gu a edificios rev.2 1
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Guía de ejercicios resueltosTRANSCRIPT
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 0
Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería
Depto. de Ingeniería en Obras Civiles
GUÍA EDIFICIOS
Realizado por: Sergio Currilen.
Diego Valdivieso.
Fecha: 2 de Febrero 2012
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 1
Algoritmo edificios
1) Determinar matrices de rigidez condensadas a grados horizontales. 2) Determinar centro de gravedad por nivel.
∑
∑
∑
∑
3) Encontrar αij: ángulo del elemento j con respecto al eje X en el nivel i
4) Encontrar dij: distancia perpendicular desde el centro de gravedad al
eje del muro j, en el nivel i. 5) Determinar matrices <β> de unión de edificios, mediante:
<β> = < -senαi cosαi di j >, si la traza del elemento esta en dirección de la
torsión. <β> = < senαi -cosαi -di
j >, si la traza del elemento esta en dirección contraria a la torsión.
6) Determinar matriz de rigidez de diafragma del edificio, mediante:
[KD]=∑<β>T[KC]<β>
7) Determinar centro de rigidez, mediante:
∑
∑
∑
∑
8) Encontrar excentricidad estructural por nivel:
(ex,ey) = (Xcg,Ycg) – (Xcr,Ycr)
9) Encontrar excentricidad accidental y torsión accidental:
Para el sismo según X es:
Para el sismo según Y es:
10) Determinar fuerzas estáticas equivalentes, mediante método estático de la
Nch433 of 96 Mod.2009 y el decreto supremo Nº61 de diciembre 2011.
11) Determinar vector de fuerzas externas y encontrar desplazamientos de los
diafragmas u, v y ϴ, mediante ley de Hooke matricial.
12) Encontrar esfuerzos para cada estructura:
{ } [ ] { } { }
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 2
Ejercicio Nº1 El edificio de dos niveles cuya distribución de elementos resistentes es la mostrada a continuación, posee cuatro muros por nivel, donde los muros 1 y 3 son marcos del tipo B, y los muros 2 y 4 son marcos del tipo A. Se pide determinar:
a) Matriz de rigidez de los Marcos A y B. b) Matrices <β> de unión de edificio. c) Matriz Diafragma del edificio. d) Centros de gravedad y rigidez de cada nivel.
Nivel Inferior Nivel Superior
Marco A {muro 2 y
4}
Marco B {muro 1 y 3}
EI = 103 [T·m2]
AE = 10 EI
6
Análisis Matricial de Estructuras
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Solución:
i) Rigidez para ambos marcos.
Como necesitamos las matrices de rigidez referida a los grados horizontales, los enumeramos al final, para así, poder consensar después.
Marco A {muro 2 y 4}
=>
Para r5 [KC]A = 10,66 Para r6 [KC]A = 111,11
Marco A {muro 1 y 3}
=>
=>
Para r5 [KC]A = 10,66 Para r6 [KC]A = 111,11
ii) Centros de gravedad
Piso inferior
Xcg = 8 m
Ycg =
= 5,33 m
Piso superior
Xcg = 8 m
r6
r5
r4 r3 r2
r1
1
4 3
2
T
1
1
2
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
r1 r5 r6
r2
21475.47
4368.87
5035.53
4368.87
1703.33
1258.88
5035.53
1258.88
1258.88
[Kq]A =
r1 r5 r6
r2
814.55
234.48
234.48
78.16
[KC]A =
r5 r6
r2
r5
r7
r8
r1
r2
r3 r6 r4
T
1
1
0
2
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
r1 r3 r5 r7 r8
r2
7333.33
1500
1250
458.33
1125
1500
3000
2000
375
375
1250
2000
3750
187.5
187.5
458.33
375
187.5
819.44
375
1125
375
187.5
375
375
[Kq]B =
r1 r3 r5 r7 r8
r2
708.61
199.17
199.17
66.39
[KC]B =
r7 r8
r2
Análisis Matricial de Estructuras
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3 111.11 cos 45( ) 16 3( ) 111.1 cos 45( )
2 111.11 cos 45( )
3 10.41 cos 45( ) 16 3( ) 10.41 cos 45( )
2 10.41 cos 45( )
2 111.11 8 111.11 8 3( ) 111.1 2 cos 45( )
2 111.11 2 111.1 cos 45( )
0 10.66 6 10.66 2 10.41 cos 45( )
2 10.66 2 10.41 cos 45( )
Ycg = = 3,6 m
iii) Centros de Rigidez
Para el cálculo del centro de rigidez de cada diafragma, hay que condensar las matrices de rigidez de cada elemento al grado que las afecta en el diafragma analizado; es necesario aplicar matrices de orden para cambiar el orden de los grados de libertad en la matriz de rigidez de cada elemento, para luego condensar.
