INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOINSTITUCIÓN UNIVERSITARIA

FACULTAD DE CIENCIAS

GUÍA No 7 DE LABORATORIO DE MATEMATICAS

POR: Juan Caerlos Molina G. Docente TC ITM

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL

El termino continuidad o continuo tiene el mismo sentido en el trabajo con funciones en matemáticas que en la vida cotidiana cuando se habla de que en un determinado suceso no hay interrupciones ni rupturas. Mediante la extensión de esta idea al lenguaje formal matemático, es posible obtener diversos tipos de funciones de acuerdo a las condiciones que determinan su continuidad en un punto o sobre un intervalo.

COMPETENCIA:

Comprender y aplicar el concepto de continuidad de una función sobre un punto y sobre un intervalo.

INDICADORES DE LOGRO ASOCIADOS A LA COMPETENCIA

Identifica las condiciones requeridas para que una función real sea continua en un punto.

Utiliza herramientas del cálculo básico como operación con funciones, gráficas y límites para determinar la continuidad de una función sobre in intervalo abierto o cerrado.

ESTRATEGIAS ORIENTADAS AL APRENDIZAJE Y A LA CONSECUCIÓN DEL LOGRO

Análisis e interpretación de gráficas. Remisión a textos. Utilización de herramientas informáticas: Matlab

RUTA DIDÁCTICA

Se centra en el análisis de graficas y la conceptualización sobre relaciones funcionales planteadas. Las actividades desarrolladas y propuestas varían en nivel de complejidad favoreciendo la activación de esquemas que le permiten al estudiante de una manera dinámica la comprensión de los diferentes conceptos y procedimientos para la determinación de la continuidad o discontinuidad de una función en un punto a sobre un intervalo. De acuerdo a esto, la guía busca generar distintos momentos en su desarrollo con la intención de abrir espacios para ver, comprender, actuar y valorar.

RED DE CONCEPTOS:

Saltos o rupturas en puntos sobre la gráfica de una funciónDiscontinuidades de una función.

MATERIALES PARA REALIZAR EL LABORATORIO:

Guía de laboratorio, Texto de cálculo diferencial, Software Matlab.

DESCRIPCION DEL LABORATORIO.

De manera general, la guía proporciona a los estudiantes la oportunidad de elaborar técnicas para Determinar la continuidad o discontinuidad de una función sobre un punto y sobre un intervalo.

NOCIÓN INTUITIVA DE CONTINUIDAD

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN y=f (x ) EN UN PUNTO:

Decir que una función f (x) es continua en x=c, significa que su gráfica no sufre interrupciones en el punto c, esto es, ni se rompe ni tiene saltos o huecos en dicho punto. Al presentarse cualquier tipo de interrupción sobre la gráfica, se dice que la función es discontinua en dicho punto.

De acuerdo a esto se pueden establecer las siguientes 3 condiciones que garantizan la continuidad en un puntox=c. Con una sola de ellas que no se cumpla, se dice que la función es discontinua en el punto.

i ¿¿ f (c ) está definido

ii¿¿ limx→c

f (x)=existe

iii¿¿ limx→c

f (x )=f (c)

ACTIVIDAD Nº1

De cada gráfica, indica si se cumplen o no las condiciones de continuidad en el punto x=c marcando en cada espacio [¿¿ ].

i ¿ [¿¿ ] f ( c ) está definido i¿ [¿¿ ] f (c ) está definido ii¿ [¿¿ ] lim

x→cf (x)=existe ii¿ [¿¿ ] lim

x→cf (x )=existe

iii¿ [¿¿ ] limx→c

f ( x )=f (c ) iii¿ [¿¿ ] limx→c

f ( x )=f (c)

i ¿ [¿¿ ] f ( c ) está definido i¿ [¿¿ ] f (c ) está definido

ii¿ [¿¿ ] limx→c

f (x)=existe ii¿ [¿¿ ] limx→c

f (x )=existe

iii¿ [¿¿ ] limx→c

f ( x )=f (c ) iii¿ [¿¿ ] limx→c

f ( x )=f (c)

OBSERVACION

Las discontinuidades de una función se pueden clasificar en dos categorías: discontinuidades evitables y no evitables. Una discontinuidad en un puntox=c se dice evitable o removible cuando se puede redefinir la función f (x) en el punto de tal manera que la función resultante sea continua en el punto. Se habla de discontinuidades no evitables en los casos en que no se pueda redefinir la función para convertirla en continua.

Del ejemplo anterior, las figuras I y III representan funciones con discontinuidades no evitables en x=c. Las figuras II y IV, corresponden a funciones con discontinuidades evitables en el punto c.

ACTIVIDAD Nº2

Indica la gráfica correspondiente a cada función. Determina y clasifica los puntos de discontinuidad.

