gratificación de funciones

8/15/2019 Gratificación de funciones

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Relación de las funciones respecto de lagrá ca y sus parámetros

Función Parámetro Curvaf ( x)= a Comportamiento

general:El comportamiento dela función constante

f ( x)= a , con a enlos enteros es que,su gra ca se mueveen el eje de lasordenadas, haciaarriba si a es positivay hacia abajo si a esnegativa, la gra ca

de una funciónconstante es unarecta horizontal.

Comportamientoparticular:En la grá ca de la

gura 1.1 ara a!1 lagra ca es una rectaparalela al eje de las" que pasa por 1 en

las ordenadas.En la grá ca de lagura 1.# ara a!$%

la gra ca es una rectaparalela al eje de las" que pasa por $% enlas ordenadas.En la grá ca

&igura 1.1

f ( x)=

1

&igura 1.#

f ( x )=−

3

f ( x)= bx + a Comportamientogeneral:' es el que de ne lapendiente de la rectasi es positivo lapendiente serápositiva (creciente), sies negativa, lapendiente será

f ( x)= x , grá ca azul. f ( x)= 3 x , grá ca roja.


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negativa(decreciente), lainclinación de lapendiente dependedel valor delparámetro si b cada

vez es mayor la rectase inclina hacia el ejey o b disminuye enlos negativos tambi*nse inclina hacia el ejey pero de formadecreciente.Comportamientoparticular:En la gura #.1 arab!1 y a!+ en la

gra ca azul y parab!% y a!+ en la rojaobtenemos lassiguientesrepresentaciones.

Ejemplo #.# para b!1y a!+ en la gra caazul y para b!$# ya!+ en la rojaobtenemos las

siguientes gra cas.

&igura #.#f ( x)= x , grá ca azul.

f ( x)=− 2 x , grá ca roja.

Comportamientogeneral:El parámetro a haceque la curva semueva hacia arriba ohacia abajo, en el ejede las ordenadas.

Comportamientoparticular:

&igura #.% ara b!1 ya!+ en la recta colorazul y para b!1 ya!# en la recta colorrojo.

&igura #. para b!1 ya!+ en la recta colorazul y para b!1 y a!$

&igura #.%f ( x)= x , grá ca azul.

f ( x )= x+ 2 , grá ca roja.

&igura #.f ( x)= x , grá ca azul.

f ( x)= x− 4 , grá ca roja.


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en la recta colorrojo.

f ( x)= c x 2 + bx+ Comportamientogeneral:El parámetro c haceque la parábola seacóncava hacia arribasi es positivo ocóncava hacia abajosi es negativo,tambi*n hace quecierre hacia lasordenadas si elparámetro es cadavez mayor en lospositivos o cada vezmenor en losnegativos.

Comportamientoparticular:&igura %.1 ara c!1,b!+ y a!+ para lagra ca azul y c! ,b!+ y a!+ en laparábola roja.&igura %.# ara c!1,b!+ y a!+ para lagra ca azul y c! $1,b!+ y a!+ en laparábola roja.

&igura %.1f ( x)= x2 , grá ca azulf ( x)= 4 x2 , grá ca roja

&igura %.#f ( x)= x2 , grá ca azulf ( x)=− x2 , grá ca roja


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Comportamientogeneral:El parámetro b haceque la parábola semueva hacia laizquierda si es

positivo y hacia laderecha si esnegativo.Comportamientoparticular:&igura %.% ara c!1,b!+ y a!+ para lagra ca azul y c! 1,b!% y a!+ en laparábola roja.

&igura %. ara c!1,b!+ y a!+ para lagra ca azul y c!1 ,b!$# y a!+ en laparábola roja.

&igura %.%f ( x)= x2 , grá ca azulf ( x)= x2 + 3 x , grá ca roja

&igura %.f ( x)= x2 , grá ca azulf ( x)= x2 − 2 x , grá ca roja


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Comportamientogeneral:El parámetro a haceque la parábola semueva hacia arriba sies positivo o hacia

abajo si es negativoen las ordenadas.

