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7/25/2019 Guia 02 Matematica

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MAT330Clculo I

GUA DE EJERCICIOS N 2CONCEPTO DE FUNCIN, MODELAMIENTO DE FUNCIONES,

FUNCIN LINEAL Y FUNCIN CUADRTICA

FUNCIN

Una funcin f es una regla de correspondencia, que asocia a cada objeto x(preimagen) de un conjunto denominado Dominio, con un solo valor f ( x )(imagen) deun segundo conjunto denominado Recorrido.

1. Considere la funcin: 2xxf . Determine:

a) b) c))5(f )6(f )1(f d) )100(f

2. Considere la funcin: . Determine: 12 xxf

a) b) c) d))0(f )2(f )10(f )6(f

3. Considere la funcin: 52

u

ug . Determine:

a) b) g c) g d) g )0(g )20( )50( )1(

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4. Una compaa de seguros, examin el registro de un grupo de individuoshospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontr que la proporcintotal de quienes haban sido dados en alta al final de t das de hospitalizacin,

est dada por , donde: tp3

300

3001)(

ttp

a) Qu proporcin de individuos han sido dados de alta al comienzo de lahospitalizacin?

b) Cul es el porcentaje de individuos que han sido dados de alta al final delda 100?

c) Cuntos individuos han sido dados de alta al final del da 300, si lacompaa examin a un total de 800 personas?

5. La altura promedio , en centmetros de un nio deH A aos de edad se puedeestimar mediante la funcin 505,6 AH .

a) Cul es la altura promedio de los nios a los 8 aos?

b) Cul es la altura promedio de los nios a los 6 aos?

c) Cul es la altura promedio de los recin nacidos?

6. Suponga que thoras despus de la medianoche, la temperatura en Santiago era

21( ) 4 106

C t t t grados Celsius.

a) Cul era la temperatura a las 6 p.m.?

b) Cunto aument o disminuy la temperatura entre las 9:00 a.m. y las09:00 p.m.?

7. Las ventas anuales estimadas, para un nuevo ao de una empresa de calzado,

estn dadas por la funcin tv(t) 000.6000.180 , donde t representa el tiempo

medido en aos a partir del ao 2000.

a) Determinar las ventas anuales para el ao 2010.

b) Determinar las ventas anuales para el ao 2015.


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8. En cada caso, determine dominio.

a) 12)( xxf b)2

2)(

x

xxf

d) e

c) 1)( 2 xxf

2)( xf ) 1)( xxf

9. Sea

f) 2)( 2 xxf

1

2

x

xxf . Determine las preimgenes de los siguientes nmeros:

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2

0. Sea . Determine las preimgenes de los siguientes nmeros:

a) 0 b) 1 c) 35 d) 2

UNCIN LINEAL

1 xxxf 2)( 2

FUna f cin lineal es de la forma:un bxaxf )( , donde y son nmeros reales ya b

0a .

La grfica de la funcin lineal f , es una lnea recta en donde el nmero es laa

pendiente de la recta y es el coeficiente de posicin.b

Si 0a la funcin recibe el nombre de funcin constante y su grfica corresponde aun paralela al eje x que corta al eje y en .a recta b

11. Grafique las siguientes funciones lineales y determine su pendiente.

a) 23 xxf b) xxf 5

d) e

c) 5y

xy 26 ) 20p f) xv 100


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FUNCIONES LINEALES DE INGRESO Y COSTO

El Ingresode una empresa (I ), en un determinado perodo de tiempo, est dado porlas ventas de bienes o servicios en ese perodo. Por ello lo podemos expresar como el

producto de la cantidad vendida (x ) por el precio unitario del bien o servicio (p ). Esto

es:

xpxI )(

Ejemplo: El precio de venta de una cmara fotogrfica es de $120.000. Luego Lafuncin de ingreso es:

xxI 000.120)( ; Donde x son las unidades vendidas.

El Costo (C): Es la expresin cuantitativa monetaria, representativa del consumonecesario de factores de la produccin, que se emplean para producir un bien o prestar

un servicio, este e divide en dos categoras:s

Costos fijos ( fC ): Son costos son independientes de las cantidades de un artculo

que se produzca o un servicio que se preste (por ejemplo: alquiler del local,determinados impue s, etc.).sto

Costos variables ( vC ): Son costos que dependen de la cantidad que se produzca de

ese artculo (x ) o que se preste del servicio, (por ejemplo: costos de materiales, demano va, etc.)de obr roda p ucti

As xCCxC vf )( ; Donde x son las unidades producidas.

Ejemplo: El costo variable de fabricar una cmara fotogrfica es de $30.000 por unidady los costos fijos por mes son de $720.000. Luego la funcin de costo de fabricar x cmaras fotogrficas en un mes es de:

xxC 000.30000.720)( ; Donde x son las unidades producidas.

12. Una tienda llamada TODO A MIL vende todos sus productos a $1.000. Si x representa el nmero de artculos vendidos:

a) Escriba la funcin de precio P(x), en donde x es el nmero de artculos

b) Escriba la funcin de ingreso , en donde x es el nmero de artculos

d) Qu restricciones se deben realizar sobre los dominios para que lasfunciones tengan sentido dentro del contexto?

vendidos.

)(xI

vendidos.

c) Cul es el dominio de estas funciones?


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3. Cierta empresa fabrica poleras, por cada polera recibe $10.000. Si1 x representala

a) Determinar una frmula para el ingreso en dinero por polera producida

cantidad de poleras producidas.

(denotar la funcin por ( )I x ).

Si el fabricante tiene costos fijos mensuale $10

b) s de 0.000 y costos variablespor polera de $500, Hallar una frmula para el costo en funcin de las

).

s?

d) Cul es el costo de producir 25 poleras?

14.por vajilla.

Determinar la funcin de costos, es decir, el costo total como una funcin delnmero de vajilla producida. Cul es el costo de producir 22 vajillas?

5. Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $50.000 aumente suva

a) Escriba la funcin que prediga el valor de la obra de arte en los prximos

c) Cuntos aos transcurren para que la obra de arte tenga un valor de$55.500?

16. utadores por da.El costo fijo diario de la planta son 5.000 dlares, y el costo variable (mano de

poleras producidas (denotar la funcin por ( )C x

c) Cul es el ingreso si se venden 38 polera

Una empresa que fabrica vajilla desechable, tiene costos fijos de US$3.000mensuales, y el costo de la mano de obra y del material es de US$50

1lor a una razn constante de $500 por ao durante los prximos 40 aos.

cuarenta aos.

b) Cul ser su valor, 31 aos despus de la fecha de adquisicin?

Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 a 100 comp

obra y materiales) para producir un computador es 805 dlares.

a) Escriba la funcin de costo total de producir x computadores en un da.

b) Escriba la funcin de costo unitario (costo promedio por computador) en un

c) Cul es el dominio de estas funciones?

da.


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32 cm.

24 cm.

x

x

x

x

x

x

x

x

Una caja abierta se fab17. rica cortando cuadrados de lado x cm., en cada una de las

cuatro esquinas de una hoja de cartn de 24 cm. por 32 cm. y luego doblandohacia arriba los lados.

a) Exprese el volumen en funcin de x (denotar la funcin por ).

b) Cul es el dominio para esta funcin?

8. Una empresa que fabrica cintas de audio, estima que el costo C (en dlares) al

xV

1

producir x cintas es una funcin de la forma: 10020 xxC .

c) Cul es el dominio de la funcin? Qu restriccin debe hacer al dominiopara que tenga sentido en el contexto del problema?

19. El valor en pesos de un computador est dado por la funcin:

a) Calcule el costo al producir 50 unidades.

b) Si el costo es US$1.900, cuntas unidades se produjeron?

