guia mecanic a cla sica

8/12/2019 Guia Mecanic a Cla Sica

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Mec anica Cl asica

Versi on B-13


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a Claudia


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Mi proposito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo.Quizas nada hay en la naturaleza m as antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos por l osofos no son ni pocos ni peque nos; no obstante, he descubierto,experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas.

Galileo Galilei , Di alogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.


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Formulas vectoriales

Identidades

A (B C ) = ( A B ) C = C (A B ) = ( C A ) B = B (C A ) (1)A (B C ) = B (A C ) C (A B ) (2)

(A B ) (C D ) = ( A C )(B D ) (A D )(B C ) (3)

Derivadas de sumas

(f + g) = f + g (4)

(A + B ) =

A +

B (5)

(A + B ) = A + B (6)

Derivadas de productos

(fg ) = f g + gf (7)

(A B ) = A (B ) + B (A ) + ( A )B + ( B )A (8) (f A ) = f ( A ) + A f (9)

(A B ) = B (A ) A (B ) (10)(f A ) = f (A ) A (f ) (11)

(A B ) = A ( B ) B ( A ) + ( B )A (A )B (12)

Derivadas segundas

(A ) = ( A ) 2A (13) (A ) = 0 (14)(f ) = 0 (15)

Teoremas integrales

ba (f ) dl = f (b) f (a) (16)

V

(

A ) dV =

S

A

n dS Teorema de Gauss (divergencia) (17)

S (A ) n dS = C A dl Teorema de Stokes (18) V (f 2g g2f ) dV = S (f g gf ) n dS Teorema de Green (19)


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Indice general

1. Ecuaciones de movimiento 9

1.1. Mecanica de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Mecanica de un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4. Principios variacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5. Principio de mnima acci on y ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . 411.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas. . . . . . . . . . 471.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Leyes de conservaci on y simetras 712.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3. Conservaci on del momento lineal y homogeneidad del espacio . . . . . . . 76

2.4. Conservaci on del momento angular e isotropa del espacio . . . . . . . . . 772.5. Conservaci on de la energa y homogeneidad del tiempo . . . . . . . . . . . 792.6. Teorema de Euler para la energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.8. Sistemas integrables y sistemas ca oticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3. Fuerzas centrales 993.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3. Ecuaci on diferencial de la orbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.6. Estabilidad de orbitas circulares y angulo de precesion. . . . . . . . . . . . 1293.7. Dispersi on en campo de fuerza central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

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4. Oscilaciones peque nas 1514.1. Oscilaciones en una dimensi on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad. . . . . . . . . . . . 1554.3. Modos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5. Movimiento de cuerpos rgidos 1795.1. Velocidad angular de un cuerpo rgido y angulos de Euler. . . . . . . . . . 1795.2. Energa cinetica y tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.3. Momento angular de un cuerpo rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rgidos. . . . . . . . . . . . . . . . 1995.5. Ecuaciones de Euler para cuerpos rgidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206. Din amica Hamiltoniana 223

6.1. Ecuaciones de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.2. Sistemas dinamicos, espacio de fase y Teorema de Liouville. . . . . . . . . 2306.3. Parentesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.4. Transformaciones can onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.5. Transformaciones can onicas innitesimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.6. Propiedades de las transformaciones can onicas. . . . . . . . . . . . . . . . 2516.7. Aplicaciones de transformaciones can onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.8. Ecuaci on de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.9. Variables de acci on-angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

A. Lagrangiano de una partcula relativista 295

B. Transformaciones de Legendre 307

C. Teorema del virial. 309

D. Bibliografa 311


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Captulo 1

Ecuaciones de movimiento

1.1. Mec anica de una partcula

La Mec anica consiste en el estudio del movimiento, o de la evoluci on de la posici onde partculas o sistemas (muchas partculas) en el tiempo. Actualmente, la Mec anicaClasica se enmarca dentro de un campo m as general denominado Sistemas Din amicos ,que involucra el estudio de la evoluci on o cambios de estado de variables en el tiempoen sistemas generales, de acuerdo a reglas deterministas: estos incluyen sistemas fsicos,quimicos, biol ogicos, sociales, econ omicos, etc.

La Mec anica Cl asica se reere a fenomenos que ocurren en escalas macr oscopicas;es decir, no incluye fenomenos cu anticos (nivel at omico). La Mec anica Cl asica proveedescripciones v alidas de fen omenos en una extensa escala espacial que va desde el or-den de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett. 94 , 240401 (2005)) hasta distanciascosmologicas.

El origen del metodo cientco est a directamente vinculado a la primeras formu-laciones cuantitativas de la Mec anica Cl asica, realizadas por Galileo con base en susexperimentos. La Mecanica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construidotoda la Fsica.

Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).

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10 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Durante el siglo XX, la Mecanica Cl asica se encontro con varias limitaciones paraexplicar nuevos fenomenos. Las subsecuentes soluciones de estas dicultades implicaronextensiones del campo de estudio de la Mec anica, y condujeron a tres grandes revolucionesintelectuales o cambios de paradigmas cientcos:

i . Limitaci on para explicar fenomenos a altas velocidades o a altas energas, lo quecondujo a la Teora de Relatividad (Especial y General).

ii . Limitaci on para explicar fenomenos a escala atomica o microsc opica, lo cual dioorigen a la Mec anica Cu antica.

iii . Limitaci on del concepto de prediccion en sistemas dinamicos deterministas no linea-les, que condujo al desarrollo del Caos y al estudio actual de Sistemas Complejos.

Para describir el movimiento en Mec anica, se requieren algunos conceptos b asicos.Un sistema de referencia es una convenci on necesaria para asignar una posici on o

ubicaci on espacial a una partcula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O.Se asume que una partcula tiene asociada una cantidad de masa m.

La posici on de una partcula en un sistema de referencia puede describirse medianteun conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, elvector de posici on r = ( x,y,z ) da la ubicacion de una partcula en el espacio con res-pecto a un origen O. Las componentes del vector de posici on en coordenadas cartesianastambien se denotan como x1 x, x 2 y, x 3 z.

Figura 1.2: Posici on de una partcula en un sistema de coordenadas cartesianas.

El vector de posicion de una partcula en movimiento depende del tiempo, r (t) =(x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posici on en el tiempo constituye el movimiento .El tiempo t se considera un parametro real en Mecanica Cl asica que permite establecerel orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especicar lasposiciones sucesivas que una partcula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos queel par ametro t posee la propiedad de incremento monot onico a medida que r (t) cambia:a traves de sucesivas posiciones: dados dos valores t1 y t 2 tales que t2 > t 1 , entonces lapartcula ocupa la posici on r (t2) despues de la posicion r (t1).

El vector de desplazamiento innitesimal se dene como

dr = r (t + dt) r (t). (1.1)


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1.1. MEC ANICA DE UNA PART ICULA 11

La velocidad de una partcula se dene como

v drdt

(1.2)

En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad se pueden expresar como

vx = dxdt

, vy = dydt

, vz = dzdt

. (1.3)

Las componentes de la velocidad tambien se denotan co,o v1 = vx , v2 = vy , v3 = vz .La aceleraci on se dene como

a = dvdt

= d2 rdt2

. (1.4)

Se acostumbra usar la siguiente notaci on para las derivadas con respecto al tiempo,

x dxdt

, x d2xdt2

. (1.5)

El momento lineal o cantidad de movimiento es la cantidad vectorial

p = mv , (1.6)

donde m es la masa de la partcula.Una partcula puede experimentar interacciones con otras partculas. Las interaccio-

nes entre partculas est an asociadas a sus propiedades intrnsecas y se maniestan como fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interacci on electromagnetica est a asociada a la carga

electrica, mientras que la interacci on gravitacional depende de la masa. La suma de lasfuerzas debido a interacciones con otras partculas o agentes externos se denomina fuerzatotal (neta) sobre la partcula; se denota por F . Las fuerzas son cantidades vectoriales.Las fuerza neta sobre una partcula puede afectar su estado de movimiento.

Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).

Las Leyes de Newton describen el movimiento de una partcula sujeta a una fuerza.Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza basadas en observaciones experimentales.


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I. Primera Ley de Newton:Una partcula permanece en reposo o en movimiento rectilneo uniforme si la fuerzatotal sobre ella es nula (tambien se llama Ley de inercia ).

II. Segunda Ley de Newton:

Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una partcula conmasa m y velocidad v esta descrito por la ecuacion

F = dpdt

= d(mv )

dt . (1.7)

III. Tercera Ley de Newton:

Si F ji es la fuerza que ejerce una partcula j sobre una partcula i, y F ij es la fuerzaque ejerce la partcula i sobre la partcula j , entonces

F ji = F ij . (1.8)La Tercera Ley tambien es conocida como Ley de acci on y reacci on .

La Segunda Ley de Newton establece una relaci on causa (fuerza) efecto (cambiode momento). La Primera Ley de Newton es consecuencia de la Segunda Ley: si F = 0,entonces v = constante.

La Segunda Ley de Newton es una ecuaci on vectorial, es decir, equivale a tres ecua-ciones, una para cada componente cartesiana:

F i = dpi

dt , i = 1 , 2, 3. (1.9)

Si m es constante,

F = ma = md2 rdt2

. (1.10)

La Segunda Ley de Newton, Eq. (1.10), es una ecuaci on diferencial de segundo orden parar (t). La soluci on r (t) est a determinada por dos condiciones iniciales, r (to), v (to). Estees el principio del determinismo en Mecanica Cl asica, y que ha sido fundamental en eldesarrollo del metodo cientco. A nales del siglo XX, se encontr o que el determinismono necesariamente implica predicci on, en el sentido de que existen sistemas din amicos nolineales en los cuales perturbaciones innitesimales de sus condiciones iniciales puedenconducir a trayectorias muy diferentes. Este es el origen de la moderna Teora del Caos.

Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan

sistemas de referencia inerciales . En ausencia de fuerzas, una partcula en reposo en unsistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen

terminos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas explcitasen el sistema. Esos terminos adicionales se denominan fuerzas cticias y son debidos ala aceleraci on del sistema de referencia.


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Ejemplos de la Segunda Ley de Newton:

1. Un sistema no inercial: pendulo en un sistema acelerado ( x , y , z ).

Figura 1.4: Pendulo en un sistema acelerado.

El sistema ( x , y , z ) posee una aceleracion a en la direcci on x, visto desde unsistema jo ( x,y,z ). En el sistema acelerado, la componente en la direcci on x de lafuerza que actua sobre la masa del pendulo es f x = T sin , pero esta masa est a enreposo en ese sistema; esto implica que x = 0. Luego, una fuerza adicional cticia igual a T sin debe anular a f x , de modo que no haya fuerza neta en la direcci onx . En el sistema ( x,y,z ), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin = ma .La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza cticia en un sistema de refe-rencia en rotacion (Cap. 5).

2. Oscilador armonico simple.

Figura 1.5: Oscilador armonico simple.

La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamientox desde la posici on de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = kx x , donde k esla constante del resorte. Entonces,

F = makx = mx (1.11) x +

2x = 0 , (1.12)

donde 2 k/m . La Eq. (1.12) es la ecuacion del oscilador armonico, cuya soluci onesx(t) = A cos t + B sin t (1.13)


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Tambien se puede escribir x(t) = C sin(t + ), (1.14)

con A = C sin , B = C cos. Los coecientes A y B estan determinados por lascondiciones iniciales x(0) y x(0) = v(0),

x(0) = A (1.15)x(t) = A sin t + B cos t (1.16)x(0) = B B =

v(0)

. (1.17)

Luego,

x(t) = x(0)cos t + v(0)

sin t. (1.18)

3. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.

Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional dela Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete ent es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gasesexpulsados (asumida negativa) en un instante t + dt .

Figura 1.6: Cohete en movimiento vertical.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la unica componente y de la fuerza,

mg =

dp

dt =

p(t + dt) p(t)dt

. (1.19)

Tenemos p(t) = mv, (1.20)

y p(t + dt) = ( m + dm)(v + dv) + ( dm)u. (1.21)


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Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases,vrel = ( v + dv) u. (1.22)

Luego,

p(t + dt) p(t) = mv + m dv + v dm + dmdv (1.23) v dm dmdv + dm v rel mv= m dv + vrel dm.

Sustituyendo en la Eq. (1.19), obtenemos

mg = mdvdt

+ vreldmdt

. (1.24)

La Eq. (1.24) se conoce como la ecuaci on del cohete . Si dmdt

= R (perdida demasa por unidad de tiempo, R = cte positiva), entonces

mg = vrel R + m dvdt ma = vrel R mg. (1.25)

De la ecuaci on del cohete, se puede obtener la variaci on de la velocidad del cohete,

dmm

vrel + dv = g dt. (1.26)Integrando entre un valor inicial de masa m0 en t = 0 y un valor nal m f en t = t,tenemos

vrel f

0

dmm +

f

0 dv = g t

0 dt

vf v0 = vrel lnm0m f gt. (1.27)

4. Partcula en un medio viscoso.

Figura 1.7: Partcula en medio viscoso.

La fuerza sobre una partcula en un medio viscoso se puede considerar proporcionala la velocidad de la partcula, F = v , donde es un coeciente de fricci oncaracterstico del medio. Supongamos que la partcula se mueve en la direcci on x.La Segunda Ley de Newton, F = ma , da:

v = mdvdt

. (1.28)


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Integrando obtenemos,v = c1e(/m ) t , c1 = v(0) ,

v(t) = v(0)e(/m ) t = dxdt

, (1.29)

x(t) = v(0) e(/m ) t dt,=

v(0)m

e(/m ) t + c2 . (1.30)

La constante c2 se determina usando la condici on inicial x(0),

x(0) =

v(0)m

+ c2

c2 = x(0) + v(0)m

, ; (1.31)

luego,

x(t) = x(0) + v(0)m

1 e(/m ) t . (1.32)

Se dene el momento angular de una partcula ubicada en la posici on r y cuya velo-cidad es v , como la cantidad vectorial

l r p = mr v . (1.33)El torque ejercido por una fuerza F sobre una partcula ubicada en r se dene como

r F . (1.34)La Ec. (1.34) se puede expresar como

= r F = r dpdt

= d(r p )

dt drdt p

= dl

dt + 0v p

= dl

dt . (1.35)

La Ec. (1.35) implica la conservaci on del momento angular : si = 0, entonces l =constante. Esto signica que cada componente del vector l es una constante.

En particular, una fuerza de la forma F = f (r )r , se denomina una fuerza central .La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, tenemos = 0. Luego, el momento angular se conserva en presencia de fuerzas centrales.


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La energa cinetica de una partcula se dene como la cantidad escalar

T 12

mv 2 . (1.36)

Se dene el trabajo realizado por una F externa sobre una partcula para llevarladesde una posici on r 1 hasta una posicion r 2 , como la integral de lnea

W 12 21 F ds , (1.37)donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posici on r 1 con la posicion r 2 .

Figura 1.8: Trayectora de un partcula entre r 1 y r 2 , sujeta a una fuerza F .

Note que ds = dr = v dt. Luego, si m es constante, podemos escribir,

W 12 = m 2

1

dvdt (v dt). (1.38)

Usamos la relaci on d(v v ) = 2 v dv = d(v2), para expresar

W 12 = 1

2m

2

1d(v v ) =

12

m 2

1d(v2)

= 1

2mv 22

12

mv21 ,

= T 2 T 1 . (1.39)Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una partcula desde la posici onr 1 hasta la posicion r 2 depende solamente de la diferencia de la energa cinetica que poseela partcula en r 2 y la energa cinetica que posee en r 1 .

Note que si se utiliza la misma fuerza y una misma trayectoria B para ir del punto 1al punto 2 que para volver de 2 a 1, entonces

2

1F ds

=

1

2F ds

W 12 (B ) = W 21 (B ), (1.40)

camino B camino B

puesto que ds (1 2) = ds (2 1) para la misma trayectoria.


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Si W 12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r 1 y r 2 ,entonces F se llama fuerza conservativa . Es decir; si F es conservativa, y A y B son doscaminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces

21 F ds

= 21 F ds

(1.41)

camino A camino B

Figura 1.9: Dos trayectorias distintas para ir del punto 1 al punto 2.

Luego, si F es conservativa, la Ec. (1.41) y la Ec. (1.40) implican que

2

1F ds

+

1

2F ds

= 0 (1.42)

camino A camino B

Figura 1.10: Contorno cerrado C .

Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa,

C F ds = 0 , (1.43)es decir; la integral de una F conservativa a lo largo de un contorno cerrado arbitrario C es cero.

Usando el Teorema de Stokes, la Ec. (1.43) para una fuerza conservativa se puedeescribir como

C F ds = S (F ) da = 0 (1.44)donde S es el area encerrada por el contorno cerrado C . Puesto que C es arbitrario, laEc. (1.44) implica para una fuerza conservativa,

F = 0 . (1.45)


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Por otro lado, la identidad vectorial = 0 implica que la fuerza conservativa Fdebe ser proporcional al gradiente de alguna funci on escalar. Se dene la funcion V (r )tal que

F = V (r ). (1.46)Luego, para una fuerza conservativa

W 12 = 21 V ds = 21 3

i =1

V x i

dx i

= 21 dV = V 1 V 2 . (1.47)Para toda fuerza, el trabajo W 12 es igual al cambio de energa cinetica, T 2

T 1 . En

sistemas conservativos, el trabajo tambien est a relacionado con cambios de otra funci onescalar que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2.

La funcion escalar V (r ) se denomina energa potencial y expresa la energa almacena-da en un sistema, relacionada con la posici on o conguracion de los elementos constitu-yentes del sistema. Por ejemplo, una partcula en campo gravitacional tiene una energapotencial que depende de su posici on; un resorte estirado o comprimido posee una energapotencial almacenada capaz de convertirse en trabajo.

La Ec. (1.47) para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.39) v alida para cualquierfuerza, conduce a la relacion

V 1 V 2 = T 2 T 1 ,T 1 + V 1 = T 2 + V 2 . (1.48)

La energa mec anica total de una partcula se dene como la cantidad escalar:

E T + V. (1.49)La Ec. (1.48) implica que

E 1 = E 2 . (1.50)

Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mec anica total es constante encualquier punto para sistemas conservativos,

E = T + V = constante . (1.51)

Si la funcion energa potencial depende del tiempo, adem as de las coordenadas,V (r , t ), la energa mec anica total puede no conservarse. Consideremos la derivada

dE dt

= ddt

(T + V ) = dT dt

+ dV dt

. (1.52)

TenemosdT dt

= mv dvdt

= F v . (1.53)


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Calculamos la derivada total con respecto al tiempo de V (r , t ) = V (x,y,z, t ),

dV (r )dt

=3

i =1

V x i

x i + V t

= V v + V t

. (1.54)

Luego,dE dt

= F v + V v + V t

= V v + V v + V t

(1.55)

donde hemos empleado F = V , para un sistema conservativo. Luego,dE dt

= V

t . (1.56)

La Ec. (1.56) es la condici on para la conservaci on de la energa mec anica : la energamecanica total es constante si la energa potencial V no depende explicitamente deltiempo,

V t

= 0 dE

dt = 0 E = constante . (1.57)

La energa potencial tambien puede ser denida para sistemas no conservativos; en esoscasos V depende explcitamente tanto de la posici on como del tiempo. La fuerza corres-pondiente puede expresarse como el gradiente de esta energa potencial. Sin embargo, eltrabajo hecho para mover una partcula entre los puntos 1 y 2 ya no es V 1 V 2 , puestoque V cambia con el tiempo cuando la partcula se mueve. La energa total puede serdenida tambien como E = T + V ; sin embargo, la cantidad E no se conserva duranteel movimiento.

