guía 2 - Área de regiones triángulares

GEOMETRÍA

221

IntroducciónComo bien es sabido, el tamaño

que presenta el terreno de la casa quehabitamos, los terrenos de cultivo y engeneral las propiedades particularesy del estado, provocaron en nuestrosantepasados, el establecimiento deuna nueva magnitud denominadaárea, sin cuya definición hubiera sidoimposible reconocer una diferenciaentre la extensión de una superficie conrelación a otra. No bastaba entoncessaber la longitud de los lados deuna figura, pues en algunos casos eltamaño de estas coinciden, mas noasí las superficies que encerraban.Desde tiempos remotos, se sabe quefue a partir del rectángulo que se logróestablecer una forma de medida delárea en base al producto de sus lados.A partir de ella el área de un triánguloresultó ser la mitad del área de aquel.De este modo el área de un cuadrado,de un paralelogramo y en general de unpolígono de lados, podían ser medidosen base a los dos primeros.

Nociones Previas

La región es un conjunto de puntospertenecientes a una superficie planay limitado por una línea simple ycerrada.

Áreas de RegionesTriangulares

REGIÓN

Þ

Superficie limitada

Superficie curva

Región

Superficie plana

La región poligonal es el conjuntode puntos pertenecientes al interior deun polígono unido con los puntos delpolígono.

REGIÓN POLIGONAL

Región poligonal

El área es la medida de la extensiónde una superficie. La unidad deárea del sistema internacional es elmetro cuadrado con sus múltiplos ysubmúltiplos.

ÁREA

El metro cuadrado es el área de unaregión limitada por un cuadrado de unmetro de lado.

METRO CUADRADO

Figuras EquivalentesDos figuras geométricas son

equivalentes si teniendo formasdiferentes tienen el mismo tamaño.Para figuras planas, el tamaño se refiereal área. Así dos figuras planas sonequivalentes si tienen igual área.Para figuras espaciales el tamaño serefiere al volumen. Así dos figurasespaciales son equivalentes si tienenigual volumen.

Nota

En adelante, para referirnos auna región poligonal usaremos elnombre del polígono que la limita.Por ejemplo, en lugar de decir“área de la región triangular”,diremos área del triángulo.

1m

1m

1m1m

Metro cuadrado (m2)

< >Am2 Am2

Teorema del área de unrectángulo

El área de un rectángulo es igual alproducto de su base por su altura.

a

b

Si dividimos en “b” unidadeslineales a lo largo del rectángulo y en “a”unidades lineales a lo ancho, se formanaxb cuadrados de una unidad cuadradaque es el área del rectángulo.

Demostración:

Figuras equivalentes

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010

222

1) FÓRMULA BASE

Área de RegionesTriangulares

CAb

B

h

b.h2A=

CA

a

B

h

a.h2A=

b.h2A=

2) FÓRMULA DE HERÓN

a

c

b

Siendo: p= a+b+c2

Se tiene: A= p(p-a)(p-b)(p-c)

3) FORMA TRIGONOMÉTRICA

A= . sen aa.b2

a

b

a

4) ÁREA EN FUNCIÓN DELINRADIO

A = p . r

r

5) ÁREA EN FUNCIÓN DELCIRCUNRADIO

a

c

bs R

R: circunradio

abc4RS=

6) ÁREA EN FUNCIÓN DELEXRADIO

Ra: ExRadiop: Semiperímetro

A

Ra

C

B

a

SABC = (p-a)Ra

SABC = Ra.Rb.Rc.r

7) ÁREA EN FUNCIÓN DELINRADIO Y EXRADIO

A

RaB

r

C

Rc

Rb

Ra,Rb,Rc: Exradiosr: inradio

Casos EspecialesTRIÁNGULO EQUILÁTERO

LL

L

A=L2. 34

A=h2 33

h

EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a b

A= a.b2

h

c

A= c.h2

A= m.n

nm

CA

B

h

b

GEOMETRÍA

223

SABC =Ra.Rc

A

RaB

C

Rc

RbA

B C

r

SABC=Rb.r

Observación:

Ra.Rc=Rb.r

Relaciones entre Áreasde Triángulos

S1

A CD

B

S2

a b

=S

1S

2

ab

Área=ÁreaABM MBC

S

A CM

B

S

A=B=C=D=E=F

A

CB

D

EF

A=B=C=D

A CB

D

A

B

=AB

13

En 2 triángulos semejantes secumple:

~

t q

l

S2

q a

b

bc

a

S1q a

b

= = =S

1S

2

a2

l2

b2

q2

c2

t2

B

c

A

S1

aCa

E

D

F

dS2

f a

=S

1S

2

a . cd . f

Demostración:

Área de un triángulo en funcióndel semiperímetro.

c a

b

B

A C

SABC = p(p-a)(p-b)(p-c)

Sea: p=

Se sabe: SABC= ........................(1)

Pero: h= p(p-a)(p-b)(p-c)

En (1): SABC= p(p-a)(p-b)(p-c)

a+b+c2

b.h2

2b

Área de un triángulo en funcióndel inradio.

B

b CA

c a

r

SABC = p.r a+b+c2

(p= )

Demostración:

B

b CA

c ar r

rO

SABC = + +br2

ar2

cr2

SABC = = r.pa+b+c2

r( )

Si BM es mediana.

Algunas demostraciones


224

B

A CQ

P

L

53°/2

O

53°/2

Resolución:

Nivel I

1) En un triángulo la altura relativaa la base es cuatro veces el valorde dicha base. Si el área deltriángulo es de 32m2, halla lasuma de la base y de la altura.

a) 4 m b) 8 m c) 16 md) 20 m e) 24 m

x

A C

M

B

y LN

2xx

2l

l

l

P

Por bases iguales: SABP=SAPN=x

En la figura L, P y Q son puntosde tangencia. Calcula el áreadel triángulo QPC si BL=6 u yAB=AC.

B

53°

A CQ

P

L

Resolución:

SQPC= ..........................(1)(QC)(PA)2

Resolución:

I es incentro y G es baricentroSABP=p.r ...................................(1)

BIIS= = ÞAB+BC=2ACAB+BC

AC2kk

\AB+BC=242p=36 Þ p=18

En (1):SABP=18x4=72 u2

Rpta.: 72 u2

En el gráfico mostrado, halla elárea PQC si el área ABC=48 m2

y AM=MB.

C

Q

B M A

P

Resolución:

C

Q

B M A

P

a

a

a

a

Sx

BCP: PQ es mediana

Sx=

Þ Sx= =8 m2

Rpta.: 8 m2

486

SABC

6

2) Los lados de un triángulo ABCmiden AB=5m; BC=8m yAC=11m. Halla el área de dicharegión triangular.

a) 21m2 b)2 21m2 c)3 21m2

d) 4 21 m2 e) N.A.

En la figura, calcula:

si M,N y P son puntos medios,NL//AC y BM=MC.

xy

x

A C

M

B

y L

P

N

BIIS

= =BGGM

2kk

Propiedades: BG=2(GM)Pero: IG//AC Þ Por Tales:

También:

Por bases iguales:SABN=SBMN=2xEn ∆AMC: NL//AC

ÞML=LC=

Þ∆BNL: BM=2(ML)

= Þ = 1

Rpta.: =1

MC2

2xy

21

xy

xy

BO bisectriz y BL=6;

OL=OP=r=

\ r=3; AP=r=3BL=PB=6 Þ AB=6+3=9Þ AB=AC=9; QA=AP=3

En (1): SQPC= Þ SQPC=18 u2

Rpta.: SQPC=18 u2

(3+9)32

BL2

B

A S M C

G

2k

kI

En un triángulo ABC, el segmentoque une el incentro con el baricentroes paralelo al lado AC. Calcula elárea del triángulo si AC=12 u y elradio de la circunferencia inscritaen dicho triángulo mide 4 u.

GEOMETRÍA

225

10) Halla el área sombreada si el áreadel triángulo ABC es 42m2.

a) 28 m2 b) 35 m2 c) 36 m2

d) 24 m2 e) 21 m2

3) Los lados de un triángulo miden5; 6 y 7 cm. Halla las longitudesdel inradio y circunradio.

a) 2 6/3 y 35 6/24b) 6 6 y 6/4c) 2 6 y 35 6/4d) 6 6 y 3 6/4e) N.A.

4) En la figura, halla el área deltriángulo equilátero ABC.

a) 9u2 b) 9 3u2 c) 18 3u2

d) 27 3u2 e) 36 3u2

CA

B

P

2

34l

5) ABC es un triángulo equilátero.Si FC=EB+1 y AC=5(EB)=10,calcula el área del triángulosombreado EBF.

a) 6 u2 b) 2 u2 c) 3 u2

d) 6 u2 e) 7 u 2

53

49

72

79

72

6) En un triángulo isósceles ABC(AB=BC) se sabe que la alturaBH mide 8u y el perímetro es32u. Halla el área del triángulo.

a) 126 u2 b) 64 u2 c) 48 u2

d) 142 u2 e) 56 u2

7) En la figura, halla el área deltriángulo EBF si el área deltriángulo ABC es 20u2, ademásABE y BCF son triángulosequiláteros.

a) 5 u2 b) 8 u2 c) 10 u2

d) 12 u2 e) 15 u2

B

A C

F

E

B

A C

E

F

8) Si AB=6, BC=8 y R=4, calculael área del triángulo.

a) 18 u2 b) 26 u2 c) 28 u2

d) 36 u2 e) 38 u2

R

A C

B

9) Halla el área de la regiónsombreada si el área del triánguloABC es 120 m2.

a) 63 m2 b) 84 m2 c) 91 m2

d) 98 m2 e) 70 m2

B

A C3k 7k

B

A C

2k

P

M

k

11) Halla el área sombreada si el áreadel triángulo ABC es 24u2.

a) 1 u2 b) 2 u2 c) 3 u2

d) 4 u2 e) 6 u2

B

A C

GN

M

12) En un tr iángulo ABC, lamediana BM corta a la cevianainterior AE en el punto P, siendoEC=2BE y el área del triánguloBPE= 2u2. Halla el área deltriángulo ABC.

a) 24 u2 b) 26 u2 c) 28 u2

d) 30 u2 e) 20 u2

13) Halla el área de la regiónsombreada si CM=MD y ellado del cuadrado es “a”.

a) a2/4 b) a2/6 c) a2/8d) 2a2/5 e) a2/5

DA

CB

M

14) En la figura se pide “EF” para quelas áreas del triángulo EBF y deltrapecio AEFC sean iguales.

a) 2 b) 2 2 c) 4 2d) 2 e) 3

B

A C

E F

S

S

4


226

Nivel II

16) Halla x si S=216m2.

a) 1 m b) 3 m c) 2 md) 4 m e) 6 m

A C

B

S3x 4x

17) Halla el área de la regiónsombreada (P y Q: puntos detangencia).

a) 4,5 u2 b) 4 u2 c) 5,5 u2

d) 7,5 u2 e) 2 u2

A C

B

3u 4uQ

P

18) Las bases de un trapecio miden4 dm y 8 dm, además su alturaes de 2 dm. Calcula el áreadel triángulo cuyos vérticesson los puntos medios de lasdiagonales y el punto de cortede los lados no paralelos.

a) 1 dm2 b) 2 dm2 c) 3 dm2

d) 4 dm2 e) 5 dm2

20) Los exradios de un triángulorectángulo miden 6 dm y 9 dm(relativos a los catetos). Calculael área de la región de dichotriángulo.

a) 27 dm2 b) 36 dm2 c) 45 dm2

d) 54 dm2 e) 60 dm2

21) En un trapezoide ABCD deárea 40 u2 se toman los puntosmedios M y N de AB y CD,respectivamente. Calcula el áreadel cuadrilátero MBND.

a) 20 u2 b) 30 u2 c) 10 u2

d) 15 u2 e) 25 u2

22) En un triángulo ABC de área104u2, AB=8 y BC=10; ademásla mediana AM y la bisectrizinterior BD se intersectan enel punto “P”. Halla el área deltriángulo BPM.

a) 8 u2 b) 16 u2 c) 20 u2

d) 25 u2 e) 30 u2

23) En un triángulo ABC se trazan lamediana BM y la ceviana AN lascuales se cortan en “P”, ademásBN=2NC. Calcula el área deltriángulo APM, sabiendo queel área del triángulo ABC es100u2.

a) 8 u2 b) 12 u2 c) 20 u2

d) 10 u2 e) 15 u2

24) El lado AC de un triángulo ABCmide 10u. Calcula la longituddel segmento PQ paralelo a AC,tal que las áreas del triánguloPBQ y el trapecio APQC seencuentranenla relaciónde2a3.

a) 5 b) 2 5 c) 10d) 2 10 e) 5

25) El área de un triángulo ABC es72u2. Por el baricentro “G” setrazan paralelas a AB y BC quecortan a AC en los puntos “E”y “F”, respectivamente. Halla elárea del triángulo EGF.

a) 6 u2 b) 8 u2 c) 9 u2

d) 12 u2 e) 18 u2

26) En un triángulo rectánguloABC recto en “B” se construyeexteriormente el cuadradoACDE. Si AB=4 y BC=6, hallael área del triángulo ABD.

a) 20 u2 b) 18 u2 c) 30 u2

d) 40 u2 e) 24 u2

27) En la figura ABCD es uncuadrado de lado 20. Halla elárea de la región sombreadasiendo “T” punto de tangencia.

a) 40 u2 b) 80 u2 c) 100 u2

d) 120 u2 e) 150 u2

DA

CB

T

28) La figura muestra un cuadradoABCD de lado 10m. Halla elárea de la región sombreada si Py T son puntos de tangencia.

a) 48 u2 b) 24 u2 c) 14 u2

d) 12 u2 e) 10 u2

DA

CB

T

P

15) En un triángulo rectángulo ABC(m B=90°), por un punto de ACse levanta una perpendicular quecorta a BC en Q, determinandodos regiones equivalentes. HallaQC si AC= 2 u.

a) 1 u b) 0,5 u c) 1,25 ud) 32 u e) 2/2 u

19) Los lados de un triángulo miden3 2 dm, 26 dm y 2 5 dm.Calcula el área del triángulomencionado.

a) 4,5 dm2 b) 6 dm2 c) 7 dm2

d) 9 dm2 e) 10 dm2

GEOMETRÍA

227

N EF

A H BO

M

Nivel III

29) En un triángulo ABC se sabeque AB=5 y BC=8. ¿Para quévalor de AC el área la regióntriangular ABC será máxima?

a) 85 b) 89 c) 3 10d) 12 e) 87

30) En la figura AB=13, BC=15 yAC=14. Halla “R”.

a) 5 b) 6 c) 8d) 7 e) N.A.

B

A C

R

O

31) En la figura, calcula el área deltriángulo ABC.

a) 9 u2 b) 12 u2 c) 15 u2

d) 10 u2 e) 30 u2

B

A C5

a

2a

6

32) En la figura, calcula el área de laregión sombreada.

a) 5 u2 b) 10 u2 c) 15 u2

d) 12 u2 e) 20 u2

3

aa

2


a) 30 u2 b) 40 u2 c) 50 u2

d) 75 u2 e) 100 u2


a) 15 u2 b) 20 u2 c) 18 u2

d) 24 u2 e) 30 u2

6 10

35) Calcula el área de la regiónsombreada si “O” es centro.

a) 3 u2 b) 2 3 u2 c) 3 3 u2

d) 4 3 u2 e) 6 3 u2

36) Calcula el área de la regiónsombreada.

a) 7 u2 b) 14 u2 c) 21 u2

d) 15 u2 e) 7,5 u2

7 6

n

2n


a) 18 u2 b) 16 u2 c) 20 u2

d) 15 u2 e) 30 u2

8 5a

2a

A

O B7

38) Si mAF=74°, ME=6cm yHE=8cm, halla el área de laregión sombreada.

a) 12,8 cm2 b) 14,4 cm2

c) 16,2 cm2 d) 20,6 cm 2

e) 11,7 cm2

39) Grafica el triángulo ABC deincentro “O” y excentro “E”relativo al lado BC. Sea EQun exradio (Q pertenece a laprolongación de AC) y seade 20 dm2 el área de la regióntriangular ABC. Calcula el áreade la región triangular AOQ.

a) 10 dm2 b) 20 dm2 c) 5 dm2

d) 15 dm2 e) 8 dm2

10

40) Grafica una circunferencia decentro “O” y ubica un puntoexterior tal como “A”. Trazalas tangentes AT y AB, luegola secante ACD de modo quemDTC= mBD, AT=4 dm yAC=2 dm.Calcula el área de la regióntriangular ABC.

a) 13 dm2 d) 15 dm2

b) 15 dm2 e) 15 dm2

c) 15 dm2

32

43

34

32

54


228

43) Halla el área de la regióntriangular BCD si AO=OB=3dmy CD=2dm.

a) 3dm2 b) 6dm2 c) 5dm2

d) 2 2dm2 e) 6dm2

42) Halla el área de la regióntriangular PQR si AB=10 dm.

a) 80dm2 b) 90dm2 c) 100dm2

d) 140dm2 e) 150dm2

DA

CB

T

L2

L2

A

O B

DC

A

B

Q

P R

44) Las bases de un trapecio miden1 y 3u. Calcula la longituddel segmento paralelo a lasbases que determina 2 trapeciosparciales de igual área.

a) 5 b) 10 c) 5/2d) 10/2 e) 2

45) En un triángulo ABC se tomaun punto interior y por él setrazan paralelas a los ladosque determinan 6 regiones: 3paralelogramos y 3 triángulosteniendo estos últimos 4, 9 y16u2 de área. Si el lado AC mide12u, entonces la altura relativaa dicho lado valdrá:

a) 12 u b) 13 u c) 13,5 ud) 10 u e) 12,5 u

46) Calcula el área de un triángulocuyas alturas miden 12, 15 y 20.

a) 300 u2 b) 150 u2 c) 75 u2

d) 120 u2 e) 100 u2

47) Calcula el área de la regióntriangular cuyas medianas miden6, 9 y 12u respectivamente.

a) 9 13 u2 b) 7 15 u 2

c) 9 15 u2 d) 7 13 u2

e) N.A.

48) En la figura mostrada, calcula elárea de la región triangular MNQsi el área del triángulo ABC es160u2.

a) 48 u2 b) 52 u2 c) 60 u2

d) 64 u2 e) 72 u2

A Q C

B

a b

b3a

c 4c

NM

49) EnelgráficoABCDesuncuadradoy “Q” punto de tangencia. Si laregión sombreada tiene comoárea los 3/8 del área de la regióndel cuadrado. Halla q.

a) 30° b) 60° c) 45°d) 37° e) 53°

DA

CB

Q

q

50) Calcula el área de la regióntriangular APC si las áreas de lostriángulos ABC y AOC miden 16y 9m2, respectivamente.

a) 16 m2 b) 18 m2 c) 25 m2

d) 9 m2 e) 10 m2

B

A CO

P

O

41) ABCD es un cuadrado de lado“L”. Halla el área de la regiónsombreada.

a) d)

b) e) N.A.

c)

L2 34

3L2

4L2 2

8

3L2

8

guía 2 - Área de regiones triángulares

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