INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO

CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

Mi felicidad consiste en que sé apreciar lo que tengo y no deseo con exceso lo que no tengo

León Tolstoi

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CON DOS INCOGNITAS

DESEMPEÑOS

Reconocer y resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas en

situaciones problemáticas.

INDICADORES DE LOGROS

Reconoce los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Reconoce los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Construye sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 , 3 X 3 a partir de una situación problema.

CONTENIDOS: 1. Sistemas 2x2

Método Gráfico.

Método por sustitución.

Método por reducción.

Método por igualación.

Método por determinantes. 2. Sistemas 3x3

Método analítico. Método por determinantes.

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas. Hemos observado que cada una de ellas admite infinidad de soluciones y hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las cuales una sola ecuación permite expresar la condición que presenta el problema. En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que se plantea más de una condición, por lo que es necesario plantear más de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que expresan las condiciones de un

problema forman un sistema de ecuaciones.

A continuación veremos cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como lo hemos hecho en otras situaciones, empezaremos con un ejemplo:

La suma de dos números es 12 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son esos números?

En este problema se nos pide que encontremos dos números que cumplan con dos condiciones:

• Que su suma sea 12 • Que su diferencia (es decir la resta de estos dos números) sea 6.

Si llamamos “x” a uno de los números y llamamos “y” al otro, podemos expresar cada condición por medio de una ecuación: • x + y = 12 • x – y = 6

A expresiones como la anterior, se las denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y suelen expresarse del siguiente modo:

Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones, por ejemplo que su suma sea 12, y posteriormente ver cuál de ellos cumple también con la segunda. Para comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de x debe ser mayor que el de y, de lo contrario la diferencia no sería positiva.

Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores x = 9, y = 3 es solución del problema ya que 9 + 3 = 12 y 9 – 3 = 6; es decir que estos números cumplen con las dos condiciones que se habían planteado. Podríamos preguntarnos si es la única pareja de valores que cumplen ambas condiciones, pero es imposible pensar en "probar" con todos los números cuya suma sea 12, porque como vimos en el tema anterior, son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo.

METODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

A continuación veremos varios métodos prácticos que nos permiten dar solución a este tipo de problemas.

MÉTODO GRAFICO

Este método recibe el nombre de resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. Para resolver el sistema anterior:

Comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cada ecuación, es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación.

Como ya sabemos que cada gráfica es una recta, por tanto escribiremos la ecuación de la forma explícita y para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera.

En este caso, para la ecuación x + y = 12, podemos tomar los puntos de las parejas que anotamos en la tabla anterior. De este modo encontramos la recta que se muestra en la gráfica a continuación.

Como ya dijimos, cada punto de esta recta es solución de la primera ecuación, o lo que es lo mismo, la suma de las coordenadas de cualquiera de ellos es 12.

Del mismo modo procedemos para encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación x – y = 6. Así obtenemos la recta siguiente:

Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación, es decir que la diferencia de sus

coordenadas es igual a 6.

Cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero nosotros buscamos una pareja de números que sea solución de ambas. Si trazamos en el mismo par de ejes las dos rectas podemos observar que se cruzan en un punto. El punto A pertenece a ambas rectas, por lo que sus coordenadas cumplen las dos condiciones o relaciones planteadas: por un lado la suma de sus coordenadas es igual a 12 (l ínea lisa), y por otro la diferencia de sus coordenadas es igual a 6 (línea punteada). Es decir, si leemos las coordenadas del punto A encontramos los valores de x y de y, que es la solución al problema planteado.

Entonces los números buscados son 9 y 3. Para verificar este resultado sustituimos la x por 9 y la y por 3 en las dos ecuaciones que forman el sistema:

x + y = 12 x – y = 6 9 + 3 = 12 9 – 3 = 6

Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9, 3) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones ya que no hay otro punto que pertenezca a ambas rectas.

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN

Cuando poseemos dos incógnitas pero una de ellas se escribe en términos de la otra, en definitiva tenemos una sola variable, que podemos solucionar mediante operaciones algebraicas elementales.

Pasos para utilizar el método de sustitución para solucionar un sistema de ecuaciones lineales:

1. En una de las ecuaciones, despejamos una de las variables en términos de la otra. 2. Sustituimos ese valor o la expresión hallada en la otra ecuación, dejando una sola

variable. Despejamos numéricamente la incógnita. 3. Remplazamos el valor hallado en la otra ecuación del sistema, y hallamos el valor

correspondiente a la otra incógnita. 4. Verificamos los valores encontrados remplazándolos en cada ecuación.

Si sabemos que la suma de las edades de Andrés y Sara es 27, pero la edad de Andrés es e l doble de la de Sara, ¿Cuántos años tiene Andrés y Sara? En este caso, si x es la edad de Andrés e y es la edad de Sara, entonces el problema se limita en encontrar los valores de estas variables con las condiciones: x + y = 27 x = 2y Remplazamos el valor de x = 2y en la primera ecuación y obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la cual podemos solucionar así: X + y = 27 (2y) + y = 27 3y = 27 y = 27/3 = 9 De esta forma concluimos que Sara tiene 9 años y que Andrés tiene 18 años.

