ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA

Grupos B y C

Curso 2006/07

Ejercicios y Problemas

Lista numero uno

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)3x− 2y = 69x+ 4y = 108

}, b)

x+ y − 2z = 92x− y + 4z = 42x− y + 6z = −1

, c)x+ y + z = 2

2x+ 3y + 5z = 11x− 5y + 6z = 29

.

2. Hallar la ecuacion y = ax2 + bx + c de la parabola que pasa por los puntos P1 = (−1,−10),P2 = (1,−6) y P3 = (2,−13).

3. Hieron, rey de Siracusa, habıa dado a un platero 7465 gramos de oro para hacer una coronaque querıa ofrecer a Jupiter. Para conocer si el orfebre habıa reemplazado oro por plata lepidio a Arquımedes que lo averiguara sin danar la corona. Arquımedes metio la corona en agua yperdio 467 gramos de su peso (es decir, el agua desalojada peso 467 g.). Se sabe que el oro pierdeen el agua 52 milesimas de su peso y que la plata pierde 95 milesimas. Hallar los gramos de oroy plata de la corona real.

4. Bajo ciertas condiciones se puede mezclar tolueno con acido nıtrico para obtener trinitrotolueno(tambien conocido como TNT) y agua. Ajustar la correspondiente reaccion quımica: xC7H8 +y HNO3 → z C7H5O6N3 + wH2O.

5. Resolver, si es posible, los siguientes sistemas lineales:

a)x+ y = 1x− y = 199

}, a’)

x+ y = 110199 x− y = 199

}.

b)x+ y = 1

1′01x+ y = 2

}, b’)

x+ y = 11′005x+ y = 2

}, b”)

x+ y = 11′01x+ 1′01y = 2

}.

6. Resuelve, por el metodo de Gauss-Jordan, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales sobre elcuerpo C:

a)x − 3y + 5z = 02x − 4y + 2z = 05x − 11y + 9z = 0

, b)

x − 2y + 3z + 4t + 5u = 0x + 4y + 7t + 2u = 02x + 2y + 3z + 11t + 7u = 03x + 6y + 3z + 18t + 9u = 0

,

c)x + 2y −

√2z = 0

3x − (√

2 + 6)z = 0−x + y + 3z = 0

, d)

x + y + iz + t = 02x − y + 2z − t = 1x + iy − z + it = 2x + y + z − t = 0

.

7. Resolver, si es posible, los siguientes sistemas lineales:

a)

−x+ z = −22x− y + z = 1

−3x+ 2y − 2z = −1x− 2y + 3z = −2

5x+ 2y + 6z = −1

, b)x1 + 2x3 − 2x4 = 1−x1 + x2 + x4 = −2x2 + 2x3 − x4 = 1

,

c)x+ 2y + 2z − s+ 3t = 0x+ 2y + 3z + s+ t = 0

3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0

. d)3x2 − 6x3 − 4x4 − 3x5 = −5

−x1 + 3x2 − 10x3 − 4x4 − 4x5 = −22x1 − 6x2 + 20x3 + 2x4 + 8x5 = −8

.

8. Discutir los siguientes sistemas en funcion del parametro m :

a)x+ 2y + z = 1−x+ 2z = 3

3x+ 2y +mz = 1

, b)x+my + z = 1

mx+ y + (m− 1)z = mx+ y + z = m+ 1

.

2

9. ¿Tiene solucion el sistema2 sinα− cosβ + 3 tan γ = 3

4 sinα+ 2 cosβ − 2 tan γ = 106 sinα− 3 cosβ + tan γ = 9

?

10. Determinar el valor de a en el siguiente sistema para que: a) tenga una unica solucion, b) tengamas de una solucion y c) no tenga solucion.

x+ y − z = 12x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2

.

11. Estudia la compatibilidad de los sistemas siguientes segun los valores de los parametros reales ay b:

a)ax + 2z = 25x + 2y = 1x − 2y + bz = 3

, b)ax + by + 2z = 1ax + 2(b− 1)y − 3z = 1ax + by + (b+ 3)z = 2b− 1

.

12. Sea n > 2. Demuestra que el sistema S es compatible determinado y calcula su solucion. Usandoeste resultado, halla la matriz inversa de la matriz A.

S :

x1 + x2 = α1

x1 + x3 = α2

......

x1 + xn = αn−1

x1 + x2 + · · ·+ xn = αn

, A =

1 1 0 0 · · · 0 01 0 1 0 · · · 0 0...

......

... · · ·...

...1 0 0 0 · · · 0 11 1 1 1 · · · 1 1

.

13. Elimina los parametros α, β y γ de los sistemas siguientes:

a)

x1 = α + β + 2γx2 = 2α − β + γx3 = β + γx4 = α + γ

, b)

x1 = α + β + iγx2 = α − βx3 = β + γx4 = α + β + γ

,

c)

x1 = 2α + 2β + γ − 1x2 = −α − 2β + γ + 2x3 = α + 3β − 2γ − 5x4 = 4α − 2β + 6γ + 4

.

3

Lista numero dos

1. a) Encontrar todas las matrices escalonadas reducidas por filas enM1×3(K),M2×3(K),M3×3(K),M3×1(K) y M3×2(K).

b) En los mismos conjuntos del apartado anterior encontrar todas las matrices escalonadas redu-cidas por columnas.

c) Encontrar todas las matrices escalonadas por filas en M3×3(K) y decir en cada caso cual essu forma escalonada reducida.

2. a) Decir cuales de las siguientes matrices son equivalentes por filas hallando su forma escalonadareducida por filas:

A =

1 −2 0 −30 0 −1 00 0 0 0

, B =

0 3 −6 −4−1 3 −10 −42 −6 20 2

, C =

0 0 −1 02 −4 1 −6−1 2 1 3

,

D =

0 0 0 10 3 −6 −41 −3 10 4

, E =

−1 6 −16 −81 −3 10 −2−1 3 −10 −1

, F =

0 0 0 10 3 −6 −41 3 10 4

.

b) Encontrar la forma escalonada reducida por columnas de las anteriores matrices y decircuales son equivalentes por columnas.

c) Encontrar la forma escalonada reducida por filas de las traspuestas de las anteriores matrices.

d) Hallar, si existen, las soluciones de los sistemas cuyas matrices ampliadas son las anteriores.

3. Calcula el rango de cada una de las matrices:0 1 2 −1 0 10 −2 4 2 0 20 0 1 2 3 51 1 −1 0 2 11 2 2 1 5 7

,

2 −3 1 0 1 0−1 0 1 2 0 01 −3 2 2 1 01 −6 5 6 2 00 0 0 1 1 1

,

1 i 3i 32 + i 1 1 + 2i 4 + i−1 + i 1 + i 1 + i −1 + i

.

4. Calcula el rango de cada una de las siguientes matrices en funcion de los parametros a y b:2 a b a+ ba a 0 0b 0 b 0

a+ b 0 0 a+ b

,

a a b bb a a bb b a aa b b a

.

5. Hallar el rango de la matriz A =

2a b 12 ab 12 b a

segun los valores de los parametros a y b.

4

6. a) Calcular el rango de las matrices siguientes segun los distintos valores de a:

A =

2 0 1 1−1 1 3 0a 1 0 −2−1 1 2 0

, B =

2 0 1 1 1−1 1 3 0 −aa 1 0 −2 2−1 1 2 0 4

.

b) Probar que existe un unico valor de a para el cual el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x3 + x4 = 1−x1 + x2 + 3x3 = −aax1 + x2 − 2x4 = 2−x1 + x2 + 2x3 = 4

,

es compatible indeterminado. Resolver el sistema para ese valor de a.

c) Probar que existen infinitos valores de a para los cuales el sistema del apartado anterior escompatible y determinado. Resolver el sistema, para todos estos valores de a.

7. Resolver los siguientes sistemas:

a)x1 − x2 + x3 + 4x4 = 6

2x1 + 3x2 − x3 − 11x4 = −7x2 + x3 + x4 = 1

b)x+ y + z = 3x− y + z = 12x+ az = b

8. Discutir segun los valores de a y b el sistema con coeficientes reales:

ax+ y + z = 1x+ ay + z = bx+ y + az = b2

9. Discutir los siguientes sistemas segun los valores de a.

a)(a+ 1)x+ y + z = a− 1x+ (a+ 1)y + z = 2x+ y + (a+ 1)z = a+ 1

b)ax+ y + z = 1x+ ay + z = 1x+ y + az = 2a− 1

10. Hallar el rango de la siguiente matriz segun los valores del parametro a:

a 1 1 22 a a2 12 1 1 2

.

11. Calcular para cada x ∈ C el rango de la matriz

x −1 x 0 x0 x x 0 −11 x 1 x 00 1 x x 0

.

5

Lista numero tres

1. Sean A =

1 2 10 3 −12 0 1

∈M3(R) y B =

0 1 20 0 −10 0 0

∈M3(R). Calcula:

a) A2 y B2;b) 3A3 − 1

2A+A0 y 3B3 − 12B +B0;

c) (At)2 +AAt +AtA− 3I3 yd) (At)2 +AtB +BtA.e) ¿Existe alguna matriz X no nula tal que XA = BXt ?

2. Resolver la siguiente ecuacion matricial:(1 −13 3

)(xy

)=(

1 xy −1

)(32

).

3. Hallar las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema:

3A+ 2B =(

2 −15 5

); 2A+B =

(1 3−2 0

).

4. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

2A+B =(

1 2 2−2 1 0

); A− 3B =

(−4 −3 −2−1 0 −1

).

5. Sean A =(

0 11 0

)y B =

(1 01 1

). ¿Por que no se cumplen las igualdades (A+B)2 = A2 +B2 +

2AB, (A−B)2 = A2 +B2 − 2AB y (A+B)(A−B) = A2 −B2?

6. Si H ∈ Mn×n(K), se define la traza de H como Tr(H) =n∑i=1

hii. Sean A ∈ Mm×n(K) y

B ∈Mn×m(K), demostrar que Tr(AB) = Tr(BA).

7. Sea A ∈Mm×n(R). Demostrar que:

a) Si AAt = 0, entonces A = 0.b) Si Tr(AtA) = 0, entonces A = 0.

8. Probar que si A es una matriz idempotente (o sea, verifica que A2 = A) entonces tambien esidempotente la matriz B = I −A y que AB = BA = 0.

9. Dada una matriz cuadrada A, demostrar que A + At es una matriz simetrica. Probar que todamatriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz simetrica y otra antisimetrica.

10. Hallar la inversa de las siguientes matrices planteando un sistema de ecuaciones y resolviendolopor el metodo de Gauss:

a)(

3 24 3

)b)

3 3 41 1 13 4 3

c)

2 1 12 1 03 1 −2

d)

2 −1 2−1 1 0

2 −1 3

6

11. Calcula, por el metodo de Gauss, el rango de la matriz A. Utiliza el mismo metodo para encontrarla matriz inversa de B.

A =

0 −1 3 1−1 2 0 20 4 8 11 3 5 −2

, B =

2 1 3 0−1 1 0 −20 1 2 01 0 1 1

.

12. Calcula la inversa de cada una de las matrices siguientes:

1 2 22 1 −22 −2 1

,

−1 0 1 01 −1 0 11 1 −1 01 1 1 −1

,

1 a 0 0 00 1 a 0 00 0 1 a 00 0 0 1 a0 0 0 0 1

.

13. Dadas las matrices:

A =

1 −2 0 −30 0 −1 00 0 0 0

, B =

0 3 −6 −4−1 3 −10 −42 −6 20 2

, C =

0 0 −1 02 −4 1 −6−1 2 1 3

,

D =

0 0 0 10 3 −6 −41 −3 10 4

, E =

−1 6 −16 −81 −3 10 −2−1 3 −10 −1

, F =

0 0 0 10 3 −6 −41 3 10 4

.

a) Encontrar una matriz EA producto de matrices elementales de forma que HA = EAA,donde HA representa la forma escalonada reducida por filas de A. Hacer lo mismo para lasrestantes matrices.

b) Encontrar una matriz E′A producto de matrices elementales de forma que HcA = AE′A, donde

HcA representa la forma escalonada reducida por columnas de A. Hacer lo mismo para las

restantes matrices.