Comportamientoparticular:&igura %.- ara c!1,b!+ y a!+ para lagra ca azul y c! 1,b!+ y a!# en laparábola roja.

&igura %. ara c!1,b!+ y a!+ para lagra ca azul y c! 1,b!+ y a!$- en laparábola roja.

&igura %.-f ( x)= x2 , grá ca azulf ( x)= x2 + 2 , grá ca roja

&igura %.f ( x)= x2 , grá ca azulf ( x)= x2 − 5 , grá ca roja

f ( x)= d x3 + c x2 Comportamientogeneral:

El parámetro d haceque la grá ca seacreciente si espositivo o decrecientesi es negativo,tambi*n hace lagrá ca se cierreconforme elparámetro aumenta yes mayor que uno enlos positivos o

disminuya en losnegativos paravalores menores queuno.

Comportamientoparticular:&igura .1 ara d!1,c!+, b!+ y a!+ para

&igura .1f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= 5 x

3

, grá ca roja

&igura .#f ( x)= x

3

, grá ca azulf ( x)=− x3 , grá ca roja


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la grá ca azul y d!-,c!+, b!+ y a!+ en lagra ca roja.

&igura .# ara d!1,c!+, b!+ y a!+ para

la grá ca azul y d!$1,c!+, b!+ y a!+ en lagrá ca roja.

Comportamientogeneral:El parámetro c haceque una rama de lagra ca se abra a laderecha si es

negativo y hacia laizquierda si espositivo.

Comportamientoparticular:&igura .% ara d!1,c!+, b!+ y a!+ parala gra ca azul y d!1,c!%, b!+ y a!+ en lagra ca roja.

. ara d!1, c!+,b!+ y a!+ para lagra ca azul y d!1,c!$ , b!+ y a!+ enla gra ca roja.

&igura .%f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= x3 + 3 x2 , grá ca roja

&igura .f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= x3 − 4 x2 , grá ca roja


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Comportamientogeneral:El parámetro b si espositivo hace que lagrá ca en su partelineal la pendiente

sea positiva en esepedazo de la gra ca yen este sentido si elparámetro aumentapositivamente lagra ca tiende aapro"imarse hacia lasordenadas haciendoque los puntos dein/e"ióndesaparezcan. 0i el

parámetro esnegativo entonces lapendiente de la partelineal de un pedazode la gra ca seanegativa haciendoque los puntos dein/e"ión sean maspronunciadosconforme vadisminuyendo

negativamente.

Comportamientoparticular:&igura .- ara d!1,c!+, b!+ y a!+ parala grá ca azul y d!1,c!+, b!$ y a!+ enla grá ca roja.

&igura . ara d!1,

c!+, b!+ y a!+ parala grá ca azul y d!1,c!+, b!% y a!+ en lagrá ca roja.

&igura .-f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= x3 + x2 − 4 x , grá ca roja

&igura .f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= x3 + x2 + 3 x , grá ca roja


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Comportamientogeneral:El comportamiento dela grá ca respecto delparámetro a es el demover hacia arriba si

a es positivo o haciaabajo si a esnegativo.

Comportamientoparticular:&igura . ara d!1,c!+, b!+ y a!+ parala grá ca azul y d!1,c!+, b!+ y a!% en lagrá ca roja.

&igura .2 ara d!1,c!+, b!+ y a!+ parala grá ca azul y d!1,c!+, b!+ y a!$- enla grá ca roja.

&igura .f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= x3 + 3 , grá ca roja

&igura .2f ( x)= x3 , grá ca azulf ( x)= x3 − 5 , grá ca roja

f ( x)= e x 4 + d x3 Comportamientogeneral:El parámetro e haceque la grá ca seacóncava hacia arribasi es positivo ocóncava hacia abajosi es negativo,tambi*n hace quecierre hacia lasordenadas si elparámetro es cadavez mayor en lospositivos o cada vezmenor en losnegativos.


&igura -.1 ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+para la grá ca azul y

&igura -.1f ( x)= x4 , grá ca azulf ( x )= 4 x4

&igura -.#

f ( x)= x4

, grá ca azulf ( x)=− 2 x4


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e! , d!+, c!+, b!+ ya!+ en la grá ca roja.

&igura -.# ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+para la gra ca azul y

e!$#, d!+, c!+, b!+y a!+ en la gra caroja.

Comportamientogeneral:El comportamiento dela grá ca respecto alparámetro d es el deabrir la grá ca en lasabscisas, a la derechasi es negativa y haciala izquierda si espositiva.


&igura -.% ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+para la grá ca azul ye!1, d!%, c!+, b!+ ya!+ en la grá ca roja.

&igura -. ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+para la grá ca azul ye!1, d!$#, c!+, b!+y a!+ en la grá caroja.

&igura -.%f ( x)= x4

f ( x)= x4 + 3 x3

&igura -.f ( x)= x4

f ( x)= x4 − 2 x3

ComportamientoGeneral:El comportamientogeneral de la gra carespecto al parámetroc si es positivo yaumenta es el decerrar hacia lasordenadas la grá ca ysi es negativo abrir la

&igura -.-

f ( x)=

x4

f ( x)= x4 + 4 x2


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grá ca haciendo quepresente dos puntosde in/e"ión(valles).


&igura -.- ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+para la gra ca azul ye!$1, d!#, c!+, b!+y a!+ en la gra caroja.

-. ara e!1, d!+,c!+, b!+ y a!+ parala gra ca azul y e!$1,d!$%, c!+, b!+ y a!+

en la gra ca roja.

&igura -.f ( x)= x4

f ( x)= x4 − 5 x2

Comportamientogeneral:El comportamiento dela gra ca de laecuación cuarticacuando b varia es elde hacer que lagra ca tenga unpunto de in/e"ión(valle) en lasabscisas, hacia laizquierda si esnegativa y hacia laderecha si espositiva, el punto dein/e"ión es mas

pronunciadoconforme es masgrande el valor delparámetro.

Comportamientoparticular:&igura -. ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+

&igura -.f ( x)= x4

f ( x )= x4 + 4 x

&igura -.2f ( x )= x4

f ( x)= x4 − 7 x


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para la gra ca azul ye!1, d!+, c! , b!+ ya!+ en la gra ca roja.

&igura -.2 ara e!1,d!+, c!+, b!+ y a!+

para la gra ca azul ye!1, d!+, c!$-, b!+y a!+ en la gra caroja.

ComportamientoGeneral:El comportamientorespecto delparámetro a es el demover en lasordenadas la gra ca,hacia arriba si a espositivo y hacia abajo

si a es negativo.


&igura -.3 ara e!1,d!$1, c!$%, b!+ ya!+ para la gra caazul y e!1, d!$1, c!$%, b!+ y a! en lagra ca roja.

&igura -.1+ ara e!1,d!$1, c!$%, b!+ ya!+ para la gra caazul y e!1, d!$1, c!$%, b!+ y a!$ en lagra ca roja.

&igura -.3

&igura -.1+


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f ( x)= f x5 + e x 4 Comportamientogeneral:El parámetro f haceque la grá ca seacreciente si espositivo o decreciente

si es negativo,tambi*n hace lagrá ca se cierreconforme elparámetro aumenta yes mayor que uno enlos positivos odisminuya en y enlos negativos paravalores menores queuno.


&igura .1 ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ ya!+ para la gra caazul y f!%, e!+, d!+,c!+, b!+ y a!+ en lagra ca roja.

&igura .# ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ ya!+ para la gra caazul y f!$ , e!+,d!+, c!+, b!+ y a!+en la gra ca roja.

&igura .1f ( x)= x5

f ( x )= 3 x5

&igura .#f ( x)= x5

f ( x)=− 4 x5

Comportamientogeneral:

ara el parámetro e el

comportamiento es elde abrir la gra cahacia la izquierda si ees positivo y se formaun punto de in/e"ión(monta4a), hacia laderecha si e esnegativo tambi*n seforma un punto de

&igura .%f ( x)= x5

f ( x )= x5 + 2 x4


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in/e"ión. El punto dein/e"ión crece sitambi*n crece e enlos positivos o si edecrece en losnegativos.


