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Gerencia Financiera

Administración de Empresas

Facultad de Ciencias económicas

Sistemas de amortización

Unidad 2

Sistemas de amortización

Las formas de pago de un préstamo son:

1. Pago único

2. Serie uniforme

3. Serie de pagos de amortización constante

4. Serie gradiente (aritmética)

5. Serie gradiente (porcentual o geométrica)

1. Pago único

Son prestamos a una tasa de interés por período, que

se pagan al final del plazo estipulado, tanto intereses

como el principal.

Se puede calcular el valor futuro

como el valor presente :

F = P(1+i)n ≈ F=P (f/p, i%, n)

F = P(1-ia)-n

P

1 2 n períodos

0

F

1. Pago único

Ejemplos:

1. Se hace un préstamo de $2’000.000 al 30% ea. para

pagarlo en un solo pago al final de 5 años. ¿Cuál será el

pago futuro?.

2. Si se deben entregar dentro de dos años $3’500.000 de un

préstamo que se hizo a una tasa del 22% ea., ¿cuál fue el

valor del préstamo?.

3. Si deposito hoy $4’000.000 en una cuenta que paga

anualmente el 20% TA, ¿cuánto acumularé en un año?.

2. Serie uniforme

(1 ) 1(1 )

( / , %, )

n

n

rP A

r r

P A p a r n

(1 )(1 ) 1

( / , %, )

n

n

r rA P

r

A Pa p r n

Anualidades: corresponde a una serie de pagos iguales, que se

desembolsan en períodos de tiempo iguales a una tasa de interés i

con un plazo de n periodos.

P

1 2 n períodos

0

A A A A

Sk= A[ ((1+i)n-k -1) / i(1+i)n-k ]

2. Serie uniforme El saldo de una deuda en una serie uniforme, una vez pagada la

cuota del período k. es:

≈ Sk = A(P/A,i,n-k)

Sk: saldo o deuda después de pagar la cuota del período K, K=1,2,3..n

P

Sk = ?

k pagadas (n - k)

1 2 k k + 1 n

0

A A A A A A

2. Serie uniforme

Otro uso de la serie uniforme son los Fondos de

Capitalización, con los que se tiene depósitos en fin de

periodo que se acumule al final de n ahorros un fondo F.

SI F= P(1+i)n y

y

)%,,/(

1)1(

nrfaFA

rr

FA n

F

0 n períodos

A A

Ejemplo

La financiación de un carro se hace con un pago al recibir el

carro de $2’000.000 y el resto se cancela en 36 cuotas

mensuales de $550.000, el concesionario cobra una tasa del

34.5% mensual. ¿Cuál es el valor del carro?

Un administrador necesita acumular en un fondo

$10’000.000 para comprar un lote en el campo al final de su

carrera (5 años), ¿cuanto deberá ahorrar uniformemente en

una entidad que le reconoce el 2.5% mensual sobre saldos?

Combinación de pago único y serie

uniforme

En la practica los modelos se superponen o combinan,

Ejemplo:

Suponga que un préstamo de un $1’000.000 se paga en

cuotas iguales a una tasa del 2% efectivo mensual,

pero además se hace un refuerzo de $200.000 al final

del plazo que es un año. Cuál es el valor de la cuota

ordinaria mensual? (RESOLVER POR EXECEL)

Series uniformes anticipadas

Anualidades en las que el pago de las cuotas o

depósitos de ahorro se hace al principio de

cada período

Series uniformes anticipadas Como su pago o desembolso se hace al inicio del período, para

realizar los cálculos de valor presente, valor futuro, etc, se puede

crear un período ficticio antes del primer pago o desembolso.

Ejemplo:

Si se paga un prestamo con 9 cuotas iguales a principio de

período, de $250.000 a una tasa del 2% mensual, ¿cuàl fue el

monto del prestamo? (Con el uso de estas formulas tendríamos la

respuesta):


2. Un individuo deposita en su cuenta de ahorro la suma de $ 250 al

principio de cada año. ¿Cuánto tendrá al final de 8 años, si su

Banco le reconoce una tasa de interés del 3%?

A diferencia del caso anterior, aquì creamos un período ficticio,

despues del último depòsito de dinero y llevamos al futuro dichos

valores multiplicandolos por el factor (1+ i).

