Grethel Zurita Zapata 1 UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Curso:METODOS CUANTITATIVOS I Profesor:Carol Salazar T. Ayudante:Grethel Zurita Z. PRACTICO A.Plantee los siguientes problemas como un problema de P.L. y resuelva a travs del Mtodo Grfico cuando sea posible. 1.Unacooperativacravacasyovejas.Lacooperativatiene50casillasdelestablopara vacas y 200 para ovejas, adems de 72 acres de pasto. Para mantener una vaca se necesita un acre de pasto, mientras que la oveja necesita 0,2 acre. Lacooperativadisponehasta10.000horasdetrabajoporaoparaelcuidadode animales.Unavacarequierede150horasanualesdetrabajoyunaovejade25 horas. La utilidad anual es de $250.000 por vaca y $45.000 por oveja. La cooperativa desea determinar el nmero de vacas y ovejas para hacer mxima su utilidad. 2.Unaempresafabricadostiposdecinturones:AyB.EldetipoAesdemejor calidadqueeldetipoB.Lautilidadnetaesde$2.000paraeldetipoAy$1.500 para el de tipo B.EltiempodefabricacindeldetipoAesdosveceseldetipoB,ysitodoslos cinturones fuesen de tipo B, la empresa podra fabricar 1.000 por da. Ladisponibilidaddecueroessuficientepara800cinturonesporda(tipoAoB). Por ltimo, 400 hebillas de tipo A y 700 de tipo B estn disponibles cada da. Se desea maximizar la utilidad: plantee y resuelva. Grethel Zurita Zapata 2 3.Un envasador dispone de 150 libras de un producto A, 100 libras de un producto B y50librasdeun producto C. El envasador puede vender tres clases de mezclas de estosproductos:unamezclabarataconsistentedeun80%deAy20%deB;una mezclaintermediacon50%deA,30%deBy20%deC;yunamezclacaracon 20% de A, 50% de B y 30% de C. Si el paquete e 12 onzas de mezcla 1, 2 y 3 puede vendersea$0,90,$1,10y$1,30respectivamente,planteeelproblemadeP.L.que resuelve cuntos paquetes de cada tipo deber producir el envasador para maximizar su ingreso obtenido. Nota: 1 libra = 16 onzas 4.Unfabricantedemueblesdeseadeterminarcuantasmesasyescritoriosdebehacer con el objeto de optimizar el uso de sus recursos disponibles. Estos productos usan dos tipos de madera (pino y roble). Sepiden1.500piesdemaderaelaboradadelprimertipoy1.000piesdemadera elaborada del segundo tipo. Adems tiene 800 H-H disponibles para todo el trabajo y 2.000 clavos. Cada mesa y escritorio requiere respectivamente de 5 y 9 pies de madera del primer tipo, 2 y 3 pies de madera del segundo tipo, 3 y 5 H-H y, 10 y 40 clavos. Se desea maximizar el beneficio sabiendo que el beneficio unitario es de $1.200 por cada mesa y de $1.500 por cada escritorio. Plantee y resuelva. 5.Undietistarecomiendaaunpacienteunadietaqueapuntaalosrequerimientos diarios de protenas y vitamina C. La dieta est restringida al consumo de manzanas, pltanos y dtiles. Si una manzana cuesta 3 dlares y aporta 1 gr de protena y 2 mg de vitamina C, un pltanocuesta4dlaresyaporta2grdeprotenay2mgdevitaminaC,undtil cuesta 5 dlares y aporta 3 gr de protena y 1 mg de vitamina C; y si la dieta diaria requierealmenos5grdeprotenasyalmenos6mgdevitaminaC,determineel Grethel Zurita Zapata 3 nmerodeunidadesdiariasaconsumirdecadaunadelasfrutasdemodoqueel costo sea mnimo. 6.Unaindustriapodraproducirlavadoras,cocinasy/orefrigeradores.Cadaproducto debepasarporunaseccinelctricayunaseccindeChassis.Laslimitacionesen cuantoalasH-Hdisponiblesson44y30respectivamente.Lautilidadquerinde cada artefacto es de 360, 220 y 240 pesos respectivamente. Los requerimientos de manos de obra se resumen a continuacin (en H-H): TallerLavadorasCocinasRefrigeradores Elctrico Chassis 2,6 1,0 1,2 1,0 1,0 1,5 Se pretenden maximizar las utilidades. Resuelva. 7.Una fbrica produce tres tipos de vigas: pequeas, medianas y grandes. Estas vigas sepuedenproducirencualquieradelasmquinasA,ByC.Estasmquinas producen en una hora las siguientes cantidades: MAQUINAS VIGASABC Pequea Mediana Grande 300 250 200 600 400 350 800 700 600 Asumaquecadamquinapuedeoperar(aloms)50horasporsemana,yquelos costosdeoperacindecadamquina,porhora,son$30.000,$50.000y$80.000 respectivamente.Ademssupongaqueporsemana(alomenos)serequieren 10.000, 8.000 y 6.000 vigas de cada tipo respectivamente. Grethel Zurita Zapata 4 Formule el problema como un problema de P.L. 8.UnaempresaXYdisponedelossiguientesprocesosproductivosparafabricarun determinado bien: ProcesoProduccinHoras MquinaH-H 1 2 3 4 5 6 10 1 15 12 15 1 5 9 25 4 Laempresadisponedeunmximode10horasmquina,conuncostode$20por hora.Laempresapuedecontratarunmximode20H-Ha$30porhora.La produccin de dicho bien se puede vender en el mercado a $120 la unidad. a)Silaempresadeseamaximizarutilidades,planteeadecuadamenteelproblema como modelo de P.L. (funcin objetivo y restricciones). b) Si la empresa desea minimizar el costo deproduccin de 60 unidades, plantee el problema de P.L. (funcin objetivo y restricciones). 9.Un fabricante de aparatos de radios decide fabricar solamente dos tipos de aparatos. Unaparatonormalyotrodelujo,conmsaparatosyaccesorios,laltimapalabra delatcnica.Laventadeambosmodelosdejaunagananciade20y30dlares respectivamente. Laproduccintienelugarsobredoscintastransportadoras.Enunasefabricael modelonormal,msbarato;yenlaotraelmodelodelujo,msrecargado.La capacidad de las cintas es limitada. La de la primera es de 8 aparatos modelo normal por da y la de la segunda de 5 aparatos modelo de lujo por da. Lafbricacuentanicamentecon12hombres-da.Senecesitaunhombre-dapara fabricar un aparato de radio normal y dos para fabricar uno de lujo. Grethel Zurita Zapata 5 CuantosaparatosderadiosdecadamodelodebenIabricarsediariamentepara maximizar la ganancia total? 10.Una empresa que arma vehculos motorizados, la cual entrega 50 automviles y 45 camionetasalmes,decidefabricar,utilizandosusinstalaciones,unapiezade carrocera (X) de los automviles que arma y un tipo de mecanismo (Y) que utiliza parasuscamionetas.Dichosartculostienenuncostobastanteelevadoyse encuentrandisponiblesenelmercadoenformaconstante.Ambaspiezasson fabricadas mediante procesos que constan de dos etapas. LasprimerasoperacionesseefectanenlaseccinI.Eltiempounitariode produccindecarroceras(X)esdeunahorayeldelmecanismo(Y)esdedos horas.Eltiempototalquestaseccinpuededestinarasufabricacinesde100 horas al mes. LasoperacionesfinalesserealizanenlaseccinIIylostiemposunitariosde produccinparaXeYsonde2y1,5horasrespectivamente.Eltotaldehoras aprovechablesparalafabricacindeestosproductosenlaseccinIIesde121 horas. Estudiosrealizadosporlasempresashanpermitidoconcluirquela"contribucin unitaria" de X sera de $200, en tanto que la de Y es de $100.Los datos se resumen en la siguiente tabla: Artculo / SeccinIIICantidad MximaContribucin Unitaria X1250200 Y21,545100 Tiempo Disponible100121-- Determinar el nmero de piezas a fabricar de manera de maximizar las utilidades. Grethel Zurita Zapata 6 11.Unacompaadeseacomprartrestiposdemquinas:A,ByC.Lacantidadde fondosyelespacioasignadoaestainversinsonrespectivamenteUS$400.000y 1.500piescuadrados.Adems,elnmerodemquinasnodeberexcederde30, puesto que el nmero de empleados disponibles es limitado. La mquina A cuesta US$8.000 y ocupa 30 pies cuadrados. La mquina B cuesta US$13.000 y ocupa 60 pies cuadrados. La mquina C cuesta US$15.000 y ocupa 60 pies cuadrados. Si las mquinas A, B, y C procesan 70, 90 y 126 piezas por da respectivamente, se pidedeterminarlacantidaddemquinasacomprarconelobjetodeobtenerla mxima capacidad de procesamiento. 12.Unfabricantedeunproductoalimenticioloproduceentrestamaos:regular, especialyextra.Cadafrascoregularcontiene1unidaddeA,1unidaddeBy2 unidades de C; cada frasco especial contiene 3 unidades de A, 6 unidades de B y 9 unidadesdeC;cadafrascoextracontiene4unidadesdeA,6unidadesdeBy10 unidades de C. El fabricante tendr disponible para el prximo mes 960 unidades de A, 1.000 unidades de B y 1.500 unidades de C. El beneficio por cada frasco regular, especial y extra es de $10, $15 y $20 respectivamente. Plantear el problema que permite obtener la cantidad de frascos de cada tipo que se deben fabricar de tal forma de optimizar el beneficio total. 13.Unacompaafabricatrestiposdepiezasausarseenavionessupersnicos.Estas piezas se fabrican con platino y oro. Debido a la escasez de estos metales preciosos, elgobiernoregulalacantidadquepuedeserusadaporda.Losdatosrelevantes respecto a la oferta, requisitos y beneficios se resumen en la siguiente tabla: Grethel Zurita Zapata 7 Producto Platino(onzas por unidad) Oro(onzas por unidad) Beneficio(US$ por unidad) A B C 2 4 6 3 2 4 50 60 120 Cantidad de platino asignado: 160 onzas por da Cantidad de oro asignado: 120 onzas por da Sielobjetivoesmaximizarlosbeneficiosdentrodelasrestricciones gubernamentales,comodeberiadividirlaoIertadeplatinoyoroentrelos productos?,esdecir,cuantaspiezasdecadaproductodeberanproducirse diariamente? Cual es el beneIicio maximo? 