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EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓNAunque no era reconocida como objeto de estudio la noción de función empieza a manifestarse desde la antigüedad en la construcción de tablas para cálculos y astronomía.La evolución de la noción de función se dio asociada al estudio del cambio, en particular del movimiento. “El estudio del cambio se inicia con la representación gráfica-geométrica, construida por Nicolás Oresme (S.XIV) como método para representar las propiedades cambiantes de los objetos. Utiliza la continuidad de los segmentos para expresar la relación de variabilidad entre cantidades variables pues no se disponía de un continuo numérico, para representar el movimiento de esta forma, las gráficas se consideraron modelos geométricos de las relaciones funcionales.” Para Galileo (1.564-1.642) el interés primordial fue descubrir como actúan las cosas más que el porqué lo hacen. Él introdujo lo numérico en las representaciones gráficas y expresó las leyes del movimiento, a las que incorporó el lenguaje de la teoría de las proporciones, dando un sentido de variación directa o indirectamente proporcional. Lenguaje que junto con la teoría de la época encubrió aspectos de variación continua. Con Viète (1.540-1.603) quedó prácticamente terminada la trigonometría elemental (no analítica). Para el año 1.579 Viète amplio las tablas de Rhaeticus (1.514-1.576) dando los valores con siete decimales de las seis funciones para cada segundo de arco en vez de cada diez segundos como lo había hecho Rhaeticus en 1.551. A finales del siglo XVI no se tenía un concepto claro del significado de las raíces de una ecuación algebraica que surgía de la comprensión incompleta que tenía el álgebra del sistema de los números. Por ejemplo, para Francisco Viète parece que las raíces negativas fueron ininteligibles, él no admitía ni coeficientes ni raíces negativas. Con Descartes (1.592-1.650) y Fermat (1.601-1.665) se introduce por primera vez la idea de que una ecuación en x y yes un medio para expresar la dependencia entre dos cantidades variables. Con el apoyo en el desarrollo del álgebra, la introducción de signos para las operaciones, la utilización de letras para representar cantidades desconocidas y constantes, junto con los progresos alcanzados en la extensión del concepto de número (aparición de los imaginarios) la dependencia entre variables comienza a ser reconocida como una relación que se expresa por medio de expresiones analíticas. Al advertir que una ecuación entre x y y expresa dependencia entre ambas, Descartes y Fermat introducen el método analítico para la representación de las funciones en ecuaciones algebraicas, asociadas a las curvas geométricas, las curvas cuya naturaleza no era geométrica se denominaron mecánicas.Descartes mediante la representación de curvas en un sistema coordenado determina un método gráfico para la resolución de las ecuaciones correspondientes a dichas curvas. El cálculo algebraico llegó a su madurez en Francia gracias a la obra de Descartes y Fermat. De acuerdo con “Descartes también se dio cuenta que todas las propiedades de una curva, como la medida del área encerrada por ella, su tangente, etc., están completamente determinadas cuando se da su ecuación en dos variables”.Leibniz (1.646-1.716) introduce por primera vez el término función asociado a lo geométrico sin indicar “cantidades arbitrarias dependientes de alguna variable” por lo cual Bernoulli formula la siguiente definición: “llamamos función a las diversas cantidades dadas de alguna forma por una (cantidad) indeterminada x, y por constantes ya sea algebraicamente o trascendentemente” ; ésta se convierte en la primera definición de función como expresión analítica. Bernoulli también propone las notaciones j y f x para distinguir la característica de una función y para escribir su argumento. Euler (1707 - 1783) continúa el camino para precisar la noción de función comenzando a definir nociones iniciales como son constante y cantidad variable y sostiene que "la función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de esa cantidad variable y de

números o cantidades constantes. Más tarde Euler se enfrenta al problema de que a toda función le corresponde una curva y a toda línea curva también debería representarse por una función, por lo cual Euler admite como funciones las llamadas curvas mecánicas. Al ampliar el concepto de función divide las funciones en dos clases: las continuas y las discontinuas. El significado de estos dos términos era distinto al significado actual. Para Euler, una función continua es aquella que esta representada por una sola ecuación, aún cuando su dibujo conste de más de un trazo, como seria el caso de la hipérbola o

la función determinada por 2

2( )