Formulas que permiten resolver el problema:


Tambien se puede calcular para este tipo de

anualidades el valor de la cuota A, bien sea para

situaciones en las que se trata de un pago o de un

ahorro. Para ello se puede usar las siguientes

formulas (respectivamente) resultados en clase

Calcule la cuota para los dos ejercicios anteriores

Series uniformes anticipadasDe igual forma se puede calcular n, para prolemas donde se conoce el

valor presente o el valor futuro, respectivamente

Ejemplo:Su padre consigna $ 60.000 al principio de cada trimestre en

una cuenta de ahorros que paga el 15% ATV ¿En cuánto

tiempo logrará ahorrar $ 6000.000?

2. Series uniformes diferidas y

perpetuas

Series diferidas:

Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se

efectúa después de transcurrido cierto número de periodos.

Ejemplo:

1. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos

iguales trimestrales de $A cada uno. Si el primer pago se

efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero,

calcular A si la tasa de interés es del 36% ATV.


perpetuas

Desarrollo:

Gráficamente:

F=800000* (1+ 0,09)^3 = 1’036.023, 2

A= 1’036.023,2 *(((1,+0,09)^20 * 0,09 )/((1+0,09)^20-1)) = 113429,69


perpetuas

Series perpetuas:

Son aquellas anualidades que tiene infinito número de pagos.

En realidad, las anualidades infinitas no existen, porque en

este mundo todo tiene fin, pero, se supone que es infinita

cuando el número de pagos es muy grande.

Este tipo de anualidades se presenta, cuando se coloca un

capital y únicamente se retiran los intereses.

VP = A/i


perpetuas

Ejemplo:

Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000

mensuales, suponiendo un interés del 33% AMV.

i = 33%/12 = 2,75%

VP = 10.000/0.0275 = 363.636,36

Ik = I*P [1 – (K-1)/n]Sk= P- KP/n = P*[1-k/n] Ak= iP*[ 1- (K-1)/n] + P/n

3. Series de pago de amortización

constantePrestamos donde el contenido de amortización es igual en todos los períodos. Su valor

se calculó con la formula P/n

Para calcular la primera cuota y el saldo después de pagar dicha cuota, las formulas

son:

S1= P – P/n = P(1-1/n).

S2= P – 2*(P/n) = P*(1- 2/n).

De igual forma:

A2= i * S1 + P/n = i * P*(1-1/n) + P/n

Ahora define la formula para A3 y S3

A1= P*i + P/n

3. Series de pago de amortización

constante

Ejemplo

En un préstamo de $1´000.000 al 37,0908% ATV, que se paga

en 10 cuotas mensuales de amortización constante, ¿cuál

es el valor de la 1 y la 3 cuota? ¿Cuál es el saldo una vez

pagada la tercera cuota?

4. Serie gradiente aritmética

También llamada “progresión aritmética”

Puede ser creciente o decreciente en una cantidad igual de

dinero que llamaremos gradiente “g”

Se trata de calcular Ak y Sk

P

1 2 3 k n - 1 n

0

A1

A2

A3

Ak

An-1

An

Ak= A1 + (k-1)*g


A1= A1

A2= A1 + g

A3= A2 + g = A1 + g +g = A1 + 2g

Ak=?

Puedo descomponer la serie en una parte uniforme del tamaño A1 y

otra parte que corresponde a los aumentos P

1 2 3 n + n

0

A1 A1 A1 g

2g

(n - 1)g


A1: Serie parte uniforme.

Ag: Serie uniforme equivalente a la parte gradiente.

At: Serie uniforme total equivalente a la serie gradiente

original

P

1 2 3 n

0

A1

+

Ag

At


Como hallar A1? Si At = A1 + Ag , entonces At se

maneja como un una serie uniforme A=P(A/P,i,n) y Ag

es igual a:

Ag= g[(1/i) – (n / ((1+i)n -1)] ≈ Ag = g(A/g, i,n), ahora

A1= P[ i(1+i)n/((1+i)n-1)] - g[(1/i) – (n / ((1+i)n -1)]

Equivalente a A1= P(A/P,i,n) - g(A/g, i, n)

Ejemplo

Un préstamo de $1000 a una tasa anual del

30%, para pagarlo en 5 cuotas anuales que se

incrementan $200, ¿Cuál es el valor de la

primera y la última cuota?

¿Cómo se resolvería el ejercicio si tuviésemos

que hallar el valor de todas las cuotas? (por

excel)


También podemos hallar un valor presente y futuro,

así:

Ejemplo

Una deuda que se cancela en 5 cuotas anuales que

crecen $200 cada año, siendo la primera cuota

$112,52, ¿cuál es el valor de la obligación si la tasa

anual es del 30%? (hacer por excel)

Si se abre una cuenta con $112,52 el fin de año y

posteriormente se hacen cuatro depósitos anuales que

aumentan $200 cada año y el banco reconoce una tasa

anual del 30%, ¿cuánto acumulara al final del 5 año?


También podemos calcular el saldo de la deuda Sk una vez

pagada Ak:

Sk=(A1+K*g + g(A/g, i , n-k))/(A/P, i , n-k)

P

Sk=?

n - k

pendientes

1 2 3 k k+1

0

Ak

AK +1

k pagados

An

Ejemplo:

Para los datos del primer ejemplo de serie

aritmética calcula el saldo después de pagar la

3 cuota.

Nota: la serie gradiente aritmética decreciente

tiene las mismas formulas de la creciente,

pero se cambia g por -g

5. Serie gradiente porcentual También llamada “Serie de pagos en progresión geométrica”.

Las cuotas se incrementan o decrecen un porcentaje igual cada

período, dicho incremento lo designaremos por igP

1 2 K K+1 n-1 n

0

AK

AK +1

An -1

An

Intentamos calcular el saldo Sk y la cuota AkA1= A1

A2= A1 + A1*ig = A1*(1+ig)

A3= A2 +A2*ig = A2*(1+ig)= A1*(1+ig)2

Ak=? Ak= A1*(1 + ig)k-1

¿Cómo hallar A1?

Si traemos a valor presenta cada cuota, el valor de esta será Pk,

Por tanto P = ΣPk y a su vez Pk= Ak(1+i)-n

Entonces: Pk= {A1(1 + ig)k-1}*(1+i)-k , luego

P= Σ A1(1 + ig)k-1}*(1+i)-k

P= A1Σ(1 + ig)k-1}*(1+i)-k

A1= P/ Σ(1 + ig)k-1}*(1+i)-k

Resolviendo la sumatoria: A1 = P [ (i – ig) / (1- ((1+ig)/(1+i))n)]Sólo valido para i ≠ ig

De la formula anterior se puede despejar P y hallar un valor

presente P= A1[(1-((1+ig)/(1+i))n)/(i-ig)]

Ejemplos1.En la compra de un vehículo, usted paga una cuota inicial de

$6’000.000 y el resto lo paga en 36 cuotas mensuales quese aumentan en 5% cada mes. Si la primera cuota es de$550.000 y el concesionario cobra una tasa de interés de4% mensual, ¿cuál es el valor de la deuda?

Nota: para el desarrollo se debe sumar la cuota inicial a laformula.

2. Un préstamo de $1000.000 para pagarlo en cinco cuotasanuales que se van incrementado el 20% anual, si la tasa deinterés es de 14.017543% efectiva semestral, ¿cuál es elvalor de la primera y la quinta cuota?

Igualmente podemos calcular el saldo después de pagar la

cuota Ak

Nota: Si la serie es creciente se aplica i - ig y si es decreciente

se cambia a: i + ig

P

Sk=?

n - k

pendientes

1 2 3 k k+1

0

Ak

AK +1

k pagados

An

La formula

Ejemplo:

Para el préstamo de $1´000.000 ¿cuál es el saldo

una vez paga la tercera cuota?

(1+ig) n-k

Sk =A1 (1 + ig)k

1- (1 + i)

i - ig

También puedo calcular un valor futuro

ii

iiAF

g

nng

gg

)1()1(1

Comparación

El saldo en serie uniforme y una amortización constante es

________ y siempre será _________al préstamo inicial. Es

posible que esto mismo ocurra para los pagos en forma

gradiente, pero no es lo usual, lo normal es:

Sk

P

k

0 1 2 3 n

El intervalo I el saldo es creciente: Sk> Sk – 1 > P, la amortización ak es ____. La cuotaes totalmente ____, entonces Ak = Ik < i*Sk–1.

