guia estudio probabilidad.modelos probabilísticos grado parte 2-12-13

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

2014-2015

Pilar Gutirrez Lpez y Juan Antonio Vicente Vrseda GRADO EN ECONOMA

GRADO GUA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA

PROBABILIDAD. MODELOS PROBABILSTICOS

2 PARTE | PLAN DE TRABAJO Y ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO


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1.- PLAN DE TRABAJO Se propone el siguiente plan de trabajo: Semana Temas Actividades Semana 1 Tema 1: Comprender el concepto de experimento aleatorio Probabilidad Entender la idea de suceso Dominar el concepto fundamental de probabilidad Dominar los teoremas del Clculo de Probabilidades Comprender el concepto de independencia de sucesos Semana 2 Tema 2: Comprender el concepto de variable aleatoria Variable aleatoria unidimensional Diferenciar los tipos de variables aleatoria Conocer y manejar la funcin de distribucin Conocer y manejar la funcin de densidad Saber realizar los cambios de variable aleatoria Semana 3 Tema 3: Manejar la funcin de distribucin bidimensional Variable aleatoria bidimensional conjunta Diferenciar los tipos de variables bidimensionales Conceptos de variables bidimensionales condicionales Independencia de variables Semana 4 Tema4: Caractersticas asociadas a una distribucin Caractersticas de las distribuciones Interpretacin de las caractersticas

de probabilidad Concepto de esperanza matemticas y propiedades

Significado de los momentos respecto al origen y a la media Semana 5 Tema 5: Medidas de dispersin. Utilidad de las mismas Funcin caracterstica Teorema de Markov y desigualdad de Tchebychef Medidas de asimetra y curtosis Moda, mediana y cuantiles Funcin caracterstica: manejo y utilidad Funcin generatriz de momentos:manejo y utilidad Semana 6 Tema 6: Conocer los modelos de probabilidad discretos elementales Modelos de probabilidad discretos Identificar y manejar la distribucin Binomial y la Poisson Conocer otras distribuciones como Binomial negativa, hipergeomtrica, geomtrica y multinomial Semana 7 Tema 7: Conocer y manejar la distribucin uniforme Modelos de probabilidad continuos Conocer, manejar, identificar y utilizar la distribucin normal Conocer las distribuciones derivadas de la normal y su Semana 8 manejo: 2n de Pearson, tn de Student y Fn,m de Snedecor Aplicacin de las distribuciones anteriores en Inferencia Otras distribuciones: gamma, beta, logstica y de Pareto Manejo de Tablas estadsticas Semana 9 Tema 8: Conocer el concepto de regresin y saber utilizarlo Regresin y correlacin Entender e interpretar la idea de correlacin Aplicaciones Distribucin normal bidimensional Semana 10 Tema 9: Concepto de convergencia de variables aleatorias y tipos Convergencia Leyes lmite Ley dbil de los grandes nmeros y teoremas Semana 11 Ley fuerte de los grandes nmeros y teoremas Teoremas centrales del lmite Semana 12 Revisin Semana 13

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El estudio de cualquier asignatura requiere una labor previa que consiste en el anlisis del programa y la estimacin del tiempo disponible para el estudio de cada uno de los temas que componen dicho programa. El cronograma anterior se propone, a ttulo orientativo, en funcin de la dificultad e importancia de los distintos contenidos. 2.- ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LOS CONTENIDOS Antes realizar algunas indicaciones para el estudio de la asignatura, conviene sealar que el estudio de esta asignatura exige un buen nivel de conocimientos matemticos. De hecho, la Estadstica utiliza las Matemticas como lenguaje y soporte, y la teora que iremos construyendo este curso se apoya en conceptos que los alumnos han aprendido a lo largo de su vida acadmica, no slo en los ltimos aos. Por ello consideramos imprescindible que se revisen dichos conceptos, con objeto de poder abordar esta materia. El estudio de esta asignatura exige un buen nivel de conocimientos matemticos. De hecho, la Estadstica utiliza las Matemticas como lenguaje y soporte, y la teora que iremos construyendo este curso se apoya en conceptos que los alumnos han aprendido a lo largo de su vida acadmica, no slo en los ltimos aos. Por ello consideramos imprescindible que se revisen dichos conceptos, con objeto de poder abordar esta materia. A modo de ejemplo, podemos citar algunos captulos que son bsicos para la comprensin de la Estadstica y que es preciso dominar con cierta soltura:

- Potenciacin, trigonometra y progresiones aritmticas y geomtricas pueden aparecer en cualquier momento en desarrollos tericos y prcticos.

- Las leyes de monotona, cuyo conocimiento ayudar, por ejemplo, a entender la funcin de

distribucin -El manejo de la combinatoria es obligado para la resolucin de problemas de probabilidad.

- El nmero e, la frmula de Leibnitz y los logaritmos aparecern con frecuencia en los temas de este programa.

- Ser preciso interpolar en mltiples ocasiones, por ejemplo, cuando no dispongamos del valor

exacto en las tablas estadsticas.

- El estudio de la funcin caracterstica exige, no slo el conocimiento del nmero e, sino tambin el de los nmeros complejos.

- La funcin de variable real es imprescindible para el desarrollo terico de varios captulos de esta

asignatura.


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- Finalmente, es imprescindible el clculo integral, sin cuyo dominio no se puede manejar la funcin de distribucin o las transformaciones de variables aleatorias. Sin olvidar tampoco que el alumno debe saber derivar con igual facilidad.

Creemos que con esta relacin, y sin nimo de ser exhaustivos, queda claro el hecho de que la Estadstica se asienta sobre la base de las Matemticas, que se utilizan de un modo piramidal, y que cada paso al siguiente escaln exige el afianzamiento del anterior. Orientaciones para el estudio Al abordar el estudio de esta asignatura, el alumno se va a encontrar con una serie de conceptos que probablemente sean nuevos para l. Debe intentar comprenderlos razonadamente, ayudndose de ejemplos explicativos y no avanzar en el aprendizaje de un nuevo tema sin tener bien claros los conceptos previos. El estudio debe enfocarse utilizando la lgica y el razonamiento ms que a travs de un excesivo esfuerzo memorstico. Por ello, es aconsejable hacer las demostraciones oportunas a fin de no abusar de la memoria y de utilizar la razn. Al finalizar el aprendizaje de un tema, es conveniente realizar ejercicios de carcter prctico relativos al mismo e intentar resolverlos sin consultar las soluciones hasta que se llegue a un resultado final, que deber comprobarse para verificar el nivel de aciertos y errores. Todo ello le sirve al alumno de autoevaluacin. Es conveniente volver a estudiar aquellos temas en los que se cometan errores, con el propsito de afianzarlos por completo, y adems, repetir los ejercicios pensando el mtodo, qu se hace, cmo se hace y por qu, evitando siempre actuaciones mecnicas. Los temas propuestos en el programa estn estructurados siguiendo un orden lgico de progreso en el conocimiento y, por ello, no es posible estudiar un determinado captulo sin tener bien aprendidos y afianzados los anteriores. Vamos a relacionar a continuacin, someramente, la finalidad didctica que se desea cubrir en cada uno de los temas y algunos comentarios sobre su estudio. Captulo 1. Probabilidad Este es el captulo base de toda la teora estadstica. En l se desarrollan los conceptos sobre los que se asienta el resto de temas del programa. Seguiremos utilizndolos a lo largo del curso, dando por sentado que son conocidos; por tanto, recomendamos estudiar especialmente cada una de las definiciones y teoremas del captulo. Quiz pueda ser conveniente citar expresamente la axiomtica de la probabilidad, cuyo olvido conduce, con demasiada frecuencia, a errores que pueden llegar a anular todo un examen. As, proporcionar una probabilidad negativa, o mayor que uno, justifica de manera suficiente e inmediata un suspenso. La definicin de probabilidad condicionada y los teoremas de probabilidad total y de Bayes, que el alumno aprende en este captulo, se repiten insistentemente a lo largo del curso. Su importancia es de tal calibre que, de un modo u otro, aparecen habitualmente en las pruebas que se plantean en los curso de Estadstica.