14.Un fabricante de plsticos tiene en existencias en una de sus fbricas a lo ms 1.200 cajasdeenvolturatransparenteyaloms1.000cajasensusegundafbrica.El fabricante tiene ordenes para este producto por parte tres de diferentes detallistas, en cantidadesdeporlomenos1.000,700y500cajas,respectivamente.Loscostos unitariosdeenvo(endlaresporcaja)delasfbricasalosdetallistassonlos siguientes: Detallista 1Detallista 2Detallista 3 Fbrica 1 Fbrica 2 14 13 13 13 11 12 Plantear el problema como un modelo de P.L. para minimizar los costos. 15.Unaempresafabricayvendedostiposdebombashidrulicas:normalyextra grande.Elprocesodemanufacturaasociadoconlafabricacindelasbombas Grethel Zurita Zapata 8 implicatresactividades:ensamblado,pinturayprueba(controldecalidad).Los requerimientosderecursosparaensamble,pinturaypruebadelasbombasse muestran en la tabla dada a continuacin: Rendimientos (en horas) TipoTiempo de EnsambleTiempo de PintadoTiempo de Prueba Normal Extra Grande 3,6 4,8 1,6 1,8 0,6 0,6 Lacontribucinalasutilidadesporlaventadeunabombanormalesde$50,en tanto que la utilidad por la venta de una bomba extra grande es de $75.Existendisponiblesporsemana4800horasdeensamble,1980horasdetinturay 900horas de prueba. Las experiencias anteriores de venta sealan que la compaa esperavendercuandomenos300bombasnormalesy180delasbombasextra grande por semana. Alacompaalegustaradeterminarlacantidaddecadatipodebombaquedebe fabricarsemanalmenteconelobjetodemaximizarsusutilidades.Resuelvael problema. 16.UnaempresaproducedosartculosAyB.Cadaunodeestosartculosdebeser procesadoendosdepartamentos,concapacidades(enH-H)de100y200horas respectivamente.Elcostoporhoradelamanodeobraesde$200paraelprimer departamento y $ 50 para el segundo departamento. Losrequerimientosdehorasdetrabajoporcadaunidaddeproductosonlos siguientes: CostoProducto AProducto B Departamento 1 Departamento 2 200 150 4 2 3 8 Grethel Zurita Zapata 9 Un estudio de mercado indica que la demanda mxima es de 30 y 24 unidades para la produccin de A y B respectivamente. Una unidad de A produce una utilidad de $250 y una de B produce $200. Determine la cantidad a producir de cada artculo a fin de maximizar la utilidad. 17.Unaaerolneadebedecidiracercadelascantidadesdecombustiblequese comprarn a tres posibles proveedores. Los aviones de las aerolneas se reabastecen regularmente en los cuatro aeropuertos que se sirven. Los proveedores han indicado que pueden proporcionar las siguientes cantidades, en cualquieraeropuerto,enelprximomes: 250.000 litros el proveedor 1; 500.000 el proveedor 2 y; 600.000 el proveedor 3. Lacantidaddecombustiblequeserequiereenlosdiferentesaeropuertoses: 100.000litrosenelaeropuerto1;300.000enelaeropuerto2;200.000enel aeropuerto 3 y; 400.000 en el aeropuerto 4. Elcostototaldecadalitro,incluyendocostosdetransporte,hasidocotizadopor cadaproveedorparacadaaeropuertodeacuerdoalosdatosquesemuestranenla tabla siguiente: AeropuertoProveedor 1Proveedor 2Proveedor 3 1 2 3 4 12 10 8 11 9 11 11 13 10 14 13 9 Nuestroproblemaesdeterminarlascantidadesdecombustiblequesecomprarna cada proveedor en cada aeropuerto, de manera tal que se minimicen los costos. 18.Supongaqueenunadelasregionesunaempresafinancierapretendehacer inversionesenelcultivodenaranjas,limones,papayasymanzanas.Sepersiguen Grethel Zurita Zapata 10 dosobjetivos:reducireldesempleoruralyaumentarlasexportacionespara equilibrar la balanza de pagos de la nacin. Se sabe que la produccin promedio de cada rbol est dada por la siguiente tabla: TIPOProduccin Promedio Anual ARBOL (en unidades)(en kilogramos) Naranjo Limonero Papayo Manzano 180 190 300 80 30 30 50 20 El precio promedio en el mercado mundial a precios de 1991 fue de $30, $28, $100 y$40porkgdenaranja,limn,papayaymanzanarespectivamente.Existeuna extensinde250.000m2detierrapropiciaparaesoscultivos.Tcnicosde agriculturahandeterminadoquelassiguientesextensionesmnimassonnecesarias para el cultivo de esos productos: Tipo de ArbolNaranjoLimoneroPapayoManzano Extensin4 m2 5 m2 3 m2 6 m2 No existe problema de agua pues hay varios manantiales dentro de la propiedad. El costoporsembrarunrbolesde$250,$300,$500y$200porrboldenaranjo, limonero,papayoymanzanorespectivamente;estoscostosincluyencompradel rbol ms su cuidado y mantencin. Cada rbol requiere de cuidados equivalentes a 3,6;7,2;5,0y1,0hombresporaoporcadarboldenaranjo,limonero,papayoy manzano respectivamente. Laempresafinancierapretendehacerunainversinde20millonesdepesos, pensandoexportartodasuproduccin.Elgobiernohadelineadoqueesteproyecto emplee a lo menos 200 personas en forma continua. Cuantosarbolesdecadaespeciedeberansembrarseconobjetodemaximizarel valor de la futura exportacin anual? Grethel Zurita Zapata 11 19.La dietista del hospital general es responsable de la planeacin y administracin de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La dietista examina un caso de un pacientequeseharestringidoaunadietaespecialqueconstadedosfuentes alimenticias.Alpacientenoseleharestringidolacantidaddelosalimentosque puedeconsumir,sinembargo,sedebensatisfacerlossiguientesrequerimientos nutritivosmnimosporda:1.000unidadesdelnutrienteA,2.000unidadesdel nutriente B y 1.500 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia nmero uno contiene 100 unidades del nutriente A,400unidadesdelnutrienteBy200unidadesdelC;cadaonzadelafuente alimenticianmerodoscontiene200unidadesdelnutrienteA,250unidadesdel nutrienteBy200unidadesdelnutrienteC.Ambasfuentessonalgocostosas,la nmerounocuestaUS$6porlibra,ylanmerodoscuestaUS$8porlibra,por tanto, la dietista desea determinar la combinacin de fuente alimenticia que arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos. Nota: 1 libra = 16 onzas 20.Una fbrica de cerveza fabrica una cerveza muy popular; para mantener la calidad la compaa fabrica la cerveza en slo tres plantas en las que existen disponibles ojos deagua(Colorado,Minezota,Olimpia).Deestasplantasseenvalacervezapor caminacuatroalmacenesdedistribucinubicadosenlaparteoccidentaldelos E.E.U.U.(California,UTA,NuevoMxico,Nebraska).Debidoalosaumentosen lospreciosdelagasolinaydelcombustibledieselelgastodetransporteesun concepto importante de los costos. Losadministradoreshancomenzadoarealizarunestudioparadeterminarsies posible reducir los costos de transporte. Los gerentes de produccin de cada una de lastresfbricashanestimadolaproduccinmensualesperadaparasusrespectivas plantas.Sefabricarentotalenlasplantasunacantidadsuficientedecerveza para cargar300camiones.Losadministradoreshanasignadolaproduccintotalalos respectivosalmacenesexaminandodatosdemesesanteriores.Enlatablasiguiente Grethel Zurita Zapata 12 sepresentalainformacindeofertas(produccin)ydemanda(asignacin),junto con los costos de transporte por cada combinacin de oferta y demanda. Las unidades de oferta y demanda se expresan en camiones de cerveza y los costos en dlares por camin. El problema es determinar la cantidad de cerveza (en nmero decamiones)quedebeenviarsedecadaplantaacadaalmacnparaminimizarlos costos totales de transporte. ALMACENES DE DESTINOPRODUCCION FUENTE1234(oferta) Planta 1 Planta 2 Planta 3 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685 75 125 100 ASIGNACION (demanda)80657085300 21.Unaempresatienefacultaddefabricarenunamquinadada,trabajando45horas porsemana,tresproductosdiferentesP1,P2yP3.ElartculoP1dejaunautilidad netade4U.M.,P2unautilidadde12U.M.yP3unautilidadde3U.M.Los rendimientos por hora de trabajo de la mquina, para cada uno de los tres productos sonrespectivamente50,25y75unidades.Lasposiblesventasestnlimitadasa 1.000 unidades de P1, 500 de P2 y 1.500 de P3. Como repartir la produccion de modo de maximizar la utilidad de la empresa? Grethel Zurita Zapata 13 22.Unamueblerafabricatrestiposdemesas:A,ByC.Lascondicionesy caractersticas son las siguientes: H-H de trabajo requerido por modelo Departamento ABC H-H disponibles (miles) Carpintera Barnizado 4 1 7 3 10 40 6 4 Utilidad por Unidad121840- Plantee y resuelva el problema. Grethel Zurita Zapata 14 23.Mxz= 3 x1 + 2 x2

