guia # 4 para el grado noveno (9-01 , 9-02 y 9-03...

GUIA 4 DE ALGEBRA 2

INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 9º Matemática ALGEBRA 2 1 DE 103

GUIA # 4 PARA EL GRADO NOVENO (9-01 , 9-02 Y 9-03)

MOTIVACION

RETO MATEMATICO

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Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su

nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus.

Considérese la matriz 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que

queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea

continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y no se puede aplicar para

matrices mayores a 3×3.

Ejemplo

MENOR Y COFACTOR

Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden n(n>=2), el menor Mij se define como el determinante de

la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Así, para

Para hallar el menor M11:

a) suprimimos la primera fila y la primera columna así

http://sistemasdeecuacionesjunior.blogspot.com/2011/06/regla-de-sarrus.html

http://2.bp.blogspot.com/-IadMYuEoX9Q/T9_12eBWpjI/AAAAAAAAAD4/xTlg_4SVVhg/s1600/1.PNG

http://4.bp.blogspot.com/-yvVNh_lK06g/T9_2kP-mFiI/AAAAAAAAAEA/qIFHW1SrAwA/s1600/2.PNG

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b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos)

c) Tercero hallamos el determinante

Hallar los menores M12, M22 y M32

COFACTOR

El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por

El cofactor nos da como resultado es el signo del menor.

Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores

http://4.bp.blogspot.com/-Tp9oTnZPwzA/T9_3OO_AQ3I/AAAAAAAAAEI/51yvcUDXj0U/s1600/3.PNG

http://1.bp.blogspot.com/-5eJKg1Ihf1s/T9_3yFLYvYI/AAAAAAAAAEQ/XkhnMvzVYiI/s1600/4.PNG

http://3.bp.blogspot.com/-QZjDbRQmTrw/T9_4rQ_yEOI/AAAAAAAAAEY/Txp2PVUjzC8/s1600/5.PNG

http://2.bp.blogspot.com/-F4-dylHobGo/T9_5bR9q-uI/AAAAAAAAAEg/sDBKxEOVzFQ/s1600/6.PNG

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Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda

2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga

3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón

superior a los renglones debajo de él

4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los

renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)

5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e

introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordán, (debido al

mencionado Gauss y a Wilhelm Jordán), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al

cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada

reducida

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas

ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga

las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

Intercambiar de posición dos ecuaciones

Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros

procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y

después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

http://1.bp.blogspot.com/-FjvJahsXXc4/T9_6M-O5JUI/AAAAAAAAAEo/MSwUI7hf67o/s1600/10.PNG

http://es.wikipedia.org/wiki/Submatriz

http://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Matrices_elementales

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU

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Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos

-4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y

sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su

notación matricial:

Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como

esta:

Que representa la ecuación: , es decir, que no tiene

solución.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada

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EJERCICIO EN CLASE

¡PIENSE!

NOMBRE DEL ESTUDIANTE 1 NOMBRE DEL ESTUDIANTE 2 ASIGNATURA CURSO

ALGEBRA 2

Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 2x2, construya su respectiva tabulación y lleve

dichos tabulados a un mismo plano cartesiano y determine la solución gráficamente de cada uno de los siguientes

pares por separado. (para cada sistema un plano, recuerde en cada ecuación se despeja la letra “Y” y se le dan

valores arbitrarios a la letra “X”)

1.-)

--3x + 2y= --19

4x -- 5y= 37

2.-)

--9x + 7y= 46

--8x – y = 12

3.-)

x -- y = 2

-6x + 11y = -27

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¡ÉXITO! ¡FRACASO!

EVALUACION POR COMPETENCIAS

A continuación encontrará un cuestionario de 10 ejercicios o preguntas cada una con cuatro distractores: a),b),c) y d). Usted deberá seleccionar la respuesta correcta y marcar rellenando con negrilla el ovalo (no de otra manera) respectivo en el cuadro abajo de la hoja de respuestas (usted no debe escribir en este cuestionario). 1.- al ubicar los puntos de la siguiente tabla en un plano cartesiano

x –3 –2 -1 0 1

g(x) -7 -12 -15 -16 –15

Observamos una función:

A.- Cuadrática B.- exponencial C.- cubica D.- logarítmica

2.- indica la tabulación correcta que corresponde a la función f(x) =X2+ 1 A.-

X -2 -1/2 0 1/2 2

Y 5/4 5 1 5 5/4

B.- X -2 -1/2 0 1/2 2

Y 4 5 1 4 5

C.-

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X -2 -1/2 0 1/2 2

Y 5 4/5 1 4/5 5

D.-

X -2 -1/2 0 1/2 2

Y 5 5/4 1 5/4 5

3.- La recta que pasa por los puntos A= (-1/2;-3) y B= (-4; 6) tiene pendiente: A.-) positiva B.-) negativa C.-) cero D.-) ninguna