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Captulo 2. Variable aleatoria unidimensional

Como en el captulo anterior, seguimos fundamentando la ciencia Estadstica, a un nivel algo ms avanzado, pero en todo caso procurando los instrumentos que son de uso obligado en futuros desarrollos.

El alumno deba reconocer inmediatamente una variable aleatoria e identificarla como discreta (aquella que puede tomar un nmero finito o infinita numerable de valores) o continua.

Las funciones de distribucin y de densidad deben dominarse completamente, ya que en el futuro sern el medio que utilizaremos para identificar las distintas distribuciones de probabilidad.

En cuanto al cambio de variable aleatoria, aunque no se incluye siempre en los primeros cursos de Estadstica, consideramos que es importante conocerlo.

Del mismo modo que hemos comentado respecto al captulo uno sera absurdo pasar al estudio del siguiente tema si previamente no se entiende este.

Captulo 3. Variable aleatoria bidimensional

En este captulo se estudian conjuntamente dos variables aleatorias y no debieran plantear dificultad alguna, ya que lo nico que haremos es reunir conceptos diferentes y relacionarlos. Pese a todo, es recomendable que se procure adquirir agilidad en las aplicaciones prcticas, para evitar la confusin de conceptos y el tropiezo con dificultades insalvables en el campo de la integracin que, volvemos a recomendar, se debe revisar.

Captulo 4. Caractersticas de las distribuciones de probabilidad

Pese a riesgo de ser reiterativos, debemos advertir que nos encontramos ante un tema que constituye un nuevo pilar de la asignatura, ya que uno de los objetivos fundamentales de la ciencia estadstica es la explicacin y descripcin de una poblacin con una serie de parmetros que son llamadas caractersticas de la distribucin que sigue dicha poblacin. El operador esperanza matemtica es un nuevo y habitual instrumento de la Estadstica, que nos proporciona las caractersticas fundamentales. Cualquier distribucin se identifica, como ya hemos sealado, por sus funciones de densidad o de distribucin, pero adems es obligado es obligado reconocer su media, varianza, desviacin tpica, etc. No podemos dejar de aludir a la moda y a la mediana, caractersticas de gran importancia en la vida real, en el campo econmico, farmacutico, mdico, etc.; quizs, y junto con la media y la varianza, las medidas que cualquier alumno, que no tenga una carrera profesional ligada a la estadstica, va a encontrar con mayor frecuencia. Captulo 5. Funcin caracterstica En este captulo volvemos a utilizar los conceptos que habamos fijado en los anteriores, concretamente, la esperanza matemtica y los momentos.

La funcin caracterstica se utiliza muchsimo en la ciencia Estadstica, ya que identifica la funcin de distribucin y es de fcil manejo en general, como, por ejemplo, en el caso de las bidimensionales.


