|4.7.- Gráficos de Flujo de Señal.Como ya se vio con anterioridad, los diagramas de bloques son una forma de

representación muy útil de los sistemas de control. Los gráficos de flujo de señal son otra forma de representación de sistemas de control.

Cuando un diagrama de bloques es grande, el procedimiento de simplificación puede ser largo y complicado. En éstos casos los gráficos de flujo de señal tienen cierta ventaja ya que en este método se cuenta con una fórmula que nos permite lograr la simplificación en un solo cálculo simplificando el gráfico para obtener directamente la función de transferencia. La fórmula para obtener la simplificación del gráfico es llamada la fórmula de Masón y se verá un poco más adelante.

Básicamente un gráfico de flujo de señal contiene lógicamente la misma información que un diagrama de bloques y se puede trazar a partir de ecuaciones algebraicas o desde un diagrama de bloques.

Un gráfico de flujo de señal consiste en una red que contiene nodos que están interconectados por ramas que tienen una dirección y sentido.

Para poder entender que es y como se representa un gráfico de flujo de señal hay que definir primeramente ciertos términos. En seguida se darán las definiciones que forman una terminología especial para gráficos de flujo de señal.

Nodo.- Es un punto que representa una variable o señal.Transmitancia.- Es la ganancia entre dos nodos.Rama.- Es un segmento de línea con dirección y sentido que une dos nodos.Nodo de entrada o fuente.- Es un nodo que sólo tiene ramas que salen.

Correspondea una variable independiente.

Nodo de salida o sumidero.- Es un nodo que sólo tiene ramas que entran. Corresponde a una variable dependiente.

Nodo Mixto.- Es un nodo que tiene tanto ramas que entran como ramas que salen.

Camino o Trayecto.- Es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas. Si no cruza ningún nodo más de unavez, el camino o trayecto es abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual partió y no secruza ningún otro nodo más de una vez, es un camino otrayecto cerrado.

Lazo.- Es un camino o trayecto cerrado.Ganancia de lazo.- Es el producto de las transmitancias de las ramas de un lazo.Lazos Disjuntos.- Son lazos que no poseen ningún nodo en común.Trayecto Directo.- Es el trayecto de un nodo de entrada a un nodo de salida que

nocruza ningún nodo más de una vez.

Ganancia de Trayecto Directo.- Es el producto de las transmitancias de las ramasDe un trayecto directo.

En la Fig. 4-16 se representa un gráfico de flujo de señal en donde se pueden ver los nodos, las ramas y las transmitancias.

X4

Nodo Mixto d

X1 a X2 b X3 1 X3

Nodo de entrada Nodo de salida

c

Fig. 4-16.- Gráfico de Flujo de señal.

Álgebra de Gráficos de Flujo de Señal.Las reglas que se verán a continuación se pueden utilizar para trazar el gráfico, entender su operación o realizar pequeñas simplificaciones al mismo.

1.- El valor del nodo de salida con una sola rama de entrada es x2 = ax1 , como se ve en la Fig.

x1 a x2

2.- La transmitancia total de varias ramas conectadas en serie es igual al producto de todas las transmitancias de las ramas, como se indica en la Fig.

x1 a x2 b x3 x1 ab x3

=

3.- La transmitancia total de varias ramas conectadas en paralelo, se obtiene sumando las transmitancias de todas las ramas, como se ve en la Fig.

x1 x2 = x1 a + b x2

4.- La Fig. siguiente nos indica como se puede eliminar un nodo mixto.

x1 x1

a acc

x3 x4 = x4

x2 b x2 bc

5.- La sig. Fig. Nos indica como se puede eliminar un lazo de un gráfico de flujo de señal. De la Fig. se puede ver que:

x3 = bx2 x2 = ax1 + cx3

sustituyendo x2 en la ecuación de x3, tenemos:

x3 = b [ax1 + cx3 ] = abx1 + bcx3

x3 – bcx3 = abx1

x3 [1 – bc ] = abx1

abx3 = [ ] x1

1 – bc

abx1 a x2 b x3 x1 ab x3 x1 1 – bc x3

= =

c bc

Representación de un Gráfico de Flujo de Señal.A continuación se representará el gráfico de un sistema de control cuyo modelo

matemático está formado por las siguientes tres ecuaciones:

x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 + b1u1 (4-27)

x2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 + b2u2 (4-28)

x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3 (4-29)

Se considera que u1 y u2 son variables de entrada; x1, x2 y x3 son variables de salida. Se trazará el gráfico por partes, considerando primero la ecuación 4-27 y después las otras dos ecuaciones.

a11

u1 x1 x2 x3

b1 a12

a13

Fig. 4-17.- Gráfico correspondiente a la Ec. 4-27.

