guia3_algebra lineal_con aplicaciones (1)
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1. PREREQUISITOS:
Los temas necesarios para esta unidad son:
Geometría Analítica.
Solución de triángulos.
Cálculo de determinantes por cofactores.
2. MATERIAL NECESARIO IMPRESCINDIBLE:
GROSSMAN, Stanley, Algebra Lineal, 7ma Edición. México: Mc Graw Hill, 2012. 742 p.
9786071507600
KOLMAN, Bernard y HILL, David Algebra Lineal: Fundamentos y aplicaciones. Primera
edición. México: Pearson Educación, México 2013. 544 p. 9789586992268
Howard Anton. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México, 1986.
Calculadora científica con funciones trigonométricas
Regla.
METODOLOGÍA:
1. El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía.
2. Los estudiantes organizan equipos de hasta 2 estudiantes para resolver la guía propuesta
3. ACTIVIDADES:
Se pone a disposición del estudiante esta primera guía de trabajo en la cual se proponen preguntas orientadoras y problemas que ayuden a entender y profundizar los conceptos desarrollados en la clase de teoría semanal. Como sólo se aprende haciendo, admitiendo
INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
GUÍA DE ESTUDIO
Nombre de la Asignatura : ÁLGEBRA LINEAL Código : 1524
Unidad 3: Vectores en R2 y R3
Guía No. 3/4 Tiempo estimado para el desarrollo de la guía : 5 horas
Autor de la Guía : ICFM Revisado por: ICFM
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Que el estudiante logre :
1. Resolver problemas simples en geometría usando vectores 2. Resolver problemas simples usando forma de componentes (por ejemplo en
mecánica) 3. Definir el producto escalar de dos vectores y usarlo en una simple aplicación. 4. Comprender la interpretación geométrica del producto escalar 5. Comprender la interpretación geométrica del vector producto 6. Definir el vector producto de dos vectores y usarlo en una simple aplicación
Comprender la interpretación geométrica del triple producto escalar
2
errores, corrigiendo actitudes y creencias, el protagonista principal en el proceso de aprendizaje es el estudiante, el docente acompaña, orienta, coordina las actividades de estudio que son fundamentalmente tres:
Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en las secciones indicadas del texto.
Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados.
Análisis crítico de los ejemplos.
3.1. ACTIVIDADES PREVIAS GUIA 3 (extraclase).
AP1. Grafique el sistema de coordenadas rectangular y ubique en el los puntos: A (1,4), B (-3,2), C (-1,-5), D (4.-3), E (0,6), F (4,0)
AP3. Halle la distancia entre los puntos: A (1,4) y B (-3,2),
AP4. Halle el punto medio del segmento AB, si A (1,4) y B (-3,2), AP5. Dado el siguiente triángulo rectángulo, defina las seis funciones trigonométricas del ángulo A.
3A
B
C
2
AP6. Hallar los elementos restantes de un triángulo ABC , dados 80A ,
20B y cmb 7
.
AP7. Un techo inclinado forma un ángulo de 35 grados con la horizontal y mide 28 pies desde la base hasta la punta. Una antena de televisión de 16 pies de altura se pegará a la punta del techo, asegurada por un cable desde la punta de la antena hasta el punto más cercano de la base del techo. Encuentre el largo del cable que se necesita.
AP8. Evalúe el determinante de la matriz A usando el método de cofactores.
721
342
082
A
VECTORES
2.1. Escalares y Vectores
3
2.1.1. ESCALARES
Algunas magnitudes físicas se indican mediante un número acompañado de su unidad, por
ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad,... Estas magnitudes reciben el nombre
de escalares.
2.1.2. VECTORES
Hay magnitudes físicas que representan una dirección y que para ser descritas de forma
completa es necesario especificar algo más que una simple cantidad. Como por ejemplo de estas
magnitudes tenemos la velocidad, la aceleración…
2.1.2.1. Definición de vector.- Un vector es todo segmento de recta dirigido. Cada vector tiene
las siguientes características:
Origen.- Es el punto de aplicación o punto exacto donde actúa el vector.
Módulo.- Es la longitud o tamaño del vector. Para calcularlo es necesario conocer el
punto inicial y el punto final del vector.
Dirección.- Esta dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido.- Se indica con una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando
hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Figura 2.1 Vector
Los vectores se representan mediante letras con una flechita en su parte superior: wrv
,, en
algunos textos, en los que no se dispone de la posibilidad tipográfica de las flechitas, se utilizan
A
B
4
letras en negrita para indicar que es un vector. Ejemplo: r, B, V, W.
2.1.2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
B Punto final
A Punto inicial
AB
Figura 2.2 Representación gráfica de un vector
2.1.2.3. TIPOS DE VECTORES
EQUIVALENTES: Vectores con igual longitud y dirección, sin importar su ubicación.
u⃗ = v⃗
Figura 2.3 vectores equivalentes
VECTOR CERO: Vector de longitud cero, no tiene dirección natural, se le puede asignar
cualquiera según el problema a tratar.