El cálculo del centro de rigidez puede realizarse de dos maneras:
1) Realizando una especie de sumatoria de momento, respecto al centro de rigidez (x,y) a encontrar; para esto consideramos las rigideces como si fueran fuerzas (método más engorroso).
2) Utilizando la expresión (método más práctico):
∑
∑
∑
∑
Para piso Inferior XCR=
XCR= 8 m, lo que es obvio debido a la distribución simétrica de los elementos YCR= YCR= 5 m
Para piso Superior
XCR=
XCR= 8 m
YCR=
YCR= 3 m
2 66
2
2
36
4 6 3
4 6 2 66
2
Y
X
111,11
111,1 111,11
111,1
6
Y
X
10,41
10,66
10,66
10,41
Análisis Matricial de Estructuras
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iv) Distancias a muros inclinados
Usando ecuación de la recta y –y1={(x2-x1)/(y2-y1)}(x-x1)
Inferior
Muro 1 (x1,y1) = (8,0) y (x2,y2) = (0,9) => y + x – 8 = 0 Muro 3 (x1,y1) = (8,0) y (x2,y2) = (16,8) => y – x + 8 = 0 Muro 1 (x1,y1) = (6,0) y (x2,y2) = (0,6) => y + x – 6 = 0
Muro3 (x1,y1) = (10,0) y (x2,y2) = (16,6) => y – x + 10 = 0 Recordar que la distancia perpendicular, de un punto a una recta, se determina como:
d = |AXo + BYo + C| con (Xo,Yo) centro de gravedad del nivel i.
√ Reemplazando: (dINF)1 = |1*8 + 1*5,33 - 8| => (dINF)1 = 3,77 m
√ (dINF)3 = |-1*8 + 1*5,33 + 8| => (dINF)3 = 3,77 m
√ (dSUP)1 = |1*8 + 1*5,33 - 8| => (dSUP)1 = 3,96 m
√ (dSUP)3 = |1*8 + 1*5,33 - 8| => (dSUP)3 = 3,96 m
√
v) Tabla resumen
Elemento Nivel α d
1 Inferior 45 3,77
1 Superior 45 3,96
2 Inferior 90 8-5,33=2,67
2 Superior 90 6-3,6=2,4
3 Inferior 135 3,77
3 Superior 135 3,96
4 Inferior 270 5,33-2=3,33
4 Superior 270 3,6
Trazas según sentido positivo de la torsión:
6
δSUP3
δINF4
δSUP2
δSUP1
Análisis Matricial de Estructuras
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vi) Matrices <β> = < -senαi cosαi di j >
GDL en elemento 3 en el sentido de la torsión. GDL en elemento 1 en contra de la torsión => <β> = < senαi -cosαi -di
j > i = nivel, j = elemento
i) Matriz de rigidez de Diafragma.