Siguiendo el mismo procedimiento anterior, se traza la gráfica de la Ec. 4-28.

a22

x1 x2 x3

a21

b2 a23

u2

Fig. 4-18.- Gráfico correspondiente a la Ec. 4-28.

a31 a33

x1 x2 a32 x3

Fig. 4-19.- Gráfico correspondiente a la Ec. 4-29

Una vez que se tienen los tres gráficos parciales, se procede a trazar el gráfico completo, compuesto por los tres gráficos anteriores, como se representa en la Fig. 4-20.

a31

x2

a11 a22 a33

x1

b1 a21 a32 1u1 x1 x2 x3 x3

a12 a23

b2

u2

a13

Fig. 4-20.- Gráfico completo del sistema de control.

Gráficos de Flujo de Señal de Diagramas de Bloques.En seguida se representan algunos ejemplos de diagramas de bloques que se

convierten a gráficos de flujo de señal equivalentes.

Fig. 4-21.- Diagramas de bloques y sus correspondientes gráficos de flujo de señal.

Fórmula de Masón.Como ya se mencionó, una de las ventajas de los gráficos de flujo de señal es que se cuenta con una formula que nos permite simplificar un gráfico en un solo paso para obtener la Función de Transferencia total, en lugar de ir simplificando paso a paso como en los diagramas de bloques. La fórmula de Masón se representa por la siguiente ecuación:

P = [1/] Pk k

Donde :Pk = Ganancia del k-esimo trayecto directo.

= Determinante del gráfico. = 1 – (suma de todas las ganancias de lazo distintas) + (suma de los productos de

las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) – (suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos no adjuntos) + ..............

= 1 - La + LbLc - LdLeLf + .............

k = Cofactor del determinante del k-esimo trayecto directo del gráfico, con los lazos

adjuntos del k-esimo trayecto directo eliminados.

Ejemplo 4-2.- El diagrama de bloques de la Fig. 4-22 se convertirá a un gráfico de flujo de señal y posteriormente se le aplicará la fórmula de Masón para calcular la función de transferencia C/R.

_ H2

R G1 G2 G3 C + + +

_ + H1

Fig. 4-22.- Diagrama de bloques de un sistema de control.

Tomando como base el diagrama de bloques de la Fig. 4-22, se traza enseguida el gráfico de flujo de señal de la Fig. 4-23.

- H2

R 1 1 G1 G2 G3 1 C

H1

- 1

Fig. 4-23.- Gráfico de Flujo de señal de la Fig. 4-22.

Hay un solo trayecto directo cuya ganancia es: P1 = G1G2G3

Hay tres lazos con ganancias, L1 = G1G2H1 L2 = - G2G3H2 L3 = - G1G2G3

No hay lazos disjuntos, ya que todos los lazos tienen algo en común.

El determinante se obtiene de la fórmula general.

= 1 – (L1 + L2 + L3) = 1 – G1G2H1 + G2G3H2 + G1G2G3

Hay un solo cofactor porque solo hay un trayecto directo y como todos los lazos tienen algo en común con el único trayecto directo, todos los lazos se eliminan del determinante y el cofactor es:

1 = 1Conocidos los trayectos directos, los lazos, el determinante y los cofactores, se

aplica la fórmula de Masón:

C(s) P11 G1G2G3

= P = =R(s) 1 – G1G2H1 + G2G3H2 + G1G2G3

Ejemplo 4-3.- Aplicando la Fórmula de Masón, obtener la función de transferencia C/R del gráfico de flujo de señal de la Fig. 4-24.

G7

G6

R G1 G2 G3 G4 G5 1C

- H1

- H2

Fig. 4-24.- Gráfico de un Sistema de Control.

Trayectos directos: P = G1G2G3G4G5 P2 = G1G4G5G6 P3 = G1G2G7

Lazos: L1= - G4H1 L2 = - G2G7H2 L3 = - G4G5G6H2 L4 = - G2G3G4G5H2

Solamente los lazos L1 y L2 no tienen nada en común y por lo tanto son lazos disjuntos.

Determinante: = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4) + L1L2

= 1 + G4H1 + G2G7H2 + G4G5G6H2 + G2G3G4G5H2

cofactores: 1 = 1 2 = 1 3 = 1 – L1 = 1 + G4H1

de donde: C(s)

= P = [1/]( P11 + P22 + P33)R(s)

C(s) G1G2G3G4G5 + G1G4G5G6 + G1G2G(1 + G4H1) =R(s) 1 + G4H1 + G2G7H2 + G4G5G6H2 + G2G3G4G5H2 + G4H1G2G7H2

5.- Método de Espacio de Estado.

5.1.-Ecuaciones de Estado.- En general una ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede descomponer en n ecuaciones diferenciales de primer orden. Debido a que las ecuaciones diferenciales de primer orden son más fáciles de resolver que las de orden más alto, se prefiere trabajar con este tipo de ecuaciones en sistemas de control.

Tomaremos como base una ecuación integrodiferencial que resulta de un circuito eléctrico RLC en serie, cuya ecuación es:

Ri(t) + L di(t)/dt + [1/C] i(t)dt = e(t) (5-1)

En la ecuación anterior, se puede hacer que:

x1(t) = i(t) dt y x2(t) = dx1(t)/dt = i(t)

La ecuación 5-1 se puede descomponer en las siguientes dos ecuaciones de primer orden:

La ecuación 5-1 se puede descomponer en las siguientes dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

dx1(t)/dt = x2(t)

Rx2(t) + L dx2(t)/dt + [1/C] x1(t) = e(t)

O bien dx2(t)/dt = - [1/(LC)] x1(t) – [R/L] x2(t) + [1/L] e(t)

La ecuación 5-1 es una ecuación diferencial de segundo orden y se hace referencia al sistema que representa como sistema de segundo orden, convirtiéndose esta ecuación en dos ecuaciones de primer orden. Estrictamente hablando la ecuación 5-1 se puede definir también como una ecuación integrodiferencial, ya que involucra una integral.

En el caso general de una ecuación diferencial de un sistema de n-ésimo orden, se escribe como:

dny(t)/dtn + an-1 dn-1y(t)/dtn-1 + …… + a1 dy(t)/dt + aoy(t) = f(t) (5-2)

definiendo en la ecuación anterior,

x1(t) = y(t) x2(t) = dy(t)/dt ........ xn(t) = dn-1y(t)/dtn-1 (5-3)

la ecuación diferencial 5-2 de n-ésimo orden, se puede descomponer en n ecuaciones diferenciales de primer orden:

dx1(t)/dt = x2(t)

dx2(t)/dt = x3(t) (5-4)..

dxn(t)/dt = - aox1(t) – a1x2(t) - …..- an-2xn-1(t) – an-1xn(t) + f(t)La última ecuación se obtiene al igualar el término de la derivada de mayor orden de la Ec. 5-2 con el resto de los términos. En la teoría de los sistemas de control, el conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden de la ecuación 5-4, se conoce como Ecuaciones de Estado, y x1, x2, ..... xn, son llamadas Variables de Estado.

5.2.-Definición de las Variables de Estado.El estado de un sistema se refiere a las condiciones pasadas, presentes y futuras del sistema. Desde el punto de vista matemático, es conveniente definir un conjunto de variables de estado y ecuaciones de estado para modelar sistemas de control. Las variables x1(t), x2(t), .... xn(t) ya definidas en la Ec. 5-3 son las variables de estado y las n ecuaciones diferenciales de primer orden son las ecuaciones de estado. En general existen algunas reglas básicas para definir una variable de estado y una ecuación de estado. Las variables de estado deben de satisfacer las siguientes condiciones:

1.- En cualquier tiempo inicial t = to, las variables de estado x1(to), x2(to),..... xn(to) definen los estados iniciales del sistema.

2.- Una vez que las entradas del sistema para t to y los estados iniciales antes definidos son especificados, las variables de estado deben definir completamenteel comportamiento futuro del sistema.

Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mínimo de variables x1(t), x2(t), .... xn(t), de cuyo conocimiento en cualquier tiempo to y del conocimiento de la información de la entrada de excitación que se aplica subsecuentemente son suficientes para determinar el estado del sistema en cualquier

tiempo t to.

