Facultad de Ingeniería Matemática II

UCV Lima Norte 2014-2

Guía de Práctica _ Semana 10ma - 1 -

FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO

SOBRE UNA PLACA VERTICAL

Considere que el eje x positivo está dirigido hacia

abajo con el origen en la superficie del fluido.

Suponga que una placa plana vertical, se sumerge

en el fluido, entre las rectas horizontales x = a y

x = b, como se muestra en la figura.

Sea ρ el peso específico de un fluido y sea w(x)

una función continua sobre [a, b] que describe el

ancho de una placa plana sumergida verticalmente

a una profundidad x. La fuerza F ejercida por el

fluido sobre un lado de la placa sumergida es

b

adxxxwF )(

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Una placa en forma de triángulo isósceles de 3

pies de altura y 4 pies de base se sumerge

verticalmente en agua, con la base hacia abajo,

hasta que esta queda a 5 pies por debajo de la

superficie. Encuentre la fuerza ejercida por el

agua sobre un lado de la placa.

2. Encuentre la fuerza sobre un lado de la placa

en el problema 1 si la placa está suspendida

con la base hacia arriba a 1 pie por abajo de la

superficie del agua.

3. Una placa triangular se sumerge verticalmente

en agua como se muestra en la figura.

Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre

un lado de la placa.

4. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo y

que una placa acotada por la parábola 2yx

y la recta 4x se sumerge verticalmente en

aceite cuyo peso específico es 50 lb/pie3. Si el

vértice de la parábola está en la superficie, encuentre la fuerza ejercida por el aceite sobre

un lado de la placa.

5. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo, y

que una placa acotada por la parábola 2yx

y la recta 2 xy se sumerge verticalmente

en agua. Si el vértice de la parábola está en la

superficie, encuentre la fuerza ejercida por el

aceite sobre un lado de la placa.

6. Un canalón lleno de agua tiene extremos

verticales en forma de trapezoide como se

muestra en la figura. Encuentre la fuerza

ejercida por el agua sobre un lado del canalón.

7. Un canalón lleno de agua tiene extremos como

los de la figura. Encuentre la fuerza ejercida

por el agua sobre un extremo del canalón.

8. Un extremo vertical de una piscina tiene la

forma que se muestra en la figura. Encuentre

la fuerza ejercida por el agua sobre este lado

de la piscina.

9. Un tanque en forma de cilindro circular recto

de 10 pies de diámetro reposa sobre su

costado. El tanque contiene petróleo hasta la

mitad de su capacidad, y el peso específico del

petróleo es de 60 lb/pie3. Encuentre la fuerza

que ejerce el petróleo sobre uno de los

extremos del tanque.

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Guía de Práctica _ Semana 10ma - 2 -

CENTRO DE MASA DE UNA BARRA

Ahora se considerará el problema de encontrar el

centro de masa de una barra de longitud L que

tiene una densidad lineal variable ρ (la masa/

longitud unitaria se mide en slugs/pie, kg/m o

g/cm). Supondremos que la barra coincide con el

eje x sobre el intervalo [0, L], como se muestra en

la figura, y la densidad es una función continua

ρ(x).

Se puede demostrar que el centro de masa

mMx /0 de la barra está dado por:

L

L

dxx

dxxxx

0

0

)(

)(

EJERCICIOS DE APLICACIÒN

En los problemas 1-8, una barra de densidad lineal

coincide con el eje x en el intervalo indicado.

Encuentre su centro de masa.

1. 12)( xx ; 5,0

2. xxx 2)( 2 ; 2,0

3. 3/1)( xx ; 1,0

4. 1)( 2 xx ; 1,0

5. 3)( xx ; 4,0

6. 11)( xx ; 3,0

7.

21;2

10;)(

2

xx

xxx ; 2,0

8.

32;2

20;)(

x

xxx ; 3,0

9. La densidad de una barra de 10 pies varía con

el cuadrado de la distancia al extremo

izquierdo. Encuentre su centro de masa si la

densidad en su centro es de 12,5 slug/pie.

10. La densidad lineal de una barra de 3m varía

con la distancia al extremo derecho. Encuentre

la densidad lineal en el centro de la barra si su

masa total es de 6 kg.

CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA

Ahora se analizará el problema de encontrar el

centroide o punto de equilibrio, de una región

plana. Supondremos, como se muestra en la

figura, que la lámina coincide con una región R en

el plano xy acotada por la gráfica de una función

no negativa continua y = f(x), el eje x y las rectas

verticales x = a y x = b

Se puede demostrar que el centroide yx, de la

región R, está dada por:

b

a

b

ay

dxxf

dxxxf

A

Mx

)(

)(,

b

a

b

ax

dxxf

dxxf

A

My

)(

)(2

1 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

En los problemas 1-14, encuentre el centroide de

la región acotada por las gráficas de las

ecuaciones dadas.

1. 42 xy ; 0y ; 0x ; 2x

2. 1 xy ; 0y ; 3x

3. 2xy ; 0y ; 1x

4. 22 xy ; 0y ; 1x ; 2x

5. 3xy ; 8y ; 0x

6. 3xy ; 0y ; 3x

7. xy ; 0y ; 1x ; 4x

8. 2xy ; 2 xy

9. 2xy ; xy

10. 3xy ; 3/1xy ; primer cuadrante

11. 24 xy ; 0y ; 0x ; segundo cuadrante

12. 3/1 xy ; 0y ; 1x ; 3x

13. xy cos1 ; 1y ; 2/2/ x

14. xy sin4 ; xy sin ; x0