14. Dadas las siguientes matrices hallar su rango y su forma canonica equivalente (es decir, la matrizescalonada reducida por columnas de su matriz escalonada reducida por filas). Hallar tambienmatrices Q y P (productos de matrices elementales) tales que PAQ sea igual a la forma canonicade A. Proceder analogamente con las matrices B y C.

A =

1 2 1 52 5 1 144 9 3 24

, B =

1 −2 3 −1 5−1 2 −3 2 −10 0 1 −1 1

, C =

1 0 −1 10 2 2 2−1 4 5 3

.

7

Lista numero cuatro

1. Calcula los siguientes determinantes:

i)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 −3 4−2 3 4 −53 −4 −5 6−4 5 6 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣ , ii)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 −11 1 −1 11 −1 1 1−1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

iii)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 9 27 811 1 1 1−2 4 −8 162 4 8 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ , iv)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 0 03 4 0 0 0−8 9 2 −7 75 −6 0 1 88 7 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

2. Calcula el siguiente determinante:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x a1 a2 a3 · · · an−1 1a1 x a2 a3 · · · an−1 1a1 a2 x a3 · · · an−1 1a1 a2 a3 x · · · an−1 1. . . . . .. . . . . .. . . . . .a1 a2 a3 a4 · · · x 1a1 a2 a3 a4 · · · an 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

3. Hallar el valor de los determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 (1 + a) 1 11 1 (1 + b) 11 1 1 (1 + c)

∣∣∣∣∣∣∣∣; b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + i 1 2 02 + i 3 4 34 + i 2 3 21− i 2 4 6

∣∣∣∣∣∣∣∣;

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 · · · n−1 0 3 4 · · · n−1 −2 0 4 · · · n

......

......

. . ....

−1 −2 −3 −4 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣; d)

∣∣∣∣∣∣x+ a b ca x+ b ca b x+ c

∣∣∣∣∣∣;

e)

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b c

b+ c c+ a a+ b

∣∣∣∣∣∣.4. Resolver los ejercicios siguientes utilizando determinantes: 1, 8, y 9 de la hoja 1; 4, 7, 9 y 11 de

la hoja 2, y 10, 11 y 12 de la hoja 3 de ejercicios complementarios.

5. Consideramos las matrices

A =

2 −3 −2 20 1 −2 11 −1 1 0

y C =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

de M3×4(R). Cada uno de los apartados siguientes demuestra que A y C son matrices equiva-lentes.

8

a) Comprobar (usando menores) que tienen el mismo rango.

b) Comprobar que C se puede obtener a partir de A realizando operaciones elementales sobrelas filas y sobre las columnas de A. (Indicar en cada paso que operaciones elementales sehan realizado)

c) Encontrar matrices invertibles P ∈ GL3(R) y Q ∈ GL4(R) tales que C = PAQ.

6. a) ¿ Para que valores de a es invertible la matriz A =

−1 a 02 0 a−1 3 −1

?

b) Hallar A−1 cuando a = 1.

7. a) Probar que det

1 cosx cos 2xcosx cos 2x cos 3xcos 2x cos 3x cos 4x

= 0 para todo numero real x.

b) ¿Por que x = 2 es solucion de la ecuacion det

x 4 23− x x 1

1 1 + x x

= 0? Hallarlas todas.

9

Lista numero cinco

1. Consideremos el conjunto R2 con la operacion interna:

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′),

y una de las siguientes operaciones externas:

a) λ(x, y) = (λx, 0),

b) λ(x, y) = (λx, λy),

c) λ(x, y) = (λ+ λx− 1, λ+ λy − 1),

d) λ(x, y) = (λy, λx),

donde λ ∈ R. Determinar en cada caso si las operaciones definen una estructura de espaciovectorial en R2.

2. En Q×Q se definen las operaciones suma y multiplicacion por un escalar como sigue:

(a, b) + (a′, b′) = (a+ a′, b+ b′) y λ · (a, b) = (λa, 0)

Justificar si (Q×Q,+, ·) es o no un Q-espacio vectorial.

3. Consideremos R2 con las operaciones de suma ⊥ y producto por escalares ? definidas como sigue:

(x1, x2) ⊥ (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2 − 2x1y1 − 1),

λ ? (x1, x2) = (λx1, λx2 + λ(1− λ)x21 + 1− λ).

Determinar si (R2,⊥, ?) es un espacio vectorial real.

4. En R3 definimos las operaciones suma ⊥ y producto por escalares ? como sigue:

(x1, x2, x3) ⊥ (y1, y2, y3) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 − 1, x3 + y3 + 3),λ ? (x1, x2, x3) = (λx1 + λ− 1, λx2 − λ+ 1, λx3 + 3λ− 3).

Estudiar si (R3,⊥, ?) es o no un espacio vectorial real.

5. Sea V el espacio vectorial de las aplicaciones de R en R. Demostrar que son subespacios vectorialesde V :

a) V1 = {f ∈ V |f(3) = 0};b) V2 = {f ∈ V |f(7) = f(1)};c) V3 = {f ∈ V |f(−x) = −f(x)} .

6. Determinar cuales de los siguientes subconjuntos F de Rn son subespacios vectoriales:

a) F = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | x1 + x2 + · · ·+ xn = 0},b) F = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | x1 + x2 + · · ·+ xn = 1},c) F = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | xi ≤ 0 ,para cada i ∈ {1, ..., n}},d) F = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | max{|xi| | i ∈ {1, ...n}} ≤ 1}.

7. a) Determinar los valores reales de a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinacion linealde los vectores (1, 2,−1, 2) y (0, 1, 2, 1).

b) Demostrar que para cada terna de numeros reales a, b y c los vectores (1, a, b), (0, 1, c) y(0, 0, 1) son linealmente independientes.

10

c) ¿Para que valores reales de los escalares a y b son linealmente independientes los vectores

(1, 1, 0, a), (3,−1, b,−1) y (−3, 5, a,−4)?

8. Sean u, v y w tres vectores linealmente independientes. Mostrar que u+ v, u− v y u− 2v+ w sonlinealmente independientes.

9. Halla tres polinomios P1(X), P2(X) y P3(X) en R5[X] linealmente independientes tales quePi(0) = 1, Pi(1) = 0 y Pi(2) = −5 (i = 1, 2, 3).

10. Escribir la matriz E =(

3 11 −1

)como combinacion lineal de de las matrices:

A =(

1 11 0

), B =

(0 01 1

)y C =

(0 20 −1

).

11. Estudiar si los conjuntos siguientes son base del espacio vectorial dado:

a) {1, X + 3, (X + 3)2, (X + 3)3} en R3[X].

b){(

1 01 1

),

(0 11 1

),

(1 10 1

),

(1 11 0

)}en M2(R).

c){(

1 11 1

),

(1 −1−1 1

),

(−1 11 −1

),

(−1 00 1

)}en M2(R).

12. a) Demostrar que los conjuntos siguientes son bases de R4:

B1 = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)},B2 = {(1, 2, 0, 0), (0, 1, 2,−1), (1,−1,−1,−1), (0, 1, 1, 0)}.

b) Encontrar las coordenadas del vector u = (1, 2,−1,−2) respecto de cada una de las basesanteriores.

13. Estudiar si son dependientes o independientes los siguientes conjuntos de vectores y encontraruna base del subespacio vectorial que generan:

a) {(2, 3, 1), (1, 0, 1), (0, 3,−1)};b) {(2, 3, 1, 0, 1), (0, 1, 2, 1, 4), (0, 0, 1, 4, 5), (0, 0, 0, 3, 1)};c) {(1, 2, 1), (2, 4, 1), (−3,−6,−3)}.

14. En R3 se consideran los subespacios E1 = L[(1, 2, 1), (1, 3, 2)] y E2 = L[(1, 1, 0), (3, 8, 5)]. Com-probar que E1 = E2.

15. Estudiar si los vectores (1, 0,−1, 2), (2, 3, 1, 1), (1, 3, 2,−1) y (1, 1, 0, 1) de K4 son linealmenteindependientes. Extraer de ellos el mayor numero posible que lo sean y construir una base de K4

que contenga a esos vectores elegidos.

16. Se considera la matriz A =(

2 1−2 0

). Probar que el conjunto

H = {X ∈M2×2(K) |XA = AX}

es un subespacio vectorial de M2×2(K) y calcular su dimension.

17. Sea W = L[v1, v2, v3, v4] ⊂ R[t], donde v1 = t3−2t2+4t+1, v2 = 2t3−3t2+9t−1, v3 = t3+6t−5y v4 = 2t3 − 5t2 + 7t+ 5. Hallar una base y la dimension de W .

11

18. Hallar una base, la dimension y unas ecuaciones implıcitas del subespacio H cuyas ecuacionesparametricas son:

H :

x = 2α1 − α2 + α3 + α4

y = α1 + α2 + 2α3 + α4

z = 3α1 + 3α3 + 2α4

t = −α1 + 5α2 + 4α3 + α4

Ampliar la base de H a una base de K4.

19. En el espacio vectorial R5 consideramos el subespacio vectorial L de ecuaciones implıcitas:

x+ 2y− z = 0y+ 2z− t+ w = 0

3x+ 4y− 7z+ 2t− 2w = 0

a) Comprobar que los vectores u1 = (1, 0, 1, 1,−1) y v1 = (0, 0, 0, 1, 1) pertenecen a L.b) ¿Son linealmente independientes los vectores u1 y v1?c) Prolongar {u1, v1} hasta una base B1 de L.d) Prolongar {u1} hasta una base B2 de L, que no contenga a ningun multiplo de v1.e) Escribir, si es posible, las coordenadas de los vectores:

(2,−1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1,−2) y (−3, 2, 1, 0, 0)

respecto de las bases B1 y B2.

20. Hallar la dimension y una base del espacio W cuyas ecuaciones implıcitas son:

x+ 2y + 2z − s+ 3t = 0x+ 2y + 3z + s+ t = 0

3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0

21. Dado el subespacio vectorial W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 |x1 + x2 − x3 + x4 = 0} ⊂ R4, hallar

una base de W . Determinar si (1,−2, 0, 1) ∈W y, en ese caso, hallar sus coordenadas respecto adicha base de W .

22. Estudiar si {(2, 1, 1), (−2, 1, 3), (1, 3, 1)} es una base de R3 y dar las coordenadas de (1, 1, 1) endicha base. Hallar la matriz del cambio de base respecto a la canonica.

23. Demostrar que B = {1, X,X2, X3} es una base de R3[X] (espacio vectorial de los polinomiosreales de grado menor o igual que 3). Probar que {(1 + X)3, X(1 + X)2, X2(1 + X), X3} esotra base de R3[X] y hallar respecto a esta segunda base las coordenadas de los elementos de laprimera. Hallar las matrices de cambio de base.

24. Dados los conjuntos de vectores

B = {(3, 2, 5), (2, 1, 3), (1, 0, 2)} y B′ = {(−2, 1, 3), (−2, 1, 2), (1,−1, 3)},

se pide:

a) Demostrar que son bases de R3 y hallar las matrices del cambio de base en los dos sentidos.b) Hallar las coordenadas de vB = (2,−1,−4) en la base B′.c) Hallar las coordenadas de wB′ = (0, 1, 5) en la base B.d) Escribir las coordenadas de v y w en la base canonica.