5-3.-Diagrama de Estado.El diagrama de estado es una extensión de los gráficos de flujo de señal (GFS)

para describir ecuaciones de estado y ecuaciones diferenciales. El significado del diagrama de estado es que forma una relación cercana entre las ecuaciones de estado, la simulación por computadora y las funciones de transferencia. Un diagrama de estado se construye siguiendo todas las reglas de los GFS utilizando la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado.

Los elementos básicos de un diagrama de estado son similares a los del GFS convencional, a excepción de la integración. Si las variables x1(t) y x2(t) están relacionadas como ya se vio anteriormente mediante la diferenciación de primer orden:

dx1(t)/dt = x2(t) (5-5)

al integrar ambos miembros de la ecuación (5-5), con respecto al tiempo t , desde el tiempo inicial to, se obtiene:

x1(t) = x2(t) dt + x1(to) (5-6)

debido a que los GFS y los diagramas de bloques normalmente no se manejan el dominio del tiempo sino el dominio de “s” (variable compleja), se debe de tomar la transformada de Laplace a la ecuación (5-6), con lo cual se obtiene:

X2(s) x1(to)X1(s) = + (5-7)

s s

La ecuación (5-7) es ahora una ecuación algebraica y se puede representar mediante un GFS, como se muestra en la Fig. 5-1.

x1(to)

1

X2(s) 1 s-1 X1(s)

Fig. 5-1.- Representación en gráfica de flujo de señal.

El mismo diagrama de flujo de señal anterior se puede representar en forma equivalente con sólo dos ramas, como se muestra en la Fig. 5-2.

x1(to)s 1

X2(s) s-1 X1(s)

Fig. 5-2.- GFS equivalente a la Fig. 5-1.

Antes de continuar con los diagramas de estado, se deben señalar algunos puntos importantes en la utilización de los diagramas de estado.

1.- Un diagrama de estado se puede construir directamente a partir de la ecuación diferencial del sistema. Esto permite la determinación de las variables de estado y de las ecuaciones de estado.2.- Un diagrama de estado se puede construir a partir de la función de transferencia del sistema.3.- El diagrama de estado se puede utilizar para la programación del sistema en una computadora analógica o para la simulación en una computadora digital.4.-Las funciones de transferencia de un sistema se pueden determinar del diagrama de estado.5.- Las ecuaciones de estado y las ecuaciones de salida se pueden determinar del diagrama de estado.

A continuación se presentan los detalles de estas técnicas.

5.4.- De las ecuaciones diferenciales al diagrama de estado.Cuando un sistema de control lineal se describe a través de una ecuación

diferencial de orden superior, se puede construir un diagrama de estado a partir de dicha ecuación. Consideremos la siguiente ecuación diferencial general:

dny(t)/dtn + an dn-1y(t)/dtn-1 + …… + a2 dy(t)/dt + a1y(t) = r(t) (5-8)

Para construir un diagrama de estado utilizando la ecuación, esta se escribe en la siguiente forma:

dny(t)/dtn = - an dn-1y(t)/dtn-1 - …… - a2 dy(t)/dt - a1y(t) + r(t) (5-9)

aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (5-9), tenemos:

sn Y(s) = - an sn-1 Y(s) - …… - a2 s Y(s) – a1Y(s) + R(s) (5-10)

Como primer paso para obtener el diagrama de estado, los nodos que representan a R(s), snY(s), sn-1Y(s), .... sY(s) y Y(s) se representan de izquierda a derecha como se muestra en la Fig. 5-3.

R snY(s) sn-1Y(s) …. SY(s) Y(s)

Fig. 5-3.- Nodos del diagrama de estado.

Después de trazar los nodos, se trazan las ramas que corresponden según la ecuación (5-10) como se indica en la Fig. 5-4.

R snY(s) sn-1Y(s) …. sY(s) Y(s)

1 - an

- a2

- a1

Fig. 5-4.- Diagrama de Estado.

Finalmente se insertan las ramas de los integradores con ganancias s-1 y se agregan las condiciones iniciales, si es que las hay en la ecuación diferencial inicial, sumándose a las salidas de los integradores. Todo lo anterior se representa en el diagrama de estado ya completo de la Fig. 5-5.

y(n-1)(to) y(1)(to) y(to) s s s

xn x2 x1

R snY(s) s-1 sn-1Y(s) …. sY(s) s-1 Y(s) 1 Y(s)

1 - an

- a2

- a1

Fig. 5-5.- Diagrama de estado completo.