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En cuanto a la funcin generatriz de momentos, el manejo es muy similar al de la caracterstica y tiene una aplicacin inmediata para el clculo de los diversos momentos respecto al origen. Captulo 6. Modelos de probabilidad discretos En este captulo, aparecen por primera vez algunos modelos tericos que reproducen el comportamiento terico de diferentes fenmenos aleatorios que se presentan en el mundo real. El modelo binomial, por su carcter dicotmica, es quiz el ms intuitivo de ellos y aplicable en mltiples ocasiones a la realidad que nos rodea. En cuanto a la distribucin de Poisson, que se determin en sus orgenes como lmite de la binomial se ha llamado tambin la de los sucesos raros y es de utilizacin generalizada en Investigacin Operativa, concretamente en la Teora de Colas, que modeliza la atencin a los usuarios que llegan a un punto de servicio. Ningn estadstico puede dejar de conocer, identificar y manejar estas dos distribuciones fundamentales de nuestra asignatura y, en la misma lnea, ningn alumno puede permitirse terminar el curso sin un eficaz dominio de las mismas. Captulo 7. Modelos de probabilidad continuos En este captulo, se estudia la distribucin ms importante de las conocidas por la ciencia Estadstica. Su nombre, como es bien conocido, se le dio al entender que era la distribucin que describa la mayora de los fenmenos aleatorios. Su importancia radica no slo en los que explica, sino en el hecho de ser distribucin lmite de sucesiones de variables aleatorias con unas hiptesis dadas. Esta afirmacin se formaliza en los teoremas centrales del lmite. Por ello, no hay que insistir ms en la importancia de su estudio: la distribucin normal aparecer en el futuro con gran frecuencia y no se puede obtener un grado de suficiencia en esta materia si no se domina perfectamente la misma. Las distribuciones derivadas de la normal tienen aplicacin inmediata en la inferencia estadstica, se utilizan en contrastacin de hiptesis y construccin de intervalos de confianza. En cuanto al manejo de las tablas estadsticas, que no figura como epgrafe, quiz constituye el segundo objetivo en importancia de este tema. Las aplicaciones prcticas de las distribuciones, su utilizacin en la vida real, pasa necesariamente por el correcto manejo de las tablas estadsticas. Captulo 8. Regresin y correlacin Nos encontramos otra vez con una aplicacin prctica de la Estadstica, de ms difcil interpretacin que manejo matemtica.

Es adems un tema que un economista debe dominar totalmente con vistas al estudio de alguna de las asignaturas que integran el plan de la carrera y tambin a muchos de los trabajos que pudieran desarrollar.

Aunque la primera aproximacin tiene un carcter intuitivo, la formalizacin y uso de la regresin y correlacin suelen presentar algunas dificultades de orden prctico, como la falta de agilidad en los clculos.

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Captulo 9. Convergencia El concepto de convergencia de variables aleatorias y los teoremas que desarrollan constituyen un captulo que consagra la aplicabilidad de la Estadstica. De hecho, es habitual que personas con un desconocimiento absoluto de la Estadstica, pero que han asimilado el carcter prctico de la misma y lo han integrado en su vocabulario, realicen afirmaciones sobre las leyes de los grandes nmeros. Para estudiar este captulo, es previo y totalmente necesario revisar algunos conceptos matemticos como los de sucesiones y convergencia, porque de otro modo ser totalmente imposible llegar a comprenderlo. Pese al nmero de teoremas que constituyen la materia de este captulo, conviene recordar que su estudio no supone una gran dificultad, y que entre todos ellos, los ms importantes son los teoremas centrales del lmite. Este equipo docente es consciente de la dificultad matemtica que entraa la comprensin de los distintos teoremas, pero entiende que debe realizarse un esfuerzo en este sentido. En cuanto a las aplicaciones que se puedan plantear en los exmenes, las dificultades pueden derivarse ms de la interpretacin que de la resolucin matemtica a que hubiera lugar. 3.- ORIENTACIONES PARA LA REALIZACIN DEL PLAN DE ACTIVIDADES Medios y recursos Para la realizacin de las actividades propuestas, el estudiante contar, fundamentalmente, con el texto de referencia, el foro de debate de la asignatura moderado por el equipo docente, el foro del tutor y las tutoras presenciales. La guardia del equipo docente es el jueves de 16 a 20 horas. Los telfonos son 91 398 63 92-94 y el nmero de fax 91 398 63 35. Las direcciones de correo [email protected] y [email protected]. Ocasionalmente, si el equipo docente lo estima oportuno, los medios anteriores se podrn completas con otros materiales que se publicarn en la pgina de la asignatura. El equipo docente atender las dudas que planteen los alumnos sobre los contenidos de la asignatura; se excluyen de debate las cuestiones que son de su exclusiva competencia, como es el tipo de examen, criterios de valoracin, formato de la PEC, peso de la PEC en la calificacin final, fecha y horario de la misma, regulacin de los foros, etc.. Evaluacin continua Los alumnos que opten por la evaluacin continua tendrn que realizar la(s) prueba(s) que se publicar(n) en la pgina de de la asignatura y entregarlas en las fechas que se establecern. No se admitir la entrega parcial ni fuera de fecha, asimismo ambas deben tener un nivel mnimo, y en caso de que no lo alcancen no se har la media. Una de las competencias que se espera obtengan los alumnos en el Grado de Economa es la organizacin de su trabajo, por lo cual, es fundamental que el alumno se planifique para hacer las entregas en las fechas establecidas. La calificacin final se obtendr prorrateando un 10% la obtenida en la PEC y un 90% la de la prueba presencial.


