INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOINSTITUCIÓN UNIVERSITARIA

FACULTAD DE CIENCIAS

GUÍA No 9 DE LABORATORIO DE MATEMATICAS

Por: Juan Carlos Molina G. Docente TC ITM

LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL

El concepto de límite dentro de la estructura del cálculo infinitesimal, es sin lugar a dudas, uno de los más importantes y también uno de los más sencillos para conceptualizar de manera intuitiva y práctica. En la vida diaria hablamos de velocidad límite, el límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología, o de estirar un resorte al límite. Todas estas frases sugieren que el límite es una especie de ´cota´ que a veces no puede ser alcanzada y en otras puede ser superada. El propósito de la presente guía apunta a la comprensión de tendencia o convergencia de una función o curva hacia un punto, así como, a la aplicación de los procedimientos algebraicos necesarios para lograrlo.

COMPETENCIA:

Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades básicas, para dar solución a situaciones en distintos contextos.

INDICADORES DE LOGRO ASOCIADOS A LA COMPETENCIA

*Halla el límite de una función en un punto dado, utilizando la técnica adecuada.

*En una situación específica: Determina los límites laterales, para analizar el comportamiento de la función y la existencia

del límite en un punto dado.

ESTRATEGIAS ORIENTADAS AL APRENDIZAJE Y A LA CONSECUCIÓN DEL LOGRO Motivación a la reflexión Ilustración del concepto a nivel intuitivo y a nivel formal Análisis de gráficas mediante tablas de valores Remisión a textos. Navegación por páginas interactivas de Internet. Elaboración de informes. Interpretación de problemas en contexto. Aplicación de las propiedades para el cálculo de límites.

RUTA DIDÁCTICALa ruta didáctica parte de conceptualizar la noción de límite a través de una situación que conlleva al cálculo de una velocidad instantánea a partir de la estimación de velocidades promedio sobre un intervalo de tiempo. Se plantea la realización de una actividad de reflexión a partir de una variante de la paradoja de Zenón de Elea, la cual lleva al estudiante a reflexionar sobre la densidad de los números reales. Las distintas actividades propuestas varían en nivel de complejidad favoreciendo la participación activa y la comprensión de los diferentes conceptos, procedimientos y aplicaciones.

Con esto se generan distintos momentos con la intención de abrir espacios para ver, comprender, actuar y valorar.

RED DE CONCEPTOS:

Relación funcional.Aproximaciones y acercamientosCambios instantáneosDefinición intuitiva de límite.Límite de una función.Límites lateralesPropiedades de los límites.

MATERIALES PARA REALIZAR EL LABORATORIO:

Guía de laboratorioCalculadoraInternetTexto de cálculo diferencialSoftware Matlab.

DESCRIPCION DEL LABORATORIO.

La presente guía proporciona a los estudiantes un instrumento que le permite comprender el sentido y el significado del concepto de límite de una función real de una manera sistemática, en el marco de un diseño didáctico, que busca paso a paso –en distintos momentos- acercar al estudiante al concepto y a sus posibles aplicaciones en los distintos campos del conocimiento.

Para iniciar recordemos que a través del desarrollo de la matemática, y de manera particular, con la formalización del Cálculo a partir del siglo XVII, se ha discutido y debatido acerca de la naturaleza de un límite. Inicialmente existía cierta conciencia basada en la intuición, las graficas y ejemplos numéricos de razones entre cantidades que tienden a cero. Estas primeras ideas pasaron por períodos de creciente rigor matemático, iniciando con el francés Agustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) y continuó posteriormente con

DESARROLLO INTUITIVO DEL CONCEPTO DE LÍMITE:

A través de los límites se puede describir y estimar la forma en que varía una función f (x). Así por ejemplo, para funciones que varían continuamente, los cambios pequeños en x producen ligeras modificaciones en f (x). Igualmente, otras funciones pueden tomar valores que producen saltos o cambios significativos. En este sentido, justamente el concepto de límite nos proporciona los métodos precisos para distinguir estos comportamientos de las funciones.

