graficador completo

“TALLERES DE TRABAJO”

Los Talleres de Trabajo que se presentan en este documento están diseñados y dirigidos al docente del área de matemáticas, para que desarrolle sus clases con el apoyo de las aplicaciones del “Laboratorio Virtual de Matemáticas”, para esta serie de talleres, se utiliza el Manipulador Virtual “Graficador”, que hace parte de las herramientas computacionales, dentro del contexto de las TIC, que ayudan a mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática escolar.

ESTRUCTURA GENERAL

La siguiente estructura sustenta el trabajo propuesto en los talleres (del 1 al 6 ) para que el docente apoye el proceso de enseñanza y el de aprendizaje en relación al desarrollo de algunos conceptos matemáticos, sin dejar de lado la importancia que tiene la sustentación curricular y matemática dentro de dichos procesos.

PensamientosMatemáticos Grad

oEstándares Básicos de Competencias en Matemáticas

Pensamiento Variacional Y

Sistemas Algebraicos Y

Analíticos

8º a 9º

Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan.

Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientosde cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

10º a 11º

Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

Pensamiento Numérico Y Sistemas Numéricos

8º a 9º

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

10º a 11º

Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

Competencias

Construir funciones Recrear figuras y funciones utilizando un manipulador virtual

Identificar las propiedades de las funciones Reconocer y buscar las relaciones numéricas y variacionales Modelar situaciones con algebra y números Comprender conceptos algebraicos Ampliar el vocabulario incorporando al lenguaje los términos algebraicos en forma natural Perseverar en la búsqueda de soluciones a los problemas. Valorar la simplicidad, precisión y utilidad de los lenguajes numéricos, grafico, algebraico

para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. Estimar la pendiente y el intercepto de algunas funciones Aplicar el concepto de función

Mapa Conceptual

Metodología.

Se propone una metodología en la que el estudiante y el docente sean participes activos en el desarrollo y conceptualización de los talleres. Ella se divide:

Traba j o i n d i v i du a l . Cada estudiante deberá asumir compromisos y responsabilizase de su propio proceso de aprendizaje, en el que el docente estará como orientador y asesor permanente al momento que él necesite aclaración de las pautas de trabajo establecidas, y en especial, cuando se enfrente a la conceptualización matemática, según las temáticas y conceptos que tienen los talleres. Esta parte del trabajo individual le permite al docente conocer las debilidades o fortalezas que el estudiante tiene y que por ende le permiten alcanzar los logros establecidos. El trabajo individual se realizará dentro y fuera de la Institución Educativa, según las necesidades en medios tecnológicos (el computador) que tengan los estudiantes.

Traba j o grup a l . Es importante resaltar la necesidad de crear equipos de trabajo que conlleven a una “Aprendizaje Colaborativo1, entendido como la actividad que pequeños grupos pueden desarrollar en al aula de clase o en otros espacios. Es sustentado por la idea de que los estudiantes formen pequeños equipos después de haber recibido instrucciones del docente Millis (1996; p.3)”

1, y así permitir la cooperación, la

responsabilidad, la comunicación, el trabajo en equipo y la autoevaluación.

S oc i a l i zac i ó n . Al realizarse un trabajo individual y grupal, es importante que el docente conozca “la evolución” en el aprendizaje de los estudiantes, por lo cual se propone abrir espacios de socialización, para conocer las distintas estrategias, las posibles dificultades o avances que los estudiantes tuvieron con el desarrollo de los talleres.

E xpos i c i one s . Es importante que con la creación de los equipos de trabajo se deje como responsabilidad final, o durante el trabajo de los talleres, la preparación de exposiciones que muestren el trabajo hecho por los estudiantes, y a la vez, el avance que ellos tuvieron en el proceso de conceptualización matemática.

Conocimientos PreviosGrado

Grado

Conocimientos previos.Como uno de los principales conocimientos previos, es el de conocer cómo se utiliza un computador, sin necesidad de saber el funcionamiento total de algunos de los programas que este tiene. Ahora, de acuerdo a los pensamientos matemáticos que se proponen y a los estándares relacionados con éstos, es importante que los estudiantes tengan un conocimiento previo en:

Conceptos algebraicos

Reconocer algunas funciones y su definición

1 El documento completo, titulado “Aprendizaje Colaborativo”, se encuentra disponible en la siguiente dirección electrónica: h tt p :// w w w . sis t e m a . i t e s m . m x / v a / dide / in f - doc / es t r a t e g ia s / c o lab o r a t i v o .h t m l

http://www.sistema.itesm.mx/va/dide/inf-doc/estrategias/colaborativo.html

http://www.sistema.itesm.mx/va/dide/inf-doc/estrategias/colaborativo.html

Nociones básicas del pensamiento Numérico: números naturales, pares e impares, primos, decimales.

Ambientes de Aprendizaje.Al asumir como ambiente de aprendizaje a “aquel ambiente que hace referencia a lo propio de los procesos educativos que involucran los objetos, tiempos, acciones y

vivencias de sus participantes”2 Duarte (2003; p. 99). Se proponen los siguientes ambientes de aprendizaje:

A u l a t rad i c i on a l . Este es el lugar donde los estudiantes permanecen la mayor parte de su tiempo cuando están en una Institución Educativa, por lo cual debe ser el primer ambiente en el que se establezcan las pautas de trabajo de todo el desarrollo de los talleres, y a la vez, sea uno de los puntos de encuentro para fortalecer sus conocimientos, no solo en matemáticas si no en las demás áreas.

A u l a de i n f o r má t i c a . Ésta debe ser un aula que cuente con los equipos necesarios para que los estudiantes y el docente puedan establecer relaciones de participación activa, y aprovechar al máximo, el papel que desempeñan los computadores en el desarrollo de los talleres. Es importante que estos tengan una conexión a Internet y/o contar con una red interna, en la que los participantes puedan compartir información o establecer vínculos de comunicación con otras personas.

