guias de calculo

7/18/2019 Guias de Calculo

http://slidepdf.com/reader/full/guias-de-calculo 1/20

1.Determine y grafque el dominio de la unción:

2. Demuestre que

3. Determine que la unción es continua en el punto (0,0),

de no se as redefna la unción para que sea continua en ese punto.

9 xy 2

x 2 − y 2 =

9 x y 2

x 2 − y 2 0 ≤

9 x y 2

x 2 − y 2 ≤ 9 x f ( x , y ) = 9 xy 2

x 2 − y 2 = 9 x

lim( x , y )→(0,0)

9 x = 9 0 = 0 lim( x , y )→(0,0)

9 xy 2

x 2 − y 2 = 0

!. "alcular las primeras deri#adas parciales respecto a am$as #aria$les,una a la #e%, de las unciones:

a.

f x = 4 x 3 y 3 +16 xy f y = 3 x 4 y 2 + 8 x 2

$.

f x = 1

2 x ln(t 2 −1) f y = x

2t

t 2 −1

÷

c.

d.

a) f ( x , y ) = ln 16 − x 2 −16 y 2

( x , y ) ∈ R 16 − x 2 −16 y 2 > 0,− x 2 −16 y 2 ≥ −16

b) f ( x , y ) = ln(4 − y 2 − 4 x 2 )

( x , y ) ∈ R 4 x 2 + y 2

f ( x , y ) = 9 xy 2

x 2 − y 2

f ( x , y ) = x 4 y 3 + 8 x 2 y

f ( x , t ) = x ln(t 2 −1)

w(u, v ) = ev

u+ v 2

u(t , w) = tew

t



&. Determine la ecuación del plano tangente a la superfcie dada en elpunto especifco.

a. en

f x = y

x

f x (e, 2)=2

e

f y = ln x

f y (e, 2) = ln e=1

z − z 0 = f x ( x 0, y 0 )( x − x 0 ) + f y ( x 0, y 0 )( y − y 0 )

z − 2 = 2

e( x − e) + ( y − 2)

z = 2

e x + y − 2

'. Determine la ra%ón de cam$io de la unción

cuando la unción pasa del punto (1,1) al punto (0.&,1.&).

dz = f x ( x , y )dx + f y ( x , y )dy = δ z

δ x dx + δ z

δ y dy

z = x 2 − ( x + 2 y )2 + 9 y 2 = x 2 − ( x 2 + 4 xy + 4 y 2 )+ 9 y 2 = x 2 − x 2 − 4 xy − 4 y 2 + 9 y 2 = 5 y 2 − 4 x

δ z

δ x = −4 y

δ z

δ y =10 y − 4 x

∆ x = dx = −0.5 ∆ y = dy = 0.5

dz = −4(1)(−0.5) + (10(1) − 4(1))(0.5) = 2 + 3 = 5

∆ z = f (0.5,1.5) − f (1,1) = 7.25

. "alcule la deri#ada direccional dela unción en la

dirección de la recta en el punto (2,2).

Du f ( x , y ) = f x ( x , y )a+ f y ( x , y )b u= a, b = 1, 3

f x = 6 xy − 6 y 3 f y = 3 x 2 −18 xy 2 − 7

Du f (2,−2) = (6(2)(−2) − 6(−2)3

) + (3(2)2 −18(2)(−2)

2 − 7)3= 471

*. "alcule los puntos e+tremos de la unción y

clasiquelos.

z = y ln x (e1,2,2)

f ( x , y ) = x 2 − ( x + 2 y )2 + 9 y 2

f ( x , y ) = 3 x 2 y − 6 xy 3 − 7 y

y = 3 x

4 xy − x 2 − y 2 −14 x + 4 y +10



. Determine los e+tremos de y

clasiquelos.10. "alcular el rotacional y la di#ergencia de en

(2,2,1).

