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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Trigonometría

Curso de Extensión

PARTE D SESIONES 14 - 16

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

TRIGONOMETRÍA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 8


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Trigonometría

Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”

Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”

Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88

Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”

Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158

Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”

Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205

Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221




Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………

Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”

Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………

Tema 7 “Resolución de triángulos”

Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………

Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………

Respuestas a las Autoevaluaciones.

Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14

Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46

Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80

Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………




Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………




Introducción

Este curso está orientado hacia la capacitación del

estudiante para el uso de herramientas básicas de

trigonometría. Esta área, como parte de las

matemáticas trata del cálculo de los elementos de los

triángulos planos y esféricos, siendo las funciones

trigonométricas parte fundamental del análisis y del

cálculo desempeñando un importante papel tanto en las

matemáticas puras, como en las aplicadas.

Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los

estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de

trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones

prácticas en su quehacer profesional.

El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones

Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades

Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones

trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes

de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de

Los Andes.

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas de trigonometría.

Objetivos específicos

* Tema 1: Preliminares geométricos

Formular los conceptos básicos de la trigonometría.

* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo

rectángulo.

* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo

Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.

* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos

suplementarios

Resolver problemas aplicados.




* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos

Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de

problemas.

* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.

* Tema 7: Resolución de triángulos

Resolver problemas de triángulos.

Estrategias

Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,

voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes

satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta

modalidad le permitirá:

1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio.

2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,

M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.

están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL

CURSO:

Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada

tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.

Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser

analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse

en un tiempo determinado.

Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se

lograrán durante la interacción con cada sesión.

Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.

Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben

seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje

de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los

contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes

(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos

y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te




permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada

sesión.

Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el

autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario

empleado.

Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de

finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te

sientas preparado para presentar la evaluación final.

Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

• Leer pausadamente cada sesión de clase

• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada unidad

• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases

• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

• Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



208 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos

Tema 5/ Sesión 14

Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos

Sesión 14


* Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de problemas.

Actividades

* Leer apuntes sesión 14. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 14. * Realizar la autoevaluación de la sesión 14.

Recursos

* Apuntes sesión 14. * Ejercicios resueltos sesión 14.

Introducción

En este capítulo se mostrarán las fórmulas en las que aparecen las

funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos

de la forma α+β y α−β, y se aplicarán las relaciones y

operaciones con ángulos resultantes a la solución de problemas.

Con el objeto de lograr una mayor precisión se introduce el

concepto de submúltiplos de ángulos en la escala sexagesimal, el

cual se trató en el Capítulo I, y en este Capítulo se tratará a manera

de repaso. El capítulo finalizará con el estudio de identidades

trigonométricas.

1. Submúltiplo de un ángulo en la escala sexagesimal

En el Capítulo I se expresó la medida de un ángulo en el sistema

sexagesimal en grados (º), minutos (‘) y segundos (‘’). En este

capítulo hablaremos de submúltiplos al dividir los grados

sexagesimales en minutos y segundos.

Definición 5.2.1. Un minuto se define como la sesentava parte (1/60)

de un grado sexagesimal; y un segundo como la sesentava parte

de un minuto.

Recuerde que un minuto lo denotamos por ‘y los segundos por ‘’.

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.



Tema 5/ Sesión 14

La división de los grados en minutos y los minutos en segundos nos

permite introducir una mayor precisión en la medida de ángulos, ya

que es posible trabajar con medidas entre dos ángulos consecutivos

(en escala decimal) y expresarlo en el sistema sexagesimal.

De la definición 5.2.1 se deduce que un grado contiene 60 minutos y

un minuto contiene 60 segundos; por tanto un grado contiene 3600

segundos.

Para sumar ángulos expresados en grados, minutos y segundos se

siguen los siguientes pasos:

Se suman los segundos, llamemos s el resultado de esta suma.

Si el resultado s de la suma de los segundos es igual o mayor a

60’’ se efectúa la diferencia s-60 y el resultado será la

cantidad de segundos en la suma; de esta forma se incrementa

el número de minutos en una unidad.

Si la suma s es menor de 60’’, esta queda igual.

Se suman los minutos, llamemos m la cantidad total de minutos

ya incrementados con la regla anterior.

Si m es menor que 60º esta permanece invariante y se coloca en

la suma.

Si m es mayor a 60º se efectúa la resta m-60 y se incrementa en

una unidad los grados totales.

Se suman los grados obteniéndose una suma total g ya

incrementada por la regla c).

Ejemplo 14.1

Efectuar la suma de los siguientes ángulos expresados en grados

minutos y segundos: 35º 40’ 54’’ + 33º 37’ 50’’

Solución:

Siguiendo los pasos señalados anteriormente se obtiene,

35º 40’ 54’’

33º 37’ 50’’ +

69º 18’ 44’’

Donde s = 54’’ + 50’’ = 104’’ mayor que 60’’; luego se incrementa

en una unidad a los minutos y se efectúa la diferencia s-60’ = 104’’ -

60’’ = 44’’ que son los segundos restantes en la suma.