VECTORES NEGATIVOS / OPUESTOS: Los vectores opuestos tienen el mismo módulo,
dirección y distinto sentido.
A
B
C
5
Figura 2.4 vectores opuestos
Vector de posición.- El vector 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama
vector de posición del punto P.
O
P
x
y
Figura 2.5 vector posición
2.2. Suma y resta de vectores.
2.2.1. SUMA GEOMÉTRICA
PROCESO 1: Se colocan los puntos iniciales juntos, tomando estos vectores como lados
se dibuja un paralelogramo, el resultado de la suma es el vector sobre la diagonal.
Figura 2.6 suma de vectores (paralelogramo)
PROCESO 2: Trazar los vectores en forma anidada, en el punto final de uno se coloca el
punto inicial del otro, el vector resultante va desde el primer punto inicial hasta el
último punto final.
Figura 2.7 suma de vectores (triángulo)
6
2.2.2. SUMA ALGEBRAICA
Para sumar dos o más vectores se suman las componentes correspondientes.
Dados los vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗� determinar la suma:
Figura 2.8 suma de vectores
𝑎 = �⃗� + �⃗⃗�
𝑎 =< 2,−2 > +< −2,−1 >
𝑎 =< 2 − 2 , −2 − 1 > 𝑎 =< 0,−3 >
El vector a también puede escribirse como:
3-
0= a
Figura 2.9 suma de vectores
7
2.2.3. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES
Conmutativa abba
Asociativa )()( cbacba
Elemento neutro o vector 0 aaa
00
Elemento simétrico u opuesto (-a) 0)()( aaaa
2.2.4. RESTA GEOMÉTRICA
PROCESO 1: se cambia la resta por una suma con el vector opuesto del vector
sustraendo.
𝑣 − �⃗� = 𝑣 + (−�⃗� )
Figura 2.10 Resta de vectores
PROCESO 2: Se colocan los vectores con los puntos iniciales iguales, el vector diferencia
va desde el extremo final del sustraendo hasta el extremo final del minuendo.
Figura 2.12 Resta de vectores
2.2.5. RESTA ALGEBRAICA
Las componentes del vector resultante son la resta de las componentes correspondientes de los
vectores.
8
𝑒 = �⃗� − �⃗⃗�
𝑎 =< 2 , −3 > +< −3,−1 >
𝑎 =< 2 − (−3),−3 − (−1) >
𝑎 =< 5,−2 >
Figura 2.13 Resta de vectores
2.3. Multiplicación de un escalar por un vector
2.3.1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
Consideremos el vector AAA
2 Consideremos también el vector
AAAA
3)()()(
Podemos decir que cuando multiplicamos un escalar m por un vector A
, el resultado Am
es un
vector que tiene la misma dirección que A
, el mismo sentido si m ˃ 0 y sentido contrario si m ˂
0, y un módulo que es |m| veces mayor:
Figura 2.14 Multiplicación de un escalar por un vector: A) escalar positivo, B) escalar negativo
Algo similar ocurre si dividimos en vector A
por un escalar m, el resultado 𝐴→
𝑚 es un vector que
tiene la misma dirección que A
el mismo sentido si m ˃ 0 y sentido contrario si m ˂ 0, y un
módulo que es |𝑚| veces menor.
9
2.3.2. UBICACIÓN EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Para poder representar cada vector, haremos uso de vectores unitarios. Estos vectores
unitarios, de módulo la unidad, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de
los ejes del sistema de referencia.
Figura 2.15 Vectores en el plano y en el espacio
El eje X, le corresponde el vector unitario 𝑖 =< 1,0,0 >
El eje Y, le corresponde el vector unitario 𝑗 =< 0,1,0 >
El eje Z, le corresponde el vector unitario �⃗� =< 0,0,1 >
Al vector �⃗⃗� se lo puede representar de la siguiente forma:
�⃗⃗� =< 2,−4, 5 > = 2𝑖 − 4𝑗 + 5𝑘
El punto inicial y final son determinados por sus coordenadas. Las distancias dirigidas desde el
punto inicial hasta el final se denominan componentes del vector y estas son quienes lo definen.
Figura 2.16 Representación de un vector en el plano
2.4. Componentes de un vector.
10
Sea v
un vector cuyas proyecciones sobre cada uno de los ejes del sistema de referencia
utilizado se llaman componentes rectangulares de dicho vector, las componentes son vectores
perpendiculares entre si y su suma es igual al vector v
espacioelenkvjvivv
planoelenjvivv
zyx
yx
De acuerdo a la figura las componentes rectangulares
del vector v
en el plano son:
jvsenjvjvv
ivivv
Plano
yy
xx
cos
cos
Figura 2.17 Componentes de un vector en el plano
kvkvv
jvjvv
ivivv
Espacio
zz
yy
xx
cos
cos
cos
Figura 2.18 Representación gráfica de un vector
2.4.1. NORMA (módulo o magnitud)
Se determina norma de un vector a la longitud del mismo y se le denota con doble barra así:
11
||�⃗⃗� || = √(𝑤1)2 + (𝑤2)
2
||�⃗⃗� || = √(4)2 + (1)2 = √17
Figura 2.19 Norma de un vector
ÁNGULOS DIRECTORES.
