guia 6- control pid discreto

PRACTICA 6. CONTROL PID DISCRETO

LABORATORIO DE CONTROL II

1. Objetivos1. Diseñar los diferentes tipos de controlador PID digital a partir del modelo continuo utilizando las

diferentes técnicas de aproximación discreta.

2. Implementar los controladores resultantes sobre un sistema previamente identificado mediante unatarjeta de adquisición de datos como dispositivo de entrada/salida.

2. Marco Teórico

2.1. Controlador PIDActualmente los dispositivos de control son de uso común en las empresas. Las técnicas de fabricación

en serie han hecho que no se implementen compensadores para una función particular, sino dispositivosgenéricos que sean capaces de ajustarse para una labor específica, según las características del sistema.El controlador proporcional, integral y derivativo, o más comúnmente PID es el más popular en lapráctica industrial actualmente. Es ampliamente conocido debido a la gran cantidad de montajes y lasimplicidad en su uso, siendo un dispositivo de control genérico donde el diseñador sólo tiene que darvalores adecuados, según lo requiera la situación, a los distintos parámetros que contiene (acciones P, I yD). Mientras que el controlador proporcional siempre se utiliza, se tiene la opción de elegir entre una oambas de las otras dos maniobras. Como resultado, se tiene la posibilidad de usar cualquier combinaciónde P, PI, PD o PID. Todos estos están referidos como los controladores PID.Debido a que todas las reglas de sintonización PID son en el dominio del tiempo continuo y a que estees el controlador más popular, las implementaciones del PID se logran de discretizar su contraparteanalógica, por eso es importante estudiar y repasar las diferentes formas de implementar y digitalizaréste controlador.

2.1.1. Expresión general

Como su propio nombre indica, un controlador PID es un caso particular de compensador de adelanto-retraso en el que el compensador de adelanto es proporcional-derivativo y el compensador de retraso esproporcional-integral. Del producto de ambos compensadores, se obtiene un controlador con dos ceros-que en general pueden ser reales o no-, un polo en el origen y una ganancia.

Figura 1: Sistema controlado con PID.

1

Ingeniería Electrónica. Laboratorio de Control II 2

GPID(s) = GPI(s)GPD(s) = k1(s+ a)k2s+ b

s= k

[s2 + αs+ β

s

](2.1)

Un controlador PID, por tanto, tiene tres parámetros que se pueden elegir: la posición de los dos ceros yel valor de la ganancia.Una expresión equivalente es la que se presenta en 2.2, también llamada forma estándar del controladorPID.

u(t) = kpe(t) + ki

∫e(τ)dτ − kd

de(t)

dt(2.2)

2.1.2. Modificaciones del PID

En el sistema de control PID básico, como el de la figura 1 presenta defectos:

Si existe un cambio repentino en el setpoint (punto de ajuste) como lo suele haber ante una entradade referencia tipo función escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción decontrol, señal de control u(t) contendrá una función impulso (una función delta) ya que en elmomento del cambio finito de la referencia la derivada del error se hace infinita, por lo que laactuación tambíen se hace muy grande -teóricamente infinita-. El gran cambio introducido por elmodo derivado se conoce como “derivative kick” o reacción derivativa.

El modo proporcional introduce grandes saltos en la señal de control, debido al primer sobreim-pulso de la salida ante cambios bruscos de la referencia. El cambio abrupto inducido por la acciónproporcional es llamado “proportional kick” o reacción proporcional.

Ambas perturbaciones son indeseadas porque provocan la saturación de los actuadores.

Para evitar el fenómeno de la reacción del punto de ajuste la expresión estándar del PID se suele modificarpara obtener mejores prestaciones. En los siguientes apartados se explican algunas de las mejoras máshabituales.

Control PI-D: Una forma de solucionar este problema es hacer que la parte derivativa del PID noactúe sobre la señal del error E(s), sino exclusivamente sobre la señal de salida C(s) del sistema. Es fácildemostrar que esta estrategia no altera el comportamiento del sistema controlado ante entrada escalóny sólo suprime los impulsos infinitos que introduce la derivación del salto finito. Estos impulsos infinitosproducirían una especie de golpes bruscos en el sistema: es el efecto kick-off que evita esta estrategia.

u(t) = kpe(t) + ki

∫e(τ)dτ − kd

dy(t)

dt(2.3)

En la figura 2 se muestra la estrategia descrita.