[KD]=∑<β>T[KC]<β>
0.707
0
0
0.707
0.707
0
0
0.707
3.77
0
0
3.96
<β1>=
u1 u2 v1 v2 ϴ1 ϴ2 Inferior_r7
Superior_r8
1
0
0
1
0
0
0
0
2.67
0
0
2.4
<β3>=
u1 u2 v1v2 ϴ1 ϴ2 Inferior_r7
Superior_r8
0.707
0
0
0.707
0.707
0
0
0.707
3.77
0
0
3.96
<β2>=
u1 u2 v1 v2 ϴ1 ϴ2 Inferior_r5
Superior_r6
1
0
0
1
0
0
0
0
3.33
0
0
3.6
<β4>=
u1 u2 v1 v2 ϴ1 ϴ2
Inferior_r5
Superior_r6
2337.48
668.06
0
0
3239.86
833.85
668.06
222.69
0
0
906.96
277.95
0
0
708.39
199.11
0
0
0
0
199.11
66.37
0
0
3239.86
906.96
0
0
34982.14
10260.28
833.85
277.95
0
0
10260.28
3545.32
[KD] =
u1 u2 v1 v2 ϴ1 ϴ2
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 7
1
3
2
3,
5
3
7
3,
5
3,
5
4 3
4
5
Ejercicio Nº2
Para el siguiente edificio encontrar:
a) Centros de gravedad y de rigidez. b) Matrices <β> de edificios. c) Matriz de Diafragma de Edificios.
La distribución de elementos resistentes es la mostrada a continuación, donde el
elemento 2 esta sobre el centro de gravedad del piso superior.
Nivel Superior. Nivel Inferior.
Marco Tipo (todos los elementos iguales).
Solución
Resolución de Estructura:
La estructura tipo se resolverá mediante la aplicación del método indicial, primero
se identifican los grados de libertad y las posibles compatibilidades:
EI
EI
EI
AEI
AEI 3
4
1 2 1
3
2
7
4
1
2
3
EI= 1250 [T*m]
AE=10EI
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 8
Compatibilidades:
r 1= r5-r4 ; r3= -r6 ; despejando r5 y r6
Matrices a ingresar a la calculadora:
Matriz de compatibilidad de los grados de libertad de la estructura:
T
1
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
4
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
E
5
4
100.5
3
1
126.87
90
108.435
90
0
1250
1250
1250
1250
1250
12500
0
12500
0
0
0
0
7
7
7
0
0
4
0
5
0
0
1
2
1
7
7
8
8
7
4
0
6
0
0
1
2
3
3
2
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 9
Elemento 1:
Elemento 2:
Elemento 3:
Elemento 4:
T
1
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
4
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
A 1( )
0.16
0.16
0.6
0.12
0.12
0.8
1
0
0
0.16
0.16
0.6
0.12
0.12
0.8
0
1
0
B 1( )
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
K 1( )
1000
500
0
500
1000
0
0
0
2500
A 2( )
0.25
0.25
0
0
0
1
1
0
0
0.25
0.25
0
0
0
1
0
1
0
B 2( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
K 2( )
1250
625
0
625
1250
0
0
0
0
A 3( )
0.3
0.3
0.316
0.1
0.1
0.949
1
0
0
0.3
0.3
0.316
0.1
0.1
0.949
0
1
0
B 3( )
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
K 3( )
1581.139
790.569
0
790.569
1581.139
0
0
0
3952.847
A 4( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 4( )
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
K 4( )
1666.667
833.333
0
833.333
1666.667
0
0
0
0
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 10
Elemento 5:
Matriz de rigidez de todos los grados de libertad de la estructura:
Matriz de rigidez referida a los grados de libertad mínimos para representar el
movimiento de la estructura:
Condensación de la matriz de rigidez referida a los grados de libertad horizontales:
Para los elementos 1,2 y 3
Para los elementos 4 y 5
Kco 135.487( )
A 5( )
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
B 5( )
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
K 5( )
5000
2500
0
2500
5000
0
0
0
0
KT
7581.139
2500
790.569
57.171
7500
237.171
471.513