4.- En el análisis de la función cuadrática 482 2 xxy se tiene que:

A.-) hay un máximo y cóncava hacia arriba B.-) hay un máximo y cóncava hacia abajo C.-) hay un mínimo y cóncava

hacia arriba D.-) hay un mínimo y cóncava hacia abajo 5.- el tercero de tres números pares consecutivos cuya suma es 42 es: a) 18 b) 16 c) 14 d) 12

6.- Tres números consecutivos suman 204. ¿Cuál es el número mayor? A.) 68 B.) 69 C.) 70 D.) 67 7.- La gráfica de la siguiente función es una parábola

f (x) = 4x2 + 11x – 3 Una expresión equivalente a la expresión 4x2 + 11x – 3 A. (4x - 1) (x + 3) B. (x + 4) (x - 11)

C. (4x + 11) (x -3) D. (x + 11) (x + 3)

Para 8 y 9 .la relación R= {(a, b) є AXB / a= 2b -1} por extensión es: 8.- a.-) R= {(3,1), (4,9)} b.-) R= {(1,3); (9,4)} c.-) R= {(1,3); (4,9)} d.-) n.a.

9.- El dominio de R es: a.-) {3,4} b.-) {1,4} c.-) {1,9} d.-) n.a 10.- según la grafica

La función es creciente en el intervalo: A.- (- ∞;-2) B.- (- ∞; 2) C.- (∞; 2) D.- (2; +∞)

TABLA DE RESPUESTAS

A B C D

1

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica_11.svg

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2

3

4

5

6

7

8

9

10

RESOLVER EL SIGUIENTE TALLER PASO A PASO INCLUYENDO EL DESARROLLO DE CADA EJERCICIO:

A continuación encontrará un cuestionario de 10 ejercicios o preguntas cada una con cuatro distractores: a),b),c) y d). Usted deberá seleccionar la respuesta correcta y marcar rellenando con negrilla en el ovalo respectivo del cuadro de respuestas, ojo usted debe desarrollar punto por punto.

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5.- ¿Cuál de los siguientes puntos se encuentra en la recta (y + 8) = 7(x − 5)? A) (5, -8)

B) (5, 8) C) (8, 5) D) (8, -5)

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6.- En un parqueadero hay ciento veinte vehículos entre motos y carros si duplicamos las motos y triplicamos los carros resultan setecientos setenta y seis ruedas ¿Cuántos vehículos de cada tipo hay?: a) 120 y 776 b) 166 y 111 c) 120 y 277 d) 83 y 37

7.- La recta que pasa por los puntos A= (-2;-3) y B= (4; -6) es: a) horizontal b) vertical c) ascendente d) descendente

8.- La recta que pasa por los puntos A= (1/2;-3) y B= (-4; -6) tiene pendiente: a.-) positiva b.-) negativa c.-) cero d.-) ninguna

9. El triángulo formado por los puntos: A (-2;-3); B (-5; 9) y C (4,-6) es: a) rectángulo b) acutángulo c) obtusángulo d) equiángulo

10.- Al resolver el siguiente sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos estudiados y

1152

113

yx

yx entonces el conjunto solución es: a) (-2;-3) b)(-3;-2) c) (-2,3) d)ninguna

TABLA DE RESPUESTAS

NOMBRE DEL ESTUDIANTE ÁREA/ ASIGNATURA GRADO

Algebra 2

CUADRO DE RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

c

d

El Número

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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SIMULACRO PRUEBAS SABER

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6.- En la clase de matemáticas, la profesora Inés presenta las siguientes cuatro fichas marcadas con algunos dígitos

para que los niños formen números:

¿Cuál es el mayor de los números de tres dígitos que los niños pueden formar con las fichas?

A. 327

B. 372

C. 732

D. 735

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7.- Las preguntas 7, 8 y 9 se deducen de la siguiente gráfica. Donde se muestra la relación entre la velocidad de un molino y el tiempo de funcionamiento en un día.

7.-en qué tiempo se presentó la mayor eficiencia del molino A.- la hora 2 y la hora 3 B.- la hora 3 y la hora 3,5 C.- la hora 3,5 y la hora 4,5

D.- la hora 4,5 y la hora 6

8.- ¿qué expresión representa la relación entre velocidad (v) y el tiempo (t) durante la primera hora y media del funcionamiento del molino?

A.- v = t/2 B.- v= t/3 C.- v= t+ 3 D.- v= t-3 9.-¿Cuánto tiempo transcurre, desde el momento en que el molino empieza a disminuir su velocidad por primera vez, hasta cuando vuelve a aumentarla?

A.- 0,5 horas B.- 1,5 horas C.- 3,5 horas D.- 6 horas

10.- En una feria se juega tiro al blanco: por cada acierto se ganan $3.000 y por cada desacierto se pierden $1.000.

Arturo lanzó tres veces y acertó una vez en el blanco. ¿Cuánto dinero ganó o perdió al final de los tres lanzamientos?

