guia de ejercicios tema 2- prof. hernando gonzalez

7/25/2019 Guia de Ejercicios Tema 2- Prof. Hernando Gonzalez

1/8

TEMA No. 2

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y PRIMERGRADO.

I. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO):

1)23

12

yy

x

dx

dy

+=

R: ( ) ( ) Cyyxx =++ 4334 32

2) ( ) ( ) 0421 =+ dyxdxy R: ( ) Cyx =++ 214

3) yey

xex

dx

dy

+

=

R: Ceeyx yx

=+ 22

4)022123 =

++

+ dyxydxyx

R: ( ) ( ) Cyx =++ 12 232

5) ( ) ( ) 0222222 2233 =+++++ dyyxyxxxyxyxdxxxy

6)2,1; === yx

y

x

dx

dy

R: 522 =+ yx

7)

( )( )( )( )( )( )321

321

++

=xyx

yxy

dx

dy

R: ( ) ( ) ( ) ( )655

1331 +=+ yxCyx

8)( ) 01;

4

2=

+= y

y

xyx

dx

dy

R: ( )2421 xCey =+

9) ( ) ( )dxydyx 11 2 +=+ R: 1=

arctaxCey

10)0,

2;

2cos3

sensen==

+

+= rs

srere

sres

ds

dr

R: ( ) )c!"21 sarctgr Cee =+

11)2

2;0sen3cos2 =

=+

yxdyxdxy

R: 823 =xseny

12) ( ) ( ) 022221 2222 =+++++ dyxyxxyyxdxxyxy

R: ( )( ) Ceyxx arctagy =++ 222 122

13)

yxyx ee

dx

dyye += 2

R:( )[ ] Ceeye xxy

=++

313

14) ( ) ( ) 01 232 =++ dyxyxdxyxy R:

xyxy

eCy

1

2

=

15) 842

33

++

=yxxy

yxxy

dx

dy

R:CxLnxyLny ++=+ 4535

16) ( ) ( ) 024 22 =++ dyyxxdxxyy R:

UNI#ERSIDAD DE CARA$O$OFACUL%AD DE INGENIER&A

ECUACIONES DIFERENCIALESPROFESOR: 'ERNANDO GON(LE(


2/8

17) ( ) ( ) 0222 2232 =++++ dyxyxdxyxyyx R: ( )

( )xyarctgeyxCyx 42223 1 +=

18) ( )[ ] ( ) 02 =++ dyxyxLndxxyxyyLn

19) ( ) ( ) 0226233 2222 =+++ dyxxxyyxdxxyxyyxy

II. Verificar ue las siguientes ecuaciones diferenciales son !o"og#neas $%deter"inar su soluci&n:

1)022 =+

xydydxyx

R: Cex x

y

=

2

2

2)02232 =

+ dxyxydyx

R: ( ) Cyyxx =+2

3)

dxx

y

xeyxdy

+= 2

R:x

y

Cex =2

4)

xyx

yyx

dx

dyx +

+= arctg2232

R:

=x

yCarctgx3

5)022 =

+ dxyxyxdy

R: Cyxy =++ 22

6)2

2

x

yxy

dx

dy +=

R:CyxyLnx =+

7)xdydx

x

yxy =

+ 2cos

R:C

x

ytgxLn =

8)

( ) 01;0 ==

+ ydyxy

xedxx

y

yex

R: 01 =+ x

y

eLnx

9)( ) 21;332 == yxy

dx

dyxy

R: ( ) 3333 8*+ xxxy =+

10)( ) 11;222 ==

+ yxy

dy

dxyx

R:2242 yxx +=

11),158 22 xyxyxyy += R:

Cx

yarcsenxLn =

+ 4

III. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales% "ediante la sustituci&n

a'ro'iada:

1) yxyx

dx

dy

+

=1

R: ( ) xCyx 22 +=+

2) 523132

++

=yx

yx

dx

dy

R:( ) ( )[ ] C

x

yarctgyxLn =

+

++1

1311

22

3) 932210

+

=yx

yx

dx

dy

R: ( )4

172 ++=+ yxCxy


3/8

4)( ) 11-

223

23=

+++

= yyx

yx

dx

dy

R:( ) 61015420110 +++= yxLnx

5) ( ) ( )dyyxdxyx 164432 ++=++ R: ( ) CxyyxLn +=++ 2232

6) ( ) ( ) ( ) 10;01122 ==++++ ydyyxdxyx R:22322 =+++ yxLnyx

7) ( ) ( ) 01242 =++ dyyxdxyx

8) ( ) ( ) 0833 =+++ dyyxdxyx R: Cyyyxx =++ 163)3"2 22

I#. Escriir cada una de las ecuaciones diferenciales dadas en la

for"a ( ) ( ) 0=+ dyy,xQdxy,xP % co"'roar si es eacta $ deter"inar lasoluci&n de las ecuaciones diferenciales eactas:

