INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOINSTITUCIÓN UNIVERSITARIA

FACULTAD DE CIENCIAS

GUÍA No 8 DE LABORATORIO DE MATEMATICAS

Por: Juan Carlos Molina G. Docente TC ITM

LÍMITES EN LOS QUE INTERVIENE EL INFINITO

El concepto de límites de funciones y=f (x ) en los que x o f (x) crece o decrece sin cota son de gran utilidad a la hora de analizar, no sólo el comportamiento de una curva para valores extremos de la variable independiente x, sino también para hacer el análisis de una función sobre puntos de discontinuidades infinitas. El pensar por ejemplo en el comportamiento de la curva f (x) cuando la x toma valores cada vez más grandes nos llevan a definir el concepto de asíntotas horizontales o a determinar casos en los que la curva crece o decrece sin límite.

COMPETENCIA:

Comprender y aplicar el concepto de límites de funciones sobre valores extremos ±∞ y puntos que definen discontinuidades infinitas.

INDICADORES DE LOGRO ASOCIADOS A LA COMPETENCIA

Halla el límite de una función y=f (x ) para valores de x que tienden al ±∞ .

Determina los límites laterales para analizar el comportamiento de una función alrededor de puntos de discontinuidad infinita.

Identifica asíntotas verticales y horizontales en una función racional.

Utiliza los límites en los que interviene el infinito como resultados que brindan información para el análisis de la gráfica de una función de valores reales.

ESTRATEGIAS ORIENTADAS AL APRENDIZAJE Y A LA CONSECUCIÓN DEL LOGRO

Análisis e interpretación de gráficas mediante tablas de valores. Remisión a textos. Navegación por páginas interactivas de Internet. Utilización de herramientas informáticas (Matlab) Aplicación de las propiedades para el cálculo de límites.

RUTA DIDÁCTICA

Se centra en la conceptualización sobre el análisis del comportamiento de la gráfica de una función dada. Se plantea la realización de un conjunto de actividades por parte de los estudiantes durante el desarrollo de la guía, que los llevará a realizar tablas de valores y análisis gráficos, así como a

realizar ejercicios sobre los procedimientos para la identificación de asíntotas. Las distintas actividades varían en nivel de complejidad favoreciendo la participación activa y la comprensión de los diferentes conceptos.De acuerdo a lo anterior, la guía busca generar distintos momentos en su desarrollo con la intención de abrir espacios para ver, comprender, actuar y valorar.

RED DE CONCEPTOS:

Relación funcional.Aproximaciones y acercamientosAsíntotas de funciones realesPropiedades de los límites.

MATERIALES PARA REALIZAR EL LABORATORIO:

Guía de laboratorioCalculadoraInternetTexto de cálculo diferencialSoftware Matlab.

DESCRIPCION DEL LABORATORIO.

De manera general, la guía proporciona a los estudiantes la oportunidad de aplicar técnicas para evaluar y analizar límites de la forma :

lim¿f limx→±∞

f (x )=l , limx→a

f (x)=±∞ ,

PUNTO DE PARTIDA: SITUACION PROBLEMA

DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓNf (x)=1x

PARA VALORES EXTREMOS (POSITIVOS Y NEGATIVOS) DE x:

x toma valores grandes positivos

x→+∞

x toma valores grandes negativos (grandes en valor absoluto)x→−∞

x 1000 10000 100000 1000000 -1000 -10000 -100000 -1000000f ( x ) 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001

¿Que se puede decir del comportamiento de la función en cada caso?.

¿Qué pasa con f (x) si la variable independiente x tiende al +∞?.

¿Qué pasa con f (x) si x tiende al −∞?

LÍMITE DE UNA FUNCIÓNy=f ( x ) . CUANDO x→±∞

Considera una función real y=f ( x ). Si conforme x toma valores grandes positivos, f ( x ) se aproxima al número l , se escribe:

limx→+∞

f ( x)=l

En el caso en que x toma valores grandes negativos (grandes en valor absoluto), f ( x ) se aproxima al número l , se escribe:

limx→−∞

f (x)=l

Para la situación problema anterior sintetizada en la tabla, se podría afirmar que:

limx→+∞

1x=0 , lim

x→−∞

1x=0

Miremos el comportamiento de la gráfica de la función f (x)=1x

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15Función y = 1/x

Se puede apreciar claramente que la curva se aproxima cada vez más al eje X conforme x→±∞.

