monografia de derivadas

anlisis matemtico i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA 2012

RESPONSABLES:Daz Espinoza Sandy Medalith.Ramrez Cruz Yalemi Libertad. AO DE ESTUDIOS: PRIMERO-II DOCENTE: Lic. SnchezCulqui Eladio. Jaen-2012

anlisis matemtico i

NDICEPgina

I. DERIVADA DE UNA FUNCIN:6

I.1 DEFINICIN 01:6

I.2 DEFINICIN 02: SIGNIFICADO GEOMTRICO:6

I.3 OTRAS NOCIONES DE LA DERIVADA:6

I.4 DERIVADA DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO:7

I.4.1 DEFINICIN:7

II. RECTA TANGENTE:7

II.1 DEFINICIN:8

III. RECTA NORMAL:8

EJEMPLO:8

IV. ALGEBRA DE DERIVADAS:11

V. DERIVADA DE UNA FUNCIN COMPUESTA:11

V.1 COROLARIO:12

V.2 OBSERVACIN:12

VI. REGLA DE LA CADENA: 13

NOTACIN DE LEIBNIZ:13

VII. DERIVADAS LATERALES:13

VII.1 DERIVADA LATERAL DERECHA:13

VII.2 DERIVADA LATERAL IZQUIERDA:13

TEOREMA 01:13

TEOREMA 02:13

OBSERVACIN:14

VIII. DIFERENCIA ENTRE LMITE LATERAL DE LA DERIVADA Y DERIVADA LATERAL14

IX. DERIVADAS LOGARTMICAS:15

Derivada de una funcin logartmica de base b:15

Derivada de una funcin logartmica de base e:16

X. DERIVADAS DE LA FUNCIN EXPONENCIAL:17

DERIVADA DE :18

TEOREMA 01:18

XI. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES GENERALIZADAS:19

XII. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:19

XII.1 DEFINICIN 01:19

XII.2 DEFINICIN 02:19

XII.3 PROPOSICIN: 20

Frmula de Leibniz: 20

XIII. DERIVACIN IMPLCITA:20

Definicin 01:20

Definicin 02:20

EJEMPLO:21

XIV. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS:21

XIV.1 PROPOSICIN:21

XV.2 COROLARIO:22

XV. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS:23

XVI. REPRESENTACIN PARAMTRICA DE CURVAS:24

XVI.1 DERIVADA DE CURVAS PARAMTRICAS:25

XVI.1.1 DEFINICIN 01:25

XVI.1.2 DEFINICIN 02:25

XVI.2 DERIVADA DE UNA FUNCIN DADA EN SU FORMA PARAMTRICA:26

XVI.3 TRAZADO DE CURVAS PARAMTRICAS:27

a) Simetra:27

b) Puntos crticos de una curva paramtrica:27

XVII. COORDENADAS POLARES:30

DEFINICIN 01:30

XVIII. RELACION ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES:31

IX. RECTA Y CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES:32

X. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES:34

XI. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES:35

XII. INTERSECCIN DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES:35

Observacin: 35

XIII. DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES:36

MISELANIA DE EJERCICIOS37

INTRODUCCIN

Los problemas tpicos que dieron origen al Clculo Diferencial, comenzaron a plantearse en la poca clsica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron mtodos sistemticos de resolucin hasta 20 siglos despus (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz).En lo que respecta a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geomtrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego esttico en contraste con el concepto cinemtico de Arqumedes) y el problema de los extremos (mximos y mnimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Clculo Diferencial.Se suele imaginar la derivada en un punto x para la funcin como la pendiente (inclinacin) que existe en el punto. En la grfica de una funcin, la pendiente representa la rapidez con que cambia dicha funcin: si la pendiente es muy grande, entonces la funcin en este punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequea, entonces la funcin crece muy despacio en ese punto. En trminos geomtricos, sta pendiente es "la inclinacin" de una lnea recta que toca el punto en el que se evala la derivada de la funcin. Esta inclinacin (un valor numrico) depende de la forma que tiene la funcin en esa zona del grfico que la representa en el plano cartesiano.Derivar una funcin no es en absoluto complicado si se sabe utilizar las reglas de derivacin descubiertas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lgico.La derivabilidad de una funcin en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) est asociada al de continuidad. Este aspecto tambin ser tratado en esta unidad.Finalmente veremos la relacin que tiene la derivada con los problemas de optimizacin de funciones. Estos problemas decimos que son de mximo o de mnimo (mximo rendimiento, mnimo coste, mximo beneficio, mnima aceleracin, mnima distancia, etc.).En este tema, adems de definir tales conceptos, se mostrar su significado y se hallarn las derivadas de las funciones ms usuales. Es de capital importancia dominar la derivacin para despus poder abordar el trazado de curvas, as como para comprender la utilidad del clculo integral

OBJETIVOS: Adquirir con claridad el concepto de derivada de una funcin en un punto.