DEFINICIÓN: El ángulo director de cualquier vector distinto del vector nulo es el ángulo medido
desde el eje positivo de la x en sentido anti horario.
1
2
1
1
2
21
0,
),(
a
aarctg
aa
atg
entoncesaaA
Si
Dada la magnitud y el ángulo director de un vector A (a1, a2), podemos hallar sus componentes,
de la siguiente manera:
12
senAaA
asen
AaA
a
22
11 coscos
Ejemplo: Halle el ángulo director del vector (1, -2)
Estamos midiendo el ángulo en sentido de las agujas del reloj, por ello es negativo (α). Para
medir a Ɵ, como indica la figura, hacemos:
2.5. Producto entre vectores
2.5.1. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO
Sean u y v dos vectores diferentes de cero en los espacios bi y tridimensional cuyos puntos
iniciales coinciden, el ángulo 𝜃 determinado por ellos está entre 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Se define al
producto escalar de la siguiente forma
000
00cos
vóusi
vyusivuvu
Con el correspondiente proceso de simplificación obtenemos una nueva definición para el
producto punto o escalar
332211 vuvuvuvu
13
Con las dos definiciones anteriores podemos obtener la expresión para el ángulo entre vectores
vu
vu cos
Si �⃗� 𝑦 𝑣 son vectores en el espacio bidimensional o en el tridimensional y ϴ el ángulo entre ellos
(diferente de cero), se cumple lo siguiente:
0
0
0
vusisóloysirectoes
vusisóloysiobtusoes
vusisóloysiagudoes
Ejemplos
1) ˂2, -4˃ · ˂3, -1˃ = 2(3) + (-4)(-1) = 10
2) ˂2, -3, 6˃ · ˂1/2, 1/3, -1/3˃ = 2(1/2) + (-3) (1/3) + 6(-1/3) = -2
3) (2i + 4j – 5k) · (j – 2k) = 2(0) + 4(1) + (-5) (-2) = 14
4) Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas u = <-3, 2, 5>
||𝑈|| = √(−3)2 + 22 + 52 = √9 + 4 + 25 = √38
5) Determinar el ángulo que forman los vectores u = <1, 2, -3> y v = <-2, 4, 1>
cos ∝ =(1 ∙ (−2)) + (2 ∙ 4) + (−3 ∙ 1)
√12 + 22 + (−3)2 √(−2)2 + 42 + 12=
−2 + 8 − 3
√1 + 4 + 9√4 + 16 + 1
cos ∝ =3
√14 √21=
3
7√6
14
∝ = 𝑎𝑟𝑐 cos (3
7 √6) = 79.92ᵒ
6) Determine ii
Por la definición de producto interno se puede establecer que 1 ii
ya que el ángulo
formado es de 0°.
2.5.1.1. VECTORES ORTOGONALES
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
𝑈 ∙ 𝑉 = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2 + 𝑢3 ∙ 𝑣3 = 0
7) Calcular los valores x e y para que el vector V = <x, y, 1> sea ortogonal a los vectores
U = <4, 2, 0> y W = <-2, 1, -1>.
𝑉 ∙ 𝑈 = (𝑥, 𝑦, 1) ∙ (4, 2, 0) = 4𝑥 + 2𝑦 = 0
𝑉 ∙ 𝑊 = (𝑥, 𝑦, 1) ∙ (−2, 1, −1) = −2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
Las ecuaciones que debemos resolver son:
4𝑥 + 2𝑦 = 0
−2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
Resolviendo el sistema tenemos:
X = -1/4
Y = 1/2
2.5.1.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO
Conmutativa
uvvu
Asociativa
vukvuk )()(
Distributiva
15
wuvuwvu
.)(
2.5.2. PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ)
El producto cruz o producto vectorial de dos vectores:
derechamanoladeLeySentido
vayualarperprndicuDirección
senvuvuMagnitud
vu
:
:
:
Figura 2.20 Producto cruz
Figura 2.21 Ley de la mano derecha
16
En términos de vectores cartesianos.
i x j = k i x k = -j i x i = 0 j x k = I j x i = - k j x j = 0 k x i = j k x j = -I k x k = 0
De manera general el Producto cruz de dos vectores A (Axi + Ayj + Azk), B (Bxi + Byj + Bzk)
será:
Esta misma ecuación de manera más compacta puede expresarse:
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA
BBB
AAA
kji
BAYx
Yx
Zx
Zx
ZY
ZY
ZYX
ZYX
kBABAjBABAiBABABA xYYxXZZXYZZY )()()(
Ejemplo
8) Calcular el producto cruz de los vectores u = <1, 2, 3> y v = <-1, 1, 2>
kji
kji
kji
vu
35
11
21
21
31
21
32
211
321
2.5.2.1. ÁREA DEL PARALELOGRAMO
Figura 2.22 Área del paralelogramo
17
Dados dos vectores �⃗� y 𝑣 que son dos lados consecutivos de un paralelogramo, se cumplen las
siguientes relaciones.
senvaltura
uxvsenvualturabaseÁrea ))((
n-VECTORES
Un n-vector es una matriz de nx1
n
3
2
1
u
u
u
u
=u
.