1.2. Mecanica de un sistema de partculas

Consideremos un conjunto de N partculas en un sistema de referencia cartesiano.Sean m i y r i la masa y la posici on de la partcula i , respectivamente, con i = 1 , . . . , N .Denimos el vector r ij r j r i , que va en la direcci on de la partcula i a la partcula j .

Figura 1.11: Sistema de partculas en un sistema de referencia cartesiano.


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1.2. MEC ANICA DE UN SISTEMA DE PART ICULAS 21

El vector de posicion del centro de masa de un sistema de partculas se dene como

R im i r ii m i

= im i r i

M T , (1.58)

donde M T = i m i es la masa total del sistema.La velocidad del centro de masa esv cm =

dRdt

= 1M T i

m idr idt

. (1.59)

El momento lineal total del sistema de N partculas es

P T =i

p i =i

m idr idt

= M T dRdt

= M T v cm . (1.60)

Luego, el momento total P T es equivalente al momento de una partcula que posea lamasa total del sistema, moviendose con la velocidad del centro de masa del sistema.

Supongamos que existen fuerzas sobre las partculas, tanto internas como externas alsistema. Denotamos por F ji la fuerza que la partcula j ejerce sobre la partcula i, y porF ext (i) la fuerza total debida a inuencias externas sobre la partcula i.

Recordemos que las fuerzas de interacci on entre dos partculas i y j obedecen laTercera Ley de Newton,

F ji = F ij . (1.61)Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es m as restrictiva. Si F ij es central,

F ij = k|F ji |r ij , (1.62)

entonces las fuerzas sobre las partculas van en la direcci on (paralela o antiparalela) delvector r ij . Esta condicion sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley de acci on y reacci on . Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condici on; porejemplo, las fuerzas magneticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales..

Figura 1.12: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas.

La ecuaci on de movimiento para la partcula i puede expresarse como

j = i

F ji + F ext (i) = dp i

dt =

d2(m i r i )dt2

, (1.63)


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donde N i = j F ji es la suma de las fuerzas internas sobre la partcula i, debido a lasinteracciones con las otras partculas.

Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las partculas enla Ec. (1.63),

0

i j

F ji +i

F ext (i) =i

p i =i

d2

dt2(m i r i ) . (1.64)

El primer termino es cero porque las fuerzas se anulan en pares debido a la Tercera Ley,

i j

F ji =j i

F ij = j i

F ij = i j

F ji i j

F ji = 0 . (1.65)

Luego, si m i es constante i, la Ec. (1.64) queda

i

F ext (i) =i

m id2 r idt2

. (1.66)

Usando la denicion del centro de masa, la Ec. (1.58), se puede expresar como

i

F ext (i) =i

m id2 r idt2

= M T d2Rdt2

. (1.67)

Luego,

F ext (total) i

F ext (i) = dP T

dt , (1.68)

La Ec. (1.68) constituye una ecuaci on de movimiento para el centro de masa. Luego,si F ext (total) = 0, entonces P T es constante. Es decir, si la fuerza externa total sobreun sistema de partculas es cero, entonces el momento lineal total P T del sistema seconserva.

El momento angular de la partcula i es

li = r i p i . (1.69)Entonces, el momento angular total del sistema de partculas es

lT =i

l i =i

(r i p i ) =i

(r i m i v i ). (1.70)

Si denimos la posici on r i de la partcula i con respecto al centro de masa del sistema,tenemosr i = r i R , (1.71)

y su velocidad con respecto al centro de masa ser a

v i = v i v cm . (1.72)


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1.2. MEC ANICA DE UN SISTEMA DE PART ICULAS 23

Figura 1.13: Posici on relativa de una partcula con respecto al centro de masa.

Entonces, en terminos del centro de masa podemos escribir

lT =i

(r i + R ) m i (v i + v cm ) (1.73)

=i

(r i m i v i ) +

0

i

m i r i v cm

+ R

0

i

m i v i + R i

m i v cm . (1.74)

Para mostrar los terminos que se anulan en la Ec. (1.74), calculamos

M T R =i

m i r i

=i

m i (r i + R )

=i

m i r i + M T R

i

m i r i = 0 . (1.75)

Del mismo modo,

i

m i v i =i

m idr idt

= ddt

i

m i r i = 0 . (1.76)

Entonces, la Ec. (1.74) para el momento angular total queda

lT =i

(r i p i ) + R (M T v cm ) . (1.77)Luego, el momento angular total de un sistema de partculas consta de dos contribuciones:1) el momento angular del centro de masa, R (M T v cm );2) el momento angular relativo al centro de masa, i (r i p i ).


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Calculemos la derivada temporal de lT ,dlT dt

=N

i =1

ddt

(r i p i )

=i

0(v i mv i ) +

i

r i p i

=i

r i F ext (i) +j = i

F ji

=i

r i F ext (i) + 0

i j = i

(r i F ji ). (1.78)

Las sumas en el segundo termino de la Ec. (1.78) se pueden expresar en pares de la forma,

r i F ji + r j F ij = ( r j r i ) F ij = r ij F ij , (1.79)puesto que F ji = F ij , de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si adem as suponemos quese cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, F ij = k|F ji |r ij . Luego, r ij F ij = 0y el segundo termino de la Ec. (1.78) se anula.

Entonces,

dlT dt

=i

r i F ext (i)=

i

i (externo) = T (externo) . (1.80)

La Ec. (1.80) expresa la conservaci on del momento angular total de un sistema de partcu-las: si el torque externo total (externo total) = 0, entonces lT = constante.

Tambien se puede calcular la energa cinetica de un sistema de partculas en la forma

T total = 12

i

m i v2i . (1.81)

En coordenadas del centro de masa, v i = v i + v cm , y podemos escribir

T total = 1

2i

m i (v i + v cm ) (v i + v cm )

= 1

2 im

iv2

cm +

1

2 im

iv 2

i +

1

22v

cm im

iv

i. (1.82)

Pero m i v i = ddt

( m i r i ) = 0; luego

T total = 12

M T v2cm + 12

m i v 2i , (1.83)


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1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 25

Es decir, energa cinetica total de un sistema de partculas contiene dos contribuciones,1) la energa cinetica del centro de masa, 12 M T V 2

CM ;2) la energa cinetica relativa al centro de masa, 12 m i v

2i .

El trabajo para realizar un cambio de una conguraci on 1 de las partculas a unaconguraci on 2 es

W (conf1 conf2) =i

conf2

conf1F i ds i (1.84)

=i

conf 2

conf 1m i

dv idt (v i dt)

= 1

2 im i

conf 2

conf 1

d(v2i )

=12

i

m i v2iconf2

12

i

m i v2iconf1

= T conf2 T conf1 .Finalmente, la energa potencial de un sistema de partculas se puede expresar a partir

de

F T =i

F i =i

F ext (i) +

0

j j = i

F ji . (1.85)

Si F ext (i) es conservativa, se puede escribir como F ext (i) = V ext (i). Luego,

F T = i

V ext (i) . (1.86)

Se dene la energa potencial total como la suma

V T =i

V ext (i). (1.87)

1.3. Coordenadas generalizadas

Consideremos un sistema de N partculas, i = 1 , 2, . . . , N , cuyos vectores de posicion

son {r 1 , r 2 , . . . , r N }. Cada vector de posicion posee tres coordenadas, r i = ( x i , yi , zi ). Elsistema de N partculas con posiciones {r 1 , r 2 , . . . , r N }est a descrito por 3 N coordenadas.En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo,

el movimiento ocurre sobre un plano ( z = cte), o sobre un crculo ( x2 + y2 = cte), sobreuna esfera ( x2 + y2 + x2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar comorelaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.


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Si un sistema posee k restricciones, estas se puede expresar como k funciones o rela-ciones que ligan las coordenadas:

f 1(r 1 , r 2 , . . . , t ) = 0 ,f 2(r 1 , r 2 , . . . , t ) = 0 ,

...f k (r 1 , r 2 , . . . , t ) = 0 .

(1.88)

Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se lla-man restricciones holon omicas . El numero de coordenadas independientes cuando existenk restricciones holonomicas es s = 3 N k.

La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el n umero mnimo de

coordenadas necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertaddenen un conjunto de coordenadas generalizadas , denotadas por {q 1 , q 2 , . . . , q s}, el cualtiene asociado un conjunto de velocidades generalizadas {q 1 , q 2 , . . . , q s}.Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino

que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, oinclusive pueden ser otras variables fsicas. Las coordenadas generalizadas {q 1 , q 2 , . . . , q s }est an relacionadas con las coordenadas cartesianas {r 1 , r 2 , . . . , r N } por un conjunto detransformaciones:

r 1 = r 1(q 1 , q 2 , . . . , t ),r 2 = r 2(q 1 , q 2 , . . . , t ),

...

r N = r N (q 1 , q 2 , . . . , t ).

(1.89)

En general, el conjunto de ligaduras f (r 1 , r 2 , . . . , r N , t ) = 0, = 1 , 2, . . . , k , y lastransformaciones r i (q 1 , q 2 , . . . , q s , t ) = r i , i = 1 , 2, . . . , N , permiten expresar las coorde-nadas generalizadas en terminos de las coordenadas cartesianas, q j = q j (r 1 , r 2 , . . . , r N , t ), j = 1 , 2, . . . , s . Es decir, en principio, las transformaciones r i q j son invertibles.

Tambien pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cua-les se denominan restricciones no holon omicas . Estas se expresan como desigualdades oen forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.

Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:1. Pendulo plano.