Lugar de dom i c il i o d e l es t ud i a n te . Allí, ellos podrán realizar con mayor tranquilidad y tiempo, parte de los talleres propuestos, donde habrá la oportunidad de que el estudiante socialice su proceso de aprendizaje con sus familiares, creándoles curiosidad y la opción de participar en la elaboración de las distintas actividades.

Materiales.

Manipulador virtual “Graficador” Cuaderno de notas. Hoja guía con los Talleres. Hojas de block Cuadriculadas.

Sugerencias Evaluativas.

Como propuesta para evaluar el desarrollo de los talleres y de sus actividades, se proponen, como ejemplo, algunos “formatos de evaluación” dirigidos a los estudiantes, y así cumplir con la evaluación como “un proceso de investigación que contribuya a mejorar los niveles de aprendizaje y que enriquezca el desarrollo profesional de los docentes” Acevedo (1999)

2 DUARTE D, Jakeline. “de Aprendizaje: Una aproximación conceptual”. En: Estudios Pedagógicos Nº 29. pp. 97-113, 2003.

1. Rubricas Se proponen tres diseños de rubricas, como: Trabajo individual y grupal, Resolución de problemas y Capacidad de diálogo durante la clase, Exposición en grupo. Cada una de ellas está compuesta por Ítems y Categorías que hacen parte de la escala establecida en el Decreto 230 del 11 de febrero de 2002: “Currículo, Evaluación, y Promoción de los Educandos y evaluación Institucional” del MEN, tales como: Excelente, Sobresaliente, Aceptable, Insuficiente, Deficiente. Las rubricas buscan evaluar, de forma general, todo el proceso de los estudiantes.A continuación, se presentan las rubricas que describen cada categoría según el ítem, y el formato en blanco para registrar la nota correspondiente

TRABAJO INDIVIDUAL Y GRUPALÍtems Categorías

Excelente Sobresaliente Aceptable Insuficiente DeficienteControl de la eficacia del

grupo al momento de

trabajar

Ayuda a controlar la eficacia del grupo y hace sugerencias para que sea más efectivo.

Ayuda a controlar la eficacia del grupo y trabaja para que él sea más efectivo.

Ocasionalmente ayuda a controlar la eficacia del grupo y trabaja para que sea más efectivo.

Rara vez ayuda a controlar la eficacia del grupo y no trabaja para que éste sea más efectivo.

No ayuda a controlar la eficacia del grupo, evitando que éste sea más efectivo

Calidad del Trabajo

Proporciona trabajo de forma clara y concisa, sin salirse del tema a tratar

Proporciona trabajo de forma clara y algo concisa.

Proporciona trabajo que, ocasionalmente, necesita ser comprobado o rehecho, debido a la falta de claridad y el salirse del tema.

Proporciona trabajo que, por lo general, necesita ser comprobado o rehecho, debido a la no claridad y la falta de precisión en el tema.

No proporciona trabajo por la no claridad del tema y el poco interés hacia él.

El trabajo con Otros

Casi siempre escucha, comparte y apoya el esfuerzo de otros. Trata de mantener la unión de los miembros.

Usualmente escucha, comparte y apoya el esfuerzo de otros. No causa "problemas" en el grupo.

A veces escucha, comparte y apoya el esfuerzo de otros, pero algunas veces no es un buen miembro del grupo.

Raramente escucha, comparte y apoya el esfuerzo de otros. Frecuentemente no es un buen miembro del grupo.

No escucha, comparte y apoya el esfuerzo de otros. No es un buen miembro del grupo.

Contribuciones Siempre proporciona ideas útiles cuando participa en el grupo y en la discusión en clase. Es un líder definido que contribuye con mucho esfuerzo.

Por lo general, proporciona ideas útiles cuando participa en el grupo y en la discusión en clase. Un miembro fuerte del grupo que se esfuerza.

Algunas veces proporciona ideas útiles cuando participa en el grupo y en la discusión en clase. Un miembro satisfactorio del grupo que hace lo que se le pide.

Rara vez proporciona ideas útiles cuando participa en el grupo y en la discusión en clase. Puede rehusarse a participar.

No proporciona ideas útiles evitando su participación en el grupo y en la discusión en clase.

Manejo del Tiempo

Utiliza bien el tiempo durante el trabajo, para asegurar que las cosas estén hechas a tiempo. El grupo no tiene que ajustar la fecha límite o trabajar en las responsabilidades por la demora de esta persona.

Utiliza bien el tiempo durante todo el trabajo, pero pudo haberse demorado en un aspecto. El grupo no tiene que ajustar la fecha límite o trabajar en las responsabilidades por la demora de esta persona.

Tiende a demorarse, pero siempre tiene las cosas hechas para la fecha límite. El grupo no tiene que ajustar la fecha límite o trabajar en las responsabilidades por la demora de esta persona.

Rara vez tiene las cosas hechas para la fecha límite y el grupo ha tenido que ajustar dicha fecha o trabajar en las responsabilidades de esta persona porque el tiempo ha sido manejado inadecuadamente.

No tiene las cosas hechas para la fecha límite y el grupo ha tenido que ajustar dicha fecha y trabajar en las responsabilidades de esta persona porque No tiene un manejo del tiempo.

Actitud Nunca critica públicamente el trabajo de otros. Siempre tiene una actitud positiva hacia el trabajo.

Rara vez critica públicamente el trabajo de otros. A menudo tiene una actitud positiva hacia el trabajo.

Ocasionalmente critica en público el trabajo de otros miembros del grupo. Tiene una actitud positiva hacia el trabajo.

Con frecuencia critica en público el trabajo de otros miembros del grupo. A menudo tiene una actitud positiva hacia el trabajo.

Siempre critica en público el trabajo de otros miembros del grupo, evitando una actitud positiva hacia éste.

Resolución de Problemas

Busca y sugiere soluciones a los problemas.

Aporta a las soluciones sugeridas por otros.

No sugiere o aporta a las soluciones, pero está dispuesto a tratar soluciones propuestas por otros.

No trata de resolver problemas o ayudar a otros a resolverlos. Deja a otros hacer el trabajo.

No resuelve problemas ni ayuda a otros a resolverlos. Deja a otros hacer el trabajo.

Enfocándose en el Trabajo

Se mantiene enfocado en el trabajo que se necesita hacer. Muy autodirigido.

La mayor parte del tiempo se enfoca en el trabajo que se necesita hacer. Otros miembros del grupo pueden contar con esta persona.

Algunas veces se enfoca en el trabajo que se necesita hacer. Otros miembros del grupo deben algunas veces regañar, empujar y recordarle a esta persona que se mantenga enfocado.

Raramente se enfoca en el trabajo que se necesita hacer. Deja que otros hagan el trabajo.

No se enfoca en el trabajo que se necesita hacer. Deja que otros hagan el trabajo.

Esfuerzo El trabajo refleja los El trabajo refleja un El trabajo refleja algo El trabajo no refleja No realiza el trabajo

mejores esfuerzos del estudiante.

esfuerzo grande por parte del estudiante.

de esfuerzo por parte del estudiante

ningún esfuerzo por parte del estudiante

evitando esforzarse

Preparación Trae el material necesario a clase y siempre está listo para trabajar.

Casi siempre trae el material necesario a clase y está listo para trabajar.

Casi siempre trae el material necesario, pero algunas veces necesita instalarse y se pone a trabajar.

A menudo olvida el material necesario o no está listo para trabajar.

Siempre olvida el material necesario y no está listo para trabajar.

TRABAJO INDIVIDUAL Y GRUPAL

ÍtemsCategoríaExcel

enteSobresaliente

Aceptable

Insuficiente

DeficienteControl de la eficacia del grupo al momento

de trabajarCalidad del TrabajoEl trabajo con OtrosContribucionesManejo del TiempoActitudResolución de ProblemasEnfocándose en el TrabajoEsfuerzoPreparación

RESOLUCIÓN DE GUÍAS Y TALLERES

Ítems

CategoríasExcelente Sobresaliente Aceptable Insuficiente Deficiente

Guías trabajadas

Todas las guías asignadas estaban

desarrolladas y escritas excelentemente.

Casi todas las guías estaban hechas y

bien escritas.

La mayoría de las guías estaban hechas y

escritas satisfactoriamente.

Faltan preguntas por desarrollar

Faltan muchas preguntas de la guía

por responder. La mayoría de las

preguntas poseen inconsistencias.

No responde ninguna pregunta de la guía

Presentación La guía presenta claridad en la escritura.

Hay excelente redacción.

Gran parte de la guía está ordenada

facilitando su lectura.

La mayoría de las preguntas y diseños presentan claridad,

pero aún hay mucho por mejorar.

Necesita mejorar la letra. Es difícil leer

trabajo escrito.

No trae trabajo escrito.

Requisitos Cumple a cabalidad con las actividades

propuestas.

Generalmente cumple bien los

requisitos

Cumple adecuadamente los

requisitos

cumple con el 25% de los requisitos.

No cumple con los requisitos.

Nivel y Esfuerzo

Presenta un nivel alto en el desarrollo de las

actividades manifestando un notorio esfuerzo.

Trabajo de nivel avanzado. Toma riesgos. Trata de

mejorar y aplicar su conocimiento.

Trabajo adecuado. Necesita aplicar más

su conocimiento y tomar riesgos.

Trabajo de nivel bajo. Necesita mejorar y

aplicarse más.

No presenta ningún nivel, no viene a

clase.

RESOLUCIÓN DE GUÍAS Y TALLERES

ÍtemsCategorías

Excelente

Sobresaliente Aceptable Insuficiente DeficienteGuías trabajadasPresentación

RequisitosNivel y Esfuerzo

2. Forma t o de ev a l uac i ó n de l os t a l l eres Es un formato que busca evaluar el trabajo de los estudiantes al momento de desarrollar los talleres y cada una de las actividades propuestas. Está compuesto por el grado y los logros a cumplir de acuerdo a la actividad.

Este es el formato de las tablas por favor intertar presentar formato igual o similar y que sea acorde al espacio.

Grados “Funciones y Relaciones”Logros Taller 1

“RepasoTaller 2

“Grafica funciones”taller 3

“Profundiza”

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 410º y 11º Identificar algunas funciones y relaciones

Aplicar el concepto de ecuación y función Tenga en cuenta al evaluar

Escriba 1 si su respuesta es SIEMPRE y de modo ExcelenteEscriba 2 si su respuesta es CASI SIEMPRE y de modo SobresalienteEscriba 3 si su respuesta es A VECES y de modo AceptableEscriba 4 si su respuesta es NO o NUNCA siempre y de modo Insuficiente o Deficiente

Grados “Funciones ”Logros Taller 1

“Comparación”Taller 2

“Inversas”Taller 3

“Otras funciones”

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 48º a 9º Reconocer algunas funciones

Solucionar ecuaciones aplicando conceptos algebraicos

Tenga en cuenta al evaluar


Grados “Funciones 2”Logros Taller 4

“RelacionesTaller 4

“Trigonométricas”Taller 6

“Profundiza”

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 410º y 11º Graficar diferentes funciones con ayuda de

un manipulador virtual. Aplicar conceptos algebraicos para justificar funciones



Grados Taller Nº 4 “Funciones 3”Logros Taller 4

“Exponencial”Taller 5

“logarítmicas”Taller 6

“Grafica”

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 48º y 9º Graficar diferentes funciones con ayuda de

un manipulador virtual. Aplicar conceptos algebraicos para justificar funciones



Grados Taller Nº 5 “Polinomios”Logros Taller 7

“Parábolas”Taller 8

“Algebra”Taller 9

“Falso o Verdadero”

