"MOMENTO" R evista Depto. F isica Universidad Nacion al de Colombia,Nmero 7, Octubre 1992.

SIMETRIAS DEL ESPACIO- TIEMPO

DAVID BERENSTEINl ROBERTO MARTINEZ2

JAIRO ALEXIS RODRIGUEZ 1

Departamento de Fsica Universidad Nacional de Colombia Santafe de Bogot, D.C., Colombia

RESUMEN: Estudiando las simetras del espacio-tiempo y su relacin con el grupo SL(2, C) adicionamos generadores de simetra tipo {enninico para obtener el lge-bra de supersimetra.

ABSTRAeT: We study spa.ce-time symmetries and their r elationship with the SL(2, q grou{>, adding fermionic generators o synunetry to the Poincar group we obtain th e supersymmetric algebra.

1. Introduccin. El desarrollo del entendimiento de las fuerzas fundamentales est relacionado con el conocimiento de las simetras de la naturaleza, con esta idea. se han creado teoras de campos cunticos para las interacciones fundamentales : electromagntica, dbil y fuerte [1] ; tambin se ha ido ms all, formulando teoras en las que las interac-ciones fuerte , dbil y electromagntica son una faceta de la misma interaccin en diferentes escalas de energa, stas son llamadas teoras de gran unificacin (TGU) [2] . Una de las ambiciones de los fsicos tericos ha sido una formulacin no-trivial de las simetras del espacio-tiempo para incorporar las propiedades fundamentales de las interacciones entre las partculas existentes en la naturaleza. Por este camino las teoras de gran unificacin se interesaron por una teora que mezclara campos bosnicos y ferminicos , dado que el espn es parte del grupo de simetras del espacio-tiempo, adems la simetra que combinara fermiones y bosones debera combinar simetras internas y simetras del espacio-tiempo. Una simetra que relaciona propiedades fsicas de partculas que tienen diferente espn se conoce como supersimetra (SUSY) [3]. Esta teora surgi en la dcada de los 70 y desde

1 Estudiantes de la carrera de Fsica 2Proe80r Asistente 69

entonces han sido ampliamente investigadas sus implicaciones en teoras de gran unificacin . En el presente artculo empezamos estudiando el grupo de simetras del espacio-tiempo, grupo de Lorentz y grupo de Poincar , para luego ver la relacin que hay con el grupo SL(2, C) , e introducimos la notacin espinorial para establecer un homomorfismo entre este grupo y el grupo de Lorentz . Por ltimo, se extiende el lgebra del grupo de Poincar para formar el lgebra de supersimetra.

2. Grupo de Lorentz. Las leyes fsicas son independientes del sistema de referencia desde el cual se de-scribe un sistema fsico [4] , consecuentemente encontrar las transformaciones entre diferentes sistemas posibles es de importancia fundamental. En mecnica clsica la correspondencia entre sistemas inerciales es expresado por las transformaciones de Galileo , las cuales permiten relacionar las coordenadas de dos sistemas inerciales que se mueven con una velocidad v constante uno respecto del otro i' = A x + vt y t = t' donde A es una transformacin ortogonal que indica la posicin relativa en el espacio de los sistemas de referencia en t = O. Esta transformacin de Galileo fun-ciona muy bien con las leyes de Newton pero no cuando se aplica a fenmenos de la luz . El interfermetro de Michelson-Morley ha permitido establecer experimen-talmente la constancia de la velocidad de la luz para todos los sistemas inerciales , contrario a la regla de suma de velocidades de las transformaciones de Galileo. Adems las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo las transformaciones de Galileo . La dificultad la resolvi la teora de la relatividad especial, postulando que la velocidad de la luz es la misma en todo sistema de referencia inercial [4]. Para una seal de luz propagndose como una onda esfrica, la ecuacin del frente de onda es:

c2t 2 = x2 + y2 + z2 El postulado de la relat ividad implica que en cualquier otro sistema de referencia inercial el cual coincida con el primero en t = O, la ecuacin del frente de onda ser:

c2tf}. = xf}. + yf}. + zf}. En notacin cuadri-dimensional definimos x JJ = (t, X) Y g JJII = (1, -1, -1, -1), con {l = 0,1,2,3 , donde hemos hecho e = 1, las relaciones anteriores sern:

(1) Ahora todo el conjunto de transformaciones lineales que relacionan x JJ a x'JJ preser-vando la relacin (1) constituye un grupo llamado Grupo de Lorentz. Si suponemos que x'JJ = A~X", donde A~ es la transformacin que relaciona x JJ con x'JJ denominada transformacin de Lorentz, preserva (1) entonces:

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gJJlxJJx" = gJJllx'JJ x '" gaf3 = A~gJJIIAp gaf3 = A~JJgJJIIAp

en forma matricial es [5]: (2)

Tomando el determinante en esta expresin encontramos det(A) = l. Con esto tenemos una clasificacin de las transformaciones de Lorentz como trans-formaciones propias si det(A) = + 1, Y transformaciones de Lorentz impropias si det(A) = -1. Tomando la componente temporal de la ecuacin (2) tenemos:

1 = A~gJvA~ = (Ag)2 - (A~)2 donde

IA812 ~ 1 permite la siguiente clasificacin de las transformaciones de Lorentz : si Ag ~ + 1 transformaciones de Lorentz ortocronas y si Ag ~ -1 transformaciones de Lorentz no-ortocronas.

Para completar el estudio de las transformaciones de Lorentz, podemos pensar que una transformacin de Lorentz finita es equivalente a una serie de transformaciones sucesivas infinitesimales,y es claro que en el grupo est definida la transformacin identidad. Suponemos entonces: A~ = 6~ + (~ con 6~ la identidaa y (~ una variacin infinitesimal; usando la ecuacin (2)

gpu = gJvA~A~ = gpu + gpv(~ + gJu(~ y

(pu = -eup concluyendo que eJv es una matriz antisimtrica, por lo que tiene solo seis trminos independientes, lo que significa que se necesitan seis parmetros para definir una transformacin de Lorentz. Con esta idea introducimos:

MJv == t(xJov - xvoJ) al cual se le llama generador del grupo de Lorentz.

(3)

Una transformacin de Lorentz finita se puede expresar como una sucesJOn de transformaciones infinitesimales, esto es: si x'J = xJ + (~Xv '" exp(u . M)xJ, donde e . M == (JvMJv, entonces una segunda transformacin est dada por la expresin

X" = exp (u' . M')x' = exp (u' . M') exp (te M)x y usando la frmula de Haussdorff [6] tenemos:

x" = exp (,e' . M' + 1( M + (~)[u. M, u' . M'] + . . . )x . Con la definicin del generador dada en la ecuacin (3) se puede ver:

[MJv, Mpu] = 'gvpMJu - 'gJpMvu - tgvuMJp + IgJuMvp (4) Los conmutadores de los generadores del grupo definen el lgebra del grupo. En este caso corresponde al lgebra del grupo SO(3,1) y se puede mostr r que esta lgebra corresponde a dos lgebras del grupo de rotaciones SU(2) X SU(2) [7].

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3. Grupo de Poincar. La invariancia de un sistema IlSico bajo traslaciones uniformes en el espacio-tiempo, i.e., z/J = zJ.l + aJ.l con aJ.l un cuadrivector de traslacin, debe ser un principio includo en la formulacin de las leyes fsicas . Considerar esta invariancia bajo traslaciones cuadri-dimensionales con el grupo de Lorentz es lo que se conoce como grupo de Poincar. Adicionalmente para una traslacin 4-dimensional se necesita un parmetro para cada direccin, por tanto el grupo de Poincar tendr cuatro nuevos parmetros. Definimos as el generador de traslaciones:

(5)

Los conmutadores de los generadores son:

(6)

y (7)

El lgebra del grupo de Poincar la constituyen las ecuaciones (4) , (6) y (7) . Ahora bien , se pueden construir cantidades tales que conmuten con todos los generadores del grupo, a estas cantidades se les llama invariantes de Casimir . Para el grupo de Poincar se construyen dos de tales cantidades, pJ.l PJ.l Y WJ.lWJ.l donde WJ.l es el 4-vector de Pauli-Lubanski definido por:

Con los invariantes de Casimir se pueden clasificar las representaciones irreducibles del grupo de Poincar [7] . Los casos mas interesantes fsicamente son : l)PJ.l PJ.l = m 2 y WJ.lWJ.l = m 2s(s + 1) donde s = O, 1,~, ... que representa partculas masivas con espn s.

2)PJ.l PJ.l = O representa partcula de masa en reposo cero, con esto se tiene WJ.lWJ.l = O y adems PJ.lWJ.l = O Y por tanto pJ.l y WJ.l deben ser propor-cionales,i.e., WJ.l = >,pJ.l donde>. se le conoce como helicidad y toma valores s.

Podemos ver explcitamente como el espn es parte del grupo de Poincar, por tanto buscar una simetra que combine partculas de diferente espn se traduce en la necesidad de extender el lgebra del grupo de Poincar .