s/a2 x1 - 3 x23 - x1 +x2 5 x1, x2 0 24.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a2 x1 - 3 x23 x1 + x25 x1, x2 0 25.Mxz=2 x1 + x2 s/a x1 + 5 x210 x1 + 3 x26 2 x1 + 2 x28 x1, x2 0 26.Mx z=2 x1 + x2 s/a- x1 + x21

x1 + x22 0,5 x1 + x25 x1, x2 0 27.Min z=x1 + 2 x2 s/a3 x1 + 4 x26 x1 + 3 x2=3 2 x1+ x23 x1, x2 028.Mxz=2 x1 + 3 x2

s/a x1 + 2 x24 2 x1 + 3 x26 x1, x2 0 29.Mxz=- x1 + 2 x2 s/a x1 - x2-1 -0,5 x1 +x22 x1, x2 0 30.Mxz=-3 x1 + 2 x2 s/ax1 3 x1 - x20 x1, x2 0 31.Mxz=5 x1 - 2 x2

s/a2 x1-x2-2 x1 + 2 x2 5 x1, x2 0 32. Mxz=x1 + x2 s/a x1 -x2 0 3 x1 -x2 -3 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 15 33.Minz=3 x1 + 2 x2 s/a x1 + 3 x25 2 x1 + 4 x28 x1, x2 0 34.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a3 x1 + 5 x245 6 x1 + 4 x248 x1, x2 0 35.Mxz=x1 + 2 x2 s/ax1 - 2 x2-40 x1- x2-10 x1, x2 0 36.Minz=1,5 x1 + 2 x2

s/a2 x1 + 2 x2 8 2 x1 + 6 x212 x1, x2 0 37. Mxz=3 x1 + 7 x2 s/a x1 + 4 x220 2 x1+ x230 x1+ x2 8 x1, x2 0 38.Minz=10 x1 + 40 x2

s/ax1 2 x1 + x2 3 3 x2 2 x1, x2 0 39.Mxz=2 x1 + 5 x2

s/ax1 + x2 8 x2 6 - x1 - x2 -2 x1, x2 0 40.Mxz=80 x1 + 60 x2

s/ax1 + x2 =200 x1 50 x2 80 x1, x2 0 41.Mxz=15 x1 +10 x2

s/a2 x1+4 x2 4 - x1+4 x2 20 2 x1 -x2 14 7 x1 + 10x2 140 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 16 42.Minz=2 x1 + 3 x2

s/a x1 + x2 4 6 x1 + 2 x28 x1 + 5 x24 x1 3 x2 3 x1, x2 0 43.Mxz=2000 x1 + 1000 x2 s/ax1 / 800+ x2 / 10001 x1 / 1000 -x2 / 900 2 x1800 x2600 x1, x2 0 44. Minz=3 x1 + 2 x2

s/a3 x1+x2 0 x1- x2-4 2 x1 3 x1 +x22 - x2 8 x1, x2 0 45. Mxz=x1 + x2 s/ax1 + 2 x24 x21 x1, x2 0 46.Mxz=5 x1 + 3 x2 s/a3 x1 + 5 x215 5 x1 + 2 x210 x1, x2 0 47.Mxz=- x1 + 3 x2 s/ax1 - 2 x24 - x1+x23 x1, x2 0 48.Minz=- x1 - 3 x2 s/a2 x1 + 3 x26 - x1+x2 1 x1, x2 0 49.Minz=6 x1 + 8 x2 s/a3 x1+x2 4 5 x1 + 2 x2 7 x1, x2 0 50.Minz=- x1 - x2 s/a10 x1 - x2 -10 - x1 + x21 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 17 B. Resuelva a travs del Mtodo Smplex Matricial. 1.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a2 x1 -3 x2 3 - x1+ x2 5 x1, x20 2.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a2 x1-3 x2 3 x1+x2 5 x1, x20 3.Mxz=- x1 + 2 x2 s/a x1-x2-1 - 0,5 x1+x2 2 x1, x20 4.Minz=2 x1 + 3 x2 s/a x1 +2 x2 4 2 x1 +3 x2 6 x1, x20 5.Mxz=-3 x1 + 2 x s/a x1 3 x1- x2 0 x1, x20 6.Mxz=5 x1 -2 x2