1. -ea " la elipse defnida por la intersección del cilindro y el

plano .

a) allar los puntos de la elipse que est/n mas aleados del plano

+y.$) Determinar la distancia entre esos puntos y el plano +y.ecuerde que determinar la distancia de un punto al plano +y

es lo mismo que determinar la altura del punto.

f ( x , y ) = 4 − x − 2 y

3 ∇f = λ ∇g g( x , y ) =1

f x = λ g x f y = λ g y g( x , y ) =1

− 1

3= 2 x λ

− 1

6λ = x

± 1

6 5

6

= x = ± 1

5

− 2

3= 2 y λ

− 1

3λ = y

± 1

3 5

6

= y = − 2

5

− 1

6λ

÷2

+ − 1

3λ

÷2

=1

1

36λ 2 + 1

9λ 2 = 1

5

36λ 2 = 1

λ 2 = 5

36

λ = 5

36= ± 5

6

z =4 + 1

5 − 2 − 25 ÷

3= 5 + 4

3≈ 2.07869

2. #aluar la integral do$le cam$iando el orden de integración.

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 s.a. 2 x − 2 y − z − 5 = 0

x 2 + y 2 =1

x + 2 y + 3 z = 4



3. #aluar

donde " es el peda%o de 4lice , , , .

2 xyzdx + x 2 zdy + x 2 ydz c x = cost y = sin t z = 2π t 0 ≤ t ≤ 2π

f ( x , y , z )dsc

∫ = f (a

b

∫ x (t ), y (t ), z (t )) dx

dt

÷2

+ dy

dt

÷2

+ dz

dt

÷2

dt

2 xy 2 dx c

∫ + x 2 zdy + x 2 ydz = 2(cost )(sint )2 dt + (cost )2(2π t )dt + (cost )2(sint )dt

0

2π

∫ = 2sin3(t )

3+ π

2(cos2 x +2 x sin x ×cost + x 2 )−

cos3 x

30

2π

= 2

3sin3(2π )+ π

2(cos2 (2π )+ 2(2π )sin(2π )cos(2π )+ (2π )2 )− cos

3(2π )

3

= π 2(1+ (2π )2 )− 1

3= π

2(1+ 4π 2 )− 1

3= π

2+ 2π 3 − 1

3= 63.25

!. -ea 5 el campo #ectorial

y " la cur#a defnida por la intersección de las superfcies,

(6rientación de " contraria a las manecillas del relo #ista desde arri$a).allar,

1

1+ x 4 dxdy

y 3

1∫ 0

1∫

2 xyzdx + x 2 zdy + x 2C

x = cos y = sin t z = 2π t 0 ≤ t ≤ 2π

C = Σ1 ∩ Σ2i

Σ1 : x 2 + y 2 + z 2 = 2,_(esfera)

Σ2 : x 2 + y 2 = z 2, ( z ≥ 0), _(medio _ cono)



&. -ea 7 la superfcie parametri%ada

, (u, v ) ∈ [0,2π )× (0,4)

a)allar la ecuación del plano tangente a 7 en el punto 8(1,0,1).$)allar el /rea de la superfcie 7.

'. #aluar donde " es la rontera de la región semianular D de laparte superior del plano que esta entre los crculos +29y21 y +29y2!

. "alcular el ;uo del campo #ectorial a tra#4s de la superfcie - cerraday acotada por las superfcies del para$oloide y el disco en el plano +y(%0): (6rientación de - acia uera)

δ g

δ x = −2

δ g

δ y = −2

F ×dsS1∫∫ = −P

δ g

δ x − Qδ g

δ y + R ÷∫∫ dA = − x (−2 x ) + y (−2 y ) + 4 − x 2

− y 2

D∫∫ dA

= 2 x 2 − 2 y 2 + 4 − x 2 − y 2( ) dA = x 2 − 3 y 2 + 4( ) dA = (r cosθ )2 − 3(r sinθ )2 + 4( ) rdrdθ 0

2

∫ 0

2π

∫ D

∫∫ D

∫∫

(−2r 3 + 4r ) dr dθ 0

2

∫ 0

2π

∫ = −2r 4

4+ 4

r 2

2

÷

0

2π

∫ 0

2

dθ = − 24

2+ 2(2 2 ) = 0



1. ncontrar las ecuaciones param4tricas y las simetras para la rectapara la recta que pasa por los puntos dados

a)81(3,1,1)82(3,2,')

r = r o + at

r = 3,1,−1 + 0,1,−5 t

x = 3 y =1+ t

z = −1− 5t

x − x o

a

= y − y o

b

= z − z o

c

x − 3 = y −1 = z +1

−5$)

83(1, 0,&)8!(!,3,3)