A.- gano $ 1000 B.- gano $ 3000 C.- gano $ 2000

D.- gano $ 4000

Las preguntas 11,12 y 13 se deducen de la siguiente gráfica que representa las variaciones en el peso ideal y el peso real (en libras), de un animal, durante sus 8 primeras semanas de vida.

11.-¿En qué semana, el peso real del animal fue igual al peso ideal? A. 1 B. 4

C. 6 D. 8 12.-¿Para qué número de semana el peso ideal fue de 30,5 libras?

A. 2 B. 3

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C. 4 D. 3,5 13.-¿Para qué peso real en libras el tiempo en semanas es de 1,5?

A. 10L B. 15L C. 20L D. 25L

Las preguntas 14, 15 y 16 se deducen de la siguiente gráfica que representa el cambio del voltaje de dos tipos de

baterías (I y II) en función del tiempo, cuando estas se usan continuamente.

14.-¿Cuáles son los voltajes iniciales (en voltios) de las baterías tipo I y tipo II?

A. 0,5 y 0,7 respectivamente. B. 1,3 y 1,5 respectivamente. C. 2 y 3 respectivamente.

D. 4 y 6 respectivamente. 15.-¿Para qué tiempo en horas el voltaje de la batería I es de 1,2 voltios aproximadamente? A. 0,5 respectivamente.

B. 1,3 respectivamente. C. 2 respectivamente. D. 4 respectivamente.

16.-¿Para qué voltaje el tiempo en horas de la batería II es de 1,5 aproximadamente? A. 1,4 respectivamente.

B. 1,3 respectivamente. C. 1,2 respectivamente. D. 1,1 respectivamente

17.- La balanza de la figura está en equilibrio.

Sean las posibles relaciones

I. x = 20, y = 15 y z = 35 II. x = 40, y = 10 y z = 30 III. x = 35, y = 15 y z = 20 IV. x = 30, y = 40 y z = 10

¿Cuáles de las siguientes son posibles masas, en gramos, de los objetos?

A. I;

B. I y II; C. II y III;

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D. ninguna

18.- Una agencia de turismo ofrece los siguientes precios para viajes a un determinado destino, de acuerdo con el número de personas que tomen conjuntamente el plan

¿Cuál de las siguientes gráficas representa de manera correcta la relación entre el número de personas y el valor del

plan?

19.- Un grupo de 6 estudiantes de un curso está organizando un paseo y después de hacer el presupuesto,

determinan que requieren en promedio $45.000 por estudiante. La siguiente tabla muestra la cantidad de dinero que aportó cada uno de los estudiantes.

Con este presupuesto, ¿es posible realizar el paseo? A. Sí, porque el promedio del dinero recolectado es aproximadamente el doble del requerido. B. Sí, porque el promedio del dinero recolectado es $3.000 mayor que el requerido.

C. No, porque el promedio del dinero recolectado es aproximadamente la mitad del requerido. D. No, porque el promedio del dinero recolectado es $3.000 menor que el requerido. 20.-: Para remodelar un edificio, un arquitecto compra 9 m3 de arena. La empresa que contrata para transportar el

material dispone de cuatro tipos de volquetas. ¿En cuál de las siguientes volquetas es posible transportar la arena en un solo viaje, sin que sobre espacio?

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21.-Cuando se toma una cantidad m de un medicamento, el organismo tarda un determinado tiempo en eliminarlo

progresivamente. La expresión y = m. (0,8).t permite calcular la cantidad de medicamento y, en miligramos, que queda en el organismo, transcurrido un periodo de tiempo t, en horas, desde que una persona toma el medicamento.

De acuerdo con la información anterior, la expresión 1/2m = m. (0,8).t permite calcular A. la cantidad de medicamento y = 0,8 que queda en el organismo, cuando ha transcurrido un tiempo t. B. el tiempo t transcurrido, cuando se ha eliminado la mitad del medicamento m en el organismo. C. la cantidad de medicamento (m – y) eliminada del organismo, cuando ha transcurrido un tiempo t.

D. el tiempo t transcurrido, cuando quedan 0,8 miligramos de medicamento en el organismo 22.- Para instalar la televisión por cable en una casa se requiere tender un cable, tensionándolo, desde el poste alimentador hasta la conexión del televisor, como se muestra en la figura.

Aproximadamente ¿cuántos metros de cable se requieren para realizar la conexión? A. 8,0 m.

B. 8,5 m. C. 9,5 m. D. 10 m. 23.-Usando una bomba se va a pasar agua del tanque 1 al tanque 2 que está vacío (ver figura). El agua que está en el

tanque 1 alcanza una altura de 1.200 mm. A partir del momento en que se enciende la bomba, la altura del tanque 1 disminuye 10 mm por minuto y la del tanque 2 aumenta 50 mm por minuto.

