GUIC

EG07

1EM

32-A

17V1

GuíaComposición de funciones Bloque 32

PROGR

AMA EGRESADOS

1Cpech

Ejercicios PSU

A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.

1. Si f y g son funciones con dominio el conjunto de los números reales, definidas por f(x) = x – 52 y

g(x) = 3, entonces g(f ( – 13 )) es igual a

A) – 8

B) – 163

C) – 3

D) – 83

E) 3

2. Sean las funciones reales h(x) = 1 – x y g(x) = 2x

. El dominio de (h ○ g) es

A) IR – {0} B) IR – {1} C) IR – {– 1} D) IR+

E) IR

MATEMÁTICA

2 Cpech

3. Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = �x + 2 y g(x) = x2 – 1, con x > – 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre a (f ○ g)(x)?

A) �x2 + 2 B) x – 1 C) �x2 – 1 D) x + 1 E) �x2 + 1

4. Si f(x) = 1 – xx2 , con x un número real distinto de cero, entonces f(f(– 2)) es igual a

A) 34

B) 79

C) 47

D) 49

E) 37

5. Sean las funciones g(x) = x + 2 y h(x) = x2, con x en los reales. ¿Para qué valor(es) de x se cumple que h(g(x)) = g(h(x))?

A) Solo para x = – 1 y x = 2.

B) Solo para x = – 12 .

C) Solo para x = 1.

D) Para ningún valor de x.

E) Para cualquier valor de x.

6. Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = 2x2 – 1 y g(x) = 3x – 2. ¿Cuál es el valor de (g o f)(– 2) – (f o g)(– 2)?

A) – 108 B) – 29 C) 0 D) 43 E) 127

Guía

3Cpech

7. Sea f y g dos funciones reales tales que g(x) = 2x – 3 y (f ○ g)(x) = 4x2 – 12x + 11. Entonces, f(7) es igual a

A) 3 B) 51 C) 123 D) 135 E) 363

8. Sean las funciones reales f(x) = 3x – 12

y g(x) = 12 + x

. El valor de g(f (–2)) es

A) 215

B) 152

C) – 29

D) – 92

E) un valor indefinido en los reales.

9. Sean las funciones reales f(x) = 3x y g(x)= x2 + 4. El valor numérico de (f o g)(2) es A) 6 B) 8 C) 16 D) 24 E) 40

10. Sea f una función con dominio los reales tal que f(x) = a • bx, con a y b números reales positivos distintos de 1. Si se define la función g como g(x) = log(x), con x un número real positivo, entonces la representación gráfica de g(f(x)) corresponde a una

A) recta que pasa por el origen. B) recta que no pasa por el origen. C) curva creciente que no corta al eje horizontal. D) curva creciente que no corta al eje vertical. E) curva decreciente.

MATEMÁTICA

4 Cpech

11. Si f(x) = 7x, entonces 7 • f(f(x)) es igual a

A) 49x B) 343x C) 49x2

D) 343x2

E) ninguno de los términos anteriores.

12. Sean f y g funciones reales tales que f(x) = 27x y g(x) = 23 • 6x. ¿Cuál de los siguientes valores es igual a f(g(0))?

A) 0 B) 1 C) 3 D) 9 E) 18

13. Sean f y g funciones reales tales que f(x) = �x + 1 y g(x) = x2. ¿Cuál de los siguientes valores es igual a f(g(5)) + f(g( – 5))?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 2 E) 0

14. Sean las funciones reales f(x) = 2x – 1 y g(x) = 4x + 3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La representación gráfica de (g ○ f) intersecta al eje Y en el punto (0, – 1). II) El par ordenado (– 1, 3) pertenece a la función (f ○ g). III) (f ○ g)(x) es mayor que (g ○ f)(x), para cualquier valor de x.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

15. Si f y g son funciones cuyo dominio son los números reales, tales que f(x) = – x + 5 y g(x) = 2(1 – x) + 3, entonces g(f(x)) es igual a

A) 2x B) 2x – 18 C) 2x + 18 D) 2x – 5 E) – 2x + 5

Guía

5Cpech

16. Sea la función f cuyo dominio es el conjunto {0, 1, 2}, definida por f(x) = 5 – 2x, la función g con

dominio el conjunto {– 1, 1, 3, 5}, definida por g(x) = x + 12 , y la función h con dominio el conjunto

de los enteros definida por h(x) = 1. ¿Para cuál de las siguientes funciones el 5 NO es parte del

dominio? A) f ○ (g ○ h) B) g ○ (f ○ h) C) f ○ (h ○ g) D) h ○ (f ○ g) E) g ○ (h ○ g)

Estrategia de síntesis

Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 3. Completa el siguiente cuadro con la expresión que corresponde a cada una de las siguientes composiciones.