.
.
Ejemplo de 4-vectores
4
3
3-
1
=u
1.6 Actividades en clase
AC1. Sean los vectores A =< 2,5 > y B =< -5,12 > Entonces A + B es:
a) A + B =< -1, 6 >
b) A + B =< 3, 17 >
c) A + B =< -3, 2 >
d) A + B =< -3, 17 >
AC2. La gráfica representa el vector U
18
Determine gráficamente los siguientes vectores:
a) U
b) U
3
c) U
2
1
d) U
2
e) U
2
AC3. En el siguiente gráfico c representa:
a) a + b
b) a - b
c) b - a
d) a ´ b
AC4. Sean los vectores 3,1,51,3,2 ByA
El módulo del vector resultante de
BA
32 es:
a) 81
b) 31
c) 323
d) 100
AC5. Sea 5,2,1V
, los escalares K tales que 4VK
son:
a) 30
4K
b) 30
4K
c) 30
2K
19
AC6. Sean los vectores 4,3,13,2,2 VyU
. VU
Es:
a) 83
b) 83
c) -83
d) 2617
AC7. El vector unitario que tiene la misma dirección que el vector 4,3V
es:
a) 5
b) jiu5
4
5
3
c) jiu5
4
5
3
d) jiu5
4
5
3
AC8. El vector unitario que tiene dirección opuesta al vector 6,3,2V
es:
a) jiu5
4
5
3
b) kjiu7
6
7
3
7
2
c) kjiu7
6
7
3
7
2
AC9. Dos fuerzas concurrentes de 10 N y 8 N forman un ángulo de 60°. El módulo de la fuerza
resultante es:
a) 14 N
b) 15,62 N
c) 6,1 N
d) 12,2 N
AC10. El módulo del vector resultante de otros dos vectores que forman un ángulo de 90° es de
61 N, y el del otro vector es 6 N. La magnitud del otro vector es:
a) 8 N
b) 10 N
c) 5 N
d) 12 N
AC11. El ángulo formado por los vectores: kjiBykjiA 222
es:
20
a) 0°
b) 90°
c) 180°
d) 360°
AC12. El ángulo formado por los vectores: kjiBykjiA 222
es:
a) 0°
b) 90°
c) 180°
d) 360°
AC13. En el producto mixto de tres vectores señale la opción incorrecta.
a) )( CBA
b) CBA
)(
c) ACB
)(
Respuestas a los ejercicios
EJERCICIOS RESPUESTA
AC1 d
AC3 b
AC4 c AC5
AC6
AC7 d
AC8
AC9 b
AC10 c
AC11 a
AC12 c
AC13 b
21
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
AP1. Un bloque de 90 N cuelga de tres
curdas, determine los valores de las
tensiones T1 y T2.
R: T1 = T2 = 90N
AP2. Un semáforo que pesa 100 N cuelga de un cable vertical
atado a otros dos cables fijos a un soporte, los cables superiores
forman ángulos de 37° y 53° con la horizontal. Determine la
tensión en los tres cables. R: T1 = 60,1 N; T2 =79,9 N
AP3. Un comedero para pájaros de 150 N está sostenido por tres cables, determine la tensión en
cada cable.
22
AP4. Determine la tensión en cada uno de los cables que sostienen al
ladrón de 400 N de la figura.
AP5 Un cuadro de 20N se cuelga de un clavo como se muestra en la figura, de manera que
las cuerdas que lo sostienen forman un ángulo de 60°. ¿Cuál es la
tensión en cada segmento de la cuerda?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REPASO
Tema 1. VECTORES EN R2 AC4.1. Un vector es:
a) dos puntos en el plano xy. b) un segmento de recta entre dos puntos. c) un segmento de recta dirigido de un punto a otro. d) una colección de segmentos de recta dirigidos equivalentes.
AC4.2. Si P = (3, -4) y Q = (8, 6) el vector PQ tiene longitud:
a) |3| +|-4| b) (3)2 + (-4)2 c) (3 – 8)2 + (-4 -6)2 d) (8 – 3)2 + (6 - (-4))2
3.-) La dirección del vector < 4, 8 > es:
a) π b) arctan (8-4) c) (8/4) π
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d) arctan (8/4) 4.-) Si u = < 3, 4 > y v = < 5, 8 > entonces u + v =
a) < 7, 13 > b) < 8, 12 > c) < 2, 4 > d) < 15, 32 >
5.-) Si u = (4. 3), entonces el vector unitario con la misma dirección que u es
a) < 0.4, 0.3 > b) < 0.8, 0.6 > c) < 4 / 5, 3 / 5 > d) < 4 / 7, 3 / 7 >
6.-) Sean A el vector < -4, 5 > y P el punto (6, 2).
a) Dibuje la representación de posición de A y también la representación particular de A que tiene a P como su punto inicial.
b) Determine el módulo de A. 7.-) Determine la medida en radianes del ángulo director de cada uno de los siguientes vectores:
a) < -1, 1 > b) < 0, 5 > c) < 1, -2 >.