711.512
2500
7916.667
833.333
0
7500
0
364.583
833.333
790.569
833.333
3247.805
237.171
0
237.171
1544.846
1544.846
57.171
0
237.171
5248.191
0
3604.995
2185.955
1043.554
7500
7500
0
0
15000
0
0
0
237.171
0
237.171
3604.995
0
3604.995
1043.554
1043.554
471.513
364.583
1544.846
2185.955
0
1043.554
2588.929
1377.75
711.512
833.333
1544.846
1043.554
0
1043.554
1377.75
1377.75
Kq
97581.139
17500
158.116
37442.829
471.513
711.512
17500
7916.667
833.333
7500
364.583
833.333
158.116
833.333
59030.349
14182.807
5719.062
5719.062
37442.829
7500
14182.807
20248.191
2185.955
1043.554
471.513
364.583
5719.062
2185.955
2588.929
1377.75
711.512
833.333
5719.062
1043.554
1377.75
1377.75
Kc1872.14
967.814
967.814
539.35
orden
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 11
Cálculo centro de gravedad de los diafragmas:
Diafragma Inferior:
Xc.g
Yc.g
Diafragma Superior:
= Xcg
= Ycg
Tabla resumen para cada elemento:
Cálculo de distancias elemento 1:
En el nivel inferior la ecuación de la recta es
La distancia medida en metros:
En el nivel superior la ecuación de la recta es y = 0.75 x + 9
8
343
2 5.5 9 3.5 49 3.5 3.1415
3.52
2
6 9 49 3.14153.52
2
3.656
11.5 43
2 12 9 7 49 3.5 4
3.5
3 3.1415
3.1415
3.52
2
6 9 49 3.14153.52
2
6.713
8
343
2 2 4 7 2 3.1415
22
2
6 28 3.141522
2
2.099
10 43
2 5.5 4 7 2 4
2
3 3.1415
3.1415
22
2
6 28 3.141522
2
5.492
y 0.75 x 10.5 x
0.75 3.656 1 6.713 10.5
32
42
1
0.55.223
Elemento
Ángulo Distancia
1 Inferior 126.87 5.223
Superior 126.87 4.066
2 Inferior 90 0.279
Superior 90 0
3 Inferior 270 3.213
Superior 270 3.492
4 Inferior 0 3.344
5 Inferior 0 3.344
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 12
4942.45
2555.029
898.627
464.551
2329.691
231.501
2555.029
1423.884
464.551
258.888
1204.348
129.013
898.627
464.551
944.944
348.413
4960.775
2361.079
464.551
258.888
348.413
194.166
3032.936
1315.798
2329.691
1204.348
4960.775
3032.936
73574.115
31411.869
231.501
129.013
2361.079
1315.798
31411.869
15493.595
La distancia medida en metros:
Orientación de los grados de libertad para los marcos que componen el diafragma:
Matrices Beta de unión de los elementos:
*-1
Matriz de Diafragma:
KD=
Cálculo centro de rigidez del diafragma, debido a la rigidez aportada por cada
elemento resistente:
0.75 2.099 1 5.492 9
32
42
1
0.54.066
B10.8
0
0
0.8
0.600
0
0
0.600
5.223
0
0
4.066
*-1
*-1
B21
0
0
1
0
0
0
0
0.279
0
0
0
B31
0
0
1
0
0
0
0
3.213
0
0
3.492
B4 0 0 1 0 3.344 0( )
B5 0 0 1 0 3.344 0( )
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 13
Nivel Inferior:
Rigidez de los marcos condensado al grado de liberta 7 es de 135.487 ton/m;
luego el cálculo es:
Nivel Superior:
Rigidez de los marcos condensado al grado de liberta 8 es de 39.033 ton/m; luego
el cálculo es:
Excentricidad
Excentricidad Estructural:
Calculo de la excentricidad estructural se realiza restando el centro de gravedad
con el centro de rigidez.
Excentricidad en dirección x e y por cada nivel se calcula como:
(ex ; ey) = (Xcg; Ycg) – (Xcr; Ycr)
Nivel Inferior:
(ex ; ey ) = (-2.19 ; -0.463)
Nivel Superior:
(ex ; ey) = (0.099 ; -0.184)
Excentricidad Accidental:
Los resultados del análisis hecho para las fuerzas estáticas aplicadas en cada una
de las direcciones de acción sísmica, se deben combinar con los del análisis por
torsión accidental.