(f ○ g)(x)

(g ○ f)(x)

(f ○ f)(x)

(g ○ g)(x)

¿Para qué valor(es) de x se cumple que (f ○ g)(x) es igual a (g ○ f)(x)? ¿Qué representa(n) gráficamente este (estos) valor(es)?

MATEMÁTICA

6 Cpech

17. Si (g ○ f)(x) = 3�x2 – 6x + 9 , con f y g funciones reales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes parejas

de funciones podría(n) corresponder a f y g?

I) f(x) = 3�x2 y g(x) = x – 3

II) f(x) = 8 • (x2 – 3(2x – 3)) y g(x) = 3�x2

III) f(x) = x • (x – 6) y g(x) = 3�x + 9

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

18. Sean las funciones reales h = �x y m(x) = 1x

. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La función f(x) = (m ○ h)(x) tiene como dominio a todos los reales.

II) (h ○ m)(x) = (m ○ h)(x).

III) h(m(94 )) = 1 – m(h(9))

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

19. Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = 3 – 2x y g(x) = 4x + 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) (f ○ g)(m) = 1 – 8m II) (g ○ f)(5) = – 29 III) (f ○ g)(1) + (f ○ g)(– 1) = 2

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Guía

7Cpech

20. Sean f(x) = log(x) y g(x) = x2 dos funciones reales. ¿Cuál es el dominio de la función f(g(x))?

A) IR+ B) IR+ – {1} C) IR – {0} D) IR – {– 1, 1} E) IR – {– 1, 0, 1}

21. Sea la función real f(x) = 3x – 7. Si g es una función tal que (g o f)(x) = 15x – 29, entonces g(x), con x un número real, es siempre igual a

A) 45x – 94

B) 18x – 34

C) 5x + 6

D) 5x – 12

3

E) x + 29

5

22. Sean f(x) = 5x – 3 y g(x) = 2x + 4 dos funciones reales. Si el dominio de f es el intervalo [– 1, 4[, entonces el recorrido de (g ○ f) es

A) [– 8, 17[ B) [– 82, 168[ C) [– 12, 38[ D) [– 63, 187[ E) [7, 57[

23. Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = x2 + 1 para x en los números reales y g(x) = �x para x en los reales no negativos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) (g ○ f) está definida para todos los números reales. II) El recorrido de (f ○ g) son todos los números reales. III) g(f(– 2)) = f(g(4)).

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

MATEMÁTICA

8 Cpech

24. Sean las funciones reales f(x) = x – b y f(x) = x – 2a, con a y b números reales. Se puede determinar el valor numérico de (g ○ f)(2a – b), si se conoce:

(1) El valor numérico de a. (2) El valor numérico de b.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

25. Sean f(x) = ax + b y g(x) = (a + 1) x – b dos funciones reales, con a y b números enteros. Se puede determinar la expresión que representa a f(x), si:

(1) (f ○ g)(x) = 6x + 5 (2) (g ○ f)(x) = 6x – 10

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

Guía

9Cpech

Torpedo Álgebra Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.

Definiciones

• Término algebraico: relación entre números (factor numérico o coeficiente) y letras (factor literal) mediante multiplicación, división, potencia y/o raíces.

• Términos semejantes: son aquellos que tienen exactamente el mismo factor literal.Ejemplo: 3ab y − 7ab son términos semejantes, 9a2b y 2ab2 no son términos semejantes.

• Expresiones algebraicas: relación entre términos algebraicos mediante la suma y/o resta. Se clasifican en: monomios, binomios, trinomios, polinomios, etc.

• Valorización: corresponde a la asignación de un valor numérico o literal a cada variable de una expresión algebraica y la resolución de las operaciones indicadas en ella. Ejemplo:Si a = 1 y b = − 2, entonces a + b2 = 1 + (− 2)2 = 5

Suma y resta de términos Multiplicación

Sólo se pueden sumar o restar los términos que son semejantes (se conoce también como reducción de términos semejantes). Se realiza la operación con los factores numéricos, manteniendo el factor literal intacto. Ejemplo: la suma entre 5xy2 y 3xy2 es igual a 8xy2, mientras que la suma entre 4xy y 9x2y2 no es posible de realizar.