8o(1,0,&)

r = −1, 0 − 5 + 5,−3,−2 t

x =1+ 5t y = −3t

z = 5 − 2t

x − x oa

= y − y ob

= z − z oc

x +1

5= y

−3= z − 5

−2



2. ncuentra la ecuación del plano que pasa por el punto dado y que esparalelo al #ector normal que se especifca:a) (1,!,&) n<,1,!=$) (&,1,2) n<3,&,2=

a) a( x − x o)+ b( y − y o)+ c( z − z o)

7 x − 7 + y − 4 + 4 z − 20 = 0

7 x + y + 4 z − 31 = 0

7 x + y + 4 z = 31

$)3 x +15− 5 y + 5+ 2 z − 4 = 0

3 x + 5 y + 2 z +16 = 0

3 x − 5 y + 2 z = −16

3. ncuentre la ecuación del plano que pasa a tra#4s de los trespuntos:

a) (0,0,0), (1,1,1), (1,2,3)$) (1,1,1), (1,1,2)

a)

$)



!. ncuentre el punto en el que la recta dada intersecta al planoespecifcado

A) x =1+ t , y = 2t , z = 3t ; x + y + z =1

B) x =1+ 2t , y = −1, z = t ;2 x + y − z + 5 = 0

a)

1+ t ( ) + 2t +3t =1

1+6t =1

6t = 0t = 0

x = 1+ 0 = 0

y = 0

x = 0

P(1, 0,0)

$)

2 1+ 2t ( ) + −1( ) − t ( ) + 5 = 0

2 + 4t −1− t + 5 = 0

3t + 6 = 0

t = −2

x = 1+ 2(−2) = 3

y = −1

z = −2

P(3,−1,−2)

&. ncuentre los tra%os de la superfcie dada en los puntos +>, y>,%>, ?uego indique la superfcie y di$uala.

4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36

4 x 2 = 36

x 2 = 9

x = ±3

9 y 2 = 36

y 2 = 4

y = ±2

36 z 2 = 36

z 2 = 1

z = ±1



'. ncuentra el limite

limt →0

t ,cost , 2 → 0,1, 2

limt →0

1− cost

t , t 3, e

− 1

t 2

1−1

0= 0,t 3 = 0, e

−1

0 = 1

t (−sin t ) − cos t

t 2 , 3t 2, e

−1

0

0,0,1

. Determine el dominio y la deri#ada de la unción #ectorial dada

r (t ) = t , t 2, t 3

r '(t ) = 1, 2t , 3t 2

D = t ∈ R{ }

*. ncuentre el #ector r(t) en el punto, con el #alor param4trico t dado.

r (t ) = t 3, t 2 , t =1

r '(t ) = 3t 2, 2t

r '(t ) = 9t 4 + 4t 2

T (t ) = 3

13i + 2

13 j

r (t ) = (1+ t )i + t 2 j, t =1

r '(t ) = i + 2tj

r '(t ) = 3

T (t ) = 1

3i + 2

3 j



esol#er

t i , t 2 ˆ j, t 3 ( )0

1

∫ dt = t 2

2i

0

1

+ t 3

3ˆ j

0

1

+ t 4

4

0

1

= 1

2− 0

2

i + 1

3− 0

3

ˆ j + 1

4− 0

4

= 1

2i + 1

3ˆ j + 1

4

÷

(1+ t 2 )i + (4t 4 ) ˆ j + (t 2 −1) ( )1

2

∫ dt = t + t 3

3i

1

2

+ 4t 5

5ˆ j1

2

+ t 3

3− t

1

2

= 2 − 8

3−1+ 1

3

i + 128

5− 4

5

ˆ j + 8

3− 2 − 1

3−1

= 10

3i + 124

5ˆ j + 2

3

÷

10. ncuentre la longitud de las cur#as dadas

a)r (t ) = 2t ,3sint ,3cost

a≤ t ≤ b

$)r (t ) = t 2, 2t , lnt

1 ≤ t ≤ e

a)

S= (2t )2 + (3sin t )2 + (3cost )2 dt = 4t 2 + 9sin2 t + 9cos2 t dt =∫ a

b

∫ 4t 2 + 9(cos2 t + sin2 t ) dt a

b

∫

= 4t 2 + 9a

b

∫ dt = (2t + 3)a

b

∫ dt = 2tdt a

b

∫ + 3dt a

b

∫ = t 2 + 3t a

b

Ι = b2 − 3b− a2 + 3a= b2 − a2 + 3(a+ b)