8.-) Suponga que P es el punto (-1, 8) y Q es el punto (3, 2). Determine el vector A que tiene a PQ como representación. Dibuje PQ y la representación de posición de A.
9.-) Dos fuerzas de 200lb y 250lb forman un ángulo de π / 3 entre si y están aplicadas a un objeto en el mismo punto. Determine:
a) La intensidad o módulo de la fuerza resultante. b) El ángulo que forma la resultante con la fuerza de 200lb.
10.-) Un avión puede volar a 300 Km/h. si el viento sopla al este a 50 Km/h, ¿Cuál debe ser en el enfilamiento del avión para que el curso sea de 30°? ¿Cuál será la velocidad a tierra del avión si vuela en este curso?
11.-) Exprese el vector < -5, -2 > en la forma A = | A | (cos θ i + sen θ j) 12.-) Dados A = 3 i + j y B = - 2 i + 4 j, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de A – B. VECTORES EN R3 13.-) Grafique la representación de posición de los siguientes vectores.
24
a) < 3, 4, 6 >. b) < -3, 4, 6 >. c) < 3, -4, 6 >. d) < 3, 4, -6 >.
14.-) Calcule la distancia no dirigida entre los puntos P( -3 , 4 , -1 ) y Q( 2 , 5 , -4 ). 15.-) Dados A = < 5 , -2 , 6 > y B = < 8 , -5 , -4 > calcule A + B , A – B , 3 A y - 5 B. 16.-) Exprese el vector A = < 3, 2, -6 > en términos de sus cosenos directores. 17.-) Dados los puntos R ( 2 , -1 , 3 ) y S ( 3 , 4 , 6 ) , obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección que VRS. PRODUCTO PUNTO 18.-) i. j =
a) 1 b) 0 c) ((0 – 1)2 + (1 – 0)2)0.5 d) I + j
19.-) < 3, 4 >. < 3, 2 > =
a) (3 + 3) (4 + 2) = 36 b) (3) (3) + (4) (2) = 17 c) (3 - 3) (2 - 4) = 0 d) (3) (3) – (4) (2) = 1
20.-) El coseno del ángulo entre i + j e i - j es
a) 0 i + 0 j b) 0 c) (2)0.5 d) 1 / (2 + 0)0.5
21.-) Los vectores 2 i – 12 j y 3 i + 0.5 j son:
a) Ni paralelos ni ortogonales b) Paralelos c) Ortogonales d) Idénticos
22.-) Dados los vectores A = 6 i - 3 j + 2 k y B = 2 i + j - 3k determine Cos θ si θ es el ángulo entre A y B. 23.-) Dados A = 3 i + 2 j y B = 2 i + K j, donde K es un escalar, determine:
25
a) K tal que A y B sean ortogonales. b) K tal que A y B sean paralelos. 24.-) Demuestre empleando vectores, que los puntos A ( 4 , 9 , 1 ) , B ( -2 , 6 , 3 ) y C( 6 , 3 , -2 ) son vértices de un triángulo rectángulo. 25.-) Sean los vectores A = -5 i + j y B = 4 i + 2 j determine: a) La proyección escalar de B sobre A. b) El vector proyección de B sobre A. c) Muestre en una figura las representaciones de posición de A, B y el vector proyección de B sobre A. 26.-) Calcule la distancia del punto P( 4 , 1 , 6 ) a la recta que pasa por los puntos A ( 8 , 3, 2 ) y B ( 2,-3,5 ). 27.-) Suponga que una fuerza F tiene una intensidad de 6 lb y la medida del ángulo que indica su dirección es π/6 rad. Calcule el trabajo realizado por F al mover un objeto a lo largo de una recta desde el origen al punto P (7, 1), donde la distancia se mide en pies. PRODUCTO CRUZ 28.-) i x k – k x i =
a) 0 b) j c) 2 j d) -2 j
29.-) i . (j x k) =
a) 0 b) 0 c) 1 d) i – j + k
30.-) i x j x k
a) 0 b) 0 c) 1 d) No está definido
31.-) (i + j) x ( j + k ) =
a) 0 b) 0 c) 1 d) i – j - k
26
32.-) u x u =
a) | u |2 b) 1 c) 0 d) 0
33.-) Obtenga A x B si A = 6 i - 3 j + 2 k y B = 2 i + j - 3k y grafique los tres vectores. 34.-) Demuestre que el cuadrilátero que tiene vértices en P ( 1 , -2 , 3 ), Q ( 4 , 3 , -1 ), R ( 2 , 2 , 1 ) y S ( 5 , 7 , -3 ) es un paralelogramo, y determine su área. 35.- ) Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene vértices en P ( 5 , 4 , 5 ) , Q ( 4 , 10 , 6 ) , R ( 1 , 8 , 7 ) , S ( 2 , 6 , 9 ) , y aristas en PQ , PR y PS. 36.-) Una fuerza F, cuya intensidad es de 15 lb, se aplica en un ángulo de 40° en el extremo derecho P de una barra de 5 pies de longitud, como se indica en la figura. Calcule el módulo del vector torque inducido por F en el extremo izquierdo O.