ACTIVIDAD Nº 1

REFLEXIÓN: Variante de la paradoja de Zenón de Elea1:

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que

1 Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para demostrar que la razón no siempre tiene la respuesta.

le separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: ¿ Qué relaciones encuentra entre la situación planteada en la paradoja y las propiedades de

los números reales ?

¿ Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón ?.

¿ Será cierto que la cantidad de distancias recorridas y tiempos invertidos en hacerlo es infinita, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol?. ¿cómo se representaría esto matemáticamente? .

SITUACION PROBLEMA:

DETERMINAR UNA VELOCIDAD INSTANTÁNEA:

A un técnico de EPM que se encuentra haciendo reparaciones en la parte más alta de una torre de distribución de energía, de manera accidental se le cae un alicate de su estuche de herramientas.

Calcular la velocidad promedio durante los dos primeros segundos de caída.

Calcular la velocidad promedio durante el tiempo que pasa entre el segundo 1 y el segundo 2.

Calcular la velocidad instantánea cuando t=1.

Solución:

Supongamos que y corresponde a la distancia en pies recorrida por el objeto después de t segundos.Por la ley de galileo2

y (t )=16 t2 Recordar acá que la gravedad es 32 pies

seg2

y (t ) Corresponde a una función de posición.

La velocidad promedio del alicate durante un intervalo de tiempo dado corresponde a la razón entre el cambio en la distancia Δ y y el intervalo de tiempo Δt . Por lo tanto: La velocidad promedio durante los dos primeros segundos de caída es:

ΔyΔt

=16(2)2−16 (0)2

2−0=32 pies

seg2

2 Descubrimiento de Galileo realizado a finales del siglo XVI: Un objeto sólido que se deja caer desde el reposo cerca a la superficie de la tierra, recorrerá una distancia proporcional al cuadrado del tiempo que dura la caída. A este tipo de movimiento se le denomina caída libre En este planteamiento se desprecia la resistencia que ejerce el aire y las fuerzas distintas a la gravedad que actúan sobre el objeto.

La velocidad promedio durante el tiempo transcurrido entre el segundo 1 y el segundo 2.

ΔyΔt

=16(2)2−16 (1)2

2−1=48 pies

seg2

De manera general para calcular la velocidad promedio en el intervalo [ t0 , t0+h] de longitudΔt=h, se establece la siguiente relación:

ΔyΔt

=16(t 0+h)2−16( t0)

2

h

Observe que de esta fórmula no se puede calcular directamente la velocidad instantánea transcurrido un tiempo t=t 0 sustituyendo h=0. Sin embargo podemos calcular velocidades promedio sobre intervalos cada vez más pequeños alrededor de un t=t 0.

Para el caso del ejemplo, para calcular la velocidad instantánea cuando t 0=1

INTERVALO LONGITUD DEL INTERVALO

VELOCIDAD PROMEDIO EN EL INTERVALO

[ t0 , t0+h] h ΔyΔt

=16(t 0+h)2−16( t0)

2

h

[ 1 , 2 ] 1 48

[1 , 1.1 ] 0.1 33.6

[1 , 1.01 ] 0.01 32.16

[ 1, 1.001 ] 0.001 32.016

[ 1, 1.0001 ] 0.003 32.0016

Se puede establecer que: la velocidad promedio a medida que disminuye la longitud del intervalo de

tiempo que empieza en t 0=1 seg se aproxima a un valor límite igual a 32pies

seg2.

Esta situación se puede describir mediante la expresión:

limΔt →0

ΔyΔt

=32

Esto sugiere que el alicate del trabajador está cayendo a una velocidad instantánea de 32pies

seg2

cuando ha transcurrido un segundo después de su caída, esto es para t 0=1 seg

ACTIVIDAD Nº 2:

SIMPLIFICACIÓN ALGEBRAICA:

Comprueba algebraicamente el resultado anterior desarrollando la expresión para t 0=1 y h=0.

ΔyΔt

=16(t 0+h)2−16( t0)

2

h

CONTESTA: ¿Cómo obtener la velocidad con la que cae la herramienta en el instante en que han transcurrido 4 segundos de habérsele caído al trabajador ?