1f x

x

. Las discontinuas

son las “curvas mecánicas”. Es decir, son aquellas para las que no tenemos una ecuación conocida, aún cuando su trazo en papel sea seguido.Mediante la “Teoría Analítica del Calor” Fourier (hacia 1882) demuestra que las series trigonométricas existen en el análisis independiente de que provengan de una función continua y afirma que los desarrollos de senos y cosenos múltiples poseen evidentemente toda la generalización que comportan las funciones arbitrarias. Fourier aporta la idea de función como correspondencia entre dos conjuntos de números independiente de cómo esta correspondencia esté dada pero limitada por la idea de que la gráfica sea una gráfica continua. La variación periódica de ondas representadas por curvas del tipo de la figura 1, fue expresada en el teorema de Fourier como curva que puede ser obtenida por la adición de gráficas similares:

En lo referente al estudio de continuidad Dirichlet afirma que “no es necesario que y esté sujeta a la misma regla con respecto a x en la totalidad del intervalo”.Ya hacia el siglo XIX Lobatchevsky formula la siguiente definición: “El concepto general exige que se denomine función de x a un número que está dado para toda x y que cambie gradualmente junto con x. El valor de la función se puede dar ya sea mediante una expresión analítica, o a través de una condición que ofrezca un medio para probar todos los números y seleccionar uno de ellos; o finalmente, la dependencia puede existir, pero permanecer desconocida”.Es tradicional que en los cursos de cálculo se parta de la noción de relación para entrar a las funciones. Fue Peano quien propuso reducir el concepto de función a la noción de relación porque los movimientos de mediados del siglo XIX como son el constructivismo y el intuicionismo cuestionan los fundamentos matemáticos siendo para los primeros necesario tener una regla para encontrar la y correspondiente a una x en momentos finitos y para los intuicionistas la definición no era rigurosa. Era necesario introducir nociones nuevas primitivas antes de dar una definición. Russel y Whitehead desarrollan la teoría de las relaciones. Haussdorf propone la idea de reducirla a par ordenado. Hacia 1920 el concepto de función es introducido a la teoría de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B una función (o aplicación) es una relación que asigna a cada elemento del conjunto A un único elemento en el conjunto B, o una función es una triada (X, Y, f) donde X y Y son conjuntos y f es un subconjunto de X´Y tal que si la pareja (x, y) pertenece a f y la pareja (x, z) pertenece a f entonces y=z o una función f de Aen B es un subconjunto del producto cartesiano A´B tal que para cada elemento a de A hay un único elemento b de B tal que (a, b) esta en f.

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FUNCIONESLas funciones están presentes en todo lo que nos rodea, incluso en nuestro organismo, por ejemplo las pulsaciones nos indican lo rápido que late nuestro corazón. El número de pulsaciones depende de varios factores, entre ellos la edad, si estas en reposo o haciendo ejercicio, también depende de la constitución y de la condición física, etc. La velocidad de la marcha en bicicleta depende del terreno

y de como pedalees, la distancia que recorres depende de la velocidad y del tiempo empleado.

El salario de los trabajadores depende de las horas trabajadas, de la cualificación,.....

El valor de una vivienda, depende de su situación, metros cuadrados, calidad de la construcción, etc.

El texto que estas leyendo depende de la resolución aplicada en tu monitor.

Veamos algunos ejemplos más concretos. El área de un triángulo es S = [(b·h)/2], observemos que el

área depende de dos variables independientes la base y la altura. El área diremos que es la variable dependiente y la base y la altura son las variables independientes.

