre otros, cuál tiene una longi-tud más corta que el más largo y más largo que el más corto (“el que está entre los dosprimeros”), mediante “mediciones” concretas.

Medir las longitudes de los objetos con patrones de medida no convencionales (lamano, el pie, pasos).

Reconocer mediante una balanza de platillos, qué objeto es el más pesado, cuál el másliviano.

Dados dos recipientes (dos jarras, dos baldes, dos tachitos, etc.), reconocer mediante“mediciones concretas” cuál tiene mayor capacidad.

Hacer comparaciones entre objetos de distintas longitudes o pesos o capacidades me-diante la estimación.

Verificar mediante mediciones, la certeza de las estimaciones realizadas.

Reconocer “antes”, “ahora”, “después”. Lo anterior, lo posterior, lo simultáneo de hechoescolares y familiares cotidianos.

Ordenar secuencias de tres o cuatro hechos escolares o familiares cotidianos.

SEGuNDO GRADO

Todos los desempeños enumerados para primer grado.

Medir longitudes de espacios (aulas, patios, pasillos, salones, etc.) mediante pasos.

Medir longitudes de espacios (aulas, patios, pasillos, salones, etc.) mediante un metro.

Reconocer y poder expresar la conveniencia de medir con patrones convencionales porsobre los no convencionales.

Estimar longitudes en metros.

Medir pesos de objetos y/o grupos de objetos mediante pesas de medidas no conven-cionales en balanzas de platillos.

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Medir pesos de objetos y/o grupos de objetos (frutas, por ejemplo) mediante pesas deun kilogramo, medio y un cuarto, en balanzas de platillos y en balanzas graduadas.


Estimar pesos en kilogramos, medio kilogramo y cuarto de kilogramo.

Medir capacidades de recipientes mediante medidas de un litro, cuarto y medio.

Reconocer y poder expresar la conveniencia de medir con patrones convencionales decapacidad por sobre los no convencionales.

Estimar capacidades de recipientes en litros, medios y cuartos.

Verificar con mediciones, las estimaciones en litros, medios y cuartos.

Conversaciones sobre distintas duraciones de distintos hechos escolares y familiarescotidianos.

Reconocer qué dura más, qué dura menos.

Comparar “intuitivamente” distintas duraciones. La conveniencia de los instrumentosque miden con patrones convencionales. Conocimiento y uso del cronómetro, de losdistintos tipos de relojes, del calendario.

TERCER GRADO

Todos los desempeños enumerados para 1º y 2º grado.

Medir longitudes de objetos con manos y pies.

Medir longitudes de objetos en centímetros mediante la regla graduada.


Estimar longitudes en centímetros.

Verificar mediante mediciones, estimaciones en cm.

Reconocer la equivalencia entre metros y centímetros.

Reconocer mediante la balanza graduada la equivalencia entre gramos y un kilogramo,medio y un cuarto.

Reconocer equivalencias entre cuartos, medios y kilogramos.

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Estimar pesos en gramos.

Verificar mediante mediciones, estimaciones en gramos.

Reconocer equivalencias entre cuartos, medios y litros.

Estimar capacidades en cuartos, medios y litros.

Verificar mediante mediciones, estimaciones en litros, cuartos y medios.

Hallar equivalencias entre minutos y segundos; entre minutos y horas; entre horas ydías, entre días y semanas; entre días y meses; entre semanas y meses. Siempre en refe-rencia a hechos cotidianos de la vida escolar, familiar y social de los alumnos.


NúmERO Y OPERACIONES





Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios, sobre la base del Anexo Resolu-ción CFE N° 342/18Identificar regularidades del sistema de numeración en contextos significativos y comprenderel valor posicional de las cifras para leer/ escribir y comparar números naturales de 4 ó más ci-fras.Resolver situaciones del campo aditivo (suma y resta) y del campo multiplicativo (multiplica-ciones y divisiones) con distintos significados.

lA PROPuESTA DIDáCTICA

lOS NúmEROS

En este primer ciclo, el trabajo con los números debe estar ligado, como en casi todas lascuestiones y contenidos, y capacidades de cualquier área de los diseños curriculares, a la ex-periencia cotidiana de los estudiantes.

Esto ocurrirá así desde el jardín de infantes tal como acontece desde esas edades en la vidacotidiana de la mayoría de los niños: en los calendarios, en los relojes, en los números de las

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casas o de las calles, en ascensores, colectivos, trenes, camisetas deportivas, talles de ropa, te-léfonos fijos y móviles, precios de las cosas, en los naipes, etc.