s/a2 x1 -x2 -2 x1+ 2 x2 5 x1, x20 7.Mxz=x1 + x2 s/a x1 - x20 3 x1-x2 -3 x1, x20 8.Minz=3x1 + 2 x2 s/a x1 +3 x25 2 x1 +4 x2 8 x1, x20 9.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a3 x1 +5 x2 45 6 x1 +4 x2 48 x1, x20 10.Mxz=x1 + 2 x2 s/a x1-2 x2 - 40 x1- x2 - 10 x1, x20 Grethel Zurita Zapata 18 11.Minz=1,5 x1 + 2 x2 s/a 2 x1 + 2 x2 8 2 x1 + 6 x2 12 x1, x20 12.Mxz=x1 + x2 s/a x1 +2 x2 4 x2 1 x1, x20 13.Mzz=5 x1 + 3 x2 s/a3 x1 +5 x2 15 5 x1 + 2 x2 10 x1, x20 14.Mxz=- x1 + 3 x2 s/ax1-2 x2 4 - x1+x2 3 x1, x20 15.Minz=- x1 - 3 x2 s/a2 x1+3 x2 6 - x1+ x21 x1, x20 16.Minz=6 x1 + 8 x2 s/a3 x1 + x2 4 5 x1 + 2 x2 7 x1, x20 17.Minz=- x1 - x2 s/a0 x1 -x2-10 - x1 +x2 1 x1, x20 Grethel Zurita Zapata 19 C.Resuelva a travs del Mtodo Smplex Tabular. 1.Unaempresafabricadostiposdecinturones:AyB.EldetipoAesdemejor calidad que el de tipo B. La utilidad neta es de $2.000 para el de tipo A y de $1.500 para el de tipo B.EltiempodefabricacindeldetipoAesdosveceseldetipoB,ysitodoslos cinturones fuesen del tipo B, la empresa podra fabricar 1.000 por da. Ladisponibilidaddecueroessuficientepara800cinturones(tipoAoB).Por ltimo, 400 hebillas de tipo A y 700 de tipo B estn disponibles cada da. Resuelva el problema si se desea maximizar la utilidad. 2.Unacooperativacravacasyovejas.Lacooperativatiene50casillasdelestablo para vacas y 200 para ovejas, adems de 72 acres de pasto. Para mantener una vaca se necesita un acre de pasto, mientras que la oveja necesita 0,2 acre. Lacooperativadisponehasta10.000horasdetrabajoporaoparaelcuidadode animales.Unavacarequierede150horasanualesdetrabajoyunaovejade25 horas. La utilidad anual es de $ 250.000 por vaca y $ 45.000 por oveja. Lacooperativadeseadeterminarelnmerodevacasyovejasacriarparahacer mxima su utilidad. 3.Un envasador dispone de 150 libras de un producto A, 100 libras de un producto B y50librasdeunproducto C. El envasador puede vender tres clases de mezclas de estosproductos:unamezclabarataconsistentedeun80%deAy20%deB;una mezclaintermediacon50%deA,30%deBy20%deCy;unamezclacaracon 20% de A, 50% de B y 30% de C. Si el paquete de 12 onzas de mezcla 1, 2 y 3 se puede vender a $0,90, $1,10 y $1,30 respectivamente, resuelva el problema de P.L. quesealecuntospaquetesdecadatipodeberproducirelenvasadorpara maximizar el ingreso obtenido. Nota: 1 libra = 16 onzas Grethel Zurita Zapata 20 4.Unfabricantedemueblesdeseadeterminarcuantasmesasyescritoriosdebehacer con el objeto de optimizar el uso de sus recursos disponibles. Estos productos usan dos tipos de madera (pino y roble). Sepiden1.500piesdemaderaelaboradadelprimertipoy1.000piesdemadera elaborada del segundo tipo. Adems tiene 800 H-H disponibles para todo el trabajo y 2.000 clavos. Cada mesa y escritorio requiere respectivamente de 5 y 9 pies de madera del primer tipo, 2 y 3 pies de madera del segundo tipo, 3 y 5 H-H y, 10 y 40 clavos. Se desea maximizar el beneficio sabiendo que el beneficio unitario es de $1.200 por cada mesa y $1.500 por cada escritorio. Plantee y resuelva. 5.Unaindustriapodraproducirlavadoras,cocinasy/orefrigeradores.Cadaproducto debepasarporunaseccinelctricayunaseccindeChassis.Laslimitacionesen cuantoalasH-Hdisponiblesson44y30respectivamente.Lautilidadquerinde cada artefacto es de 360, 220 y 240 pesos respectivamente. Los requerimientos de manos de obra se resumen a continuacin (en H-H): TallerLavadorasCocinasRefrigeradores Elctrico Chassis 2,6 1,0 1,2 1,0 1,0 1,5 Se pretenden maximizar las utilidades. Resuelva. 6.UnaempresaXYdisponedelossiguientesprocesosproductivosparafabricarun determinado bien: Grethel Zurita Zapata 21 ProcesoProduccinHoras MquinaH-H 1 2 3 4 5 6 10 1 15 12 15 1 5 9 25 4 Laempresadisponedeunmximode10horasmquina,conuncostode$20por hora.Laempresapuedecontratarunmximode20H-Ha$30porhora.La produccin de dicho bien se puede vender en el mercado a $120 la unidad. Si la empresa desea maximizar utilidades, plantee adecuadamente el problema como modelo de P.L. (funcin objetivo y restricciones). 7.Un fabricante de aparatos de radios decide fabricar solamente dos tipos de aparatos. Unaparatonormalyotrodelujo,conmsaparatosyaccesorios,laltimapalabra delatcnica.Laventadeambosmodelosdejaunagananciade20y30dlares respectivamente. Laproduccintienelugarsobredoscintastransportadoras.Enunasefabricael modelonormal,msbarato;yenlaotraelmodelodelujo,msrecargado.La capacidad de las cintas es limitada. La de la primera es de 8 aparatos modelo normal por da y la de la segunda de 5 aparatos modelo de lujo por da. Lafbricacuentanicamentecon12hombres-da.Senecesitaunhombre-dapara fabricar un aparato de radio normal y dos para fabricar uno de lujo. Cuantosaparatosderadiosdecadamodelodebenfabricarsediariamentepara maximizar la ganancia total? 8.Una empresa que arma vehculos motorizados, la cual entrega 50 automviles y 45 camionetasalmes,decidefabricar,utilizandosusinstalaciones,unapiezade carrocera (X) de los automviles que arma y un tipo de mecanismo (Y) que utiliza parasuscamionetas.Dichosartculostienenuncostobastanteelevadoyse Grethel Zurita Zapata 22 encuentrandisponiblesenelmercadoenformaconstante.Ambaspiezasson fabricadas mediante procesos que constan de dos etapas. LasprimerasoperacionesseefectanenlaseccinI.Eltiempounitariode produccindecarroceras(X)esdeunahorayeldelmecanismo(Y)esdedos horas.Eltiempototalqueestaseccinpuededestinarasufabricacinesde100 horas al mes. LasoperacionesfinalesserealizanenlaseccinIIylostiemposunitariosde produccinparaXeYsonde2y1,5horasrespectivamente.Eltotaldehoras aprovechablesparalafabricacindeestosproductosenlaseccinIIesde121 horas. Estudiosrealizadosporlasempresashanpermitidoconcluirquela"contribucin unitaria" de X sera de $200, en tanto que la de Y es de $100.Los datos se resumen en la siguiente tabla: Artculo / SeccinIIICantidad MximaContribucin Unitaria X1250200 Y21,545100 Tiempo Disponible100121-- Determinar el nmero de piezas a fabricar de manera de maximizar las utilidades. 9.Unacompaadeseacomprartrestiposdemquinas:A,ByC.Lacantidadde fondosyelespacioasignadoaestainversinsonrespectivamenteUS$400.000y 1.500piescuadrados.Adems,elnmerodemquinasnodeberexcederde30, puesto que el nmero de empleados disponibles es limitado. La mquina A cuesta US$8.000 y ocupa 30 pies cuadrados. La mquina B cuesta US$13.000 y ocupa 60 pies cuadrados. La mquina C cuesta US$15.000 y ocupa 60 pies cuadrados. Grethel Zurita Zapata 23 Si las mquinas A, B, y C procesan 70, 90 y 126 piezas por da respectivamente, se pidedeterminarlacantidaddemquinasacomprarconelobjetodeobtenerla mxima capacidad de procesamiento. 