Distinguir entre derivada en un punto x=x0de una funcin f(x) y funcin derivada de f(x).

Calcular rectas tangentes a una curva f(x).

Aprender la tcnica de derivacin de funciones f(x).

Interpretar aspectos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad de funciones a partir de la funcin derivada y derivada segunda de una funcin f(x).

Determinacin de valores mximos y mnimos de funciones f(x) y resolverproblemas de optimizacin

LA DERIVADA

I. DERIVADA DE UNA FUNCIN:I.1 DEFINICIN 01:Dada una funcin y un puntoen el dominio de se llama derivada de en el punto al valor numrico:Si solo s el lmite exista.

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.392-393

El dominio de una funcin derivada de es .

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.198

I.2 DEFINICIN 02: SIGNIFICADO GEOMTRICO:

Consideremos una funcinderivable en el punto de tangencia y otro punto sobre la grfica de . La pendiente de la recta secantees:

En el grfico:Cuando, el punto vara sobre la grfica tendiendo hacia Entonces , en donde es el ngulo de inclinacin de la recta tangente a la grfica de en el punto Luego las pendientes de las rectas secantes tienden a la pendiente de la recta tangente a la grfica de en el punto

Por lo tanto,, es la pendiente de la recta tangente a la grfica de en el punto .

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.199-200

I.3 OTRAS NOCIONES DE LA DERIVADA:

a) Si ; y

b) Al incremento de en la variable se denota , y para tal incremento existe un incremento en el valor de la funcion al que se le denota:

De lo cual se tiene:

c) Se lee: derivada decon respecto a en el puntoANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.393I.4 DERIVADA DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO:

I.4.1 DEFINICIN:Sea una funcin definida en el punto se dice que es derivable de en si el siguiente lmite existe:

Si la funcin es derivable en se llama derivada deen la notacin se debe a LaGrangeOtras notaciones:: Notacin de Cauchy.

: Notacin de Leibniz.

: Notacin de Newton.TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.196II. RECTA TANGENTE:

II.1 DEFINICIN:La recta tangente a la grfica de una funcin en el punto es la recta que pasa por y que tiene pendiente, cuando existe, es decir:


III. RECTA NORMAL:Se llama recta normal a la grfica de en ala recta que pasa por y que es perpendicular a la recta tangente en ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.394

EJEMPLO:Hallar el rea del tringulo limitado por las ecuaciones de la tangente y de la normal a la grfica de la ecuacin: een el punto P (-2; 3) y el eje X.Solucin: Derivando la ecuacin implcita respecto de x, se tiene:

Para el punto P (-2; 3) obtenemos: Ecuacin de la tangente: Ecuacin de la normal: (Eje X): (Eje Y): Base del tringulo:

EJEMPLO 1:

Hallar el ngulo de interseccin de las curvas:ySolucin: los pasos a seguir son los siguientes:

a. Clculo de los puntos de interseccin:Si

Luego: son los puntos de interseccin.

b. Clculo de las pendientes en

c. Clculo del ngulo de interseccin:

d. Para el punto se obtiene el mismo resultado, esto se debe a la simetra de ambas curvas en los puntos de interseccin.

EJEMPLO 2:

Hallar la derivada de funcin Solucin: Siguiendo el mtodo de los cuatro pasos se tiene: 1.

2.

3. Formando el cociente 4. Luego: EJEMPLO 3:

Hallar la ecuacin de la tangente y la normal a la funcin , en el punto de abscisa x=2

Solucin: Punto de tangencia: si

Como f est definida , podemos escribir

Ahora hallaremos la derivada de f por el mtodo de los cuatro pasos1.

2.

3.

4.