Luego, t = 40’ + 37´ + 1’ = 78’, que es mayor de 60’; luego, se

incrementará en una unidad a los grados totales y se efectúa la

diferencia t-60’ = 78’- 60’ = 18’ que son los minutos restantes en la

suma.




Tema 5/ Sesión 14

Los grados totales serán g = 35º + 33º + 1º = 69º

Para la resta o diferencia de ángulos expresados en grados, minutos

y segundos se procede de forma análoga al caso anterior pero

ahora restando y siguiendo los siguientes pasos:

a. Se restan los segundos: si los segundos del minuendo es menor

que los segundos del sustraendo se resta un minuto al

sustraendo (que son 60’’) y procedemos a restar; en caso

contrario la resta de los segundos se hace de forma habitual.

b. Se restan los minutos: si los minutos del minuendo, ya

disminuidos en una unidad si es necesario para restar los

segundos en a), es menor que los minutos del sustraendo, se

resta un grado al minuendo (que son 60’) y se procede a la

diferencia. En caso contrario la resta de los minutos se hace de

forma normal.

c. Se restan los grados: teniendo en cuenta de disminuir en una

unidad los grados del minuendo si fue necesario para restar los

minutos en b).

Ejemplo 14.2

Efectuar la diferencia de los siguientes ángulos expresados en

grados, minutos y segundos: 50º 5’ 15’’ – 28º 13’ 18’’

Solución:

Siguiendo los pasos señalados para la diferencia de ángulos se

tiene que,

50º 5’ 15’’ -

28º 13’ 18’’

21º 51’ 57’’

Se restan los segundos: pero los segundos del minuendo (15’’) es

menor que los minutos del sustraendo (18’’), luego, quitamos un

minuto del sustraendo (que son 60’’) y lo sumamos a los 15’’ que

ya tenemos, para proceder a la resta,

75’’ – 18’’ = 57’’

Se restan los minutos: pero los minutos del minuendo se ven

disminuidos en una unidad ya que se pasaron a segundos, lo

que significa que tenemos solo 4’. Ahora, observamos que los

minutos nuevos del minuendo (4’) es menor que los minutos del

sustraendo (que son 13’), luego quitamos un grado del

minuendo (que son 60’) y lo sumamos a los 4’ que ya tenemos,

lo que hace un total de 64’, y efectuamos la diferencia,




Tema 5/ Sesión 14

64’ – 13’ = 51’

Se restan los grados: teniendo en cuenta que los grados del

minuendo deben disminuir en una unidad, ya que fueron

anexados a los minutos; en este caso se efectúa la diferencia,

49º - 28º = 21º

Observaciones: Al sumar dos ángulos puede suceder que el

resultado se superior a 360º, lo cual ya sabemos expresarlos en

vueltas, grados minutos y segundos, ya visto en el Capítulo I.

De igual manera al restar dos ángulos el resultado puede ser un

valor negativo, lo que se interpretará como un sentido de giro

horario ya estudiado en el Capítulo I.

2. Funciones trigonométricas de la suma de ángulos

Las primeras identidades ó igualdades trigonométricas que se

discutirán serán las que se refieren a la suma de dos ángulos y que

se expresan en los siguientes teoremas:

Teorema 5.3.1.

βαβαβα sensensen coscos)( +=+ (5.3.1)

Teorema 5.3.2.

βαβαβα sensen−=+ coscos)cos( (5.3.2)

Teorema 5.3.3.

βαβαβα

tagtagtagtagtag

−+

=+1

)( (5.3.3)

Ejemplo 14.3 Calcular el valor exacto de sen75º

Solución:

Notemos que 75º = 30º +45º, por lo tanto tomemos α = 30º y β = 45º.

Luego:

sen(75º) = sen(30º + 45º) = sen30ºcos45º + cos30ºsen45º

=22

23

22

21

+

=4

62 +




Tema 5/ Sesión 14

Ejemplo 14.4

Utilice los ángulos π/3 y π/4 para determinar cos (127π

)

Solución:

Si tomamos en cuenta que 4312

7 πππ+= y empleamos la fórmula

para cos (α+β), dada en el teorema 5.3.2, α = π/3 y β= π/4

obtenemos:

Cos (7π/12) = cos(π/3+π/4) = cos(π/3)cos(π/4) – sen(π/3)sen(π/4)

= 22

23

22

21

−

= 4

62 −

Ejemplo 14.5

Dados senα =54

y cosβ = -1312

− , donde α y β están en los

cuadrantes I y II respectivamente, obtener el valor exacto de

sen (α+β) y tan(α+β), y determinar el cuadrante donde se localiza

α+β.