4. Grupo SL(2, C). Este es el grupo de matrices complejas 2x2 tal que si A E SL(2, C), entonces det(A) = 1. El grupo SL(2, C) presenta una relacin con el grupo de Lorentz, para ver esta relacin ms explcitamente supongamos una base {I, (Ti} donde las (Ti son las matrices de Pauli, entonces cualquier matriz hermtica se puede escribir

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en trminos de esta base, i.e., X = ul'xl' con xI' los coeficientes para la base. Ahora para una matriz que transforme como X' = AX A t con A E S L(2, C) se tendr que X' sigue siendo una matriz herntica por la propiedad de A, y con la forma de la transformacin de X' se tiene la igualdad det(X) = det(X' ). Como X' es hermtica tambin tendr una expansin en la base X' = ul'xl' , lo cual implica que la igualdad de los determinantes se puede escribir explcitamente como:

Esta ecuacin implica que la transformacin X' = AX At induce una transfor-macin de Lorentz sobre los coeficientes xI' .Se puede mostrar la existencia de un homomorfismo entre 5L(2, C) y el grupo de Lorentz. Para ver este homomorfismo, introducimos cantidades de dos componentes complejas, espinares, de forma que e = Ae y det(A)=l. En teoras de campo relativista tenemos dos clases de es-pinares: los que transforman con la matriz A y los que transforman con la matriz A, y se denotan como ea y ea. == TIa, respectivamente. Con esta definicin de espinar se puede generalizar a espinares de orden superior y verificar las siguientes relaciones con los cuadrivectores [6] :

(8)

y la relacin inversa es (9)

Podemos establecer ahora una relacin entre una transformacin bilineal de es-pinares de la forma:

Partiendo de la relacin (9):

y usando (8) tenemos

(10)

de forma que asociamos

(11) .

Con esto se establece una relacin dos a uno entre SL(2, C) y el grupo de Lorentz, puesto que a las matrices A les corresponde la misma transformacin de Lorentz. Con la ecuacin (11) se puede mostrar que el grupo SL(2, C) y el grupo de Lorentz cumplen la misma tabla de multiplicar ,i.e.,

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As mismo se puede mostrar que las matrices unitarias que se encuentran en S L(2 , IC) forman un subgrupo equivalente al grupo de rotaciones y las matrices hermticas de SL(2, IC) se asocian al boost de Lorentz ; por lo que el grupo SL(2, IC) es isomorfo a SU(2) SU(2) . El grupo SL(2, IC) tiene dos representaciones funda-mentales inequivalentes segn SU(2) SU(2) : 1) (t, O) la cual transforma como

t/J~ = M~t/Jfi con M E SL(2,1C) y 2) (O,t) transforma como X~ = M~iJX/J con M* E SL(2,C). La representacin (O, t) transforma como la complejo conjugada de (t, O), y los generadores de las representaciones son ij-JJv = t(ij-JJqv - ij-vqJJ) y qJJV = t(qJJij-v-qV ij-JJ), respectivamente. 5. Introduccin a Supersimetra. En teora de campos cunticos relativistas el espacio de Hilbert donde se trabaja se descompone en una suma directa de un espacio de estados bosnicos y uno de estados ferminicos, y es tal que un generador bosnico no puede cambiar un estado bosnico por uno ferminico y viceversa. Una teora Supersimtrica contiene generadores que conectan estos dos espacios , transformando bosones en fermiones y fermiones en bosones. Para la construccin de un operador que genere una simetra fermin-bosn y adems deje la fsica intacta, que conmute con la matriz S , se debe tener G = B+F donde G es el generador de simetra, B la parte del generador que cambia bosn-bosn y fermin-fermin y F la parte de ferffin-bosn. Estas partes se puede ver que cumplen las relaciones:

[B 1 ,B2] = B 3 [F1 , B2] = F 3

{F1 , F 2 } = B 3 (12)

Esta es el lgebra caracterstica de teoras supersimtricas llamada lgebra de Lie graduada [8] . Coleman y Mandula investigaron las propiedades de los generadores bosnicos y encontraron que cualquier grupo de simetras bosnicas de la matriz S en teoras de campo relativista se puede expresar como el producto directo de un grupo de simetras internas con el grupo de Poincar [10] . El resultado de las investigaciones llev al teorema excluyente de Coleman-Mandula: "Todos los generadores de una supersimetra deben ser ! erminicos" [11] . Por tanto en Supersimetra se tendrn generadores Qa que son generadores tipo ferminico, que cambian el espn en una cantidad semi-impar, cambiando la estadstica del estado. El teorema de Coleman - Mandula propone por tanto explorar generadores fermi-nicos, as si suponemos una mtrica definid a positiva para el espacio de Hilbert, es decir, la norma de un operador es mayor que cero si y slo si el operador es nulo,

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IGI2 ~ o y por tanto:

Considerando entonces la parte fermiilica tenemos que {Qt, Q} es mayor que cero para un generador ferminico no nulo.