El. Intervalo II es decreciente P< Sk <Sk – 1. La amortización es ____ la cuota deinterés es igual a ___ . La cuota paga intereses acumulados e intereses del periodoAk=Ik>i*Sk-1

El intervalo III Saldo decreciente e inferior a P, P>Sk-1>Sk. La amortización es ____,entonces ak= Sk -1 – Sk y los intereses de la cuota son Ik= Ak – ak = i*Sk-1

Sk

P

k

0 I II III n

Cuadro de amortización

Cont. Interes Cont. Amortiz

k Ak Sk Ik ak

0

1

2

2

4

5

6

7

8

9

10

TOTAL

En la cuota Ak

Fin de perído

Intereses del

peíodo Pago cuota

Saldo despues

de pago

Prestamos con UVR

Ejemplo

EJERCICIO UVR1.xls

Prestamos con LeasingArrendamiento Financiero o Leasing:

Es una modalidad de contrato de alquiler con opción de compra, que

permite la financiación de bienes (muebles o inmuebles)

Dicha opción se ejerce cuando se paga el valor residual, que suele ser

igual al valor de una cuota, y es el último pago que se hace. En ese

momento la empresa que hace el pago es la propietaria del activo. Si la

empresa no lo desea, puede no ejercer la opción de compra y devolver el

bien a la entidad financiera del leasing.

Prestamos con Leasing Las cuotas que paga quien tomo el leasing, deben cubrir el coste del bien

(excluyendo el valor de la opción de compra) y los intereses que se

generen en la operación.

Las cuotas que se pagan deben permanecer constantes o ser crecientes a lo

largo del contrato.

Los contratos de arredramiento financiero tendrán una duración mínima

de dos años cuando sean sobre bienes muebles y de diez años cuando sean

sobre inmuebles o establecimientos industriales

Modalidades de contratos de leasing

Leasing financiero: una sociedad especializada adquiere el bien que

requiere un usuario y se lo arrienda, pero no corre con los gastos de

mantenimiento o reparación. Al final del contrato, el cliente o arrendatario

puede ejercer o no la opción de compra y no suele ser posible la

renovación del contrato. Por lo tanto, el bien se suele amortizar en un solo

contrato.

Leasing operativo: promovido normalmente por el fabricante o

distribuidor. Consiste en ofrecer en arrendamiento un bien con opción de

compra, generalmente a corto o mediano plazo, incluyendo el

mantenimiento y reparación del mismo. Este leasing en revocable por el

arrendatario en cualquier momento (con previo aviso), por lo tanto, suelen

precisarse varios contratos para la amortización total del bien

Modalidades de contratos de leasing

Leasing- back o retroleasing: representado por la venta de un bien por

parte del propietario del mismo, a una compañía de leasing, para que esta

realice un arrendamiento con opción de recompra sobre dicho bien.

Ventajas y desventajas del leasing

Ventajas:

Se financia el 100% del valor del activo

Son contratos flexibles, adaptables a las necesidades del usuario

Presenta un tratamiento fiscal favorable, etc.

Desventajas:

El carácter irrevocable que presenta el leasing financiero

La existencia de cláusulas penales, en caso de incumplimiento de

las obligaciones del contrato

Un costo a veces mayor que el de otras fuentes de financiación, etc.

Casos de un crédito leasing

a) Cuando todas las cuotas, incluido el OC son

iguales Donde:

Vc: es el valor del contrato

OC: es la opción de compra,

que generalmente es igual al

valor de las cuotas K.


b) La opción de compra no es igual al resto de

pagos:


c) La cuota inicial no es igual al resto de pagos


d) La cuota inicial y la opción de compra no son

iguales al resto de pagos

Ejemplo

Se adquieren con un contrato de arrendamiento financiero equipos

informáticos por valor de 30.000 €. Las condiciones de pago de las

cuotas son las siguientes:

Duración del contrato 2 años

Pagos semestrales prepagables con una cuota al final (OC)

Interés semestral de 5%

Ejemplo

Se pide:

Calcular el valor de las cuotas y construir el cuadro de amortización

Calcular la tasa de interese y la tabla de amortización, si las cuotas

semestrales son de 7000 y la opción de compra es de 4000

Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización si el

primer pago es de 10000 y la opción de compra es de 2000

Calcular el valor de las cuotas, incluida la OC y construir la tabla de

amortización, si el primer pago es de 8000

Ejemplo

Desarrollo:CUADRO DE LEASING A

Valor del

activo 30.000

Tasa de interés 5%

K 6.952,66

PERIODO SALDOINTERE

SES

AMORTIZA

CIÓN

CUOTA

PAGO

0 23.047,34 6.952,66 6.952,66

1 17.247,05 1.152,37 5.800,29 6.952,66

2 11.156,74 862,35 6.090,31 6.952,66

3 4.761,92 557,84 6.394,82 6.952,66

4 0,01 238,10 4.761,90 5.000,00

2.810,65 29.999,99 32.810,64

Ejemplo

Se pueden usar las formulas para series uniformes anticipadas

VP = A *[ ((1+i)n -1 -1)/((1+i)n-1*i) ]+ A

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