Para este efecto, se deben aplicar momentos de torsión en cada nivel, calculados
como el producto de las fuerzas estáticas que actúan en ese nivel por una
excentricidad accidental dada por:
Para el sismo según X es:
Para el sismo según Y es:
Se debe considerar el signo igual al de las excentricidades estructurales por nivel.
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 14
Ejercicio 3:
Un edificio que se proyecta emplazar en Curicó, considerando una incidencia en las dos direcciones principales del edificio de un 80% en dirección X y un 30% en dirección Y. Los estudios de mecánica de suelos, junto con la información recolectada en la
municipalidad del lugar nos permiten determinar que el suelo se encuentra
estratificado, posee un N1=33, Su= 1MPa y la velocidad de ondas de corte de
cada estrato y los espesores de estos son:
Característica Estrato Espesor (m)
Vs (m/s)
Estrato 1: Suelo limoso medianamente compactado.
3 m 200 m/s
Estrato 2: Suelo limoso arenoso, compactado.
5m 250 m/s
Estrato 3: Suelo rocoso 7m 380 m/s
Considere un factor de modificación de la respuesta R=7, mientras que por otro lado el análisis dinámico del edificio considerando solo un grado de libertad arrojo un periodo de oscilación de 0.3s en dirección X y de 0.15s en dirección Y. Se debe considerar un peso por nivel de 200 ton/m2, mientras que su uso según
arquitectura y las sobrecargas son:
Nivel Uso Sobrecarga de Uso
Inferior Oficinas Gendarmería, biblioteca, enfermería, comedores.
800 Kg/m2
Intermedio Recinto de celdas, patio de distracción.
700 Kg/m2
Superior Recinto de celdas. 500 Kg/m2
Considere que se cumplen todos los requisitos necesarios para poder realizar el análisis sísmico del edificio utilizando el método estático expuesto en la norma chilena 433 oficial de 1996 con modificación en el año 2009 y con el decreto de emergencia del año 2011. Se pide obtener: a) Matriz de Diafragma del Edificio.
b) Obtener el estado de cargas Sísmico del Edificio.
c) Obtener los desplazamientos de los grados de libertad del Edificio por nivel.
d) Obtener los esfuerzos de cada estructura, y verificar si la suma de fuerzas por nivel equivale al corte basal. Los diafragma para los tres niveles, así como los elementos resistentes son los
que se indican a continuación:
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 15
Solución:
Primero resolveremos los marcos o elementos tipos que componen nuestro
edificio, y quienes finalmente otorgan la rigidez a este, para la resolución de las
estructuras utilizaremos el Método Indicial.
Elemento I:
No hay compatibilidades, luego la matriz T es la identidad de 3x3.
A 1( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
E
3
3
3
3
3
3
90
90
90
90
90
90
1000
1000
1000
1000
1000
1000
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 16
A 3( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
K 3( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
K 2( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
K 1( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
A 2( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 1( )
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B 2( )
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B 3( )
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
A 4( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 4( )
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
K 4( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
A 5( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 5( )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
K 5( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
A 6( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 6( )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
K 6( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 17
La matriz de rigidez:
Condensación a cada nivel:
Superior: t/m
Medio: Kc = 444.444 t/m
Inferior: Kc=888.889 t/m
Estructura II:
No existen compatibilidades, por lo tanto la matriz T es la matriz identidad de 2x2.