Consiste en una partcula ( N = 1) con masa m colgada de un extremo de unavarilla rgida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo est a jo, tal quela varilla cual puede girar en un plano vertical.


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Figura 1.14: Pendulo simple con longitud l y masa m.

Hay dos restricciones, k = 2,

z = 0 f 1(x,y,z ) = z = 0 . (1.90)x2 + y2 = l2 f 2(x,y,z ) = x

2 + y2 l2 = 0 . (1.91)Luego, s = 3(1) 2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistemasugiere escoger q = como coordenada generalizada. Las transformaciones r (q ) son

x = l sin (1.92)y = l cos (1.93)

= tan 1

xy

. (1.94)

2. Pendulo doble.

Consiste en un pendulo plano que cuelga de otro pendulo plano. Hay dos partculas(N = 2) y seis coordenadas cartesianas correspondientes a r 1 y r 2 .

Figura 1.15: Pendulo doble.


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Hay k = 4 restricciones:f 1 = z1 = 0f 2 = z2 = 0f 3 = x21 + y22 l21 = 0f 4 = ( x2 x1)2 + ( y2 y1)2 l22 = 0 .

(1.95)

Luego, hay s = 3(2) 4 = 2 coordenadas generalizadas. La gura sugiere lascoordenadas generalizadas q 1 = 1 y q 2 = 2 . Las transformaciones r i (q ) sonx1 = l1 sin 1y1 = l1 cos1x2 = l1 sin 1 + l2 sin 2y2 = l1 cos1 l2 cos2 .

(1.96)

Las transformaciones inversas son

1 = tan 1 x1y1

(1.97)

2 = tan 1x1 x2y2 y1

. (1.98)

Entonces, q 1 = 1 y q 2 = 2 son coordenadas generalizadas.

3. Polea simple (maquina de Atwood).

Figura 1.16: Polea simple.

En este problema N = 2. Las restricciones se pueden expresar como

f 1 = y1 + y2 c1 = 0f 2 = x1 c2 = 0f 3 = x

2 c

3 = 0

f 4 = z1 = 0f 5 = z2 = 0 ,

(1.99)

donde c1 , c2 , c3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) 5 = 1. Se puede escogerq = y1 , o q = y2 como la coordenada generalizada.


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4. Partcula dentro de un cono invertido con angulo de vertice , cuyo eje es vertical.

Figura 1.17: Partcula moviendose dentro de un cono con su eje vertical.

Hay una partcula N = 1, y 3 coordenadas cartesianas para su posici on r = ( x,y,z ).Hay una restriccion, k = 1,

f 1(x,y,z ) = r z tan = ( x2 + y2)1/ 2 z tan = 0 . (1.100)Entonces, hay s = 3(1) 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomarcomo q 1 = r, q 2 = . Las transformaciones r (q ) son

x = r cosy = r sin z = r cot ,

(1.101)

y las transformaciones inversas son

= tan 1 yx

= q 1r = z tan = q 2 .

(1.102)

5. Partcula deslizando sobre un aro en rotaci on uniforme sobre su diametro.

Figura 1.18: Partcula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su di ametro verticalcon velocidad angular .


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La velocidad angular de rotaci on del aro sobre eje z es , asumida constante. Luego, = t.Restricciones:

f 1(x,y,z ) = x2 + y2 + z2 a2 = 0 ,yx

= tan = tan t

f 2(x,y,z, t ) = y x tan t = 0 .(1.103)

La funci on f 2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas comodel tiempo. Tenemos k = 2; luego, s = 3(1) 2 = 1. La coordenada generalizadaapropiada es q = .Las transformaciones de coordenadas r (q ) son

z = a cos

x = a sin cos ty = a sin sin t. (1.104)

En Mec anica Cl asica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sinocomo un par ametro.

6. Restricci on no holon omica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.

Figura 1.19: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano ( x, y ). Derecha:condici on de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instant aneo.

Existe la restriccion z = cte. Sea el angulo que forma el vector velocidad v conrespecto a la direccion y. La condici on de rodar sin deslizar se expresa como

ds = vdt = Rd v = R . (1.105)

Figura 1.20: Proyeccion del movimiento del aro sobre el plano ( x, y ).

Las componentes de la velocidad v son

x = v sin = R sin y = v cos = R cos .

(1.106)


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1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 31

Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holon omicaspara las coordenadas,dx Rd sin = 0dy + Rd cos = 0 . (1.107)

Las coordenadas generalizadas son ( x, y ) para ubicar el punto de apoyo instant aneoP , mas (,) para ubicar un punto cualquiera sobre el aro; luego s = 4.

7. Una restricci on no holon omica: partcula dentro de una esfera de radio R.La ligadura se expresa |r i | R.

Figura 1.21: Ligadura no holon omica: partcula dentro de una esfera.

1.4. Principios variacionales.

Consideremos dos puntos ( x1 , y1) y (x2 , y2) jos en el plano ( x, y ), unidos por unatrayectoria y = y(x), x [x1 , x2], tal que y(x1) = y1 y y(x2) = y2 , y cuya derivada esy (x) = dy

dx.

Figura 1.22: Funci on y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano ( x, y ).

Denimos una funcional como una funci on de varias variables f (y, y , x) cuyos argu-mentos son funciones y sus derivadas. Una funcional es una funci on de funciones dadas.Una funcional asigna un n umero a una funcion, mientras que una funci on asigna unnumero a otro numero.

Por ejemplo, consideremos la funcional f (y, y , x) = y(x) + y (x). Para la funciony(x) = 3 x + 2, tenemos f (y, y , x) = 3 x + 5; mientras que para y(x) = x2 , f (y, y , x) =x2 + 2 x. El valor resultante de una funcional dada depende de la funci on y.


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En los problemas de extremos en el c alculo diferencial buscamos el valor de unavariable para el cual una funci on es maxima o mnima. En cambio, los problemas deextremos en el c alculo variacional consisten en encontrar la funci on que hace que unaintegral denida sea extrema.

Principio variacional:Dada una funcional f (y, y , x), cu al es la y(x) que hace que la integral de-nida de lnea:

I = x2x 1 f (y, y , x)dx , (1.108)tenga un valor extremo (m aximo o mnimo) entre x1 y x2?.

Note que I es una integral denida y, por tanto, da como resultado un n umero cu-yo valor depende de la funcion y(x) empleada en el argumento de la funcional dadaf (y, y , x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y (x)), entonces cualquierotra trayectoria cercana a y(x) denida entre x1 y x2 debe incrementar (o disminuir) envalor de la integral I , es decir, debe variar I .

Se emplea la notacion I para indicar la variaci on de I . Luego, I = 0 implica que I es extremo.

El principio variacional sobre I requiere que I = 0 para una f dada, lo cual implicauna condici on sobre y(x). Para encontrar esta condici on, supongamos que y(x) es lafuncion que pasa por x1 y x2 , y que hace I = 0. Ahora, consideremos una trayectoriacercana a y(x) denida como

y(x, ) = y(x) + (x), (1.109)

donde es un par ametro que mide la desviaci on con respecto a la funcion y(x) y (x) esuna funci on arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe (x)), tal que se anule en lospuntos x1 y x2 : (x1) = (x2) = 0. Entonces y(x, ) tambien pasa por ( x1 , y1), (x2 , y2):

y(x1 , ) = y(x1) = y1 (1.110)y(x2 , ) = y(x2) = y2

Figura 1.23: Trayectoria y(x, ) = y(x) + (x).

Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, ),

I = x2x 1 f (y(x, ), y (x, ), x)dx = I (), (1.111)


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es decir, I es una funci on del par ametro . La condici on extrema I = 0 cuando = 0,implica quedI ()

d =0= 0 , (1.112)

lo cual a su vez implica una condicion sobre f y sobre y(x). Calculemos dI/d ,

dI d

= x2x 1 df (y(x, ), y (x, ), x)d dx (1.113)= x2x 1 f y y (x, ) + f y y (x, ) dx.

Pero,

y (x, ) = (x); y (x, ) = dydx = ddx y = ddx (1.114)

puesto que y x son independientes. Luego,

dI d

= x2x 1 f y (x) + f y ddx dx. (1.115)El segundo termino se integra por partes, usando ( uv) = u v + uv uv dx = uv u vdx, x2x 1 f y ddx dx = f y (x)

x 2

x 1 x2x 1 ddx f y (x)dx, (1.116)

pero,f y (x)

x 2

x 1 = f y ((x2) (x1)) = 0 (1.117)

puesto que (x2) = (x1) = 0. Luego:

dI d

= x2x 1 f y ddx f y (x)dx = 0 . (1.118)Evaluando en = 0,

dI d =0

= x2x 1 f y ddx f y =0 (x)dx = x2x 1 M (x)(x) = 0 , (1.119)donde

M (x) =f y

ddx

f y =0

. (1.120)

Cuando = 0, el integrando es una funci on de x solamente: M (x)(x). Luego, la con-dicion dI d =0 = 0 M (x)(x) = 0. Pero como (x) es una funci on arbitraria no nula,entonces debemos tener M (x) = 0. Se acostumbra escribir esta condici on en la forma

ddx

f y

f y

= 0 . (1.121)


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La Ec. (1.121) es la ecuaci on de Euler , y expresa la condicion que debe satisfacer lafuncion y(x) que hace I = 0 para una integral denida I de una funcional f (y, y , x)dada. La Ec. (1.121) es una ecuaci on diferencial de segundo orden para y(x), cuya soluci onpermite encontrar y(x) para las condiciones dadas.

Figura 1.24: Leonhard Euler (1707-1783).

Ejemplos.

1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia m as corta entre dospuntos dados en un plano.

Figura 1.25: Trayectoria m as corta entre dos puntos del plano ( x, y ).