En particular, para

Por tanto, la ecuacin de la tangente es: y la ecuacin de la normal es: EJEMPLO 4:

Si f es una extensin continua de en el origen, probar que f es derivable en el origen y que f(0)=0

Demostracin: Por definicin:

Conociendo que:

Por el teorema de sndwich, Luego a=0 es la extensin continua de g.Mostraremos ahora que f (0)=01.

2.

3.

4.

IV. ALGEBRA DE DERIVADAS:

Seanydos funciones eny sea una constate. Entonces, se tiene:

a)

b)

c)

d) TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.206V. DERIVADA DE UNA FUNCIN COMPUESTA:Si es una funcin derivable en entonces existe una funcin tal que con .

V.1 TEOREMA 01:

Regla de la cadena: seany dos funciones con Sies derivable en y es derivable en entonceses derivable en y se cumple:

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.20V.2 COROLARIO:Sea es una funcion derivable en y es una constante entonces es derivable eny .Demostracin:Sea , donde .

Como , entonces .Por lo tanto, por el teorema 3, se tiene:


V.3 OBSERVACIN: Si son funciones derivables, entonces:

Si: es una funcin derivable y tiene inversa , entonces:

Si son dos funciones derivables, entonces:

Si: es derivable, entonces: (Regla general para potencias) Si: es derivable con, entonces

Siyse derivable conentonces:


VI. REGLA DE LA CADENA:

NOTACIN DE LEIBNIZ:Cuando se tiene , donde, entonces resulta , cuya derivada puede escribirse como:

Se lee: la derivada de respecto a es igual al producto de la derivada de respecto a por la derivad de respecto a .


VII. DERIVADAS LATERALES:

VII.1 DERIVADA LATERAL DERECHA:Se llama derivada lateral derecha de en el punto al lmite real:

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.414

VII.2 DERIVADA LATERAL IZQUIERDA:Se llama derivada lateral izquierda de en el punto al lmite real:

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.414

TEOREMA 01:La funcin es derivable en el punto si solo si existen y son iguales.TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.201 TEOREMA 02:Si una funcinn es derivable en el punto entonces es continua en TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.201

OBSERVACIN:Para hallar las derivadas laterales de las funciones definidas e los putos donde la funcin cambia de regla de correspondencia es til tener en cuenta las propiedades siguientes:Si es derivable para y existe entoncesSi es derivable para y existe entonces

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.202VIII. DIFERENCIA ENTRE LMITE LATERAL DE LA DERIVADA Y DERIVADA LATERAL El lmite lateral derecho de en

El cual puede existir cuando no est definido, es decir cuando el punto no pertenezca al dominio de la funcion de Tenemos que por extensin es el lmite lateral derecho de la funcion derivada de en el punto :

El cual puede existir cuando no pertenezca al dominio de la funcion de no incluso cuando an no exista la derivadaSin embargo, no representa la derivada lateral derecho de en la que, por definicin, es igual:

Por lo tanto: a menos que sea continua por la derecha en y exista .


IX. DERIVADAS LOGARTMICAS:

a). Derivada de una funcin logartmica de base b:Si es una funcin derivable de tal que entonces: ANLISIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa C.Pg. 452

EJEMPLO 1:

Derivar la funcin: Solucin: Derivando se tiene:

EJEMPLO 2:

Derivar: Solucin:

Ahora, efectuando la derivacin obtenemos:

Por lo tanto:

EJEMPLO 3:

Derivar: Solucin:

Simplificando trminos en el numerador se tiene:

b). Derivada de una funcin logartmica de base e:Si es una funcin de derivable en todo su dominio, entonces:

TEOREMA:Si es una funcin derivable de tal que entonces:

ANLISIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa C.Pg. 451

EJEMPLO 1:Hallar la derivada de Solucin:

Aplicando la regla del producto y nuevamente el teorema 4.20. se tiene:

EJEMPLO 2:Hallar , si: Solucin: Sea Derivando respecto de , se tiene:

Dado que: Aplicando la regla de la cadena, obtenemos:

EJEMPLO 3:

Derivar:

Solucin: introduciendo la variable intermedia , se tiene:

Si: Luego, por la regla de la cadena:

X. DERIVADAS DE LA FUNCIN EXPONENCIAL:Sea un nmero real positivo y sea una funcin de derivable en todo su dominio, entonces: ANLISIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa C.Pg. 459

DERIVADA DE :Sea sabemos que esto significa: de modo que por teora de la derivada de la funcin inversa:

Obteniendo unode los resultados, considerado, ms importante del clculo matemtico:

En consecuencia para toda constante c:

Asimismo es una funcin derivable:

En efecto, si hacemos por la regla de la cadena resulta:

TEOREMA 01:Una exponencial de la forma satisfactoriamente de que su derivada es proporcional a la misma funcin en todo su dominio. Es decir ,

NOTA: La constate es llamada valor inicial de la funcin y es su constante de proporcionalidad.