Control I-PD: Tanto el control PID como el control PI-D implican una función escalón en la señalu(t). En muchas ocasiones, tal cambio escalón en la señal de control tal vez no sea conveniente. Por tanto,puede convenir mover la acción proporcional y la acción derivativa a la trayectoria de realimentación, a

Figura 2: Controlador PI-D.

Universidad Tecnológica de Pereira. Facultad de Ingenierías


Figura 3: Controlador I-PD.

fin de que estas acciones sólo afecten la señal de realimentación C(s). A ésta estrategia se le conoce comocontrolador I-PD y se muestra en la figura 3.

u(t) = kpy(t) + ki

∫e(τ)dτ − kd

dy(t)

dt(2.4)

2.2. Discretización del PID2.2.1. Control Proporcional (P)

Este tipo de controlador genera una salida que es proporcional al error actuante. En el control pro-porcional existe una relación lineal entre el valor de la variable controlada y la posición del elementofinal de control. Es decir, la válvula se mueve la misma cantidad por cada unidad de desviación (error),entre el valor deseado o valor de referencia y el valor actual de la variable controlada. La ecuación de uncontrolador proporcional continuo está dada por:

m(t) = kpe(t) (2.5)

La forma discreta de la ecuación 2.5 es:

m(kT ) = kpe(kT ) donde e(kT ) = r(kT )− y(kT ) (2.6)

Además e(k) se define como el error de seguimiento, y(k) es la salida del sistema controlado y r(k) lareferencia.

2.2.2. Control Integral (I)

Ahora que el proceso es un integrador, entonces la entrada al proceso es denotada por u. Luego enla salida, la integral de u con respecto al tiempo, ser representada por y. Esto puede ser representadográficamente como en la figura 4. Y por la expresión matemática 2.7:

y(t) =

∫ 0

t

u(τ)dτ (2.7)

Si se considera la integral hasta un instante múltiplo del periodo de muestreo:

y(kT ) =

∫ kT

0

u(τ)dτ =

∫ kT−T

0

u(τ)dτ +

∫ kt

kT−T

u(τ)dτ = y(kT − T ) +

∫ kt

kT−T

u(τ)dτ (2.8)

Existen diversos métodos para aproximar la integral entre dos periodos de muestreo. En los siguientesapartados se explican las más habituales.

Figura 4: Operación integral.



Figura 5: Aproximación de Tustin.

Método trapezoidal o de Tustin: El método de Tustin define la integral entre dos periodos demuestro como el trapecio que forman el valor actual de la función y el anterior, figura 5. Matemáticamenteesto se puede escribir como: ∫ kt

kT−T

u(τ)dτ = Tk(nT ) + u(kT − T )

2(2.9)

De esta forma, la función integral 2.8 se puede completar como:

y(kT ) = y(kT − T ) + Tu(kT ) + u(kT − T )

2(2.10)

y por tanto:

Y (z)(1− z−1) = U(z)T

2(1 + z−1) (2.11)

En el dominio de Laplace, la operación integral es:

Y (z)

U(z)=

1

s(2.12)

Por tanto, se puede usar la ecuación 2.13 para definir un cambio de variable entre s y z (que recibe elnombre de aproximación trapezoidal, bilineal, o de Tustin) y transformar una función de transferenciacontinua en discreta.

1

s≈ T

2

z + 1

z − 1(2.13)

Método de Euler implícito: El método de Euler implícito define la integral entre dos periodos demuestro como el rectángulo de altura igual al valor actual de la función, figura 6. Matemáticamente estose puede escribir como: ∫ kt

kT−T

u(τ)dτ = Tu(kT ) (2.14)


y(kT ) = y(kT − T ) + Tu(kT ) (2.15)

y por tanto:Y (z)(1− z−1) = TU(z) (2.16)

Y (z)

U(z)=

T

1− z−1=

Tz

z − 1(2.17)

Esto define un nuevo cambio de variable (conocido como método de integración de Euler implícito) pararealizar la digitalización de una función de transferencia:

1

s≈ Tz

z − 1(2.18)



Método de Euler explícito: El método de Euler explícito define la integral entre dos periodos demuestro como el rectángulo de altura igual al valor anterior de la función, figura 7. Matemáticamenteesto se puede escribir como: ∫ kt

kT−T

u(τ)dτ = Tu(kT − T ) (2.19)


y(kT ) = y(kT − T ) + Tu(kT − T ) (2.20)

y por tanto:Y (z)(1− z−1) = TU(z)z−1 (2.21)

Y (z)

U(z)=

Tz−1

1− z−1=

T

z − 1(2.22)

Esto define un nuevo cambio de variable (conocido como método de integración de Euler implícito) pararealizar la digitalización de una función de transferencia:

1

s≈ T

z − 1(2.23)

2.2.3. Control Derivativo (D)

La operación contraria a la integración es la derivación. Como se sabe por lo estudiado en el dominiocontinuo, hay que intentar evitar la operación derivada. Sin embargo, en algunos casos no quedaría másremedio que emplearla (figura 8). Cabe preguntarse si el análisis realizado en el apartado anterior es válidopara una supuesta “derivación numérica”. Al fin y al cabo, invirtiendo las ecuaciones 2.13, 2.18 y 2.23,se obtendrían unas aproximaciones para la variable s que se pueden interpretar como aproximaciones dela función de transferencia que define la operación derivada. Desarrollando las inversas de las ecuaciones2.13, 2.18 y 2.23 en términos de ecuaciones diferencia donde la variable d(t) es la derivada de u(t), quedapara el caso del método de Tustin:

d(kT ) = 2u(kT )− u(kT − T )

Td(kT − T ) (2.24)

Para Euler implícito:

d(kT ) =u(kT )− u(kT − T )

T(2.25)

Para Euler explícito:

d(kT ) =u(kT + T )− u(kT )

T(2.26)

Observando las ecuaciones 2.24, 2.25 y 2.26 se puede concluir que:

Figura 6: Aproximación de Euler implícito.



Figura 7: Aproximación de Euler explícito.

1. El método de Euler explícito (2.24) no se puede implementar físicamente para la operación derivadaya que requiere el conocimiento del valor de la función en el siguiente periodo de muestreo, cosaque es imposible en cada instante.

2. El método de Euler implícito (2.25) pensado como método de derivación es al que uno puede llegarusando la “lógica”, es decir, definiendo la derivada como el último cambio de la función divididoentre el tiempo que ha transcurrido. Por ejemplo si la función de entrada es posición y la salida esvelocidad, esta operación es el último incremento de posición dividido por el incremento de tiempo.El método de Euler implícito cuando se usa para aproximar la derivada recibe el nombre de métodobackwards o de “paso hacia atrás”.

3. El método de Tustin se puede implementar para calcular la derivada, pero no se recomienda su uso.La razón es que introduce oscilaciones no deseables en la señal derivada.

2.3. Aproximaciones discretas del controlador PID convencional2.3.1. Controlador PID trapezoidal

Sabiendo ya la forma de obtiner cada una de las aproximaciones discretas, es posible plantear las treopciones de implementar éste tipo de control. Como se estudió en la sección 2.2.3 la acción derivativasolo es implementable mediante la aproxiamción del paso hacia atras, por lo tanto se puede obtener trestipos de PID combinando el modo proporcional y derivativo con las discretizaciones de la integral portustin, rectangular hacia adelante y rectangular hacia atras.Partiendo de la ecuación 2.2 se obtiene el PID discreto por trapecios incluyendo las aproximaciones de laderivada backwards e integral de tustin:

u(k) = kpe(k) + kiui(k)− kde(k)− e(k − 1)

T(2.27)

Donde:ui(kT ) = ui(kT − 1) + T

e(k) + e(k − 1)

2(2.28)

2.3.2. Controlador PID rectangular hacia atras

De 2.27 y reemplazando ui por la expresión 2.15:

ui(k) = ui(k − 1) + Te(k) (2.29)

Se obtiene el PID rectangular hacia atras.

Figura 8: Operación derivada.