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN y=f ( x ) .

Considera una funcióny=f ( x ) definida sobre un intervalo abierto ¿) alrededor de un puntoa, excepto posiblemente en el mismo punto a. Si conforme x se acerca tanto como queramos al punto a , f ( x ) se aproxima al número L , se escribe:

limx →a

f (x )=L

Se debe tener en cuenta también la propiedad de unicidad de los límites, esto es, si limx →a

f (x ) existe,

entonces es único. Es por esto que, para que tal límite exista no debe importar la dirección –por la izquierda o por la derecha- a partir de la cual x→ a.

Por tanto,

limx →a

f (x )existe y es igual a l sí solo si los límiteslaterales soniguales

Esto es,

limx →a

f (x )=l ↔ limx→ a−¿ f (x)= lim

x→a+ ¿f ( x )=¿l¿ ¿¿¿

¿

UN EJEMPLO EN QUE EL LÍMITE NO EXISTE

ACTIVIDAD Nº3:

BÚSQUEDA EN INTERNET:

*Ubica en internet la siguiente página y realiza una descripción general de la información que ofrece el sitio Web.:

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co

*Ubica en internet la siguiente página:

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/index.htm

Realiza un recorrido por el capitulo 1 ´ Límites Básicos ´ y realiza un mapa conceptual con la información allí recopilada.

Responde los ejercicios propuestos para el capítulo de límites básicos y realiza una tabla donde anotes tus aciertos y desaciertos. Verifica cada uno de los conceptos que se aplican e indica las definiciones o conceptos a tener en cuenta en los ejercicios donde no hubo aciertos.

ACTIVIDAD Nº4:

TRABAJANDO CON CALCULADORA:

1) Considera la función

f ( x )={x2−1x−1

si x ≠1

¿1 si x=1

Utiliza la calculadora para completar la siguiente tabla:

x se acerca a 1 por la izquierdax→1−¿ ¿

x se acerca a 1 por la derechax→1+¿¿

x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1.0001 1.001 1.01 1.1f ( x )

* Verifica si la tabla permite evaluar los siguientes límites.

limx→1−¿ f ( x ) lim

x →1+¿f ( x )¿ ¿¿

¿

*Realiza la gráfica de la función y establece conclusiones sobre el comportamiento de la función para valores próximos ax=1.

2) A partir del gráfico completar:

1.lím

x→3−f ( x ) =

2. lím

x→3+

f ( x ) =

3. lím

x→−2f ( x ) =

4. lím

x→ 1f ( x ) =

1.lím

x→−4f ( x ) =

3) Completa la tabla y estima el límite.

limx→−3

√1−x−2x+3

x→−3−¿¿ x→−3+¿ ¿

x -3.1 -3.01 -3.001 -3.0001 -2.9999 -2.999 -2.99 -2.9f ( x )

4) Considera la función

f ( x )=x2−cos (x)10000

y verifica con tu calculadora los datos que presenta la siguiente tabla:

x ±1 ±0.5 ±0.1 ±0.01f ( x ) 0.99995 0.24991 0.00990 0.000000005

¿Es posible concluir que

limx →0

f (x )=0?

Si se sabe además que limx →0

cos(x )=1 ,entonces varía tu respuesta anterior?.

Qué conclusión puedes establecer ?.

5) Realiza una tabla para evaluar el siguiente límite

limx→ π

4

tan(x )−1

x−π4

6) Analiza gráfica y analíticamente el siguiente límite.

limx−2

|x+2|x+2

7) Sea R el rectángulo formado al unir los puntos medios de los lados del cuadrilátero que se obtiene al unir los puntos medios del rectángulo Q cuyos vértices están en (x,0), (-x,0), (0,1), (0,-1).

Deterrmina:

limx−0

Perimetro de RPerímetro deQ

ACTIVIDAD Nº5:

BÚSQUEDA EN UN TEXTO DE CÁLCULO DE UNA VARIABLE REAL:

Completa la siguiente información de acuerdo a las propiedades para el cálculo de límites que aparecen en los distintos libros de cálculo. Para esta actividad, puedes remitirte a cualquiera de los textos de la bibliografía, o cualquier otro texto de cálculo de una variable real.