XI. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES GENERALIZADAS:Si y son derivables,se puede calcular la derivada de la funcion exponencial generalizada:

Al expresarla como:

Al derivar:

XII. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:

XII.1 DEFINICIN 01:Si y existen en un intervaloentonces y existen sobre y adems:

Segn Leibniz:

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.436-437XII.2 DEFINICIN 02:Sea una funcin derivable, la derivada de la funcin se denomina segunda derivada de , y ees indicada con una de las notaciones:

Si eexiste, see dice que es dos veces derivable en y el nmero se denomina segunda derivada de en .Si es una funcin derivable, su derivada , (derivada de la segunda derivada) se denomina tercera derivada de y se denota con uno de los smbolos:

De esta manera, derivando sucesivamente la funcin (siempre quee sea posible), se obtiene la n-sima derivada o derivada de orden n de y se indica con una de las notaciones:


XII.3 PROPOSICIN:Frmula de Leibniz: supongamos que las funciones y son definidas y derivables hasta el orden en A y se tiene:

En esta frmula se entiende que:


XIII. DERIVACIN IMPLCITA:Definicin 01:

Sea una ecuacin de variables . Si al remplazar por , la ecuacin se transforma en una identidad, entonces la ecuacin definida por es llamada Funcin Implcita determinada por la ecuacin .TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.227Definicin 02:Dado la ecuacin en dos variables con necesitamosalgn procedimiento para hallar sin tener necesitad de despejaren trminos de.Existen dos procedimientos para hallar la en una ecuacin , con .1 Mtodo: aplicamos en ambos miembros de la ecuacin, ely usamos todas las reglas de derivacin para finalmente despejar.2 Mtodo: usamos derivadas parciales en la frmula:Donde:Es la derivada parcial de F con respecto a. Este caso, consideramos slo a como variable y el resto de letras se consideran como constante. Es la derivada parcial de F con respecto a. Este caso, consideramos slo a como variable y el resto de letras se consideran como constante.

ANLISIS MATEMTICO I-Clculo diferencial.Autor: Moiss Lzaro C.Pg.: 165-16EJEMPLO:1. , hallar mediante derivacin implcita.a. Clculo de la primera derivada:

b. Por regla del cociente:

Ahora sustituimos la expresin obtenida en (a) para , esto es:

c. Ntese que el parntesis del numerador es el primer miembro de la ecuacin original.

d.

XIV. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS:

XIV.1 PROPOSICIN:

Las funciones trigonomtricas son derivables en sus dominios respectivos. Se cumple: , entonces. , entonces. , entonces . , entonces. , entonces. , entonces.TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.344

XV.2 COROLARIO:

Si es una funcin derivable, entonces tenemos: TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.345

EJEMPLO 1:

Hallar la derivada de la funcin: Solucin: sin entrar en todos los detalles, el clculo de la derivada viene a ser el que sigue:

EJEMPLO 2:

En primer lugar, rescribir la funcin en trminos de seno y coseno:

Ahora, derivar la funcin por la regla del producto:

EJEMPLO 3:

Derivar:

Solucin: elevando al cuadro:

El segundo sumando del denominador es la recproca de la funcin dada, luego, si:

Entonces pro derivacin implcita obtenemos:

XV. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS:

Sea una funcin derivable de, entonces: EJEMPLO 1:

Derivar la funcin: Solucin:

EJEMPLO 2:

Probar que la funcin es constante cuando .Demostracin: probaremos que si , cuando .

Pero si: Luego, en (1): =0Por lo tanto, si es constante cuando .

XVI. REPRESENTACIN PARAMTRICA DE CURVAS:

Cuando los puntos de una curva en el plano estn representados por ecuaciones del tipo:

,Se le llama parmetro y a las ecuaciones se les conoce como ecuaciones paramtricos de la curva .