A ¿ f ( x )= x

4−x2 B ¿g ( x )={ 1−x2 si x<2

¿−3+2 x si x ≥2

C ¿ g ( x )={ x3 si x<2¿−x+10 si x>2

D ¿ f ( x )=|2−x|x−2

-4 -2 0 2 4 6 8-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Eje X

Eje

Y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-3

-2

-1

0

1

2

3

Eje X

Eje

Y

-4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

5

10

15

Eje X

Eje

Y

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

Eje X

Eje

Y

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Una función f (x) se dice continua sobre un intervalo abierto (a ,b) cuando la función sea continua para cada valor c dentro del intervalo. La función se dice continua sobre un intervalo cerrado [a ,b ] cuando sea continua en el intervalo abierto (a ,b), y además existan y se cumplan los siguientes límites:

limx→a+¿ f (x)=f (a ), lim

x →b−¿f (x)=f (b) ¿¿ ¿

¿

Se dice que f es continua de manera general, cuando sea continua en todos los reales (−∞ ,+∞ ). De igual forma, se dice que f es discontinua en c, si f está definida sobre un intervalo abierto que contiene a c excepto posiblemente en c y con f no continua en c.

ACTIVIDAD Nº3.

Realiza un análisis para indicar, por qué la función dada en cada caso es o no es continua sobre el intervalo [ –2,5¿ ]

A ¿ f ( x )=√ x−1x−1

B ¿ f (t )= t 2−9(3−t )2

C ¿ g ( x )=¿

ACTIVIDAD Nº4

Sea k un número real cualquiera. Considera las funciones f ( x ) , g (x) tales que sean continuas en x=c ¿Qué se puede decir de la continuidad de las siguientes funciones ?

Justifica los resultados de acuerdo a las propiedades de las funciones continuas que aparecen en los distintos libros de cálculo. Para esta actividad, puedes remitirte a cualquiera de los textos de la bibliografía, o cualquier otro texto de cálculo de una variable real.

i ¿kf (x) ii¿ f (x)±g (x) iii¿ f ( x ) g(x ) iv ¿f (x )g (x)

cong (c)≠0

v¿ ( f ° g ) ( x )=f (g ( x ) )donde f escontinuaen g(c)

ACTIVIDAD Nº5

Analiza la continuidad de la función en los puntos indicados. Establece además intervalos en los que la función sea continua.

A ¿ t ( x )= x

1−x2c=−2,−1 ,0 ,1 ,2

B ¿ f ( x )=9−x2

x+3c=−4 ,−3 ,3 ,4

C ¿h ( x )={ x+22

si x≤3

¿ 12−2 x3

si x>3c=2 ,3 ,4

D ¿g (x )={ x2−4 x+6 si x<2¿−x2+4 x−2 si x≥2

c=−1 ,2 ,3

Analizar la continuidad de las siguientes funciones

A ¿ f ( x )=3+√3−x B ¿ f ( x )=tan (x)

C ¿ f (x )={−2 x+3 si x<1¿ x2 si x≥1 D ¿ f ( x )={|1−x2|si|x|<2

¿3 si|x|≥2

E ¿ f ( x )= [x ] Función parte entera de x. definida por: [ x ]=mayor enteron talque n≤ x

Determinar:

A) El valor de k , para el cual la función es continua

i ¿¿ ( x )={ x3 si x≤2¿k x2 si x>2

ii¿¿ ( x )={k x2+2x si x<2¿ x3−kx si x ≥2

B) Los valores de a y de b para los cuales la función es continua

f (x){ 2 si x≤1ax+bsi−1<x<3

−2 si x≥3

ACTIVIDAD Nº6

AYUDAS CON MATLAB:

El software Matlab es una herramienta bastante versátil para la visualización gráfica de algunos conceptos matemáticos. Así por ejemplo, para tener elementos de análisis de la gráfica de la función

f ( x )=x sen ( 1x ) definida para t∈[−π2

,π2 ] con f (0 )=0, damos los siguientes comandos:

x=-pi/2:0.01:pi/2;%Genera valores de x entre −π2 y

π2 en intervalos de 0.01

f=x.*sin(1./x); %Evalúa la función en los valores generadosplot(x,f); %Comando para graficar f vs xhold on %Indica al programa graficas sobre un mismo planoplot(0,0,'ro') %Resalta en el plano de graficado el punto (0,0)grid %aparece las cuadriculas en el plano de graficado

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Utiliza el software Matlab para tener elementos de análisis de la continuidad de la función sobre el intervalo dado

A ¿ f ( x )= sen(x )x

, [−2π ,2π ] B ¿ f ( x )=1−cos (x)x

, [−3 π ,3 π ]

C ¿ f (x )=tan( π x4 ) , [−3 π ,3 π ] D ¿ {csc( π x6 )si x ϵ [1 ,5 ]

2 si x<1o x>5

CONCLUSIONES GENERALES DEL DESARROLLO DE LA GUIA.

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BIBLIOGRAFIA.

STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 2007.

ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1987.

THOMAS GEORGE B. Cálculo una variable. Undécima Edición. Mexico. Pearson Addison Wesley. 2006.

PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992.

ARBOLEDA Q. Dairon. ALVAREZ J. Rafael. Matlab Aplicaciones a las matemáticas básicas. Sello editorial Universidad de Medellín. 2006. P 40.

ALVAREZ R. Yolanda y DIAZ L. Gloria M. Funciones reales con Matlab. Serie Textos Académicos Instituto Tecnológico Metropolitano. 2007. P 25.

ELABORADO POR:

Juan Carlos Molina García Docente TC. ITM.juanmolina@itm.edu.coExt: 440 52 90