RECTAS Y PLANOS
ACTIVIDADES:
ACTIVIDADES PREVIAS (extra-clase).
AP1. Halle los puntos de intersección de la recta 4x+3y-12=0 con los ejes coordenados, trace la gráfica.
AP2. Trace la gráfica de la recta:
a). Que pasa por los puntos A (1,4) y B (-3,2)
b). Cuya ecuación es 2x-3y+6=0
AP3. Grafique e identifique la curva representada mediante ecuaciones paramétricas
x=2t+1
y=-t+3
AP4. Escribe la condición de paralelismo de dos vectores
AP5. ¿En qué caso dos rectas tienen más de un punto en común?
AP6. Dos rectas paralelas a una tercera tienen un punto común. ¿Falso o verdadero? (por qué)
AP7. Dibuja un esquema en donde se aprecie un par de rectas concurrentes.
27
AP8. Resolver el sistema de ecuaciones
x+2y=2
3x-y=4
RECTAS EN EL ESPACIO
Suponer que l es la recta en el espacio tridimensional que pasa por el punto ),,( 0000 zyxP y es
paralela al vector diferente de cero v = < a, b, c >. La recta l consta de los puntos ),,( zyxP para
los que el vector es paralelo a v, es decir para los que existe un escalar t tal que:
= tv
ECUACIÓN DE LA RECTA
De acuerdo al gráfico 2, tenemos:
0000 ,, zyxOP
zyxOP ,,
28
0000 ,, zzyyxxPP
Si el vector es paralelo a v, existe un escalar t tal que:
= t v
Entonces:
cbatzyxzyx ,,,,,, 000
Despejando, nos queda: LA ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
cbatzyxzyx ,,,,,, 000
De:
cbatzyxzyx ,,,,,, 000
Despejando encontramos: ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
29
Si despejamos t, tenemos:
c
zzt
b
yyt
a
xxt
0
0
0
Igualando obtenemos: LA ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
c
zz
b
yy
a
xx 000
EJERCICIOS RESUELTOS:
1) En la siguiente ecuación de la recta, indique un punto por el que pasa la recta y el vector
paralelo a la misma y la gráfica.
24
3
3
4 zyx
Solución:
Las coordenadas del punto son: P (4, -3, 0)
El vector director es: S = <-3, 4, 2>
30
2) Determinar la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por: P (3,
-1, 2) y es paralela al vector s = <2, 1, 3> y grafique.
Solución:
Ecuación vectorial
3,1,22,1,3,, tzyx
Ecuación paramétrica
tz
ty
tx
32
1
23
Ecuación simétrica
3
2
1
1
2
3
zyx
3) Determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos: P (5, -2, 4) y Q
(7, 2, -4) y grafique la recta
Solución:
Obtenemos el vector paralelo a la recta:
31
)8,4,2
)4(4),2(2,57
PQ
PQ
Ecuación paramétrica de la recta:
tz
ty
tx
84
42
25
4) Si la recta l tiene por ecuación: 3
2
2
1 zyx
Determine los puntos de corte con
los planos coordenados.
Solución:
Primero observamos que la ecuación simétrica de la recta no está de la forma:
32
c
zz
b
yy
a
xx 000
Entonces la escribimos de dicha forma:
3
2
2
1
zyx
Escribimos en forma paramétrica:
tz
ty
tx
32
21
Para la intersección con el plano xy z = 0
Para la intersección con el plano yz x = 0
Para la intersección con el plano xz y = 0
3
2
3
1
3
20
z
y
tzsi
2
1
00
z
y
txsi
2
1
2
1
2
10
z
x
tysi
0,
3
1,
3
2P
)2,1,0(P
2
1,0,
2
1P
33
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
AC1. En las siguientes ecuaciones indique un punto por el que pasa la recta y el vector paralelo a la
misma.