Algunas veces un par de ecuaciones paramtricas definen una funcion lo cual ocurrir si la funcion tiene funcion inversa

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.457XVI.1 DERIVADA DE CURVAS PARAMTRICAS:XVI.1.1 DEFINICIN 01:Dada una curva definida por las ecuaciones:

Se desea calcular para un valor, el valor de la derivada que representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto para: . Para ello aplicamos la regla de la cadena:

Donde:

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.462-463XVI.1.2 DEFINICIN 02:Sean dos funciones continuas definidas en . Las ecuaciones de la forma:

Se llaman Ecuaciones Paramtricas y se llama parmetro.Si se considera que los valores de e son las coordenadas de un punto en el plano coordenada, a cada valor de le corresponde el punto del plano . Cuando vara en , este punto describe una curva.Supongamos que tiene inversa . Entonces es una funcin de , pues .En este caso, est en funcin de y se dice que la funcin se representa en forma paramtrica por Para expresar en trminos de, es necesario eliminar el parmetro de las ecuaciones . Al eliminar el parmetro (si es posible), obtendremos una ecuacin de la forma de la forma .El dominio de una ecuacin paramtrica, si no se indica, se determina por:


XVI.2 DERIVADA DE UNA FUNCIN DADA EN SU FORMA PARAMTRICA:Supongamos que la representacin paramtrica de una curva es:

Donde y son funciones derivadas en y.Aplicando la regla de cadena, se tiene Para obtener la segunda derivada se aplica nuevamente la regla de la cadena. De este modo, tenemos:

En general, se tiene:

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.439-440XVI.3TRAZADO DE CURVAS PARAMTRICAS:a) Simetra: La grfica de una curva paramtricaes simtrica respecto al eje si para cada existe talque:

La grfica de una curva paramtricaes simtrica respecto al eje si para cada existe talque:

NOTA:si es una funcin par y es una funcion impar, entonces la grfica es simtrica respecto al eje :si es una funcin impar y es una funcion par, entonces la grfica es simtrica respecto al eje :

b) Puntos crticos de una curva paramtrica: Dada una curva el bosquejo se realiza como una curva dada por la ecuacin. Se evalan las derivadas lo que da origen a la derivada:

Los valores crticos de son: para los cuales al menos una de las derivadas se hace cero o se vuelve discontinua. Despus se analiza el signo de en los intervalos para determinar el crecimiento o decrecimiento de la curva. Para determinar el sentido de la concavidad se evala la segunda derivada:

Para halar las asntotas se ubican aquellos valores de hacia los cuales los valores de y/o tienden al infinito. Se puede presentar los casos en que: yA. a) Cuando: asntota vertical:

b) Cuando:asntota horizontal derecha:

c) Cuando: asntota horizontal izquierda:

B. : entonces se busca la asntota oblicua derecha de ecuacin:, donde:

C. : entonces se busca la asntota oblicua izquierda de ecuacin:, donde:

ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.466-468EJEMPLO:Mediante la primera derivada, trace la grfica de la curva dad por:

Solucin:i. Dominio:

ii. Asntotas:a) Asntotas verticales y asntotas horizontales no tiene:

b) Asntotas oblicuas: Luego, la recta es asntota oblicua . Luego, la recta es asntota oblicua .iii. Puntos crticos:;; Puntos crticos son:Comocuando, se hace los puntos y cuando se hace los puntos en donde en estos puntos la tangente a la recta es horizontal.Por otro lado, cuando, se hace el punto y cuando se hace el punto en donde en estos puntos la tangente a la curva es vertical.La curva pasa dos veces por el punto , una vez con la tangente horizontal igual al eje x y otra con la tangente vertical igual al eje y.iv. Grfica:

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.444-445EJEMPLO:Traza la grfica de la curva cuyas ecuaciones paramtricas son:

Solucin:v. Dominio:

vi. Asntotas:c) Asntotas verticales: no tiene debido a que no existe ningn valor de t para el cual .d) Asntotas horizontales:Es asntota horizontal si.Como cuandoentonces se tiene:

Luego, es asntota horizontal a la derecha.Para el caso en que, no existe asntota horizontal.Anlogamente:

Luego, es asntota horizontal a la izquierda.e) Asntotas oblicuas: No tiene asntotas oblicuas, pues:

vii. Puntos crticos:;; Puntos crticos son:Puntos crticos de inflexin: viii. Grfica:

TPICOS DE CLCULO-Volumen I.Autor: Mximo Mitacc Luis Toro.Pag.443-444

XVII. COORDENADAS POLARES:DEFINICIN 01:El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ngulo respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama polo u origen y se denota por O, la semirecta fija se llama eje polar que denotamos por y se grafica horizontalmente y al a derecha.

Sea P un punto del polo O yngulo en radianes cuyo inicial es y su lado terminal.Entonces: si r es la distancia dirigida desdeO a un conjunto de coordenadas del punto est dado por y denotamos por:

ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.600

XVIII. RELACION ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES:Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje en sentido positivo.Luego, cualquier punto del plano por representacin en coordenadas polares y cartesianas.

En el se tiene:

Esta es la relacin entre coordenadas polares y cartesianas.ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.601-602

IX. RECTA Y CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES:Consideremos la recta L que pasa por el punto y que es perpendicular al aje polar o a su prolongacin, su ecuacin cartesiana es dada por, como entonces su ecuacin polar es:

Cuando , la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando la recta Lse encuentra a la izquierda del polo.Consideremos una recta L que pasa por el punto que es paralelo a eje polar.Su ecuacin cartesiana es como .Entonces su ecuacin polar es:

Cuando la recta se encuentra arriba del eje polar; cuando, la recta se encuentra por debajo del eje polar; cualquier recta que pasa por el polo, su ecuacin es donde es la medida el ngulo que forma con al eje polar. La ecuacin de la circunferencia con centro en el polo y radio es es decir, el punto pertenece a la circunferencia si y solo si .

Luego, si la distancia , entonces es la ecuacin de la circunferencia de centro en el polo y radio igual a .Pertenece a la circunferencia y como es recta por ser inscrito en una circunferencia. Luego de donde .ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.603-604-605

X. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES:

La grfica o lugar geomtrico de una ecuacin expresada en coordenadas polares es:

Para facilitar el trazado de la grfica de una ecuacin en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente anlisis:1. Intersecciones:a) Con el eje polar: se hace b) Con el eje a : se hace 2. Simetras:a) Con respeto al eje polar: se remplaza por y si la ecuacin no cambia, la curva presenta simetra.b) Con respeto al eje a: se remplaza por y por si la ecuacin no cambia, la curva presenta simetra.c) Con respeto al polo: se sustituye por si la ecuacin no cambia la curva es simtrica.3. Tabulacin:Se determina los valores de r correspondiente a los valores asignados a en el dominio y se ordenan los pares.4. Trazado de la grfica:Se localizan los puntos hallados y se traza la curva.ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.606-607

XI. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES:Consideremos dos puntos en coordenadas polares y y como la distancia entre dos puntos es dado por:

ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.625

XII. INTERSECCIN DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES:Las intersecciones de dos curvas dadas en coordenadas polares, se determina resolviendo la ecuacin y .Observacin: consideremos la ecuacin de una curva en coordenadas polares. (1)La misma curva est dada por: (2)En efecto:

Por lo tanto (1) y (2) son equivalentes.Luego para hallar los puntos de interseccin de las curvas y se sigue los siguientes pasos:a) Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada una de ellas:

b) Se resuelven las ecuaciones simultneas.

c) Se verifica si el polo es un punto de la interseccin haciendo , en cada ecuacin para determinar si existe solucin para (no necesariamente la misma).ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.626-627

XII. DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES:Consideremos la ecuacin de una curva dada por:

Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares estn relacionadas por:

Luego al reemplazar (1) en (2) en la ecuacin de la curva lo escribiremos en la forma.

Que son las ecuaciones paramtricas de la curva con parmetro .

Luego calculamos es decir:

Como la representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que: si es el ngulo formado por la recta tangente y el eje polar, entonces:

Si es el punto de tangencia y es el ngulo que forma el radio vector y la tangente, veremos los siguientes casos:

Se deduce , que aplicando tangente se tiene:

De:tenemos:

ANLSIS MATEMTICO IIAutor: Eduardo Espinoza RamosPag.629-631

EJEMPLOS:1. Trazar el punto y encontrar sus coordenadas cartesianas.Solucin:Como entonces:

Luego:2. Encontrar una ecuacin polar de la grfica cuya ecuacin cartesiana es: Solucin:Se conoce que: .Luego remplazando en la ecuacin: Entonces De donde Entonces: , de donde 3. Solucin:a. Intersecciones: Con respecto al eje polar: Si Si Si Si