25. Halla un sistema de ecuaciones homogeneas cuyo espacio de soluciones sea el mınimo subespacioque contiene a los vectores (−1, 0, 1, 0, 0), (0,−1, 1, 1, 0) y al subespacio de soluciones del sistema:

x1 − x2 + x4 = 0x1 + x2 + x3 − x5 = 0

x2 + x4 − x5 = 0

.

12

Lista numero seis

1. Dado un subconjunto linealmente independiente {u1, u2, u3} de un espacio vectorial V , se con-sideran los subespacios H1 = L[u1 + u2, u2 + u3] y H2 = L[u1 + u2 + u3, u2 − u3]. ¿Cual es ladimension de H1 ∩H2?

2. Sean H = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x+ y = z + t = 0} y L = L[(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)] subespa-cios vectoriales de R4. Hallar una base y la dimension de: a) H; b) L; c) H ∩ L y d) H + L.

3. En R4 se consideran los subespacios vectoriales U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y + z + t = 0} yW = {(x, y, z, t) ∈ R4‖ x + y = z − 2t = 0}. Hallar bases, dimensiones y ecuaciones implıcitasy parametricas de: U , W , U ∩W y U +W .

4. Sean los subespacios vectoriales de R4:

U = L[(1, 1, 0,−1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3,−1)], W = L[(1, 2, 2,−2), (2, 3, 2,−3), (1, 3, 4,−3)].

Hallar: a) la dimension de U +W y b) la dimension de U ∩W .

5. Para cada numero real a se considera el subespacio vectorial de R3 definido por

Ha = {(x, y, z) ∈ R3 | ax− y + z = 0}.

Sea u = (1, 1, 1). ¿Para que valores de a se cumple la igualdad R3 = Ha ⊕ L[u]?

6. Sean U , W subespacios de R3 definidos por U = {(x, y, z) ∈ R3 |x = y = z} y W = {(x, y, z) ∈R3 |x = 0}.

a) Hallar una base de U y otra de W .

b) Comprobar que R3 = U ⊕W .

7. Sean H ⊂ R4 de ecuaciones x− y = z + t = 0 y L ⊂ R4 generado por (1,−1, 0, 0), (1, 0,−1, 0) y(1, 0, 0,−1). Hallar bases, dimensiones y ecuaciones implıcitas y parametricas de H, L, H ∩ L yH + L.

8. Sean los subespacios

U = L[(1, 3,−2, 2, 3), (1, 4,−3, 4, 2), (2, 3,−1,−2, 9)],

W = L[(1, 3, 0, 2, 1), (1, 5,−6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1)],

de R5. Hallar una base y la dimension de U ∩W .

9. Dados los subespacios, U = L[(1, 2, 1, 3), (0, 1, 2, 1), (6, 11, 4, 17)] y W : 4x1 − x2 + x3 − x4 = 0de R4. Hallar las ecuaciones parametricas e implıcitas de U + W y de U ∩W . ¿Es U + W unasuma directa?

10. Sean a y b numeros reales y consideremos los subespacios H y L de R4 cuyas ecuaciones implıcitasson

H :{bx1 − bx2 + x4 = 0

x3 = 0 y L :{

(a− 1)(2x1 − x2)− 2x3 = 02bx1 − (a+ b)x2 + 2x4 = 0

a) Calcular la dimension de H y L. ¿Existen valores de a y b para los que H = L?

b) ¿Como han de ser a y b para que H + L 6= R4?

11. Sea H ⊂ R4 el subespacio definido como H = {x− y + z − 2t = x− 2y + z − t = 0}. Hallar lasecuaciones implıcitas de un subespacio L ⊂ R4 tal que R4 = L⊕H.

12. Para cada uno de los siguientes pares de subespacios U , W de R4, hallar una base y la dimensionde U , de W , de U +W y de U ∩W :

13

a) U = L[(1, 2, 1, 0), (0,−1, 0, 1)], W = L[(0, 0, 1, 1), (1, 1, 2, 2)].

b) U = {(a, b, c, d) ∈ R4 : b+ c+ d = 0}, W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a+ b = 0, c = 2d}.

13. Sean H = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x − y = z + t = 0} y L = L[(2, 1, 1, 1), (0, 1,−1,−1), (1, 0, 1, 1)]subespacios vectoriales de R4.

a) Hallar una base de H y las ecuaciones implıcitas de L.

b) Hallar H ∩ L y H + L. ¿Es H + L suma directa?

c) Si U = L[(0, 2, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] hallar H + U y L+ U . ¿Se trata de sumas directas?

d) Encontrar una base y la dimension de los espacios cociente: R4/H, R4/L, R4/(H ∩ L),R4/(H + L), H/(H ∩ L) y (H + L)/L.

14. Sean V = R5 y W = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 |x4 = x5 = 0}. Hallar una base y la dimension deV/W .

15. W = L[(1, 2, 3, 4), (2, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 3)] y W ′ = L[(1, 0,−1, 2), (2, 3, 0, 1)] son subespacios de V =C4. Hallar una base y la dimension de V/W y de V/W ′.

16. En el espacio vectorial R5 consideramos el subespacio vectorial L de ecuaciones implıcitas:

x+ 2y− z = 0y+ 2z− t+ w = 0

3x+ 4y− 7z+ 2t− 2w = 0

a) Encontrar, si existen, vectores de la base canonica de R5 cuyas clases formen una base delcociente R5/L.

b) Encontrar, si es posible, una base de R5/L tal que ninguno de sus elementos sea la clase deun vector de la base canonica de R5.

c) Sean

A1 = {(0, 0, 0,−1, 1) + L, (1, 0, 0, 0, 1) + L}, A2 = {(1, 0, 0, 0, 0) + L, (1, 0, 0, 0, 1) + L},

A3 = {(1, 0, 0, 0, 0)+L, (1, 0, 0, 0, 1)+L, (0, 1, 0, 0, 0)+L}, A4 = {(1, 0, 0, 0, 0)+L, (1, 1, 0, 0, 0)+L}.

1) ¿Cuales de los conjuntos anteriores son linealmente independientes?2) ¿Cuales son sistemas de generadores?3) ¿Cuales son base?4) Escribe los vectores (1, 0, 0, 1, 1)+L, (0, 1, 1, 4, 1)+L y (2, 1, 0, 1, 2)+L como combinacion

lineal de los elementos de A2 y de los de A3, de dos formas distintas, si es posible.5) Escribe las coordenadas de los vectores del apartado anterior respecto de A4.6) ¿Son iguales (1, 0, 0, 0, 0) + L y (0, 1, 1, 4, 1) + L?

14

Lista numero siete

1. Determinar cuales de las aplicaciones siguientes f : R2 → R2 son lineales:

a) f(x, y) = (y, x),

b) f(x, y) = (0, x),

c) f(x, y) = (1, x+ y),

d) f(x, y) = (x2, y2).

2. Sea f : R2 → R3 la aplicacion lineal determinada por f(1, 0) = (1, 1, 1), f(0, 1) = (1, 0, 0).Calcular f(2,−1) y hallar el nucleo y la imagen de f .

3. Sea f : R4 → R3 la aplicacion lineal dada por

f(x, y, z, t) = (x+ z + t, x+ y + 2z + t, y + z).

a) Encontrar bases de los subespacios vectoriales im f, ker f y del espacio vectorial R4/ ker f .

b) Describir explıcitamente, mediante matrices, la factorizacion canonica de f . Comprobar,mediante el producto adecuado de estas matrices, que la aplicacion f se factoriza en lacomposicion de las otras tres.

c) Calcular bases tales que las matrices de la factorizacion canonica respecto de ellas tenganceros y unos en su diagonal principal, y ceros fuera de ella.

4. Considerense los vectores de R3: v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1), v3 = (1, 1, 0), v4 = (1, 0, 1). Sean w1

y w2 dos vectores cualesquiera de R2.

a) ¿Existe alguna aplicacion lineal f de R3 en R2 tal que f(v1) = w1, f(v2) = w2, f(v3) =w1 + w2, f(v4) = w1 − w2?

b) Demostrar que existe una unica aplicacion lineal g de R3 en R2 tal que g(v1) = w1, g(v2) =w2, g(v3) = w1 − w2, g(v4) = w1 + w2.

c) ¿Cuales son las posibles dimensiones del nucleo de g?

5. Encontrar una aplicacion lineal f : R3 → R3 que cumpla las tres condiciones siguientes:

a) f(1, 0, 0) ∈ L[(0, 0, 1)],

b) f2 = f , y

c) ker f = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ z = 0}.

6. Sean Bc la base canonica de R4, y u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (0, 1, 0, 1) vectores de R4. Se pide:

a) Construir un subespacio W de R4 tal que R4 = W ⊕ L[u1, u2].

b) Construir una aplicacion lineal f : R4 → R4 tal que ker f = L[u1, u2] e im f = W .

c) Decidir si existe alguna aplicacion lineal g : R4 → R4 tal que ker g = L[e1, e2] e im g =L[e1, e3, u2].

7. Sea V = (R5)∗ y sean w1, w2, w3, w4 los elementos de V definidos por:

w1(x, y, z, s, t) = x+ y + z, w2(x, y, z, s, t) = x+ s+ t,

w3(x, y, z, s, t) = t, w4(x, y, z, s, t) = x+ y + 2z + s+ t;

¿existe una base de V que contenga a w1, w2, w3, w4?

8. Hallar las coordenadas de la forma lineal w : R4 → R definida por w(x, y, z, t) = 3x− 5y+ 4z+ t,respecto de la base dual de la base canonica {e1, e2, e3, e4}, y de la base dual de la base B ={(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.

15

9. En R3 se consideran la base canonica Bc = {e1, e2, e3} y la base

B = {(1, 0, 1), (0, 1,−2), (−1,−1, 0)}.

a) Calcular la base dual de cada una de ellas.

b) Estudiar si las formas lineales f1, f2, f3 de R3 en R dadas por f1(x, y, z) = x + 2y + z,f2(x, y, z) = 7x+ 14z, f3(x, y, z) = 3x+ y+ z forman una base del espacio dual (R3)∗, y encaso afirmativo, calcular la base de la que es base dual.

10. Se considera el espacio vectorial real R4 y, en el, los vectores u1 = (1, 0, 0, 1), u2 = (0, 3, 1, 0) yu3 = (1, 0, 1, 2). Se pide:

a) Probar que los vectores u1, u2, u3 son linealmente independientes y encontrar un vector u4 deR4 tal que u1, u2, u3, u4 formen una base de R4. Determinar la base dual de {u1, u2, u3, u4}.

b) Determinar el subconjunto M del espacio vectorial dual (R4)∗ formado por las aplicacioneslineales f : R4 → R que se anulan en u1 y en u2 y que no se anulan en u3.

c) Determinar el subespacio vectorial F de (R4)∗ generado por M , es decir, el mınimo subes-pacio vectorial de (R4)∗ que contiene a M . ¿Coincide F con M? Hallar una base de F .

11. Se consideran los espacios vectoriales R3 y R4, y en ellos sus bases canonicas Bc y B′c, respecti-vamente. Se pide:

a) Determinar todas las aplicaciones lineales f : R3 → R4, dando sus matrices respecto de Bcy B′c, tales que

1) ker(f) es el subespacio de ecuaciones implıcitas:{x1 − x2 = 0x1 + x2 + x3 = 0 ,

2) f(e1) = (−1, 1,−1, 0),3) L[f(e2)] = L[(1, 0, 2, 1)].

b) De todas las aplicaciones lineales obtenidas en a), determinar aquella cuya aplicacion linealdual f∗ : (R4)∗ → (R3)∗ transforma

α : R4 → R(x1, x2, x3, x4) 7→ −2x1 + x2 + x3 − x4

enβ : R3 → R

(y1, y2, y3) 7→ 2y1 − y2 + 12y3

.

c) Para la aplicacion lineal f determinada en b), dar bases en R3, R3/ ker(f), im(f) y R4

de forma que las matrices, respecto de esas bases, de las aplicaciones lineales que dan ladescomposicion canonica de f , tienen ceros y unos en sus diagonales principales y cerosfuera de ellas. Determinar esas matrices.

