Profesor Leonard Rangel Hoja de ejercicios Nº 1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

El instrumento matemático básico para medir la razón de cambio de una función

es su derivada. Una derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho

punto de una función. La recta tangente es aquella que toca a la función en un solo punto

del entorno.

Por ejemplo, en la siguiente grafica la recta g(x)=3x-2 es tangente a la función

cúbica f(x)=x³ en el punto (1,1).

La derivada de una función en

un punto representa la razón de

cambio instantánea de esa

función para ese valor de la

variable independiente.

En problemas demográficos

y económicos, en lugar de llamarla

derivada se utiliza el término tasa

o valor marginal. En problemas de

física, química, biología, etc., se

suele hablar de velocidad y de

rapidez. Mientras que la

expresión razón de cambio es

utilizada en todas las disciplinas.

Para familiarizarnos con ello es necesario el recordar su relación con el concepto

de límite y del algoritmo de “derivada por definición”.

Supongamos que el malvado profesor de matemáticas nos da la función f(x)=x³

y nos piden calcular la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1). En primer lugar,

para calcular la ecuación de la recta necesitamos su pendiente. Como hemos explicado, la

pendiente de la recta tangente a un punto de una función se le llama derivada, por tanto

hemos de derivar la función.

¿Cómo derivar dicha función? Lo más sencillo es aplicar la regla de la derivada de

una potencia, pero puesto que no tenemos por qué saber aplicar esta regla, lo haremos

mediante la definición de derivada.

0

( ) ( )'( ) lim

h

f h x f xf x

h→

+ −=

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Ahora puesto que nuestra función es f(x)=x³ aumentaremos a x en h obteniendo

f(x+h)=(x+h)³ para luego sustituir en la definición antes planteada:

3 3

0

( )'( ) lim

h

x h xf x

h→

+ −=

Operando el producto notable de la función a la cual se le está sacando el límite

3 2 2 3 33 3( )

x x h xh h xq x

h

+ + + −=

Simplificamos:

2 2 33 33 3( )

x h xx h hq x

h

x+ + − /+/=

Sacamos de factor común en el numerador a h

2 2(3 3 )( )

h x xh hq x

h

+ +=

Ahora simplificamos la h, puesto que es un factor tanto en el numerador como en

el denominador:

2 2(3 3 )( )

xq

h

h

xh hx

+ +=

Finalmente eliminamos la h del denominador, luego volvemos a q(x) a la expresión

original y al evaluar tenemos

2

0'( ) lim ( ) 3

hf x q x x

→= =

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Con este método podemos calcular cualquier derivada, pero puesto que es un

método largo para los más flojos, hay una regla para cada tipo de derivada, las cuales

están demostradas a partir de la definición de límite y las que iremos trabajando a lo

largo del curso.

Bien, como recodarán piden la pendiente de la recta tangente en el punto (1,1), vemos que f’(1)=3 . Esto quiere decir que la pendiente de nuestra recta es m=3. Ahora

sólo nos falta un cálculo (sencillo para aquellos que les gusta aprender). ¿Cómo hallar la

ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto por donde pasa?

La forma más sencilla es utilizar la ecuación de la recta punto pendiente

aprendida en noveno grado de educación básica:

1 1( )y y m x x− = −

Siendo (1,1) un punto por donde pasa la recta (en nuestro caso, el punto de

tangencia). Sustituyendo los valores que tenemos en la ecuación de la recta tenemos

1 3( 1)

1

3 2

3 3

3 3 1

y x

y x

y

y

x

x

− = −− = −

=

− +

−

=

Y ya hemos calculado la ecuación de la recta tangente a la función f(x)=x³ en el

punto (1,1) .Si aún dudas de este resultado puedes chequear en la imagen que encabeza

este escrito.

Para cada tipo de función, existe una regla para derivarla. Esto hace muy cómodo

el proceso de derivar, ya que en lugar de tener que aplicar la definición podemos

resolverlas aplicando la regla adecuada a cada una. Por supuesto, estas reglas se

demuestran a partir de la definición y progresivamente iremos aprendiéndolas en clase.

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Según las estrategias estudiadas calcula las siguientes derivadas:

(i) 6

( ) 13 6

x xf x = − +

(ii) 2( ) 4 6 1z x x x= − +

(iii) 2

1 32

3p

y y= − + (iv) 5 2

6 33 4 10y x x−

= − −

(v) 3 24 3( )

6

t tg t

− −= (vi)

2

34 3

2y x

x= − +

(vii) 3

3

1( )r t t

t= − (viii)

3

3 2

3 53

2 3u

x x= − +

(ix) 4 5 2 3(5 4 )(3 2 )y x x x x= − + (x) ( ) ( 1)( 2)( 3)f x x x x= − − −

(xi) 4 6( 1)( 2)d w w t= − − (xii) ( ) ( 1)( 1)r s s s= + −

(xiii) 2( ) 2 ( 5)g x x x x= − + (xiv) 2

( ) ( 3)( 1)u x xx

= − −

(xv) 3

9v

x=

− (xvi)

8

nz

n=

−

(xvii) 3

3

xy

x

+=−

(xviii) 2( )

1

kb k

k=

+

(ixx) 32 1

( )1

xg x

x

+=−

(xx) 3

2

2( )

1

t tj t

t t

−=+ +

(xxi) 1

( )( 1)( 3)

f xx x

=− −

(xxii) 2

22

1( ) ( 1)( 1)

1

xf x x x

x

+= − − −−

(xxiii) 1

( )1 2

qu q

q

−=

+ (xxiv)

3

3

1( )

1 3

bm b

b

−=+

ÉXITO !!!