Solución:

Es conveniente representar α y β geométricamente como se ilustra

en la figura 5.3.1.

Como sen α =54

puede tomarse el punto P (3,4) sobre la recta que

determina a α. De forma análoga, como cos β = -1312

− puede

tomarse el punto (-12,5) que está sobre la recta que determina a β.

Esto se puede hacer recordando que:

Sen α =hipotenusaladeLongitud

OpuestoCatetodelLongitud y

Cos β =hipotenusaladeLongitud

AdyacenteCatetodelLongitud

Funciones trigonométricas definidas en el Capítulo II para un

triángulo rectángulo. Esto nos permite construir los triángulos OAP y




Tema 5/ Sesión 14

OBQ que se muestran en la figura 14.1., con los ángulos α y β

correspondientes.

Observación: La longitud del cateto faltante en cada triángulo se

conoce aplicando el Teorema de Pitágoras.

Figura 14.1. Triángulos Si nos referimos a los triángulos rectángulos OAP y OBQ de la figura, y

empleando nuevamente las definiciones de las funciones

trigonométricas que faltan, obtenemos:

Cos α =53

==OPOA

hipotenusaladeLongitudAdyacenteCatetodelLongitud

Tag α =34

==OAAP

adyacentecatetodelLongitudopuestocatetodelLongitud

Para determinar las funciones trigonométricas con el ángulo β,

podemos trabajar con el ángulo β definido en la figura y las

identidades dadas en la sección 5.3, como se señala a

continuación:

y

Q(-12,5)

P(3,4) 4 13

senβ = 135cos

2coscos

2)

2( ==+=+ γγ

πγ

πγ

π sensensen

tagβ = 125

1312

135cos

)2

cos(

)2

()

2( −=−=−=

+

+=+

γγ

γπ

γπ

γπ

sen

sentag

Utilizando las ecuaciones 5.3.1 y 5.3.3 para la suma de ángulos

tenemos:

βαβαβα sensensen coscos)( +=+

α

β

5 5 4

3 O -12 B A x

γ




Tema 5/ Sesión 14



= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

135

53

1312

54

=6515

6548

+−

=6533

−

Y

βαβαβα

tagtagtagtagtag

−+

=+1

)(

=

36201

125

34

125

341

125

34

+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

362036

361548

+

−

=5633

36563633

=

Como )( βα +sen es negativo y tag )( βα + es positivo )( βα +

está en el III cuadrante.

Note que para el cálculo de tag⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + γπ

2 no se utilizó la ecuación

5.3.3, pues tag( /2) no está definida.

Otras funciones trigonométricas que surgen de las enunciadas

anteriormente son:

βαβαβαβα

βαβα

cotagcotag1cotagcotag

1)(

1)(cotag

+−

=

+−

=+

=+tagtagtagtag

tag (5.3.4)

)cos(1)sec(

βαβα

+=+ (5.3.5)

)(1)(cosec

βαβα

+=+

sen (5.3.6)


Tema 5/ Sesión 14

Ejemplo 14.6

Conociendo las funciones trigonométricas de 45º y 60º, calcule las

funciones trigonométricas de 105º

Solución:

De acuerdo a las ecuaciones 5.3.1 a 5.3.6 tenemos:

a) sen(105º) = sen(45º+60º)

= sen(45º) cos(60º) + cos(45º) sen(60º)

= 23

22

21

22

+

= 46

42

+

= 4

62 +

b) cos(105º) = cos(45º+60º)

= cos(45º) cos(60º) - sen(45º) sen(60º)

= 23

22

21

22

−

= 46

42

−

= 4

62 −

c) tag(105º) = tag(45º+60º)

= )º60()º45(1)º60()º45(

tagtagtagtag

−+

=)3()1(1

31−

+

= 3131

−

+

=

322

32431

33313131.

3131

−−=−

+=

−+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+

d) cotag(105º) = 3131

3131

1)º105(

1+

−=

−

+=

tag




Tema 5/ Sesión 14

e) sec(105º) = 62

4

462

1)º105cos(

1−

=−

=

f) cosec(105º)= 62

4

462

1)º105(

1+

=+

=sen




Tema 5/ Sesión 14


Sesión 14: Ejercicios propuestos

1. Utilizando las funciones trigonométricas de (+3) determine el

Seno. Coseno y tangente de los ángulos 2π/3, 5π/3, 105º y

135º.

2. Dado Sen = 3/5 Cos a el III cuadrante y Tag β=4/3con β al 1er

cuadrante

3. Determine el Seno, Coseno y tangente de + β. Indicar el

cuadrante donde se encuentra el ángulo de + β.

4. Determine la Cotangente, Secante y Cosecante de + β

sabiendo que:

a) Sen = 3 y Sen β= 2√13

5 13

b) Cos = 4√14 y Cos Β= 5√61

41 61

c) Tag = 1 y Cotag β= 1 2 4




Tema 5/ Sesión 14


Sesión 14

Autoevaluación 14 Pregunta Nº 1 La mayoría de los ángulos positivos en grados, minutos y segundos

son= 30º 50’ 45’’ y β= 40º 38’ 57’’.

La suma (+β) es igual a: a. 70º 89’ 02’’ b. 71º 29’ 02’’ c. 71º 29º 42’’ d. 70º 29’ 02’’ Pregunta Nº 2

Si Cos = _ 4/5 con en el III cuadrante y Tag Β= 4/3 con β en el 1er

cuadrante, al

Calcular Sen (+β) el resultado es:

a. 0 b. -1 c. 1 d. 2

Pregunta Nº 3

Al expresar Cos (+β+π) en términos de funciones trigonométricas

de y β se obtiene:

a. Sen β Cos - Sen Cos β b. Cos Cos β - Sen Sen β c. Sen Cos β - Sen β Cos d. Sen Sen β - Cos Cos β Pregunta Nº 4 Si = 90º y β= 45º. TAG ( + β) es igual a:

a. 0 b. -1 c. 1 d. no existe

Pregunta Nº 5

Si Tag = 1/3 y Cotag β 1/5, Con y β a el 1er Cuadrante al

calcular Sec ( + β)




Tema 5/ Sesión 14

Se obtiene:

a. -√65 b. 1/√65 c. √65 d. -2√65

Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.




Tema 5/ Sesión 14


Sesión 14

Respuestas a la Autoevaluación 14

Pregunta Nº 1

b. 71º 29’ 42’’

Pregunta Nº 2 c. -1 Pregunta Nº 3

d. Sen Sen β - Cos Cos β Pregunta Nº 4

c. - 1 Pregunta Nº 5

a. -√65




Tema 5/ Sesión 15


Sesión 15


* Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de problemas.

Actividades

* Leer apuntes sesión 15. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 15. * Realizar la autoevaluación de la sesión 15.

Recursos

* Apuntes sesión 15. * Ejercicios resueltos sesión 15.

Introducción

En este capítulo se mostrarán las fórmulas en las que aparecen las

funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos

de la forma α+β y α−β, y se aplicarán las relaciones y

operaciones con ángulos resultantes a la solución de problemas.

Con el objeto de lograr una mayor precisión se introduce el

concepto de submúltiplos de ángulos en la escala sexagesimal, el

cual se trató en el Capítulo I, y en este Capítulo se tratará a manera

de repaso. El capítulo finalizará con el estudio de identidades

trigonométricas.

1. Submúltiplo de un ángulo en la escala sexagesimal

En el Capítulo I se expresó la medida de un ángulo en el sistema

sexagesimal en grados (º), minutos (‘) y segundos (‘’). En este

capítulo hablaremos de submúltiplos al dividir los grados

sexagesimales en minutos y segundos.

Definición 5.2.1. Un minuto se define como la sesentava parte (1/60)

de un grado sexagesimal; y un segundo como la sesentava parte

de un minuto.

Recuerde que un minuto lo denotamos por ‘ y los segundos por ‘’.




Tema 5/ Sesión 15

La división de los grados en minutos y los minutos en segundos nos

permite introducir una mayor precisión en la medida de ángulos, ya

que es posible trabajar con medidas entre dos ángulos consecutivos

(en escala decimal) y expresarlo en el sistema sexagesimal.

De la definición 5.2.1 se deduce que un grado contiene 60 minutos y

un minuto contiene 60 segundos; por tanto un grado contiene 3600

segundos.

Para sumar ángulos expresados en grados, minutos y segundos se

siguen los siguientes pasos:

Se suman los segundos, llamemos s el resultado de esta

suma.

Si el resultado s de la suma de los segundo.

os es igual o mayor a 60’’ se efectúa la diferencia s-60 y el

resultado será la cantidad de segundos en la suma; de esta

forma se incrementa el número de minutos en una unidad.

Si la suma s es menor de 60’’, esta queda igual.

Se suman los minutos, llamemos m la cantidad total de

minutos ya incrementados con la regla anterior.

Si m es menor que 60º esta permanece invariante y se

coloca en la suma.

Si m es mayor a 60º se efectúa la resta m-60 y se incrementa

en una unidad los grados totales.

Se suman los grados obteniéndose una suma total g ya

incrementada por la regla c).

Ejemplo 15.1

Efectuar la suma de los siguientes ángulos expresados en grados

minutos y segundos: 35º 40’ 54’’ + 33º 37’ 50’’

Solución:

Siguiendo los pasos señalados anteriormente se obtiene,

35º 40’ 54’’

33º 37’ 50’’ +

69º 18’ 44’’

Donde s = 54’’ + 50’’ = 104’’ mayor que 60’’; luego se incrementa

en una unidad a los minutos y se efectúa la diferencia s-60’ = 104’’ -

60’’ = 44’’ que son los segundos restantes en la suma.

Luego, t = 40’ + 37´ + 1’ = 78’, que es mayor de 60’; luego, se

incrementará en una unidad a los grados totales y se efectúa la

diferencia t-60’ = 78’- 60’ = 18’ que son los minutos restantes en la

suma.




Tema 5/ Sesión 15

Los grados totales serán g = 35º + 33º + 1º = 69º

Para la resta o diferencia de ángulos expresados en grados, minutos

y segundos se procede de forma análoga al caso anterior pero

ahora restando y siguiendo los siguientes pasos:

a. Se restan los segundos: si los segundos del minuendo es menor

que los segundos del sustraendo se resta un minuto al

sustraendo (que son 60’’) y procedemos a restar; en caso

contrario la resta de los segundos se hace de forma habitual.

b. Se restan los minutos: si los minutos del minuendo, ya

disminuidos en una unidad si es necesario para restar los

segundos en a), es menor que los minutos del sustraendo, se

resta un grado al minuendo (que son 60’) y se procede a la

diferencia. En caso contrario la resta de los minutos se hace de

forma normal.

c. Se restan los grados: teniendo en cuenta de disminuir en una

unidad los grados del minuendo si fue necesario para restar los

minutos en b).

Ejemplo 15.2

Efectuar la diferencia de los siguientes ángulos expresados en

grados, minutos y segundos: 50º 5’ 15’’ – 28º 13’ 18’’

Solución:

Siguiendo los pasos señalados para la diferencia de ángulos se

tiene que,

50º 5’ 15’’ -

28º 13’ 18’’

21º 51’ 57’’

Se restan los segundos: pero los segundos del minuendo

(15’’) es menor que los minutos del sustraendo (18’’), luego,

quitamos un minuto del sustraendo (que son 60’’) y lo

sumamos a los 15’’ que ya tenemos, para proceder a la

resta,

75’’ – 18’’ = 57’’

Se restan los minutos: pero los minutos del minuendo se ven

disminuidos en una unidad ya que se pasaron a segundos,

lo que significa que tenemos solo 4’. Ahora, observamos que

los minutos nuevos del minuendo (4’) es menor que los

minutos del sustraendo (que son 13’), luego quitamos un

grado del minuendo (que son 60’) y lo sumamos a los 4’ que




Tema 5/ Sesión 15

ya tenemos, lo que hace un total de 64’, y efectuamos la

diferencia,

64’ – 13’ = 51’

Se restan los grados: teniendo en cuenta que los grados del

minuendo deben disminuir en una unidad, ya que fueron

anexados a los minutos; en este caso se efectúa la

diferencia,

49º - 28º = 21º

Observaciones: Al sumar dos ángulos puede suceder que el

resultado se superior a 360º, lo cual ya sabemos expresarlos en

vueltas, grados minutos y segundos, ya visto en el Capítulo I.

De igual manera al restar dos ángulos el resultado puede ser un

valor negativo, lo que se interpretará como un sentido de giro

horario ya estudiado en el Capítulo I.

2. Funciones trigonométricas de la suma de ángulos

Las primeras identidades ó igualdades trigonométricas que se

discutirán serán las que se refieren a la suma de dos ángulos y que

se expresan en los siguientes teoremas:

1.1. Teorema 5.3.1.

βαβαβα sensensen coscos)( +=+ (5.3.1)

1.2. Teorema 5.3.2.

βαβαβα sensen−=+ coscos)cos( (5.3.2)

1.3. Teorema 5.3.3.

βαβαβα

tagtagtagtagtag

−+

=+1

)( (5.3.3)

Ejemplo 15.3 Calcular el valor exacto de sen75º

Solución:

Notemos que 75º = 30º +45º, por lo tanto tomemos α = 30º y β = 45º.

Luego:

Sen (75º) = sen(30º + 45º) = sen30ºcos45º + cos30ºsen45º

=22

23

22

21

+

=4

62 +




Tema 5/ Sesión 15

Ejemplo 15.4

Utilice los ángulos π/3 y π/4 para determinar cos (127π

)

Solución:

Si tomamos en cuenta que 4312

7 πππ+= y empleamos la fórmula

para cos (α+β), dada en el teorema 5.3.2, α = π/3 y β= π/4

obtenemos:

Cos (7π/12) = cos(π/3+π/4) = cos(π/3)cos(π/4) – sen(π/3)sen(π/4)

= 22

23

22

21

−

= 4

62 −

Ejemplo 15.5

Dados sen α =54

y cos β = -1312

− , donde α y β están en los

cuadrantes I y II respectivamente, obtener el valor exacto de sen(α +

β ) y tan(α + β ), y determinar el cuadrante donde se localiza α + β.

Solución:

Es conveniente representar α y β geométricamente como se ilustra

en la figura 5.3.1.

Como sen α =54

puede tomarse el punto P (3,4) sobre la recta que

determina a α. De forma análoga, como cos β = -1312

− puede

tomarse el punto (-12,5) que está sobre la recta que determina a β.

Esto se puede hacer recordando que:

Sen α =hipotenusaladeLongitud

OpuestoCatetodelLongitud y

Cos β =hipotenusaladeLongitud

AdyacenteCatetodelLongitud

Funciones trigonométricas definidas en el Capítulo II para un

triángulo rectángulo. Esto nos permite construir los triángulos OAP y




Tema 5/ Sesión 15

OBQ que se muestran en la figura 15.1., con los ángulos α y β

correspondientes.

Observación: La longitud del cateto faltante en cada triángulo se

conoce aplicando el Teorema de Pitágoras.

Figura 15.1. Triángulos Si nos referimos a los triángulos rectángulos OAP y OBQ de la figura, y

empleando nuevamente las definiciones de las funciones

trigonométricas que faltan, obtenemos:

Cos α =53

==OPOA

hipotenusaladeLongitudAdyacenteCatetodelLongitud

Tag α =34

==OAAP

adyacentecatetodelLongitudopuestocatetodelLongitud

Para determinar las funciones trigonométricas con el ángulo β,

podemos trabajar con el ángulo β definido en la figura y las

identidades dadas en la sección 5.3, como se señala a

continuación:

y

Q(-12,5)

P(3,4) 4 13

Sen β = 135cos

2coscos

2)

2( ==+=+ γγ

πγ

πγ

π sensensen

Tag β = 125

1312

135cos

)2

cos(

)2

()

2( −=−=−=

+

+=+

γγ

γπ

γπ

γπ

sen

sentag

Utilizando las ecuaciones 5.3.1 y 5.3.3 para la suma de ángulos

tenemos:

βαβαβα sensensen coscos)( +=+

α

β

5 5 4

3 O -12 B A x

γ




Tema 5/ Sesión 15



= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

135

53

1312

54

=6515

6548

+−

=6533

−

Y

βαβαβα

tagtagtagtagtag

−+

=+1

)(

=

36201

125

34

125

341

125

34

+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

362036

361548

+

−

=5633

36563633

=

Como )( βα +sen es negativo y tag )( βα + es positivo )( βα +

está en el III cuadrante.

Note que para el cálculo de tag ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + γπ

2 no se utilizó la ecuación

5.3.3, pues tag( /2) no está definida.

Otras funciones trigonométricas que surgen de las enunciadas

anteriormente son:

βαβαβαβα

βαβα

cotagcotag1cotagcotag

1)(

1)(cotag

+−

=

+−

=+

=+tagtagtagtag

tag (5.3.4)

)cos(1)sec(

βαβα

+=+ (5.3.5)

)(1)(cosec

βαβα

+=+

sen (5.3.6)


Tema 5/ Sesión 15

Ejemplo 15.6

Conociendo las funciones trigonométricas de 45º y 60º, calcule las

funciones trigonométricas de 105º

Solución:

De acuerdo a las ecuaciones 5.3.1 a 5.3.6 tenemos:

a) sen(105º) = sen(45º+60º)

= sen (45º) cos(60º) + cos(45º) sen(60º)

= 23

22

21

22

+

= 46

42

+

= 4

62 +

b) cos(105º) = cos(45º+60º)

= cos(45º) cos(60º) - sen(45º) sen(60º)

= 23

22

21

22

−

= 46

42

−

= 4

62 −

c) tag(105º) = tag(45º+60º)

= )º60()º45(1)º60()º45(

tagtagtagtag

−+

=)3()1(1

31−

+

= 3131

−

+

=

322

32431

33313131.

3131

−−=−

+=

−+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+

d) cotag(105º) = 3131

3131

1)º105(

1+

−=

−

+=

tag




Tema 5/ Sesión 15

e) sec(105º) = 62

4

462

1)º105cos(

1−

=−

=

f) cosec(105º)= 62

4

462

1)º105(

1+

=+

=sen



230 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas

Tema 6/ Sesión 16

Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas

Sesión 16


* Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.

Actividades

* Leer apuntes sesión 16. * Realizarlos ejercicios de la sesión 16. * Realizar la autoevaluación de la sesión 16.

