grupos topológicos
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INTRODUCCION A LA TEORIA DE GRUPOS DE TRANSFORMACIONESTAREA II
Grupos Topologicos
1. Sea G un grupo topologico con elemento identidad e. Demostrar que si U es una vecindad de
e, entonces existe un vecindad abierta V de e que satisface:
a) V −1 = V (Simetrıa).
b) V V ⊆ U ,
donde V −1 = {v−1|v ∈ V } y V V = {v1v2|v1, v2 ∈ V }.
2. Pruebe que si un grupo topologico G satisface el axioma de separabilidad T1, entonces tam-
bien satisface el axioma de separabilidad T2.
3. Demostrar que el centro de un grupo topologico G es cerrado en G. Tambien demostrar que
un subgrupo discreto de G es cerrado en G.
4. Sea G un grupo topologico conexo y H un subgrupo normal discreto de G. Demostrar que H
esta contenido en el centro de G.
5. Sea H un subgrupo cerrado de un grupo topologico G. Demostrar que:
Si G es conexo, entonces G/H es conexo.
Si H y G/H son conexos, entonces G es conexo.
6. Sea H un subgrupo cerrado de un grupo topologico G. Demostrar que:
Si G es compacto y H es cerrado, entonces H es compacto.
Si G es compacto, entonces G/H es compacto.
Si G y G/H son compactos, entonces G es compacto.
7. Demostrar que como grupos topologicos, se tienen los siguientes isomorfismos:
C∗ ∼= R+ × S1.
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2 INTRODUCCION A LA TEORIA DE GRUPOS DE TRANSFORMACIONES.- TAREA II
R/Z ∼= S1.
C∗/S1 ∼= R+.
GLn(R)/SLn(R) ∼= R∗.
Aquı, R+ denota el grupo topologico de los reales positivos y C∗ el grupo topologico de los
complejos distintos de cero, ambos con la operacion de multiplicacion.
8. Demostrar el tercer teorema de isomorfismo para grupos topologicos:
si H � G, L � G y H ≤ L, entonces (G/H)/(H/L) ∼= G/L.
Ramiro Carrillo–Catalan. Escuela de Ciencias , Universidad Autonoma Benito Juarez de Oaxaca.
Av. Universidad S/N, Ex-Hacienda de 5 Senores, Oaxaca de Juarez, Oax. C.P. 68120, MEXICO.
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