Si f ( x )=c, con c una constante real, entonces:

limx →a

f (x )=¿

Si limx →a

f (x )=M y k es constante, entonces:

limx →a

kf (x )=¿

Si limx →a

f (x )=M y limx →a

g (x)=N , entonces:

limx →a

f ( x )± g(x )=¿

limx →a

f ( x )∗g(x )=¿

Para N ≠0. limx→ a

f ( x )g(x )

=¿

Para n√N∈R limx → a

n√ f ( x)=¿

UTILIZA LAS PROPIEDADES PARA CALCULAR LOS SIGUIENTES LÍMITES:

limx→−2

2 x2−2 x−12x2+2x

limx→−4

2 x2−3 x+12 x3−2x−x2+1

limx →0

1x+1

−1

x

limx→−1

√10+2 x+x2−31+x

limt →2

3√( t+a)2− 3√a2

t

AYUDAS CON MATLAB:

El software MATLAB es una herramienta valiosa para desarrollos de matemáticas en general.En particular es posible resolver problemas tradicionales sobre límites planteados por el cálculo infinitesimal. FUNCIONES PREDETERMINADAS EN MATLAB:

Para calcular limx →a

f (x )=l

Se recurre a la instrucción en matlab o comando:

limit (f , a)Para determinar límites laterales como:

limx→ a−¿ f (x) , lim

x→ a+¿f ( x )=¿l ¿¿¿ ¿

¿

Se utilizan respectivamente las instrucciones

limit ( f , x , a ,'¿ ) y limit ( f , x , a ,' right ' )

EJEMPLO: Para calcular

limx→−4

3 x3−3 x+x2−13 x2−2 x−1

Se sigue la siguiente secuencia:

» f=sym( '(3*x^3-3*x+x^2-1)/(3*x^2-2*x-1)')

» limit(f,4)

Con lo cual se obtiene el resultado

Ans=5

EJEMPLO: Calcular:

limx →0

x2

√3 x2+4−2

» f=sym('((x^2)/((3*x^2+4)^(1/2)-2))')

» limit(f,0)

El resultado aparece como:

Ans = 43

ACTIVIDAD Nº 6:

CALCULO DE LÍMITES CON MATLAB

Calcula los siguientes límites utilizando el software MatLab:

limx→−4

16−x2

2 x2+5 x−12

limx →0

√1+x+ x2+x−1x

limx→−1+¿ −2

x3−2x2+ x¿

¿

limx→4

x−42−√20−x2

limx →0

2Sen ( x )−Sen(2x )xCos(x )

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE

Ya habíamos mencionado que el matemático Alemán Karl Wilbelm Weierstrass formalizó el concepto de límite con la definición ε , δ ; veamos ahora en estos términos el significado de

limx →a

f (x )=l

El hecho de que la función f  tiende hacia el límite l en a significa que: para todo > 0 existe algún

> 0 tal que, para todo x, si , entonces .

Esto significa que dado cualquier número positivo y pequeño ε es posible encontrar otro número positivo y pequeño δ , tal que las imágenes bajo f (x) de los puntos sobre el intervalo (a−δ , a+δ), siempre estarán dentro del intervalo (l−ε ,l+ε)

La definición se presenta en la siguiente gráfica:

CONCLUSIONES.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIA.

ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1987.

THOMAS GEORGE B. Cálculo una variable. Undécima Edición. Mexico. Pearson Addison Wesley. 2006.

STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 2007.

PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992.

ARBOLEDA Q. Dairon. ALVAREZ J. Rafael. Matlab Aplicaciones a las matemáticas básicas. Sello editorial Universidad de Medellín. 2006. P 40.

PARAMO F. Aquiles. Docente Universidad de los Andes. http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/index.htm.

ELABORADO POR:

Juan Carlos Molina García Docente TC. ITM.juanmolina@itm.edu.coExt: 440 52 90