Recursos

* Apuntes sesión 16. * Ejercicios sesión 16.

Identidades Trigonométricas

Definición 6.1.1. Una identidad trigonométrica es una igualdad que

contiene funciones trigonométricas y que es verdadera para todos

los valores de los ángulos para los cuales están definidas estas

funciones. Por ejemplo las expresiones,

Sen2 α + cos2 α = 1 y tag x = xx

cossen

son identidades trigonométricas que son válidas para todo valor de

α y x donde estas funciones están definidas.

En el siguiente teorema se enuncian algunas identidades

trigonométricas importantes. El estudiante debe estar familiarizado

con cada una de estas identidades, ya que ellas han sido

deducidas en el capítulo II.

Teorema 6.1.1. Para cualquier ángulo α se tiene que:

a) (6.1.1) 1cos22 =+ ααsen

b) αα

αcossentag = (6.1.2)




Tema 6/ Sesión 16

c) αtag

ag 1cot = (6.1.3)

d) α

αcos

1sec = (6.1.4)

e) α

αsen

ec 1cos = (6.1.5)

f) (6.1.6) αα 22 sec1=+tag

Las identidades (6.1.2), (6.1.3), (6.1.4) y 6.1.5) existen ó son válidas

siempre que el denominador de la función trigonométrica sea

diferente de cero al evaluarla en α.

Ejercicio 16.1 Demostrar la identidad (6.1.1) del teorema anterior

Solución:

Consideremos el ángulo α y el triángulo OAB construidos en la figura

16.1. De acuerdo a las definiciones de las funciones seno y coseno

del ángulo α, interior en un triángulo rectángulo, se tiene que:

OBABsen =α y

OBOA

=αcos

Figura 16.1. Triángulo OAB

Por lo tanto,

22

22 cos ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

OBOA

OBABsen αα

2

22

2

2

2

2

OB

OAAB

OB

OA

OB

AB +=+= (6.1.7)

y

BC

O xA

α




Tema 6/ Sesión 16

Además por el teorema de Pitágoras en el triángulo OAB se tiene

que:

222

OBOAAB =+ (6.1.8)

y por sustitución de la ecuación (6.1.8) en la ecuación (6.1.7), se

obtiene,

1cos 2

222 ==+

OB

OBsen αα

lo que demuestra la identidad.

Las otras identidades se pueden demostrar de manera análoga

utilizando el triángulo OAB de la figura 6.1.1. Se deja al estudiante

como ejercicio.

Ejemplo 16.2 Demostrar que 1sec 22 += αα tag

Solución:

En el ejercicio anterior se demostró que para cualquier ángulo α se

tiene,

(6.1.9) 1cos22 =+ ααsen

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (6.1.9) entre cos2α

obtenemos,

αα

ααα

22

2

2

2

cos1

coscos

cos=+

sen

de donde,

α

α 22

cos11=+tag

es decir,

αα 22 sec1=+tag

El proceso de transformar un lado de la identidad a la forma del

otro lado se llama probar la identidad ó verificar la identidad.

Cabe destacar, que no podemos dar un método general a seguir

para probar una identidad en cualquier caso. Es esencial contar un

conocimiento completo de las identidades fundamentales

presentadas en secciones anteriores, porque estas relaciones

sugieren frecuentemente las reducciones que deben hacerse para

simplificar expresiones trigonométricas complicadas. En las

identidades que contienen funciones de ángulos múltiples, ángulos




Tema 6/ Sesión 16

fraccionarios ó de sumas y diferencias de ángulos, por regla general,

es aconsejable expresar dichas funciones, como funciones de

ángulos sencillos. Si después de hacer esto no aparece ningún

procedimiento factible, usualmente es ventajoso cambiar todas las

funciones a senos y cosenos.

Presentaremos a continuación dos métodos que se pueden seguir

para la demostración de identidades dadas.

1. Método1

El primer método consiste en reducir un miembro a la forma del otro

miembro, usando identidades conocidas. En general, el miembro

mas complicado es reducido a la forma del miembro más sencillo.

Ejemplo 16.3 Probar la identidad (sec α+ tag α) (1-sen α) = cos α

Solución:

Tenemos que,

(secα + tagα)(1-senα) = )sen1(cossen

cos1 α

αα

α−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= )sen1(cos

sen1 αα

α−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= α

ααcos

)sen1)(sen1( −+

= ααα

αα cos

coscos

cossen1 22

==−

Ejemplo 16.4

Al desarrollar la expresión x

xxsen

costag +, el resultado es

a) cosecx +cotagx b) secx – cotagx

c) secx + tagx d) secx + cotagx

Solución:

En este problema se esta pidiendo desarrollar una expresión

trigonométrica larga, a una expresión mas corta simplificada y que

debe coincidir con alguna de las cuatro respuestas dadas.

