guia06

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lgebra CENTRO PREUNIVERSITARIO

CENTRO PRE UNIVERSITARIO lgebra

FACTORIZACIONOBJETIVOS ESPECFICOS:

Identificar la factorizacin como una operacin inversa de la multiplicacin y manejar adecuadamente los mtodos para factorizar expresiones algebraicas con rapidez y seguridad.

FACTORIZACION DE POLINOMIOS

Factorizar es el proceso que consiste en transformar una expresin algebraica racional y entera en un producto indicado de factores primos en el campo R.

FACTOR.- El factor de una expresin es aqul que la divide exactamente. Ejemplo:

*a.b.c = Xa, b y c son factores de X.

* y(y+1)=y2+y y y (y+1) son factores de y2+y.

Factor primo.- Es aquel que no se puede descomponer en otros factores (diferentes de uno).

Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores primos.

POLINOMIO PRIMO. Es un polinomio de grado diferente de cero divisible slo entre s y entre cualquier constante. Por ejemplo: x2+1 es un polinomio de segundo grado divisible slo entre s mismo.

Si en una multiplicacin indicada, uno de los factores tiene las caractersticas de un polinomio cero, dicho factor se denomina factor primo.

PROPIEDADES

Solamente se pueden factorizar las expresiones compuestas (no primas).

El mximo nmero de factores primos que puede tener una expresin estar dado por su grado.

Las expresiones de primer grado, llamadas tambin expresiones lineales, necesariamente son primos.METODOS DE FACTORIZACION

METODO DE FACTOR COMUNFactor comn monomio.- Es el monomio que est contenido en todos los trminos del polinomio considerado. El factor comn se extrae de cada trmino, elevado a su menor exponente.

Ejemplo (1): Factorizar .

Factor comn polinomio.- Cuando existe un polinomio contenido en todos los trminos del polinomio considerado.

Ejemplo (2): Factorizar

Solucin: Extraemos el factor comn (a-1)

Factor comn por agrupacin de trminos.- Se agrupan los trminos de 2 en 2, de 3 en 3, etc. considerando alguna caracterstica comn.


Solucin: Agrupando en la forma indicada:

METODO DE LAS IDENTIDADES

En este caso utilizaremos los productos notables.

Diferencia de cuadrados:


Solucin:

METODO DEL ASPA

Mtodo del aspa simple.- Se utiliza para factorizar trinomios de la forma. .

Ejemplo (5):Factorizar

Solucin:

Mtodo del aspa doble.- Se utiliza para factorizar polinomio de la forma:


(Los factores son: (x+4y+4)(x-y +3).Caso particular. Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E.

Ejemplo (7): Factorizar x4+7x3+17x2+26x+12.DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado siempre que tenga por lo menos un factor de primer grado.Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio para obtener factores binomios (ceros del polinomio).

Ejemplo, si se anula para:

* x = 3, entonces (x - 3) es factor

* x= - , entonces (4x + 1) es factor

Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor o factores binomios obtenidos, para obtener el factor que falta.

Regla para obtener los posibles ceros:

Si el coeficiente del trmino de mayor grado es la unidad, los posibles ceros son los divisores del trmino independiente.

Si el coeficiente del trmino de mayor grado es diferente de la unidad, los posibles ceros sern, los divisores del trmino independiente divididos por los divisores del coeficiente del trmino de mayor grado. Ejemplo:

, posibles ceros: ...................................................

, posibles ceros: ..................................................

Ejemplo (8): Factorizar:

Solucin: Posibles ceros: .

Se anula para es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffini entre (x-1)

1 0 3 - 4

1

1 1 4

1 1 4 0

Segundo grado

La expresin factorizada es: .

METODO DE LOS ARTIFICIOS.- En este caso, mediante sumas y restas trataremos de formar trinomio cuadrado perfecto para exponentes pares o suma o diferencia de cubos para exponentes impares. Tambin se pueden hacer cambios de variables.


MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO

MXIMO COMN DIVISOR

PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIN: Para obtener el MCD de dos o ms expresiones algebraicas, en primera instancia se factoriza stas y luego se forma el producto de los factores comunes elevados a su menor exponente.MNIMO COMN MLTIPLO

PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIN: Para determinar el mcm de varias expresiones se factorizan estas y a continuacin se forma el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

PROPIEDADES: El MCD de dos o ms expresiones primas entre s es la unidad y su m.c.m es el producto de ellas.

Slo para dos expresiones algebraicas A y B se cumple que: A.B = MCD ( A,B ).m.c.m. (A, B )

Cuando no hay factores comunes el MCD ser 1 y el mcm, el producto de ellas.

EJERCICIOS1. Encuentre una diferencia de los factores primos y mnicos de:

R(x) = (x+10) (x+11)(x+12) + (x+10) (x+11) + x+10

a) 2

b) 1

c) 3

d) 4

e) 02. Factorizar: P(x;y) = 25x4 109x2y2 + 36y4Indique el nmero de factores primos lineales.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 8

3. Factorizar:

P(x) = x6 x2 6x 9

Indicando el nmero de factores primos obtenidos

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4. Cul es el binomio que es divisor de la suma de los factores primos de:

P(a;b) = a4 + b4 4ab(a2+b2)+5a2b2a) a+b b) a-2b

c) a-bd) a+2b

e) 2a-b

5. Calcular la suma de los factores primos de:

R(x;y) = X2(x-y)2 14xy2 (x-y) + 24y4a) 2 (2x-y) b) 4x-y

c) 4x

d) 4 (x-y) e) 4(x+y)