10.Unfabricantedeunproductoalimenticioloproduceentrestamaos:regular, especialyextra.Cadafrascoregularcontiene1unidaddeA,1unidaddeBy2 unidades de C; cada frasco especial contiene 3 unidades de A, 6 unidades de B y 9 unidadesdeC;cadafrascoextracontiene4unidadesdeA,6unidadesdeBy10 unidades de C. El fabricante tendr disponible para el prximo mes 960 unidades de A, 1.000 unidades de B y 1.500 unidades de C. El beneficio por cada frasco regular, especial y extra es de $10, $15 y $20 respectivamente. Plantear el problema que permite obtener la cantidad de frascos de cada tipo que se deben fabricar de tal forma de optimizar el beneficio total. 11.Unacompaafabricatrestiposdepiezasausarseenavionessupersnicos.Estas piezas se fabrican con platino y oro. Debido a la escasez de estos metales preciosos, elgobiernoregulalacantidadquepuedeserusadaporda.Losdatosrelevantes respecto a la oferta, requisitos y beneficios se resumen en la siguiente tabla: Producto Platino(onzas por unidad) Oro(onzas por unidad) Beneficio(US$ por unidad) A B C 2 4 6 3 2 4 50 60 120 Cantidad de platino asignado: 160 onzas por da Cantidad de oro asignado: 120 onzas por da Grethel Zurita Zapata 24 Sielobjetivoesmaximizarlosbeneficiosdentrodelasrestricciones gubernamentales,comodeberiadividirlaoIertadeplatinoyoroentrelos productos?,esdecir,cuantaspiezasdecadaproductodeberianproducirse diariamente? Cual es el beneIicio maximo? 12.UnaempresaproducedosartculosAyB.Cadaunodeestosartculosdebeser procesadoendosdepartamentos,concapacidades(enH-H)de100y200horas respectivamente.Elcostoporhoradelamanodeobraesde$200paraelprimer departamento y $150 para el segundo departamento. Losrequerimientosdehorasdetrabajoporcadaunidaddeproductosonlos siguientes: CostoProducto AProducto B Departamento 1 Departamento 2 200 150 4 2 3 8 Un estudio de mercado indica que la demanda mxima es de 30 y 24 unidades para la produccin de A y B respectivamente. Una unidad de A produce una utilidad de $250 y una de B produce $ 200. Determine la cantidad a producir de cada artculo a fin de maximizar la utilidad. 13.Unaempresatienefacultaddefabricarenunamquinadada,trabajando45horas porsemana,tresproductosdiferentesP1,P2yP3.ElartculoP1dejaunautilidad netade4U.M.,P2unautilidadde12U.M.yP3unautilidadde3U.M.Los rendimientos por hora de trabajo de la mquina, para cada uno de los tres productos sonrespectivamente50,25y75unidades.Lasposiblesventasestnlimitadasa 1.000 unidades de P1, 500 de P2 y 1.500 de P3. Como repartir la produccion de modo de maximizar la utilidad de la empresa? Grethel Zurita Zapata 25 14.Unamueblerafabricatrestiposdemesas:A,ByC.Lascondicionesy caractersticas son las siguientes: H-H de trabajo requerido por modelo Departamento ABC H-H disponibles (miles) Carpintera Barnizado 4 1 7 3 10 40 6 4 Utilidad por Unidad121840- Plantee y resuelva el problema. 15.Mxz=x1 + 2 x2 + x3 s/a x1+ x2 +x312 2 x1+ x2-x3 6 - x1 + 3 x2 9 x1, x2, x3 0 16.Mxz = 4 x1 + 9,25 x2 + 11,5 x3 s/a 0,05x1+ 0,05x2 + 0,1x3 700 0,1x1 + 0,1x2 + 0,1x31.200 0,05x1 + 0,1x2 + 0,1x3 900 x1, x2, x3 0 17.Mxz=x1 + 0,8 x2 + 1,2 x3 s/ax1 +x2 + 2 x3 200 x1 + 2 x2 +x3 160 x1, x2, x3 0 18.Mxz=7 x1 + 3 x2 + 2 x3 s/a4 x1- x2 +2 x3 20 x1 + 2 x2+ x3 30 x1+ x2+3x3 8 x1, x2, x3 0 19.Mxz=- x1 + 3 x2 + 2 x3 s/a 3 x1 - 2 x2 + 2 x3 7 -2 x1 + 4 x212 -4 x1 + 3 x2 + 8 x310 x1, x2, x3 0 20.Mxz=x12 x2 + x3 s/ax1+ x2 +x3 3 2 x1+ x2-x3 6 - x1 + 3 x2 9 x1, x2, x3 0 Grethel Zurita Zapata 26 21.Mxz=50 x1 + 60 x2 + 120 x3 s/a2 x1 + 4 x2 + 6 x3 160 3 x1 + 2 x2 + 4 x3120 x1, x2, x3 0 22.Minz=x1 + x2- 4 x3 s/ax1 + x2 + 2 x3 9 x1 + x2 - x3 2 - x1 + x2+x3 4 x1, x2, x3 0 23.Mxz=100 x1 + 150 x2 s/a2 x1 + 2 x2 160 x1 + 2 x2 120 4 x1 + 2 x2 280 x1, x2 0 24.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a2 x1 - 3 x2 3 -x1 + x2 5 x1, x2 0 25.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a2 x1- 3 x2 3 x1+ x2 5 x1, x2 0 26.Mxz=2 x1 + x2 s/ax1 + 5 x2 10 x1 + 3 x2 6 2 x1 + 2 x2 8 x1, x2 0 27.Mxz=- 3 x1 + 2 x2 s/ax1 3 x1-x2 0 x1, x2 0 28.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a3 x1 + 5 x245 6 x1 + 4 x2 48 x1, x2 0 29.Mxz=3 x1 + 7 x2 s/a x1 + 4 x2 20 2 x1+ x2 30 x1 +x2 8 x1, x2 0 30.Mxz=- x1 + 2 x2 s/ax1-x2-1 - 0,5 x1+x2 2 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 27 Mxz=5 x12 x2 s/a2 x1 -x2 -2 x1 + 2 x2 5 x1, x2 0 31.Mxz=x1 + 2 x2 s/ax1-2 x2 -40 x1 - x2 -10 x1, x2 0 32.Mxz=2.000 x1 + 1.000 x2 s/ax1 / 800 +x2 / 1.0001 x1 / 1.000 -x2 / 900 2 x1 800 x2 600 x1, x2 0 33.Mxz=x1 + x2 s/ax1 + 2 x2 4 x2 1 x1, x2 0 34.Mxz=5 x1 + 3 x2 s/a3 x1 + 5 x2 15 5 x1 + 2 x2 10 x1, x2 0 35.Mxz=- x1 + 3 x2 s/ax1 + 2 x2 4 - x1+ x2 3 x1, x2 0 36.Minz=- x13 x2 s/a2 x1 + 3 x2 6 - x1+ x2 1 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 28 D. Resuelva a travs del Mtodo Smplex de Dos Fases. 1.Mxz=3 x1 - 4 x2 + 5 x3 s/ax1 + 2 x2 + 3 x35 2 x1 + 2 x2+x3 6 x1, x2, x3 0 2.Minz=2 x1 - 4 x2 + 5 x3 s/ax1 + 2 x2 + 3 x3 5 2 x1 +x2 +x38 x1, x2, x3 0 3.Mxz=2 x1 + x2 s/a-x1 + x2 1 x1 + x22 0,5 x1 + x25 x1, x2 0 4.Minz=x1 + 2 x2 s/a 3 x1 + 4 x2 6 x1 + 3 x2 =3 2 x1 + x2 3 x1, x2 0 5.Minz=2 x1 + 3 x2 s/ax1 + 2 x2 4 2 x1 + 3 x2 6 x1, x2 0 6.Minz=3 x1 + 2 x2 s/ax1 + 3 x2 5 2 x1 + 4 x2 8 x1, x2 0 7.Minz=1,5 x1 + 2 x2 s/a 2 x1 + 2 x2 8 2 x1 + 6 x2 12 x1, x2 0 8.Minz=10 x1 + 40 x2 s/a x1 2 x1+x2 3 3 x22 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 29 9.Mxz=2 x1 + 5 x2 s/ax1 +x2 8 x2 6 - x1 - 2 x2 -2 x1, x2 0 10.Mxz=80 x1 + 60 x2 s/a x1 +x2 =200 x1 50 x2 80 x1, x2 0 11.Mxz=15 x1 + 10 x2 s/a 2 x1 +4 x2 4 - x1 +4 x2 20 2 x1 -x2 14 7 x1 + 10 x2 140 x1, x2 0 12.Minz=2 x1 + 3 x2 s/ax1 + x2 4 6 x1 + 2 x2 8 x1 + 5 x2 4 x1 3 x2 3 x1, x2 0 13.Minz=3 x1 + 2 x2 s/a 3 x1 +x2 0 x1 -x2 -4 2 x1 3 x1 + x2 2 - x2-8 x1, x2 0 14.Minz=6 x1 + 8 x2 s/a 3 x1+ x2 4 5 x1 + 2 x2 7 x1, x2 0 15.Minz=x1 - 2 x s/ax1 +x2 2 - x1 +x2 1 x1, x2 0 16.Minz=- x1 - x2 s/a 10 x1 -x2 -10 - x1+x21 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 30 17.Mxz=x1 - x3 s/a 5 x1 + 3 x2+ x3=40 x1+x2+ 4 x3=10 3 x1+x2+ x3 =20 x1, x2, x3 0 18.Mxz=x1 - 2 x2 + 3 x3 s/ax1 + 2 x2- x3 4 -3 x1 + 2 x2 + 4 x3 6 x1, x2, x3 0 19.Mxz=x1 + 2 x2 + 3 x3 s/a x1 + 2 x2 + 2 x3 =4 3 x1 + 2 x2+ x3 8 x1, x2, x3 0 20.Mxz=20 x1 + 25 x2 + 50 x3 s/a x1 0,4 x2 0,35 x1 + x2 + x3= 1 x1, x2, x3 0 Grethel Zurita Zapata 31 21.Mxz=3 x1 + 4 x2 + x324.Mxz= 3 x1 + 4 x2 + x3 s/ax1+ x2 + x3= 9s/a x1+x2 + x3 =9 5 x1 + 2 x2 + x3=20 x1 + 5 x2 + 2 x3=20 x1, x2, x3 0 x1, x2, x3 0 22.Mxz=2 x1 + 4 x3 25.Minz=-2 x1 + 3 x2 + x3 s/a 2 x1 -x2+x3 =2 s/ax1 + 3 x2- x3 10 -2 x1 +x2 - 2 x3 63 x1+x2- 2 x3 5 x1, x2, x3 0 x1, x2, x3 0 23.Mxz=x1 + 2 x2 + 3 x326.Minz=2 x1 + 3 x2 + 4 x3 s/ax1 + 2 x2 + 2 x3=4s/ax1 + 2 x2 + x3 3 3 x1 + 2 x2+x3 42 x1 - x2 + 3 x34 x1, x2, x3 0x1, x2, x3 0