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Si el alumno no realiza la(s) PEC(s), su nota final ser la del examen. Prueba presencial La estructura del examen adoptar la siguiente forma:

- Una parte terica o terico-prctica, eliminatoria, que constar de diez preguntas tipo test, cada una con varias posibles respuestas, de las cuales slo una contiene la respuesta correcta.

- Una parte prctica consistente en la resolucin de dos ejercicios que pueden ir acompaados de

alguna pregunta de carcter conceptual. Cada pregunta tipo test contestada correctamente punta 040 sobre 10, la contestada incorrectamente se penaliza con 020 sobre 10 y la no contestada no punta. Es condicin necesaria para poder aprobar la asignatura que el alumno obtenga un valor numrico de uno o ms en el test, que ser eliminatorio.

Los ejercicios de carcter prctico pueden alcanzar una puntuacin mxima de 3 sobre 10 cada uno de ellos, dependiendo del grado de resolucin, es decir si estn bien planteados y explicados los pasos para su resolucin, etc.

Para obtener la calificacin de APTO, ser precisa una puntuacin mnima de 1 puntos en el test y, globalmente, de 5 o superior.

Ahora bien, el examen puede ser invalidado si, en cualquiera de sus partes, se incurre en un error considerado de carcter grave, como sera, por ejemplo, el proporcionar una probabilidad de valor superior a la unidad o negativo. En cualquier caso los errores restarn puntuacin.

La duracin del examen ser de dos horas y no se permitir, salvo que expresamente se diga lo contrario en las normas de realizacin del mismo, ningn tipo de material excepto el uso de una calculadora no programable. Cuando sea preciso, la utilizacin de tablas estadsticas de probabilidad, se entregarn con el examen. Advertencia No obstante lo expuesto, el sistema de evaluacin puede variar de un curso para otro. En caso de que esto ocurra, se notificar en la correspondiente Gua del Curso a la que tienen acceso los alumnos cuando realizan la matrcula. Recomendaciones para realizar el examen Dado el carcter eliminatorio que tiene la parte tipo test, ya que hay que obtener una puntuacin mnima de un punto para superar la prueba, es recomendable comenzar la resolucin del examen por esta parte. Es aconsejable tener en cuenta las observaciones o recomendaciones siguientes:

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1. Leer con mucha atencin, las veces que sea preciso, las preguntas formuladas, con el fin de comprender su contenido. 1. Una vez comprendida la pregunta, pensar detenidamente la respuesta correcta, no

precipitndose en la respuesta.

4. Responder aquellas preguntas, con independencia del orden en que figuren en la prueba, de cuyas respuestas se tenga seguridad. 2. La resolucin de los ejercicios de tipo prctico debe realizarse de forma razonada, es decir,

introduciendo breves explicaciones o aclaraciones de lo que se est haciendo.

Es preciso advertir que en el examen no se debe escribir con lpiz, por los problemas que pudiera originar a la hora de corregir, ya que puede borrarse o emborronarse con suma facilidad, lo cual dificulta su lectura. Adems un examen es un documento para el que se requiere permanencia. A continuacin se relacionan preguntas tipo test y problemas para que el alumno pueda orientarse respecto al nivel de dificultad y posible temtica. PREGUNTAS TIPO TEST: 1.-Dada la v.a. , su f(x) verifica que: a) f(x) = 2 b) f( ) = 1 c) f(x) = -1 d) Ninguna es correcta 2.-Dados los sucesos A y B, tales que AB, se verifica que: a) P(B) = P(A) b) P(B) P(A) c) P(B) P(A) d) Ninguna es cierta 3.-Dada una v. a. = B(n;02), siendo k un nmero mayor que n, se cumple: a) F( k ) = 0 b) F(k) no se puede conocer c) F(k) = 1 d) Ninguna es cierta 4.-Dada una cierta funcin (x)= ite2 es: a) Funcin caracterstica de una v.a. b) Funcin generatriz de una v. a. c) Funcin de distribucin de una v.a. d) Ninguna de las anteriores 5.- Dada la v. a. N( 15, ), la P( > 17) es: a) > 05 b) < 05 c)= 0,5 d) Ninguna es cierta