El elemento de distancia sobre el plano es

ds = dx2 + dy2 . (1.122)

La distancia entre ( x1 , y1) y (x2 , y2) es

I = 21 ds = x2x 1 1 + dydx2

dx = x2x 1 f (y, y ) dx, (1.123)


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donde f (y, y ) = 1 + ( y )2.

Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mnimo de la integral I ; es decir, quehace I = 0. La ecuacion de Euler es la condicion que satisface esa y(x),

ddx

f y

f y

= 0 . (1.124)

Tenemosf y

= 0 , f

y =

y

1 + ( y )2. (1.125)

Luego, la ecuaci on de Euler conduce a

y

1 + ( y )2 = c = constante , (1.126)

y = c 1 c2

a (1.127)

y = ax + b, (1.128)

donde a y b son constantes.

2. Supercie mnima de revoluci on.

Encontrar el perl y(x) entre x1 , x2 que produce el area mnima de revoluci onalrededor del eje y.

Figura 1.26: Supercie mnima de revoluci on de y(x) alrededor de eje y.

El elemento de area de revolucion alrededor de eje y es

dA = 2 xds = 2 x dx2 + dy2 . (1.129)

Area de revolucion generada por y(x),

A = dA = 2 x2x 1 x 1 + ( y )2 dx. (1.130)


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Identicamos en el integrando la funcionalf (y, y x) = x 1 + ( y )2 . (1.131)

La ecuaci on de Euler,d

dxf y

f y

= 0 , (1.132)

requiere las derivadas,

f y

= 0 , f

y =

xy

1 + y 2. (1.133)

Sustituyendo en la ecuaci on de Euler, obtenemos

xy

1 + y 2= a = constante (1.134)

y = dy

dx =

a x2 a2

(1.135)

y = a dx x2 a2 (1.136)= a ln(x + x2 a2) + k. (1.137)

Los valores de las constantes a y k se determinan con ( x1 , y1) y (x2 , y2). Si escribi-mos k = ba ln a, la Ec. (1.137) tambien se puede expresar como

y ba = ln x + x2 a2a = cosh

1 xa

(1.138)

x = a coshy b

a, (1.139)

que es la ecuaci on de una catenaria .

3. Braquistocrona (del griego, tiempo m as corto).

Encontrar la trayectoria y(x) de una partcula en el campo gravitacional terrestreque da el menor tiempo posible para ir de un punto ( x1 , y1) a otro punto ( x2 , y2)sin friccion, partiendo del reposo ( v0 = 0).

Fijamos el punto ( x1 , y1) = (0 , 0). Para este problema, escogemos la direcci on deleje y hacia abajo, con el n de obtener la funci on y(x).Si v es la magnitud de la velocidad a lo largo de la trayectoria, entonces el elementode tiempo para recorrer una distancia innitesimal ds a lo largo de la trayectoriaes

dt = ds

v . (1.140)


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Figura 1.27: Problema de la braquistocrona.

El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t12 = 21 dsv = 21 dx2 + dy2v . (1.141)En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partcula esF = mgy y , y por lo tanto la energa potencial es V = mgy , tal que V (y = 0) = 0.Puesto que v0 = 0, la conservacion de la energa E = T + V da

0 = 12

mv2 mgy v = 2gy. (1.142)Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t1

2 =

2

1

dx2 + dy2

2gy , (1.143)

la cual se puede expresar como

t12 = y2y1 1 + ( x )22gy dy . (1.144)La integral t12 es del tipo

I = y2y1 f (x, x , y)dy , (1.145)donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identicamos la fun-cional

f (x, x , y) = 1 + ( x )2

2gy . (1.146)

La ecuaci on de Euler correspondiente es

ddy

f x

f x

= 0 . (1.147)


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Puesto que f x = 0, la ecuaci on de Euler queda

f x

= x

2gy 1 + ( x )2= c = constante . (1.148)

Note que la ecuacion de Euler para la funcional f (x, x , y) resulta mas sencilla quela ecuaci on correspondiente a una funcional f (y, y , x) en este caso. Luego,

x = dxdy

= 2gyc21 2gyc2 (1.149)

x =

y1

2gc 2 ydy =

y

2R ydy, (1.150)

donde hemos llamado 2 R 1/ 2gc2 . Haciendo el cambio de variabley = R(1 cos ), dy = R sin d, (1.151)

tenemos

x = R (1 cos )(1 + cos ) sin d = R (1 cos )2(1 cos2 ) sin d= R (1 cos ) d = R( sin ) + k. (1.152)

Luego, la trayectoria queda parametrizada en terminos de la variable ,y = R(1 cos ), (1.153)x = R( sin ), (1.154)

la cual corresponde a una cicloide que pasa por ( x1 , y1) = (0 , 0), con k = 0..

Figura 1.28: Trayectoria de la cicloide.

La constante R se determina con el punto ( x2 , y2) y da al valor del radio de lacircunferencia que genera la cicloide. Algunos puntos ayudan a trazar la cicloide,

= 2 y = R, x =

2

R; = x = R, y = 2R; = 2 x = 2 R, y = 0 .


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Figura 1.29: Johann Bernoulli (1667 -1748).

El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la Fsica. Fue planteadooriginalmente por Galileo, quien pens o que la trayectora m as corta era un arco decircunferencia. El problema fue estudiado a nos despues por Johann Bernoulli, cuyotrabajo condujo a la fundaci on del calculo variacional.

Principios variacionales y ecuaciones de Euler para funcionales de varias va-riables.

Consideremos una funcional de varias variables

f (yi (x), yi (x), . . . , x ) , , i = 1 , 2, . . . , s (1.155)

tal que la integral denida

I = x2x 1 f (yi (x), yi (x), x) dx (1.156)adquiera un valor extremo, i.e., I = 0, para las funciones yi (x), i = 1 , 2, . . . , s .

Figura 1.30: Trayectorias y1 (x) y y2 (x) en el espacio ( x, y 1 , y2 ).


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Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:f (yi (x, ), yi (x, ), . . . , x ) , i = 1 , 2, . . . , s . (1.157)

dondeyi (x, ) = yi (x) + i (x), (1.158)

y las i (x) son funciones arbitrarias que satisfacen

i (x1) = i (x2) = 0 . (1.159)

Consideremos la integral denida con las funciones yi (x, ) como argumentos,

I ( ) =

x2

x 1

f [yi (x, ), yi (x, ), x]dx. (1.160)

La condici on de que I (0) sea extremo, o que I = 0, implica que

dI d =0

= 0 . (1.161)

CalculamosdI d

= x2x 1s

i =1

f y i

y i

+ f y i

y i

dx, (1.162)

dondey i (x, )

= i (x);

yi (x, )

= i (x). (1.163)

El segundo termino en la suma de la Ec. (1.162) se integra por partes:

x2x 1 f y i i (x)dx = 0

f y i

i (x)x 2

x 1 x2x 1 ddx f y i i (x)dx , (1.164)

en virtud de la condicion Ec. (1.159) sobre las funciones i (x). Luego,

dI d

= x2x 1s

i =1

f y i

ddx

f y i

i (x)dx. (1.165)

La condici ondI d =0

= 0 , (1.166)

implica las s condiciones

ddx

f y i

f y i

= 0 , i = 1 , 2, . . . , s (1.167)

que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada funci on yi (x).


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1.5. PRINCIPIO DE M INIMA ACCI ON Y ECUACIONES DE LAGRANGE. 41

1.5. Principio de mnima acci on y ecuaciones de La-grange.

Consideremos un sistema descrito por s coordenadas {q 1 , q 2 , . . . , q s}y sus correspon-dientes s velocidades generalizadas {q 1 , q 2 , . . . , q s }.Denimos una funcional escalar de {q j }, {q j } y t , dado porL(q j , q j , t ) = T V, (1.168)

donde T y V son la energa cinetica y la energa potencial del sitema, expresadas en termi-nos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(q j , q j , t ) se denominaLagrangiano del sistema.

Por ejemplo, la energa cinetica y la energa potencial de un oscilador arm onico simple

son, respectivamente,T =

12

mx2 ; V = 12

kx 2 , (1.169)

y el Lagrangiano correspondiente es

L = 12

mx2 12

kx 2 . (1.170)

En principio, todo sistema mec anico, se puede caracterizar por un Lagrangiano L.Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t1 y t = t2

est a descrito por

t1 : {q j (t1)}, {q j (t1)}; t2 : {q j (t2)}, {q j (t2)}. (1.171)

La acci on del sistema se dene como la integral denida

S = t2t 1 L(q j , q j , t ) dt . (1.172)

Figura 1.31: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).


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Principio de mnima acci on:La evoluci on del sistema entre el estado en t 1 y el estado en t 2 es tal que S sea mnima, es decir, S = 0 (S es un extremo).

El Principio de mnima acci on es un principio variacional; establece que las ecuacionesde movimiento de un sistema, en terminos de sus coordenadas generalizadas, puedenformularse a partir del requerimiento de que una cierta condici on sobre S sea satisfecha.

El Principio de mnima acci on fue formulado en distintas formas por Maupertuis ypor Hamilton; tambien se llama Principio de Hamilton.

Sean q j = q j (t) las trayectorias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consi-deremos la variacion de q j como q j (t) + q j (t), y la variaci on de q j como q j (t) + q j (t).Supongamos extremos jos t1 y t2 . Luego q j (t1) = q j (t2) = 0.