24.Minz=2 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3 x5 s/ax1+ x2 + 2 x3 + x4 + 3 x5 4 2 x1 - 2 x2 + 3 x3 +x4 + x5 3 x1, x2, x3, x4, x5 0 25.Unadietistarecomiendaaunpacienteunadietaqueapuntaalosrequerimientos diarios de protenas y vitamina C. La dieta est restringida al consumo de manzanas, pltanos y dtiles. Si una manzana cuesta 3 dlares y aporta 1 gr de protenas y 2 mgr de vitamina C, unpltanocuesta4dlaresyaporta2grdeprotenasy2mgrdevitaminaC,un dtil cuesta 5 dlares y aporta 3 gr de protenas y 1 mgr de vitamina C; y si la dieta diariarequierealmenos5grdeprotenasyalmenos6mgrdevitaminaC, Grethel Zurita Zapata 32 determineelnmerodeunidadesdiariasaconsumirdecadaunadelasfrutas,de modo que el costo sea mnimo. 26.Unaempresafabricayvendedostiposdebombashidrulicas:normalyextra grande.Elprocesodemanufacturaasociadoconlafabricacindelasbombas implicatresactividades:ensamblado,pinturayprueba(controldecalidad).Los requerimientosderecursosparaensamble,pinturaypruebadelasbombasse muestran en la tabla dada a continuacin: Rendimientos (en horas) TipoTiempo de EnsambleTiempo de pintadoTiempo de prueba Normal Extra Grande 3,6 4,8 1,6 1,8 0,6 0,6 Lacontribucinalasutilidadesporlaventadeunabombanormalesde$50,en tanto que la utilidad por la venta de una bomba extra grande es de $75.Existendisponiblesporsemana4800horasdeensamble,1980horasdetinturay 900horas de prueba. Las experiencias anteriores de venta sealan que la compaa esperavendercuandomenos300bombasnormalesy180delasbombasextra grande por semana. Alacompaalegustaradeterminarlacantidaddecadatipodebombaquedebe fabricarsemanalmenteconelobjetodemaximizarsusutilidades.Resuelvael problema. 27.Supongaqueenunadelasregionesunaempresafinancierapretendehacer inversionesenelcultivodenaranjas,limones,papayasymanzanas.Sepersiguen dosobjetivos:reducireldesempleoruralyaumentarlasexportacionespara equilibrar la balanza de pagos de la nacin. Se sabe que la produccin promedio de cada rbol est dada por la siguiente tabla: Grethel Zurita Zapata 33 TIPOProduccin Promedio Anual ARBOL (en unidades)(en kilogramos) Naranjo Limonero Papayo Manzano 180 190 300 80 30 30 50 20 El precio promedio en el mercado mundial a precios de 1991 fue de $30, $28, $100 y$40porkgdenaranja,limn,papayaymanzanarespectivamente.Existeuna extensinde250.000m2detierrapropiciaparaesoscultivos.Tcnicosde agriculturahandeterminadoquelassiguientesextensionesmnimassonnecesarias para el cultivo de esos productos: Tipo de ArbolNaranjoLimoneroPapayoManzano Extensin4 m2 5 m2 3 m2 6 m2 No existe problema de agua pues hay varios manantiales dentro de la propiedad. El costoporsembrarunrbolesde$250,$300,$500$200porrboldenaranjo, limonero,papayoymanzanorespectivamente;estoscostosincluyencompradel rbolmssucuidadoymantencin.Cada rbol requiere de cuidados equivalente a 3,6;7,2;5,0y1,0hombresporaoporcadarboldenaranjo,limonero,papayoy manzano respectivamente. Laempresafinancierapretendehacerunainversinde20millonesdepesos, pensandoexportartodasuproduccin.Elgobiernohadelineadoqueesteproyecto emplee a lo menos 200 personas en forma continua. Cuantosarbolesdecadaespeciedeberansembrarseconobjetodemaximizarel valor de la futura exportacin anual? Grethel Zurita Zapata 34 28.La dietista del hospital general es responsable de la planeacin y administracin de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La dietista examina un caso de un pacientequeseharestringidoaunadietaespecialqueconstadedosfuentes alimenticias.Alpacientenoseleharestringidolacantidaddelosalimentosque puedeconsumir,sinembargo,sedebensatisfacerlossiguientesrequerimientos nutritivosmnimosporda:1.000unidadesdelnutrienteA,2.000unidadesdel nutriente B y 1.500 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia nmero uno contiene 100 unidades del nutriente A,400unidadesdelnutrienteBy200unidadesdelC;cadaonzadelafuente alimenticianmerodoscontiene200unidadesdelnutrienteA,250unidadesdel nutrienteBy200unidadesdelnutrienteC.Ambasfuentessonalgocostosas,la nmerounocuestaUS$6porlibra,ylanmerodoscuestaUS$8porlibra,por tanto, la dietista desea determinar la combinacin de fuente alimenticia que arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos. Nota: 1 libra = 16 onzas Grethel Zurita Zapata 35 E.Transformar el problema primal dado en su respectivo problema dual. 1.Minz=2 x1 +3x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3 x5 s/a x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3 x54 2 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x53 x1, x2, x3, x4, x50 2.Minz=-2 x1 + 3 x2 + x3 s/a x1 + 3 x2 - x310 3 x1 + x2 - 2 x35 x1, x2, x30 3.Mxz=x1 + 2 x2 + 3 x3 s/a x1 + 2 x2 + 2 x3=4 3 x1 + 2 x2 4 x1, x2, x3 0 4.Mxz=3 x1 + 5 x2 - 4 x3 - x4 + 3 x5 - 7 x6 s/a5 x1 + 3 x2 - 8x4 + 5 x5=4 x2 + 3 x5 - 6 x6 8 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 8 x4 + 3 x5 - x6 -3 x1, x20 x3, x50 x4, x6n.r.s. Grethel Zurita Zapata 36 5.Minz=8 x1 + 9 x2 - 4 x3 + x5 s/a4 x1 + 10 x2 - 8 x4 + 5 x5 =5 25 x2 - 31 x3 + 8 x4 -4 x1 - x2 + 8 x3 - 5 x4 + 9 x5 8 x1 0 x 2, x50 x3, x4 n.r.s. Grethel Zurita Zapata 37 F.Obtenerlasolucindeldualoprimal,segncorresponda,slo utilizando propiedades de Holguras Complementarias. 1.Minz=2 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3 x5Y* = 5 s/a x1+x2 + 2 x3 + x4 + 3 x54w1* = 4/5 2 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4+x5 3w2* = 3/5 x1, x2, x3, x4, x50 2.Minz=x1 + 2 x2 + 3 x3 Y* = 28/5 s/a x1 + 2 x2- x3 4w1* = 1/5 -3 x1 + 2 x2 + 4 x3 6w2* = 4/5 x1, x2, x30 3.Mxz=3 x1 + 4 x2 Y* = 28/5 s/a x1 + 2 x2 2x1* = 8/5 2 x1 -x2 3x2* = 1/5 x1 + 3 x2 4 x1, x20 4.Mxz=2 x1 + x2 Z* = 8 s/a x1 + 5 x2 10x1* = 4 x1 + 3 x2 6x2* = 0 2 x1 + 2 x2 8 x1, x20 Grethel Zurita Zapata 38 5.Mxz=4 x1 + 7 x2 Y* = 42/5 s/a3 x1 + 5 x26w1* = 7/5 x1 + 2 x28w2* = 0 x1, x20 6.Minz=3 x1 + 4 x2 + 5 x3 Z* = 11 s/a x1 + 2 x2 + 3 x3 5w1* = 1 2 x1 + 2 x2+ x3 6w2* = 1 x1, x2, x30 Grethel Zurita Zapata 39 G. a) Resolver el primal y obtener la solucin del dual sin resolverlo. b) Resolver el dual y obtener la solucin del primal sin resolverlo. 1.Mxz=2 x1 + x2 s/a x1 + 5 x2 10 x1 + 3 x2 6 2 x1 + 2 x2 8 x1, x20 2.Minz=2 x1 + 3 x2 s/a x1 + 2 x24 2 x1 + 3 x26 x1, x20 3.Minz=x1 + 2 x2 + 3 x3 s/a x1 + 2 x2- x34 - x1 + 2 x2 + 4 x36 x1, x2, x30 4.Minz=6 x1 + 8 x2 s/a3 x1+ x24 5 x1 + 2 x2 7 x1, x20 5.Mxz=4 x1 + 3 x2 s/ax1 +2 x2 2 x1 - x2 3 2 x1 + 3 x2 5 x1 + x2 2 3 x1+ x2 3 x1, x20 6.Minz=2 x1 + 3 x2 + 4 x3 s/a x1 + 2 x2+x3 3 2 x1 - x2 + 3 x34 x1, x2, x30 7.Minz=3 x1 + 4 x2 + 5 x3 s/a x1 + 2 x2 + 3 x35 2 x1 + 2 x2+ x3 6 x1, x2, x30 8.Mxz=- x1 - 2 x2 - 3 x3 s/a x1 + 2 x2 - x3 4 -3 x1 + 2 x2 + 4 x36 x1, x2, x3 0 Grethel Zurita Zapata 40 9.Mxz= 3 x1 + 2 x2