6.- Dadas las v.a. 1 . 4 , siendo las i N(0,2) para i , la distribucin de la v.a. = =

4

1

2

41

ii es:

a) N(0,4) b) 1/4 24 c) 24 d) Ninguna es cierta

7.- El campo de variacin de la distribucin Gamma vara de : a) 0 a n b) - a + c) 0 a d) Ninguna es cierto 8.- Dada una v. a. = a + b , la varianza de ser: a) a + b E( ) b) E( ) c) b E( ) d) Ninguna es cierta


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9.- El espacio muestral E consta de 4 elementos { }4321 ,,, SSSS qu funcin define un espacio de probabilidad?: a) P(S1 )= 3

1 , P(S2 )= 21 , P(S3 )= 5

1 , P(S4 )= 31 b) P(S1 )= 4

1 , P(S2 )= 21 , P(S3 )= 4

1 , P(S4

)= - 21

c) P(S1 )= 0, P(S2 )= 41 , P(S3 )= 2

1 , P(S4 )= 41 d) Ninguna es cierta

10.- En una distribucin N (80,8) el percentil 80 es: a) 78,40 b) 86,72 c) No se puede calcular d) Ninguna es cierta 11.- La distribucin ms apropiada para el estudio de la distribucin de las rentas personales es: a) La logstica b) La gamma c) La de Pareto d) Ninguna es correcta 12- Dados dos sucesos tales que P(A) P(B) se verifica que: a) A B b) A B = c) A B d) Ninguna es correcta. 13.- La funcin de densidad de una v.a. verifica: a) 0 < f(x) b) 0 f(x) 1 c) f(x) 1 d) Ninguna es correcta 14.- Si N(3,5) la mediana de esta distribucin es

a) 3/5 b)3/2 c) 3 d) Ninguna es correcta 15.- La funcin de cuanta de una v.a. para un cierto valor x puede ser:

a) 02 b) -01 c) 2 d) Ninguna es correcta 16.- Dada la v.a. B(3, 03), entonces su funcin de distribucin verifica a) F(4) < F (3) b) F(4) > F(3) c) F(4) = F(3) d) Ninguna es correcta 17.- La varianza no viene afectada por

a) Cambio de origen b) Cambio de escala c) Cambio de origen y escala d) Ninguna es correcta

18.- Dada la v.a. N(5,3) se verifica que

a) P ( 5) = P ( -5) b) 1 - P ( - 5) = P ( 5) c) P(P (> 5) = P (< 5) d) Ninguna de las anteriores

19.- Dada una sucesin de v.a. n ........2,1 , donde las i se distribuyen segn una Poisson de

parmetro i , podemos asegurar que si la v.a. = =

=n

ii

n

nnS

1

1 su lmite cuando n es :

a) N ( , ) b) N ( , ) c) N ( ,n

) d) Ninguna es cierta

20.- Dada (t) = it1 (eit -1) de una v.a. , definida en (0,1). Dada la v.a. = + 1, la (t) de ser:

a) (t) = )1(

itt

eit

e b) )1(1 iteit

c) )1( itt

eite d) Ninguna es correcta

EJERCICIOS

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1.- Se tienen 100 dados, de los cuales 20 estn cargados y la probabilidad de obtener el 1 en estos dados es el triple que la de las restantes puntuaciones. De entre los 100 dados se elige uno al azar, se lanza y sale la cara 1. Calcular la probabilidad de que el dado lanzado no est cargado. 2.-El nmero de pasajeros que toman el tren, entre dos ciudades, un fin de semana es una v. a. siendo E( ) = 200 y V( )= 100. Si cada vagn tiene capacidad para 40 viajeros, calcular el nmero de vagones necesarios para que con una probabilidad igual o superior a 095 se pueda atender la demanda de pasajeros entre ambas ciudades ese fin de semana.

