Cálculo de incertidumbres

n cualquier experimento es importante expresar la precisión

con la cual fue realizada la medición, la razón es que ninguna medida es absolutamente precisa. Por ejemplo, es imposible medir exactamente la longitud de un objeto, podemos estimar que la longitud sea aproximadamente 160.24 cm, pero esto no significa que la medida real sea 160.24000000… cm! Siempre debe tenerse en cuenta la precisión de la medición. Un valor experimental de 160.24 ± 0.10 cm es menos preciso que una medición de 160.24 ± 0.01 cm. El termino ± da la medida de precisión de la medición e indica el intervalo en el cual se encuentra con toda seguridad la medición, por ejemplo para la medición 160.24 ± 0.01 cm, el intervalo en el cual se encuentra la medida es [160.23, 160.25]. La exactitud del valor esta dada por el porcentaje de error o por la diferencia porcentual.

E

Incertidumbre de una única medida

uponga que usted desea conocer su peso en una báscula. La

división mas pequeña de la báscula es 1 libra, por lo tanto la mínima medida que puede ofrecer el instrumento es 1 libra.

S

Caso 1

Usted observa que su peso está muy cerca de la marca de las 142 libras pero sin alcanzar este valor, y además, no es menor a 141 libras (ver Fig.1).

Fig. 1 Marca cercana a las 142 libras

Entonces usted determina que su peso debe ser mayor a 141.5 libras, pero está seguro que debe ser menor a 142.5 libras. En este caso la forma correcta de registrar su peso es:

Peso = 142 ± 0.5 libras

Caso 2

Usted observa que su peso está muy cerca de la marca de las 141 libras, pero no es menor a este valor, y tampoco es mayor a 142 libras (ver Fig.2).

Fig. 2 Marca cercana a las 141 libras

Entonces usted determina que su peso debe ser mayor a 140.5 libras, y que además, debe ser menor a 141.5 libras. En este caso la forma correcta de registrar su peso es

Peso = 141 ± 0.5 libras

Caso 3

Usted observa que su peso está aproximadamente en medio de las marcas de 141 libras y de 142 libras (ver Fig. 3).

Fig. 3 Marca entre las 141 y 142 libras

Entonces usted determina que su peso debe ser menor a 142 libras, y que además debe ser mayor a 141 libras. En este caso la forma correcta de registrar su peso es

Peso = 141.5 ± 0.5 libras

Caso 4

En el caso particular en el cual el marcador parece sobreponerse perfectamente con la marca (ver Fig. 4), la forma correcta de registrar el valor es expresando el valor de la marca con su incertidumbre, es decir, en este caso particular

Peso = 141 ± 0.5 libras

En general, la incertidumbre de una única medida con un único instrumento es la mitad de la mínima medida que ofrece el instrumento.

Fig. 4 Marca en las 141 libras

Incertidumbres fraccional y porcentual

n elemento útil a la hora de calcular incertidumbres de

mediciones compuestas son las incertidumbres fraccional y porcentual. Se define la incertidumbre fraccional como

U

incertidumbre fraccional=incertidumbrevalor medido

Suponiendo que el peso medido por usted fue de 141 libras y sabiendo que la incertidumbre del instrumento es de 0.5 libras, la incertidumbre fraccional en este caso particular será

incertidumbre fraccional=0.5141 =0.0035

Para determinar la incertidumbre en su peso expresada como un porcentaje del mismo se usa la incertidumbre porcentual, la cual esta definida como

incertidumbre porcentual=incertidumbre fraccional x 100 %

En el caso particular considerado, dado que la incertidumbre fraccional encontrada fue de 0.0035, la incertidumbre porcentual será

incertidumbre porcentual=0.0035 x 100 %=0.35%.

Incertidumbre para una combinación de mediciones

uando se combinan varias mediciones es posible determinar

la incertidumbre fraccional (o porcentual) del resultado final, combinando las incertidumbres de todas las cantidades.

C

Caso 1: Suma y resta

Cuando se suman o se restan varias cantidades, se suman las incertidumbres de cada medición para encontrar la incertidumbre de la suma. Para ilustrar este caso, consideremos el caso de dos acróbatas Oliver y Jane. Oliver mide 186 ± 2 cm y Jane mide 147 ± 3 cm. Si Jane se para sobre la cabeza de Oliver, ¿cual será su altura desde el nivel del piso?

Altura combinada=147 cm+186 cm=333 cm ,

con una incertidumbre en la altura combinada de

Incertidumbre combinada=2cm+3cm=5cm .

Luego, la forma correcta de expresar la altura combinada será

Altura combinada=333cm ±5cm.