El área de un triángulo equilátero es S = [(a2 ·3)/4], ahora el área depende únicamente de una variable el lado a.

El espacio recorrido por un vehículo depende de la velocidad y del tiempo.

e = v · ten este caso la velocidad v y el tiempo t son las variables independientes y el espacio e es la variable dependiente.

La clasificación de la 1ª división de fútbol depende de los resultados obtenidos, es decir, de los partidos ganados y empatados. La posición es la variable dependiente y los resultados anteriores la variable independiente.

También una función puede venir dada por una gráfica.

¿QUÉ ES UNA RELACIÓN O CORRESPONDENCIA?Dados dos conjuntos A y B, diferentes de vacío, definimos el producto cartesiano A × B al conjunto de las parejas ordenadas (a, b) tales que el elemento a pertenece al conjunto A y el elemento b pertenece al conjunto B.Simbólicamente:

A × B = {(a, b) /a A b B}.

Una relación R de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A × B, de modo que elementos de A están en correspondencia con elementos de B (uno, varios o ninguno).

A se llama conjunto de salida de la relación y B se llama conjunto de llegada de la relación.El conjunto de preimágenes (elementos de A que se relacionan con algún elemento de B), conforman el dominio de la relación, y es un subconjunto de A. El conjunto de imágenes se llama rango o recorrido y es un subconjunto de B.

Sean A y B dos conjuntos, se define una relación como un subconjunto del producto cartesiano A×B.

Ejemplo 1.- Sea A = {1,2} y B = {a, e, i, o, u} el producto cartesiano es el conjunto A×B = {(1,a),(2,a),(1,e),(2,e),(1,i),(2,i),(1,o),(2,o),(1,u),(2,u)}

y un subconjunto puede ser R1 = {(1, a), (1, e), (1, o), (2, a), (2, e), (2, o)},

que esta definido por extensión (dando todos los elementos del conjunto) y se podría haber definido por comprensión (dando una propiedad que sólo verifican los elementos del conjunto) R1 es la correspondencia que asocia a los elementos del conjunto A, las vocales abiertas.

Dados dos conjuntos A y B, no vacíos, se dice que f es una función de A en B, si a cada elemento de A le asigna, de acuerdo con algún criterio determinado, uno y sólo un elemento de B.

Observando el Ejemplo 1 podemos deducir que R1 no es una función, observemos por ejemplo que al 1, le corresponde más de un elemento del segundo conjunto.

Ejemplo 2.- Sea R2 = {(1, a), (2, a)} un subconjunto de A×Bdados en el ejemplo anterior. Veamos que R2 es una aplicación.Si, todos los elementos de A tienen imagen en B y a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

Ejemplo 3.- Sea R3 = {(1, a), (2, u)}. A cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto, al 1 le corresponde la a y al 2 le corresponde la u.

En general:Una función o aplicación es una correspondencia donde a todo elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.

Ejercicio 1.- Consideramos el conjunto A formado por A = {Carlos, Paco, Javi, Elena}

sabemos que Carlos tiene 17 años y pesa 71 kg., Paco tiene 16 años y pesa 61 kg, Javi tiene 18 años y pesa 81 kg y por último Elena tiene 15 años y pesa 51 kg. Si a cada elemento del conjunto A se le hace corresponder su edad, ¿será aplicación la correspondencia así definida? Dibuja una gráfica que represente dicha correspondencia.

Carrera de F1.- Indica como varía la velocidad cuando recorre cada uno de los circuitos.

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: ¿Qué curva es más peligrosa? ¿Cuál es la recta más larga del circuito? ¿El coche empieza la segunda, tercera vuelta,... con la

misma velocidad que la primera?

Para indicar que f es una función de A en B, se escribe :f A B .

A cada elemento x → A, le corresponde, por medio de f , un elemento y → B.Simbólicamente se indica y = f (x) y se lee “ y es función de x ” , “ y es igual a f de x ” o “ y es la imagen de x a través de f ” .Se dice que el par ordenado (x, y) f .