a) 241
3 zyx
b)
2
4
25
z
ty
tx
c) 7,3,45,2,1,, tzyx
AC2. Determine al menos 4 puntos que pertenecen a la siguiente recta y el vector directriz
24
2
1
1 zyx
AC3. La recta que pasa por los puntos A(1,2,4) y B(5,10,15) satisface la ecuación:
a. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,4) + 𝑡(4,8,11)
b. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,10,15) + 𝑠(4,8,11)
c. 𝑥−1
4=
𝑦−2
8=
𝑧−1
11
d. 𝑥−5
4=
𝑦−10
8=
𝑧−15
11
AC4. La recta que pasa por el punto 𝐴(7,3,−4) y es paralela al vector 𝑭 = 𝑖 + 5𝑗 + 2𝑘 satisface la
ecuación
a. 𝑥−7
1=
𝑦−3
5=
𝑧+4
2
b. 𝑥−7
8=
𝑦−3
5= −
𝑧+4
2
c. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,5,2) + 𝑡(7,3, −4)
d. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7,3,−4) + s(8,8, −2)
AC5. La ecuación vectorial (𝑥, 𝑦, 𝑧) − (3,5,−7) = 𝑡(−1,4,8) describe:
34
a. La recta que pasa por 𝐴(−1,4,8) y es paralela a 3𝑖 + 5𝑗 − 7𝑘
b. La recta que pasa por 𝐴(−3,−5,7) y es paralela a −𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘
c. La recta que pasa por 𝐴(3,5,−7) y es perpendicular a −𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘
d. La recta que pasa por 𝐴(3,5,−7) y es paralela a −𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘
AC6. Encontrar una ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que contiene al punto
𝐴(−1,−2,5) y es paralela al vector 𝑭 = −3𝑗 + 7𝑘
Sol. 𝒙 = −𝟏, 𝒚 = −𝟐 − 𝟑𝒕, 𝒛 = 𝟓 + 𝟕𝒕; 𝒙 = 𝟏; 𝟕𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏
AC7. Encontrar una recta L ortogonal a dos rectas dadas y que pase por el punto dado
𝑥 + 1
2= 𝑦 − 2
4= 𝑧 + 1
−3; 𝑥 − 1
−2= 𝑦 + 2
5= 𝑧 + 3
6; (0,0,0)
Resp. 𝒙
𝟏𝟑=
𝒚
−𝟐=
𝒛
𝟔
AC8. Hallar La distancia entre las rectas
𝑙1 =𝑥 − 1
1= 𝑦 + 2
−1=𝑧
2 𝑦 𝑙2 =
𝑥 + 1
−2=𝑦 − 1
1=𝑧 + 2
3
Resp. 𝒅 = 𝟑√𝟑
𝟓
AC9. Hallar el ángulo entre las rectas dadas.
𝑙1 = 𝑥 − 1
2=
𝑦
−1= 𝑧 + 1
3 𝑦 𝑙2 =
𝑥
3=𝑦 − 2
−3=𝑧 − 1
1
Resp. ∡𝜽 = 𝟒𝟐. 𝟔𝟐°
AC10. Hallar el punto de intersección entre las rectas dadas
𝑙1 = 𝑥 − 1
2=
𝑦
−1= 𝑧 + 1
3 𝑦 𝑙2 =
𝑥
3=𝑦 − 2
−3=𝑧 − 1
1
Resp. {
𝒙𝟎 = 𝟑 𝒚𝟎 = −𝟏𝒛𝟎 = 𝟐
35
AC11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(2, −1,3) y es paralela al 𝒆𝒋𝒆 𝒛
Sol. 𝒙 − 𝟐 = 𝟎; 𝒚 + 𝟏 = 𝟎
AC12. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 5
1
3
2
1
3
zyx y que pasa
por el punto 𝐴(3,2,1)
AC13. Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas y simétricas, si es posible,
de la recta
a) Que pasa por A (4, 6, -7) y es paralela a u = (5, 9, 4)
b) Que pasa por los puntos R (1, 2, 1) y S (3, 5, -2)
c) Que pasa por B (3,-5,6) y es paralela al eje x
d) Que pasa por C (4, 3, -1) y es perpendicular al plano yz.
AC14. Hallar dos números reales a y b sabiendo que el punto M (-2, a, b) pertenece a la recta de
ecuaciones simétricas x - 3
2= y+ 3 =
z-1
-3
AC15. Determine si la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8, 8, 7) es paralela a la recta que
pasa por los puntos (4, 2, 6) y (8, 8, -2)
AC16. Encontrar la distancia del punto (0, 2, -1) a la recta L :
x = 1+ 2t
y = 3t
z= 5 - 7t
ì
íï
îï
AC17. Obtenga los puntos de intersección de la siguiente recta con cada uno de los planos
coordenados:
L :
x = 2l
y = 1- l
z= 3
ì
íï
îï
PLANOS
1. ACTIVIDADES:
1.1 ACTIVIDADES PREVIAS (extra clase).
36
1.1.1 ¿Puede determinarse un plano por dos puntos? ¿Por tres puntos situados en
una línea recta? ¿Por qué?
1.1.2 ¿Es posible que la intersección de dos planos sea un punto? Dar razones.
1.1.3 Si un plano corta a uno de dos planos paralelos, corta también al otro. ¿Falso
o verdadero? ¿Por qué?
1.1.4 Resolver el sistema de ecuaciones
x-4y+z=6
4x-y+2z=-1
1.1.5 Dados los puntos A(1,4) , B(-3,2), C(-1,-5)
a) Hallar el vector perpendicular a y
b) Hallar el vector paralelo a
c) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A y es paralelo
a
PLANOS
Un plano en el espacio tridimensional se puede especificar proporcionando su inclinación
(mediante un vector perpendicular al plano, llamado normal) y especificando un punto que
pertenezca a dicho plano.