La variaci on de q j produce un incremento en el valor de S . La variaci on en S cuando

q j (t) es reemplazado por q j (t) + q j (t), y q j por q j (t) + q j (t), es

S = t2t 1 L(q j , q j , t )dt= t2t 1 L(q j + q j , q j + q j , t )dt t 2t 1 L(q j , q j , t )dt. (1.173)

El principio de mnima acci on requiere que

S = t2t 1s

j =1

Lq j

q j + L q j

q j dt = 0 . (1.174)

Similar a la integral I , podemos expresar el segundo termino como

t 2

t 1

L q j

ddt

(q j )dt = L q j

q jt 2

t 1

t2

t 1

ddt

L q j

q j , (1.175)

dondeL q j

q jt 2

t 1= 0 . (1.176)

Luego, la condici on S = 0 implica s ecuaciones:

ddt

L q j

Lq j

= 0 , i = 1 , . . . , s . (1.177)

Las Ecs. (1.177) se denominan ecuaciones de Lagrange . Constituyen s ecuaciones diferen-ciales acopladas de segundo orden para las s coordenadas q j (t) que describen la evoluciondel sistema en el tiempo.

Se pueden establecer las siguientes analogas entre el Principio de mnima acci on yun principio variacional:

S = t2t 1 L(q j , q j , t )dt I = x2x 1 f (yi , yi , x)dx (1.178)


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L(q j , q j , t ) f (yi , yi , x)t xq j yiq j yi

q j (t) j (x) q j (t) j (x).

Figura 1.32: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).

Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si lascoordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las partculasdel sistema. Para ver esto, consideremos N partculas: = 1 , 2, . . . , N . Llamemos j a lascomponentes cartesianas de la partcula : x j () Asumamos las coordenadas cartesianas

como coordenadas generalizadas: q j = xj ().La energa cinetica del sistema es

T =N

=1

3

i=1

12

m x2i (). (1.179)

La energa potencial es

V =N

=1V (r (1) , r (2), . . . , r (N )) . (1.180)

El Lagrangiano esta dado por

L = T V =N

=1

3

i =1

12m x2i ()

N

=1V (r (1) , r (2) , . . . , r (N )) . (1.181)

La ecuaci on de Lagrange para la coordenada x j () es

ddt

L x j ()

Lx j ()

= 0 . (1.182)


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CalculamosL

x j ( ) =

T x j ()

= m()x j () = pj (),

Lx j ( )

= V x j ()

= F j ( ).

Sustitucion en la ecuaci on de Lagrange para x j ( ) da

dpj ()dt

= F j ( ), (1.183)

lo que corresponde a la componente j de la 2da ley de Newton para la partcula .Sumando sobre todas las partculas,

N

=1

dpj ()dt

=N

=1F j () = componente j de la fuerza total (1.184)

pero

P j =N

=1 pj () = componente j del momento lineal total . (1.185)

Luego,dP jdt

= F j (total) (1.186)

lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema. Luego,

si q j = x j ( ), es decir, si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadascartesianas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley de Newton parael sistema.

Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teora del movimiento; losresultados de la formulaci on Lagrangiana o de la formulaci on Newtoniana del movimientode un sistema dado son los mismos; tan s olo la descripci on y el metodo usado para obteneresos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto fsico.

Las leyes de Newton enfatizan causas externas (fuerzas) actuando sobre un cuer-po, mientras que la formulaci on Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energascinetica y potencial) asociadas con el cuerpo. En contraste con el punto de vista Newto-niano de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mnima acci on describeeste como el resultado de un prop osito de la Naturaleza.

Las ecuaciones de Lagrange son m as generales que la segunda Ley de Newton; adem asde sistemas mecanicos cl asicos, se pueden aplicar para todo sistema donde se puededenir un Lagrangiano, incluyendo medios contnuos, campos, Mec anica Cu antica. ElPrincipio de Mnima acci on sugiere una conexion profunda entre la Fsica y la Geometra,una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teoras fsicas. Comoveremos, una ventaja de la formulaci on Lagrangiana es que permite descubrir simetrasfundamentales presentes en sistemas fsicos.


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Las ecuaciones de movimiento de muchos sistemas, adem as de sistemas mecanicos,pueden derivarse a partir de alg un principio variacional. Por ejemplo, el Principio de Fermat establece que la propagaci on de la luz entre dos puntos dados en un mediosigue la trayectoria que corresponde al tiempo mnimo. A partir de ese principio, puedenobtenerse las leyes de la Optica Geometrica.

Figura 1.33: Pierre de Fermat (1601-1665).

Propiedades de las ecuaciones de Lagrange.

1) Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se leagrega una derivada total temporal de una funci on f (q j , t ).

Sea L(q j , q j , t ) el Lagrangiano del sistema para el cual S = 0. Entonces, el nuevoLagrangiano sera

L (q j , q j , t ) = L(q j , q j , t ) + df (q j , t )

dt . (1.187)

La nueva acci on es

S = t2t 1 L (q j , q j , t )dt= t2t 1 L(q j , q j , t )dt + f (q (t2), t 2) f (q j (t1), t 1). (1.188)

Luego,S = S + f (q j (t2), t 2) f (q j (t1), t 1), (1.189)

pero f (q j (t2), t 2) y f (q j (t1), t 1) son cantidades jas cuya variaci on es cero. Luego S =S , y la condici on S = 0S = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que sederivan de L y de L son equivalentes.

2) La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto decoordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.


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La derivaci on de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadasgeneralizadas especcas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no dependede un conjunto particular de coordenadas {q i}. Se puede escoger otro conjunto de scoordenadas generalizadas independientes {Q i}, y las ecuaciones de Lagrange tambiense cumplen en esas coordenadas.

Sea {q i}, i = 1 , . . . , s , un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema cons grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(q i , q i , t ). Las ecuaciones de Lagrange paraestas coordenadas son

ddt

L q j

Lq j

= 0 . (1.190)

Supongamos una transformaci on a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Q i},i = 1 , . . . , s , de la formaq i = q i (Q1 , Q2 , . . . , Q s , t ), (1.191)

la cual se conoce como una transformaci on puntual . Entonces, el Lagrangiano expresadocomo funci on de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas L(Q i , Q i , t ) tambiensatisface las ecuaciones de Lagrange

ddt

L Q i

LQ i

= 0 . (1.192)

Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.191) calculamos

q i = dq i

dt =

s

k =1

q iQ k

Qk + q it

. (1.193)

Luego, q i = q i (Q1 , . . . , Q s , Q1 , . . . , Qs , t ). (1.194)

Entonces, el Lagrangiano se puede expresar como funci on de las nuevas coordenadas yvelocidades generalizadas,

L(q 1 , . . . , q s , t ) = L[q i (Q1 , . . . , Q s , t ), q i (Q1 , . . . , Q s , Q1 , . . . , Qs , t ), t ]. (1.195)

Tenemos,LQ i

=s

j =1

Lq j

q jQ i

+ L q j

q jQ i

, (1.196)

y

L Q i =

s

j =1

Lq j

0

q j

Q i + L q j

q j

Q i =s

j =1

L q j

q j

Q i . (1.197)

Notemos que q j Q i

=s

k=1

q jQ k

Qk Q i

=s

k =1

q jQ k

ik = q jQ i

. (1.198)


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1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS. 47

Luego,

ddt

L Q i

LQ i

= ddt

s

j =1

L q j

q jQ i

s

j =1

Lq j

q jQ i

+ L q j

q jQ i

=s

j =1

q jQ i

ddt

L q j

Lq j

+ L q j

ddt

q jQ i

q jQ i

. (1.199)

El primer termino en la Ec. (1.199) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.190). Por otro lado,

q jQ i

= Q i

dq jdt

= ddt

q jQ i

, (1.200)

por lo cual, el segundo termino en la Ec. (1.199) tambien se anula. Luego,

ddt

L Q i

LQ i

= 0 . (1.201)

Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformacionespuntuales de las coordenadas generalizadas.

Por ejemplo, consideremos una partcula en un plano. Las ecuaciones de Lagrangepara la partcula en coordenadas cartesianas {q i}= {x, y}tienen la misma forma que lascorrespondientes ecuaciones en coordenadas polares {Q i}= {r,}, donde las relacionesq i = q i (Q j , t ) son

x = r cosy = r sin .

1.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para variossistemas.

1. Pendulo simple.

Figura 1.34: Coordenada generalizada para el pendulo simple.


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Vimos que la coordenada generalizada es el angulo . Entonces,x = l sin , x = l cos

y = l cos , y = l sin Expresamos T y V en funcion de y ,

T = 12

mv 2 = 12

m(x2 + y2) = 12

ml 2 2 . (1.202)

V = mgy = mgl cos . (1.203)Entonces, el Lagrangiano es

L = T

V =

1

2ml 2 2 + mgl cos . (1.204)

La ecuaci on de Lagrange para es

ddt

L

L

= 0 (1.205)

Calculamos los terminos

L

= mgl sin , L

= ml 2 ,

ddt

L

= ml 2 . (1.206)

Luego, la ecuaci on de Lagrange queda como

ml 2 + mgl sin = 0 , (1.207)

+ gl sin (1.208)

que es la conocida ecuaci on del pendulo simple.

2. Oscilador armonico.

Figura 1.35: Oscilador armonico simple.

Usando la coordenada generalizada x, tenemos

T = 12

mx2 , V = 12

kx 2 , (1.209)

L = T V = 12

mx2 12

kx 2 . (1.210)


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La ecuaci on de Lagrange para x esddt

L x

Lx

= 0 . (1.211)

CalculamosL x

= mx ; L

x = kx. (1.212)

Luego, obtenemos

mx + kx = 0 ,x + 2x = 0 , (1.213)

donde 2

k/m .

3. Partcula libre.La condici on de estar libre signica que no hay fuerza neta sobre la partcula,F = V = 0. Luego, V = constante para una partcula libre.a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es

L = T = 12

m(x2 + y2 + z2). (1.214)

Las ecuaciones de Lagrange

ddt

L x i

Lx i

= 0 , i = 1 , 2, 3, (1.215)

conducen aL x i

= mx i = constante , (1.216)

que expresan la conservaci on de la componente i del momento lineal de la partcula.

b) Lagrangiano en coordenadas esfericas.

Figura 1.36: Coordenadas esfericas para una partcula.