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 48º y 9º Reconocer algunas funciones

Solucionar ecuaciones aplicando conceptos algebraicos



Grados “Actividades Complementarias”

Logros taller 7“Polígonos”

Taller 8“Grafica”

Taller 9“Relaciona”

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 410º y 11º Repasar conceptos de funciones

Aplicar conceptos algebraicos y numéricos en problemas



Institución Educativa:_________________________________________________________Estudiante: _________________________________________________________Grado: ____________ Fecha: _________________ Nota:___________________

Grado Temática Conceptos Logros

10º a 11º Pensamiento Variacional y

numérico

Funciones, RelacionesEcuaciones, Rango y Dominio

Identificar algunas funciones y relaciones Aplicar el concepto de ecuación y función

Observa las siguientes graficas:

Grafica 1 Grafica 2

Grafica 3

1. ¿Cómo se les denomina a las anteriores graficas?______________________________________

2. ¿Cómo se llama la primera gráfica?_______________________________________________ ¿por qué se llama así?__________________________________________________________

3. ¿será posible representar con una ecuación, y siendo afirmativa tu respuesta cual sería dicha ecuación?___________________________________________________________________

4. ¿Cómo se llama la segunda función?______________________________________________ ¿por qué?___________________________________________________________________


6. ¿Cómo se llama la tercera función?______________________________________________ ¿por qué?___________________________________________________________________


Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación; el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar). Ejemplo: Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por la siguiente ecuación:

Recuerda :

8. Utilizando el manipulador virtual “Graficador”, y realiza la siguientes función: f(x)=x+1

9. ¿Cuál crees que es el nombre de esta función?______________________________________ ¿por qué?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. ¿A quién representa F(x) en la función?_____________________________________________11. ¿A quién representa + 1 en la función?

______________________________________________12. ¿Cuál es la pendiente de la función?_____________________________________________

¿por qué?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

13. ¿Cuál es el intercepto de la función?_____________________________________________ ¿por qué?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ecuaciones de la forma y = mx + b. Donde m

representa la pendiente, b el intercepto en “y” se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. Por ejemplo, la ecuación

y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde

la pendiente (m) es -3 y el intercepto en “y” es (0, 5). También Y = F(x).

14. Determine si las siguientes ecuaciones son funciones o relaciones utilizando el manipulador virtual “Graficador” y halla el dominio y el rango de las que sean funciones:

Recuerda:

Una función es una relación que asigna a cada valor de una variable (la variable independiente) un solo valor de otra variable (la

variable dependiente)

Al trazar la gráfica y tirar líneas verticales sobre ella sólo cortarán a la gráfica en un punto.

Para una función, todos los valores posibles de una variable independiente son llamados la función del dominio. Todos los valores

posibles para una variable dependiente son llamados el rango o alcance de una función.

Ejemplo: Decir si la ecuación es función y encontrar su dominio y rango: y = 3x – 5 Solución: Sí, es una función, porque para cada valor de x hay un solo valor de y . La gráfica pasa la prueba de la línea vertical. Más aún, como es la ecuación de una línea recta con pendiente positiva, tanto el dominio como el rango es (−∞, ∞), en otras palabras, todos los números

reales.

Recuerda:




numérico


c. Identificar algunas funciones y relaciones d. Aplicar el concepto de ecuación y función

Observa como en el manipulador virtual “Graficador” se puede visualizar la función F(x)= x² +1:

Grafica 1

1. ¿Cuál es el intercepto con el eje Y, observando la grafica? Explica tu respuesta_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Si no supiéramos graficar, cómo sabría cuál es el intercepto con el eje “y”?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Cuál es la pendiente de la función, observando la grafica? Y justifica tu respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Si no supiéramos graficar, cómo sabría cuál es el intercepto con el eje “y”___________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Grafica las siguientes funciones en el manipulador virtual e identifica su pendiente e intercepto:

a. F(x)= x² + 5: pendiente____________________ Intercepto_________________

b. F(x)= 2x² + 5 pendiente ____________________ Intercepto_________________

c. F(x)= 3x² + ½ pendiente ____________________ Intercepto_________________

d. F(x)= 2/3 x² + 2 pendiente __________________ Intercepto________________

6. Las anteriores funciones se conocen con el nombre de:a. _______________________b. _______________________c. _______________________d. _______________________

7. ¿Son funciones pares o impares? justifica tu respuesta_________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. ¿Las funciones “F(x)= x² ” y “ F(x)= x³ ”son iguales? Utiliza el manipulador virtual para comprobarlo_________________________________________________________________¿Por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. ¿Las funciones “ F(x)= x² ” y “ F(x)= x + 1 ”son iguales? Utiliza el manipulador virtual para comprobarlo. ¿Por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. ¿Las funciones “ F(x)= x² ” y “ F(x)= x ”son iguales? Utiliza el manipulador virtual para comprobarlo ¿Por qué’?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La

restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical.

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2

+ bx + c, con a diferente de cero, donde: a, b y c son

números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre

hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. La gráfica de una función puede ser simétrica con respecto al eje "y"

(función par), simétrica con respecto al origen (función impar) o sin simetría.

11. Observa cuidadosamente la gráfica de la siguiente parábola:

Grafica 2

a. ¿la función anterior es simétrica con respecto algún eje?_____________________ justifica tu respuesta______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b. ¿En que par ordenado tienen el vértice la parábola?_______________________________

Justifica tu respuesta______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda:

La parábola es una función cuyo dominio y condominio es el conjunto

de los números reales. Su fórmula es: y = ax² + bx + c y su

representación gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola. Los elementos de dicha función son:

a coeficiente principal b coeficiente lineal c término independiente

La simetría se determina como una recta que hace las veces de

espejo. El “espejo” o dicho matemáticamente “el eje de simetría” es la recta vertical u horizontal, según el caso.

