GUÍA, PRIMER EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL II, FEBRERO DE 2016.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL ORIENTE ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

COMPORTAMIENTO GRAFICO CUANTITATIVO. En los ejercicios siguientes, se da una función con dominio los números reales ℝ, indica en donde es creciente o decreciente la función (indica los valores de prueba), dónde es cóncava hacia abajo o hacia arriba, encuentra los valores extremos y dibuja su gráfica

1. 3( ) 3 3f x x x= − + 2. 4 5( ) 4f x x x= − 3. 3 56( )5

f x x x= − 4. 2( ) ( 4)f x x x= −

5. 4( ) 32f x x x= − 6. 4 3( ) 3 4 3f x x x= − + 7. 3 2( ) 5f x x x x= + − 8. 4 3( ) 3 2f x x x= + 9. 4 3( ) 4 12 1f x x x x= − − + COMPORTAMIENTO GRAFICO CUALITATIVO. Dibuja las gráficas de las derivadas de las gráficas de las funciones que se muestran a continuación 1. 2. 3.

Para las funciones cuyas gráficas se dan a continuación, decide dónde su segunda derivada es positiva y donde es negativa. 4. 5. 6.

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

-2 -1 0 1 2 3

0

2

4

6

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

“Los hombres siempre se empeñan en ser el primer amor de una mujer. Las mujeres tienen un instinto más sutil: prefieren ser la última novela de un hombre” Oscar Wilde.

Guía, Primer Examen Parcial de Cálculo Integral y Diferencial II

Febrero de 2016

GUÍA, PRIMER EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL II, FEBRERO DE 2016.

7. La gráfica de 𝑓´ (no 𝑓) aparece en la figura siguiente ¿En cuál de los valores marcados es a) 𝑓(𝑥) máxima? b) 𝑓(𝑥) mínima? c) 𝑓´(𝑥) máxima? d) 𝑓´(𝑥) mínima? e) 𝑓´´(𝑥) máxima? f) 𝑓´´(𝑥) mínima? PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

1. Obtenga el área del triángulo isósceles más grande que tenga un perímetro de 18 metros.

2. Determina el número en el intervalo 0,1 tal que la diferencia entre el número y su cuadrado sea un máximo.

3. Un artista decide pintar un cuadro que consiste en un rectángulo rojo bordeado de un borde blanco.

Si el rectángulo rojo ha de tener una superficie de 36 m2 y el borde ha de tener 3 cm. de ancho a lo largo de cada lado y 5 cm. de ancho a lo largo de los lados superior e inferior. ¿Qué dimensiones ha de tener el cuadro para que tenga la menor área total?

4. Hallar las dimensiones del rectángulo mayor área que pueden inscribirse en un semicírculo de radio

4.

5. ¿Qué un número positivo más su recíproco de la suma mínima?

6. Hallar el número que excede a su cuadrado en la máxima cantidad.

7. La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 120. Halla los números que maximizan el producto de los tres números.

8. Encuentre la recta tangente a la curva 𝑦 = 6𝑥! − 𝑥! que tenga pendiente máxima.

9. Una pista atlética de 400 m. de perímetro consta de un rectángulo con un semicírculo en cada

extremo. Encuentre las dimensiones de la pista que hacen que el área de la porción rectangular sea máxima.

10. Una cerca tiene 1 metro de alto y dista 3 metros de un edificio ¿qué longitud tendrá la escalera recta

más corta que, se puede recargar en la pared del edificio y que sobrepase a la barda?

𝑥! 𝑥! 𝑥! 𝑥! 𝑥! 𝑥!

GUÍA, PRIMER EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL II, FEBRERO DE 2016.

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. Calcula los límites siguientes:

1. 0

(2 )tan( )x

sen xlimx→

2. 12

1 ( )12

x

sen xlimx→ π

−

π− 3.

2

20

1 cos ( )2x

xlimx→

− 4.

0

( ) 12cos( ) 1x

sen xlimx→

−+

5. 0

1 cos( )1 ( )x

xlimsen x→

−+

6. 0

1 cos(4 )x

xlimx→

− 7.

0

1 cos(2 )(3 )x

xlimsen x→

− 8.

0

(4 )cos(3 ) 1x

sen xlimx→ −

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS. Obtén la derivada de la función que se indica 1. xsenxxf cos)( += 2. xxxf cos4)( 2= 3. xxsenxxf cos3)( −=

4. xxsenxxxf cos2)( 2 += 5. f (x)= x +4cosx 6.

f (x)= senx −1cosx +1

7. xxxf tansec3)( = 8. xxxf tancos)( = 9. f (x)= 2cscx −1cscx +2

10. f (x)= tan x +1tan x −1

CÁLCULO DE RECTAS TANGENTES. 1. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función ( ) 2 ( )f x sen x= en el punto

π6 ,1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

2. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función ( ) cos( )f x x x= en el punto

(π,-π).

3. Encuentra los puntos sobre la curva dada por cos( )( ) ,2 ( )

xf xsen x

=+

en los cuales la recta tangente es

horizontal. 4. Sea ( ) 2 ( ), 0 2 .f x x sen x x= − ≤ ≤ π ¿En qué intervalo f es creciente?

GUÍA, PRIMER EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL II, FEBRERO DE 2016.

5. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función dada por ( ) (4 )csc(4 )f x sen x x= en el punto

,2 2π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠.

6. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva sec( )y x= en el punto , 22π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠.

7. puntos sobre la curva dada por cos( )( ) ,2 ( )

xf xsen x

=+

en los cuales la recta tangente es horizontal.

8. Sea ( ) 2 ( ), 0 2 .f x x sen x x= − ≤ ≤ π ¿En qué intervalo f es creciente? 9. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función dada por ( ) (4 )csc(4 )f x sen x x= en el punto

,2 2π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠.

10. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva sec( )y x= en el punto , 22π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠.