guia completa alg2

1

MATRICES

1. Construya las siguientes matrices:

a)

≠−=

=ji;2

ji;1acon;5x2A ij

b)

>=<

=ji;3ji;2ji;1

bcon,4x4B ij

c)

>=<

=ji;j3ji;jji;i2

ccon,4x6C ij

d)

>+=+<+

=ji;j3iji;jiji;ji2

dcon,5x5D ij

e)

>−=−<−

=ji;ij2ji;i4j3ji;i2j

econ,6x6E ij

ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa

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2

2. Dada las siguientes matrices:

−

=23

12A ;

−−=

4532

B ; [ ]85C −=

−

=513612

D ;

−−=

413612275

E

+→>→=

+→<=

j2i3jij3ji

j3i2ji

10x10F

−→>→=

−→<=

ij2jii2ji

j3iji

10x10G

Determine: a) B3A2 + b) B7A5 − c) tCB ⋅ d) tDE ⋅ e) Adet f) Edet

g) tt BA ⋅ h) tDE ⋅ i) t2 BABA −+

j) 22 BA − k) Encuentre el elemento m3,7 de la matriz M, sabiendo que: GFM +=

l) Encuentre el elemento m9,8 de la matriz M, sabiendo que: GFM ⋅=

m) Sabiendo que F53G2M −= , encuentre el valor de U si:

( )

2,8

55

210,18,5

m2m1

m53m2

U+

−⋅=




3

3. Sea A una matriz de orden n x m , con una columna totalmente de ceros y sea B

una matriz de orden p x m. Pruebe que B · A tiene una columna de ceros.

4. Utilizando los métodos del pivoteo de Gauss y determinantes, encuentre la

inversa (en caso de existir), de las siguientes matrices.

−−−=

−−−

−=

−=

−−=

−−−=

−

−=

323454101

F;325

121321

E;

6195112121211111

D

5115

C;364

102130

B;115

430162

A

5. Encuentre los valores de a y b para que se cumpla:

−⋅

=⋅+

211001

210301

I2b26a

2x2

6. Si

−

=

−=

4413

By210211

A . Determine la matriz C de modo que se cumpla

que: i) C · A = B

ii) B · At = C

iii) At · C = B




4

7. Resuelva los sistemas de ecuaciones planteados

i)

−−

=+

−

−=−

231102

yx2

311022

y3x

ii)

−−

−=−

−−

=+

230129

y3x5

321021

yx3

8. Desarrollar los siguientes sistemas de ecuaciones usando determinantes

1. 6y2x49y5x3

=−=+

2. 7y4x62y3x

=+=−

3. 6y2x84y5x6

−=+=−

4. x44y8x3y26

=+−=+−

5. 1zy30zyx4

1z3y2x

=+=−+

−=−+

6. 10z5y4x10z2y4x2

6z8y10x4

=+−=+−

−=+−

7. 0zyx20zyx0zy2x

=++=−+=−+

8. 1w4z3y2x2

2w5z2yx33w13z4y5x

=−++=++−=+++




5

POLINOMIOS

1. Determinar el cuociente y el resto usando división sintética :

a) 3x:4x2x3 2 −−−

b) 2x:9x2x 23 ++−

c) 1x2x:8x4x3x2x 234 −∧−−−−−

d) 3x3x:7x18xx2 234 −∧+−−−

e) 3x4x:6x20x3x2 234 +∧−−−−

2. Usando el teorema, hallar el resto de las siguientes expresiones:

a) 3x2x:5x2x3x 23 +∧+−−+

b) 1x:4xxx2 23 ++−+

c) 1x:6xx5x 234 −−+−

d) 2x:5x2x3x 23 −−−+

3. Determinar si son factores:

a) ( ) 24x2x5x3xde2x 234 −+−+−

b) ( ) 2x15x8x5xde3x 234 −++−−

c) ( ) 50x25x2xde5x 23 −−+−

d) ( ) 2x4x6x9de1x3 23 ++++

e) ( ) 88776655 yx;yx;yx;yxdeyx −−−−−




6

4. Determinar por inspección los ceros de las siguientes funciones, indicando

multiplicidad de cada uno:

a) ( ) ( )33x27x −⋅+

b) ( ) ( )9x6x5x3 2 +−⋅−

c) ( ) ( )54 2x1x −+

d) ( ) ( )10x3x4x4x 22 −+⋅+−

e) ( ) ( ) ( )32 4x3x2x +−⋅−

f) ( ) ( ) ( )743 1x1x32x +−−

5. Determinar cota superior y cota inferior para los ceros de cada una de las

siguientes funciones:

a) 8x7x2x)x(f 23 −−+=

b) 6x2xxx)x(f 234 −−−−=

c) 9x6x5x)x(f 24 −+−=

d) 29x16x)x(f 3 −+=

e) 24x3x)x(f 35 +−=

f) 10x3x9x3x)x(f 234 −+−+=

g) 25x8x5x4x3)x(f 345 +−−−=




7

6. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos raíces:

a) 131xy2x 21 −−==

b) 32xy3x 21 +=−=

c) Hallar todas las raíces de 01x2x 24 =++

7. Determinar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones, indicando sus cotas inferior y superior, posibles raíces positivas y negativas; y posibles raíces racionales:

a) 012x11x2x 23 =−−+

b) 03x13x19x17x16x4 2345 =−+−+−

c) 012x7x6x2 234 =+−+

d) 028x9x20x4 23 =++−

e) 04x2x14x3x2 234 =++−−

f) 02xx10x9x2 234 =−++−

g) 012x35x4x3 23 =+−−

8. Encuentre los puntos de intersección de las funciones:

a) 2xx3x)x(gy8x3x2x5x3)x(f 23234 −−+=−++−=

b) 3x5x6x6)x(gy2x4x5x)x(f 2323 −+−=−+−=




8

SUCESIONES

1. De las sucesiones presentadas, verifique si estas son convergentes o divergentes, en caso de ser convergentes, encuentre sus cotas.

1n1

n1)n(S)a

2 −−=

2n

1n

n

3 3

242

3

23

n11)n(S)g

2n34n3)n(S)f

n2)1()n(S)e

5n3n8

1n3n23n2)n(S)d

8n36nn3n5)n(S)c

n41n2n3)n(S)b

+=

−+

=

⋅−=

+−

−+⋅+=

+

−+−=

+−=

+

2. Encontrar el término general asociado a las siguientes sucesiones:

,......1,0n,....702,260,135,58,17,0,5S)c

,.....1,0n,...2313,

1411,

79,

27,

15,

23S)b

,.......1,0n,......138,90,52,24,6,2S)a

n

n

n

=−=

=−−

=

=−=




9

......2,1n,.........13545,

7228,

3315,

21,

31S)f

,.....1,0n......1611,0,

171,

22,

13S)e

,.......1,0n,......16,8,4,2,1S)d

n

n

n

==

=−−−

=

=−−=

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

1. Encuentre

a) 4 medios aritméticos entre 5 y 6 b) 5 medios aritméticos entre 4 y 10 c) 6 medios aritméticos entre 2 y –3 d) 6 medios aritméticos entre 1/3 y ½

2. Encuentre

a) Hallar el décimo término de la sucesión: -1, 5, 11, 17…

b) Hallar el vigésimo término de la sucesión : 2, 6, 10, 14, …

c) Hallar el primer término de una P.A. cuyos cuarto y quinto términos son 3 y -4

respectivamente.

d) En una P.A. el cuarto término es 0; el 42 término es –95 y el último es –195.

Encontrar el primer término y el número de términos.

e) La suma de tres números en P.A. es 27 y la suma de sus cuadrados es 293.

Hallar los números.

f) El volumen de un paralelepípedo es 1.232 cm3. Calcular sus aristas, sabiendo que están formadas por tres números en P.A. de razón 3.

g) La suma de los términos de una p.a. de términos positivos es 199,5, el último término es 24 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1,5. Calcular el número de términos y el primero.




10

h) Hallar un número de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, dé 15; las cifras están en p.a. y sumando al número 396 se obtiene el número invertido.

i) En un paralelepípedo rectángulo las tres dimensiones están en p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el área total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen. j) Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de sus cuadrados 56.

k) Calcular los 10 términos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis términos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58.

l) Una p.a. tiene un número impar de términos. El central vale 44 y el producto de los extremos 336. Calcular los extremos.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

1. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2.

2. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla

los cinco primeros términos de dicha progresión.

3. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término?

4. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la

razón 1/2, halla el primer término.

5. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón.




11

6. Descomponga el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor.

7. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12,

24,...

8. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,...

9. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17

veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.

10. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,...

11. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216.

12. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión

geométrica sabiendo que el término central vale 2.

13. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcula dichos números.

14. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos

primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125.

15. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889?

16. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de

razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos.

17. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos.




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18. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números.

19. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425.

20. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión

geométrica y que el mayor es 27 veces el menor.

21. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136.

22. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia

entre los extremos 192. Halla dichos números.

23. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175.




13

SUMATORIAS

1. Resuelva aplicando propiedades de sumatorias:

1. ( )∑=

+8

1i2i5 2. ( )∑

=−

20

1i12i8

3. ( )∑=

−15

1kk93 4. ( )∑

=+

12

1i

2 i5i

5. ( )∑ ++19

110x6x2 6. ( )∑ −−

14

13x7x 2

7. ( )∑ +11

1

25x 10. ( )∑ −10

1

28x

11. ( )∑ +9

1

24x3 12. ( )∑ −11

1

22x6

13. ( )∑ +10

62x7 14. ( )∑ −

10

510x8

15. ( )[ ]∑=

+⋅−30

7i

2 i2i1i 16. ( )∑=

+ −45

10k

1k k22

17. ( )∑=

−98

8k

33k2 18. ( )∑=

+⋅55

13i1ii

19. ( ) ( )∑=

−⋅+200

1i1i1i 20. ( )∑

=−⋅

120

19k

23kk




14

2. Si ( )

≤≤+

<≤

=

200k100;1k

100k1;31

a2

k

k , Encuentre el valor de: ∑=

200

1kka

3. Se sabe que: 12a;18a;30a 65

1ii

5

1i

2i === ∑∑

==. Determine:

a) El valor de ( )∑=

−5

1i

2i 2a

b) El valor de la constante c, si además se sabe que: ( )∑=

=+6

1ii 210ca3

4. ( ) 8ay6a;12a;16a 654

1ii

4

1i

2i ==== ∑∑

==. Determine:

∑

∑

=

=

−4

1i

2i

6

1i

2i

)1a2()b

)a()a

5. Exprese como sumatoria y determine la suma de los números impares que tengan dos cifras.

6. Pruebe que: ( ) 0j3jnj2n

1j

2 =−+∑=

7. Pruebe que: ( ) ∑∑==

=+−⋅n

1j

2n

1jj1j2n2j




15

8. Sea i31ia 2

i ⋅−= . Encuentre el valor de:

∑∑∑===

−50

30ii

50

30ii

10

1ii 2a3)ca)ba)a

9. ¿Para qué valor de p se cumple la ecuación? : 82

pj2p

1j=

−∑=

10. Pruebe que: 2

n

1jn1j2 =−∑

=

11. Pruebe que: ( ) ( )∑∑==

⋅+=⋅+−

n

1j

n

1j 2j1jj1jn

12. ¿Para qué valor de n se cumple la ecuación?: ( ) 4

3j1n2j

n

1j

2 =⋅−

−∑=

13. Encuentra una expresión para las siguientes sumatorias

( )

1i

2n

4ii

2n

0i

1n

4ni

3

21

21)c

1i1

i1)b

3i2)a

+

−

=

+

=

+

−=

−

=+

−

=+

∑

∑

∑




16

INDUCCION MATEMÁTICA

Demostrar usando inducción matemática, las siguientes proposiciones, para todo

entero positivo “n”:

1) nnn2.......642 2 +=++++

2) ( ) 2n1n2..........531 =−++++

3) ( )( )

61n21nnn.......321 2222 ++

=++++

4) ( )

41nnn..........321

223333 +

=++++

5) 2133.......331

n1n2 −

=++++ −

6) ( )

4131n23n.....3*33*21

n1n2 +•−

=•+++ −

7) ( ) ( )∑=

−=−n

1k3n2n5k4 8) ( ) ( )∑

=+=+

n

1k4n3n1k6

9) ( ) ( )( )∑=

++=+

n

1k 35n1nn3kk 10) ( )( ) ( )( )∑

=

++=++

n

1k 35n4nn4k1k

11) 3pordivisiblees14n − 12) 3pordivisiblees52n +

13) 2pordivisibleesnn2 + 14) 15pordivisiblees12 n4 −

15) 3pordivisibleesn2n3 +




17

BINOMIO DE NEWTON 1. Usando el teorema del binomio, desarrolle las siguientes expresiones:

1) ( )242 y5x − 2) ( )322 yx −

3) ( )42 1x +− 4) ( )311 yx −− +

5) ( ) 42/12/1 yx + 6) ( )522 yx +

7) ( )42y3 − 8) ( ) 3cba −−

9) ( )4zyx ++ 2. Hallar el término indicado en el desarrollo de la expresión dada:

1) El sexto término de ( )6ba +

2) El segundo término de ( )5yx −

3) El tercer término de ( )55x −

4) El quinto término de ( )7x4 +

5) El décimo término de ( )14yx +

6) El quinto término de ( )41a +

7) El octavo término de ( )9y2 −

8) El noveno término de ( )10z5 −

9) El sexto término en ( )72x +

10) Los cinco primeros términos de ( )112 yx −




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