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Hagamos memoria:El matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) dentro de los aportes dados a las matemáticas, como la precisión de los conceptos de función, límites y continuidad, propone una nomenclatura para definir esquemáticamente una función de la forma y = f (x).

Si los conjuntos A y B son numéricos a la aplicación se le denomina función, y se suele notar de la siguiente forma:

: ( )f x A f x y B a A se le llama dominio de la función, como el valor que adopta y depende del valor elegido para x , y recibe el nombre de variable dependiente y x se llama variable independiente. Al conjunto de imágenes de elementos de A se le denomina rango o recorrido.

Recuerda que: Variable, se puede decir que es todo aquello que cambia a través del espacio o tiempo. La clave de este concepto es cambio ya que cuando se presenta cambio, se dice que hay variación.Constantes, son términos que tienen valores fijos; es decir, no cambian en ninguna circunstancia. Los valores numéricos son el ejemplo típico de constantes.

Hagamos memoria:En la antigüedad se utilizaban las vocales para indicar variables y consonantes para indicar constantes. En la actualidad la convención es que las primeras letras del alfabeto se utilizan como constantes y las últimas letras del alfabeto como variables.

Se llama gráfica de f al conjunto de puntos del plano definido por

G(f) = {(x, y) 2 / y = f(x)}.

Una función real de variable real es una aplicación

: , f A B con A B .

Nota:

Se designa como 2, al conjunto de todos los pares ordenados

de números reales.

2 = {(x, y) / x, y }

Desde el punto de vista geométrico 2 es el plano.

Informalmente, dar una función f supone dar:a) su dominio de definición A = Dom f ;b) su rango B;c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f.

¿CÓMO SE PUEDE DEFINIR UNA FUNCIÓN?

Existen cuatro formas de definir una función:1. Descriptiva: es la descripción verbal del fenómeno que se estudia. En ésta se detallan las condiciones en que ocurren los hechos.Como ejemplo digamos que la ganancia G que resulta de vender x artículos, en el cual cada uno vale $20.

2. Numérica: consiste en hacer una tabla de valores, con los datos obtenidos del fenómeno que se está analizando.Siguiendo con el ejemplo que estamos tomando:

A 1 2 3 4 …B 20 40 60 80 …

3. Gráfica: es hacer una representación visual, utilizando pares ordenados, los cuales se grafican en el sistema de coordenadas cartesianas.En el eje de las x se ubican el número de artículos y en el eje y la ganancia. Al ubicar los puntos y unirlos se observa una tendencia a formar una recta.

Para confeccionar el gráfico se utilizó un plano cartesiano o sistema de ejes cartesianos: un eje de abscisas (horizontal), y un eje de ordenadas (vertical).

4. Analítica: también llamada matemática, es aquella donde por medio de una expresión matemática, se describe el fenómeno. Para el ejemplo que nos ocupa:

G = 20 xEsta fórmula describe la ganancia G en función del número xde artículos vendidos.

GRÁFICAS DE RELACIONES Y FUNCIONES

Recordemos que, una función de A en B es una relación de A en B que cumple las siguientes dos condiciones:1. Dom f = A.2. No hay en f dos parejas diferentes que tengan la primera componente igual.

Con esta definición de función, observa que toda función es una relación que cumple ciertas condiciones especiales. Evidentemente, la gran mayoría de relaciones no son funciones.

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

Para mostrar gráficamente que una relación dada no es una función basta encontrar una sola recta paralela al eje y que contenga por lo menos dos puntos de la relación. Este método para determinar si una relación es o no función se llama criterio de la vertical para funciones.

¿CÓMO DETERMINAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCIÓN?

En el análisis de funciones es importante identificar el dominio y el rango de una función. Esto se puede hacer a partir de la lectura de la gráfica o a partir del análisis de la fórmula matemática que describe la función.