1) 032 223 =+ dyyxdxxy R: Cyx =

32

2) ( ) ( ) ( ) 1002 ==++++ y;dyyexdxye yx

R: ( ) ( ) 321 =+++ xyyee yx

3) ( )dxyxxydy 22

2 = R: Cxyx = 23 3

4) ( ) ( ) 0=+ dyyxdxyx R: E.D. N /c

5)

262 xyxedx

dyx x +=

R: Cxexexy xx =+ 3222

6)( ) 062 >

+= x;xx

y

dx

dyLnx

R: CyxyLnx =+ 23 2

7) ( ) ( ) 022 2 =++++ dyexsenxdxxexcosy yy R: Cyexysenx

y =++ 22

8) 12

2

=

scosr

sensr

ds

dr

R: ( )[ ] Csrr =1c!

9) ( ) ( ) 02 =+

dyedxsenxye

xx

R: Cyxye x

=+

2c!

10)( )dyyLnxdx

x

yx 22 +=

+

R: CyLnxyx =++ 33 23

11)( ) ( ) 102

1

12

=+=

+

+ y;senxyydx

dyxyxcos

y R: 41

2 =+ arctgyxcosyxy

12)( ) 01222 =

+++ dyxxydxyx

R: ( ) ( ) Cxyyyxx =++ 1332

13)( ) 0

23

2

22 =

++ dysenxseny

ysec

ysecdxxycosxcos

R:

14)( ) ( ) ( ) 20-01c! 22 ==+ ydyxydxxyxsenx R: ( ) ( ) 041

222 =++ xsenxy

15) D+ + +c+ Q(x,y) * cc+ +c* ! /c ;


4/8

V. Deter"inar el valor de la constante *+, ue convierte las ecuaciones

diferenciales en eactas $ resolver la ecuaci&n eacta resultante:

1) ( ) ( ) 02032 32243 =+++ dyyxxydxxkxyy R: 10=k - ( ) Cxxyyx =+

435

2) ( ) ( )[ ] 022 =++++ dyexKdxkye yx

R: 1=k - ( ) Cxyee yx =++ 2

3) ( ) ( ) 0202 34

=++ dyxsenxyxydxkyysenxyx R: 5=k - ( ) Cxyxyx =+ 42

5c!

4) ( ) ( ) 0122 22 =++ dyKeyxdxyexy xx R: 1=k - ( ) Ceyxy

x = 12

5)0

51122222

=

+

+

+

+ dyyx

yyedx

yx

kx

xx

y

R: 5=K - ( ) ( )[ ] CxyeyxLnxLnx y =++ 21252 22

VI. En caso de ser 'osile !allar un factor integrante ue transfor"e la E.D.O a

eacta $ deter"inar la soluci&n general.

1)( ) 0=++ xLnxdydxyx

R:

CxyLnx =+

2) ( ) ( ) 0521c! 32 =+++ dyexdxxe yy R: Cexesenx

yy =++ 52

3) ( ) 0232 2 =++ xydydxxy R: ( ) Cyxx =+

22

4) ( ) ( ) 021 =++++ dyyxdxxyy R: ( ) Cyxyex

=+

5) ( ) 0232 322 =+ dyxdxxyy R: ( )

2322 Cyxyx =

6)

xexydx

dyx 64 =

R:

( ) 44 1 Cxyxex x =

7)( ) ( )22 121 +=+ xy

dx

dyx

R: ( )( )yxCxy ++= 12

8) ( ) ( ) 021 =+ dxtagxysenxdyxcos R: ( ) CxxLnyx =+ c!c!c!1 2

9)( ) 0=

+++ dy

y

xsecxtgxdxtgxxLnysecy

10) ( ) 04 6 =+ dyyxydx R:

462 Cyyx =

11) ( ) 037)32" 232 =+ dyxydxyxy R:

Cxyy

x = 372

12) ( ) 02222

5

=+++ dyyxLnxxdxxxy R: CyxxyLn =++ 32

33 2

13) ( ) ( ) ( ) 012 22 =+++++ dyyxytgxdxxyxtgyx


5/8

14)( ) ( ) 03926 322 =+ dyxxyydxyyxx

15) D! * E.D.O ( ) ( ) 022 2323 =+++++ dyxyyxdxxyxy !

c! +>+! ; ?+> * !*c+ >+*.