Las salidas de los integradores se definen como las variables de estado, x1, x2,.... xn.

Normalmente es más conveniente primero obtener la función de transferencia de la ecuación diferencial y después llegar al diagrama de estado.

Ejemplo 5-1.- Dibujar el diagrama de estado de la siguiente ecuación diferencial:

d2y(t)/dt2 + 3 dy(t)/dt + 2y(t) = r(t) (5-11)

igualando el término de mayor orden de la ecuación al resto de los términos, se obtiene:

d2y(t)/dt2 = - 3 dy(t)/dt - 2y(t) + r(t)

siguiendo el procedimiento descrito, el diagrama de estado del sistema se dibuja como se muestra en la Fig. 5-6. Las variables de estado son x1 y x2 como se muestra.

y(1)(to) y(to) s s

1 1

1 s-1 x2 s-1 x1 1

R s2Y -3 sY Y Y

- 2

Fig. 5-6.- Diagrama de estado para la Ec. (5-11)

5-6.- Del diagrama de estado a la función de transferencia.El siguiente ejemplo muestra como se puede obtener la función de transferencia

directamente del diagrama de estado.

Ejemplo 5-2.- Tomando como base el diagrama de estado de la Fig. 5-6, la función de transferencia entre R(s) y Y(s) se obtiene aplicando la fórmula de ganancia entre estos dos nodos y considerando las condiciones iniciales igual a cero.

s2Y(s) = - 3sY(s) – 2 Y(s) + R(s)

s2Y(s) + 3sY(s) + 2 Y(s) = R(s)

Y(s) [s2 + 3s + 2 ] = R(s)

Y(s) 1= (5-12)

R(s) s2 + 3s + 2

5-7.- Del diagrama de estado a las ecuaciones de estado y de salida.Tanto las ecuaciones de estado como las de salida se pueden obtener

directamente del diagrama de estado utilizando la fórmula de la ganancia de los GFS. A continuación se describen las formas generales de una ecuación de estado y una de salida para un sistema de control lineal.

Ecuación de estado: dx(t)/dt = ax(t) + br(t) (5-13)

Ecuación de salida: y(t) = cx(t) + dr(t) (5-14)

En donde x(t) es la variable de estado, r(t) es la entrada, y(t) es la salida y a, b, c y d son coeficientes constantes. Con base en la forma general de las ecuaciones de estado y de salida, se presenta el siguiente procedimiento para obtener las ecuaciones de estado y de salida a partir del diagrama de estado:

1.- Elimine los estados iniciales y las ramas del integrador con ganancias s-1 deldiagrama de estado, ya que las ecuaciones de estado y de salida no tienenel operador de Laplace s o las condiciones iniciales.

2.- Para las ecuaciones de estado, relacione los nodos que representan las derivadas

de las variables de estado como nodos de salida, ya que estas variables aparecen en el primer miembro de las ecuaciones de estado. La salida y(t) en la ecuación de salida es, naturalmente, una variable de un nodo de salida.

3.- Relacione las variables de estado y las entradas como variables de entrada en el diagrama de estado, ya que estas variables se encuentran en el segundo miembro de las ecuaciones de estado y de salida.

4.- Aplique la fórmula de ganancia de los GFS al diagrama de estado.

Ejemplo 5-3.- En la Fig. 5-7 se muestra el diagrama de estado de la Fig. 5-6, con las ramas del integrador y los estados iniciales eliminados. Utilizando dx1(t)/dt y dx2(t)/dt como los nodos de salida y x1(t), x2(t) y r(t) como los nodos de entrada y aplicando la fórmula de la ganancia entre estos nodos, las ecuaciones de estado se obtienen como

x’1

1 x’2 x2 x1 1

r -3 y

- 2

Fig. 5-7.- Diagrama de estado de la Fig. 5-6, eliminando las condicionesIniciales y las ramas de integradores.

Ecuaciones de estado:dx1(t)/dt = x2(t)

(5-15)dx2(t)/dt = - 2x1(t) – 3x2(t) + r(t)

La ecuación de salida en este caso es:

y(t) = x1(t) (5-16)