Otro portador de números con el que debe trabajarse es el dinero: relacionar los valores delas monedas y billetes con los números que van apareciendo en las secuencias didácticas co-rrespondientes a las distintas cantidades no solamente es necesario por razones prácticas dela vida sino por su utilidad “didáctica” como expresiones escritas de los números.

Los números que manejan los niños pequeños indican cantidades u orden. Por lo tanto sonnecesarias todas las actividades que impliquen contar objetos: compañeros o sillas o vasos oplatos por cada mesa, así como reconocer los números de los días en el calendario, de las horasen el reloj, de las páginas del libro (que implican una indicación de orden de los objetos nume-rados).

Estas últimas actividades llevarán a la presentación del orden de los números naturales em-pezando por la primera decena y luego por las sucesivas, trabajando con las nociones de si-guiente, anterior, mayor, menor, entre.

Todas las variantes del “juego de la oca” son muy apropiadas para desarrollar estas habilida-des.

Queda por trabajar con la lectura y escritura de números de dos cifras (y más a partir de 2°grado): el dominio de la composición y descomposición en unidades, decenas, cente-nas, etc. A partir de las agrupaciones de a diez y luego de a cien y así sucesi-

vamente es fundamental porque las características de decimal, posicionaly sumativa son indispensables para la comprensión del sistema de nu-

meración, base, por otra parte, de los algoritmos canónicos que per-mitirán la resolución de las operaciones aritméticas.

lAS OPERACIONES ARITméTICAS

El aprendizaje de las operaciones aritméticas abarca no solamente la adquisición de los “me-canismos” de resolución (lo que se suele priorizar casi con exclusividad en las propuestas tra-dicionales de enseñanza) sino también:

Su significado, es decir: para resolver qué tipo de situaciones sirve cada una de ellas.Sus propiedades. En el primer ciclo las que sirvan para ayudar a resolver algoritmos.Sus relaciones con las otras operaciones. En el primer ciclo, en función del punto siguiente.las formas de comprobación de la corrección de los resultados obtenidos.los nombres de sus componentes. En el primer ciclo, solamente en función de un lenguaje

claro del docente. la habilidad de estimación.la habilidad de calcular mentalmente.la resignificación en otros campos numéricos (propio del segundo ciclo).

En general, en las propuestas tradicionales de enseñanza, las operaciones se enseñancon esta secuencia:

Introducción del signo convencional que representa a la operación que se ha de in-troducir (+; -; x; :).

Presentación de la técnica operatoria que se enseñará. Ejemplo: en la multi-plicación, usar el conocimiento de los productos entre dígitos (“tablas de mul-

tiplicar”).Aplicación de la operación en cuestión para resolver situaciones problemáticas a resolver.En esta propuesta se piensa que el camino debe ser casi exactamente el inverso: empezar


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por situaciones que exijan recurrir a la operación que se co-mienza a trabajar para que los estudiantes comprendan paraqué sirve cada operación:

Suma (juntar, agregar y similares).

Resta (sacar, quitar; hallar la diferencia; averiguar lo que falta)

multiplicación

Situación de proporcionalidad entre dos espacios de medidas (¿Cuántas figuritas voy a tenersi compro 4 sobres de 3 figuritas cada uno?

Situación dentro de un mismo espacio con un operador escalar (Tengo 7 autitos. José tieneel triple ¿cuántos autitos tiene?)

Las dos primeras se pueden resolver por adiciones de sumandos repetidos.

Situación en que dos espacios de medida (faldas, blusas) se componen para hallar un tercerespacio (“combinaciones blusa-falta”) ¿Si tengo 3 blusas y dos faldas ¿cuántos conjuntos de“blusa-falda” puedo tener?

Para resolver este tipo de situaciones, habrá que formar los pares posibles.