KT
1777.778
888.889
0
888.889
1777.778
888.889
0
888.889
888.889
Kc 296.296( )
orden
1
0
0
0
0
1
0
1
0
orden
0
1
0
0
0
1
1
0
0
E
3
3
3
3
90
90
90
90
1000
1000
1000
1000
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
A 1( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 1( )
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
K 1( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
A 2( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 2( )
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
K 2( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 18
La Matriz de rigidez de la estructura es:
Condensación a los grados de libertad por nivel es:
Intermedio: Kc = 444.444 t/m
Inferior: Kc=888.889 t/m
Centro de Gravedad por Nivel:
Inferior: (2,2); Intermedio: (2,2); Superior: (4/3, 4/3)
Tabla resumen de cada elemento:
Matrices Beta de ordenamiento de los elementos resistentes en el diafragma, esta
matriz transforma los grados de libertad de cada elemento a grados de libertad de
borde de cada diafragma:
orden
0
1
1
0
1
Inferior 270 2
Intermedio 270 2
Superior 270 1.33
2 Inferior 0 2
Intermedio 0 2
3 Inferior 90 2
Intermedio 90 2
4
Inferior 180 2
Intermedio 180 2
Superior 180 1.33
A 3( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 3( )
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
K 3( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
A 4( )
0.333
0.333
0
0
0
1
1
0
0
0.333
0.333
0
0
0
1
0
1
0
B 4( )
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
K 4( )
1333.333
666.667
0
666.667
1333.333
0
0
0
0
KT1777.778
888.889
888.889
888.889
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 19
Entonces la Matriz de Diafragma es:
Análisis Sísmico: Método Estático Nch 433 (hecho con decreto 2010)
Identificación de los parámetros para realizar el cálculo:
Curicó corresponde a la zona sísmica 2
El edificio corresponde a una cárcel, por lo que es categoría III
Factor de modificación a la respuesta sísmica es R=7
Clasificación de Suelo:
Su= 1Mpa; N1=33; y aplicando la fórmula para estratos menores a 15m de
profundidad, se obtiene un Vs= 280.788 m/s. Con estos tres parámetros
clasificamos el suelo según el decreto de emergencia como tipo III.
Valores de tablas según los datos de entrada descritos anteriormente:
Zona sísmica: Ao=0.3g
Tipo de Suelo: S=1.2, T`=0.85s, n=0.8
Categoría: I=1.2
Periodos naturales de vibración: Tx= 0.3s, Ty= 0.15s
B20
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
2
0
0
2
0
0
B1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
4
3
B4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
0
2
0
0
0
4
3
B31
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
3555.556
1777.778
0
0
0
0
0
0
0
1777.778
2666.667
888.889
0
0
0
0
1777.778
1185.185
0
888.889
888.889
0
0
0
0
1777.778
1185.185
0
0
0
3555.556
1777.778
0
0
0
0
0
0
0
1777.778
2666.667
888.889
0
1777.778
1185.185
0
0
0
0
888.889
888.889
0
1777.778
1185.185
0
0
0
0
0
0
28444.448
14222.224
0
0
1777.778
1777.778
0
1777.778
1777.778
14222.224
21333.336
4740.741
0
1185.185
1185.185
0
1185.185
1185.185
0
4740.741
3160.494
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 20
Cmin= Ao/6g y Cmax= 0.35*S*Ao/g
Cálculo del Coeficiente Sísmico y del corte basal en cada dirección:
(
)
En dirección X:
(
)
En dirección Y:
(
)
Calculo del Peso sísmico por nivel:
Como es un lugar donde existe mucha aglomeración de personas en cada nivel
consideraremos un factor de reducción para la sobrecarga de un 50%, por tanto
los pesos por nivel son:
P1= 200*4*4+0.5*(0.8*4*4), luego P1=3206.4ton
P2= 200*4*4+0.5*(0.7*4*4), luego P2=3205.6ton Pt=8014ton
P3= 200*8+0.5*(0.5*8), luego P3=1602ton
El corte basal en ambas direcciones es igual, y se determina según la siguiente
expresión: Qb=C*I*P
Qb= 0.126*1.2*8014 Qb= 1211.717 ton
Calculo de fuerzas sísmicas por nivel:
En ambas direcciones serán las mismas fuerzas:
∑
A1= 0.184, A2= 0.239; A3= 0.577 ∑ ton
Entonces las fuerzas sísmicas son:
Finf= 313.482 ton; Fint= 407.084 ton; Fsup= 491.151 ton
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 21
Cálculo de excentricidades
Calculo centro de rigidez del diafragma, debido a la rigidez aportada por cada elemento resistente: Para el cálculo del centro de rigidez de cada diafragma hay que condensar las matrices de rigidez de cada elemento al grado que las afecta en el diafragma analizado; es necesario aplicar matrices de orden para cambiar el orden de los grados de libertad en la matriz de rigidez de cada elemento, para luego condensar.