A partir de la fórmula matemática:

Sea 1

yx

vemos que x puede tomar valores diferentes de

cero, ya que la división no está definida cuando el denominador es cero.

Sea y x , para este caso, x puede tomar valores no

negativos (positivos o cero), ya que las raíces pares solo tienen solución real para valores positivos o cero.

En general, el dominio de una función está determinado por los valores que puede tomar la variable x, sin que se presenten ambigüedades en el momento de hacer la operación matemática para hallar y.

Para hallar el rango de la función matemática, se despeja x y se determina qué valores puede tomar y sin que se presenten ambigüedades.

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EVALUANDO FUNCIONES

Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante, en este texto nos concentraremos fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que involucran las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, la ecuación

2 2 1x y Ecuación en forma implícita

define y, la variable dependiente, como función de x, la variable independiente. Para evaluar esta función (esto es, para hallar el valor de y correspondiente a un valor de x dado) resulta conveniente despejar y.

211

2y x Ecuación en forma explícita

Denotando por f la función, se puede escribir esta ecuación como

211

2f x x Notación de funciones

La ecuación original 2 2 1x y define implícitamente y

como función de x. Cuando despejamos y, estamos escribiendo la ecuación en forma explícita.

La notación de funciones tiene la ventaja de que permite identificar claramente la variable dependiente como f{x), informándonos al mismo tiempo de que la variable independiente es x y de que la propia función se denota por «f».

El símbolo f(x) se lee « f de x ». La notación de funciones permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar «¿cuál es el valor de y que corresponde a x = 3?» se puede preguntar «¿cuánto vale f(3)?»

En la ecuación que define una función, el papel de la variable x es simplemente el de un hueco a llenar. Por ejemplo, la función dada por

2( ) 2 4 1f x x x

puede describirse como2( ) 2( ) 4( ) 1f

donde se usan paréntesis en lugar de x. Para evaluar f(-2), basta colocar -2 entre cada par de paréntesis.

2( 2) 2( 2) 4( 2) 1f Sustituir x por -2

2(4) 8 1 Simplificar

17 Simplificar

APLICA

En Los ejercicios 1-10, evaluar (si es posible) la función en los valores dados de la variable independiente. Simplificar los resultados.

11. Determine si cada una de las curvas es la gráfica de una función de x, aplicando el criterio de la recta vertical.

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12. Determine si la curva es la gráfica de una función de x. En caso de serlo, obtenga el dominio y el rango de la misma.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo 1. Determinar el dominio de las siguientes funciones

a. 3

( )9

xf x

x x

b.

2

2

5( )

16

xg x

x

SOLUCIÓNa. La función f no está definida cuando el denominador es 0. Dado que:

3 29 9 3 3x x x x x x x Se tiene que:

Dom f 3,0,3 , 3 3,0 0,3 3, b. Como la raíz de un número negativo no es un número real, la función g estará definida sólo para los valores de x para los cuales

2

2

50

16

x

x

,

resolviendo esta desigualdad se tiene que:

, 4 5, 5 4,Dom g .

Ejemplo 2. Determinar el rango de las siguientes funciones

a. 2( )f x x x b. 2

( )16

xg x

x

a. Ahora lo que se quiere es analizar los valores que puede tomar la variable y, esto es ver cuáles son los números reales y que se

pueden escribir como 2y x x , lo que equivale a analizar para qué valores de y la ecuación 2 0x x y tiene

soluciones reales.La ecuación tendrá soluciones reales cuando su discriminante sea positivo o cero, en el caso de la ecuación considerada se tiene

que: 1 4 0y si y sólo si 1

4y . Por tanto

1,4

Ran f

.

13-20. Se da una función f.

a. Trace la gráfica.b. Determine el dominio.

21-27. Calcule el dominio y rango de cada una de las funciones reales dadas.