Con respecto al eje Si Si Si Con respecto al polo: Que verifique: b. Simetra: Con respecto al eje polar: por Simetra. Con respecto al eje: Simetra. Con respecto al polo: por .c. Tabulacin:

4. (espiral de Arqumedes).Solucin:a. Intersecciones: Con respecto al eje polar: Si Si Si Con respecto al eje a 90: Si Si Si Con respecto al polo:

b. Simetra: Con respecto al eje polar: por Simetra. Con respecto al eje a por Simetra. Con respecto al polo: por Simetra.

c. Tabulacin:

5. Hallar los puntos de interseccin de las curvas y Solucin:Calculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos. Se tiene.ParaPara El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de interseccin resolveremos los sistemas de ecuaciones dada.

Como:

6. Solucin:

MISCELNEA DE EJERCICIOSPRACTICA N 02 DE ANALISIS MATEMATICO I1. SI calcular . (sugerencia: sumar y restar en el numerador del lmite).

Solucin

2. Calcular la derivada en el punto marcado, usando la definicin:

a).

Evaluando para

b).

3. Sea la funcin definida como:

, , . Donde a y b son constantes Si la funcin es continua para todo x. cul es la relacin entere a y b?

Solucin

Determinar los nicos valores de a y b que hacen a f continua y derivable

Evaluando para x=1

..

Evaluando la continuidad

..

Igualando () y ()

4. Calcular los valores de a , b y c para que la funcin

, , sea continua en y derivable Solucin Redefiniendo

, , ,

Analizando la continuidad para

..

Analizando la continuidad para

..

Igualando () y

Analizando para

Entonces:

5. Si. HallarSolucin:i. Al evaluar el lmite obtenemos la forma indeterminada , debemos eliminar el trmino del primer sumando.

+

i. Despus de encontrar el valor del lmite, derivamos la funcin:

Si

6. Si. Hallar

Solucinii. Al evaluar el lmite obtenemos la forma indeterminada .iii. Tratamos de factorizar el lmite de manera que eliminemos la forma indeterminada:

iv. Como , entonces:

v. levantamos el lmite:

vi. Despus de encontrar el valor del lmite, derivamos la funcin:

i. Simplificamos

ii. Derivamos respectivamente

7. Si. HallarSolucinvii. Al evaluar el lmite obtenemos una forma indeterminada .viii. Tratamos de factorizar el lmite de manera que eliminemos la forma indeterminada:

8. Si . HallarSolucinix. Para determinar la derivada en L, tenemos que evaluar el lmite y determinar su valor.x. Al evaluar el lmite obtenemos una forma indeterminada .xi. Tratamos de factorizar el lmite de manera que eliminemos la forma indeterminada:

xii. Despus de factorizar el trmino indeterminado, levantamos el lmite:

xiii. Despus de encontrar el valor del lmite, derivamos la funcin:

xiv. Reemplazamos el valor del lmite con , para determinar

9. Si . HallarSolucini. Para determinar la derivada en L, tenemos que evaluar el lmite y determinar su valor.ii. Al evaluar el lmite obtenemos una forma indeterminada .iii. Tratamos de factorizar el lmite de manera que eliminemos la forma indeterminada:

Cambio de base del lmite:

iv. Despus de factorizar el trmino indeterminado, levantamos el lmite:

v. Despus de encontrar el valor del lmite, derivamos la funcin:

vi. Reemplazamos el valor del lmite con , para determinar

10. Si . HallarSolucini. Para determinar la derivada en L, tenemos que evaluar el lmite y determinar su valor.ii. Al evaluar el lmite obtenemos una forma indeterminada .iii. Tratamos de factorizar el lmite de manera que eliminemos la forma indeterminada:



v. Despus de encontrar el valor del lmite, simplificamos y derivamos la funcin:


11. Calcular:, si .

12. Si . Hallar:Solucini. Para determinar la derivada en L, tenemos que evaluar el lmite y determinar su valor.ii. Al evaluar el lmite obtenemos una forma indeterminada .iii. Tratamos de factorizar el lmite de manera que eliminemos la forma indeterminada:



v. Despus de encontrar el valor del lmite, simplificamos y derivamos la funcin:


13.

S. Hallar

Solucin1ero: Hallando L:

2do: Hallando Y

3ero: Evaluando

14.