División (repartir, hallar el factor que falta, restas sucesivas o“cuánto hay de algo en algo”)

En esta propuesta se piensa que el camino debe ser casi exacta-mente el inverso (al de la enseñanza de tipo tradicional): empezarpor situaciones que exijan recurrir a la operación que se co-mienza a trabajar para que los estudiantes comprendan paraqué sirve cada operación, qué sentido tiene, qué significado…

la problemática de los problemas (1)Los clásicos problemas de matemática de la escuela (las situaciones pro-

blemáticas con enunciado y pregunta) son solamente una parte del vasto mundo deproblemas de todo tipo que pueden presentarse en el colegio y fuera de él. Una definición ri-gurosa plantea que el problema debe poder ser entendido por los estudiantes, debe ser abor-dable con las herramientas que tienen, pero debe ser suficientemente “incómodo” como paragenerar la necesidad de nuevas herramientas cognitivas. Son esas situaciones en la que los es-tudiantes poseen saberes previos sobre la cuestión involucrada pero también algún descono-cimiento para poder resolverla. Si le preguntáramos a los lectores ¿cuánto es 4 X 5? No podríagenerarse ningún problema pues con los conocimientos disponibles la pregunta se responde“casi automáticamente” ya que no hay nada que se desconozca. Por lo contrario tampoco segeneraría problema alguno si la pregunta fuera sobre física nuclear – a menos que quien estéleyendo fuera profesor de Física - pues no habría conocimientos previos disponibles ni siquierapara tratar de encarar la resolución de la cuestión. Estas situaciones se caracterizan por su con-

(1)Este texto es una versión actualizada, con autorización de los autores, de la correspondiente al libro: FASCE y MARTIÑÁ: Cómo en-señar Matemática en la escuela primaria, Ed. El Ateneo, Capítulo 8, Bs. As., 1989.

“… el problemadebe poder ser

entendido por los estudian-tes, debe ser abordable

con las herramientas que tienen,pero debe ser suficientemente

“incómodo” comopara generar la necesidadde nuevas herramientas

cognitivas.”


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dición de sincréticas (la primera captación de los alumnos resulta confusa, glo-bal, indiscriminada) y se resuelven por sucesivos y entrelazados procesos

de análisis y síntesis.

“Los problemas de matemática” comparten esas mis-mas características: cuando un alumno lee por pri-

mera vez el enunciado, éste se le aparece comouna cuestión “gelatinosa”, “viscosa”, “opaca”

(ha dicho Enrique Pichon Riviere de lassituaciones iniciales disparadoras de aprendizaje) por resolver. Utilicemos un ejemplo: Un fru-tero compró 3 cajones de 10 kg de manzanas cada uno a $ 150 cada cajón. Si vendió todas lasmanzanas a $19,50 el kg, ¿Cuánto ganó?

Vemos, pues, que la situación problemática clásica se presenta como una totalidad que ge-neralmente se concentra en la pregunta, en este caso “¿cuánto ganó?”. Si queremos ayudar alalumno para que normalmente salga de ese primer momento de confusión, donde las partesse diluyen en el todo, debemos ejercitarlo a fin de que analice el enunciado, es decir, que lo di-vida en sus partes (I. un frutero compró 3 cajones de 10 kg c/u) y la resuelva (en el “primer paso”),y así sucesivamente con cada una de las otras en continuos análisis que, sin embargo, estaránintercalados por pasos de síntesis. Por ejemplo: después de hallar la solución del segundo paso:“los tres cajones le costaron $ 450, el niño deberá relacionar esto con el enunciado para pasara otro análisis: “ a cuánto vendió todos los kg”, etcétera; es decir que luego de cada paso debeconsiderar el resultado obtenido en función de la situación total para abordar una nueva cues-tión.

Algunos maestros podrán aducir que ciertos niños no efectúan este delicado proceso, sinoque resuelven el problema de un solo vistazo; en esos casos, tanto los análisis como las síntesisse llevan a cabo con mayor velocidad, pero eso no significa que la mente omita su realización.

¿Por qué deben hacerse problemas de matemática en la escuela primaria?Por la misma razón por la cual es preciso solucionar problemas en todas las materias: porque

todo aprendizaje comienza con una situación problemática y porque enseñar al niño aresolver situaciones nuevas debe ser uno de los objetivos fundamentales.

También se “hacen problemas” como aplicación de otros aprendizajes (ejemplo: mecanismosde las operaciones) y para verificar el grado de aprovechamiento. Ello conduce a lo que se hallamado “la tiranía de los problemas”, pues todo consiste en efectuar la mayor cantidad posiblede ellos para demostrar que el niño “sabe”.