12. Sea f : R3 → R3 la aplicacion lineal dada por f(x, y, z) = (x − 2y − 2z,−x + z, x − y − 2z). Sepide:

a) Demostrar que f es una simetrıa, es decir, que f2 =IdR3 .

b) Determinar la base de la simetrıa: U = {u ∈ R3 | f(u) = u} y la direccion de la simetrıa:W = {u ∈ R3 | f(u) = −u}, dando bases de U y de W .

c) Encontrar una base B de R3 tal que MB(f) =

1 0 00 −1 00 0 −1

.

d) Sea B′∗ la base de (R3)∗ dual de la base B′ = {(2,−1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} de R3. Escribir lamatriz de cambio de base M(B′∗,B∗c ), siendo B∗c la base de (R3)∗ dual de la base canonicade R3.

e) Construir una aplicacion lineal g : R3 → R3 tal que ker g = U e img = W .

16

Lista numero ocho

1. ¿Para que valores de a y b es diagonalizable la matriz A =

1 0 0b 2 b0 0 a

?

2. ¿Para que valores del parametro a es diagonalizable la matriz A =

1 0 0a 1 01 1 2

?

3. Se considera la matriz A =(−7 −612 10

). Encontrar la formula de recurrencia que de la potencia

n-esima de la matriz A.

4. Hallar el polinomio caracterıstico, los valores propios y los subespacios invariantes de los endo-morfismos de Kn cuyas matrices respecto de la base canonica son las siguientes:

a)

−4 −6 03 5 03 6 5

b)

0 1 5 92 1 6 80 0 0 30 0 1 −2

c)

1 −3 33 −5 36 −6 4

d)

−3 1 −1−7 5 −1−6 6 −2

.

¿Que endomorfismos son diagonalizables?

5. Hallar el polinomio caracterıstico, los valores propios y los vectores propios de las siguientesmatrices:

a)(

1 22 1

)b)(

2 32 1

)c)

1 2 0 02 1 0 00 0 2 30 0 2 1

d)

2 3 4 62 1 4 24 6 2 34 2 2 1

.

6. Hallar la matriz respecto de la base canonica de un homomorfismo f : R4 → R4 tal quef(1, 0, 1, 0) = (2, 1,−1, 0), L[(0, 1,−1, 0)] sea el subespacio de vectores propios de f para elvalor propio −1 y H = {x+ z = x− y + t = 0} sea el subespacio de vectores propios de f parael valor propio 2.

7. Se dan las expresiones recurrentes{un = 3un−1 + 3vn−1

vn = 5un−1 + vn−1y u0 = v0 = 1. Hallar las expre-

siones de un y vn en funcion de n.

8. En un criadero de conejos se denota por xn e yn el numero de machos y hembras al cabo de n

anos. Sabiendo que{xn+1 = 5xn − 3ynyn+1 = 6xn − 4yn

y que x1 = 2, y1 = 1, hallar el numero total de

conejos al cabo de 20 anos.

9. Hallar los valores de a y b para que sea diagonalizable la matriz A =

2 0 0a 2 0b 0 a

. Para esos

valores de a y b encontrar una matriz P tal que P−1AP sea diagonal.

10. a) Sea f un endomorfismo no diagonalizable de C2 de traza 2. Calcular det f .

b) Sea A una matriz cuadrada de orden dos con traza 5 y determinante 4. ¿Es diagonalizable?

11. Probar que las matrices

1 0 00 −1 10 0 −1

y

1 0 00 −1 00 0 −1

no son semejantes, si bien tienen los

mismos valores propios.

17

12. Dadas las siguientes parejas de matrices estudiar si son o no semejantes.

a)(

1 11 −1

)y(

1 01 −1

).

b)

2 1 00 2 10 −1 0

y

1 0 00 1 10 0 2

.

13. Encontrar todos los subespacios invariantes del endomorfismo de K4 definido por

f(x) = (x1, 2x2, 3x3, 4x4).

14. Sea f : K4 → K4 el endomorfismo

f(x) = (2x1 − x3,−2x1 + 4x2 + 2x3, 4x3 + x4, 4x4).

Calcular todos los autovectores de f , y obtener todos los planos invariantes de f en los que estancontenidos.

15. Se consideran los siguientes subespacios de R4:

H :

{x− y + z − t = 0x+ y + z + t = 0

, L :

{x+ y + z = 0x+ 2z = 0

.

Probar que existe un unico endomorfismo f : R4 → R4 cuyos valores propios son 1, 2 y H es elsubespacio propio asociado a 1, L es el subespacio propio asociado a 2.

16. Se tienen dos sucesiones (xn), (yn) de numeros reales tales que

xn+1 = 6xn − yn , yn+1 = 3xn + 2yn .

Calcular 14 (3xn+1 + yn+1), siendo x1 = 1, y1 = −1.

17. ¿Existe algun endomorfismo f : R9 → R9 con dos subespacios propios H, L tales que dim(H)−dim(L) = 6 y dim(L(H,L)) = 16 ?

18. Sea M una matriz diagonalizable. ¿Para que valores de λ es diagonalizable la matriz M − λI?

19. ¿Existe alguna matriz regular 7 × 7 con coeficientes reales, cuyo polinomio caracterıstico sea−X7 +X3 −X?

20. Sea M una matriz diagonalizable, ¿lo es M2? Y si M2 es diagonalizable, ¿lo es M necesariamente?

18

Lista numero nueve

1. Demostrar que cualquier matriz cuadrada real de orden 2 cuyo determinante es negativo, essemejante a una matriz diagonal.

2. Sea A ∈M3(C) una matriz no diagonal con un unico autovalor λ y que verifica que (A−λI)2 = 0.Calcular la forma de Jordan JA de la matriz A.

3. De un endomorfismo f de R5 se sabe que su polinomio caracterıstico es −(X − 2)3(X − 3)2.Determinar todas las formas de Jordan posibles de f .

4. Calcular(

2 −11 0

)15

.

5. Discutir segun los valores de a, b, c la expresion del polinomio mınimo de la matriz

A =

1 a b0 1 c0 0 1

.

6. ¿Es cierto que si los polinomios mınimo y caracterıstico de un endomorfismo coinciden (salvosignos), entonces el endomorfismo es diagonalizable?

7. El polinomio mınimo de un endomorfismo de Cn es Xn. ¿Cual es su forma de Jordan?

8. En R3 se consideran los endomorfismos dados por las matrices

A =

1 0 −10 1 01 1 −1

y B =

0 1 0−1 0 1−1 1 1

.

Se pide:

a) Forma canonica de Jordan y matriz de paso de ambos.

b) ¿Son las matrices A y B semejantes? En caso afirmativo encontrar una matriz P tal queB = PAP−1.

9. Calcular en funcion de a, b ∈ C la forma de Jordan de

2a −1 0b 2 04 0 b

.

10. Para cada una de las matrices siguientes hallar: los polinomios caracterıstico y mınimo, la formacanonica de Jordan, la base de Jordan correspondiente y tambien una matriz P tal que P−1MPsea la forma de Jordan de M :

(a)

−1 1 1−3 3 1−2 1 2

, (b)

3 −1 05 −1 −12 −1 1

, (c)

0 1 0−2 3 0−1 1 1

, (d)

−2 0 10 −1 0−1 0 0

,

(e)

−1 0 3 −2−1 2 1 0−4 0 6 −3−2 0 2 0

, (f)

2 0 1 −1−1 −1 6 −71 1 1 12 2 −4 6

, (g)

2 2 −3 4−2 2 1 03 3 −5 74 2 −6 7

,

(h)

1 1 −1 2−1 3 −1 21 1 −1 32 0 −2 3

, (i)

1 0 0 0−1 2 1 0−1 0 2 0−1 0 1 1

, (j)

3 1 0 0−4 −1 0 07 1 2 1−17 −6 −1 0

,

19

(k)

0 1 0 0 00 0 0 0 00 0 −1 −1 −10 0 0 1 10 0 0 0 1

, (l)

2 −2 −9 −2 50 0 −2 0 11 −1 −4 −1 20 0 2 0 −11 −1 −4 −1 2

,

(m)

−2 0 3 4 50 −2 0 6 70 0 −2 0 80 0 0 −2 00 0 0 0 −2

, (n)

5 0 6 7 9 140 5 0 8 10 150 0 5 0 11 160 0 0 5 12 170 0 0 0 13 180 0 0 0 0 19

.

11. Hallar una base B del espacio vectorial de los polinomios complejos de grado ≤ 4 tal que lamatriz respecto de la base B del endomorfismo definido por f(p(X)) = p(X + 1) sea una matrizde Jordan.

12. Hallar la forma de Jordan de una matriz compleja M de orden 13 de la que se sabe que tiene unsolo autovalor, el rango de (M − 2I13) es ≥ 11 y el rango de (M − 2I13)8 es 1.

13. Hallar la forma de Jordan de un endomorfismo de C2n del que se sabe que ker(f) = Im(f).

14. Sea f un endomorfismo de C2 tal que para un cierto entero k ≥ 1, fk es la identidad de C2. ¿Esf diagonalizable?

15. ¿Existe algun endomorfismo f de R3 con un valor propio λ que verifique dim(im(f − λI)) = 2 ydim(im(f − λI)2) = 0?

16. Sea a, b numeros complejos y f el endomorfismo de C3 definido por la matriz−1 a− 1 −11 b a+ 11 1 1

.

Hallar a y b sabiendo que im(f) = ker(f ◦ f), y obtener la forma de Jordan de f .

17. Determinar la forma de Jordan de M =

1 2 −21 1 01 2 −1

y la suma∑2000n=0 (−1)nMn.

18. Determinar que condiciones deben cumplir α y β para que la forma de Jordan de la matriz1 α αβ0 1 α2β0 α(1 + β) 1

sea

1 0 01 1 00 1 1

.

19. Sea f un endomorfismo de C3 tal que ker(f) = im(f ◦ f). Hallar la forma de Jordan de f .

20. Encontrar los polinomios caracterıstico y mınimo de un endomorfismo f de C8 del que se sabe losiguiente: sus valores propios son: 1, −1 e i, la matriz de Jordan correspondiente al valor propio1 tiene dimension 3 y dos cajas, la del valor propio −1 tiene dimension 1, y la del valor propio itiene dos matrices elementales de la misma dimension.

20

Lista numero diez

1. (e) ¿Cuales de las siguientes aplicaciones son formas bilineales sobre Rn?

a) F ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = x1|y1|+ · · ·+ xn|yn|.b) F ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = |x1y1 + · · ·+ xnyn|.c) F ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = (x1 + · · ·+ xn)(y1 + · · ·+ yn).

d) F ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√x2

1y21 + · · ·+ x2

ny2n.

e) F ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = (x1 +y1)2 + · · ·+(xn+yn)2− (x21 + · · ·+x2

n)− (y21 + · · ·+y2

n).

f ) F ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = x1y1 + · · ·+ xkyk donde k es un numero natural fijo tal que1 ≤ k ≤ n.

En los casos de respuesta afirmativa, estudia si son simetricas o antisimetricas y da una matrizde F respecto de la base canonica de Rn.

2. Demuestra queF : R2[X]× R2[X] → R

(p, q) 7→∫ 1

0p(t)q(t)dt

es una forma bilineal simetrica y calcula su matriz respecto de la base {1, X,X2} de R2[X].Calcula F (p, q) para p(X) = 1 +X y q(X) = 2X −X2.