3.- Dada una v.a. con (t) = 211t+

, se pide: 1) Hallar la media. 2) Calcular la varianza. . 3)

Encontrar la funcin caracterstica de la v. a. = 2 . 4.- Un partido poltico realiza encuestas para seleccionar al nmero uno en la lista electoral en una circunscripcin con 1600 votantes. Respecto a un posible candidato A, que rene los requisitos exigidos por el Comit Ejecutivo, las encuestas dicen que el 40 por ciento de los votantes se inclinaran por l. Hallar la probabilidad de que dicho candidato obtenga un mximo de 650 votos. 4.- GLOSARIO El texto recomendado cuenta con un amplio glosario.


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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Tipo test: 1.- d) 2.- b) 3.- c) 4.- d) 5.- b) 6.- d) 7.- c) 8.- d) 9.- c) 10.- b) 11.- c) 12.- d) 13.- d) 14.- c) 15.- a) 16.- c) 17.- a) 18.- c) 19.- d) 20.- d) Problemas 1.-

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a) La media sera: E( ) = ( )it t 0= , como ( )t = ( ) 121 + t , ( )t = - 1 ( ) tt 21 22 + =

( )2212tt

+ que

para t=0, ser ( )t = 0, luego la E ( ) = 0 b) La varianza ser: V ( ) = E ( )2 - ( )[ ]2E

( )2E = ( )2 0it t= ; ( )t = - 2 ( ) 221 + t - 2 ( ) ( ) 32122 + ttt = - 2 ( ) ( ) 32222 181 +++ ttt , que

para t=0 queda: ( ) 0= tt = 22

i = 2. Luego: V ( ) = [ ] ( )[ ]22 EE = 2 0 = 2

b) Funcin caracterstica de la variable aleatoria = 2 . Teniendo en cuenta las propiedades de la funcin caracterstica, sera:

( )t = [ ]iteE = ( )[ ]2iteE = [ ]itit eEe 2 = ( )te it 2 = 22

1 te it

+

2.- Sea la variable aleatoria que representa al nmero de votantes. Dicha variable sigue una distribucin binomial de parmetros ( 1600; 04).

Segn el Teorema de Central del Lmite de Moivre-Laplace, la variable ( )( )

vE se distribuye

aproximadamente ( )1;0N por lo tanto: ( )4'0;1600B ( )npqnpN ; = ( )6'04'01600;4'01600 N = ( )596'19;640N

{ }650P = (aplicando la correccin por continuidad) = { }5'650P =

596'19

6405'650596'19640P = { }54'0P = 07054, donde ( )1;0N .

Este ejercicio puede hacerlo tambin sin utilizar la correccin por continuidad. 3.- Designamos por C al suceso dado cargado y por NC dado normal. La P ( C ) = 02 y la P ( NC ) = 08. Llamamos A 1 = { obtener 1 } y A i = { obtener i } i = 2, 3..6. =

6

1i ip = 3p + 5p = 8p p = 1/8 y por lo tanto 1p = 3/8 y el resto 62 .... pp == = 1/8.


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1p = 3/8 = {P obtener 1/ C } y ip = 1/8 = {P obtener i / C } s i = 2, 3..6. Si el dado no est cargado la probabilidad es 1/6. Es decir, {P }NCAi / = 1/ 6.

Para calcular la probabilidad de que habiendo salido 1 el dado no est cargado hay que aplicar el Teorema de Bayes de la siguiente forma:

1ANCP =

{ }

{ } { }CPCAPNCPNC

AP

NCPNCAP

+

11

1

= 2'08/38'06/1

8'06/1+

= 064

4.- Este ejercicio es una aplicacin del Teorema de Chebichev.

{ } cP +< { } cP

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