guía 2 derivadas luis orellana

Guía N°2 de trabajo en Aula

Tema: Derivadas y sus aplicaciones.Docente:

Luis Orellana

Unidad de Aprendizaje N° 2: Derivadas y sus aplicaciones.

Aprendizajes Esperados

1.- Establece problemas de derivada y contextualización de situaciones cotidianas de razón de cambio

instantánea, a través soluciones de ejercicios y problemas.

2.- Determina las técnicas básicas del cálculo diferencial para modelar y resolver problemas de

optimización, geometría, física y de ingeniería

Objetivo: Determina derivada de funciones explicitas e implícitas, algebraicas y

trascendente, aplicando propiedades de derivadas. Asocia derivadas de orden superior, con derivaciones sucesivas. Clasifica el comportamiento de una función y su representación gráfica

mediante derivadas. Resuelve problemas de optimización y aproximaciones, con derivadas en

contextos relacionados con las ciencias.

Material específico Calculadora; Software Graficador

ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN

Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II

Código: EEMA01

Introducción:

La Derivada de una función es uno de los conceptos fundamentales del Cálculo diferencial. Es de vital

importancia dominar la derivación para abordar posteriormente el análisis de curvas en el Cálculo Integral.

Se ha estudiado en Matemática I la función lineal, y con ella el concepto de pendiente y su equivalencia con

la tangente del ángulo de inclinación de dicha recta. Ahora estudiaremos el caculo de la pendiente en

diferentes puntos de una curva.

Concepto de Derivada.

Consideremos la función y un punto de la curva (como se muestra en la figura 1)

Si tomamos otro punto B de coordenadas cuya coordenada en eje es muy próximo a

(con muy pequeño). Si movemos el punto B sin salirse de la curva y acercándose al punto A, se

observa que la secante S tiende a convertirse en la tangente T(ver figura 2)

2

http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19



Código: EEMA01

Por otro lado, podemos ver que el valor de se hace cada vez más pequeño y tiende a cero cuando la recta

secante se convierte en la recta tangente.

Si en la figura 1 determinamos la pendiente de la recta secante, tenemos:

; luego

; además entonces y como

tiende a cero aplicamos límite.

. Si este límite existe, su valor corresponde a la derivada de en

y lo anotaremos por: entonces podemos dar la siguiente

definición:

3

Figura 2



Código: EEMA01

Definición: La derivada de una función en un punto , denotada por es.

=

Siempre que el límite exista

Derivadas por definición ejercicios resueltos.

1. Hallar la derivada de la función , aplicando definición.

Nota: en los siguientes ejemplos consideraremos



4



Código: EEMA01

Ejercicios propuestos.

Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando definición de derivadas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Solución Ejercicios Propuestos.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

EN RESMEN.

5



Código: EEMA01

a) La derivada de la función en el punto , corresponde al valor de la pendiente de la recta

tangente a la curva en dicho punto.

b) Las siguientes interpretaciones se dan al cociente de la definición de derivada

b.1) La pendiente de la gráfica de en

b.2) La pendiente de la tangente a la curva en

b.3) La tasa de cambio de con respecto a en

b.4) La derivada en un punto

Nota N°1

Si la derivada de en existe, diremos que es Derivable o Diferenciable .

Recuerda la posición de las rectas y el valor de sus pendientes.

Otra forma de hallar la derivada de una función es aplicando las reglas de derivación.

REGLAS DE DERIVACIÓN.

Sean ; , se cumplen las siguientes propiedades:

6



Código: EEMA01

7



Código: EEMA01

Derivación de Funciones Compuestas.

La derivación de las funciones compuestas está regida por el siguiente teorema:

Teorema ( REGLA DE LA CADENA)

y = g (u) , u = f(x), tales que

u = f(x) es derivable respecto a x en Df , y tiene recorrido Rf.

y = g (u) es derivable respecto a u en Rf.

Entonces: y = g ( f(x)) es derivable respecto a x en Df y se tiene

Observación 1: La regla de la cadena se generaliza a funciones compuestas de más de dos funciones,

cuyos dominios y recorridos estén relacionados como lo exigió el teorema. De este modo, si

y = h (u), u = g (v), v = f (x)

y existen

Entonces y = h (g(f(x))) es derivable respecto a x en Df

y se tiene

..... el resultado se expresa en función de la variable x.

Estas reglas nos permitirán operar el álgebra de derivadas.

Ejercicios resueltos.

Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando propiedades

1.

8



Código: EEMA01

Solución:

2.