3. Determina cuales de las siguientes aplicaciones F :M3(R)×M3(R)→ R son formas bilineales:

a) F (A,B) = tr(AtB),

b) F (A,B) = det(AB),

c) F (A,B) = tr(A)tr(B).

4. Sean f1, f2 : V → K dos formas lineales en un espacio vectorial V de dimension finita sobre elcuerpo K. Probar que la aplicacion F : V ×V → K definida por F (u, v) = f1(u)f2(v), para todosu, v ∈ V , es una forma bilineal. Si B = {u1, u2, . . . , un} es una base de V , calcular MF (B) enfuncion de las matrices de f1 y f2 respecto de B.

5. Sea F la forma bilineal en R3 cuya expresion analıtica en cierta base B = {e1, e2, e3} es F (u, v) =u1v1 − u1v2 + 3u2v2, donde u = u1e1 + u2e2 + u3e3 y v = v1e1 + v2e2 + v3e3. Halla la matriz deF respecto de la base B′ = {e′1, e′2, e′3} para e′1 = e1 + e2 + e3, e′2 = −e2, e′3 = e1 − e3. Calculatambien F (u, v) para u = 2e′1 + e′3 y v = −e′2 + 2e′3.

6. Dada la forma bilineal F : R1[X] × R1[X] → R de la que se sabe que es simetrica y queF (X + 1, X + 1) = 8, F (X + 2, X + 2) = 11, f(X,X) = 3, calcular su matriz respecto dela base usual {1, X}.

7. Sea F : R2 × R2 → R una forma bilineal dada por

F ((x1, x2), (y1, y2)) = 2x1y1 − 4x1y2 + 5x2y1 + λx2y2.

Determina λ para que F sea degenerada. Para este valor de λ determina los subespacios:

{u ∈ R2 | F (u, v) = 0 para todo v ∈ R2}, {v ∈ R2 | F (u, v) = 0 para todo u ∈ R2}.

8. Dadas las matrices A =(

1 11 1

)y B =

(−1 11 −1

), ¿pueden representar la misma forma bilineal

simetrica en bases distintas?

21

9. Dadas las matrices complejas

A =

1 0 10 2 21 2 3

, B =

1 −1 −1−1 1 1−1 1 1

.

Construye dos matrices regulares X e Y tales que XtAX e Y tBY sean diagonales.

10. Determina cuales de las siguientes formas bilineales simetricas son equivalentes i) en R3 y ii) enC3:

a) F1((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y1 − 12x1y3 − 1

2x3y1,b) F2((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 1

2x1y2 + 12x2y1 − x3y3,

c) F3((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 12x1y2 + 1

2x2y1 + x3y3.

11. Sea V un espacio vectorial real bidimensional y F : V × V → R una aplicacion tal que F (x, y) =x1y1 − 2x1y2 + 3x2y2.

a) Probar que es una forma bilineal. Escribir F como suma de una forma bilineal simetrica yotra antisimetrica.

b) Escribir la expresion analıtica de la forma cuadratica asociada y clasificarla.

12. Para cada una de las siguientes formas cuadraticas q : Kn → K determina la forma bilinealsimetrica asociada Fq, y una base B de Kn tal que la matriz MF (B) sea diagonal:

a) q(v) = ix2 − 2y2 para todo v = (x, y) ∈ C2,b) q(v) = 4x2 − 9xy + 5y2 para todo v = (x, y) ∈ R2,c) q(v) = 6xy para todo v = (x, y) ∈ R2,d) q(v) = 2xy + y2 − 2xz para todo v = (x, y, z) ∈ R3,e) q(v) = −x2 − 4xy + 3y2 + 2z2 para todo v = (x, y, z) ∈ R3,f ) q(v) = xy + yz + zt para todo v = (x, y, z, t) ∈ R4,g) q(v) = xy + 2xz + 3xt+ yz + 2yt+ zt para todo v = (x, y, z, t) ∈ R4,h) q(v) = x2 +2y2 +3z2 +4t2 +2xy+2xz+2xt+4yz+4yt+6zt para todo v = (x, y, z, t) ∈ R4.

13. Se considera la aplicacion q : R2[X]→ R definida por q(p) =∫ 1

0p(t)2dt. Se pide:

a) Probar que q es una forma cuadratica.b) Calcular la matriz de q respecto de la base B = {1, X,X2} de R2[X], y determinar su rango

y su ındice.

14. Dada la forma bilineal F : R3 × R3 → R definida por

f(x, y) = x1y1 + x1y2 + x1y3 + x2y1 + x2y2 − x3y1 + 2x3y3

hallar su forma cuadratica asociada qf , la forma polar, la matriz asociada y la signatura de qf .

15. Sea V el espacio vectorial M2(R), y M =(

1 22 5

). Demuestra que

F : V × V → R(A,B) 7→ tr(AtMB)

es una forma bilineal simetrica, calcula su matriz respecto de la base

B ={(

1 00 0

),

(0 01 0

),

(0 10 0

),

(0 00 1

)},

y clasifıcala, es decir, encuentra su rango y su ındice.

22

16. ¿A que intervalo debe pertenecer a para que la forma cuadratica φ(x, y) = 2x2 + axy + 6y2 seadefinida positiva?

17. Clasificar las siguientes formas cuadraticas sobre R3.

a) φ(x, y, z) = x2 − z2 − 2xy + xz

b) φ(x, y, z) = 2x2 + y2 + 5z2 − 2xy − 2yz + 6xz.

c) φ(x, y, z) = −x2 − 2y2 − z2 + 2xy + 2yz.

18. Dada la familia de formas cuadraticas fa(x, y, z) = x2 + y2 + (a+ 1)z2 + 2ayz+ 2xz, clasificarlassegun los valores del parametro a.

19. ¿Tiene solucion no nula en R la ecuacion x2+y2+z2+2xy = 0? ¿y la ecuacion 2x2+2y2+z2+2xy =0?

20. Probar que las siguientes expresiones definen sendos productos escalares en R3.

a) 〈x, y〉 = 2x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3 + x1y2 + x1y3 + x2y1 + x2y3 + x3y1 + x3y2.

b) 〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 + 2x2y3 + 2x3y2.

21. Estudiar segun los valores de a el caracter de la forma cuadratica real

g(x, y, z) = x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy + 2ayz.

22. Sea f la forma bilineal en R3 definida por

f(x, y) = x1y1 − 2x2y2 + x3y3 + x1y2 + x1y3 + x2y1 − 2x2y3 + x3y1 − 2x3y2.

a) Dar la forma cuadratica φf asociada a f y su matriz.

b) Encontrar una base B = {v1, v2, v3} de R3 que verifique

f(vi, vj) = 0,∀i 6= j, f(vi, vi) = 1, i = 1, 2 y f(v3, v3) = −1.

c) ¿Cual es la signatura de φf?

23. Sea q : R4 → R la forma cuadratica cuya matriz respecto de la base canonica de R4 es M =1 2 0 02 1 0 00 0 5 40 0 4 −1

. Se pide:

a) Encontrar una base del hiperplano H : x− y + z − t = 0, expresar la forma cuadratica q|Hen funcion de esa base, y calcular el rango y el ◦ ındice de q|H .

b) Encontrar un subespacio G de R4 de dimension 2, tal que la forma cuadratica q|G seadefinida negativa.

24. Sea q : R4 → R la forma cuadratica definida por

q(x, y, z, t) = 2x2 + ay2 + 2z2 + at2 + 2xz + 2yz .

Se pide, en funcion del parametro a:

a) diagonalizar q, determinando la base de la diagonalizacion,

b) el rango y el ındice de q, y

c) determinar cuando q es definida positiva y cuando es semidefinida positiva.

23

Lista numero once

1. Estudiar si el conjunto de puntos de R3: {(1, 2, 3), (−1, 3, 1), (7,−1, 9)} es afınmente indepen-diente.

2. Demostrar que los conjuntos de puntos

{(1,−1, 2), (2, 0, 2), (2,−2, 2), (1,−1, 3)}, {(0, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 0), (0, 2, 1)}

son referencias afines de R3. Construir, para cada uno de ellos, una referencia cartesiana; encontrarla matriz de cambio de referencia, y obtener las coodenadas del punto (0, 1, 1) respecto de cadauna de dichas referencias.

3. Se considera R3 con su estructura afın usual. Demostrar queR = {p = (1, 1, 0);u1 = (0, 0, 2), u2 =(−1, 1, 1), u3 = (−1, 0, 1)} es un sistema de referencia cartesiano. Hallar las coordenadas respectode R del punto (1, 1, 1), y las ecuaciones respecto de R, de la variedad que pasa por el punto(1,−1, 1) y cuya direccion es W = L[(0, 1, 0), (1, 0, 1)].

4. Sea A un plano afın real. Si las coordenadas de p ∈ A son (3,6) respecto del sistema de referencia{O;u1, u2} y (−1, 1) respecto de {O′; v1, v2}, hallar las coordenadas de O′ respecto del primersistema de referencia, sabiendo que v1 = 2u1 − u2, v2 = 3u1.

5. En el espacio afın real de dimension tres se considera la recta de ecuaciones implıcitas x1−2x2 +3x3 = 1, x1 +x2−x3 = −1 en una referencia {p; e1, e2, e3}. Calcular las ecuaciones de dicha rectaen la referencia dada por {q = p+ 3e1;u1 = e1 − e2, u2 = e2 − e3, u3 = e1 + e3}.

6. En el espacio afın real de dimension cinco se dan los subespacios M : {x1 = 1, x2 = 0, x3 =1, x4 = 0} y N : {x1 = 0, x2 = 1, x5 = 5}. Determinar la posicion relativa de M y N . Calcularecuaciones implıcitas para M +N .

7. En el espacio afın real de dimension cuatro, considero los subespacios afines F1, de ecuacionesimplıcitas x4 = 1, x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 2, y F2, de ecuaciones implıcitas x1−x2 +x3 +x4 = 1,3x2 + 2x3 + x4 = 2, ambos en la misma referencia. ¿Cual es su posicion relativa? Calcular lasecuaciones implıcitas de la suma y un conjunto afınmente independiente de puntos que la generen.¿Cual es la direccion de la suma?

8. En el espacio afın real de dimension cinco, consideramos los siguientes subespacios afines: F , deecuaciones implıcitas x1− 3x2 + 5x3− x4 = 3, x1 + 2x2− 3x3− 2x4 + x5 = 1, y G, de ecuacionesimplıcitas x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 3, x2 + x3 − x4 + x5 = 2, ambos en la misma referencia.Calcular la posicion relativa de ambos subespacios, las ecuaciones implıcitas de F ∩G y de F +G,ası como un conjunto de puntos afınmente independiente que genere F ∩ G y otro que genereF +G. Expresar F ∩G como a+H, donde a es un punto de la interseccion y H es la direccionde dicha variedad.

9. En el espacio afın real de dimension cinco, considero los siguientes subespacios afines: F , deecuaciones implıcitas x1 − 2x2 + x3 − x4 = 3, x1 − x2 − 3x3 + x4 + 2x5 = 1, y G, de ecuacionesimplıcitas 2x1 − 3x2 − 2x3 + 2x5 = 3, x2 − 4x3 + 2x4 + 2x5 = 2, x1 − x2 + x3 = 0, ambos en lamisma referencia. Calcular la posicion relativa de ambos subespacios, las ecuaciones implıcitasde F ∩G y de F +G, ası como un conjunto de puntos afınmente independiente que genere F ∩Gy otro que genere F +G.

10. En el espacio afın R4 se consideran los planos L1, de ecuaciones implıcitas x1 = 1, x1 +x2−x3−x4 = −1; y L2 de ecuaciones implıcitas x1 + x2 − x3 = 0, 2x1 + x2 − x3 − 2x4 = −1.

a) ¿Cual es la posicion relativa de L1 y L2?

b) Calcular una ecuacion o ecuaciones implıcitas de L1 +L2 y un conjunto de puntos afınmenteindependientes que generen L1 + L2.