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Las coordenadas se expresan comox = r sin cosy = r sin sin z = r cos .

(1.217)

Las velocidades son

x = r sin cos + r cos cosr sin sin y = r sin sin + r cos sin + r sin cosz = r cos r sin .

(1.218)

Substitucion en L da

L = 12m(r2 + r 2 2 + r 22 sin2 ). (1.219)

4. Partcula en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.37: Partcula en el campo gravitacional terrestre..

El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un planovertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas ( x, y ) como coordena-das generalizadas. Supongamos que la partcula posee posici on inicial ( xo , yo) yvelocidad inicial ( vox , voy ). Entonces,

T = 12

m(x2 + y2), V = mgy (1.220)

L = T V = 12

m(x2 + y2) mgy. (1.221)La ecuaci on de Lagrange para x es

ddt

L x

Lx = 0 , (1.222)

la cual resulta en

mx = 0 x = 0 (1.223)x = b1 t + b2 , (1.224)


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con b1 y b2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemosx(t) = xo + vox t. (1.225)

La ecuaci on de Lagrange para y es

ddt

L y

Ly

= 0 , (1.226)

lo que conduce a

my + mg = 0 y = g (1.227)y =

12

gt2 + c1t + c2 . (1.228)

Usando las condiciones iniciales, podemos expresar

y(t) = yo + voy t 12

gt2 (1.229)

La trayectoria descrita por la partcula es una par abola ,

y(x) = yo + voyvox

(x xo) g2v2ox

(x xo)2 . (1.230)La trayectoria parab olica corresponde a la minima acci on; mientras que la cicloidecorresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.

5. Partcula moviendose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.38: Partcula moviendose sobre un cono invertido.

Coordenadas generalizadas son q 1 = y q 2 = r . Entonces,

x = r cosy = r sin z = r cot .

(1.231)

Las velocidades correspondientes son

x = r cosr sin y = r sin + r cosz = r cot .

(1.232)


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Energa cinetica,

T = 12

mv2 = 1

2m(x2 + y2 + z2)

= 1

2m[r 2(1 + cot 2 ) + r 22]

= 1

2m(r 2 csc2 + r 2). (1.233)

Energa potencial,V = mgz = mgr cot . (1.234)

Por lo tanto, el Lagrangiano L = T V es

L = 12m(r

2csc

2 + r

2

2) mgr cot . (1.235)


ddt

L

L

= 0 , (1.236)

dondeL

= 0 , (1.237)

Luego,L

= mr 2 = cte lz . (1.238)La cantidad constante es la componente lz del momento angular en terminos delas coordenadas generalizadas, lo que se puede vericar calculando la componentecartesiana lz = m(xy yx), y usando las Ecs. (1.231) y (1.232). La componentelz se conserva porque la componente z del vector de torque total producido porlas fuerzas actuantes sobre la partcula (su peso y la fuerza normal ejercida por lasupercie del cono) es cero.La ecuaci on de Lagrange para r es

ddt

L r

Lr

= 0 , (1.239)

dondeL

r = mr 2

mg cot , L

r = mr csc2

. (1.240)Luego,

r csc2 r 2 + g cot = 0 , (1.241)r r 2 sin2 + g sin cos = 0 . (1.242)


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6. Pendulo doble.Consiste en un pendulo de longitud l1 y masa m1 , del cual cuelga un segundopendulo de longitud l2 y masa m 2 .

Figura 1.39: Pendulo doble.

Coordenadas generalizadas son q 1 = 1 , q 2 = 2 . Luego,

x1 = l1 sin y1 = l1 cos

x1 = l1 1 cos1

y1 = l1 1 sin 1

(1.243)

x2 = l1 sin + l2 sin 2y2 = l1 cos l2 cos2

x2 = l1 1 cos1 + l2 2 cos2

y2 = l1 1 sin 1 + l2 2 sin 2

(1.244)

La energa cinetica de partcula 1 es

T 1 = 1

2m1v21 =

1

2m1(x21 + y

21 ) =

1

2m1 l21

21 . (1.245)

La energa cinetica de partcula 2 es

T 2 = 12

m2v22 = 1

2m2(x22 + y

22 )

= 1

2m2[l21

21 + l

22 22 + 2 l1 l2 1 2(cos 1 cos2 + sin 1 sin 2)]

= 1

2m2[l21

21 + l

22 22 + 2 l1 l2 1 2 cos(1 2)]. (1.246)

Las energas potenciales de las partculas se pueden expresar como

V 1 = m1gy1 = m1gl1 cos1 (1.247)V 2 = m2gy2 =

m2g(l1 cos1 + l2 cos2). (1.248)

La energa cinetica del sistema es T = T 1 + T 2 y la energa potencial es V = V 1 + V 2 .El Lagrangiano del sistema es L = T V , lo que conduce a

L = 1

2(m1 + m2)l21

21 +

12

m2 l22 22 + m2 l1 l2 1 2 cos(1 2)

+ ( m1 + m2)gl1 cos1 + m2gl2 cos2 . (1.249)


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Ecuaci on de Lagrange para 1 ,ddt

L 1

L1

= 0 , (1.250)

donde

L1

= m2 l1 l2 1 2 sin(1 2) (m1 + m2)gl1 sin 1L 1

= ( m1 + m2)l21 1 + m2 l1 l2 2 cos(1 2)ddt

L 1

= ( m1 + m2)l21 1 + m2 l1 l2[2 cos(1 2) 2(1 2) sin( 1 2].

Por lo tanto, la ecuaci on de Lagrange para 1 queda

(m1 + m2)l21 1 + m2 l1 l2 2 cos(12)+ m2 l1 l2 22 sin(12)+( m1 + m2)gl1 sin 1 = 0 .(1.251)Ecuaci on de Lagrange para 2 es

ddt

L 2

L2

= 0 , (1.252)

donde

L2

= m2 l1 l2 1 2 sin(1 2) m2gl2 sin 2L 2 = m

2 l22 2 + m2 l1 l2 1 cos(1 2)ddt

L 2

= m2 l22 2 + m2 l1 l2[1 cos(1 2) 1(1 2) sin( 1 2].

Luego, la ecuaci on de Lagrange para 2 queda

m2 l22 2 + m2 l1 l2 1 cos(1 2) m2 l1 l2 21 sin(1 2) + m2gl2 sin 2 = 0 . (1.253)Despejando 1 y 2 , las ecuaciones de Lagrange para 1 y 2 se pueden expresarcomo

1 = g(sin 2 cos sin 1) (l2 22 + l1 21 cos )sin

l1( cos2

) (1.254)

2 = g(sin 1 cos sin 2) (l1 21 + l2 22 cos )sin

l2( cos2 ) , (1.255)

donde 1 2 , y 1 + m1 /m 2 . Las ecuaciones de movimiento del pendulodoble son no lineales y acopladas para 1 y 2 .


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7. Pendulo con soporte deslizante horizontalmente sin fricci on.

Figura 1.40: Pendulo con soporte deslizante.

Coordenadas generalizadas son q 1 = x1 y q 2 = .

x2 = x1 + l sin , x2 = x1 + l cos y2 = l cos , y2 = l sin .

Energa cinetica,

T = 12

m1 x21 + 12

m2(x21 + l2 2 + 2 x1 l cos ). (1.256)

Energa potencial,V = m2gy2 = m2gl cos . (1.257)

Lagrangiano,

L = T

V =

1

2(m1 + m2)x21 +

1

2m2(l2 2 + 2 x1 l cos ) + m2gl cos . (1.258)

Ecuaci on de Lagrange para x1 ,

ddt

L x1

Lx 1

= 0 , (1.259)

dondeLx 1

= 0 , L

x1= ( m1 + m2)x1 + m2 l cos . (1.260)

Luego, la ecuaci on para x1 queda

(m1 + m2)x1 + m2 l cos = cte P x , (1.261)esta ecuaci on expresa la conservacion de la componente P x del momento lineal totalen direcci on del eje x, puesto que no hay fuerzas netas en esa direcci on.

Ecuaci on de Lagrange para ,

ddt

L

L

= 0 , (1.262)


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dondeL

= m2 lx1 sin m2gl sin ; L

= m2 x1 l cos + m2 l2 . (1.263)

Por lo tanto, la ecuaci on de Lagrange para es

l + x1 cos x1 sin + x1 sin + g sin = 0 , (1.264)l + x1 cos + g sin = 0 . (1.265)

8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Figura 1.41: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y , lascuales est an ligadas por una restricci on no holon omica, que es la condici on derodar sin deslizar: x = R. Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger comocoordenada generalizada a x o a .

La energa cinetica del aro es

T = T cm + T relativa al CM (1.266)

donde T cm es la energa cinetica de translaci on,

T cm = 12

mx2 , (1.267)

y T rel. al CM es la energa cinetica de rotaci on,

T rel. al CM = 12

I 2 = 12

(mR 2)2 = 12

mR 2 2 . (1.268)


V = mgh = mg(l x)sin . (1.269)Entonces, el Lagrangiano es

L = T V = 12

mx2 + 12

mR 2 2 mg(l x)sin . (1.270)


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Sustituyendo = x/R en L, obtenemosL = mx2 + mgx sin mgl sin . (1.271)

El termino constante mgl sin se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuacionesde movimiento. La ecuaci on de Lagrange para x es

ddt

L x

Lx

= 0 (1.272)

dondeLx

= mg sin , L

x = 2 mx. (1.273)

Luego,x

g

2 sin = 0 . (1.274)

El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleraci on quetendra si simplemente deslizara sin fricci on.

9. Pendulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en unplano vertical, con velocidad angular constante .

Figura 1.42: Pendulo con soporte en movimiento circular uniforme.