Solución:

3. :

Solución:

4.

Solución.

5.

Solución.

9




Código: EEMA01

6.

Solución.

7.

Solución.

8.

Solución.


10



Código: EEMA01

Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando propiedades.

1. a) b) c)

2. a) b)

3. a) b)

4. a) b)

5. a) b)

6. a) b)

7. a) b)

8. a) b)

9. a) b) c)

10. a) b) c)

11. a) b)

12. a) b)

13. a)

14. a) b)

11




Código: EEMA01

Respuestas a lo Ejercicios Propuestos.

1. a) b) c)

2. a) b)

3. a) b)

4. a) b)

5. a) b)

6. a) b)

7. a) b)

8. a) b)

9. a) b) c)

10. a) b) c)

11. a) b)

12




Código: EEMA01

12. a) b)

13. a)

14. a) b)

Derivadas de Orden Superior

Dada una función, una vez que se calcula la primera derivada, es posible a su vez calcular la derivada de

esta derivada y así sucesivamente. Estas derivadas se llaman de orden superior.

Notación:

13



Código: EEMA01

Ejercicios Resueltos

1. Hallar

Solución.

2. Hallar si

Solución.

14




Código: EEMA01

3. Hallar si

Solución.

Ejercicios Propuestos

Determine las derivadas que se indican:

1.

2.

3.

4.

5.

15




Código: EEMA01

6.

7.

8.

Respuesta a Ejercicios Propuestos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Derivación Implícita

Hasta el momento las funciones se han presentado en forma explícita, es decir, , expresando una

variable en términos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables están

Implícitas, es decir, no se presenta a y explícitamente en términos de x (no es posible o muy complejo el

despejar la variable y. Por ejemplo:

16



Código: EEMA01

Estrategia para la Derivación Implícitas

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x dejando expresada la derivada de y

como

2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y

pasar todos los demás a la derecha.

3. Sacar factor común al lado izquierdo.

4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante de

Ejercicios Resueltos.

1. Determinar en la ecuación

Solución.

17




Código: EEMA01


Solución.


Solución.

18



Código: EEMA01


Derivar implícitamente las siguientes expresiones.

19



Código: EEMA01

Aplicaciones de las Derivadas

1. Razón de Cambio

La derivada como razón de cambio instantánea es aplicable a una gran variedad de problemas en diferentes áreas.

Sean x e y dos variables relacionadas de la forma . La razón es la relación de cambio instantánea o tasa de cambio de y con respecto a x.

Esta tasa de cambio de una función es matemáticamente equivalente a la derivada de la función


1. La corriente (I), en un circuito eléctrico está dada por , donde es la resistencia. Calcular la tasa de cambio o variación de con respecto a cuándo la resistencia es de 20.

Solución.

20



Código: EEMA01

Necesitamos determinar , derivando la ecuación de la corriente, tenemos

Como se pide la tasa de cambio cuando , reemplazando tenemos

Esto se interpreta “la corriente varía con respecto a la resistencia en cuando el signo menos indica que la corriente disminuye con respecto a la resistencia.

2. Una escalera de 2 metros de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de la escalera se

desliza horizontalmente a razón de ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 1 metro del suelo?

Como x aumenta a razón

rapidez con que varía la parte superior de la escalera

Buscamos una relación entre las variables , aplicando Pitágoras tenemos

derivando se tiene Considerando el caso especial de , el valor correspondiente a x es

, luego cuando , sustituyendo en

se tiene

La parte superior de la escalera lleva una rapidez de cuando está a un metro del suelo-


21



Código: EEMA01

1. La resistencia eléctrica de un alambre de cobre de largo fijo L es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro D. ¿Cuál es la tasa de cambio o variación de con respecto a D?

2. Sean dos resistencias 1 2R y R conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R

cumple: 1 2

1 1 1R R R

si 1 2R y R aumentan a razón de 0 01 0 02 seg, y ,

respectivamente, determine la razón de cambio de R cuando

3. Uno de los lados de un rectángulo mide 12 cm., mientras que el otro lado es variable y aumenta a la velocidad constante de .¿A qué velocidad crecerán la diagonal (c) del rectángulo y su área en el instante en que el lado variable mide 40 cm.

Solución a Ejercicios Propuestos

1. 2. 3. y

2. Rectas tangentes y normales .

Dada una función buscaremos dos rectas, la recta tangente y la recta normal (perpendicular a la

recta tangente) en un punto de coordenadas , como se muestra en la figura 3.

22




Código: EEMA01

Recordar

Para encontrar las ecuaciones de estas rectas utilizaremos la ecuación de la recta punto pendiente

donde son las coordenadas del punto A en la figura 3. Además recuerda que dos

rectas son perpendiculares si se cumple que el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir

Por otro lado sabemos que corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente en el punto

Ejercicios resueltos

1. Hallar las ecuaciones de la rectas tangentes y normal a la curva que tiene por ecuación

en el punto .

Solución.

23

Figura 3



Código: EEMA01

a) Recta Tangente

Con y el punto reemplazamos en

b) Recta Normal.

Ahora buscamos , utilizando


Como comprobación utiliza un graficador (software) y representa ; ;

como lo muestra la figura 4

24



Código: EEMA01

2. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva que tiene por ecuación

en el punto .

Solución.

c) Recta Tangente


d) Recta Normal.

25



Código: EEMA01

Ahora buscamos , utilizando


Como comprobación utiliza un graficador (software) y representa ; ;

26




Código: EEMA01

Ejercicios Propuestos.

Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva en los puntos que se indican

1.

2.

3.

4.

Respuestas Ejercicios Propuestos.

Recta Tangente recta Normal

1

2

3

4

3-. Teorema de Rolle

f(x) continua y derivable en , f(x) = f(b) = 0.

Entonces : existe donde

Gráficamente :

27a x 0

x x 0 b



Código: EEMA01

Si una curva continua parte de a y llega a b sobre el eje OX, existen x0 donde la curva es paralela a OX.

4-. Teorema del Valor Medio para las Derivadas

f(x) continua y derivable en .

Entonces : existe donde

Gráficamente :

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si esta es creciente o decreciente en dicho

punto, en efecto, supongamos que es continua en y derivable en , entonces:

a)

b)

Para estudiar el comportamiento de una curva que representa una función en ciertos intervalos, es necesario

encontrar sus máximos y mínimos.

Existen valores máximos absolutos y máximos relativos (locales), así también mínimos absolutos y

mínimos relativos (locales), observa la figura 6

28

Figura 3.7.2

x

P

a x0 b



Código: EEMA01

Un máximo absoluto también es un máximo local. Al ser el mayor valor global, también

es el mayor valor en sus inmediaciones. Por ello, una lista de todos los máximos locales

de manera automática incluirá al máximo absoluto, si es que existe. De forma análoga,

una lista de todos los mínimos locales incluirá al mínimo absoluto, si es que existe.

Estrategia: Criterio de la segunda derivada

Para determinar los puntos máximos y mínimos, aplicaremos el siguiente procedimiento.

Consideremos la función real y continua.

a) Determinar

b) Hacemos , para determinar valores o puntos críticos , candidatos a posibles

máximos y mínimos

c) Determinar

d) Reemplazamos en los valores críticos para analizar los signos.

Si

Si

29

Figura 6



Código: EEMA01

Si

e) Reemplazamos los valores críticos en (función inicial) para encontrar la coordenada y

de cada punto


2. Hallar todos los máximos, mínimos y puntos de inflexión (si existen) de la función

y graficar.

Solución-

a)

b) Buscamos puntos críticos, hacemos , y despejamos x

c)

d) Reemplazamos los puntos críticos en

Veamos si existe punto de inflexión ( )

30



Código: EEMA01

e) Determinemos ahora la coordenada y de cada punto.

Para

Gráfica.

Estrategia: Criterio de la primera derivada

31



Código: EEMA01

Suponga que es un punto crítico de una función continua , y que es derivable en todo punto

de algún intervalo que contiene a , excepto posiblemente en mismo. Al moverse de izquierda a

derecha en este intervalo,

1. si cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo local en ;

2. si cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo local en ;

3. si no cambia de signo en (esto es, es positiva en ambos lados de o es

negativa en ambos lados de ), entonces no tiene un extremo local en .


3. Hallar todos los máximos, mínimos y puntos de inflexión (si existen) de la función

y graficar.

Solución:

a) Determinamos la primera derivada

b) Buscamos puntos críticos

32



Código: EEMA01

c) Ubicamos los puntos críticos en la siguiente tabla, tomando un valor arbitrario al interior de cada

intervalo, analizamos los signos

-3 -1 4

Creciente Decreciente Creciente

Podemos observar que en cambia de positivo a negativo, luego tenemos un máximo local

en , en cambio en , cambia de negativo a positivo, luego tenemos un mínimo local en

33



Código: EEMA01


Para las siguientes funciones determina:

a) Los máximos, mínimos y puntos de inflexión (si existen).

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (si existen).

1.

2.

3.

4.

5.

34




Código: EEMA01

Respuesta a Ejercicios Propuestos

Ejerci

cio

Máximo Mínimo Pto. Inflexión Creciente Decreciente

1

2

3

4

5;

Optimización

Una de las aplicaciones más frecuentes del Cálculo consiste en la determinación de valores máximos y

mínimos. En variadas ocasiones halamos de máximo beneficio, voltaje máximo, mínimo costo, máximo

volumen. Para enfrentar este tipo de problemas se propone la siguiente estrategia:

Resolución de problemas aplicados a la optimización

35



Código: EEMA01

1. Lea el problema. Lea el problema hasta que lo comprenda. ¿Qué datos se dan?

¿Cuál es la cantidad desconocida que debe optimizarse?

2. Elabore un dibujo. Anote el nombre de cada parte que pueda ser importante para

el problema.

3. Introduzca variables. Elabore una lista de las relaciones en el dibujo y en el problema

como una ecuación o una expresión algebraicas; luego, identifique la variable

desconocida.

4. Escriba una ecuación para la cantidad desconocida. Si puede, exprese la incógnita como

una función de una sola variable o con dos ecuaciones con dos incógnitas. Esto

tal vez requiera mucha manipulación algebraica.

5. Pruebe los puntos críticos y los extremos del intervalo en el dominio de la incógnita. Utilice

lo que conoce acerca de la forma de la gráfica de la función. Con base en la primera

y la segunda derivadas identifique y clasifique los puntos críticos de la función.

Ejercicios Resueltos

1. Se desea construir un depósito metálico sin tapa con base cuadrada y capacidad para 4000 litros de modo

que su fabricación sea lo más económica posible.

Solución.

Al leer el problema obtenemos la siguiente información:

Construir un depósito metálico

Su base es un cuadrado

Su capacidad (volumen) 4000 litros

Gastar lo menos posible lo que implica la cantidad de material (superficie del depósito) debe ser la

cantidad justa.

Elaboramos un dibujo de la caja.

36



Código: EEMA01

Relacionamos las variables.

Volumen del depósito=Área de la base por la altura

Superficie del depósito=Superficie lateral más Superficie basal

(las caras laterales son rectángulos de ancho y alto )

Nuestra ecuación a optimizar es la superficie, ecuación que tiene dos variables y

debemos dejar solo una, utilizando la ecuación del volumen tenemos.

reemplazando en la ecuación de superficie

que es nuestra ecuación a optimizar.

Como se necesita el menor costo su superficie debe ser mínima. Para minimizar , buscamos sus valores

críticos, igualando a cero la primera derivada de

Tenemos un único valor crítico el que comprobaremos que es un mínimo mediante la segunda derivada.

37



Código: EEMA01

Determinemos ahora el valor de , reemplazando en la ecuación del volumen

Luego las dimensiones del depósito son

2. Se desea cercar un terreno en forma rectangular o cuadrada de manera que su área sea máxima. Para ello

se cuenta con 60 m- de malla metálica. Determinar las dimensiones del terreno.

Solución.

Dibujamos la situación suponiendo un terreno rectangular.

Como tenemos 60 m. de malla esta medida será el perímetro del terreno

Se desea encerrar la mayor área posible, luego debemos maximizar el área.

reemplazando tenemos.

Buscamos el o los valores críticos.

Comprobemos si es máximo, sacando la segunda derivada

Determinamos el valor de y, reemplazando en

Luego el terreno debe ser cuadrado de 15 m. por lado.

Ejercicios Propuestos.

38



Código: EEMA01

1. Con una cartulina de 8x5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las

dimensiones de dicha caja.

2. Un rectángulo está acotado por los ejes y por la gráfica de ¿Qué longitud debe tener

rectángulo para que su área sea máxima.

3. Qué puntos de la gráfica están más cerca del punto ? Recuerda, distancia entre dos

puntos

4. Un rectángulo está limitado por el eje x y por el semicírculo ¿Para qué longitud y anchura

del rectángulo se hace mínima su área.

5. Dos postes de 28 y 12 metros de altura distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos mediante un cable

que esté atado en algún punto del suelo entre los postes ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin

de utilizar la menor cantidad de cable posible?

