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Guía 0:

a)

(

(

))

(

)

(

)

(

)

(

)

b)

[(

(

)) ((

)

)]

[(

) (

)]

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Guías 0 y 1 Análisis matemático (Cs Económicas)

2014

Ejercicio 1: Calcular…

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( ) (

)=

c)

[(

)

(

)

]

[(

)

(

)

]

[

]

[

]

d)

[

(

) (

)

]

[

(

)

]

[

]

[

]


Entre lo que podemos recordar, los errores posibles son:

1) ( ) , es decir, suponer que se puede distribuir la potenciación

respecto a la suma. Corresponde al ejercicio c.

2) ( ) , es decir, aplicar mal la propiedad distributiva del producto

respecto a la suma. Esto parece muy tonto pero todavía con un poco de distracción

hay gente a la que le pasa. Corresponde al ejercicio d.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Para resolver este ejercicio, en primer lugar, hay que recordar las dos

formas de acortar un número decimal, truncamiento y redondeo. Para los números

después de la coma decimal, cuando se utiliza aritmética de truncamiento, simplemente

se corta la parte decimal (se trunca) y, cuando se utiliza aritmética de redondeo, al último

número decimal tomado se le suma una unidad cuando el siguiente es mayor o igual a

cinco.

Ejercicio 2: En cada caso…

Ejercicio 3:


En segundo lugar, cuando trabajamos con números decimales, tenemos que

definir en número de cifras decimales que vamos a tomar.

a) Escribir el número decimal correspondiente:

Vamos a trabajar con 3 dígitos decimales y aritmética de truncamiento.

i)

ii)

iii)

iv)

b) Hallar un número decimal que aproxime a:

Vamos a tomar 4 dígitos decimales y redondeo.

La coma decimal la vamos a tomar como punto, esto depende del uso y costumbre

de cada país. Algunos utilizan como decimal y otros punto decimal. En este caso, usamos

el punto decimal.

i)

ii)

iii)


iv)

c) Decidir si las siguientes expresiones…

i) Falsa

ii) Verdadera

iii) Verdadera

iv) Verdadera

√

v) Falsa

vi) Falsa

√

vii) Verdadera

√

viii) Falsa

√

d) Hallar tres números que tengan la raíz cuadrada entera:

i)

√

ii)

√

iii)

√


e) Hallar tres números que tengan raíz cúbica entera:

i)

√

ii)

√

iii)

√

a) Decidir cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas:

i) Verdadera

ii) Falsa

iii) Falsa

iv) Verdadera

v) Verdadera

b) Ordenar de manera creciente:

Para resolverlo, la mejor manera es obtener primero el número en forma decimal y luego

compararlos.

Ejercicio 4:


√

√

√ √ √

c) ¿Cuál de los dos amigos comió más pizza…

El primero come

de media porción, es decir,

.

El segundo come

partes de lo que no come el primero, es decir,

(

)

parte

de pizza.

Una vez que tenemos cuánto come cada uno, comparamos:

Finalmente, el segundo es el que come más pizza.

a)

√ √ √ √ √ √

Por propiedad distributiva de la raíz (o potenciación) respecto al producto.

√ √ √ √ √

√

√

√ √

√ √

√ √ √

b)

√ √ √

dado que, √ √ √

Es decir, no hay distributividad de la raíz respecto a la suma.

√ √ √ , dado que √ √ √

Es decir, tampoco hay distributividad de la raíz con respecto a la resta (la resta se puede

considerar un caso particular de la suma).

c)

( )

dado que, ( )

Ejercicio 5:


Es decir, no hay distributividad de la potenciación respecto a la suma.

( ) , dado que ( )

Es decir, no hay distributividad de la potenciación respecto a la resta.

Lo que se puede hacer frente a un cuadrado de un binomio (el cuadrado de la suma de

dos sumandos) es desarrollarlo. Es decir,

( )

( )

d)

, dado que

Es decir, no se distribuye el denominador.

, dado que

.

Es decir, no se puede simplificar la suma en el numerador.

