guia de potencias ii

Víctor Huerta Herrera

Profesor de Matemática http://matematicaytic.wordpress.com [email protected]

1 Documentos para cátedra

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POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL Una potencia es el producto de factores iguales, es decir,

aaaaaaa n ........

n veces a como factor

Las propiedades de las potencias nos facilitarán el poder operar con ellas. Estas propiedades se presentan a continuación:

Propiedades de las potencias con respecto a la multiplicación

Propiedades de las potencias con respecto a la división

i) Multiplicación de potencias de igual base

mnmn aaa Ejemplo: 2433333 53232

i) División de potencias de igual base

mnm

nmn a

aaaa :

Ejemplo: 275

7

575 44

444:4

ii) Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

nnn baba ó nnn baba

Ejemplo: 225153535 2222 NOTA:Esta propiedad es muy útil para explicar lo que ocurre con una potencia de base negativa. Si el exponente es par el resultado es positivo, mientras que si el exponente es impar el resultado es negativo.

ii) División de potencias de distinta base e igual exponente.

n

nnnnn

ba

bababa

::

Ejemplo:

825

105:105:10 33

333

NOTA:Esta propiedad es muy útil cuando se trabaja con bases fraccionarias o iguales a un número decimal.

Potencia de una potencia mnmn aa Ejemplo: 62323 ppp

Potencia de exponente cero 10 a Ejemplos:

i) 170 ii ) 1352 03 xx

Potencias de base 1 11 n Ejemplo: 1150

POTENCIA DE EXPONENTE UN NÚMERO NEGATIVO. Para que las propiedades anteriores se conserven observa la definición de potencia con exponente negativo.

Potencia de exponente negativo

i) Base entera nn

nnn

aaaa 111

Ejemplo: 91

31

313 2

22

ii) Base racional n

nnn

ab

ab

ba

Ejemplo: 32243

23

23

32

5

555

Inverso de un número (exponente = -1) a-1=1/a




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NOTACIÓN CIENTÍFICA: Forma de escribir un número muy grande o muy pequeño. Observa los siguientes ejemplos: 4500000000000 = 4’5 .1000000000000=4’5 . 1012 1253 = 1’253 . 1000 =1’253.103 0’288 = 288/1000 = 288. 10-3= (288/100). (100x10-3)=2’88 . 10-1 0’000000011 = 1’1. 10-8 La parte en negrita de la notación científica se llama mantisa y siempre es un número decimal con una única cifra entera. El exponente de la potencia de 10 se denomina orden de magnitud y nos dice que el número es del orden de las decenas (1), centenas (2), millares (3), …,millones(6), …, centenas de millares de millones (11), etc o bien de las decimas (-1), centésimas (-2), …, de las décimas de millonésima (-7), etc. Contesta:

¿Cuál es la regla para formar la mantisa? ¿Cuál es la regla para calcular el orden de magnitud? ¿Cómo aparece la notación científica en las calculadoras?

ACTIVIDAD 1: Aplica estas propiedades para simplificar las expresiones indicadas a continuación.

1) 36 aa 2) aa 5

3) yxyx aa 32

4) xbb 5) 23 22

6) 65p

7) 82b

8) aa 43

9)

xx

56

31

10) 23x

11) 232 p =

12) 423mn

13) 3232 53 xx

14) 31313 aa mm

15) 42222 9:3 yyy

16)

3

3

2

aa x

17)

13

m

m

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18)

3

23

12

x

x

pp

19)

10

32

23

t

t

kk

20)

n

m

mm

aaa

34

2213

21)

ba

ba

abba

xxxx

34

32

22

22)

2

3

2

13

5 xx

x

x

nn

nn

23) 115132 128:64 xxx

24) 231 927 pp

ACTIVIDAD 2: Completar la tabla siguiente

Un número termina en: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Su cuadrado termina en: Su cubo termina en: Su cuarta potencia termina en: Su quinta termina en:

Observa la tabla y responde:

(a) Ricardo dice que calculó el cuadrado de un número y que termina en 3. ¿Es posible?, ¿por qué? ¿En qué número termina 1434 ? (b) ¿El número 4.252 puede ser el cuadrado de un número entero?, ¿por qué? (c) ¿El número 4.52 puede ser el cubo de un número entero?. Si contesta NO, diga porqué. Si

contesta SÍ, haga una “estimación” de cuál sería el número y compruebe.