24

c) Encontrar un plano L3 que se cruce con L1.

11. En el espacio afın R4 se consideran las siguientes variedades afines referidas al sistema de referenciacanonico Rc: los puntos A = (1, 0, 0, 0) y B = (1, 1, 1, 1), el hiperplano η : x − y + z − t = 2 y

el plano π :

8>><>>:x = 1 + λ− µy = λ+ µz = 2 + λt = −1 + µ

. Sea R = {(1,−1, 0, 0); (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}

otro sistema de referencia de R4. Se pide:

a) Encontrar las coordenadas de los puntos A y B y las ecuaciones de η y π respecto del sistemaR,

b) Calcular, en el sistema de referencia R, las ecuaciones implıcitas del plano que pasa por lospuntos A y B y es paralelo a la recta interseccion de η y π.

12. En el espacio afın R4, determinar la recta que es paralela a los hiperplanos 3x+ 2y − z + 8t = 2y x − y − z = 3, pasa por el punto A = (1, 0, 1, 0) y corta al plano de ecuaciones: 2x − y = 0,y + z = 5.

13. En el espacio afın usual R4 consideramos un plano π y dos puntos P y Q, cuyas ecuaciones ycoordenadas respecto del sistema de referencia canonico son:

π :

{x+ y = 0z + t = 1

, P = (1,−1, 0, 1), Q = (1, 0, 0, 0).

a) Encontrar un plano π′ tal que π ∩ π′ = {P}.b) Encontrar una recta r que pase por el punto Q y tal que r + π = R4.

c) ¿Existe una recta s tal que P ∈ s y s+ π = R4?

d) Encontrar un sistema de referencia R de R4 tal que las ecuaciones de π respecto de R sean{x = 0z = 0

.

14. En el espacio afın R4 se consideran las variedades afines F e G de ecuaciones

F :

x = λ + µ

y = 1 − λ + µ

z = −1 + λ + µ

t = − λ

G :

x − 2y − 2z + t = 4x − 2z − t = −2x − y − 2z = 1

a) Estudiar la posicion relativa de F y G.

b) Encontrar una recta paralela a F y que este contenida en G.

c) ¿Existe algun sistema de referencia de R4 tal que las ecuaciones de F sean x = 0, y = 0?Razonar la respuesta.

15. a) Encontrar las ecuaciones implıcitas de la recta que pasa por el punto (0, 1, 0) y es paralelaa los planos π1 : x+ y + 2z = 4 y π2 : x− y − z = 1.

b) Estudiar la posicion relativa de las rectas

r :

{x − y + z = 02x + y + z = 1

y s :

x = 1 + λ

y = 2 + λ

z = + λ

25

Lista numero doce

1. En cada uno de los casos siguientes, halla la transformacion afın f de R2 que satisface las condi-ciones dadas. Encuentra ademas el conjunto de puntos fijos de f .

a) f(0, 0) = (1,−1), f(1, 0) = (3,−1), f(0, 1) = (2, 2);

b) f(2, 1) = (1, 2), f(−1,−1) = (1, 1), f(0, 1) = (2,−1);

c) f(`1) = m1, f(`2) = m2, f(`3) = m3 donde `1 : x = 1, `2 : y = x, `3 : y = −2,m1 : 2x− y = 0, m2 : x+ y = 0, m3 : 2x+ y = 1.

2. Sea f : A1 → A2 una aplicacion afın cuya matriz en las referencias cartesianas R1 = {p; e1, e2, e3}

de A1 y R2 = {q;u1, u2} de A2 es M =

1 0 0 03 1 0 00 0 1 1

. Determina la matriz de f en las

referencias R′1 = {p+ e1 + 2e3; e3, e1 + e2, e2 + e3} de A1 y R′2 = {q + 2u1;u1 + u2,−u2} de A2.

3. Hallar la ecuacion de la aplicacion afın f : R2 → R2 que deja invariantes las rectas que pasanpor el punto (2, 1) y tal que f(1, 0) = (4, 3).

4. Hallar la ecuacion de la aplicacion afın f : R2 → R2 que verifique que toda recta r es paralela af(r), el punto (1, 3) permanece fijo y f(2, 1) = (4,−3).

5. Sean r1 : x− 2y = −2, r2 : x+ y = 1 y r3 : x+ 4y = −2 tres rectas en el plano af◦ ın real. Escribelas ecuaciones de las aplicaciones afines que transforman r1, r2 y r3 en r3, r2 y r1 respectivamente.

6. Sea A = R2. Sean `1, `2 ⊂ A las rectas de ecuaciones x + y = 1 y x − y = 1 respectivamente.¿Existe alguna aplicacion af◦ ın f tal que `1 y `2 sean rectas invariantes, f |`1 sea una simetr◦ ıacentral y f |`2 sea una homotecia de razon 3? ¿Es f unica? En caso afirmativo,

a) ¿cuales son las rectas de A invariantes por f?,

b) ¿cuales son los puntos fijos de f?,

c) ¿cuales son las ecuaciones de f en el sistema de referencia cartesiano canonico?

7. Sea f una aplicacion afın de R3 cuya matriz respecto del sistema de referencia canonico es1 0 0 0−1 2 −1 12 1 1 20 0 1 0

.

Halla la imagen por f del plano π de ecuacion x− y + 2z = 1. Describe el subespacio de puntosfijos de f .

8. Halla el centro y las ecuaciones en la referencia cartesiana canonica de una homotecia f : R4 → R4

de razon 2, tal que f(2, 0, 1, 0) = (−1, 0, 1, 1).

9. Determina las ecuaciones de la aplicacion afın f de R3 que deja fijos todos los puntos del plano Sde ecuacion x+3y+2z+5 = 0 y que transforma el punto P = (0, 0, 0) en el punto Q = (−5, 5,−5).Demuestra ademas que en cada plano T paralelo a S, la aplicacion afın f induce una traslacion,es decir f |T es una traslacion.

10. En R3 se da el endomorfismo afın f de matriz N =

1 0 0 0−2 −1 −1 −14 4 2 31 1 1 1

, el punto P = (0, 2, 1)

y los subespacios M : {x1 + x2 + x3 = 1}, N : {x1 = 0, x2 + x3 = 0}.

26

a) Hallar unas ecuaciones implıcitas del subespacio de puntos fijos de f .b) Hallar unas ecuaciones implıcitas de los subespacios f(M), f−1(N), f−1(P ) y el subespacio

imagen de f .

11. En R3 se consideran las rectas r : {x1 = 1, x3 = 0}, s : {x1 = 0, x2 = 1} y t : {x2 = 0, x3 = 1}.Hallar la matriz correspondiente a una transformacion afın f : R3 → R3 tal que f(r) = s, f(s) = ty f(t) = r.

12. En el espacio afın real R3, sea f una aplicacion afın que tiene por ecuacionesx′ = 4 + x + 3y + 3zy′ = 3 + 4y + 3zz′ = −6 − 6y − 5z

Demuestra que f es composicion de una traslacion Tv y una aplicacion afın g que tiene un planode puntos fijos y en cuya direccion esta el vector v de la traslacion. Determina el vector v de latraslacion y el plano π de puntos fijos de g.

13. Demuestra que la aplicacion

f : R3 → R3

(x1, x2, x3) 7→ (−1 + 2x1 + x2 + x3, 1− x1 − x3, 2− 2x1 − 2x2 − x3)

es una simetrıa. Determina la base, la direccion y las ecuaciones de la proyeccion asociada.

14. Comprueba que la aplicacion afın cuya matriz en una referencia cartesiana R es

M =

1 0 0 00 1 0 0−1 1 0 0−1 1 −1 1

es una proyeccion. Halla su base, y su direccion, ası como una referencia R′ en la que la matrizde la proyeccion sea diagonal.

15. En el espacio afın R3 sea π el plano de ecuacion x+y+z = 1. Se considera el punto q = (0, 1, 0) ylos vectores v1 = (1, 0,−1) y v2 = (1,−1, 0) y el sistema de referencia cartesianoR = {q; v1, v2} deπ. Sean (α, β) las coordenadas de un punto p ∈ π respecto de R. Sea f : π → π la aplicacion afınque manda p al punto de coordenadas (α−2β+1, α−β−1) (tambiCen respecto de R). Encuentrael conjunto de puntos fijos de f y el conjunto de rectas que f deja invariantes. Encuentra lasecuaciones implıcitas (en el sistema de referencia canonico de R3) de la imagen por f de la rectaque pasa por los puntos (0, 2,−1) y (5/2, 1/2,−2) (observa que ambos puntos pertenecen a π).

16. Se considera la aplicacion afın

f : R3 → R3

(0, 0, 0) 7→ (1, 0, 0)(1, 1,−1) 7→ (1, 0, 0)(1,−1, 1) 7→ (0, 1, 0)(−1, 1, 1) 7→ (0, 0, 1)

.

a) Halla la imagen de f y demuestra que el plano afın π en R3 de ecuacion x + y + z = 1 esinvariante por f .

b) Comprueba que R = {(1, 1,−1); (0,−2, 2), (−2, 0, 2)} es una referencia cartesiana del planoaf◦ ın π. Encuentra las ecuaciones de la restriccion de f a π respecto de R.

c) Llamaremos g a la restriccion de f a π. Calcula los puntos fijos de g expresandolos en elsistema de referencia canonico de R3. Calcula las rectas invariantes de g expresandolas enecuaciones parametricas respecto del sistema de referencia canonico de R3. ¿De que tipo, deentre los siguientes, es la aplicacion afın g?

27

simetrıa,traslacion,homotecia,ninguno de los anteriores.

Justifica tu respuesta.

17. Una dilatacion f de R3 tiene como base el plano 2y + 3z + 4 = 0 y su aplicacion lineal asociada−→f transforma el vector u = (1, 1,−1) en 2u. Encontrar las ecuaciones de f .

18. Sea f : R3 → R3 la aplicacion afın definida por:

y1 =12

+12x1 + x2 −

32x3, y2 = −1

2x2 +

32x3, y3 = −x2 + 2x3.

a) Demostrar que f es una dilatacion. Determinar su base, su direccion y su razon.

b) Sea g : R3 → R3 la homotecia de centro (−1, 2, 2) y razon 2. Demostrar que g ◦ f es unadilatacion. Determinar su base, su direccion y su razon.

19. Una aplicacion afın f : R3 → R3 transforma el origen en el punto (3, 9,−6) y tiene comosubespacio de puntos fijos el plano x+ y + 2z + 3 = 0. Obtener su expresion analıtica. Estudiarsi f es una dilatacion.

20. Sea f : R3 → R3 la aplicacion afın definida por:

y1 = −2 + 3x1 + 2x2 + 2x3, y2 = 1− x1 − x3, y3 = 1− x1 − x2.

Estudiar si f es una trasveccion. En caso afirmativo, encontrar la base de la trasveccion (elsubespacio de puntos fijos) y su direccion.

21. ¿Existe alguna aplicacion afın de A = R3 que transforme el conjunto C = {(x, y, z) ∈ A |x2 + y2 = 1} en L = {(x, y, z) ∈ A | x = y = z}? En caso afirmativo ¿puede ser alguna de ellasinyectiva?

22. Sea f : R3 → R3 la aplicacion af◦ ın que deja fijos los puntos de la recta r :

{x+ y + z = 1x− y + z = 1

, y

tal que f(2, 1, 1) = (1, 0, 0), f(1, 1, 1) = (1, 0, 0). Se pide:

a) Encontrar las ecuaciones de f respecto del sistema de referencia canonico de R3.

b) Probar que f es una proyeccion.

c) Encontrar la base y la direccion de f .