¿Cuál expresión permite encontrar los minutos (x) que deben transcurrir, a partir del momento en que se enciende

la bomba, para que la altura del agua en los dos tanques sea la misma? A. 1200 - 10x = 50x B. 1200 + 30x = 30x

C. x + x = 50 + 10 D. 600 - x = x 24.- El cajero de un banco tiene al iniciar la jornada $88.000 en monedas de $100, $200 y $500; se sabe que tiene

110 monedas de $500.

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Si había en total 320 monedas. ¿Cuántas monedas de $100 y $200, respectivamente, podría tener el cajero?

A. 110 y 150. B. 100 y 200. C. 90 y 120.

D. 50 y 50. Las preguntas 25, 26 y 27 se deducen de la siguiente gráfica que representa las trayectorias de dos pelotas, E y F,

que se lanzaron simultáneamente con velocidad inicial diferente. Los valores correspondientes al tiempo transcurrido no se muestran en la gráfica.

25.-¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones sobre el tiempo transcurrido y la altura alcanzada por cada una de las pelotas es o son verdadera(s)? l. La pelota E alcanzó mayor altura

ll. La pelota F alcanzó la máxima altura antes que la pelota E. lll. Las pelotas E y F emplearon el mismo tiempo en realizar su recorrido. A. l solamente.

B. lll solamente. C. l y ll solamente. D. l y lll solamente.

26.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones sobre el tiempo transcurrido y las respectivas velocidades de las pelotas es o son verdadera(s)? l. La pelota F posee mayor velocidad ll. Las pelotas E y F emplearon el mismo tiempo en realizar su recorrido.

lll. La pelota E posee mayor velocidad que la pelota F. A. l solamente. B. ll solamente.

C. lI y llI solamente. D. l y lll solamente. 27.- : ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones sobre la al tura alcanzada y las respectivas velocidades de las

pelotas es o son verdadera(s)? l. La pelota E alcanzó mayor altura que la pelota F ll. Las pelotas E es más veloz que la pelota F

A. l solamente. B. ll solamente. C. l y ll solamente. D. ninguna.

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28.- : La gráfica representa la cantidad de galones de gasolina que tiene el tanque de un automóvil, cuando se desplaza entre dos ciudades.

El conductor afirma que el automóvil consumió en total 4 galones de gasolina en este desplazami ento. Esta afirmación es

A. falsa, porque consumió 5 galones en total. B. falsa, porque consumió 1 galón en total. C. verdadera, porque inició su recorrido con 4 galones y terminó sin gasolina. D. verdadera, porque inició su recorrido con 5 galones y terminó con 1 galón.

29.- La figura muestra la longitud inicial de un resorte (en centímetros), y la que alcanza este resorte cuando sostiene bloques de distintas masas (en gramos).

¿Cuál de las siguientes gráficas representa correctamente la relación entre la masa del bloque y la longitud del resorte?

30.- En el análisis de la función cuadrática 482 2 xxy se tiene que:

a.-) hay un máximo y cóncava hacia arriba b.-) hay un máximo y cóncava hacia abajo c.-) hay un mínimo y cóncava hacia arriba d.-) hay un mínimo y cóncava hacia abajo

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Funciones no lineales u otras funciones Las funciones cuadráticas con coef i cientes reales o complejos tienen siempre dos raíces (reales o complejas)(Teorema fundamental del Álgebra):

Funciones polinomica (3): funciones cúbicas

Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abscisas por lo

menos una vez.

Funciones polinómicas (1): funciones afines

Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la

recta y cómo podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de

abscisas.

Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos)

Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones

inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.

Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de LaGrange

Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de

interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de LaGrange.

http://www.matematicasvisuales.com/html/complejos/funciones/grado2.html


http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/cubic.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/cubic.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/afin.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/afin.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/potencias/potencia1.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/potencias/potencia1.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/interpolacion/lagrange.html

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Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines

La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas

La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.

Funciones lineales a trozos. El caso más sencillo: un segmento

Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales

restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.

Funciones constantes a trozos

Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones

constantes.

Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas

La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola

Funciones racionales (1): Funciones racionales lineales

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/interpolacion/lagrange.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/afin.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/afin.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/quadratic.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/quadratic.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/piecewise/onepiece.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/piecewise/onepiece.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/piecewise/stepfunctions.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/piecewise/stepfunctions.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/cubic.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/cubic.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/rational/rational1.html

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Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales

lineales son las más sencillas de este tipo.

Funciones racionales (2): el denominador es un polinomio de grado 2 Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).

Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de LaGrange (funciones polinómicas en general) Los polinomios de LaGrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de LaGrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.

Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas

Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.

Integral definida La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.

Las funciones monótonas son integrables

Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son integrables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.

Integral indefinida

Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.




http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/lagrangeder.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/lagrangeder.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/antiderivative.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/antiderivative.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/integral/integral.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/integral/integral.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/integral/integralCota.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/integral/integralCota.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/integral/indefiniteintegral.html

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/integral/indefiniteintegral.html

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Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines

Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite

entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y

negativas.

Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de

grado 3.

Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de LaGrange (funciones polinómicas en general) Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las

funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función origin al.

El Teorema Fundamental del Cálculo (1) El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.

El Teorema Fundamental del Cálculo (2) El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular

integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).

Polinomios de Taylor (1): función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

Polinomios de Taylor (2): función seno Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polyintegral/linearintegral.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polyintegral/quadraticintegral.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polyintegral/lagrangeintegral.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html




http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/taylor/expTaylor.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/taylor/sinTaylor.html

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Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

Polinomios de Taylor (4): función racional 1 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

Polinomios de Taylor (5): función racional 2 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un

intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singularidad más próxima.

Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.

Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural

Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.

Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2 Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.

Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3 Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.

Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n

Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.

http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/taylor/sqrt1plus0Taylor.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/taylor/rat1plus0Taylor.html




http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/taylor/twoRealSing.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/taylor/twoComplexSing.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/complejos/funciones/potencias.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/complejos/funciones/cubica.html

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http://www.matematicasvisuales.com/html/complejos/funciones/polinomica.html

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EL ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA SE HACE ASÍ:

Una función cuadrát ica es una función pol inomica de grado 2. Tiene una expresión del tipo ( forma estándar) : La gráf ica de una función cuadrática es una parábola.

Algunas parábolas cortan al e je de las X (e je de abscisas) en dos puntos. Esos valores son las raíces (reales) o ceros del pol inomio.

Podemos obtener esas raíces resolviendo una ecuación cuadrática:

Las soluciones de una ecuación cuadrática vienen dadas por:

El discriminante se def ine como:

Si e l discriminante es mayor que 0, la ecuación cuadrática t iene dos raíces reales, x 1, x 2. En este

caso, podemos escribi r la función cuadrática descompuesta en sus factores de esta manera:

Algunas parábolas solo tocan al e je de abscisas en un solo punto.

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Esto ocurre cuando e l discriminante es igual a cero y la solución de la ecuación cuadrática es:

En este caso decimos que la raíz es una raíz doble. La función cuadrática se factoriza as í:

Algunas parábolas no tocan ni cortan al e je de las x . En este caso, e l discriminante es menor que

cero y la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Cuando e l coef iciente a es un número posi tivo, la parábola se abre hacia arriba y si a es un número

negativo se abre hacia abajo. Aquí podemos ver más e jemplos de parábolas con dos raíces reales, con una sola raíz doble y sin raíces reales:

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Cada parábola tiene un máximo o un mínimo (tendrá un máximo si e l coef iciente a es un número

negati vo y tendrá un mínimo si ese coef iciente es posi tivo). Este punto se l lama vértice de la parábola. La recta vertical que pasa por e l vértice es e l e je de simetría de la parábola. La ecuación

del e je de simetría es:

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El vértice de la parábola tiene coordenadas:

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Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así, ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se

dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,y(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Parábola del puente, una función cuadrática.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html

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Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) Punto de corte con el eje de ordenadas Eje de simetría

Vértice Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus

ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la

expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

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Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Veamos: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de

abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno. Eje de simetría o simetría Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por:

Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

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Vértice Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección)

del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo

o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante) Actividad Nº 1

LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

DETALLADA Y MAS ESPECIFICA ES 1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área

del rectángulo en función del lado x del cuadrado.

2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente

dibujo:

. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno. Llama x a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el área A del camino?

Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla. Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A). Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor de x es A = 100?

Actividad resuelta

3. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:

euros descuento 0 1 2 x

Precio 30 30-1 30-2 30-x

Nº

espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x

Ingresos 30.500

(30-1)·(500+100.1)

(30-2)·(500+100.2) (30-x)·(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son

Siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

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Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000

Que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3

f(x) = x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

Esta curva simétrica se llama parábola. Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

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Actividades resueltas Nº 2 4.Dada la parábola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a. Del punto A(x, y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán

la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25). b. Del punto B(x, y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de

B. c. El punto C(x, y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3). d. D = (x, 5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -

0'45 y x = 4’45. Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX. Sus coordenadas serán de la forma (x, 0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es

decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su se gunda coordenada

y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1). g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x, y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8, es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2). h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x, 7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como

pertenece a la parábola, cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I ´, es decir, I = (0'63,7).

4.- Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola y = x2 - x + 1.

a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A (0, y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b. B ha de ser de la forma (x, 1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

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c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es

decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas

del vértice serán V = (0'5,0'75). d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto, y = 22-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata. Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax2 + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando: a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es

decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces y f (2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Actividad Nº 3 4. Dada la parábola y =- x2 + 2 x + 3, determina la coordenadas de los puntos indicados.

Cortes con los ejes Observa las parábolas:

a. y = - x2 + 2x + 3

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Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0). El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3). b. y = x2 - 4x + 4

Puntos de corte con el eje X: Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

Punto de corte con el eje Y: (0,4). c. y = x2 - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo

tanto, no tiene cortes con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0,3) Actividades Nº4

Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes: a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12 d. y = 3(x - 2) (x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)

Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0). Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos ( -2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

5. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

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Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Un resultado importante

La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

Por ejemplo: La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.

Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

Actividad Nº 5

6. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x + 4 .

Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0) La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2, desplazándola 3 unidades hacia arriba. El vértice se halla en V (0,3) .

La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 unidades hacia abajo. El nuevo vértice es V (0,-4).

Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).

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Parábolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)

La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la

simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)

Actividades Nº 6 12.-Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:

Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.

Actividad resuelta N.º8 13.-Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A ( -4,-5), B (-2,3) y C (3,-12). Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir, -5 = a (-4)2 + b (-4) + c = 16a - 4b + c.

De la misma manera, B (-2,3) ha de cumplir: 3 = a (-2)2 + b (-2) + c = 4a - 2b + c. Y C (3,-12): -12 = a (3)2 + b (3) + c = 9a + 3b + c.

Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Para resolverlo, puedes utilizar este método general: Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.

Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1, b = -2. Sustituyendo estos valores en

cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos c = 3. La parábola buscada es y = -x2 - 2x + 3. Represéntala gráficamente.

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Actividades Nº 9 *_Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).

P (-4,-5), Q (0,3) y R (1,0). Representación gráfica de una parábola Actividades resueltas Nº 10

*_ Dibuja la gráfica de y = x2 - 2x - 8

Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V (1,-9).

Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x2 - 2x - 8.

Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).

*_Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.

Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V (-0'5,0).

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:

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Dibuja la gráfica de Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

La 1ª coordenada del vértice es

La segunda coordenada será: .

El vértice es, pues, V(2,-1) Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:

Resumiendo: Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces:

Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de x2 .

Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.

Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.

Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .

Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0 y pueden ser dos, uno o ninguno.

La 1ª coordenada del vértice V (p,q) es p = -b/2a.

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Actividades Nº 11 9.-Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas: Resolución del caso 1 :

a1 < 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo. La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b1/2a1 < 0; luego -b1 > 0, o lo que es lo mismo, b1 < 0. El único corte con el eje Y es el punto (0, c1). Observando la gráfica c1 < 0. Estudia los otros casos.

Dibuja una parábola y = ax2 + bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y c:

a b c

1 > 0 > 0 > 0

2 > 0 > 0 < 0

3 > 0 < 0 > 0

4 > 0 < 0 < 0

5 < 0 > 0 > 0

6 < 0 > 0 < 0

7 < 0 < 0 > 0

8 < 0 < 0 < 0

Optimización Actividad resuelta Nº 12

9.-El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio. Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son

G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x2 + 2500x + 15000,siendo x el nº de bajadas de 1 € en el precio de la entrada. Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.

La primera coordenada del vértice es: . El número real de descuentos de 1 € que garanticen un máximo de ganancias se obtienen para:

x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600 € ) x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600 €) Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de 30625 €.

Actividades Nº 13 7. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué

área máxima puede cercar de esta manera?.

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8. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil. Intersección de recta y parábola

Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas. Actividades resueltas Nº 14

16.-Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2.

Si x1 = 1, entonces y1 = 1. Si x2 = -2, entonces y2 = 4.

Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y ( -2,4), respectivamente.

Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes. 16.-Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .

El sistema tiene ahora una solución (3,-9). Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.

9. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5.

El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.

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En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:

Según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna. Actividad resuelta Nº 15

Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema , que tiene dos soluciones:

x1 = 6/4 = 1'5 (y1 = 3) y x2 = -1, que no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3). Actividad Nº 16

10. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos. a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabi endo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso? Área bajo de una curva

Podemos estimar el área encerrada por una curva. Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola y = 4x - x2 con x tomando valores desde 0 hasta 4.

A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos, cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva. Sólo necesitas recordar :

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Área del triángulo = ; Área del trapecio =

En nuestro caso, , , y , cuya suma total proporciona un área aproximada

de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área total)

Actividad resuelta Nº 17

17.-El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se corresponde con la

curva con x tomando valores desde -20 hasta 20. Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:

que nos proporciona la gráfica adjunta.

La suma de estas áreas es de 690 m 2.

El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).

Actividades Nº 18

11. Dibuja la gráfica de para valores de x desde 0 hasta 5.

12. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para construir esta pieza.

20.-Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por la ecuación

con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.

Función exponencial

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las

poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

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Definición de función exponencial

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica , por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

Propiedades de las funciones exponenciales Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a0 = 1.

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a1 = a.