, dado que

Es decir, la división es distributiva respecto a la suma.

a)

( ) ⏟

Ejercicio 6:


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⏟

b)

⏟

( ) ( )

( ) ( )

⏟

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 7: Resolver las siguientes ecuaciones:


( )

( )

( )


( ) ( )


( ) ( )

( )

( )

a) Calcular:

i)

( )

ii)

iii)

(

)

iv)

(

)

v)

( )

vi)

Ejercicio 8:


(

)

vii)

( ) (

)

viii)

(

)

(

)

ix)

(

)

x)

(

)

xi)

(

) (

)

xii)

√

√

√

xiii)

√ √

xiv)

√( ) √

xv)

(

)

a) Resolver y simplificar:

i)


ii)

[(

)

(

)

]

[(

)

]

(

)

(

)

iii)

(

)

( )

( )

( )

iv)

[(

)

(

)

]

[(

)

]

[(

)

]

(

) ( )

(

)


iv)

(

)

( ( ))

( )

v)

[( ) ]

[(( ) ) ]

( ) ( ) (

)

( )

a) Escribir en lenguaje algebraico:

i) El rectángulo es un cuadrado: para ser un cuadrado, los lados deben ser iguales:

ii) La base es el triple de la altura:

iii) La base excede en cuatro unidades a la altura:

iv) La altura es

de la base:

v) El rectángulo tiene 28 cm de perímetro:

vi) La diagonal mide 13cm: debemos aplicar Pitágoras

Ejercicio 9:


√

vii) El área es de 100 :

b) Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente:

i) Cinco menos que el doble de un número:

ii) Cinco menos el doble de un número:

iii) La diferencia de dos cuadrados:

iv) El cuadrado de una diferencia:

( )

v) La mitad de una suma de dos números:

( )

( )

a) María tiene 46 años y Juan 12…

Primero, siempre conviene definir las variables, vamos a definir a como la cantidad de

años que deben transcurrir, M la edad de María y J la edad de Juan:

{

Dentro de una cantidad de tiempo , las edades serán:

(*) {

Que la edad de María sea el triple de la edad de Juan, se escribe:

Sustituyendo las variables, por las que definimos en (*):

( )

Ejercicio 10:

Calcular…


Procedemos a despejar la :

b) Una salsa de tomate se ofrece en dos tipos de envase…

Primero, vamos a anotar los datos que están en enunciado del problema:

Lata: {

Tetrabrick: {

Comparar capacidades, en este caso, es lo mismo que calcular los volúmenes. Vamos a

suponer que los valores que se dan de dato son para las dimensiones internas de los

envases para no tener en cuenta los espesores de los envases.

Veamos las fórmulas que se utilizan para calcular los volúmenes:

( (

)

) , volumen de la lata cilíndrica.

( ) , volumen del tetrabrick.

Sutituyendo:

( (

)

)

( )

Comparando los resultados:

∴El tetrabrick tiene mayor capacidad.

c) Un automóvil cuesta ...

Vamos a suponer que se deprecia siempre desde el valor base, en ese caso, en el primer

año pierde el del valor y en el segundo otro . En total, una pérdida del 20%.


Es decir, el valor remanente luego de los dos años, será del ( ) del

valor inicial. Por lo tanto:

(

) ( ) ( )

d) El costo de una mercadería…

Vamos a definir al precio de lista como la variable .

Según el enunciado, sabemos que el precio rebajado en un genera una ganancia del

del costo. En lenguaje matemático:

⏟

⏟

⏟ ( )

⏟

e) Una empresa se dedica a compra y venta de inmuebles…

Para comenzar, vamos a calcular la inversión total, para poder conocer la ganancia total.

Al realizarse la venta de una de las casas, se obtuvo un margen del de la inversión:

En el caso de la segunda casa, hubo pérdidas por el 20% de la inversión:

Por lo tanto, la inversión total fue de y los inversos

fueron de ( ) .


Finalmente, resultado fue de . Es decir, una pérdida

de .

Práctica I: Números reales

Introducción teórica:

El conjunto de los números reales (ℝ) incluye a los números racionales (ℚ)

(positivos, negativos y el cero) y los irracionales (I). Recordar que los racionales son los que

se pueden escribir como fracción y los irracionales los que no.

Vamos a recordar un poco cómo estaban relacionados estos grupos:

{ℝ

ℚ

{

Comenzamos a leer el diagrama de afuera hacia adentro para que sea más claro.

Desde afuera, el primer grupo es el de los reales, después, este se divide en racionales (ℚ)

e irracionales (I). A su vez, dentro de los racionales están los enteros y los naturales ( ).