&igura .% ara a!1b!+, c!+, d!+, e!+ yf!+ para la gra caazul y a!1, b!#, c!+,d!+, e!+ y f!+ en lagra ca roja.

&igura . ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ ya!+ para la gra caazul y f!1, e!$%,d!+, c!+, b!+ y a!+en la gra ca roja.

&igura .f ( x)= x5

f ( x)= x5 − 3 x4

ComportamientoGeneral:El comportamiento

respecto el parámetrod es el de cerrar lagra ca si d espositiva y aumenta, yel de abrir la gra casi d es negativa ydisminuye, tambi*nse forman dos puntosde in/e"ión un valle yuna monta4a, que sevuelven mas

pronunciados cadavez que d disminuyeen los negativos.


&igura .- ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ y

&igura .-f ( x)= x5

f ( x)= x5 + 5 x3

&igura .f ( x)= x5

f ( x)= x5 − 3 x3


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a!+ para la gra caazul y f!1, e!+, d!-,c!+, b!+ y a!+ en lagra ca roja.

&igura . ara f!1

e!+, d!+, c!+, b!+ ya!+ para la gra caazul y f!1, e!+, d!$%, c!+, b!+ y a!+ enla gra ca roja.

Comportamientogeneral:El comportamientopara el parámetro c

es el de cerrar de unlado la gra ca yabrirla del otro lado,con esto se forma unpunto de in/e"ión dellado derecho si c esnegativo y del ladoizquierdo si c espositivo.

Comportamiento

particular:

&igura . ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ ya!+ para la gra caazul y f!1, e!+, d!+,c!%, b!+ y a!+ en lagra ca roja.

&igura .2 ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ y

a!+ para la gra caazul y f!1, e!+, d!+,c!$ , b!+ y a!+ enla gra ca roja.

&igura .f ( x)= x5

f ( x)= x5 + 3 x2

&igura .2f ( x)= x5

f ( x)=

x5

− 6 x

2


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Comportamientogeneral:El comportamientorespecto el parámetrob es hacer que lapendiente de los

puntos de in/e"ión dela gra ca se cierren ose abran, cuando secierran la pendientees positiva aqu5 elparámetro b variapositivamente ycuando se abren lapendiente es negativaaqu5 el parámetro bvaria negativamente.

Comportamientoparticular:&igura .3 ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ ya!+ para la gra caazul y f!1, e!+, d!+,c!+, b! y a!+ en lagra ca roja.&igura .1+ ara f!1e!+, d!+, c!+, b!+ y

a!+ para la gra caazul y f!1, e!+, d!+,c!+, b!$- y a!+ enla gra ca roja.

&igura .3f ( x)= x5

f ( x)= x5 + 6 x

&igura .1+f ( x)= x5

f ( x)= x5 − 5 x

Comportamientogeneral:

ara el parámetro ahace que la gra ca semueva hacia arriba ohacia abajo en las

ordenadas si a espositivo se muevehacia arriba si a esnegativo hacia abajo.

ComportamientoParticular:

&igura .11 ara f!1

&igura .11f ( x)= x5 − 2 x4 − x3 + 2 x2 − 2 x+ 0f ( x )= x5 − 2 x4 − x3 + 2 x2 − 2 x+ 3

&igura .1#


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e!$#, d!$1, c!#, b!$# y a!+ para lagra ca azul y f!1,e!$#, d!$1, c!#, b!$# y a!% en la gra caroja.

&igura .1# ara f!1e!$#, d!$1, c!#, b!$# y a!+ para lagra ca azul y f!1,e!$#, d!$1, c!#, b!$# y a!$- en la gra caroja.

f ( x)= x5 − 2 x4 − x3 + 2 x2 − 2 x+ 0f ( x )= x5 − 2 x4 − x3 + 2 x2 − 2 x− 5

f ( x)= a + bx+ c x2 + d x3 + e x4 + f x5 + …2

ara los puntos de in/e"ión de cualquier polinomio grado n, esta determinadopor $a n$16(n$1)7n.a

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