Ahora, esto es cierto ya que las cantidades que se desean sumar tienen magnitudes e incertidumbres comparables. Sin embargo, cuando se trata de sumar cantidades con magnitudes muy diferentes debe hacerse una aproximación. Por ejemplo, si Oliver pone sobre su cabeza no a Jane sino a un insecto cuya altura es 0.02 cm ± 0.003 cm, siguiendo las reglas establecidas la altura combinada será

Altura combinada=186 cm ±0.02 cm=186.02 cm ,

con incertidumbre

Incertidumbre combinada=2 cm+0.003 cm =2.003 cm ,

por lo que el resultado final debería ser

Altura combinada=186.02 cm ±2.003 cm .

Pero este resultado no tiene sentido, porque desde el punto de vista técnico la incertidumbre en la altura de Oliver es muchísimo mayor a la incertidumbre del insecto, de hecho, es muchísimo mayor a la misma altura del insecto. En este caso la forma correcta de presentar la altura combinada es

Altura combinada=186 cm ±2 cm

Caso 2: Multiplicación y división

Por ejemplo, si usted necesita calcular el volumen de una piscina para saber que cantidad de agua necesita para llenarla, usted mide el largo, el alto y el ancho de la piscina

largo L=5.56 ±0.14 m ,

ancho W=3.12 ±0.08 m,

alto D=2.94 ±0.11 m.

En cada caso, la incertidumbre porcentual estará dada por

largo L=5.56 m ± 2.5 %, ancho W=3.12 m ±2.6%,alto D=2.94 m ± 3.7%

El volumen de la piscina se calcula multiplicando sus tres dimensiones

volumen=L*W*D=5.56*3.12*2.94=51.00 m3

y dado que cada medida entra en el calculo como un múltiplo de la primera potencia (no al cuadrado ni al cubo, por ejemplo) se puede

calcular la incertidumbre porcentual en el resultado final simplemente sumando las incertidumbres porcentuales de cada medida individual.

incertidumbre porcentual en el volumen=incertidumbre porcentual en L+incertidumbre porcentual en W+incertidumbre porcentual en D=2.5%+2.6%+3.7%=8.8%

La incertidumbre en el volumen expresada en metros cúbicos en lugar del porcentaje será

incertidumbre en el volumen=volumen*incertidumbre porcentual en el volumen=55.00 m3*8.8%=55.00 m3*8.8100 = 4.84 m3

y el resultado de la medida compuesta se expresara como

volumen=55.00 m3± 4.84 m3

Incertidumbre para varias mediciones de una misma cantidad

sted deja caer una esfera maciza desde una altura de 1300 metros

y toma el tiempo de caída de esta esfera. En la primera medición usted obtiene un valor de 15.5 segundos. No satisfecho con este valor usted realiza muchas más mediciones del tiempo de caída, y encuentra los siguientes valores: 15.5, 16.4, 16.1, 15.9 y 16.6 segundos.

U

Para tener un valor más confiable usted calcula el valor promedio del tiempo de caída

promedio=15.5+16.4+16.1+15.9+16.65=16.1 seg .

Existen dos formas para calcular la incertidumbre de su medición:

La desviación media, se encuentra definida como la suma de los valores

absolutos de las diferencias entre cada medición y el valor promedio, dividido por el número de mediciones:

DM=16.1-15.5+16.1-16.4+16.1-16.1+16.1-15.9+16.1-16.6/5=0.6+0.3+0+0.2+0.55=1.65=0.32 seg

La desviación estándar, se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada medición y el valor promedio, dividido por el número de mediciones menos 1

DE=(16.1-15.52+16.1-16.42+16.1-16.12+16.1-15.92+16.1-16.62/ 4)1/2=0.744=0.43 seg

Con estos resultados y basado en sus mediciones usted puede estimar que el valor del tiempo (usando la desviación media) es de

tiempo de caida=16.1 ±0.32

En la práctica, el valor de la incertidumbre en este tipo de experimentos se puede reducir aumentando el número de mediciones

Incertidumbre de la pendiente de una grafica

recuentemente es necesario hacer ajustes a los resultados de

mediciones, cuando una de las variables medidas depende de otra de ellas. El caso más simple es una relación lineal, en la que deben determinarse como parámetros la pendiente y la ordenada al origen de una recta.

F

El método más simple para el ajuste de una recta a un conjunto de pares de datos experimentales es la regresión lineal o método de los mínimos cuadrados. Con este

método, se puede determinar la pendiente de la regresión lineal m, utilizando la ecuación

y el termino independiente de la regresión lineal b, mediante la ecuación

En estas ecuaciones, N representa el número de pares ordenados de datos experimentales, con (,) las coordenadas del punto i. Estos parámetros, por haberse obtenido a partir de resultados experimentales, deben tener además una incertidumbre asociada. La incertidumbre para cada término se puede calcular de la siguiente manera:

1) Se calcula el valor de Sy

2) Se determina la incertidumbre

en la pendiente de la regresión lineal

3) Se determina incertidumbre en el término independiente de la regresión lineal.

En cualquier caso, los resultados se deben presentar de la siguiente manera (según sea el parámetro que representan la pendiente m y el corte b)valor que representa la pendiente =m±Smyvalor que representa el corte = b±Sb