Recordemos que los naturales son los números que utilizamos para contar, es decir, los

positivos. Si el conjunto incluye el cero, debe aclararse en la notación* de esta manera:

. Si no incluye al cero, simplemente, .

*notación: forma de escribir algo.

Guía I:

Representar en la recta real los siguientes números reales.

a) {

√ }

Ejercicio 1:

Calcular…


Antes de graficarlos, vamos a ordenarlos (recomendable pasarlos a forma decimal para

comparar):

√

b) { √

√

√

(

)}

Ordenados:

√

√

√

Recordatorio: Los números mayores a un número se marcan hacia la derecha, los

menores hacia la izquierda.

a) [ ] { ℝ }

b) ( ) { ℝ }

c) { } { }

d) {

} {

}

Ejercicio 2: Representar en la recta real los siguientes subconjuntos…


a) Todos los números reales mayores que

Como recordamos al principio del ejercicio anterior, son los que se encuentran a la

derecha de . Observar que no se incluye en punto .

Recordar: Cuando en una desigualdad, no se incluye el punto, se dice que la desigualdad

es estricta. Por ejemplo, si digo estrictamente menor que tres, me refiero a que tiene que

ser menor que tres pero no puede ser tres y esto se escribiría: .

b) Todos los números reales menores o iguales que

Son todos los números que se encuentran a la izquierda de cuatro. En este caso, la

desigualdad es inclusiva, porque el valor se incluye (se incluye el borde).

c) Todos los números reales mayores que y menores o iguales que

.

El enunciado es equivalente a definir los números entre y

.

d) Los intervalos:

i) ( )

ii) [ )

iii) ( ]

Ejercicio 3:


iv) [-3,1/2]

v) [

)

vi) (√

)

e) y f) Las uniones e intersecciones de los intervalos…

Dado que los intervalos en los dos ejercicios son iguales, vamos a superponerlos.

Pequeño paréntesis teórico:

-Unión: La unión contiene a los elementos de cada uno de los conjuntos de la unión. En la

recta numérica (recta real), es el conjunto de valores marcados aunque sea nada más una

vez.

-Intersección: La intersección contiene a los elementos que están en todos los conjuntos a

la misma vez, es decir, a los elementos que se encuentran “repetidos”. Muchas veces el

resultado de la intersección puede ser vacío, cuando los conjuntos no tienen elementos en

común.

-Conjunto vacío: Es el conjunto que no tiene elementos, se representa con el símbolo .

En cada caso, lo que vamos a ver es la intersección como los puntos donde se superponen

todos los intervalos y como unión, todos los puntos que pertenezcan a alguno de los

intervalos.

i)

ii)


iii)

iv)

El intervalo en cuestión es el de los números estrictamente menores a 2.

{√

√ √

}

Importante: La idea básica es resolver inecuaciones teniendo precaución con el

pasaje de términos cuando hay una multiplicación o una división de número negativo.

Cuando se desconoce el signo, hay que contemplar qué pasaría en los dos casos y la

solución es la unión de ambas soluciones. Eso lo vamos a poner prolijamente en un cuadro

de dos columnas, como te vas a ver en el ejercicio a.

a) { ℝ ( ) },

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

(

)

(

)

( )⋃(

) ( )⋂(

) (

)

Y la solución: ⋃ ( )⋃ (

)

Ejercicio 4: Decidir cuáles de los siguientes números pertenecen…

Ejercicio 5: Representar en la recta numérica y escribir como intervalo…


b) { ℝ ( ) },

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

(

)

(

)

( )⋂(

) ( )⋂(

) (

)

Y la solución: ⋃ (

)

c) { ℝ (

) ( )},

Comenzamos despejando:

(

) (

)

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

( )

( )

( )⋂( ) ( ) ( )⋂( ) ( )

Y la solución: ⋃ ( )⋃( )


d) { ℝ

}

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

(

) ( )

(

) ( )

( )⋂ℝ ( ) ( )⋂

Y la solución: ⋃ ( )

e) { ℝ }

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

(

) ( )

(

) ( )

( )⋂( ) ( ) ( )⋂( ) ( )


f) { ℝ

}

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )⋂( ) ( ) ( )⋂( ) ( )



g) { ℝ

}

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

( )

( )

( )

( )

( )⋂( ) ( ) ( )⋂( ) ( )

Y la solución: ⋃ ( )⋃( ) ( )

h) { ℝ

}

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )⋂( ) ( ) ( )⋂( ) ( )



i) { ℝ

}

Pasando la , queda:

Si ( ) Si ( )

( )

( )

( )⋂( ) ( )⋂( ) ( )

Y la solución: ⋃ ( )


Por definición, el valor absoluto de un número es la distancia al cero en la recta

numérica. Dado que esta distancia es siempre positiva, el resultado de un módulo siempre

será positivo.