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado. f (x + x?) = ax+x? = ax ax? = f (x) f (x?).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo divid ida por la función del sustraendo: f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

La función ex Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e x. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)n Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada

Ecuaciones exponenciales Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación

exponencial sería ax = b. Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos: Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos

miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay. En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

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Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

22x - 3 2x - 4 = 0 t2 - 3t - 4 = 0

Luego se ?deshace? el cambio de variable. Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según

convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable. La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x),

donde es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la

forma siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales,

todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Gráfica de Funciones exponenciales

Definición

Tipo Función real

Dominio

Codominio

Imagen

Propiedades Biyectiva Convexa Estrictamente creciente Trascendente

Cálculo infinitesimal

Derivada

Función primitiva

Función inversa

Límites

Funciones relacionadas Logaritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_real

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e

http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversa

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Exponentials.svg

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http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Funciones_matem%C3%A1ticas

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http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_convexa

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_mon%C3%B3tona

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendente

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversa

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

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La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

Propiedades

La función exponencial n (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que

tengan una base distinta a e)

Ejemplos de funciones exponenciales

1- La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f:ℜ → R f(-3) = 2‾³ = 1/2³ = 1/8 f(-1/2) = 2-1/2 = 1/21/2 = 1/√2

f(1) = 2¹ = 2

2. la función y = 1/2x es una función exponencial de base 1/2. Alguno de los valores que toma esta función, f: ℜ → ℜ , son:

f(-4) = 2-4 = 1/24 = 1/16

f(0) = (1/2)° = 1 f(2) = (1/2)² = 1/4

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda

a decidir, en cada caso, qué camino tomar. Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades: 1- ax = ay ⇔ x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base. 2- ax.ay = ax + y 3- ax/ay = ax - y

4- (ax) y = ax.y El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones. Actividad Nº 19

Ejercicio: resolución de ecuaciones exponenciales

1) Resolver = 1/8 Resolución:

- Expresando 1/8 como potencia de 2: = 1/2³

= 2‾³⇒ 1 - x² = -3 Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado. 1 - x² = -3 → x² = 4 → x = ± 2

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_exponencial

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Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320 Resolución:

En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución. Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse: 4.4x + 2³·2x = 320 → 4.4x + 8·2x = 320 Expresando 4x como potencia de dos,

4.2².x + 8.2x = 320 Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 2².x = y²) y se obtiene: 4 y² + 8 y = 320

Basta ahora con resolver esta ecuación: y² + 2 y - 80 = 0

Se deshace ahora el cambio y = 2x

y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es siempre positivo) y2 = 8 = 2x → x = 3 La solución es, por tanto, x = 3

Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 Resolución: Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como

5x + 5² ·5x + 54 ·5x = 651 Sacando factor común 5x: 5x (1 + 5² + 54) = 651

5x·651 = 651 → 5x = 1 → x = 0 Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para su resolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas.

Actividad Nº 20

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales

1) Resolver el sistema: 2x - 4².y = 0

x - y = 15

Resolución:

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 15 + y Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:

215+y - 4².y = 0 (Pero 4 = 2²)

215+y - (2²)².y = 0

215+y - 24y = 0 ⇒ 215+y = 24y ⇒ 15 + y = 4 y ⇒ 3 y = 15 ⇒ y = 5

Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y: x = 15 + 5 = 20

Por tanto, y = 5 x = 20

2) Resolver el sistema: 22.x + 5.y = 2

2-.x + y = 8

Resolución:

Se ponen todos los factores como potencia de base 2:

22.x + 5.y = 2¹ ⇒ 2.x + 5.y = 1

2-x + y = 2³ ⇒ -x + y = 3

Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquier método resulta,

x = -2; y = 1

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3) Resolver el sistema: 2x + 2y = 24

2x.2y = 128

Resolución:

2x + 2y = 24 Haciendo el cambio

2x = a resulta el

sistema 2x.2y = 128 2y = b

a + b = 24 Resolviendo este sistema se obtiene a = 8; b = 16

a.b = 128

Para obtener los valores de x e y hay que deshacer el cambio:

a = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 2³ ⇒ x = 3

b = 16 ⇒ 2y = 16 ⇒ 2y = 24 ⇒ y = 4

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

INTRODUCCIÓN

La función logarítmica es muy importante en matemáticas. Constituye un poderoso instrumento en la práctica del

cálculo numérico. Por ser la recíproca de la exponencial, esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables .Así aparece en la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc.

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para estetipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con

base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx. Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 =25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 =

25. (Observa que un logaritmo es un exponente.) 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y

el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. Actividad Nº 21

Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

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Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

Ejemplo para discusión: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

Solución de ecuaciones logarítmicas simples Ejemplos para discusión: 1) Halla el valor de x si log3 9 = x. 2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7. Ejercicio de práctica: 1) Halla el valor de y si log3 27 = y.