$)

S= (t 2 )2 + (2t )2 + (ln t )2

1

e

∫ dt = t 4 + 4t 2 + ln2 t 1

e

∫ dt = t 3

3

+ t 2 + ln(t ) − t 1

e

Ι= e3

3+ e2 + eln e− e− 1

3+1+ ln(1)−1 = e3

3+ e2 − 1

3

11. eparametrice la cur#a con respecto a la longitud de la otra medidadesde el punto donde t0 en la dirección en la que se incrementa t.

x = et sin t

y = et

cost

dx

dt = et cost

dy

dt = −et sin t

! = (et cost )2 + (−et

sin t )2 dt = e2t cos

2 t + e2t sin t ∫ dt = e2t

(cos2 + sin

2 t ) dt 0

1

∫ 0

1

∫

= et dt = et ∫ 0

1

Ι = e0 − e=1− e



10. "alcule la longitud de las cur#as dadas.a)

s

t

2¿¿t

3sin ¿¿

3cos t ¿2

¿dt ¿¿√ ¿

∫a

b

¿

s

cos2

t +sin2t dt =¿∫

a

b

√ 4 t 2+9 dt =∫

a

b

(2 t +3)dt

4 t 2+9¿

∫a

b

¿

s ∫a

b

2 tdt =∫a

b

3 dt =t 2+3 t |a

b=b

2−3 b−a2+3 a=b

2−a2+3 (a+b )

$)

s ∫1

e

√ (t 2 )2+ (2t )2+ (ln t )2 dt =∫

1

e

√ t 4+4 t

2+ln2

t dt

s t

3

3+ t

2+ln t −t ¿1

e= e3

3 +e

2+e ln e – e− 1

3+1+ ln1−1

s e3

3 +e2−1

3

11. eparametrice la cur#a con respecto a la longitud de otra medida

desde el punto donde t0 en la dirección en la que se incrementa t.



a)

x=et sin t

dx

dt

=et cos t

y=et cos t

dy

dt =−e

t sin t

t

−et sin ¿¿¿2

¿t

cos2

t + sin2¿

¿¿ dt

e2t ¿

( et cos t )

2

+¿√ ¿

t =∫0

1

¿

12. Determine los #ectores @, A, B en el punto dado:

a) r (t )=⟨t 2

,2

3t

3,t ⟩ P(1,

2

3 , 1)

|r ´ (t )|=√ 4 t 2+4 t

4+1=√ (2t +1 )2❑=2 t +1

T (t )=2t , 2 t

2, 1

2t +1 =

2 t

2t +1i ,

2t 2

2t +1 j ,

1

2t +1k

T ' (t )=−4 e2

+2(2 t

2+1 )2 i+ 4 t

(2t +1 ) j− 4 t

(2t +1 )2 k

|T ' (t )|=√(

−4 e2+2

(2 t 2+1 )2 )

2

+( 4 t

(2 t +1 ) )2

+( 4 t

(2t +1 )2 )2



|T ' (t )|=√

16 t 4+16 t

2+4

(2 t 2+1)

4 =√

( 4 t 2+2 )

2

( 2t 2+1 )

4=

( 4 t 2+2 )

❑

(2 t 2+1 )

2

N (t )=

−4 e2+2

(2t 2

+1 )2 i+

4 t

(2 t +1 )

j− 4 t

(2 t +1 )2 k

( 4 t 2+2 )❑

(2 t 2+1 )

2

=−1 i , 4 t 4 t

2+2 j , −4 t

4 t 2+2

k

B (t )=| i j k

2t

(2 t +1 )2 t

2

(2 t +1 )1

(2 t +1 )

−1 4 t

(4 t 2

+2)−4 t

(4 t 2

+2 )|= −8 t

3−4 t

4 t 2

+2 (2t −1 ) i ,

8 t 2+1

(2 t +1 ) (4 t 2

+2 ) j ,

10t 2

(4 t 2

+2 ) (2 t +1 )2 k

P(1, 32 ,1)B (t )=

2

3i ,

364

640 j ,

81

64 k

N (t )=−i ,12

17 j ,− 2

3k

T (t )=2

3 i , 8

21 j ,1

3 k

13. ncuentre los #ectores tangente unitario y normal @(t) y A(t):