Solucin

16.

Solucin

17.

Solucin

18. HallarSolucin

19. Si Solucin

21. hallar una ecuacin de recta tangente y la recta normal a la curva: Y que la recta tangente sea perpendicular a la recta

Solucin Redefiniendo

Entonces analizamos la

De la premisa se concluye que la

Reemplazando en la funcin

La ecuacin de la recta tangente

La ecuacin de la recta normal

22. hallar los puntos en que la grafica de la curva dada por tiene recta tangente vertical u horizontal.

Solucin

Para la recta tangente horizontal el numerador debe ser igual a cero para todo sea igual a cero.

i. Remplazando en la ecuacin de la curva

Para

Para

para la recta tangente vertical el denominador debe ser igual a cero para hacer la forma indeterminada.

i. Remplazando en la ecuacin de la curva

Para

Para

Los puntos son:

23. Hallar los valores de a, b, c y d de manera que la curva de ecuacin . Sea tangente a la lnea en el punto y tangente a la lnea en el punto.

Solucin

Para y remplazando en la ecuacin de la curva

Para

Igualando () () ( ) ()

24. Solucin

Derivando

Para

25.= Solucin Inyectiva:

Sobreyectiva

Rango

26. Hallar el ngulo agudo de interseccin de las curvas: Solucin

1 Igualamos funciones:

2 Derivando:

3 Hallando

27. Hallar la tangente del ngulo agudo en el punto de interseccin de las curvas: Solucin

1 Igualando:

Existe el punto:

2 Derivando en el A)

B)

3 Tangente del ngulo agudo

28. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva: P(3;2)Solucin1 Pendiente:

A)

B) 2 Ecuacin

29.

Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva: ; , para t=0 y t=Solucin1 Pendiente:A)

B) 2 Ecuacin:A) Para t=0

B) Para t=

30.

Hallar las longitudes de la tangente y la normal a la curva;; en P(1;4).

Solucin:

1 Pendiente:A)

B)2 Subtangente:

3 Longitud de la tangente:

31.

Hallar el ngulo en el puntode la curvaSolucin1 Derivando en el punto P (4;/3)

2 Hallando

0.06

3 Hallando

32. Hallar el ngulo y en el punto (4,0) de la curva:

1 Derivando

2 Hallando :

=0.243 Hallando

33.-Hallar el ngulo o los ngulos de interseccin entre las curvas:

Solucin

1.-C1: Derivamos las funciones polares.

r1 = 3 r1 = -3

r2 = 1 + r2 = -

2.- Hallamos el punto de interseccin de las curvas as:

r1 = r2 r = 3 P(r,) = P (3 = 1 + r = 3/2 = =

3.- Hallamos las pendientes.

a) Para: r1 = -3 r1 = -3= mLT1 = = = = b) Para: r2 = - r2 = -= mLT1 = = = = 0

4. - Clculo de y .

= = =

=

5.- Por lo tanto: = =

34.- Si

L =

Solucin

1.- Evaluando el lmite se tiene.

L =

L =

L =

L = -

L = -

L = = =

L = 0

2.- Derivando la funcin:

-

]

= -

35.- Si y L= hallar:

Solucin

1.-Hallamos el lmite:

L= ; si al evaluar: L = Donde

2.- Derivando

Donde:

A =

A

B = -

36.-Hallar , si de la tangente a la grfica de en el punto de abscisa x = 4 es: x - 2y + 2 = 0.

Solucin

1.- Hallamos la pendiente de la grfica en el punto x = 4.

La pendiente es =

2.- Derivamos la composicin:

37.-Si , y la ecuacin de la tangente a la grfica de en el punto de abscisa es 3x + 2y - 6=0. calcular Solucin1.- Hallamos la pendiente de la grfica en el punto x = 1.

La pendiente es =

2.- Derivamos la composicin:

38.-Hallar las restas normales a la curva C: en donde su abscisa es igual a su ordenada.Solucin1.- La premisa alude a que el punto de interseccin de las normales con la curva sea P(a, a), con este dato diramos lo siguiente:; analizamos el discriminante: Donde el < 0 por lo que las races de la ecuacin cuadrtica no son reales, sino complejas.2.- Concluimos que no existen esos puntos para esa proposicin.

ANALISIS MATEMATICO I46

monografia de derivadas

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