s/a2 x1 - 3 x23 - x1 +x2 5 x1, x2 0 10. Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a2 x1 - 3 x23 x1 + x25 x1, x2 0 11.Mxz=3 x1 + 2 x2 s/a3 x1 + 5 x245 6 x1 + 4 x248 x1, x2 0 12.Mxz=x1 + 2 x2 s/ax1 - 2 x2-40 x1- x2-10 x1, x2 0 13.Minz=1,5 x1 + 2 x2

s/a2 x1 + 2 x2 8 2 x1 + 6 x212 x1, x2 0 14. Mxz=3 x1 + 7 x2 s/a x1 + 4 x220 2 x1+ x230 x1+ x2 8 x1, x2 0 15.Minz=10 x1 + 40 x2

s/ax1 2 x1 + x2 3 3 x2 2 x1, x2 0 16.Mxz=2000 x1 + 1000 x2 s/ax1 / 800+ x2 / 10001 x1 / 1000 -x2 / 900 2 x1800 x2600 x1, x2 0 17. Mxz=x1 + x2 s/ax1 + 2 x24 x21 x1, x2 0 Grethel Zurita Zapata 41 18.Mxz=5 x1 + 3 x2 s/a3 x1 + 5 x215 5 x1 + 2 x210 x1, x2 0 19.Mxz=x1 + 2 x2 + x3 s/a x1+ x2 +x312 2 x1+ x2-x3 6 - x1 + 3 x2 9 x1, x2, x3 0 20. Mxz = 4 x1 + 9,25 x2 + 11,5 x3 s/a 0,05x1+ 0,05x2 + 0,1x3 700 0,1x1 + 0,1x2 + 0,1x31.200 0,05x1 + 0,1x2 + 0,1x3 900 x1, x2, x3 0 21. Mxz=x1 + 0,8 x2 + 1,2 x3 s/ax1 +x2 + 2 x3 200 x1 + 2 x2 +x3 160 x1, x2, x3 0 22. Mxz=7 x1 + 3 x2 + 2 x3 s/a4 x1- x2 +2 x3 20 x1 + 2 x2+ x3 30 x1+ x2+ 3 x3 8 x1, x2, x3 0 23.Mxz=50 x1 + 60 x2 + 120 x3 s/a2 x1 + 4 x2 + 6 x3 160 3 x1 + 2 x2 + 4 x3120 x1, x2, x3 0 . Grethel Zurita Zapata 42 H. Resuelva a travs del Anlisis Post Optimal. 1.Dada la etapa intermedia del Smplex de un problema de mximo: cj 642000 ba1 a2 a3 a4 a5 a6 4 18 4 1 0 0 0 0 1 0 -1 2 1/3 -1/3 -1/3 0 1 0 -1/3 -2/3 4/3 a)Complete adecuadamente la tabla Smplex y determine la solucin ptima. b)Entre que lmites puede variar c2 sin que la solucin encontrada en a) cambie? c)Entre que limites puede variar b3 sin que la solucin dada en a) cambie? d)Entre que limites puede variar a21 sin que la solucin dada en a) cambie? e)Si se incorpora la restriccin:2x1 +x2 + x3 10 , encuentre la solucin ptima. 2.Para el modelo de P.L. : Mxz=7 x1 + 3 x2 + 2 x3 s/a4 x1 - x2 + 2 x320 x1 + 2 x2 + x330 x1 + x2 + 3 x38 x1, x2, x3 0 se conoce la siguiente tabla intermedia del Smplex: x1x2 x3 x4 x5 x6 b 10-1/31/30-1/34 00-16/31/31-7/318 0110/3-1/304/34 a)Completar adecuadamente la tabla Smplex y determinar la solucin ptima. Grethel Zurita Zapata 43 b)Para que valores de c2, la solucin dada en a) dejara de ser ptima? c)Si se incorpora la nueva restriccin:2x1 - x2 + x3 10, se mantiene la solucion determinadaena)?Encasonegativo,indiquelasmodificacionesquesera necesarioefectuarenlatablafinaldelSmplex,parapodercontinuarconlos clculos. d)Se propone una nueva actividad, tal que a7 = (2 3 2)t, Para que valores de c7 la solucinptimaencontradaena)cambia?.Encuentrelanuevasolucinsiesta actividad tuviera un costo igual a 9. e)Cuales el eIecto sobre la Iuncion objetivo de un incremento de 2 unidades en b1? 3.Dada la etapa intermedia del Smplex, para un problema de mximo: cj23100 ba1 a2 a3 a4 a5 1 2 1 0 0 1 1/2 1 4 -1 -1/2 2 a)Complete adecuadamente la tabla Smplex y determine la solucin ptima. b)Entre que limites puede variar c3 sin que la solucin encontrada en a) cambie? c)Entre que limites puede variar b2 sin que la solucin encontrada en a) cambie? d)Considerelanuevaactividada6=(23)tParaquevaloresdec6lasolucin encontrada en a) no cambia? e)Considere la nueva actividad a6 = (1 2)t Que ocurre si c6 = 20? En el caso que la solucin encontrada en a) cambie, encuentre la nueva solucin. f)Si se incorpora la restriccin: x1 + 2x2 - x3 5, determine la solucin ptima. g)Si se incorpora la restriccin: 3x1 + 2x2 - x3 5, determine la solucin ptima. 4.Dada la etapa intermedia del Smplex de un problema de mximo: Grethel Zurita Zapata 44 cj 10.81.200 a1 0,5 0,5 a2 0,5 1,5 a3 1 0 a4 0,5 -0,5 a5 0 1 b 100 60 a)Complete adecuadamente la tabla Smplex y determine la solucin ptima. b)Entre que limites puede variar c3 sin que la solucin dada en a) cambie? c)Entre que limites puede variar c2 sin que la solucin dada en a) cambie? d)Entre que limites puede variar b2 sin que la solucin encontrada en a) cambie? e)Considerelanuevaactividada6=(23)t.Paraquvaloresdec6lasolucin encontrada en a) no cambia? f)Siseincorporalarestriccinx1+2x2-x35,encuentrelanuevasolucin ptima. 5.La aplicacin del mtodo Smplex a un problema de P.L. de mximo dio origen a la siguiente tabla intermedia: 3 x1 -2 x2 -1 x3 0 x4 0 x5 0 x6 xBi 0 1 0 8/10 4/10 10 1 0 0 4/10 2/10 1 1/10 3/10 -5/10 0 0 1 4 5 11 a)Complete adecuadamente la tabla Smplex y termine de resolver el problema de P.L.,indicandoelvectordesolucinptimoyelvalorcorrespondientedela funcin objetivo. b)Siseincorporalanuevarestriccin:2x1+x2+3x318.Semantienela solucinptimadadaena)?Encasocontrarioefectelasmodificaciones necesarias en la nueva restriccin de modo de poder continuar los clculos. c)Siseconsideralanuevaactividada7=(123)t.Paraquevaloresdec7la solucin encontrada en a) se mantiene? Grethel Zurita Zapata 45 6.Considere el problema de P.L.: Mxz=4 x1 + 9,25 x2 + 11,5 x3 s/a0,05 x1 + 0,05 x2 + 0,10 x3700 0,10 x1 + 0,10 x2 + 0,10 x31200 0,05 x1 + 0,10 x2 + 0,10 x3900 x1, x2, x30 Cuya tabla final del mtodo Smplex es: zx1 x2 x3 x4 x5 x6 Z11,75457094.500 x3 x5 x2 0 0 0 0,5 0,05 0 20 0 -20 -10 -1 20 5.000 300 4.000 donde x4, x5 y x6 son variables de holgura. Siseincorporalanuevarestriccin:0,8x1+0,75x2+ 0,7x3 6.000. Determine la nueva solucin ptima. Grethel Zurita Zapata 46 I.Resuelva los siguientes problemas de Transporte. 1.Una empresa tiene cuatro fbricas A, B, C y D y cinco lugares de venta en Iquique, Santiago, Concepcin, Valdivia y Punta Arenas. Las demandas para el prximo mes son en centenas de miles: IquiqueSantiagoConcepcinValdiviaPunta Arenas 7520152540 Las producciones mensuales respectivas en las distintas fbricas son: ABCD 60758035 Establezca el plan de transporte de manera de minimizar el costo total, sabiendo que la matriz de costos unitarios es en milsimos: IquiqueSantiagoConcepcinValdiviaPunta Arenas A82717149 B8510210 C721181410 D2319121825 2.Unacompaatienetrescampospetrolferosprincipalesycincorefineras principales. La capacidad de las refineras est dada por: Grethel Zurita Zapata 47 REFINERIABARRILES/DIA A10.000 B12.000 C14.000 D16.000 E18.000 La produccin en los campos petrolferos es la siguiente: CAMPOBARRILES/DIA 120.000 225.000 325.000 El costo de transporte desde los campos petrolferos a las refineras se resume en la tabla siguiente: CAMPO/REF.ABCDE 14232333936