Ahora, sobre la misma función y su gráfica, ¿qué está ocurriendo cuando la x se aproxima a cero ?. considere la siguiente tabla:

x se acerca a 0 por la izquierdax→0−¿¿

x se acerca a 0 por la derechax→0+¿ ¿

x -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 0.001 0.0001 0.00001 0.000001f ( x ) -1000 -10000 -100000 -1000000 1000 10000 100000 1000000

Se observa que en ambos casos la curva crece hacia arriba o hacia abajo sin límite. Para este caso conviene escribir:

limx→0−¿ 1

x=−∞, lim

x→ 0+¿ 1x=+∞¿

¿¿

¿

ACTIVIDAD Nº1

PARA TRABAJAR CON CALCULADORA:

1) Considera la función

f ( x )= 1

(x−1)4

Utiliza la calculadora para completar la siguiente tabla:

x se acerca a 1 por la izquierdax→1−¿ ¿

x se acerca a 1 por la derechax→1+¿¿

x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1.0001 1.001 1.01 1.1f ( x )

Verifica si la tabla permite evaluar los siguientes límites.

limx→ 1−¿ f ( x )= lim

x →1+¿ f ( x )=¿¿¿¿ ¿

¿

ACTIVIDAD Nº2

Determinar los límites de las siguientes funciones cuando x tiende a −3 por la izquierda y por la derecha (x→−3

−¿ , x→−3+¿¿

¿)

1) f ( x )= x−4x2−9

2) f ( x )= x2

9−x2

3) f ( x )=ln (x+3)

4) f ( x )=Sec ( πx6

)

ACTIVIDAD Nº3

De la gráfica, establece los valores de los límites indicados:

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6 y = f ( x )

limx→−∞

f (x)=¿ , limx→2+¿ f (x)=¿ , lim

x→−2−¿f ( x)=¿¿¿¿¿

¿

limx→−2+¿ f (x)=¿ , lim

x →+∞f (x)=¿ , lim

x→2−¿f (x)= ¿¿¿¿¿

¿

PARA TENER ENCUENTA

En general

lim¿f limx→±∞

k

x p=0 , conk constante , p>0

Así por ejemplo:

limx→−∞

−2x3

=0 , limx→+∞

4

x2=0 , lim

x→∞

−5

x32

=0

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR UN LÍMITE AL INFINITO:

ACTIVIDAD Nº4

Determinar los límites de las siguientes funciones:

limx→∞

2x2−2 x−12x2+2 x

limx→+∞

√2−3 x+4 x23√8 x3+2x2+5

limx→−∞

8 x2−√25x4+74 x2−9

limx→+∞

x2−√1+x4

limx→+∞

√x+√ x+√x√x+1

ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

ASÍNTOTAS VERTICALES

Si y=f (x ) tiende a +∞ o a −∞ cuando x tiende a un número c por la izquierda o por la derecha, se dice que la recta x=c es una asíntota vertical de la gráfica de f (x) .

En particular, para funciones F ( x )= f (x )g(x ) con f , g contínuas sobre un intervalo abierto que contiene

al valor c, las asíntotas verticales corresponden a los valores de c para los cuales f (c )≠0 con g (c )=0.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Si y=f (x ) tiende a un número l cuando x tiende a +∞ o a −∞ , se dice que la recta y=l es una asíntota horizontal de la gráfica de f (x)

ACTIVIDAD Nº5

Identifica las asíntotas verticales y horizontales en cada caso:

1) y=x2−2x2−x−2

2) f ( t )=4−t2

t−t3

3) g ( x )= x

x2−3

ACTIVIDAD Nº6

De las siguientes gráficas, cuál corresponde a la función f ( x )= x2

x2−4 justifique su respuesta.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-6 -4 -2 0 2 4 6-10

-5

0

5

10

15

-6 -4 -2 0 2 4 6-15

-10

-5

0

5

10

ACTIVIDAD Nº7

Realiza las gráficas de las siguientes funciones racionales.