Desarrollando se tiene que:




Tema 6/ Sesión 16



xxxx

xx

xx

xxx cotag

sencossen

sencos

sentag

sencostag

+=+=+

= xx

cotagcos

1+

= xx cotagsec +

(Por tanto, la respuesta correcta es la c)

Ejemplo 16.5 Verificar la identidad secu – cosu = senu tagu

Solución:

Podemos transformar el lado izquierdo en el lado derecho como

sigue:

uu

uu coscos

1cossec −=−

Desarrollando la diferencia se tiene,

=uu

uu

cossen

coscos1 22

=−

=

uuuuu tagsen

cossensen =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ejemplo 16.6 Al calcular tag (45º + x) – tag (45º - x), el resultado es

a) tagx b) 2 tag2x

c) 2 tagx d) tag2x

Solución:

Utilizando la identidad 5.3.3 definida en el capítulo V para la

tangente de la suma de dos ángulos, se tiene que:

tag(45º + x) – tag(45º - x) = tagxtagtagxtag

tagxtagtagxtag

º451º45

º451º45

+−

−−

+

= tagxtagx

tagxtagx

+−

−−+

11

11

= )1)(1()1()1( 22

tagxtagxtagxtagx

+−−−+

y, desarrollando los productos notables se obtiene,

=xtag

xtagtagxxtagtagx2

22

1)21()21(

−+−−++


Tema 6/ Sesión 16



= xtag

tagx21

4−

Y, por la ecuación 5.5.3definida en el capítulo V donde,

tag2x = x

x2tag1

tag2−

, se llega a:

= 2 tag2x

( Por tanto la selección correcta es la b)

Ejemplo 16.7

Al desarrollar la expresión 1 + tag2β tagβ, el resultado es

a) sec2β b) secβ

c) senβ d) sen2β

Nuevamente utilizando la ecuación 5.5.3 del Capítulo V, se obtiene

que:

ββ

βββ tagtagtagtagtag 21

2121−

+=+

=ββ

2

2

121

tagtag

−+

Efectuando la suma se llega a,

=ββ

βββ

2

2

2

22

11

121

tagtag

tagtagtag

−+

=−

+−

=

βββ

βββ

ββββ

2

22

2

22

2

2

2

2

coscos

coscos

cos1

cos1

sen

sen

sen

sen

−

+

=−

+

= ββββ

ββ 2sec2cos

1coscos

22

22

==−+

sensen

Por tanto a) es la respuesta correcta.

2. Método 2

El segundo método para probar ó verificar una identidad consiste

en reducir ambos miembros usando identidades conocidas.

Entonces, como los dos miembros son idénticos a una misma

expresión, son idénticos entre sí.

Ejemplo 16.8


Tema 6/ Sesión 16



Verificar la identidad ββ

ββsensentag

+−

=−11)sec( 2

Solución:

Para comprobar la identidad mostraremos que se puede

transformar cada lado de la ecuación dada en una misma

expresión.

El lado izquierdo de la expresión se puede escribir como:

ββββββ 222 secsec2)sec( +−=− tagtagtag

=βββ

βββ

22

2

cos1

cos1

cos2

cos+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

sensen

= β

ββ2

2

cos12 +− sensen

Desarrollando el lado derecho, multiplicando y dividiendo por la

diferencia conjugada del denominador, se obtiene que:

β

βββ

ββ

ββ

2

2

1)1(

)1()1(

)1()1(

11

sensen

sensen

sensen

sensen

−−

=−−

+−

=+−

Desarrollando el producto notable en el numerador y utilizando la

identidad 6.1.1 en el denominador se llega a:

=β

ββ2

2

cos21 sensen +−

que es la misma expresión obtenida anteriormente con el lado

izquierdo. La ecuación dada es una identidad, ya que todos los

pasos son reversibles.

Ejemplo 16.9

Probar que la siguiente expresión es una identidad

tagytagxtagytagx

yxsenyxsen

−+

=−+

)()(

Solución:

• Desarrollando el lado izquierdo de la expresión se tiene,

senyxysenxsenyxysenx

yxsenyxsen

coscoscoscos

)()(

−+

=−+

• Desarrollando el lado derecho se llega a:


Tema 6/ Sesión 16

yxsenyxysenx

yxsenyxysenx

yseny

xsenx

yseny

xsenx

tagytagxtagytagx

coscoscoscos

coscoscoscos

coscos

coscos−

+

=−

+=

−+

= senyxysenxsenyxysenx

coscoscoscos

−+

que es igual a la expresión obtenida en a) lo cual prueba que,

tagytagxtagytagx

yxsenyxsen

−+

=−+

)()(

es una identidad.



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