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7/25/2019 Guia de Ejercicios Tema 2- Prof. Hernando Gonzalez
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TEMA No. 2
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y PRIMERGRADO.
I. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO):
1)23
12
yy
x
dx
dy
+=
R: ( ) ( ) Cyyxx =++ 4334 32
2) ( ) ( ) 0421 =+ dyxdxy R: ( ) Cyx =++ 214
3) yey
xex
dx
dy
+
=
R: Ceeyx yx
=+ 22
4)022123 =
++
+ dyxydxyx
R: ( ) ( ) Cyx =++ 12 232
5) ( ) ( ) 0222222 2233 =+++++ dyyxyxxxyxyxdxxxy
6)2,1; === yx
y
x
dx
dy
R: 522 =+ yx
7)
( )( )( )( )( )( )321
321
++
=xyx
yxy
dx
dy
R: ( ) ( ) ( ) ( )655
1331 +=+ yxCyx
8)( ) 01;
4
2=
+= y
y
xyx
dx
dy
R: ( )2421 xCey =+
9) ( ) ( )dxydyx 11 2 +=+ R: 1=
arctaxCey
10)0,
2;
2cos3
sensen==
+
+= rs
srere
sres
ds
dr
R: ( ) )c!"21 sarctgr Cee =+
11)2
2;0sen3cos2 =
=+
yxdyxdxy
R: 823 =xseny
12) ( ) ( ) 022221 2222 =+++++ dyxyxxyyxdxxyxy
R: ( )( ) Ceyxx arctagy =++ 222 122
13)
yxyx ee
dx
dyye += 2
R:( )[ ] Ceeye xxy
=++
313
14) ( ) ( ) 01 232 =++ dyxyxdxyxy R:
xyxy
eCy
1
2
=
15) 842
33
++
=yxxy
yxxy
dx
dy
R:CxLnxyLny ++=+ 4535
16) ( ) ( ) 024 22 =++ dyyxxdxxyy R:
UNI#ERSIDAD DE CARA$O$OFACUL%AD DE INGENIER&A
ECUACIONES DIFERENCIALESPROFESOR: 'ERNANDO GON(LE(
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17) ( ) ( ) 0222 2232 =++++ dyxyxdxyxyyx R: ( )
( )xyarctgeyxCyx 42223 1 +=
18) ( )[ ] ( ) 02 =++ dyxyxLndxxyxyyLn
19) ( ) ( ) 0226233 2222 =+++ dyxxxyyxdxxyxyyxy
II. Verificar ue las siguientes ecuaciones diferenciales son !o"og#neas $%deter"inar su soluci&n:
1)022 =+
xydydxyx
R: Cex x
y
=
2
2
2)02232 =
+ dxyxydyx
R: ( ) Cyyxx =+2
3)
dxx
y
xeyxdy
+= 2
R:x
y
Cex =2
4)
xyx
yyx
dx
dyx +
+= arctg2232
R:
=x
yCarctgx3
5)022 =
+ dxyxyxdy
R: Cyxy =++ 22
6)2
2
x
yxy
dx
dy +=
R:CyxyLnx =+
7)xdydx
x
yxy =
+ 2cos
R:C
x
ytgxLn =
8)
( ) 01;0 ==
+ ydyxy
xedxx
y
yex
R: 01 =+ x
y
eLnx
9)( ) 21;332 == yxy
dx
dyxy
R: ( ) 3333 8*+ xxxy =+
10)( ) 11;222 ==
+ yxy
dy
dxyx
R:2242 yxx +=
11),158 22 xyxyxyy += R:
Cx
yarcsenxLn =
+ 4
III. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales% "ediante la sustituci&n
a'ro'iada:
1) yxyx
dx
dy
+
=1
R: ( ) xCyx 22 +=+
2) 523132
++
=yx
yx
dx
dy
R:( ) ( )[ ] C
x
yarctgyxLn =
+
++1
1311
22
3) 932210
+
=yx
yx
dx
dy
R: ( )4
172 ++=+ yxCxy
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4)( ) 11-
223
23=
+++
= yyx
yx
dx
dy
R:( ) 61015420110 +++= yxLnx
5) ( ) ( )dyyxdxyx 164432 ++=++ R: ( ) CxyyxLn +=++ 2232
6) ( ) ( ) ( ) 10;01122 ==++++ ydyyxdxyx R:22322 =+++ yxLnyx
7) ( ) ( ) 01242 =++ dyyxdxyx
8) ( ) ( ) 0833 =+++ dyyxdxyx R: Cyyyxx =++ 163)3"2 22
I#. Escriir cada una de las ecuaciones diferenciales dadas en la
for"a ( ) ( ) 0=+ dyy,xQdxy,xP % co"'roar si es eacta $ deter"inar lasoluci&n de las ecuaciones diferenciales eactas:
1) 032 223 =+ dyyxdxxy R: Cyx =
32
2) ( ) ( ) ( ) 1002 ==++++ y;dyyexdxye yx
R: ( ) ( ) 321 =+++ xyyee yx
3) ( )dxyxxydy 22
2 = R: Cxyx = 23 3
4) ( ) ( ) 0=+ dyyxdxyx R: E.D. N /c
5)
262 xyxedx
dyx x +=
R: Cxexexy xx =+ 3222
6)( ) 062 >
+= x;xx
y
dx
dyLnx
R: CyxyLnx =+ 23 2
7) ( ) ( ) 022 2 =++++ dyexsenxdxxexcosy yy R: Cyexysenx
y =++ 22
8) 12
2
=
scosr
sensr
ds
dr
R: ( )[ ] Csrr =1c!