2.3.3. Controlador PID rectangular hacia adelante

Tomando 2.27 y sustituyendo ui por la expresión 2.20:

ui(k) = ui(k − 1) + Te(k − 1) (2.30)

Se consigue la ecuación del PID rectangular hacia adelante.

2.4. Implementación por software del regulador discretoLa implementación de un regulador discreto (se considererá el PID discreto del apartado anterior)

consiste en repetir cada T segundos (periodo de muestreo) el siguiente algoritmo:

1. Se inicializan los valores pasados de la señal de error e(k − 1), la respuesta de la planta y(k − 1) yla señal de control u(k − 1) si es necesario.

2. Se abre un ciclo for.

3. Se define la referencia r(k).

4. La tarjeta de adquisición toma el valor de la salida del sistema a regular en el periodo actual kT ,es decir, el valor de ykT .

5. Se calcula el error para el periodo actualkT , es decir e(kT ), como diferencia de la referencia y lasalida del sistema, e(kT ) = r(kT )− y(kT ).

6. Se calcula la acción de control para el periodo actual, es decir u(kT ), como resultado de la ecuaciónu(kT ).

7. Se satura uk según el rango máximo permitido en el canal de salida análogo de la tarjeta deadquisición.

8. La tarjeta de adquisición da como salida de tensión el valor dado por la acción de control u(kT ).

9. Actualizar los valores pasados de las variables con las muestras del actual ciclo.

10. Producir una pausa de un tiempo de muestreo: pause(T)

11. Se finaliza el ciclo.

12. Se fija en cero el canal de salida análogo de la tarjeta

3. Trabajo previo1. Al modelo obtenido en la practica anterior por medio de la identificación, aplicar una entrada

escalón y obtener los parámetros reales de tiempo de establecimiento (ts) y máximo sobreimpulso(Mp).

2. A través de un script de MATLAB diseñar un controlador PID tal que el sistema controlado respondasegún los siguientes parámetros:

Tiempo de establecimiento ts = 4.Coeficiente de amortiguameinto ζ = 0,7.Tercer polo ubicado en s = −2ωn. Si con los anteriores parámetros la señal de control excedela cota de ±10V realice los ajustes necesarios para un desempeño óptimo.

3. Exportar las constantes generadas desde el Workspace al Simulink, e implementar los controladoresI-PD y PI-D por medio de diagramas de bloques utilizando las ecuaciones en diferencias de la dis-cretización por las aproximaciones trapzoidal, rectangular hacia adelante y hacia atras, y aplicarlosal modelo.

4. Observar y documentar la respuesta de la planta y la señal de control.



4. Práctica1. Realizar el montaje necesario para adquirir y exportar las señales desde y hacia la planta. Consulte

los manuales de las tarjetas para conocer la distribución de pines de los canales análogos de entraday salida.

2. Siguiendo las instrucciones dadas en el apartado 2.4 digite el código necesario para implementar loscontroles I-PD y PI-D con los parámetros arrojados por el diseño del preinforme.

3. Efectúe los cambios necesarios en el script para obtener los tres tipos de controlador (trapezoidal,rectangular hacia atras y rectangular hacia adelante).

4. Si dispone del osciloscopio apropiado visualice allí la señal de salida de la planta y la señal decontrol, de lo contrario hagalo por medio de una grafica durante la ejecución del código.

5. Tome nota de los resultados y las diferentes graficas.

5. Preguntas de análisis1. ¿Cuál es la razón por la que los distintos controladores responden diferente?

2. ¿Porqué cree que no se planteó un controlador con el integrador actuando en la salida del sistema?

Referencias[1] Garcia Jaimes, Luis Eduardo. Control digital: Teoría y práctica. Medellín, Politécnico Colombiano

Jaime Isaza Cadavid. 2009.

[2] Gil Nobajas, Jorge Juan; Díaz-Cordovés, Angel Rubio. Fundamentos de control automático de sistemascontinuos y muestreados. San Sebastían, España; Universidad de Navarra. 2009.

[3] Kannan M. Moudgalya. Digital Control. Chichester, England; John Wiley and Sons. 2007.

[4] Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. Naucalpan de Juárez„ México; Pearson Educación.1998.


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