Monomio por monomio: se multiplican coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal. Ejemplo: 4a2b3 • − 3a4b = (4 • − 3)(a2 • a4)(b3 • b) = − 12 a6 b4

Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo:

a (b + c + d) = ab + ac + ad

Polinomio por polinomio: se multiplica cada término de un polinomio con todos los términos del otro polinomio. Ejemplo:

(a + b)(x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz

Ecuaciones

Ejemplo:

5x – 7 = 2x – 255x – 7 – 2x = 2x – 25 – 2x

3x – 7 = – 253x – 7 + 7 = – 25 + 7

3x = – 183x3 = – 18

3x = – 6

En la resolución de una ecuación se deben considerar las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, esta se mantiene.

• Al multiplicar o dividir a ambos lados de una igualdad por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.

En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita, para lo cual deben efectuarse operaciones que permitan reducir términos o coeficientes hasta lograr despejarla.

MATEMÁTICA

10 Cpech

Funciones

f(x) = y ← Imagen↑

Preimagen

Es una relación entre dos variables tal que para cada valor de x se obtiene un único valor de f(x).

Conceptos generales de funciones

f : A → B

x |→ f(x)

a

b

c

d

e

p

q

r

s

t

f

A BSea f una función que relaciona elementos del conjunto A con elementos de B:

Variable independiente: valor que no depende de otra variable. Se denota con la letra x.

Variable dependiente: valor que depende de otra variable. Se denota con la letra y. Se dice que “y depende de x” o que “y está en función de x”.

Dominio de f: conjunto de todas las preimágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida (A) que tienen imagen. En el diagrama sagital adjunto, Dom f = A.

Recorrido de f: conjunto de todas las imágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada (B) que tienen preimagen. En el diagrama sagital adjunto, Rec f = {p, s, t}.

Evaluación de una función

Ejemplos:1. Si f(x) = 3x + 5, entonces f(– 1) es:

f(– 1) = 3 • (– 1) + 5f(– 1) = – 3 + 5f(– 1) = 2

2. Si f(x) = x2 – 3, entonces f(a + 3) es:

f(a + 3) = (a + 3)2 – 3f(a + 3) = (a2 + 2 • 3a + 32) – 3f(a + 3) = a2 + 6a + 9 – 3f(a + 3) = a2 + 6a + 6

Gráfico de una función

a

b

f

x

f(x) = yf(a) = b

⇓(a, b) = (a, f(a))

Está formado por todos los pares ordenados (x, y) que se obtienen al evaluar la función para distintos valores de x.

Guía

11Cpech

Tabla de corrección

Ítem Clave Habilidad Dificultad estimada1 Comprensión Media2 Comprensión Media3 Comprensión Fácil4 Aplicación Media5 Aplicación Difícil6 Aplicación Media7 Aplicación Difícil8 Aplicación Media9 Aplicación Media

10 Aplicación Difícil11 Aplicación Fácil12 Aplicación Media13 Aplicación Media14 Aplicación Difícil15 Aplicación Media16 Aplicación Difícil17 ASE Difícil18 ASE Difícil19 ASE Media20 ASE Difícil21 ASE Difícil22 ASE Difícil23 ASE Difícil24 ASE Media25 ASE Difícil

Registro de propiedad intelectual de Cpech.Prohibida su reproducción total o parcial.

_____________________________________________________Han colaborado en esta edición:

Directora AcadémicaPaulina Núñez Lagos

Directora de Desarrollo Académico e Innovación InstitucionalKatherine González Terceros

Coordinadora PSUFrancisca Carrasco Fuenzalida

Equipo EditorialRodrigo Cortés RamírezPablo Echeverría SilvaMarcelo Gajardo VargasAndrés Grandón Guzmán

Equipo Gráfico y DiagramaciónCynthia Ahumada PérezDaniel Henríquez FuentesVania Muñoz DíazTania Muñoz RomeroElizabeth Rojas Alarcón

Equipo de Corrección IdiomáticaPaula Santander Aguirre

Imágenes Banco Archivo Cpech

El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.