Por lo tanto,

1) | | significa que la distancia al cero es menor a , lo que implica que está entre

y . Esto se escribe: .

2) | | significa que la distancia al cero es mayor a , lo que implica que:

Es importante meditar sobre esto último, no avanzar hasta que sea obvio!

a)

{ ℝ | | }

Ejercicio 6:


{ }

{ ℝ | | }

{ ℝ | | ( )}

Por definición de módulo, no puede ser negativo, es una distancia.

{ ℝ | | }

Si

Si

{ }

{ ℝ | | }

Si

Si

{ }

{ ℝ | | }

Si


b) Escribir como intervalo…

{ ℝ | | }

( )

{ ℝ | | }

Si

Si

( )⋃( )

{ ℝ | | }

Si

Si

( )⋃( )

{ ℝ | | }


(

)

c) Expresar los siguientes conjuntos:

i) Los reales que distan al 0 en menos de 2: { ℝ | | }.

ii) Los reales que distan del en más de : { ℝ | ( )| }

iii) Los reales que distan del

en menos de : { ℝ | (

)| }

iv) { ℝ | ( )| }

v) { ℝ | | }


Se dice que un conjunto no vacío está acotado superiormente si podemos

encontrar al menos un valor techo tal que todos los elementos del conjunto sean menores

o iguales. A la más pequeña de todas las cotas superiores la llamamos supremo.

Se dice, análogamente, que un conjunto no vacío está acotado superiormente si

podemos encontrar al menos un valor piso tal que todos los elementos del conjunto sean

mayores o iguales. A la más grande de todas las cotas inferiores.

Atención: el supremo y el ínfimo, no necesariamente pertenecen al conjunto.

Para comenzar, lo conveniente es probar con valores negativos y positivos, si

tomamos positivo, como podrás ver, estamos en problemas. Vamos a probar con y :

| | | | | |

| | | | | | | |

Ejercicio 7: Hallar los valores de y tales que…

Ejercicios 8 y 9: Dados los siguientes conjuntos de números reales…


Estos dos ejercicios utilizan los mismos ejemplos, así que vamos a resolverlos en el

mismo lugar.

( ) está acotado superiormente, algunas posibles son { } y el supremo es 7.

Está acotado inferiormente, algunas cotas posibles son { } y el ínfimo es 0.

{ } no está acotado superiormente, no hay limitaciones, siempre se

puede encontrar un número más alto. Está acotado inferiormente, algunas cotas posibles

son son { } y el ínfimo es .

{ } está acotado superiormente, algunas cotas superiores son

{ } y el supremo es 2. Está acotado inferiormente, algunas cotas son { } y

el ínfimo es .

{ ℝ | | }

( )

Está acotado superiormente, algunas cotas posibles son { } y su supremo es . Está

acotado inferiormente, algunas cotas posibles son { } y su ínfimo es .

{ ℝ | | }

Si

Si

( )⋃(

) no está acotado superiormente ni inferiormente.

{ ℝ (

| |) }

| |

| |


(

)

Está acotado superiormente, algunas cotas son { } y el supremo es

. Está acotado

inferiormente, algunas cotas son { } y el ínfimo es

.

( ) Observar que este caso no está acotado no hay supremo. Está acotado

inferiormente, tiene un valor mínimo o piso, algunas cotas son { } y el ínfimo

es .

( ) está acotado superiormente, posibles cotas superiores son { } y su

supremo es 5. Observar que este caso no está acotado inferiormente y no hay ínfimo.

( )⋃(

) está acotado superiormente, cotas posibles son { } y el supremo

es

. Está acotado inferiormente, cotas posibles son { } y el ínfimo es 0.