El cálculo del centro de rigidez puede realizarse de dos maneras:
1) Realizando una especie de sumatoria de momento, respecto al centro de
rigidez (x,y) a encontrar; para esto consideramos las rigideces como si
fueran fuerzas.
2) Utilizando la expresión:
∑
∑
∑
∑
Nivel Inferior:
Rigidez de los marcos condensado al grado de liberta 1 es de 888.889 ton/m;
luego el cálculo es:
Nivel Intermedio:
Rigidez de los marcos condensado al grado de liberta 2 es de 444.444 ton/m;
luego el cálculo es:
Nivel Superior:
Rigidez de los marcos condensado al grado de liberta 3 es de 296.296 ton/m;
luego el cálculo es:
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 22
Excentricidad
Excentricidad Estructural:
Calculo de la excentricidad estructural se realiza restando el centro de gravedad
con el centro de rigidez.
Excentricidad en dirección x e y por cada nivel se calcula como:
(ex ; ey) = (Xcg; Ycg) – (Xcr; Ycr)
Nivel Inferior:
(ex ; ey ) = (0; 0)
Nivel Intermedio:
(ex ; ey ) = (0; 0)
Nivel Superior:
(ex ; ey) = (4/3; 4/3)
Excentricidad Accidental:
Los resultados del análisis hecho para las fuerzas estáticas aplicadas en cada una
de las direcciones de acción sísmica, se deben combinar con los del análisis por
torsión accidental. Para este efecto, se deben aplicar momentos de torsión en
cada nivel, calculados como el producto de las fuerzas estáticas que actúan en
ese nivel por una excentricidad accidental dada por:
Para el sismo según X es:
Para el sismo según Y es:
Se debe considerar el signo igual al de las excentricidades estructurales por nivel.
Sismo Y Bkx Z e. accident e. estruc Excentricidad Fy Torsión
Inferior 4 3 0,133 0 0,133 313,482 -41,693
Intermedio 4 6 0,267 0 0,267 407,084 -108,691
Superior 4 9 0,4 1,333 1,733 491,151 -851,165
Sismo X Bky Z e. accident e. estruc Excentricidad Fx Torsión
Inferior 4 3 0,133 0 0,133 313,482 41,693
Intermedio 4 6 0,267 0 0,267 407,084 108,691
Superior 4 9 0,4 1,333 1,733 491,151 851,165
El signo negativo de la torsión generada por la fuerza en dirección Y, es porque el
momento que se genera es horario.
Calculo de solicitaciones sísmicas considerando el 80% en dirección X y un 30%
en dirección Y.
Análisis Matricial de Estructuras
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 23
Calculando los desplazamientos en todos los grados de libertad:
{r} =
Calculo de esfuerzos por cada estructura:
Los esfuerzos referidos a los grados de libertad horizontales se obtienen del
resultado de la siguiente expresión:
{ } [ ] { } { }
Estructura 1:
Estructura 2:
Estructura 3:
Estructura 4:
Suma de corte basal:
En X = 968.889 ton y debería de ser 969.374ton (0.8*Qb)
En Y = 362.667 ton y debería de ser 363.515 ton (0.3*Qb)
0.545
0.949
84125.721
0.204
0.356
84127.634
0.044
0.087
63095.482
127.111
21.926
413.63
48
211.556
123.556
282.667
44.444
68.148
126.815
R
250.786
325.667
392.921
94.045
122.125
147.345
20.847
54.346
425.583