Recuerda:




numérico


e. Identificar algunas funciones y relaciones f. Aplicar el concepto de ecuación y función

Observa en la siguiente función que el par ordenado donde se intersecan x e y, es (4,4):

Grafica 1

1. ¿Cuál será su pendiente?, justifica tu respuesta________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuál es el intercepto con el eje y? justifica tu respuesta _________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Escribe la ecuación que representa la anterior función_____________________________

4. Construye la gráfica de cada ecuación en el manipulador virtual “graficador”:a. x = -2b. y - 5 = 0c. 2y + 12 = 0d. 3x – 15 = 0

5. Halla la ecuación de la recta dado las siguientes condiciones:

a. m = -3, punto (8, 0)__________________________________________________

b. m = -2, punto (4, 2)___________________________________________________

c. puntos: (0, 5) y (3, 3)_________________________________________________

d. puntos: (-2, 3) y (-1, -6)_______________________________________________

Con un ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y

tiene pendiente m = - 5. Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usa la información que te dan: m = - 5 y sustituye en la

ecuación: y = - 5x + b

Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estas buscando.

Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b

Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b 2 = - 5 + b2 + 5 = bb = 7

Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = - 5x + 7La ecuación es y = - 5x + 7

Recuerda:




numérico

Ecuaciones linéales

Funciones inversas

radicales valor absoluto

g. Identificar algunas funciones y relaciones.

h. Aplicar el concepto de ecuación y función.

Observa la siguiente grafica realizada en el manipulador virtual “Graficador”:

Grafica 1

1. Representa por medio de una ecuación la anterior función________________________________

2. ¿Cuál es la pendiente de la función?________________________________________________¿Por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Cuál es el intercepto de la función?_______________________________________________¿Por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en “y” se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5). También Y = F(x).

4. Realiza en el manipulador virtual las siguientes funciones: a. Y= x+1

b. Y= x+2

c. Y= -x

5. Que relación encuentras entre esta grafica: Con la grafica de las siguientes funciones y justifica tu respuesta (utiliza el manipulador virtual)

Grafica 1a. Y= x+1____________________________________________________ b. Y= x+2____________________________________________________c. Y= -x_____________________________________________________

6. Puedes decir que función tiene más semejanza con la función , justifica tu respuesta:________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda:




numérico

Ecuaciones linéales Funciones inversasradicales valor absoluto

Identificar algunas funciones y relaciones. Aplicar el concepto de ecuación y función.

Observa las siguientes funciones realizadas en el manipulador virtual “Graficador”:

Grafica 1 Grafica 2

1. Que semejanza tiene la primera función con la segunda?_______________________________ ¿por que?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Que diferencias tiene la primera función con la segunda?_______________________________ ¿por qué?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Será que la segunda función es la inversa de la primera?_______________________________ ¿por qué? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. da la ecuación de cada una de ellasa. Grafica 1___________________________________________________________

b. Grafica 2___________________________________________________________

5. Comprueba con el manipulador virtual, sí la función inversa de (x+1) es (–x+1)________ justifica tu respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Para las graficas:

Grafica 3 Grafica 4

Grafica 5

¿Cuál sería su función inversa?_________ ¿por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La gráfica de se obtiene efectuando una reflexión de la gráfica de f respecto

a la recta ; es decir, si la gráfica de f contiene al punto (a,b) entonces la

gráfica de contiene el punto (b,a) y recíprocamente. Ejemplo

Recuerda:

f (x) = 3x se hace la reflexión x= 3y entonces (x) =

f (x) = 3x-1 se hace la reflexión x=3y-1 entonces (x) =

8. Realiza las siguientes funciones en el manipulador virtual y luego, realiza su inversa:

Y= x+5

Y=-x+2

Y= 2x

F(x)= x/5




numérico

Ecuaciones linéales Funciones inversasradicales valor absoluto

Identificar algunas funciones y relaciones. Aplicar el concepto de ecuación y función.

Las siguiente graficas muestran otras funciones:

Grafica 1 Grafica 2

1. ¿Qué diferencias encuentras entre ellas?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Qué similitudes encuentras entre ellas?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Tendrán pendiente?__________ ¿cuál?__________________________________________________ ¿por qué?____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Cuál será su intercepto con el eje y?_____________________________________________________ ¿por qué?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Por qué la segunda función, parece dos funciones? Explica tu respuesta________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Por qué la primera función es una curva y no una recta? Explica tu respuesta_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Intenta con estas dos y , ¿serán iguales?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Que diferencias y semejanzas encuentras-Diferencias Semejanzas

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

9. Realiza con el manipulador virtual “Graficador” otras funciones y compáralas sacando sus diferencias y semejanzas.

La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir su valor prescindiendo del signo, esta función

se puede escribir descompuesta en dos tramos

Recuerda:

La función radical son las que contienen la variable “x” dentro de un signo radical. No son verdaderas funciones pues a cada valor de “x” del dominio

corresponden dos valores de “y”, es decir, no son aplicaciones aunque se las considera como tales. Las más sencillas son de la forma

Podemos considerar esta “falsa función” como el resultado de agrupar estas dos




numérico

Funciones trigonométricasRango y dominio

Graficar diferentes funciones con ayuda de un manipulador virtual. Aplicar conceptos algebraicas para justificar funciones

Observa las siguientes funciones en el manipulador virtual “Graficador”:

Grafica 1

1. Qué diferencias tienen_________________________________________________________

2. Qué semejanzas tienen_________________________________________________________

3. ¿Las pendientes son iguales o diferentes?___________________________________________ ¿por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Los interceptos con el eje “y” son iguales o diferentes?________________________________¿Por qué?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿El dominio de las tres es iguales o diferente?________________________________________ ¿Por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿El Rango de las tres es iguales o diferente?_________________________________________ ¿Por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Comprueba con el manipulador virtual que semejanzas y diferencias tienen las siguientes graficas:

Semejanzas Diferencias

a. F(x)= x² __________________________ _________________________

___________________________ _________________________

b. F(x)= -x² ________________________________________________________

___________________________ _________________________

c. F(x)= x² + 1________________________ _________________________

___________________________ _________________________

Se llama Dominio de una función al conjunto de valores

que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede

alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele

representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango (f), Im(f)

Ejemplo: Encontrar el dominio y rango de la siguiente función: y = 3x – 5; como es la ecuación de una línea recta con pendiente positiva, tanto el dominio como el rango es (−∞, ∞) , en otras palabras, todos los números reales

Recuerda:




numérico



Miremos la grafica de la siguiente función:

Grafica 1

1. La anterior grafica representa la función___________________________________________

2. ¿Esta funcion es periodica?_______ ¿por qué?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Qué tiene que ver el número con la anterior función? justifica la respuesta_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Utilizando el manipulador virtual realiza las funciones coseno y tangente,luego contesta:

a) Las funciones son periodicas______________________________________________ ¿por qué?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué tiene que ver el número con las anteriores funciones? justifica la respuesta_____________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Realiza en el manipulador virtual las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Halla sus diferencias y semejanzas.

DiferenciasSemejanzas

a) Función inversa del seno_______________________________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

b) Función inversa del coseno____________________ _________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

c) Función inversa de la tangente _________________________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

Recuerda: La gráfica de se obtiene efectuando una reflexión de la

gráfica de f respecto a la recta ; es decir, si la gráfica de f contiene al

punto (a,b) entonces la gráfica de contiene el punto (b,a) y recíprocamente. Ejemplo:

f (x) = 3x se hace la reflexión x= 3y entonces (x) =

f (x) = 3x -1 se hace la reflexión x = 3y -1 entonces (x) =

6. ¿Las siguientes funciones tienen pendiente e intercepto con el eje “y” ?, justifica tu respuesta:

a. Seno___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b. Coseno__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c. Tangente________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d. Cotangente_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e. Secante_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

f. Cosecante_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente: El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2

radianes. Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un

ángulo. De este modo se obtienen las funciones trigonométricas (y= sen x), (y = cos x), (y = tg x), llamadas también funciones

circulares. significa periodo de la función

Recuerda:




numérico



Observa la siguiente función:

Grafica 1

1. Señala su dominio_____________________________________________________________

2. Señala su Rango_______________________________________________________________

3. Establece su período___________________________________________________________

4. Graficar en el manipulador virtual; g(x) = - sen x y h(x) = sen (-x) ¿Qué se puede concluir?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Comparar los gráficos f(x) = senx; g(x) = 2 sen x; h(x) = 5 senx; ¿qué rol juega el coeficiente?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Puedes graficar en el manipulador virtual lo siguiente: f(x) = 1/2 senx 1/2

a. Puedes determinar la pendiente___________________________________________________

b. Puedes determinar su dominio____________________________________________________

c. Puedes determinar su Rango______________________________________________________

d. Justifica tus respuestas________________________________________________________

7. Comparar las gráficas de las funciones seno y coseno utilizando el manipulador virtual, ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras?


a) Función inversa de seno_______________________________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

b) Función inversa de coseno____________________ _________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

8. Comparar las gráficas de las funciones seno y tangente utilizando el manipulador virtual, ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras?


a) Función inversa de seno_______________________________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

b) Función inversa de tangente____________________________________________

_______________________ ________________________ _______________________ ________________________

9. Comparar las gráficas de las funciones coseno y tangente utilizando el manipulador virtual, ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras?


a) Función inversa de coseno____________________________________________ ______________________________________________

_____________________________________________

b) Función inversa de tangente__________________________________________

______________________________________________ ______________________

________________________

10. Resolver:

a) Graficar f(x) = cosec x = 1/senx; señalar el dominio y el recorrido de esta función.

Dominio Rango ______________________ ________________________

b) Graficar f(x) = sec x = 1/cosx; señalar el dominio y el recorrido de esta función.

Dominio Rango______________________ ________________________

c) Graficar f(x) =cotan x = 1/tanx señalar el dominio y el recorrido de esta función.

Dominio Rango______________________ ________________________

11. Resolver:

a) Graficar sen x, sen 2x, sen 3x; determinar los períodos en cada gráfico.

b) Graficar cos x, cos 2x, cos 3x; determinar los períodos en cada gráfico.




numérico

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

rango, dominio, interceptos

Aplicar conceptos algebraicos para la solución de ecuaciones

justificar algunas soluciones de funciones


Grafica 1

1. ¿Podrías determinar la ecuación de esta función?______________ justifica tu respuesta_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuál es el dominio y rango de esta función?___________________ justifica tu respuesta_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Cuantos cuadrantes utiliza esta función?____________________ ¿cuáles?_________________ __________________________________________________________________________

4. ¿Para que este pueda ser graficada en el cuadrante 3 y 4 que se necesita?____________________ ¿por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El Plano cartesiano Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un plano en cuatro cuadrantes.

A la recta horizontal se le llama eje de las ”x”, o, abscisas y a la recta vertical se llama eje de las “y” u ordenadas. Formando de esta manera

cuatro cuadrantes.

5. ¿Qué significa en la “e” en esta función?_________________________________

6. ¿Qué significa en la “x” en esta función?_________________________________

7. ¿La función anterior es creciente o decreciente? justifica tu respuesta.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Comprueba con el manipulador virtual si las siguientes funciones se pueden graficar y justifica tu respuesta:

a) ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda:

c) __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Determina la pendiente, el intercepto, el dominio y rango de las anteriores funciones.

Que se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es constante (un número positivo) y el exponente la variable x. Sabemos también que las bases más utilizadas para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base el número " e =2,718281 .." (Logaritmos neperianos).

Recuerda:




numérico





La escena que se te presenta a continuación, muestra la función logarítmica y = log x

Grafica 11. ¿El logaritmo de esta función está en base?