(d) 205.379 es el cubo de un número X. ¿cuál debe ser la cifra de las unidades de X?

(e) Un número natural y su cubo terminan en la misma cifra. ¿Cuáles son los posibles valores de la última cifra?

(f) ¿Qué observas respecto a la quinta potencia de un número cualquiera?




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ACTIVIDADES PARA REPASAR: Simplifica. 1)

632 xxx

2) )(2 22 baab 3)

kk nn 43

4) 21 nn pp

5) )1( 26 aaa

6) )( 235 mmmm 7)

12 339 nn

8) )( 323 mmm aaa 9)

4332 63 baba nn

10) )1010(10 654

11) 26 : xx

12) 1412 : aa

13) 33 : bb

14) 1138 :)( aaa

15) xxx aaa :)(

16) 32 6:3 aa

17) 66 : cc mm

18) 112 : nn xx

19) 556 :)( aaa

20) mm ba

21) xx ba 44 )3()2(

22) 22 )

32·()

43(

23)

66 8:16

24) 44 )

94(:)

32(

25) aa mm :)3(

26) 3222 )(:)( aa

27) 22 )2(

28) 32 )2( ba

29) 52 )( xa

30) 1432 )( aaaaa

31) 22 53

32) 22 )5()3(

33) 22 )

23()

32(

34) 21 )75,02(

35) 3

12

555

36) 21

12

2222

37) 13)1(2

38)

000 523

39) 000)( baba

40) 00 75 yx

41) 11 )

32()

32(

42) 2

10

3333

43) 22 5)5(

44) 3223 )()( xx

45) 22 )525,0(




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CUESTIONES 1.-Sin calcular, sino fijándote en alguna regularidad al multiplicar sucesivamente por 2, descubre cuál es la última cifra de 229. 2.- Observa la siguiente secuencia: 23 - 2 = 1 · 2 · 3 33 - 3 = 2 · 3 · 4 43 - 4 = 3 · 4 · 5

Escribe el resultado de 53 - 5 , 63 - 6 y de 123 – 12 3.-Observa esta otra secuencia: 12 =1 22 =4 = 1 + 3 32 =9 =1 +3 + 5 42 =16 =1 +3 + 5 + 7+… A partir de ella , contesta ¿A qué equivale el cuadrado de un número? ¿cuánto valdrá 1 + 3 + 5 +… + 127? UN TEST:

1) 243 kk

a)9k b)

10k c)11k d)

14k e)24k

2) El cociente entre p2x y p3-x es equivalente a:

A) 1xp b)

nxp c)xpx d)

1px e)33 xp

3)

12

02 1

873 xx

A) x2 b)2x c)x – 1 d)2 e)2 – x2

4) Si x = 3105 , entonces x2 =

A) 6105 b)

61025 c)31010 d)

1105 e)61025

5) ¿Cuál es el valor de 00

0

0000 35

4123354

A) 4 b)1 c)-2 d)7 e)0

6) ¿Cuál es el valor numérico de

3

31

? A) 1/27 b) 27 c)-1/27 d)-27 e)Ninguna de las anteriores

7) El resultado de 32 + 32 + 32 es: A) 92 b)36 c)33 d)272 e)Ninguna de las anteriores

8) – 62 = A) 12 b)36 c)-36 d)-12 e)-1/36

9) El cuadrado de -3m3 es: A) -9m6 b)9m6 c)9m3 d)-9m9 e)9m9

10)

2

22

333

A) -9 b)-2 c)0 d) 8180

e)1/9

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