16) D! * E.D.O ( ( 0432 324 =++ dyyxyxydxyy c + c

+>+ * ( )2xyg=

; ?+> * !*c+ >+*.

17) D! * E.D.O ( ) ( ) 0122122 22 =++ dyxyxdxyxy !

c! +>+! ; ?+> * !*c+ >+*.

#II. -allar la soluci&n general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

1)

43 xydx

dyx =

R:34 Cxxy +=

2) xe

ydx

dy21

1

+=+

R: ( ) xxx Ceearctgey +=

3)

xey

dx

dy 3=+

S*.:

xxCeey

+= 34

1

4)223 xyxy =+ S*.:

3

3

1 xCey +=

5) 12 =+ xyyx S*.:

11 += CxLnxxy

6) ( ) xdydxxy = 32 S*:

7) ( )dxyxsenxxdy = S*.: xC

x

senxxy ++=c!

8)( ) 01 =++ ye

dx

dye xx

S*.: 1+=

xe

Cy

9)xxy

dx

dyx =+ 34

S*.:

43

5

1

7

1 += Cxxxy

23 Cxxy +=


6/8

10)1=+ysenx

dx

dyxcos

S*.: xCsenxy c!+=

11)( ) 323 32 xyx

dx

dyx =+

S*.:2

1332 xeCxxy +=

12) ( ) dxexydxxdy x22 = S*.:

2Cxey x +=

13)xy

dx

dy22 +=+

S*.:xCexy += 2

14)( ) 024 2 =++ ydxdyyx S*.:

21

2

5

4 += Cyyx

15) ( ) ( )dyxydxyy 22 2121 =+ S*.:

( ) CyLnyxy ++=+ 222 21

VIII. Resuelva las siguientes ecuaciones de ernoulli:

1.2

1

yy

dx

dyx =+

S*.:33 1 += Cxy

2. ( )13 = xyydx

dyS*.:

xCexy 3331 ++=

3.xyy

dx

dyx =+ 22

S*.: Cxe yx

=

4. 0c! 2 =+ yysenxxy S*.: xCsenxy c!

1 +=

5.y

y

Lnxx

y

x

dx

dyxLnx +=+

2

3

2

33

3

6. 02

946 =

++ dyxyxydx S*.: ( ) Cyxy =+23 3

7.02 4 =++ xyxy

dx

dy

S*.:

23

3 2

11 xCey

+=

8.( ) 421

3

1

3

1yxy

dx

dy=+

S*.:

xCexy

+= 2113


7/8

9.( )senxxyy

dx

dy=+ c!2

S*.:

xCesenx

y+=

1

10.3

4

36 xyydx

dyx =+

S*.: ( )32

1

Cxxy

+=

11. 33 yxyy =

12. 021262 =+

xydydxxyy

S*: ( ) xCey x =+ 62

13.34yxy

dx

dyx =+

S*: ( ) 1222 =xCyx

14. ( ) 02

=+ dyxdxyxy S*.:CLnx

y

x =+

/0.

5xyydx

dy=

S*.:

xCexy

4

4 4

11 ++=

/1. y

xseney

xsendx

dy)xcsc(

xsen

21

12

2

2

2

=+

I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.( ) gxdxcotxydxdyx =++ 21 2

R:

( CsenxLnyx +=+ 21

2.12 22 +=+ yxy

dy

dxy

R:CyLnyxy ++= 2

3.xsenx

x

y

dx

dy32 2=

R: ( ) 22 33c!3 Cxxxy +=

4.xcosgxcoty

dx

dy=+

R: ecxCsenxy c!22 +=

5.( )dyyxxdxy += 32 26

R:( ) yCxyx 6232 =

6.

xydydxyex xy

=

+

22

R:( ) ( ) x

y

exyCxLnx =

7. ( ) 032 2234 =+ dyyxdxxyLnxx R: ( )

233 1 CxxLnxy +=


8/8

8. ( ) 022 =+++ ydydxxyx R: ( )

xCexxy 22 2 ++=

9. ( ) 0322 =++ xydydxyx R: ( ) Cyxx =+

3222 4

10. ( ) 0322 2

=++ dyxyxdxy R:y

Ceyx

2

32

=

11. ( ) 023 22 = xydxdyyx R:

332 Cyyx =

12. ( ) ( ) 022 22 =+++ dyyxdxxy R:

122 31243 += Cyyx

13.02 3 =

+ dyy

xycosxdx

R: Cyyseny

yx

++=

c!

2

14.( )133 = Lnxxy

dx

dyxLnx

R:3xCLnxy +=

15.( ) ( ) 054437 323 =+++++ dyyxxdxyyxx

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