__________________________________________ ¿por qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Se puede graficar y = -log x, justifica tu respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿La función y = log x es creciente o decreciente? Justifica___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda:

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo. La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de

base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e =

2’718281.

4. Las funciones exponencial y logarítmica se dice que son una inversa de la otra, ¿será verdad?________ ¿por qué?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Grafica 2

5. ¿Qué diferencias tiene con f(x)=log x?_____________________________________________

6. ¿Qué semejanzas tiene con f(x)=log x?_____________________________________________

7. ¿Cómo crees que variarán las siguientes gráficas sí las graficamos en el manipulador virtual las tres al tiempo?

f(x)= ln (x+1) g(x)= ln (x-2)h(x)= ln (1-x).

8. Puedes cambiar los valores (x+1) o (x-1) por los que desees para probar otros casos. ·¿Cómo crees que variará la gráfica?____________________________________________________________________

9. En particular cambia (x) por (-x). Ahora se producen más cambios ¿por qué crees que ocurre esto?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Grafica en el manipulador virtual “Graficador” las siguientes funciones y responde en cada caso si son crecientes o decrecientes:

Creciente Decrecientea. y = log x² ______________________ ________________________

b. y = log x + 2 ______________________ ________________________

c. y = log x/2 ______________________ ________________________

11. ¿Cuál es la pendiente y dominio de las anteriores funciones?____________________________ justifica tu respuesta________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para graficar una función logarítmica debes tener en cuenta que:


Recuerda:



numérico





Con ayuda del manipulador virtual grafica:

1. Dos funciones que realmente sean paralelas entre sí y escribe el procedimiento________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Escribe la ecuación de cada una_______________ y ______________________3. Halla su dominio y rango____________________________________________4.5. ¿Sus pendientes son iguales o distintas? _________________ justifica tu

respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Determina si las rectas cuyas ecuaciones son 4x – y + 7 = 0 y 7y + 4x – 3 = 0 son paralelas._____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ahora grafica: a. Dos funciones que sean perpendiculares entre sí:

b. Escribe la ecuación de cada unaFunción 1 Función 2

________________________________ _____________________________

c. Halla su dominio y rangoFunción 1 Función 2

Dominio ______________________________________________________Rango ______________________________________________________

d. ¿Sus pendientes son iguales o distintas? _________________ justifica tu respuesta___________________________________________________________________________________________________________________________________

Para que una función sea paralela a otra tiene que tener la misma pendiente, o sea la misma “M” Ejemplos: F(x)= 2x + 2 y

G(x)= 2x + 4

Recuerda:

Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es –1. Entonces la formula seria, Ejemplos:

Dadas las rectas: L1: 5x – 3y = 15 y L2: 3x + 5y = 12, determina si son perpendiculares

Primero se debe convertir cada recta a su ecuación principal, despejando la variable y

La pendiente m corresponde al coeficiente de la variable x, por lo tanto




numérico

Polinomios, algebra, funciones

Reconocer algunas funciones Solucionar ecuaciones aplicando

conceptos algebraicos

La siguiente grafica representa una función:

Grafica 11. ¿Cuál cres que sea el nombre de la anterior función?______________________________

justifica tu respuesta__________________________________________________________

2. ¿Cuál será su pendiente?______________________________________________________ ¿por qué?___________________________________________________________________

3. ¿Cuál será su intercepto con el eje y?____________________________________________ ¿por qué?___________________________________________________________________

4. ¿Puedes comprobar que todas estas funciones son curvas?_______ justifica tu respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Grafica, usando el manipulador virtual “Graficador” las siguientes funciones polinomiales de grado 3:

a) p(x) = x^3 – 3x^2 – x + 3, halla su pendiente e intercepto con eje y

Pendiente Intercepto_______________________ _______________________

b) q(x) = x^3 + 4x^2 + x + 1, halla su pendiente e intercepto con eje y

Pendiente Intercepto_______________________ _______________________

c) r(x) = x^3 - x^2 –x + 1; ¿Que relación tiene esta función con las dos anteriores?

d) s(x) = x^3; g(x) = x^3 – 4x; Compara ambos gráficos y saca sus diferencias y semejanzas

6. Grafica, usando el manipulador virtual “Graficador” las siguientes funciones polinomiales de grado 4:

a. t(x) = x^4 + x^3 - 2x^2 - 2x + 1

b. u(x) = x^4 - x^3 - x^2 + x + 1 , Compara ambas funciones y saca sus diferencias y semejanzas

Diferencias Semejanzas____________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _____________________________

c. f(x) = x^2; g(x) = x^4; h(x) = x^10, Compara ambos gráficos y saca sus diferencias y semejanzas

Diferencias Semejanzas____________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ________________________

las Funciones polinómicas son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a 0 + a 1 x + a 1 x² + a 1 x³ +··· + a n xn Su dominio es

cualquier número real que tiene imagen

Recuerda:



Actividad Nº 2: “Algebra”1. En el listado siguiente de expresiones algebraicas, reconocer aquéllas que son

polinomios e identificar en esos casos el grado y el coeficiente principal.

ExpresiónPolinómicas si/no Coeficiente principal

a(x) = 5x3 – 3x - p

b(x) = V2 x4 + 13 x2 – 5x

c(x) = x2 – 1/x

d(x) = 4

e(x) = 2x - 1

f(x) = 8x2 – 6x5 –x

g(x) =5 Vx

h(x) = x + 5 –3x4

i(x) = x/(x-1)

j(x) = x2 + x – 1

2. Graficar en el manipulador virtual “Graficador”:a. Un polinomio de tres términos, de grado 5 y que tenga un coeficiente

principal igual a 4.

b. Un polinomio de grado 2 cuyo gráfico intersecta al eje x en los puntos (-2,0); (3,0).