Definimos: {

i) Los reales mayores que :

ii) Los reales menores o iguales que :

iii) Los reales mayores que y menores que

:

iv) ( ) :

v) [ ) :

vi) (0;5] :

vii) [

]:

viii) ( ):

ix) ( ]:

x) [

] :

xi) (√

) : √

xii) ( )⋃( ] [ ] :

xiii) [ ]⋃[ ) [ ] :

xiv) [ ]⋃( ) ( ) :

xv) ( )⋃( ) :

xvi) ( )⋂( ] ( ) :

Ejercicio 10: Hallar el supremo y el ínfimo de…


xvii) [ ]⋂[ ) { } :

xviii) [ ]⋃( ) [ ] :

xix) ( )⋂( ) :

xx) { ℝ (

) } ( )⋃(

) :

xxi) { ℝ (

) } (

) :

xx) { ℝ (

) ( )} ( )⋃( ) :

xxi) { ℝ (

)

} ( ) :

xxii) { ℝ } ( )⋃( ) :

xxiii) { ℝ (

) } ( )⋃( ) :

xxiv) { ℝ

} ( )⋃( ) :

xxv) { ℝ

} ( )⋃( ) :

xxvi) { ℝ

} ( ) :

{ ℝ | | }

( )

Está acotado superior e inferiormente:

{ ℝ | | }

( )

Está acotado superior e inferiormente:

{ ℝ | | }

Si

Si

Ejercicio 11:


El conjunto solución es ( )⋃( ), que no está acotado superior ni

inferiormente.

{ ℝ | | }

Si

Si

El conjunto solución es ( )⋃( ), que tampoco está acotado superior ni

inferiormente.

Ejercicios surtidos:

En la expresión que define el conjunto, hay implícitas dos inecuaciones:

i)

ii)

Primero, vamos a tomar (i):

Tendremos dos opciones:

Si

(

)

Si

(

)

El conjunto solución será: (

)⋃(

)

Tomando la desigualdad (ii):

Acá tenemos una diferencia con el planteo anterior y es la comparación con el cero. En

este caso, como el numerador es positivo, para que toda la expresión sea positiva,

necesitamos que el denominador sea también positivo.

Ejercicio 1: Escribir el conjunto { ℝ

} …


Es decir,

Por lo tanto,

(

)

La solución tendrá que contemplar lo que se indica en (i) y en (ii):

La solución será la intersección de las dos soluciones, porque para ser solución, tiene que

cumplir las dos condiciones:

⋂ ((

)⋃(

))⋂(

) (

)

Para comenzar, lo que siempre hacemos es ver que los denominadores sean no

nulos (distintos de cero) porque, como ya sabemos, no podemos dividir por cero. Eso en

general trae limitaciones para los valores que pueden tomar las .

En este caso, que el denominador sea no nulo implica que .

Como primer paso, vamos a despejar la . Como está dividiendo, tengo que

contemplar la posibilidad de que sea positiva o negativa porque eso me va a generar un

cambio en la desigualdad.

Si ( )

( )

Ejercicio 2: Escribir { ℝ

} como intervalo…


→ ( )⋂( ) ( )

Si ( )

( )

→ ( )⋂( ) ( )

Atención, como se puede cumplir cualquiera de las dos condiciones, la solución es

⋃ ( )⋃( ) , que no está acotado superior ni inferiormente. Mirar

bien el gráfico, puede ser tan pequeña o grande como uno quiera.

Ejercicio 3: En cada uno de los siguientes problemas…

a) Si { ℝ | | }, hallar el supremo y el ínfimo.

Tomemos la inecuación que define el conjunto A:

| |

[ ]

Por lo tanto,

b) Si { ℝ }, hallar una cota inferior.

Como en el ejercicio anterior, tomamos la inecuación que define el conjunto:


[

)

c) El conjunto { ℝ (

) } es igual…

Primero, observamos que por encontrarse en el denominador.

Comenzamos por pasar la :

Si ( ) y

(

)

( )⋂(

) (

)

Si ( )

(

)

( )⋂(

) ( )

Atención, la solución debe contemplar las dos posibilidades, es una unión.

La solución será: (

)⋃( )

d) El ínfimo de { ℝ | | } es igual…

Procedemos de la misma manera de siempre, utilizando la desigualdad que define el

conjunto:

| |


(

) y el ínfimo es

.

Esta guía fue hecha con la mejor intención, con la mayor profesionalidad posible y como

un aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus

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