23836373236 33831403535 Determine el esquema ptimo de transporte. 3.Unacompaadearriendodeautostieneproblemasdedistribucin,debidoaque losacuerdosderentapermitenquelosautosseentreguenenlugaresdiferentesa aquellosdondeoriginalmentesearrendaron.Enestemomentohaytreslugares (orgenes)con15,13y3autosenexcesorespectivamente,ycuatrolugares (destinos) en los que se requieren 9, 6, 7 y 9 autos respectivamente. Grethel Zurita Zapata 48 Los costos unitarios de transporte entre los orgenes y destinos son: D1 D2 D3 D4 O1 45172130 O2 14181931 O3 0000 Resolver el problema de transporte a partir de la siguiente asignacin: D1 D2 D3 D4 O1 366 O2 67 O3 3 4.En tres centros productores se dispone respectivamente de 160, 140 y 120 unidades paraatenderlademandadetrescentrosconsumidoresquerequierenenelmismo perodo de 90, 210 y 120 unidades respectivamente. Los costos de transporte, por unidad, son: C1 C2 C3 P1 11109 P2 10119 P3 121110 Resuelva el problema de transporte. Grethel Zurita Zapata 49 5.Unaimportantesociedaddecristaleradisponedecuatrofbricas,enelterritorio francs, situado en Bthune, Lyon, Tours y Touluse. Lasociedaddisponeigualmentedecincolugaresdeventa:Paris,Marseille,Bordeaux, Lyon y Strasbourg. Lasdemandasparaelprximomesdeciertomodeloestandarson(encentenasde miles): Paris A Marseille B Bordeaux C Lyon D Strasbourg E 7520152540 Las producciones mensuales respectivas en las diferentes fbricas son: Bthune X Lyon Y Tours Z Touluse T 60758035 Establecer el plan de transporte de manera de minimizar el costo total, sabiendo que la matriz de costos unitarios de transporte es (en centcimos): ABCDE X82717149 Y8510210 Z721181410 T239121825 Grethel Zurita Zapata 50 6.Dada la matriz de transporte: O / D123ai 153330 234550 355620 bj 206020 Latablaindicaelcostodetransportecijporunidadentrelosorgenes(O)ylos destinos (D), la capacidad de los orgenes y los requerimientos de los destinos. Obtenga la solucin ptima para el problema de transporte propuesto. 7.Unafbricade cerveza fabrica una cerveza muy popular. Para mantener la calidad, lacompaafabricalacervezaenslotresplantasenlasqueexistendisponibles ojosdeagua(Colorado,MinezotayOlimpia).Deestasplantasseenvalacerveza por camin a cuatro almacenes de distribucin ubicados en la parte occidental de los E.E.U.U. (California, UTA, Nuevo Mxico y Nebraska). Debido a los aumentos en lospreciosdelagasolinaydelcombustiblediesel;elgastodetransporteesun concepto importante de los costos. Losadministradoreshancomenzadoarealizarunestudioparadeterminarsies posible reducir los costos de transporte. Los gerentes de produccin de cada una de lastresfbricashanestimadolaproduccinmensualesperadaparasusrespectivas plantas.Sefabricarentotalenlasplantasunacantidadsuficientedecerveza para cargar300camiones.Losadministradoreshanasignadolaproduccintotalalos respectivosalmacenesexaminandodatosdemesesanteriores.Enlatablasiguiente sepresentalainformacindeofertas(produccin)ydemanda(asignacin),junto con los costos de transporte para cada combinacin de oferta y demanda. Las unidades de oferta y demanda se expresan en camiones de cervezas y los costos en dlares por camin. El problema es determinar la cantidad de cerveza (en nmero Grethel Zurita Zapata 51 decamiones)quedebeenviarsedecadaplantaacadaalmacnparaminimizarlos costos totales de transporte. ALMACENES DE DESTINOPRODUCCION FUENTE1234(oferta) Planta 1 Planta 2 Planta 3 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685 75 125 100 ASIGNACION (demanda)80657085300 8.Unaaerolneadebedecidiracercadelascantidadesdecombustiblequese comprarn a tres posibles proveedores. Los aviones de las aerolneas se reabastecen regularmente en los cuatro aeropuertos que se sirven. Los proveedores han indicado que pueden proporcionar las siguientes cantidades en cualquieraeropuertoenelprximomes:250.000litroselproveedor1;500.000 litroselproveedor2;y250.000litroselproveedor3.Lacantidaddecombustible queserequiereenlosdiferentesaeropuertoses:100.000litrosenelaeropuerto1; 300.000 litros en el aeropuerto 2; 200.000 litros en el aeropuerto; y 400.000 litros en el aeropuerto 4. Elcostototaldecadalitro,incluyendocostosdetransporte,hasidocotizadopor cadaproveedorparacadaaeropuerto,deacuerdoalosdatosque se muestran en la tabla siguiente: AEROPUERTOCIA 1CIA 2CIA 3 1 2 3 4 12 10 8 11 9 11 11 13 10 14 13 9 Grethel Zurita Zapata 52 Nuestroproblemaesdeterminarlascantidadesdecombustiblequesecomprarna cada proveedor en cada aeropuerto, de manera tal que se minimicen los costos. 9.Unacompaatienetrescampospetrolferosprincipalescuatrorefineras regionales. La capacidad de las refineras es de 10, 12, 24 y 14 mil barriles diarios, respectivamente. La produccin en los campos petrolferos alcanza a 20, 26 y 14 mil barriles diarios. El costo de transporte desde los campos petrolferos a las refineras se resume en la siguiente tabla (en $ por barril): CAMPO1234 130354038 240384035 335403636 Determinesilasolucinsiguienteesptima.Sinoloesdeterminelasolucin ptima a partir de ella: CAMPO1234 168 2818 3104 Grethel Zurita Zapata 53 10.Para un problema de transporte se dispone de la siguiente informacin: D O 123456ai 19 129 5 6910 27 3 3 7 1 755 2 36 1 5 1 911311 46 3 8112 2 2 4 10 bj donde : cij Verifique si la solucin propuesta es ptima, en caso xij negativo encuentre la solucin ptima. 11.Para un problema de transporte se tiene la siguiente informacin: D O 1234Disponibilidades 19 2 89 8 710 273 4 7 4 5 4 12 36 6 5 2 948 Requerimientos86124 donde: cijVerifique si la solucin propuesta es ptima. En caso xijnegativo encuentre la solucin ptima. Grethel Zurita Zapata 54 12.Unacompaatienetrescampospetrolferosprincipalesycuatrorefineras regionales. La capacidad de las refineras es de 10, 12, 24 y 14 mil barriles diarios, respectivamente. La produccin en los campos petrolferos alcanza a 20, 26 y 14 mil barrilesdiarios,respectivamente.Elcostodetransportedesdeloscampos petrolferos a las refineras se resume en la siguiente tabla (en $ por barril): CAMPO / REF.1234 13,03,54,03,8 24,03,83,03,5 33,54,03,63,6 Verifique si la siguiente solucin es ptima. En caso negativo determine la solucin ptima. CAMPO / REF.1234 1614 2818 3104 13.Dada la matriz de transporte: O / D123ai 153340 234540 355620 bj 202060 Latablaindicaelcostodetransportecijporunidadentrelosorgenes(O)ylos destinos (D), la capacidad de los orgenes y los requerimientos de los destinos. Obtenga la solucin ptima para el problema de transporte propuesto. Grethel Zurita Zapata 55 J.Resuelva los siguientes problemas de Asignacin. 1.En un terreno cuatro contratistas diferentes 1, 2, 3 y 4 se proponen construir cuatro edificiosdiferentesA,B,CyD;unocadauno.Cadacontratistaharemitido propuestas para la construccin de los cuatro edificios de la siguiente forma: 1234 A48485064 B56606068 C96949085 D46446646 Resuelva el problema de asignacin para minimizar el costo total. 2.Unproblemadeasignacindetrabajos(T)amquinas(M)contemplalasiguiente matriz de utilidades: M1 M2 M3 M4 T1 3,83,04,03,0 T2 2,62,23,02,6 T3 4,23,64,04,0 T4 -1,01,42,0-2,0 Usando el mtodo Hngaro, determine la asignacin ptima. Grethel Zurita Zapata 56 3.Un taller debe decidir la asignacin de cuatro mquinas (1, 2, 3 y 4). La experiencia hapermitidocomprobarqueelrendimientodecadaoperario(A,B,CyD)es diferente. La eficiencia medida en nmero de unidades producidas, se resume en la estatabla: 1234 A20404010 B10203040 C40602040 D40601030 UsandoelmtodoHngaro,determinelaasignacindeoperariosamquinasque maximice el nmero total de unidades producidas. 4.Unproblemadeasignacindetareas(T)amquinas(M)contemplalasiguiente matriz de costos: M1 M2 M3 M4 M5 T1 23465 T2 77454 T3 35676 T4 46564 T5 45466 Usando el mtodo Hngaro, encuentre la asignacin ptima. Grethel Zurita Zapata 57 5.Losconjuntosdemejoramientosdecaminosdeciertaciudadtienentresproyectos diferentesdeconstruccindecaminosqueseaprobaronporlaltimareunin. Ahoralajuntatieneelproblemadedeterminarqucontratistasllevarnacabolos proyectos. Se buscaron cotizaciones para los proyectos entre los contratistas locales ytresdeellospresentaronlascotizaciones(vertabla).Lascantidadesylas cotizacionesseexpresanendecenasdemillonesdedlares.Elproblemaes determinarcmoasignanlosproyectosparaminimizarloscostostotalesdetodos ellos. Se asume que a cada contratista se le asignar un solo proyecto. Camino 1Camino 2Camino 3 Contratista 1283236 Contratista 2362830 Contratista 3383440 6.Dada la siguiente matriz de costos, obtenga la asignacin ptima. 1234 A48485044 B56606068 C96949085 D42445446 Grethel Zurita Zapata 58 7.Dada la siguiente matriz de utilidades, obtenga la asignacin ptima. 1234 A48485044 B56606068 C96949085 D42445446