1) f (x)=x−2x+4

2) y=2

x2−x−6

3) f ( x )= 3 x

x2−1

4) g ( x )= x2

4−x2

5) f ( x )= 1

(x−1)4

ACTIVIDAD Nº8

BÚSQUEDA EN INTERNET:

*Ubica en internet la siguiente página:

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/2_otros_limites/2_1asint_vertical/index.htm

Realiza un recorrido por el capitulo 2 ´ Otros Límites ´ y realiza un mapa conceptual con la información allí recopilada.

Responde los ejercicios propuestos para el capítulo 2 y realiza una tabla donde anotes tus aciertos y desaciertos. Verifica cada uno de los conceptos que se aplican e indica las definiciones o conceptos a tener en cuenta en los ejercicios donde no hubo aciertos.

ACTIVIDAD Nº9

Considera las funciones f ( x ) , g (x) tales que

limx→c

f (x )=∞ y limx→c

g ( x )=l

Completa la siguiente información de acuerdo a las propiedades para el cálculo de límites que aparecen en los distintos libros de cálculo. Para esta actividad, puedes remitirte a cualquiera de los textos de la bibliografía, o cualquier otro texto de cálculo de una variable real.

i ¿ limx→c

f ( x )±g (x)=¿

ii¿ limx→c

f ( x )∗g(x )=¿

iii¿ limx→c

f ( x )g (x)

=¿

AYUDAS CON MATLAB:

El software MATLAB es una herramienta valiosa para desarrollos de matemáticas en general.En particular es posible resolver problemas tradicionales sobre límites planteados por el cálculo infinitesimal. FUNCIONES PREDETERMINADAS EN MATLAB:

Para calcular limx→∞

f (x)=l limx→−∞

f (x )=l

Se recurre a la función respectivamente

limit ( f ,inf ) limit ( f ,−inf )

Para determinar límites laterales como:

limx→a−¿ f (x) , lim

x→ a+¿f ( x ) ¿¿ ¿

¿

Se utilizan respectivamente las funciones

limit ( f , x , a ,'¿ ) y limit ( f , x , a ,' right ' )

EJEMPLO:

Para calcular

limx→+∞

5 x3−3 x+x2−7x 4−2 x−1

Se sigue la siguiente secuencia:

» f=sym( '(5*x^3-3*x+x^2-7)/(x^4-2*x-1)')

» limit(f,inf)

Con lo cual se obtiene el resultado

Ans=0

ACTIVIDAD Nº10:

CALCULO DE LÍMITES CON MATLAB

Calcula los siguientes límites utilizando el software MatLab:

limx→+∞

2 xx+1

+ 3 xx−1

limx→−1−¿ (x +1)

−2

x−2¿

¿

limx→−∞

3√ x3+ x−3√x3+1lim

x→2−¿(5x−10)−23 ¿

¿

limx→∞

2−3√8−xx

limx→∞

( x+1 ) ln( x+2x+1

)

CONCLUSIONES GENERALES DEL DESARROLLO DE LA GUIA.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIA.

STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 2007.

ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1987.

THOMAS GEORGE B. Cálculo una variable. Undécima Edición. Mexico. Pearson Addison Wesley. 2006.

PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992.

ARBOLEDA Q. Dairon. ALVAREZ J. Rafael. Matlab Aplicaciones a las matemáticas básicas. Sello editorial Universidad de Medellín. 2006. P 40.

ALVAREZ R. Yolanda y DIAZ L. Gloria M. Funciones reales con Matlab. Serie Textos Académicos Instituto Tecnológico Metropolitano. 2007. P 25.

PARAMO F. Aquiles. Docente Universidad de los Andes. http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/index.htm.

ELABORADO POR:

Juan Carlos Molina García Docente TC. ITM.juanmolina@itm.edu.coExt: 440 52 90