9) ( ) ( ) 02 =+
dyedxsenxye
xx
R: Cyxye x
=+
2c!
10)( )dyyLnxdx
x
yx 22 +=
+
R: CyLnxyx =++ 33 23
11)( ) ( ) 102
1
12
=+=
+
+ y;senxyydx
dyxyxcos
y R: 41
2 =+ arctgyxcosyxy
12)( ) 01222 =
+++ dyxxydxyx
R: ( ) ( ) Cxyyyxx =++ 1332
13)( ) 0
23
2
22 =
++ dysenxseny
ysec
ysecdxxycosxcos
R:
14)( ) ( ) ( ) 20-01c! 22 ==+ ydyxydxxyxsenx R: ( ) ( ) 041
222 =++ xsenxy
15) D+ + +c+ Q(x,y) * cc+ +c* ! /c ;
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V. Deter"inar el valor de la constante *+, ue convierte las ecuaciones
diferenciales en eactas $ resolver la ecuaci&n eacta resultante:
1) ( ) ( ) 02032 32243 =+++ dyyxxydxxkxyy R: 10=k - ( ) Cxxyyx =+
435
2) ( ) ( )[ ] 022 =++++ dyexKdxkye yx
R: 1=k - ( ) Cxyee yx =++ 2
3) ( ) ( ) 0202 34
=++ dyxsenxyxydxkyysenxyx R: 5=k - ( ) Cxyxyx =+ 42
5c!
4) ( ) ( ) 0122 22 =++ dyKeyxdxyexy xx R: 1=k - ( ) Ceyxy
x = 12
5)0
51122222
=
+
+
+
+ dyyx
yyedx
yx
kx
xx
y
R: 5=K - ( ) ( )[ ] CxyeyxLnxLnx y =++ 21252 22
VI. En caso de ser 'osile !allar un factor integrante ue transfor"e la E.D.O a
eacta $ deter"inar la soluci&n general.
1)( ) 0=++ xLnxdydxyx
R:
CxyLnx =+
2) ( ) ( ) 0521c! 32 =+++ dyexdxxe yy R: Cexesenx
yy =++ 52
3) ( ) 0232 2 =++ xydydxxy R: ( ) Cyxx =+
22
4) ( ) ( ) 021 =++++ dyyxdxxyy R: ( ) Cyxyex
=+
5) ( ) 0232 322 =+ dyxdxxyy R: ( )
2322 Cyxyx =
6)
xexydx
dyx 64 =
R:
( ) 44 1 Cxyxex x =
7)( ) ( )22 121 +=+ xy
dx
dyx
R: ( )( )yxCxy ++= 12
8) ( ) ( ) 021 =+ dxtagxysenxdyxcos R: ( ) CxxLnyx =+ c!c!c!1 2
9)( ) 0=
+++ dy
y
xsecxtgxdxtgxxLnysecy
10) ( ) 04 6 =+ dyyxydx R:
462 Cyyx =
11) ( ) 037)32" 232 =+ dyxydxyxy R:
Cxyy
x = 372
12) ( ) 02222
5
=+++ dyyxLnxxdxxxy R: CyxxyLn =++ 32
33 2
13) ( ) ( ) ( ) 012 22 =+++++ dyyxytgxdxxyxtgyx
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14)( ) ( ) 03926 322 =+ dyxxyydxyyxx
15) D! * E.D.O ( ) ( ) 022 2323 =+++++ dyxyyxdxxyxy !
c! +>+! ; ?+> * !*c+ >+*.