AB®
AC®
AB®
AC®
37
Para determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P0 (x0, y0, z0) y cuya normal es el
vector
n = <a, b, c> diferente de cero:
Con los puntos P0 (x0, y0, z0) y P (x, y, z) podemos determinar el vector 𝑃0𝑃→ que es ortogonal a
n, así:
𝑃0 𝑃 → = < 𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 > , de tal forma que:
n. 𝑃0𝑃→ = 0 de donde tenemos la ecuación del plano (denominada forma punto – normal)
𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐( 𝑧 − 𝑧0 ) = 0
Ejercicio. 1
Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto A (1, 3, 2) y es perpendicular al vector
n = <4, 3, 2>
02)2(3)3(4)1(
0)()()( 000
zyx
czzbyyaxx
Desarrollando la ecuación, llegamos a la ecuación del plano en forma general: ax + by + cz +
d = 0
017234
0429344
zyx
zyx
38
Ecuación del plano que pasa por tres puntos.
Determinar la ecuación del plano que pasa por: P (4, -1, 3), Q (3, 5, 2), R (2, -1, 5)
2,0,2
1,6,1
PR
PQ
39
kji
kji
PRPQ
)12()22()12(
2,0,2
1,6,1
kji
12412
02033
08012412
03612444812
012)3(4)1(12)4(
zyx
zyx
zyx
zyx
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
AC1. Hallar la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados en los puntos 𝑃(−2,0,0)
𝑄(0,3,0) 𝑅(0,0,5)
AC2. Encontrar la ecuación del plano que pasa por tres puntos: 𝑃(3,4,1) 𝑄(−1,−2,5) 𝑅(1,7,1)
AC3. Grafique los siguientes planos:
a) z=3
b) 2x+z=4
c) 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 1 = 0
40
AC5. Hallar los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados, y las ecuaciones de
las restas de intersección con los planos coordenados del plano dado. Trazar la gráfica.
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 2 = 0
AC6. Dos planos son ortogonales si sus vectores normales son ortogonales, en base a esta
definición; determinar si los planos dados son paralelos, ortogonales, coincidentes o ninguno
de los anteriores.
𝜋1: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
AC7. Determinar la posición relativa de dos planos dados (si son paralelos, perpendiculares ),
en el caso si no son paralelos hallar el ángulo que forman.
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7; 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 11 = 0
AC8. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 4𝑥 − 4𝑦 + 7𝑧 − 3 = 0 y distante 4 unidades
del punto 𝑄(4,−1,2)
AC9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃(3,−2,4) y es perpendicular a los
planos 7𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 5 = 0 𝑦 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 9 = 0
AC10. Responda las siguientes preguntas:
a) Si dos planos son paralelos a un mismo plano, tiene una recta común. ¿Falso o
verdadero?
b) Si se cortan dos rectas por un par de planos paralelos, los segmentos correspondientes
son proporcionales. ¿Falso o verdadero?
c) Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a una de las rectas del plano
que pasa por la intersección. ¿Falso o verdadero?
AC11. Hallar la distancia del punto 𝑃(7,3,4) al plano 6𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 13 = 0
AC12 a) Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano 3x – 2y + z = 5 que pasa por el punto (4, 1, 5). ¿Cuántas puede encontrar? b) Encontrar la ecuación de la recta que es paralela al plano 3x – 2y + z = 5 que pasa por el punto (4, 1, 5). ¿Cuántas puede encontrar?
41
AC13. Encontrar la intersección de la recta OP: x=1-t, y=2-3t, z=4+t con el plano x - 3y + 2z + 7 = 0
AC14. Indicar cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano
3x - y + 4z - 2 = 0:
a)x - 2
2=
y
-2=
z+1
-2 b) x -1=
y-1
-1=
z-1
-1 c)
x = 2 - t
y = 4 + t
z= -5t
ì
íï
îï
AC15. Hallar la ecuación del plano
a) Que pasa por el punto (5, 1, 3) y es perpendicular al vector n , que une los puntos (1, 2, 3) con (2, 4, 12). b) Que contiene a los puntos (3, 5, 2) (2, 3, 1) y (-1,-1,4) c) Que es perpendicular en el punto medio al segmento que une los puntos P (1, 2, -1) y Q (3, 0, -3). d) Que pasa por el punto (2, 3, -5) y es paralelo al plano x+y-4z=1 e) Que pasa por el punto (3, 6, 12) y es perpendicular al eje y
f) Que contiene a las rectas R: (1,-1,5) + t (1, 1,-3) y S:
x -1
2=
y+1
-1=
z- 5
6 g) Que contiene a las rectas R: (1,-1,5) + t (1, 1,-3) y S: (3, 4, 2) + t (-2,-2,6) h) Que pasa por el origen y contiene a la recta S de (f) i) Que pasa por (8,-2,3) y es perpendicular a la recta R de (f) j) Que pasa por los puntos (2,-1,1) y (3, 1, 2) y es paralelo al eje y k) Que contiene a (3, 4,-5) y es paralelo a los vectores (3, 1, -1) y (1,-2,1)