000.6048

1000.240

x

xV , donde

x se mide en meses.

utador es la mitad de su valor inicial?

c) Cul es el dominio de la funcin?

a) Cul es el valor inicial del computador?

b)

En qu momento el valor del comp


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El crecimien ms de 12 semanas de gestacin se calcula mediante

la funcin 7,653,1 ttL , donde Les la longitud (en cm) y tes el20. to de un feto de

tiempo (en

semanas). Calcula la edad de un feto cuya longitud es 28 centmetros.

21. itamos que el costo e pesos, de produccin de un nmeroAdm n x de peridicoses:

a) Cul es el costo de producir 30.000 peridicos?

b) Cuntos peridicos se han producido si el costo total fue de $520.000?

UNCIN CUADRTICA

xxC 400000.200

FUna funcin cuadr etica s de la forma: , donde , y soncxbxaxf 2)( a b c

nmeros reales y .0a

La grfica de la funcin cuadrtica es una parbola de vrtice en el punto:f

a

bf

a

b

2,

2

Si , entonces la parbola se abre hacia arriba.0a

Si , entonces la parbola se abre hacia abajo.0a


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22. Grafique las siguientes funciones cuadrticas.

a) c)

d) e)

23. produccin y

venta de

2)( 2 xxf b) 22)( 2 xxxf 1)( 2 xxf

14)( 2

xxxf 2

1)( xxf f) 2

1)( xxf

Un fabricante determina que el ingreso en pesos, obtenido por la

x artculos, est dado por la funcin:

a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artculos.

so obtenido es $120.000, determine la cantidad de artculosvendidos.

24.segundos, su distancia en metros por encima del suelo est dada

por la funcin: .

a) Despus de cuntos segundos estar el proyectil a 128 metros del suelo?

b) En qu momento toca el suelo el objeto?

c) Dibuja un grfico para la funcin.

25. galn de

gasolina, con una rapidez de vmillas por hora, est dado por la funcin:

225,0350)( xxxR

b) Si el ingre

Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el suelo. Despus detranscurridos t

216144)( tttd

El nmero de millas M, que cierto automvil puede recorrer con un

vvvM

2

5

30

1 2, para 700 v

a) Calcule el nmero de millas que el automvil puede recorrer con un galn

de gasolina, para millas por hora.

b) Si el automvil recorri 45 millas, determine su rapidez.

26. a altura de acuerdo con la

funcin ( en metros en segundos).

a) Cunto demora en alcanzar la altura mxima?

b) Cul es la altura mxima?

20v

Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, logra un

2( ) 18 3h t t t h , t


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Durante un experimento se midi la temperatura de un lquido durante variosque la ariacin de temperatura estaba d

27.minutos. Result v ada por la funcin

2( ) 6 8f x x x , donde x representa el tiempo en minutos.

a) En qu momento la temperatura del lquido fue igual a 0?

b) Fue esa la temperatura mnima?

28. En una fbrica de automviles s eloc

rendimiento (en ) est relacionado

medi n

e comprob que para v idades mayores a

hkm /10 y menores a hkm /150 , el r lkm /

con la rapidez v ante la funci vvvr 180002,0)(

a) Con qu rapidez el rendimiento ser mximo?

b) Cul ser ese rendimiento mximo?

29. Los registros de temperatura tomados entre las 0 y las 24 horas en una zona rural

se ajustan a la funcin 1012-x12

1xT 2 , donde es la temperatura en

grados Celsius y

T

x es la hora del da que se registr.

a) Cul fue la temperatura mxima?

b) A qu hora se registr?

c) A qu hora la temperatura fue de 7 Celsius?

30. ompetencia d o

, medida en metros, y donde es el tiempo en segundos

que dura el salto.

es la altura mxima alcanzada? A los cuntos segundos ocurriesto?

b) Cul es la altura alcanzada por el deportista a los 3 segundos?

c) Durante cunto tiempo estuvo el deportista en el aire?

En una c e Snowboard, la altura de salt s est determinada por la

funcin2( ) 2h t t 8t t

a) Cul

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