2) Halla el valor de b si logb 100 = 2. 3) Halla el valor de x si log2 x = -3. Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N

son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces: 1) logb 1 = 0 2) logb b = 1

3) logb bx = x 4) logb MN = logb M + logb N

6) logb Mp = p logb M 7) logb M = logb N si y sólo si M = N Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para simplificar: 1) log5 1 =

2) log10 10 = 3) log10 0.01 =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar: 1) log10 1 =

2) log5 25 = 3) log10 10 -5 = Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1) logb 5x = 2) logb x9 =

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Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) log3 (x) + log 3 (6) = 2) log3 (24) - log3 (4) = 3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) log10 (5) + log10 (3) = 2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =

3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) = Logaritmos comunes y naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de

base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notación:

Logaritmo común: log x = log10 x Logaritmo natural: ln x = loge x

Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar: 1) log 2 =

2) ln .0034 = 3) log (-3.24) = Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 = 2) ln 28.693 = 3) log(-0.438) =

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:

Ejemplos: Usa las propiedades para expandir:

Simplifica como un solo logaritmo:

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación

Log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

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Actividad Nº 22

Ejemplo para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones para x:

Ejercicio de práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones:

Gráficas de funciones logarítmicas Las funciones y

= bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

y = 2x y = log2 x

Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y =

log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales. Función logarítmica Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas,

las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa

en general tenemos: Definición de función logarítmica Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta

función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que: loga x = b ab = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

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Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+ ).

Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base. La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ecuaciones logarítmicas Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama

logarítmica.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica

en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: loga f (x) = loga g (x)

Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

loga f (x) = m de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos

distintos: Un sistema formado por una ecuación polinomica y una logarítmica. Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.

Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial. En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el

argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

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Ejemplos

x

1/8

-3

1/4

-2

1/2

-1

1 0

2 1

4 2

8 3

x

1/

8 3

1/

4 2

1/

2 1

1 0

2 −1

4 −2

8 −3

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Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:

Recorrido: Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la

gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Definición de logaritmo

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Ejemplos actividad Nº 23

1.

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2.

3.

4.

5.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a dé a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base:

Logaritmos decimales

Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos

Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

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Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. 8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5 d = −5.

Término general de una progresión aritmética

1. Si conocemos el 1er término. an = a1 + (n - 1) · d 8, 3, -2, -7, -12,..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak + (n - k) · d

a4= -7 y d= -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética

que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7, -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

8, 3, -2, -7, -12, ... 3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

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Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, -12, ...

AFIANZANDO EL TEMA TENEMOS. Progresiones aritméticas

Sucesiones. Progresiones aritméticas, calcular el término general de una progresión aritmética, interpolación de términos y suma de n términos consecutivos.

Concepto de sucesión

Progresiones aritméticas. Término general

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actividad Nº 24

Ejercicios

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Interpolación de términos La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios

aritméticos. Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética. Datos: a1 = 2 a5 = 14 n = 5 progresión 2, a , b, c, 14

Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética. a 5 = a1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d » 14 = 2 + 4d » d = 3 Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14 Suma de n términos consecutivos

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Actividad Nº25

Ejercicios

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y e l sexto es 16. Escribi r la progresión.

a 4 = 10; a 6 = 16

a n = a k + (n - k) · d 16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3 a1= a4 - 3d; a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ... Interpolar tres medios ari tméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12.

El primer término de una progresión aritmética es -1, y e l decimoquinto es 27. Hal lar la di ferencia y la suma de los quince primeros término s.

a 1 = − 1; a 15 = 27;

a n = a 1 + (n - 1) · d 27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2 S= ( -1 + 27) 15/2 = 195

Hal lar los ángulos de un cuadri látero convexo, sabiendo que están en progresión

aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadri látero es 360º. 360= ( a1 + a4) · 4/2 a4= a1 + 3 · 25

360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2 a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30' a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm . Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d (8 + 2d) 2 = (8 + d) 2 + 64

d = 8 8, 16, 24. Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus

cuadrados es 311/2.

Término central x

1º x - d

3º x + d.

x − d + x + x + d = 27 x = 9 (9 − d) 2 + 81 + (9 + d) 2 = 511 / 2 d = ± 5 / 2

13 / 2, 9, 23/2 23 / 2, 9, 13/2

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Una progresión geométrica : es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada

razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2. Término general de una progresión geométrica

1. Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn-1 3, 6, 12, 24, 48,.. an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n

2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak · rn-k a4= 24, k=4 y r=2. an = a4 · rn-4

an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión

geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24, 48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

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Producto de dos términos equidistantes Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12 144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

AFIANZANDO EL TEMA Y MAS GENERAL TENEMOS: Progresiones geométricas. Calcular el término general de una progresión geométrica, valor del primer término, razón, suma de términos

Término general de una progresión geométrica

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Actividad Nº 26

Ejercicios de progresiones geométricas

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Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

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Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente

Actividad Nº 27

Relaciona los primeros términos de cada progresión geométrica con su término general

1 7,-56, 448,-3584,28672,...

2 5,-30, 180,-1080,6480,...

3 -5,-10,-20,-40,-80,...

Nº .....:: ejercicios ::.....

1.-

2.-

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CONCLUSIÓN

"Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como para penetrar en el bello y maravilloso mundo del

saber " Albert Einstein

El Número

guia # 4 para el grado noveno (9-01 , 9-02 y 9-03...

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