Nosotros creemos que conviene resolvermuchos, pero insistimos en que no solo sonproblemas los que tienen “enunciados” a la ma-nera clásica; también es problemática toda si-tuación en que se requiere hallar un datodesconocido, y puesto que, según dijimos, elniño ha de construir– en lo posible- los conoci-mientos por sí mismo, todo aprendizaje deberáestar impregnado de situaciones problemáticasde las cuales, repetimos, “los clásicos problemas

“… no se deben “explicar” los problemassino exigir a los niños que seenfrenten con ellos e intentensolucionarlos …”

“… los niños … sabrán resolver“problemas” cuando todos los do-centes, desde el primer grado hastael último, desde el director hasta elportero, desde el profesor de edu-cación física hasta el de expresiónplástica, centren su trabajo en losprincipios didácticos expuestos.”


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con enunciado” son solo una parte de ellos.

¿Cómo hacer para que los alumnos aprendan a resolver “problemas”?Ya hemos anticipado algo: es menester enseñarles a seguir un proceso

de análisis y síntesis. Pero hay más, y aunque la respuesta parezca desalen-tadora (por exigente), debemos decir que los niños de una determinada escuelasabrán resolver “problemas” cuando todos los docentes, desde el primer grado hastael último, desde el director hasta el portero, desde el profesor de educación físicahasta el de expresión plástica, centren su trabajo en los principios didácticos ex-puestos.

Sin embargo, hemos de agregar que no podrán trabajar con eficiencia en este campo losalumnos que no hayan desarrollado cabalmente la lectura comprensiva, pues si no entiendenlo que dice el enunciado ¿cómo pueden resolver el problema?

Relacionado con este aspecto, resulta imprescindible destacar la necesidad de que la redac-ción sea sencilla, clara, correcta y enumere los hechos en la sucesión cronológica en que ocu-rrieron, porque, de lo contrario, estaremos agregando dificultades accesorias a las legítimasque de por sí tiene el problema.

Somos partidarios de que los problemas sean problemas, es decir, de que se elimine el “pro-blema tipo”. El empleo de este método presenta el inconveniente de que, una vez resuelto elprimero, los demás ya no ofrecen novedad alguna y solo requieren la aplicación del mecanismoaprendido.

Por eso creemos, además, que no se deben “explicar” los problemas sino exigir a los niñosque se enfrenten con ellos e intenten solucionarlos. Esta técnica de trabajo puede desarrollarsede manera tal que también sea una excelente oportunidad de enseñanza individualizada.

Por ejemplo: presentamos cinco problemas. (Señalamos la importancia de disponer de losenunciados impresos. Pensemos que, generalmente, los alumnos tardan más en copiar losenunciados que en hacer las soluciones, lo cual implica una pérdida de tiempo precioso).

Estos cinco problemas deberán ser similares, pero no iguales cambiando únicamente losdatos numéricos: además habrán de estar sutilmente graduados desde el más fácil hasta el másdifícil, y cada uno de ellos tendrá que presentar una nueva dificultad para que sea realmenteun problema.

Los alumnos intentarán resolverlos solos pues se supone que poseen los conocimientos bá-sicos para hacerlo.

Después de 10 ó 15 minutos la situación podría ser, probablemente, la siguiente: el 25% delos alumnos habrá resuelto correctamente 3 ó 4 problemas; el 50% habrá resuelto el primeroo el segundo y no podrá solucionar el que sigue, y el 25% no habrá podido terminar satisfac-toriamente ni siquiera el primero.

Entonces, el maestro puede reunir alrededor de su mesa o ante el pizarrón a los niños deeste último grupo con el fin deorientarlos (no decimos: “hacerles el problema”) para que hallenla solución correcta; luego hará lo mismo con el segundo grupo o con los grupos que hubiesentropezado con dificultades similares. Al finalizar la clase, algunos chicos habrán hecho cincoproblemas o más; otros, tres o cuatro; otros, uno o dos. No importa; cada uno habrá alcanzadola medida de sus posibilidades.

Se aconseja que los tres primeros problemas sean esos que suponemos que todos sabránsolucionar y que los otros exijan mayor profundización por parte de los más capaces.

Esta técnica ofrece grandes ventajas:Facilita que todos los niños se comprometan en la solución.Reduce los problemas que suelen generar los “desatentos” que se distraen durante la expli-


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cación del maestro.Achica las oportunidades de desorden, pues todos tienen trabajo para todo el tiempo.Brinda al maestro la posibilidad de orientar a los diferentes grupos o a algunos niños indivi-

dualmente, según las diversas necesidades y de hacer esta tarea con tranquilidad, pues el restode la clase trabaja.

