ECUACIONES DIFERENCIALESMIREYA GARCÍA

GUÍA Nª 1.

TEMA: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

CONTENIDO:• Definición de Ecuación Diferencial• Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales• Problemas de valores iniciales• Campos de Pendientes

OBJETIVOS: • Interiorizar el concepto de ecuación diferencial• Identificar tipos y familia de soluciones• Comprender el significado de un campo de pendientes de una ecuación

diferencial.

INTRODUCCIÓN: La palabra ecuación nos hace referencia a una expresión algebraica con incógnitas el cuál el objetivo principal es determinar su valor, pero ahora ecuación acompañada de diferencial nos hace pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contiene derivadas, ya sea que contenga la primera derivada, la segunda, la tercera, ó por qué no la n-ésima derivada, ejemplo

y” + 2y’ + y = 0Cuya incógnita es una función y = g(x), donde el problema equivale, más o menos al conocido problema del cálculo diferencial, dada una derivada determinar la antiderivada.

Además no olvidemos que en nuestro cálculo diferencial la derivada de una función es la pendiente de una recta tangente que toca a un punto de la curva y que algunas aplicaciones de la derivada corresponde por ejemplo a velocidad, aceleración, rapidez, razón de Cambio etc.

DEFINICIÓN: Una ecuación que contiene las derivadas de una ó más variables dependientes con respecto a una ó más variables independientes es una Ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y linealidad.

CLASIFICACIÓN (Según tipo)

• Ecuación Diferencial Ordinaria: Son aquellas que sólo contiene derivadas ordinarias de una ó más variables dependientes (y) con respecto a una sola variable independiente (x,t)

Ejemplo. xeydxdy =+ 5 ; 062

2

=+− ydxdy

dxyd ; yx

dtdy

dtdx +=+ 2

• Ecuación Diferencial en derivadas parciales: Son aquellas que contienen derivadas parciales de una ó más variables dependientes respecto a dos ó más variables independientes.

Ejemplo. 02

2

2

2

=+dyyd

dxud

;dtdu

dtud

dxud 22

2

2

2

+= ; dxdv

dydu −=

CLASIFICACIÓN (Según el orden)

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria ó en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.

Ejemplo.

xeydxdy

dxyd =−

+ 43

ordenPrimer

3

orden Segundo

2

2

esta es una ecuación diferencial ordinaria de

segundo orden.NOTA: Algunas veces las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben en la forma diferencial 0),(),( =+ dxyxNdyyxM ; donde ),(),,( yxNyxMson funciones que dependen de x, y.

Ejemplo. xyxyxyxydxxdy

dxdxxyxdydxxy =+⇒=+−⇒=+−⇒=+− '40'404)(04)(

CLASIFICACIÓN (Según la Linealidad)

Una ecuación diferencial de la forma F (x, y, y’, y”, . . . ,y(n)) = 0 es lineal si F es lineal en y, y’, y”, . . . ,y(n-1), esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal cuando la ecuación F (x, y, y’, y”, . . . ,y(n)) = 0 es

)()()(.....)( 01

1

1 xgyxadxdyxa

dxydxa

dxyda rn

n

nn

n

n =++++ −

−

−

En está última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

1. Las variables dependientes y y todas sus derivadas son de primer grado.

Notación Leibniz Notación Prima Notación Newton

n

n

dxyd

dxyd

dxyd

dsdy ,,,, 3

3

2

2

)(,,'','',' nyyyy

sdtsds

dtds == 2

2

,

2. Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineal simplemente son aquellas que no es lineal, por ejemplo

x

linealnootér

eyyy =+−min

' 4)3(

Qué significa que la siguiente función sea solución de la ecuación diferencial correspondiente en el intervalo ( )∞∞− ,

Si ?161 42/1 soluciónesxyxy

dxdy =⇒=

Si 4

161 xy = es solución significa que al derivar a ambos lados la solución con

respecto a x obtenemos la ecuación diferencial.

Entonces derivando obtenemos

2/13

3

4)4(

161 xy

dxdycomoperoxx

dxdy === entonces reemplazando a y por 4

161 xy =

Tenemos, 44416

1 3322/14 x

dxdyxxxxx

dxdy =⇒==

= por tanto 4

161 xy = es

solución a la ecuación diferencial dada.

Entonces podemos establecer la siguiente definición:

Definición: Una función f cualquiera, definida en algún intervalo I*, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial de la forma F (x, y, y’, y”, . . . ,y(n)) = 0 es una función y = f (x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación.

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria Una ecuación diferencial ordinaria de orden n conduce en forma natural a una familia n-paramétrica de soluciones, pero cabe anotar que no siempre es posible determinar la familia n-paramétricas de soluciones para toda ecuación diferencial de orden n.Además se tienen dos tipos de soluciones

1. Solución Explícita : Es una solución en que la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente y una constante.

2. Solución Implícita : Se dice que una relación G(x,y) = 0 es una relación implícita de una ecuación diferencial ordinaria, siempre que exista al menos una función h que satisfaga tanto la relación como la ecuación diferencial en I.

Por ejemplo 4

161 xy = es solución explícita de 2/1xy

dxdy = donde la solución sólo

depende de la variable x y la constante que para este caso son x4 y 161

respectivamente.