23. Sea r una recta del espacio af◦ ın R3 y sea H un plano que corta a r en un unico punto. Sea {Hλ},λ ∈ R, el haz de planos paralelos a H. Sea ϕ una aplicacion af◦ ın de R3 en R3 tal que

r es su subespacio de puntos fijos,

todos los planos Hλ son invariantes por ϕ,

ϕ|Hλ= fλ es una homotecia, para cada λ ∈ R.

Se pide decidir cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas, razonando larespuesta:

a) 1 es un valor propio de la aplicacion lineal asociada a ϕ.

b) Existe una aplicacion af◦ ın ϕ como la descrita arriba y tal que fλ tiene razon 2 para todoλ ∈ R.

c) Existe una aplicacion af◦ ın ϕ como la descrita arriba y tal que fλ tiene razon 2 + eλ paracada λ ∈ R.

28

24. En el espacio afın R4 se consideran la recta

r = (1,−1, 0, 1) + L[(2,−1, 0, 1)]

y el planoπ = (0, 1, 0, 1) + L[(2, 1, 0, 0), (1,−1, 1, 1)].

Se pide:

a) Determinar, en el sistema de referencia cartesiano estandar Rc, la ecuacion implıcita delhiperplano H de R4 que pasa por el punto (1, 1, 1,−1) y es paralelo a la recta r y al planoπ.

b) Encontrar cuatro puntos de H af◦ ınmente independientes.

c) Sea s la recta que pasa por los puntos (1,−1,−1, 0) y (1,−1, 0, 0). Determinar las ecuaciones,respecto de Rc, de la aplicacion af◦ ın f : R4 → R4 que deja fijos los puntos del hiperplanoH, deja invariante la recta s y la restriccion de f a s es una homotecia de razon 2.

25. En el espacio af◦ ın usual R4 se consideran los subespacios afines F y G cuyas ecuaciones respectodel sistema de referencia canonico Rc de R4 son:

F :

x = λ

y = 1− λ+ 2µz = −1 + λ

t = −λ+ µ

, G :

x− 2y − 2z + t = 4−y + t = 3x− 2z − t = −2

a) Estudiar la posicion relativa de F y G y encontrar una recta contenida en G que sea paralelaa F .

b) Escribir las ecuaciones respecto de Rc de una aplicacion af◦ ın f : R4 → R4 tal que elsubespacio de puntos fijos de f sea G y que imf = F +G.

29

Lista numero trece

1. Demuestra que la expresion u · v = 10x1y1 + 3(x1y2 + x2y1) + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + x3y3 defineun producto escalar en R3. Halla una base ortonormal respecto a dicho producto escalar.

2. En cada uno de los casos siguientes halla una base ortonormal de los subespacios vectoriales delespacio vectorial euclıdeo usual (R4, ·) generados por los vectores dados:

a)(2, 0, 0, 1), (1, 2, 2, 3), (10,−1,−1/2, 0), (5, 2, 2, 5), b)(−1, 0, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (0, 1, 3, 6),c)(1, 1,−1, 1), (−2,−2, 2,−2), (2, 1, 1, 2), (3, 1, 1, 1), d)(0, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (−1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0),

e)(1, 1, 0,−1), (−2, 1,√

3, 5), (4, 4,√

3, 2), (−6,−3, 0, 3).

3. Demuestra que la forma bilineal F definida en el problema 2 de la lista 10

F : R2[X]× R2[X] → R(p, q) 7→

∫ 1

0p(t)q(t)dt

es un producto escalar. Encuentra una base ortonormal, ası como una base del subespacio orto-gonal al polinomio 1−X.

4. Sea W el subespacio vectorial del espacio vectorial euclıdeo usual (R3, ·) definido por la ecuacionx + y + z = 0 en una base ortonormal. Calcula la proyeccion ortogonal sobre W del vector ucuyas coordenadas en dicha base son (1, 1, 0). Calcula asımismo su proyeccion sobre W⊥.

5. Hallar la proyeccion ortogonal y la componente perpendicular del vector v sobre el subespaciovectorial W del espacio vectorial euclıdeo usual (R4, ·), en los casos siguientes:

a) v = (14,−3,−6,−7) y W = L[(−3, 0, 7, 6), (1, 4, 3, 2), (2, 2,−2,−2)].

b) v = (−3, 0,−5, 9) y W tiene como ecuaciones implıcitas

3x+ 2y + z − 2t = 05x+ 4y + 3z + 2t = 0x+ 2y + 3z + 10t = 0

.

6. En R2 con el producto escalar usual se considera el subespacio vectorial W = L[(3, 4)] y laproyeccion ortogonal p de R2 sobre W. Se pide hallar

a) las ecuaciones de p respecto de la base canonica de R2,

b) el complemento ortogonal de W, y

c) una base ortonormal B de R2 tal que la matriz de p respecto de B sea(

1 00 0

).

Las mismas preguntas con el producto escalar de R2 cuya norma cumple:

‖(x, y)‖2 = (x− y)2 + 3y2.

7. Sea V un espacio vectorial real de dimension 3, B = {e1, e2, e3} una base de V , φ : V × V → Rla forma bilineal sobre V cuya matriz respecto de la base B es 1 −1 0

−1 2 10 1 2

,

y f : V → V la aplicacion lineal dada por:

f(α1e1 + α2e2 + α3e3) = (α1 + α2)e1 + (α2 + α3)e2 + (α1 + α3)e3.

30

a) Demuestra que φ es un producto escalar de V .

b) Encuentra una base B′ de V ortonormal respecto de φ.

c) Expresa f en la base B′.

8. Sean φ el producto escalar en R3 cuya matriz en la base canonica B esMφ(B) =

3/4 −1/4 −1/4−1/4 3/4 −1/4−1/4 −1/4 3/4

,

y f el endomorfismo de R3 cuya matriz en la misma base es Mf (B) =

1 0 00 1 01 1 −2

. Demues-

tra que f es autoadjunta respecto del producto escalar φ y determina una base ortonormal devectores propios.

9. Dada la matriz real A =

1 0 1 00 1 −2 01 −2 5 00 0 0 6

, encontrar una matriz ortogonal C tal que CtAC

sea diagonal.

10. ¿Existe en R3, con el producto escalar usual, algun endomorfismo autoadjunto cuyos subespaciospropios sean los subespacios W y U de ecuaciones implıcitas:

W :

{x+ y + z = 0x+ z = 0

, U : x− 2y = 0?

Encontrar un producto escalar φ en R3 y un endomorfismo f de R3 que tenga a W y U comosubespacios propios y sea autoadjunto en el espacio vectorial euclıdeo (R3, φ).

11. En el espacio vectorial euclıdeo usual (R3, ·) se considera la forma bilineal simetrica F : R3×R3 →R dada por

MF (Bc) =

−1 −2 0−2 3 20 2 2

.

Encontrar una base ortonormal B de R3 tal que MB(F ) sea diagonal, es decir, tal que B seaortogonal respecto de F .

12. En el espacio vectorial R3 consideramos la forma bilineal simetrica φ cuya matriz respecto de labase canonica es: 3 1 −2

1 3 −2−2 −2 4

a) Demostrar que φ es un producto escalar.

b) En el espacio vectorial euclıdeo (R3, φ), encuentra el complemento ortogonal de la recta:x− y = 0, y − z = 0.

c) Consideramos el endomorfismo de R3

f(x, y, z) = (12

(3x+ y),12

(x+ 3y),12

(x+ y + 2z)).

Comprueba que todos los vectores del plano: x+ y = 0 son vectores fijos de f .

d) Encuentra, si es posible, una base ortonormal de (R4, φ) formada por vectores propios de f .

e) ¿Es f un endomorfismo autoadjunto de (R4, φ)? Justifica la respuesta.

31

13. Se considera en R4 la forma bilineal simetrica φ cuya matriz respecto de la base canonica es:1 0 0 00 1 1 00 1 2 −10 0 −1 2

a) Demostrar que φ es un producto escalar.

b) En el espacio vectorial euclıdeo (R4, φ), determinar la proyeccion ortogonal π de la rectaL[(1, 0, 0, 0)] sobre el subespacio vectorial W de ecuaciones x = y = 0. (las coordenadas ylas ecuaciones estan calculadas respecto de la base canonica).

c) Demostrar que π es un endomorfismo autoadjunto.

d) Determinar una base de R4 en la que las matrices de φ y de π sean diagonales.

14. Sean {xn}, {yn} dos sucesiones de numeros reales definidas de la forma siguiente:

xn+1 =√

22

(xn − yn), yn+1 =√

22

(xn + yn),

con x1 = −1, y1 = 3. Calcular x34, y34; x84, y84; x1747, y1747; x40000, y40000.

15. En una base {u, v} de (R2, ·), que define la misma orientacion que la base canonica, una rotacionvectorial f tiene por matriz (

1 −3/22/3 0

).

Determina el angulo de rotacion, el angulo uv y la razon‖v‖‖u‖

.

16. Sea f una simetrıa axial de R2 de eje L[u]. Prueba que vf(v) = 2vu para todo v ∈ R2, v 6= 0.

17. En el plano vectorial eucl◦ ıdeo usual, sean P la proyeccion ortogonal sobre una recta vectorial ry T la simetr◦ ıa ortogonal de base r⊥. Demuestra que T = I − 2P .

18. Dada la base B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 2, 0)} del espacio euclıdeo usual R3,estudia si cada una de las siguientes matrices es o no la expresion analıtica en la base B de unaisometrıa:

a)

4 3 6−1 −1 −1−2 −2 −3

, b)

0 −5 10 1 01 3 1

, c)

1 0 −11 2 30 1 1

.

19. Determina las rotaciones del espacio vectorial eucl◦ ıdeo usual que transforman el vector (1, 0, 0)en el vector (0, 0, 1).

20. Describir geometricamente el endomorfismo f del espacio eucl◦ ıdeo usual de dimension 3 cuyamatriz respecto de la base canonica es 3/4 1/4

√6/4

1/4 3/4 −√

6/4−√

6/4√

6/4 1/2

.

21. Halla el eje y el angulo de giro de una rotacion vectorial cuya expresion anal◦ ıtica en una baseortonormal viene dada por

19

8 1 −4−4 4 −71 8 4

.

32

22. Escribe la matriz de la rotacion vectorial de angulo α = π4 en torno al eje L[u1], u1 = (1/

√2, 1/√

2, 0).Toma como orientacion para L[u1]⊥ la inducida por {u1} si la orientacion del espacio es positiva.

23. Sean R la rotacion vectorial de angulo π2 en torno al eje L[u1] y S la rotacion vectorial de angulo

π2 en torno al eje L[u2], donde u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0). ¿Cual es el eje y el angulo de larotacion vectorial R ◦ S? (Suponiendo que el espacio esta orientado positivamente y tomandocomo orientacion en L[ui]

⊥ la inducida por {ui}, i = 1, 2)

24. Sea

A =

1 0 01 0 −11 −1 0

la matriz de un endomorfismo f de R3 respecto de la base canonica. Comprueba que se tratade una simetr◦ ıa y calcula su direccion y su base. ¿Es f una simetr◦ ıa ortogonal respecto delproducto escalar usual?

25. Encuentra las ecuaciones de la simetr◦ ıa especular respecto del plano 2x+y+ z = 0 en el espaciovectorial eucl◦ ıdeo usual de dimension 3.

26. Calcular −7/9 4/9 4/94/9 −1/9 8/94/9 8/9 −1/9

2001

,

1/9 8/9 −4/9−4/9 4/9 7/98/9 1/9 4/9

1999

.