6. Calcular un factor de: a2 + 2a + ab + b + 1

a) a+b+1 b) b+1

c) b-1

d) a-1e) a+b

7. Factorizar: m2-4p2+4mm+4n2 y calcular la suma de los factores primos obtenidos

a) 2m + 4n b) m + n + 2p c) m+n

d) 2m+ne) m+2n

8. Calcular la suma de coeficientes de un factor primo:

S(m;n) = 7m4+29m2n4 36n8a) 48

b) -1

c) 35

d) 42

e) 09. Factorizar:

P (a;b;c)= a2+a-b2+b-c2-c+2bc

Y dar un factor primo:

a) a+b+c b) a-b+c++1 c) a-b-c

d) a-b-c+1e) a+b+c-1

10. Factorizar:

F(x;y)=(x+1)(x+4)-9y(y-1)

Indicar un factor primo

a) x+2y+1

b) x+3y+1 c) x-3y-5

d) x+4y-6

e) x+y+311. Si luego de factorizar

T(x)=4x4-13x2+9

Se obtiene:

A = ( de los factores primos

B = ( de los trminos

independientes de sus factores

primos.

C = Nmero de sus factores primos

Calcular: R =

a) 1

b) c) 2d) e)

12. Determine ( si es un cero de P(x)

P(x) = 7X3 57X2 + 57x-7

a) ( =2

b) ( = -7 c) 1/7

d) ( = -1

e) ( = -1/7

13. Factorizar:

X3 3x2 + 4x-2

e indicar un factor.

a) x + 1

b) x-1c) x2+x+1d) x2+2x-2

e) x+214. Luego de Factorizar:

N(x;y) = 6x2 + 19xy + 15y2-11x+4-17y

Indicar un factor:

a) 2x + 3y-1 b) 2x-3y+1 c) 3x-5y+4

d) 3x+y+4 e) 3x+5y+415. Factorizar:

P(x) = x5(x-3) + x3(2x-1) + (x+2)2-8 e indicar un factor primo

a) x +2

b) x3-x-2c)x3-x2+x-2d) x2+1

e) x2-x-316. Luego de factorizar

M(y) = y5-3y4-23y3+51y2+94y-120 indique cul es el factor que no proviene de M

a) y-5

b) y+4

c) y+2

d) y-1

e) y+317. Factorizar:

P(x;y) = 6x2 2xy 3x 24y 8y2 18

e indicar un factor primo

a) 3x+4y-6

b) 2x+2y-3 c) 2x+2y+3d) 3x+4y+6 e) 3x-4y+6

18. Factor:

R(x;y) = 28x2-69xy-22y2-36x-71y-40

e indicar el trmino independiente de un factor primo obtenido

a) 5

b) 4

c) 8

d) 2

e) 1

19. Si luego de factorizar:

M(x) = 2x4 3x3 1

Un factor se evala para x =, se obtiene:

a) 2-

b) 1- c) 5 +

d) 1+

e) 3 +

20. Indicar un factor primo obtenido al factorizar:

E(a;b;x;y) = ab(x2+y2) + xy (a2 + b2)

a) a+x

b) a+y c) ab+x

d) b+xy

e) ax+by21. Al factorizar:

A = (n-1) (n+2)(n-3)(n-6)+7n2-28n+1

Se obtiene 2 factores que se diferencia en:

a) 2

b) 5

c) 7

d) 12

e) 16

22. Hallar el MCM de los polinomiosP(x;y) = 2x2+xy-15y2-4x+10y

Q(x;y) = 2x3-5x2y+2xy2-5y3

a) (2x-y) (x+y-2) (x2+y2)b) (x-5y) (2x+y-2) (x2+y2)c) (x+5y) (2x-y+2) (x2+y2)d) (2x-5y) (x+3y-2) (x2+y2)e) (2x+5y) (x-3y+2) (x2+y2)23. Hallar el MCD de los polinomios

M(x) = 2x4 + 5x3 + 2x2 x 2

N(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8

e indica la suma de sus coeficientes

a) 1

b) 0 c) 2 d) 3

e) 2

24. Indica la suma de coeficientes del MCD de los polinomios

P(x) = x25 + x2+1 y Q (x) = x5+x+1

a) -2 b)1 c)3 d) -4 e) 1

25. Hallar el MCD de los siguientes

A = 3x5 - 2x4 x3 + 2x2 2x

B = x5 x

e indica el nmero de divisores algebraicos que posee

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

e)10

26. Hallar el trmino lineal del MCD de :

A = x4 + x3 6x2 5x 1B = x4 7x2 + 1a) x

b) 2x c) 3x d) 3x

e) 2x

27. Hallar el MCD de :

A = x5 ax4 a4x + a5B = x4 ax3 a2x2 + a3x

a) x+a

b) (x-a)2 c) (x-a)2(x+a)d) (x+a)/x-a)2 e) (x+a)2

28. Hallar el MCD de :

A = x6 y6B = x3 2xy3 + y3 +2x2y2C = x8 + x4y4 +y8

a) 1

b) (x+y)2 c) (x+y)(x-y)

d) (x-y)2 e) x2 1

29. El T.I. del MCD de :

A = x4 + x3 + x2 + 2x + 1

B = x5 + 2x3 + x2 + x + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) 2

30. Hallar la suma de coeficiente del MCD de :

A = x6 + x4 + x 1

B = x6 2x3 x2 + x + 1

a) 3x2

b) 2x2 c) x2 d) x2

e) no tiene ESTUDIA MUCHO Y TRIUNFARS

MMR

UNIVERSIDAD NACIONAL JOS FAUSTINO SANCHEZ CARRIN

CENTRO PRE UNIVERSITARIO

DOCENTE: ROJAS PAZ JORGE ALGEBRA

GUIA N 06

CICLO ENERO MARZO 2006-I

Pg. 1Pg. 6 CICLO: SETIEMBRE DICIEMBRE 2003 III

CICLO ENERO MARZO 2006-I

Pg. 4

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