7/21/2019 Grafoides

1/4

Grafoide. Un grafoide es un conjunto de relaciones de independencia que es cerrado

con respecto a las propiedades de simetra, descomposicin, unin dbil, contraccin

e interseccin.

Semigrafoide. Un semigrafoide es un conjunto de relaciones de independencia quees cerrado con respecto a las propiedades de simetra, descomposicin, unin dbil

y contraccin.

Por tanto, un grafoide debe satisfacer las cinco primeras propiedades, mien- tras que

un semigrafoide debe satisfacer solo las cuatro primeras (er Pearly Pa! ("#$%& y

'eiger ("##&&.

)ada una lista inicial de independencias, un grafo, o una funcion de probabilidad

conjunta, siempre es posible determinar que relaciones de in- dependencia se

cumplen en el modelo y, por tanto, determinar su estructura cualitatia. Por tanto,

estos tipos de modelos de*nen clases particulares de los denominados modelos de

dependencia.

Modelo de Dependencia. Cualquier modelo M de un conjunto de variables

{X",..., Xn} mediante el cual se pueda determinar si la relacin I(X, Y |Z& es

o no cierta, para todas las posibles ternas de subconjuntos X, Y Z, se

denomina modelo de dependencia.

Modelo de dependencia probabilstico. !n modelo de dependencia M se

denomina probabil"#stico si contiene todas las relaciones de independencia

dadas por una $unci"on de probabilidad conjunta p(%",..., %n&.

Modelo de dependencia probabilstico no ex- tremo. !n modelo de

dependencia probabil"#stico no e%tremo es un mo& delo de dependencia

probabil"#stico obtenido de una $unci"on de probabilidadno e%trema, o positiva'es decir, p(%",..., %n& toma valores en el intervalo abierto (, "&.

)ado que todas las funciones de probabilidad satisfacen las cuatro primeras

propiedades de independencia condicional, todos los modelos de dependencia

probabil+sticos son semigrafoides. Por otra parte, dado que solo las funciones de

probabilidad no etremas satisfacen la propiedad de interseccion,solo los modelos

de dependencia probabil+sticos no etremos son grafoides.

Modelo de dependencia compatible con una probabilidad. !n modelo dedependencia M se dice compatible con una funcin de probabilidad p(%", . . . , %n&

7/21/2019 Grafoides

2/4

bsrese que un modelo de dependencia compatible con una probabilidades aquel

que puede obtenerse de una funcion de probabilidad conjuntap(%",..., %n&, pero sin

necesidad de ser completo, es decir, no tienen por que contener todas las

relaciones de independencia que pueden obtenerse de p(%",..., %n&.

)ado que toda funcion de probabilidad cumple las cuatro primeras propiedades de

la independencia condicional, si un modelo de dependencia M es compatible con

una funcion de probabilidad p(%", . . . , %n&, entonces el menor semigrafoide

generado por M tambien debe ser compatible conp(%",..., %n&. Por tanto, un

problema interesante desde el punto de ista practico es calcular el menor

semigrafoide generado por un modelo de dependencia M . l siguiente algoritmo

puede ser utili!ado con este *n/

Generando un grafoide mnimo.

* Datos: Un modelo de dependencia inicial M .

* Resultado: l m+nimo grafoide que contiene a M .

'enerar nueas relaciones de independencia aplicando las propieda-des de simetr

+a, descomposicion, union debil, contraccion e inter- seccion a las relaciones

del modelo M . l conjunto resultante es elgrafoide buscado.

l algoritmo anterior tambien puede ser utili!ado para generar un semi- grafoide0

para ello basta con no utili!ar la propiedad de interseccion. lejemplo siguiente

ilustra este algoritmo.

Factorizaciones de una Funcin de !robabilidad

"#emplo

Generando grafoides. 1upngase que se tiene un con-junto de cuatro

ariables {X", X2, X3, X4} y que se da la siguiente lista de relaciones de

independencia/

M 5 {I(X", X2|X3&, I(X", X4|X2&, I(X", X4|{X2, X3}&}.

6a 7abla 8.2 muestra las relaciones de independencia iniciales, y las relaciones

deriadas necesarias para completar el modelo 9asta conertirlo en un semigrafoide

y un grafoide, respectiamente. 6as nueas relaciones de independencia son

generadas utili!ando un programa de ordenador llamado X&pert Maps,2 que

implementa el :lgoritmo 8.2. 6a 7abla 8.2 tambin muestra las relaciones de

i d d i tili bt l i d d i

7/21/2019 Grafoides

3/4

7anto el modelo inicial como el completado son compatibles con p(%",..., %n&. sto

motia el siguiente problema/

* !regunta $.%. ;

7/21/2019 Grafoides

4/4

&onstruccin de Modelos !robabil'sticos

6ista inicial

M 5 {I(X", X2|X3&, I(X", X4|X2&, I(X", X4|X2X3&}

@A< adicionales para 1emigrafoidePropiedad @A< )eriada de

1imetr+a I(X2, X"| I(X", X2|X3&

1imetr+a I(X4, X"| I(X", X4|X2&1imetr+a I(X4, X"| I(X", X4|X2X3&