Otro ejemplo; dada la relación x2 + y2 = 25 es una solución implícita de la

ecuación diferencial yx

dxdy −= en el intervalo -5<x < 5 ya que,

Derivando implícitamente a ambos lados se tiene:

022 ' =+ yyx ó reescrito como xdxdyy

dxdyyx 22022 −=⇒=+ despejando

yx

dxdy −= Pero la solución x2 + y2 = 25 esta dada como 225 xy −±= es

decir 2

22

211

25)(

25)(

xxhy

xxhy

−−==

−== esto significa que x2 + 2

1h = 25 y

x2 + = 25 son soluciones explícitas definidas en el intervalo dado.

Durante esta primera parte del curso se trabajaran con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, estudiaremos como determinar su solución y además el campo de pendientes, posteriormente se trabajaran con las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

Dada una ecuación diferencial de primer orden de la forma

),( yxfdxdy =

sujeta a la condición inicial y(x0) = y0 , donde x0 es un número en un intervalo I y y0

es un número real arbitrario, se le llama Problema de Valor Inicial

por ejemplo 4

161 xy = es solución de 2/1xy

dxdy = es decir que 4cxy =

corresponde a la familia de soluciones de la ecuación diferencial dada, por tanto si hacemos por ejemplo a x = 2 , y = 1 ( y(2) = 1) entonces reemplazando en la solución obtenemos

1)2()2( 4 == cy Despejando obtenemos 161=c por consiguiente, 4

161 xy =

es una solución del problema de valor inicial.

Al considerarse un problema de valor inicial como ),( yxfdxdy = surgen dos

preguntas fundamentales: ¿Existe una solución del problema? Si es que una solución existe, ¿es única?, o bien, ¿es ésa la única solución del problema?

Pues no, ya que para la ecuación diferencial 2/1xydxdy = se tiene que si y(0) = 0

entonces tiene dos soluciones en el intervalo de ∞<<∞− x y = 0 , 4

161 xy =

satisfaciendo la ecuación diferencial y tienen gráficas que pasan por el punto (0,0)

Dada otra ecuación diferencial como ydxdy = entonces y = cex es una familia de

soluciones de la ecuación diferencial dada, con el valor inicial x = 0, y = 3; entonces reemplazando tenemos

33)0( 0 =⇒== ccey por tanto una solución a la ecuación es y = 3ex

en el intervalo ∞<<∞− x

CAMPOS DE PENDIENTES Ó DIRECCIONALES

Si evaluamos a f en forma sistemática, en una red rectangular de puntos en el plano xy, y trazamos un elemento lineal en cada punto (x,y) de la red, con pendiente f (x,y), entonces a la colección de todos esos elementos lineales se le llama campo de pendientes o campo de direcciones; cabe anotar que dada la solución y = y(x), de una ecuación diferencial de primer orden, dy/dx = f (x,y) es necesariamente una función diferenciable y continua en un intervalo I; además que la primera derivada significa geométricamente que es la pendiente de una recta tangente en un punto (x,y) a la curva es decir la curva solución.

El campo de direcciones índica visualmente la apariencia o la forma de una familia de curvas soluciones de la ecuación diferencial, podemos a mano graficar el campo de direcciones de una curva solución, pero tarda bastante tiempo ya que q se deben dar valores de (x, y) en la ecuación diferencial dependiendo de la solución y conocer cuál es el signo resultante para así conocer la dirección de las rectas tangentes a la curva solución, si son positivas serán flechas crecientes, si son negativas serán decrecientes y si son nulas entonces corresponden a las horizontales, recuerden que rectas tangentes verticales no están definidas. También es conveniente utilizar programas de cómputo que realicen este gráfico; como Maple.

A continuación graficaremos el campo de direcciones de la ecuación diferencial 2/1xy

dxdy = y de y

dxdy = .

La interpretación de la derivada dy/dx como una función que indica la pendiente, desempeña el papel clave en la construcción de un campo de dirección. Otra propiedad indicativa de la primera derivada se usará a continuación, a saber si dy/dx > 0 (ó si dy/dx<0) para todo x en un intervalo I, entonces una función diferenciable y = y(x) es creciente (ó decreciente) en I.

Ejercicios:

1. Describa e ilustre con ejemplos cómo resolver ecuaciones diferenciales de las formas

)()( 2

2

xfdxydxf

dxdy ==

2. Compruebe que la función indicada sea una solución explícita de la ecuación diferencial dada, suponga un intervalo I adecuado.

• 2y’ + y = 0 ; y = e-x/2

• xeyydxdy 205/65/6;2420 −−==+

• xx xececyydxdy

dxyd 2

22

12

2

;044 +==+−

3. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal e indique el orden de cada ecuación.

a. xyxyyx cos54)1( '" =+−−b. 0)1( 2 =+− xdydxy

c. 04

3

3

=+

− ydxdy

dxydx

d. )cos(2

2

urudrdu

drud +=++

4. Determine por inspección al menos dos soluciones del problema de valor inicial para las siguientes ecuaciones diferenciales.

• 0)0(3 23' == yyy

• 0)0(,2' == yyxy• 0)1(;)4( 2'2 ==− yxyy