16) D! * E.D.O ( ( 0432 324 =++ dyyxyxydxyy c + c
+>+ * ( )2xyg=
; ?+> * !*c+ >+*.
17) D! * E.D.O ( ) ( ) 0122122 22 =++ dyxyxdxyxy !
c! +>+! ; ?+> * !*c+ >+*.
#II. -allar la soluci&n general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:
1)
43 xydx
dyx =
R:34 Cxxy +=
2) xe
ydx
dy21
1
+=+
R: ( ) xxx Ceearctgey +=
3)
xey
dx
dy 3=+
S*.:
xxCeey
+= 34
1
4)223 xyxy =+ S*.:
3
3
1 xCey +=
5) 12 =+ xyyx S*.:
11 += CxLnxxy
6) ( ) xdydxxy = 32 S*:
7) ( )dxyxsenxxdy = S*.: xC
x
senxxy ++=c!
8)( ) 01 =++ ye
dx
dye xx
S*.: 1+=
xe
Cy
9)xxy
dx
dyx =+ 34
S*.:
43
5
1
7
1 += Cxxxy
23 Cxxy +=
-
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10)1=+ysenx
dx
dyxcos
S*.: xCsenxy c!+=
11)( ) 323 32 xyx
dx
dyx =+
S*.:2
1332 xeCxxy +=
12) ( ) dxexydxxdy x22 = S*.:
2Cxey x +=
13)xy
dx
dy22 +=+
S*.:xCexy += 2
14)( ) 024 2 =++ ydxdyyx S*.:
21
2
5
4 += Cyyx
15) ( ) ( )dyxydxyy 22 2121 =+ S*.:
( ) CyLnyxy ++=+ 222 21
VIII. Resuelva las siguientes ecuaciones de ernoulli:
1.2
1
yy
dx
dyx =+
S*.:33 1 += Cxy
2. ( )13 = xyydx
dyS*.:
xCexy 3331 ++=
3.xyy
dx
dyx =+ 22
S*.: Cxe yx
=
4. 0c! 2 =+ yysenxxy S*.: xCsenxy c!
1 +=
5.y
y
Lnxx
y
x
dx
dyxLnx +=+
2
3
2
33
3
6. 02
946 =
++ dyxyxydx S*.: ( ) Cyxy =+23 3
7.02 4 =++ xyxy
dx
dy
S*.:
23
3 2
11 xCey
+=
8.( ) 421
3
1
3
1yxy
dx
dy=+
S*.:
xCexy
+= 2113
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9.( )senxxyy
dx
dy=+ c!2
S*.:
xCesenx
y+=
1
10.3
4
36 xyydx
dyx =+
S*.: ( )32
1
Cxxy
+=
11. 33 yxyy =
12. 021262 =+
xydydxxyy
S*: ( ) xCey x =+ 62
13.34yxy
dx
dyx =+
S*: ( ) 1222 =xCyx
14. ( ) 02
=+ dyxdxyxy S*.:CLnx
y
x =+
/0.
5xyydx
dy=
S*.:
xCexy
4
4 4
11 ++=
/1. y
xseney
xsendx
dy)xcsc(
xsen
21
12
2
2
2
=+
I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.( ) gxdxcotxydxdyx =++ 21 2
R:
( CsenxLnyx +=+ 21
2.12 22 +=+ yxy
dy
dxy
R:CyLnyxy ++= 2
3.xsenx
x
y
dx
dy32 2=
R: ( ) 22 33c!3 Cxxxy +=
4.xcosgxcoty
dx
dy=+
R: ecxCsenxy c!22 +=
5.( )dyyxxdxy += 32 26
R:( ) yCxyx 6232 =
6.
xydydxyex xy
=
+
22
R:( ) ( ) x
y
exyCxLnx =
7. ( ) 032 2234 =+ dyyxdxxyLnxx R: ( )
233 1 CxxLnxy +=
-
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8. ( ) 022 =+++ ydydxxyx R: ( )
xCexxy 22 2 ++=
9. ( ) 0322 =++ xydydxyx R: ( ) Cyxx =+
3222 4
10. ( ) 0322 2
=++ dyxyxdxy R:y
Ceyx
2
32
=
11. ( ) 023 22 = xydxdyyx R:
332 Cyyx =
12. ( ) ( ) 022 22 =+++ dyyxdxxy R:
122 31243 += Cyyx
13.02 3 =
+ dyy
xycosxdx
R: Cyyseny
yx
++=
c!
2
14.( )133 = Lnxxy
dx
dyxLnx
R:3xCLnxy +=
15.( ) ( ) 054437 323 =+++++ dyyxxdxyyxx