En la circunstancia anterior, para expresar la situación planeada se ha usado un sistema de ecuaciones con dos incógnitas el cuál solucionamos utilizando el método de sustitución.

“¡El que bien atiende, bien aprende, si además de oír entiende!”

Taller 1

1. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

2. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 74cm y el largo es 2cm menos que el doble del ancho.

3. Las boletas para el basar del colegio tienen un precio de $20000 para adultos y $12000 para jóvenes menores de 12 años. La familia de Juan compra 8 boletas para el bazar y el costo total es de $120000. Completa la información y calcula cuantos adultos y cuantos menores de 12 años asisten de la familia de Juan al bazar.

Boletas Precio Cantidad Costo

Adultos

Jóvenes

Total

MÉTODO DE REDUCCIÓN Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Taller 2

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método por eliminación:

2. En un examen de 100 puntos hay 30 preguntas. Las preguntas tipo A tienen un valor de 5 puntos y las de tipo B, 3 puntos. ¿Cuántas preguntas de cada tipo hay en el examen?

Traza la gráfica de las ecuaciones.

Tipo De Examen

Valor Cantidad De Preguntas

Valor Total

A

B

Total

3. Para el día del amor y la amistad, el periódico escolar publicó mensajes de dos tipos, A y B . Los mensajes de tipo A podían contener hasta 6 palabras y su costo era de $1200. Los mensajes de tipo B podían tener entre 7 y 15 palabras y su costo era de $2300. Se recibieron 128 mensajes y se recaudó por ellos $226500. ¿Cuántos mensajes de cada tipo se publicaron?

Tipos De

Mensajes

Costo Cantidad De

Mensajes

Costo Total

A

B

Total

MÉTODO POR IGUALACIÓN

Veamos el siguiente ejemplo:

Jorge tiene el doble más 4 años que la edad de María. Si entre los dos suman 25 años, ¿qué edad tiene cada uno?

1. Construimos las ecuaciones:

2. Despejando en ambas ecuaciones la variable x, tenemos:

(b)

(c)

3. Igualamos las ecuaciones (b) y (c): 25 – y = 2y + 4 3y = 21 Y=7 Años

Sustituimos el valor de “Y” en la ecuación (b) y tenemos que: x = 25 – 7 x = 18 Años.

Taller 3

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método por igualación:

1. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, más el segundo sea igual al doble de este último.

2. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el doble del otro más 3º, ¿cuál es la medida de cada uno?

3. Un padre reparte $10000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

4. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los resultados están en la razón 3: 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5: 2.

MÉTODO POR DETERMINANTES

A todo sistema de ecuaciones le podemos asociar una matriz de sus coeficientes.

Solución De Sistemas De Ecuaciones 2x2

Este determinante se denota con la letra griega delta (), y se llama determinante de los coeficientes.

Ahora hagamos un análisis similar con el numerador de la variable x. Como:

El numerador es la solución de un determinante 2x2 cuyos elementos son: Por consiguiente, el valor de la variable x se puede expresar como:

De igual manera analicemos el valor de:

El numerador es la solución de un determinante 2x2, cuyos elementos son:

Este proceso se conoce con el nombre de Regla de Cramer

Teniendo en cuenta:

Resolver por determinantes el siguiente sistema lineal 2x2.

Calculamos el determinante de los coeficientes:

Como o, procedemos a solucionar el sistema lineal. Calculamos el valor de x:

Calculamos el valor de y:

Luego, la solución del sistema es x = 5, y = -2.

¡Intentémoslo de nuevo!

Encontrar la solución del sistema de ecuaciones 2x2 por el método de determinantes:

Taller 4

1. El perímetro de un rectángulo es 30cm. El doble de la base tiene 6cm más que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

2. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada estante?

3. Para pagar una cuenta de $3900, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo $75 de vuelto. Otro extranjero paga su cuenta de $4330, con 15 libras esterlinas y 9 dólares, recibiendo $25 de vuelto. ¿A qué cambio, en pesos, se han cotizado las libras esterlinas y los dólares?

4. El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿Cuál es la fracción?

5. Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6.

6. ¿Cuáles son los valores de los ángulos x e y del siguiente diagrama?

Sugerencia: Plantea el sistema de ecuaciones.

7. En un triángulo la suma del ángulo menor y el mediano es 100°, y la suma del menor y el mayor es 110°. Halla la medida de los ángulos.

8. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma del ángulo mediano y el ángulo mayor es 135°, y la suma del mediano y el menor es 110. Halla los ángulos.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3

Método de Gauss El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y. E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones. z = 1 −y + 4 · 1 = −2 y = 6 x + 6 − 1 = 1 x = −4

Método por determinante

Determinante de orden tres

=

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 – a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

=

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = = 44 + 4 + 15 = 63

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de

orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de

la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto .

Los términos con signo - están formados por los elementos de

la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto .

Ejemplo

Taller 5

Resolver analíticamente y por determinante los siguientes sistemas de ecuaciones de 3 X 3

1

2

3

DIEGO ALONSO CASTAÑO ALZATE Docente