C)

r (t )= ⟨sin 4 t ,3 t ,cos4 t ⟩

r' ( t )=−4 cos4 t , 3,4sin4 t

cos24 t +sin2

4 t +9¿4¿

|r' (t )|=√ ¿



4 t

−4cos4 t ,3,4sin¿¿¿

T (t )= 1

5−4 cos4 t =¿

T ' (t )=

16

5 sin4 t , 0,

16

5 cos4 t

|T ' (t )|=√(

16

5 sin4 t )

2

+02+( 16

5 cos 4 t )

2

|T ' (t )|=√256

25(cos2

4 t + sin24 t )=

16

5

N (t )=

16

5 sin 4 t i+0 j+

16

5 cos 4 t k

16

5

=sin4 t i+cos4 t k

B ¿

r' ( t )=2 t , 2,

1

6

r' (t )=

√(2 t )2+22+(

1

6 )2

|r ' (t )|=√(2 t +1

t )2

=2 t +1

t

T (t )= 2t 4

2t 2+1

i , 2t

2t 2+1

j , 1

2 t 2+1

k

T '

(t )=2 t

2 (4 t )+(2 t 2+1 ) 4 t

(2 t 2

+1)2 ,

(2 t 2+1 ) (2 )−2t (4 t )

(2 t 2

+1 )2

|T ' (t )|=√(

−4 t

(2 t 2+1 )2 )

2

+(−4 t 2+2

(2t 2+1)2 )

2

+( −4 t

(2 t 2+1 )2 )

2



T ' (t )= 18t

2

(2 t 2+1 )

4 i+ 18t

4−16 t 2+4

(2t 2+1 )

4 j+ 16 t

4

(2t 2+1 )

4 k

N (t )=

−4 t

(2

t

2

+1

)

2 i ,− 4 t

2+2

(2

t

2

+1

)

2 j ,− 4 t

(2

t

2

+1

)

2 k

4 t 2+2

(2 t 2+1 )

2

N (t )= 4 t

4 t 2+2

i ,− j ,− 46

4 t 2+2

k

1!. dentifque la superfcie cuya ecuación se da:

a) z=r2

$) θ=0

c) ρ=3



1&. scri$a las ecuaciones en coordenadas cilndricas y en es4ricas.

a) x2

+ y2

+ z2

=16

r2cos

2θ+r

2sin

2θ+ z

2=16

r2 ( cos

2θ+sin

2θ )+ z

2=16

r2+ z

2=16

$) x+2 y+3 z=6

r cosθ+2 r sinθ+3 z=6

θ

cos θ+2sin ¿+3 z=6

r ¿

c) x2+ y

2=2 y

r2cos

2θ+r

2sin

2θ=2 rsinθ

θ

cos2θ+sin

2¿=2r sin θ

r2 ¿

r

2

=2

rsin

θ

sericas:

a) ρ2

sin2θ cos

2θ+ ρ

2sin

2θ sin

2θ+ ρ

2cos

2θ=16

ρ2sin

2θ (cos2 θ+sin2

θ)+ ρ2cos

2θ=16

ρ2 (cos2 θ+sin2

θ )=16 ; ρ2=16 ; ρ=4

$) x+2 y+3 z=6

θ cos θ+¿2 ρ sinθ cos θ+3 ρ cos θ=6

ρ sin¿

c) x2+ y

2=2 y

ρ2

sin2

θ cos2θ+ ρ

2sin

2θ sin

2θ=2 ρ sin θ sinθ



ρ2

sin2

θ=2 ρsin θ sin θ

1'. ncuentre el dominio y rango de la unción:

C) F ( x , y )= x+2 y−5

D x , y| x+2 y ≥−5

R { F ( x , y )| F ( x , y )∈ R }

B) 2

x+ y

D { x , y| x+ y ≥ 0 }

1. Descri$a las superfcies de ni#el de la unción:

E%F >',0,',*,10

a) f ( x , y , z )= x+3 y+5 z

z= x+3 y+5 z

−4 z= x+3 y

z= x+3 y

−4

k =0 ;0= x+3 y ;Si x=0 (0,0 ) ;Si y=0 (0,0 )

k =−6 ; 24= x+3 y ; Si x=0 → (0,8 ); Si y=0→ (24,0 )

k =6 ;−24= x+3 y ;Si x=0→ (0,−8 ) ;Si y=0→ (−24,0 )

k =8 ;−32= x+3 y ; Si x=0 →

(0,−

32

3

); Si y=0→ (−32,0 )

k =10 ;−40= x+3 y ; Si x=0 →(0,−40

3 ); Si y=0 → (−40,0 )

1.Di$ue el solido que descri$e las desigualdades:



a) r2≤ z ≤ 2−r

2; r=√ x2+ y

2

$) 0 ≤θ ≤

2 ;r ≤ z≤ 2

c) – 2

≤ θ ≤ 2

; 0 ≤θ ≤ 6

; 0≤ ρ ≤ sinθ

1*. Determine la segunda deri#ada parcial que se indica:

C) F ( x , y )= x2 y

2+ x√ y

f ( x )=2 xy+√ y ; f ( xx )=2 y

f ( y )= x2+

x

2√ y; f ( yy )=2 x+

1

2√ y;

f ( y )= x2+ x

2√ y; f ( xy )=2 x+ 1

2√ y;

B) F ( x , y )=sin ( x+ y )+cos ( x− y )

f ( x )= y cos ( x+ y )+ y sin ( x− y ); f ( xx )=− y2sin ( x+ y )− y

2cos ( x− y )

f ( y )= x cos ( x+ y )− x cos ( x− y ) ; f ( yy )=− x2

sin ( x+ y )− x2

cos ( x− y )

f ( xy )=− y2

sin ( x+ y )+cos ( x+ y )+ y2

+cos ( x− y )+ sin ( x− y )

f ( yx )= x2

sin ( x+ y )+cos ( x+ y )+ x2

sin ( x− y )+cos ( x− y )

1. "alcule las deri#adas parciales que se indican:

a) f ( x , y )= x2

y3−2 x

4 y ; fxxx

fx=2 x y3−8 x

3 y ; fxx=2 y

3−24 x2 y ; fxxx−48 xy

$) f ( x , y )=e x y

2

; fxxy

fx= y2

e x y

2

;fxx= y4

e x y

2

;fxxy= y4

e x y

2

+4 y3

e x y

2

c) f ( x , y )= x3 y

5fx (3,−1 )

fx (3,−1 )=3 x2 y

5=3 (3 )2 (−1 )5=−27



d) f ( x , y )= x e− y+3 y ;

! f

! x (3,3 )

! f

! x (3,3 )=e

− y=e−3

"ur#as de ni#el

f ( x , y , z )= x2− y

2; k −1,0,2,4

z= x2− y

2

k =−1 ;−1= x2 y

2:Si x=0→ (0,1 ); Si y=0→ (1,0 )

k =0 ; 0= x2 y

2: Si x=0 → (0,0 ) ;Si y=0 → (0,0 )

k =2; 2= x2 y2 : Si x=0→ (0,√ 2); Si y=0 →(√ 2 , 0)

l elipsoide 4 x2+2 y

2+ z2=16 cru%a el plano +2 en una elipse determina

las ecuaciones param4tricas para la recta tangente a esta elipse en el

punto (1,2,2) :

8 x+27 ! z

! x=0 ;

! z

! x=−4 x

z

8endiente! z

! x=−4

2 =−2

8(1,2,2)

z=−2 x+b ; b=4

z=−2 x+4 ; y=2

x= y ; y=2 ; z=4−2 t



n un estudio de penetración del rio se encontró que la temperatura en

el tiempo t (das) a una proundidad (t) T ( x ,t )=¿+T 1 e "xsin (#t − "x) donde

#= 2 305

y " es una constante positi#a.

"alcule!T

! x

e "xcos (#t − "x ) (−2 )+sin (#t − "x ) "e "

x

dT

dx =T ¿

!T

! x =T 1 e

"x

− " cos (#t − "x )+T 1 " e

"x

sin ( #t − "x )

$)

T 1 e "x

" cos (#t − "x ) ( # )+sin (#t − "x )

T 1e "x

#cos (#t − "x )

guias de calculo

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