Permite a cada alumno el máximo desarrollo de sus posibilidades (por esta razón carece deimportancia el hecho de que algunos no resuelvan la totalidad de los problemas planteados).

Algunos ejercicios ayudan a lograr flexibilidad y dinamismo en el abordaje de situacionesproblemáticas:

Dar las operaciones y pedir a los alumnos que redacten un enunciado para ellas.Formular preguntas para enunciados dados.Redactar enunciados para preguntas.Agregar datos que falten en los enunciados para poder contestar a la pregunta.Reconocer datos superfluos y eliminarlos.Hallar la “clave” que permitiría resolver problemas sin trabajar con datos numéricos. Por ejem-

plo: a cada alumno se le entrega un paquete de figuritas ¿Qué necesito saber para conocer eltotal de figuritas entregado?

Presentar problemas y solicitar solamente el tipo de operaciones que se requieren para so-lucionarlos.


PRImER GRADO

Reconocer la noción de número cardinal.

Reconocer el aspecto ordinal de los números.

Contar objetos hasta 100.

Reconocer la escritura de números hasta 100.

Componer y descomponer por unidades y decenas.

Escribir números hasta 100.

Dados dos o más números reconocer siguiente, anterior, mayor, menor, entre.

Reconocer las situaciones problemáticas concretas que se pueden resolver con adicionesque impliquen sumas no mayores de 100.

Reconocer las situaciones problemáticas concretas que se pueden resolver con sustrac-ciones que impliquen números no mayores de 100.

Resolver adiciones con sumas de números no mayores de 100.

1234567

8

9

10


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Resolver sustracciones con números no mayores de 100.

SEGuNDO GRADO

Reconocer la noción de número cardinal.

Reconocer el aspecto ordinal de los números.


Componer y descomponer por unidades, decenas y centenas.



Construir series (“escalas”) sobre la base de regularidades, sumando, restando, multipli-cando.

Descubrir el patrón con el que se han construido series regulares (“escalas”).





Reconocer las situaciones problemáticas concretas (los tres casos señalados anterior-mente en “La propuesta didáctica”) que se pueden resolver con multiplicaciones que im-pliquen factores dígitos.

Reconocer las situaciones problemáticas concretas (repartir y restas sucesivas) que sepueden resolver con divisiones que impliquen números no mayores de 100.

Resolver multiplicaciones en el que uno de los factores sea un dígito.

Resolver divisiones con divisor dígito.

TERCER GRADO


Componer y descomponer por unidades, decenas, centenas y millares.

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12131415161718

1920

212223

24

252627

2829


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Construir series (“escalas”) sobre la base de regularidades, sumando, restando, multipli-cando.

Descubrir el patrón con el que se han construido series regulares (“escalas”).





Reconocer las situaciones problemáticas concretas (los tres casos señalados anterior-mente en “La propuesta didáctica”) que se pueden resolver con multiplicaciones que im-pliquen factores dígitos.

Reconocer las situaciones problemáticas concretas (repartir y restas sucesivas, agregando“hallar el factor que falta” y “cuánto hay de algo en algo”) que se pueden resolver con di-visiones que impliquen números no mayores de 100.

Resolver multiplicaciones en el que uno de los factores sea un dígito.

Resolver divisiones con divisor dígito.


303132

3334

35363738

39

4041


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ÍndicePlan general

“INDICADORES DE PROGRESIÓN DE APRENDIZAJES PRIORITARIOS”

Geometría.

Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios………………………………… La propuesta didáctica…………………………………………………………………………Metas: lo que los alumnos deben saber hacer al finalizar cada grado…………...

Medida

Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios………………………………….. La propuesta didáctica………………………………………………………………Metas: lo que los alumnos deben saber hacer al finalizar cada grado………………

Número y operaciones

Indicadores de progresión de aprendizajes prioritarios…………………………………… La propuesta didáctica…………………………………………………………………Metas: lo que los alumnos deben saber hacer al finalizar cada grado………………

Estadística y probabilidadIndicadores de progresión de aprendizajes prioritarios…………………………………… La propuesta didáctica…………………………………………………………………………Metas: lo que los alumnos deben saber hacer al finalizar cada grado………………


hacer y pensar en matematica -...

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