Expresamos = t. Luego,

x = a cos t + l sin , x = a sin t + l cos (1.275)y = a sin t l cos , y = a cos t + l sin . (1.276)

Energa cinetica,

T = 12

m(x2 + y2) = 12

m[a22 + l2 2 + 2 al (sin cos t cos sin t)]. (1.277)Energa potencial,

V = mgy = mg(a sin t l cos ). (1.278)El Lagrangiano es

L = T V = 12

m[l2 2 + 2 al sin( t)] + mgl cos , (1.279)


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donde hemos omitido terminos constantes ( a22) y la derivada total df dt = mga sin t,

con f = mga

cost.


ddt

L

L

= 0 . (1.280)

donde

L

= mal cos( t) mgl sin ,L

= ml2 + mal sin(

t),

ddt

L

= ml2 + mal ( ) cos( t).

Sustituyendo en la ecuaci on de Lagrange para , obtenemos

l2 + al cos( t) a2 l cos( t) al cos( t) + gl sin = 0 , (1.281)lo cual queda como

a2

l cos( t) +

gl sin = 0 . (1.282)

Note que si = 0, la Ec. (1.282) corresponde a la ecuaci on de movimiento de un

pendulo simple.En este sistema,

V t = 0, por lo que la energa total E = T + V no se conserva;

se requiere un suministro continuo de energa para mantener girando el soporte delpendulo con velocidad angular constante.

10. Pendulo de resorte.

Figura 1.43: Pendulo de resorte.


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El movimiento de la partcula ocurre en el plano vertical ( x, y ). Denimos k comola constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de lamasa m), y r es la longitud del resorte con la masa m.Las coordenadas generalizadas son q 1 = r y q 2 = . Entonces,

x = r sin y = r cos ,x = r cos + r sin y = r sin r cos .

(1.283)

La energa cinetica es

T = 1

2m(x2 + y2) =

1

2m(r 2 + r 2 2). (1.284)


V = 12

k(r l)2 mgr cos . (1.285)Entonces, el Lagrangiano es

L = T V = 12

m(r 2 + r 2 2) 12

k(r l)2 + mgr cos . (1.286)La ecuaci on de Lagrange para es

d

dt

L

L

= 0 , (1.287)

la cual se puede escribir como

r + 2 r + g sin = 0 . (1.288)

La ecuaci on de Lagrange para r es

ddt

L r

Lr

= 0 , (1.289)

que da como resultado,

r

r 2 +

k

m(r

l)

g cos = 0 . (1.290)


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11. El soporte de un pendulo plano de masa m y longitud l rota sin fricci on con velo-cidad angular uniforme alrededor del eje vertical z.a) Encontrar la ecuaci on de movimiento del pendulo.b) Encontrar el angulo de equilibrio del pendulo.

Figura 1.44: Pendulo con soporte giratorio.

La coordenada generalizada es q = .

a) Para encontrar la ecuaci on de movimiento, expresamos

x = l sin cos t,y = l sin sin t,z = l cos ,

(1.291)

y las velocidadesx = l cos cos t

l sin sin t

y = l cos sin t + l sin cos tz = l sin .

(1.292)

La energa cinetica es

T = 12

m x2 + y2 + z2 = 12

ml 2 2 + 2 sin2 . (1.293)

La energa potencial correspondiente es

V = mgz = mgl cos . (1.294)El Lagrangiano es

L = T V = 12ml 2 2 + 2 sin2 + mgl cos . (1.295)La ecuaci on de Lagrange para es

ddt

L

L

= 0 , (1.296)


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la cual resulta en 2 sin cos + gl sin = 0 . (1.297)b) En los puntos de equilibrio , las fuerzas netas se anulan y las coordenadas gene-ralizadas q j satisfacen la condicion q j = 0 (aceleracion se hace cero).

El angulo de equilibrio o del pendulo est a dado por la condicion = 0 en laecuaci on de movimiento,

= 02 sin o coso =

gl sin o (1.298)

Hay dos posibles soluciones,

sin o = 0o = 0 , (1.299)

2 cos 0 = gl o = cos1 g2 l . (1.300)

12. Regulador volante.

Figura 1.45: Regulador volante.

El punto O en extremo superior est a jo. La longitud a de la varilla es constante.La masa m2 se mueve sin fricci on sobre el eje vertical y que pasa por el puntoO, mientras que las masas dos masas m 1 giran con velocidad angular constante alrededor del eje y.Las coordenadas para m 2 son

x2 = 0y2 = 2a cos z2 = 0

(1.301)

Las coordenadas para una de las masas m 1 son

y1 = a cos ,x1 = a sin sin t,z1 = a sin cos t.

(1.302)


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Coordenadas para la otra masa m 1 ,y1 = y1 ,x1 = x1 ,z1 = z1 .

(1.303)

Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = .Tenemos,

T = 1

22m1(x21 + y

21 + z

21 ) +

12

m2 y22

= m1(a2 2 + 2a2 sin2 ) + 2 m2a2 2 sin2 .V = 2m1gy1 + m2gy2 = 2m1ga cos 2m2ga cos .L = T V = m1(a2 2 + 2a2 sin2 ) + 2 m2a2 2 sin2 + 2( m1 + m2)ga cos .


ddt

L

L

= 0 , (1.304)

donde

L

= 2 m1a2 + 4 m2a2 sin2 ,

ddt

l

= 2 m1a2 + 4 m2a2( sin2 + 2 2 sin cos ),

L = 2 m12a2 sin cos + 4 m2a2 2 sin cos 2(m1 + m2)ga sin ,

Sustituyendo en la ecuaci on de Lagrange, obtenemos

2a2(m1 + 2 m2 sin2 ) + 4 m2a2 2 sin cos (1.305)

2m12a2 sin cos + 2( m1 + m2)ga sin = 0 ,Note que si = 0 y m 2 = 0, la ecuaci on se reduce a

+ ga

sin = 0 , (1.306)

que es la ecuaci on del pendulo simple.

13. Encuentre la ecuacion de movimiento de una partcula de masa m que se mueve enuna dimension x, cuyo Lagrangiano es

L = 12

m(x2 2x2)et , (1.307)donde las constantes y son cantidades reales y positivas.


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La ecuaci on de Lagrange esddt

L x

Lx

= 0 , (1.308)

dondeL x

= me t x, L

x = m2xet , (1.309)

lo que conduce ax + 2x + x = 0 , (1.310)

que es la ecuaci on de un oscilador armonico amortiguado. La fuerza restauradoraes m2x y la fuerza de fricci on proporcional a la velocidad es m x. Note que

T = 12 mx2et , V = 12 m

2x2et . (1.311)

La energa mecanica total no se conserva en este sistema, puesto que V

t = 0.


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1.7. Problemas1. El principio de Fermat establece que la propagaci on de la luz entre dos puntos

dados sigue la trayectoria de mnimo tiempo.a) Determine la trayectoria de un rayo de luz dentro de un disco cristalino de radioa, grosor despreciable, y cuyo ndice de refracci on n varia radialmente comoa) n (r ) = a/r .b) n (r ) = a/r 2 .c) Encuentre n (r ) tal que un rayo de luz dentro de este disco describa una trayec-toria circular.

2. Calcule la trayectoria que da la distancia m as corta entre dos puntos sobre lasupercie de un cono invertido, con angulo de vertice . Use coordenadas cilndricas.

3. Determine la curva y(x) para la cual alcanza su valor extremo la integral I =

/ 2

0 (y )2

y2 dx, tal que y(0) = 0 , y(/ 2) = 1.

4. Calcule el valor mnimo de la integral

I = 10 (y )2 + 12 xy dx,donde la funci on y(x) satisface y(0) = 0 y y(1) = 1.

5. En los p aramos andinos se encuentra el pueblo A y, a una distancia de 2 Kmal este de A, est a el pueblo B. El terreno entre estos dos pueblos es muy irregu-lar y no hay carreteras asfaltadas. Sin embargo, la experiencia ha indicado quela velocidad de un ciclista en bicicleta monta nera en esa zona se puede expresaraproximadamente como v = 10(Km/h) ey/ 3 , donde y es la distancia en Km medidaperpendicularmente a la lnea recta que une A y B . Cu al es el mnimo tiempo quetardara un ciclista entre los pueblos A y B ?.

6. La forma adoptada por una cuerda uniforme de densidad que cuelga suspendidaentre dos puntos en un campo gravitacional corresponde al mnimo de su energapotencial. Determine esa forma.


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1.7. PROBLEMAS 65

7. Encuentre la geodesica (i.e. la trayectoria de menor distancia) entre los puntosP 1 = ( a, 0, 0) y P 2 = ( a, 0, ) sobre la supercie x2 + y2 a2 = 0. Use coordenadascilndricas.8. Un cuerpo se deja caer desde una altura h y alcanza el suelo en un tiempo T . La

ecuaci on de movimiento concebiblemente podra tener cualquiera de las formas

y = h g1 t, y = h 12

g2 t2 , y = h 14

g3 t3 ;

donde g1 , g2 , g3 son constantes apropiadas. Demuestre que la forma correcta esaquella que produce el mnimo valor de la acci on.

9. El Lagrangiano de una partcula de masa m es

L = m2 x4

12 + mx2f (x) f 2(x),

donde f (x) es una funci on diferenciable de x. Encuentre la ecuaci on de movimiento.

10. Encuentre la ecuaci on de movimiento de un pendulo parametrico , el cual consiste enun pendulo de masa m cuya longitud se hace variar de la forma l = lo(1 + bsin t).

11. Una varilla de peso despreciable est a suspendida de un extremo, de modo que puedeoscilar en un plano vertical. Una partcula de masa m se desliza sin friccion a lolargo de la varilla.a) Encuentre la energa de la partcula.

b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partcula.12. Una partcula de masa m se mueve sin fricci on sobre un aro de radio R, el cual gira

con velocidad angular uniforme alrededor de

guia mecanic a cla sica

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