En Las Funciones algebraicas las operaciones que hay

Recuerda:

que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones

algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. ejemplo: f(x) = 5x – 2

Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

Ejemplo: 5x - y - 2 = 0



Con ayuda del manipulador virtual “Graficador” indicar si son verdadero o falsas las siguientes afirmaciones:

1) El punto p (0,0) pertenece a la recta y: 3x + 4y = 0 ____________

2) y: 2x – 1 = 0 es paralela al eje x ____________

3) y: 2y + 5 = 0 , es paralela el eje y ____________

4) Las rectas f(x): x - y + 2 = 0 y g(x): 2x – 2y + 4 = 0 son paralelas. _________

5) Las rectas f(x): 2x – 3y – 1 = 0 y h(x): 2x + y + 2 = 0 no son perpendiculares._______

6) Al dibujar dos rectas en el plano cartesiano, estas siempre se interceptan._________



8º a 9º

10º a 11º

Pensamiento Variacional y

numérico

Polígonos, funciones, parábola, concavidad

Repasar conceptos de funciones Aplicar conceptos algebraícos y

numéricos en problemas

Observa las siguientes funciones:

Grafica 1

1. ¿Cuántos polígonos visualizas?__________________ justifica tu respuesta__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuántos triángulos visualizas?_____________ justifica tu respuesta_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Cuántos cuadriláteros visualizas?_________________ justifica tu respuesta_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Enuncia las ecuaciones de las 3 funciones que aparecen en la imagen____________ y_________________ y_________________

5. ¿Que diferencias y semejanzas encuentras en las 3 rectas?Diferencias Semejanzas

____________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _____________________________

6. Con la ayuda de una hoja cuadriculada y luego con el manipulador virtual “Graficador”:

1. Forma un triángulo equilátero con tres rectas cualesquiera:

a. ¿estas obligatoriamente tienen que ser iguales?_________________________________

b. ¿cuales son sus respectivas ecuaciones?_______________________________________

c. ¿Cuáles son sus pendientes?________________________________________________

d. ¿Se puede realizar el manipulador virtual?____________________ ¿por qué?____________________________________________________

e. Intenta para un triángulo isósceles y escaleno___________________________________

2. Forma un cuadrado con cuatro rectas cualesquiera:

a. ¿estas obligatoriamente tienen que ser iguales?______

b. ¿cuales son sus respectivas ecuaciones?_______________________________________

c. ¿Cuáles son sus pendientes?________________________________________________

d. ¿Se puede realizar el manipulador virtual?____________________ ¿por qué?____________________________________________________

3. Forma otros 2 polígonos diferentes a los triángulos, con rectas cualesquiera y explica tu procedimiento y respectivas ecuaciones de las funciones.



8º a 9º

10º a 11º


numérico




Con la ayuda del manipulador virtual “Graficador”:

1. Grafica dos rectas que se intercepten en el punto (3,0) ¿qué concluyes?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Grafica dos rectas que se intercepten en el punto (-2,0) ¿qué concluyes?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Determina si el punto dado pertenece a la recta indicada:

a. (-4, 2); y = -2x – 6

b. (1, 3); y = x – 4

c. (-2, 0); x + 3y + 2 = 0

d. (1/2, -2); 2x + y + 1 = 0

4. Grafica las siguientes funciones y extrae alguna conclusión de los gráficos hechos:

a) y = x

b) y = 5x

c) y = 0,2x

d) y = 0,01x

e) y = 100x

5. Ingresa en el manipulador virtual la siguiente función f(x)= 2x², luego grafica una tras otra las siguientes g(x)= 3x²; h(x)= 5x².

a. ¿Qué cambios notas con respecto a la primera parábola?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b. ¿Se cerraron o se abrieron más las parábolas?________________ ¿esto es debido a qué?_______________________________________________________________________________________________________________________________________

c. ¿Son cóncavas hacia arriba o hacia abajo?___________________________________ ¿porqué?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d. Escribe ahora en la línea de ingreso f(x)= 0.8x²; g(x)= 0.5 x²; h(x)= 0.05x² ¿En qué cambió la 1º parábola con respecto a las otras dos?_______________________________ ¿Se abrieron o se cerraron? _________________________________________ justifica las respuestas___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e. ¿Son cóncavas hacia arriba o hacia abajo?____________________________________ ¿porqué?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La Concavidad: la determina el coeficiente

principal (a). Si a>0 entonces la parábola es cóncava hacia el semieje positivo de las ordenadas (y) ; si a<0 entonces es cóncava hacia el

semieje negativo de las ordenadas. Cuando aumenta el coeficiente numérico de una parábola esta se va cerrando y cuando disminuye (sin llegar a ser negativo)

el coeficiente numérico de una parábola esta se va abriendo

Recuerda:

6. Usando el manipulador virtual “Graficador” grafica las siguientes parábolas:

a. y = 5x2 - 6x + 8 y encuentra la convexidad, vértice, eje de simetría e interceptos con los ejes X e Y

b. Que tenga su vértice en el punto (-1, -2) y sus ramas hacia abajo.

c. Que tenga los interceptos con el eje X en x = 3 y x = 1.

d. Que tenga su eje de simetría en x = -1 y su intercepto con el eje Y sea y = 0.

Institución Educativa: _________________________________________________________Estudiante: _________________________________________________________Grado: ____________ Fecha: _________________ Nota:___________________


8º a 9º

10º a 11º


numérico




1. Relaciona los siguientes funciones con sus respectivas ecuaciones, utiliza el manipulador virtual “Graficador” para que lo compruebes:

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

Gráfica 4

a) y = 2x le corresponde la gráfica ____________________________b) y = x2 + 2 le corresponde la gráfica ____________________________c) y = -x le corresponde la gráfica ____________________________d) y = le corresponde la gráfica ____________________________e) y = log x le corresponde la gráfica ____________________________

f) y = le corresponde la gráfica ____________________________

graficador completo

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