Respuesta a los Ejercicios Propuestos

1. La caja tiene por dimensiones 3x1x6 metros.

2. Las dimensiones del rectángulo son 1.5 de ancho y 3 de largo

3. Los puntos más cercanos son

4. El ancho y el largo deben ser iguales a

39




Código: EEMA01

5. A 21 metros del poste más alto y a 9 metros del más bajo

4-. Regla de L’Hôpital

Suponga que f y g son derivables y que cerca de a

(excepto posiblemente en a). Suponga que:

(En otras palabras, tenemos una forma indeterminada del tipo o .)

Entonces

Si el límite del segundo miembro existe (o es o es ).

Ejemplo 1. Forma indeterminada

Evalúe

Solución

40




Código: EEMA01


Evalúe

Solución

Ejemplo 3. Aplicaciones sucesivas de la regla de L’Hôpital

Evalúe

Solución

Otras formas indeterminadas

Hay cinco formas indeterminadas adicionales : , , , y

41



Código: EEMA01

Por medio de una combinación de álgebra es posible convertir una de estas nuevas formas de límites ya sea

a o a .


Evalúe


Evalúe

, ahora tenemos la forma . Entonces,

42



Código: EEMA01

Las formas , y

Cada uno de estos tres casos se puede tratar tomando el logaritmo natural:

O bien, al escribir la función la función como una exponencial:


Evalúe


43




Código: EEMA01

1.

lim

x→ 12

6 x2−5 x+1

x2−14 ( 1 )

2.

limx→1

x3−3 x+2x4−4 x+3

( 12 )

3.

limx→3

x3+x2−17 x+15x2+2x−15 (2 )

4.

limx→−2

2 x3+9 x2+7 x−62 x2+3 x−2 (1 )

5.

limx→0 ( 1

x+4−1

4 )⋅1x (− 1

16 )

6.

limx→1

11−x

− 31−x3

(−1 )

7.

limx→0

x√ x+1−1 (2 )

8.

limx→3

2−√ x+1x−3 (−

14 )

9.

limx→1

√1−x+x2−1x2−1 ( 1

4 )

10.

limx→0

√1+ x−√1−xx

11.

limx→0

1−√1−x2

4−√16−x ( 0 )

12.

limx→1

x−1√x2+3−2 ( 2 )

44



Código: EEMA01

13.

limx→0

x2

sen2 (3 x )

14.

limx→0

sen ( 2 x )3 x

15.

limx→0

( x−x3 )2

sen (8 x )⋅sen (5 x )

16.

limx→0

1−cos (4 x )x

17.

limx→2

sen (πx )( x−2 ) cos ( π x )

18.limx→π

1−sen ( x2 )

π−x

19.

lima→∞ ( a+3

a−1 )( a+3 )

20.

limt→∞ ( 2 t+3

2 t +1 )t+1

21.

limx→0

x√1−2 x

22.

limx→0

abx−1x

5-. DIFERENCIALES

La diferencial de la variable independiente x es el número diferente de cero y se denota por dx; es

decir,

Si f es una función diferenciable en x, entonces la diferencial de la variable dependiente y se denota por

dy; es decir,

45



Código: EEMA01

Ejemplo

a) Encuentre y dy para b) Compare los valores de y dy para

Solucióna)

b)

La diferencia en las respuestas es


46



Código: EEMA01

1-. Sea

(a) Encuentre el diferencial dy.

(b) Evalúe

2-. Se encuentra que una arista de un cubo mide 30 cm con un posible error de medición de 0.1 cm. Use

diferenciales para estimar el máximo error posible, el error relativo y el porcentaje de error al calcular

(a) el volumen del cubo y (b) el área superficial del cubo.

3-. La circunferencia de una esfera se midió y fue de 84 cm con un posible error de 0.5 cm. (a) Use

diferenciales para estimar el máximo error en el área superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo?

(b) Use diferenciales para estimar el máximo error del volumen calculado. ¿Cuál es el error relativo?

4-. (a) Use diferenciales para hallar una fórmula para el volumen aproximado de una capa cilíndrica

delgada con altura h, radio interior r y grosor .

(b) ¿Cuál es el error que aparece al usar la fórmula del inciso (a)?

Respuesta a los Ejercicios Propuestos

Respuestas:

1-.

2-.

3-.

4-.

47





Código: EEMA01

Bibliografía

Cálculo Trascendentes Tempranas. James Stewart

Cuarta edición. THOMSON LEARNING

ISBN 970-686-127-0

Cálculo 1 de una variable. Ron Larson

Novena edición McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

ISBN 978-607-15-0273-5

48

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