27. Se considera R4 con el producto escalar usual. Sea f1 el endomorfismo de R4 que consiste enproyectar cada vector v de R4 ortogonalmente sobre el subespacio vectorial H de ecuacionesimplıcitas x+ y = z+ t = 0, y aplicar al vector w que resulta el endomorfismo g de H que env◦ ıa(1,−1, 0, 0) a (0, 0, 1,−1) y (0, 0, 1,−1) a (−1, 1, 0, 0). Sea f2 el endomorfismo de R4 que consisteen proyectar cada vector v de R4 ortogonalmente sobre el subespacio vectorial H de ecuacionesimpl◦ ıcitas x + y = z + t = 0, y reflejar (en H) con respecto a la recta L = L[(1,−1, 1,−1)] elvector w que resulta.

a) Sin calcular las matrices de f1 y f2 responde a las siguientes preguntas. ¿Es f1 una isometrıa?¿Es f1 diagonalizable? En caso de que sea diagonalizable, ¿cual serıa la matriz diagonal def1? ¿ Es autoadjunto? Responde las mismas preguntas sobre f2. Describe los endomorfismosf401 y f53

2 .

b) Calcula las matrices de f1 y f2 respecto de la base canonica de R4.

28. Sea f : R4 → R4 la aplicacion lineal cuya matriz respecto de la base canonica Bc = {e1, e2, e3, e4}

es M =

2 1 0 01 2 0 00 0 2 10 0 1 2

. Se pide:

a) Encontrar una base ortonormal B de R4 tal que la matrizMf (B) = N sea diagonal, y hallaruna matriz invertible P tal que N = P−1MP .

b) Sea F : R4 × R4 → R la forma bilineal simetrica tal que MF (Bc) = M . Demostrar que Fdefine un producto escalar en R4, y encontrar una base B′ tal que la matriz MF (B′) seadiagonal. Dar tambien una base que sea ortogonal respecto del producto escalar F y delproducto escalar usual.

c) Determinar una aplicacion lineal distinta de ±Id que sea simultaneamente ortogonal respectode F y del producto escalar usual.

33

Lista numero catorce

1. En el espacio afın euclıdeo usual R3 se consideran el punto p = (0, 1, 0) y los subespacios afines

L :

2x+ y + 2z = −1y = 0

−2x+ 2y + z = 4y M :

{x+ 2y − 2z = 1−2x+ y + z = 7

Determinar los puntos a ∈ L y b ∈M tales que d(a, p) = d(L, p) y d(b, p) = d(M,p).

2. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A = (1, 1, 1), son paralelas al planoπ : x− y = 2 y forman un angulo igual a

π

6con el plano π′ : x− y + z = 0.

3. Halla la simetrıa de Rk respecto de cada uno de los siguientes hiperplanos:

a) x = 0, k = 2 ;

b) x+ y − 1 = 0, k = 2 ;

c) x+ y + z = 0, k = 3 y

d) 2x− 2y + z − 4 = 0, k = 3.

4. En el espacio afın euclıdeo estandar R3 halla las ecuaciones de

a) la simetrıa axial de eje{

3x− 4y − 2z = 0z = 2, y

b) la simetrıa especular respecto del plano x+ 2y − 3z + 2 = 0.

5. Demostrar que cada una de las matrices que se dan a continuacion determina un movimiento enlos espacios afines euclıdeos R2, R3 y R4, respectivamente. Encontrar en cada caso un sistemade referencia euclıdeo (es decir, con base asociada ortonormal) respecto del cual la matriz de latransformacion sea la matriz reducida o canonica.

15

5 0 00 4 3−5 −3 4

,13

3 0 0 03 2 −1 23 −1 2 20 2 2 −1

,12

2 0 0 0 00 1 1 1 −12 1 1 −1 12 1 −1 1 10 −1 1 1 1

.

6. Demostrar que la matriz

A =

1 0 0 0 02 0 1 0 00 1 0 0 02 0 0 0 −10 0 0 −1 0

,

define en el espacio afın euclıdeo usual R4 una simetrıa euclıdea con desplazamiento (es decir, esla composicion de una simetrıa euclıdea con base B y una traslacion de vector v ∈ B). Determinarla base de la simetrıa y el vector de desplazamiento.

7. Demostrar que el movimiento del espacio afın euclıdeo usual R3 dado por la matriz

19

9 0 0 03 4 4 73 −8 1 4−15 1 −8 4

,

es un movimiento helicoidal (es decir, es la composicion de una rotacion de eje r y una traslacionde vector paralelo a r). Determinar el eje de giro y el vector de deslizamiento.

34

8. Halla la matriz respecto del sistema de referencia estandar de la afinidad f de R3 que verifica:

a) f transforma la recta{y = 0z = 1 en la recta

{x = 0z = 1 y viceversa, y

b) la restriccion de f al plano z = 0 es la simetrıa ortogonal respecto de la recta x− y = z = 0.

9. Encuentra todos los movimientos de R3 que transforman la recta{x = 0y = −1 en la recta

{y = 1z = 0 y

viceversa.

10. Se consideran R3 con su estructura de espacio afın euclıdeo usual, R el sistema de referenciaortonormal estandar y f : R3 → R3 la aplicacion afın tal que

Mf (R) =15

5 0 0 00 3 0 45 0 5 05 −4 0 3

.

a) Demostrar que f es un movimiento. Determinar el conjunto de puntos fijos de f . ¿De que tipode movimiento se trata?

b) Encontrar un sistema de referencia ortonormal R′ tal que Mf (R′) sea la matriz reducidade f .

Las mismas cuestiones si

Mf (R) =15

5 0 0 00 3 0 40 0 5 05 4 0 −3

.

11. Sea S la simetrıa euclıdea respecto del plano

π = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y − z = 1},

y consideremos el vector u = (2, 0,−1). Calcular un sistema de referencia ortonormal R de R3

tal que la matriz del movimiento T = Tu ◦ S sea su matriz reducida. Hallar dicha matriz.

12. En R3, con su estructura afın euclıdea usual, se considera la rotacion g con eje la recta r quepasa por el punto p = (1, 0, 1) y es perpendicular al plano π = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0},tal que ~g( 1√

2, −1√

2, 0) = ( 1√

6, 1√

6, −2√

6). Sea v = (2, 0, 1) y consideremos el movimiento f : R3 → R3

definido por f = Tv ◦ g. Hallar un sistema de referencia euclıdeo R′ de R3 tal que Mf (R′) sea lamatriz reducida de f .

13. En el espacio afın euclıdeo usual R3 se consideran las simetrıas euclıdeas S1 y S2 respecto de losplanos π1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y − z = 1} y π2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y = 0}, respectivamente.

a) Calcular un sistema de referencia euclıdeo R de R3 tal que la matriz del movimiento S2 ◦S1

sea su matriz reducida. Hallar dicha matriz.

b) Hallar el conjunto N = {v ∈ R3 | Tv ◦ S2 ◦ S1 no tiene puntos fijos }. ¿Que tipo de movi-miento es Tv ◦ S2 ◦ S1 si v ∈ N?

14. Sea φ un producto escalar en R3 para el que sabemos que la base B = {(1, 1, 0), (1, 0,−1), (0, 0, 1)}es una base ortonormal. En R3, con su estructura afın euclıdea inducida, se consideran las rota-ciones g con eje la recta r = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y = 0, z = 2}, y tales que −→g (0, 0, 1) = (1, 0,−1).

a) Encontrar un sistema de referencia euclıdeo R de R3 tal que Mg(R) sea la matriz reducidade g.

35

b) Dados v1 = (2, 1,−1) y v2 = (−1, 0, 3), clasificar los movimientos Tv1 ◦ g y Tv2 ◦ g, encon-trando sistemas de referencia euclıdeos que permitan obtener las correspondientes matricesreducidas.

15. En R3 con su estructura afın euclıdea usual, consideremos la aplicacion afın f : R3 → R3 cuyamatriz respecto del sistema de referencia estandar R es

Mf (R) =15

5 0 0 010 6 0 85 0 10 010 8 0 −6

.

Se pide:

a) Demostrar que f es una semejanza. Cacular su razon.

b) Determinar la homotecia h y el movimiento g tales que f = h ◦ g = g ◦ h.

c) Clasificar el movimiento g, dando un sistema de referencia euclıdeo respecto del cual lamatriz de g sea la matriz reducida.

16. Sea Rc = {O; e1, e2, e3} el sistema de referencia estandar del espacio afın euclıdeo R3. Se consi-deran los puntos A = (1, 0, 1) y B = (0, 1, 2) y el plano π : 3x− y + z = 1. Hallar las ecuaciones,respecto del sistema de referencia Rc, de

a) la recta r que pasa por los puntos A y B,

b) el plano π′ que pasa por los puntos A y B y es perpendicular a π,

c) la simetrıa especular s de base el plano π′,

d) la simetrıa axial s′ de eje la recta r,

e) el movimiento s′ ◦ s. Clasificar este movimiento, determinar sus elementos caracterısticos, yencontrar sus ecuaciones canonicas.

17. Dados tres planos paralelos π1, π2, π3 en el espacio afın euclıdeo R3, sean s1, s2, s3 las simetrıasespeculares respecto de cada uno de los planos anteriores. Clasificar el movimiento s3 ◦ s2 ◦ s1.

18. En el plano afın euclıdeo R2 se consideran la recta r de ecuacion x+ y = 3, el punto P = (1, 2)y el vector v = (0, 3). Sean σ1 la simetrıa de eje r, σ2 el giro de angulo π/2 y centro P , y σ3 latraslacion de vector v. Se pide:

a) la matriz de σ = σ3 ◦ σ2 ◦ σ1 respecto del sistema de referencia estandar,

b) calcular, si los tuviera, los puntos fijos de σ,

c) encontrar un sistema de referencia euclıdeo en el que las ecuaciones de σ sean: x′ = x,y′ = −y.

19. ¿ Puede ser

1 0 0−2 1 −1−1 1 2

la matriz de una semejanza en alguna referencia euclıdea? En caso

afirmativo determina su centro y su razon.

36

Lista numero quince

1. Determinar el tipo de las curvas siguientes despues de reducir las ecuaciones a forma canonica:

a) 3x2 − 2xy + 3y2 + 2x− 4y + 1 = 0,

b) 3x2 − 2xy + 3y2 + 2x− 4y + 2 = 0,

c) x2 + 3xy + 2y2 + 2x+ 5y − 3 = 0,

d) x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y + 1 = 0.

2. Dada la conica 2y2 − 7xy + 24y + 6x = 0, clasifıcala y halla los ejes y el centro.

3. Determinar los focos de las siguientes conicas:

a) 7x2 + y2 + 8xy − 6x− 2y = 0,

b) 9x2 + 25y2 − 54x− 50y − 119 = 0,

c) y2 + 2py − 2px− p2 = 0.

4. Determinar el angulo que forman las asıntotas de la hiperbola

(y − 2x+ 4)(2y + x− 3) = 7.

5. Discutir, para los distintos valores de k, la naturaleza de la conica representada por

k(x2 + y2)− 2(xy − x+ y) + 3 = 0.

6. Determinar la ecuacion de una hiperbola equilatera que tenga los mismos focos que la elipse

4x2 + 9y2 = 1.

.

7. Se considera la conica C de ecuacion

5x2 + 5y2 + 6xy − 4x+ 4y + 2 = 0.

a) Clasifıcala afınmente.

b) Encuentra su forma canonica (euclıdea) y un sistema de referencia euclıdeo en el que laecuacion de la conica sea su forma canonica.

8. Clasificar afınmente las siguientes cuadricas:

a) x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 12xz − 4yz + 2x− 6y − 4z + 1 = 0,

b) x2 + 2y2 + z2 + 2xz + 2x+ 1 = 0,

c) −x2 + y2 − 2z2 − 6xz + 2yz − 2x− 6y − 2 = 0,

d) y2 + z2 − 2yz + 6x− 4 = 0,

e) 5x2 + 4y2 + 2z2 + 6xy + 4xz + 6x+ 8y + 3 = 0,

f ) 3x2 + 2y2 + 6xy + 8x+ 4y + 2z + 2 = 0.

37