Supersimetra es una simetra del espacio-tiempo, no es una simetra interna, por lo que podemos suponer que Q est en alguna representacin (j,j') del grupo de Lorentz, por tanto Qt esta en una representacin (j', j) y entonces el anticonmu-tador {Qt Q} estar en la representacin (j + j', j' + j) . Ahora el anticonmutador 10 que indica es una doble operacin del generador Q por lo que el anticonmutador debe ser de tipo bosnico y se puede ver que el nico objeto en el sector bosnico que pertenece a la representacin (~, ~) es PJl , por lo tanto el generador Q debe es-tar en la representacione (~, O) o (O, ~) de SL(2, C), y el lgebra se podr expresar como:

Con el argumento dado anteriormente se tiene que:

(13)

(14) (15)

(16)

Las expresiones del lgebra de Poincarjunto con (13),(14),(15) y (16) constituyen el lgebra Supersimtrica. Si nos detenenos en la ecuacin (16) podemos concluir que dos transformaciones de supersimetra equivalen a una traslacin en el espacio-tiempo, adems podemos ver que [Qa , p2] = O y [Qa , W 2] i O donde p2 y W 2 son los invariantes de Casimir del grupo de Poincar. Estas relaciones implican que en una representacin irreducible del lgebra supersimtrica estn contenidas partculas con la misma masa pero con diferente valor de espn. Esto es, si B es un bosn , entonces B - F a travs de Q, donde F es un fermin con la misma masa que B , a estas partculas se les denomina "Superpartners" o supercompaeras.

6. Conclusiones. Se inici estudiando las simetras del espacio-t iempo y las representaciones del grupo de Lorentz por medio del grupo SL(2, C) dada la existencia e un home-omorfismo entre los dos grupos. Con esto se puede ver como una extensin del

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lgebra del grupo de Poincar lleva al lgebra supersimtrica, resuoda as- :

[Ml'v, MpC7 ] = tgVp MI'C7 - tgl'pMVC7 - tgvC7 MI'P + tgl' C7 Mvp (4) [Ml'v, Pp] = -tgl'PPv + tgvpPI' (6)

[PI',Pv] = O (7) 1 /J [Qo,Ml'v] = "2(Ul'v)oQ/J (13)

- 1- _ P [Q,;,Ml'v] = "2 Qp(Ul'v),; (14) [Qo, PI'] = [O,;, PI'] = O (15)

{Qo, Op} = 2(ul')op PI' (16) El lgebra supersimtrica permite tener partculas de diferente espn con la osma masa en un mismo multiplete irreducible. Se concluye as que Supersimetra es una teora relativista que generaliza de una manera no-trivial las simetras del espacio-tiempo.

BIBLIOGRAFIA

1. S. G1ashow, Nud. Phys. 22 (1961;), 579; Phys. Rev. Lett 19 (1967;), 1264; Elementary Partide Theory (Nobel Symposium No 8) (1968) (N. Svartholrn, eds.) , Alrnquist and Wiksell, Stockholrn.

2. Georgi H. and Glashow S., Phys. Rev. Lett. 32 (1974),438. 3. Wesa j. and Bagger J., Svper.ymmetr, and Svpergrallity, Princeton. 4. Einstein, A., El lignificado de la Relatividad, Espasa Calpe, 1980. 5. Jackson. J.D., Clauical Electrodynamic., John Wiley & Sons, 1975, pp. 532-560 (Second

edition). 6. Barut, A.O., Eledrodynamic. and Clauical Theory 01 Field. and Particle., Mac Millan

(1965). 7. Ramond, P., Fie/d Theory: A Modern Primer., Frontier. in Phy,ic" Addison Wesley, New

York (1989). 8. Sohnius, M.f., lntrod"cing S"per.ymmetry, Phys. Rep. C 128, No 2-3 (1985). 9. Martlnez, R., Nota, .06re S"penimetria, (sin publicar).

10. Coleman S. and Mandula J., Phys. Rev 159 (1967), 15I. 11. Haag R., Lopuszanski J. and Sohnius M., Nud. Phys. B 88 (1975),257.

Sin embargo, se puede extender dicha lgebra a N genardaores supersimtricoe, Q~ con i = 1, ... ,N.

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