Geometría y Grupos de Lie

Raúl Quiroga Barranco

Centro de Investigación en Matemáticas

Introducción

• El objetivo de esta plática es mostrar la relación entre el concepto de Geometría en un espacio y la noción de Grupo de Lie.

• Veremos que tales nociones son conceptos que están fuertemente relacionados.

Variedades

• En su forma mas elemental, el concepto de Geometría se construye sobre variedades diferenciables.

• El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es el dado por la gráfica de una función suave.

Ejemplos de Variedades

• También son variedades aquellos subespacios de Rn que localmente se pueden ver como gráficas de funciones suaves.

Ejemplos de Variedades

• No toda variedad es el conjunto de ceros de una función suave.

• No todo conjunto de ceros de una función suave es una variedad.

Variedades abstractas

• Más generalmente, una variedad es un espacio localmente Euclideano con cambios de coordenadas suaves. Esto permite desarrollar cálculo diferencial e integral en una variedad.

Grupos de Lie

• Un Grupo de Lie G es un espacio que es variedad y grupo a la vez, con estructuras compatibles. Es decir, las operaciones de grupo son mapeos suaves.

Ejemplos de Grupos de Lie

Grupos de Lie y Geometría

• es el grupo de transformaciones que preservan volumen en Rn.

• es el grupo de movimientos rígidos en Rn.

• es el grupo de movimientos rígidos en el espacio de Minkowski (R4,I1,3).

Geometría Esférica

• La esfera n-dimensional Sn ½ Rn+1 posee una distancia definida por:

• Podemos medir ángulos entre curvas en Sn con el producto interno de Rn.

• Las curvas más cortas son círculos máximos.• es el grupo de transformaciones de Sn que

preserva tal Geometría.

Geometría Hiperbólica

• El espacio hiperbólico n-dimensional se puede definir como:

• Posee una distancia y ángulos entre curvas definidos como antes.

• Las curvas más cortas son la intersección de Hn con planos en Rn+1 que pasan por el origen.

• es el grupo de transformaciones de Hn que preserva tal Geometría.

• Hn es definido por la condición:

Geometrías y Grupos

• Klein observó que en los ejemplos anteriores y en muchos más, la Geometría está codificada en el grupo de transformaciones que preserva sus invariantes.

• Podemos recuperar la Geometría de un espacio X si sabemos el grupo G de “isometrías” y su acción sobre X.

Geometrías de Klein

• Una Geometría de Klein es un par (G,H) de grupos de Lie con H es subgrupo cerrado de G.

• El espacio de la Geometría de Klein es X = G/H.• Los invariantes geométricos son aquellas

estructuras u objetos sobre X que sean invariantes bajo la acción de G.

Haz tangente• Si X ½ Rn es una variedad, el espacio tangente a X en un punto x0

es el subespacio afín Tx0X que mejor aproxima a X en x0.

• Para cualquier variedad X, es espacio tangente Tx0X se puede

definir mediante clases de equivalencia de los siguientes objetos en X:– Curvas.– Cartas o sistemas de coordenadas.– Operadores de orden 1.

• El haz tangente de X se define por la unión disjunta:y representa la “linealización” de X.

• El haz tangente de S1 es difeomorfo al cilindro.

Haz lineal de referencias.

• Para estudiar las propiedades del haz tangente TX, se introduce el haz lineal de referencias:

• El grupo Gl(n,R) actúa por la derecha sobre L(X) por composición de mapeos lineales.

Haz lineal de referencias.

• Las órbitas de Gl(n,R) en L(X) son precisamente las fibras de la proyección natural L(X) ! X.

• L(X) es una forma alternativa de “linealizar” a la variedad X, cuya ventaja es emplear grupos.

Haces Principales

• Un haz principal sobre X es dado por un esquema como el anterior:

• Propiedades:– H actúa sobre P con cociente X, i.e. X = P/H.– P es localmente difeomorfo a X£H bajo

difeomorfismos H-equivariantes.

Ejemplo básico de haz principal

• Si H es subgrupo cerrado de un grupo de Lie G, entonces el esquema:

define un haz principal.• Dadas las Geometrías de Klein, esto sugiere usar haces

principales para definir Geometrías en espacios más generales que los homogéneos.

Estructuras Geométricas

• Una H-Estructura Geométrica en X es una reducción suave

del haz

a un subgrupo cerrado H de Gl(n,R).

Ejemplos de Estructuras Geométricas

• Las siguientes valores de H definen las estructuras geométricas indicadas:

Ejemplo: Métricas Riemannianas

• Sea P una reducción de L(X) al subgrupo O(n). Dado L1 en la fibra de P sobre x0 el isomorfismo L1 : Rn ! Tx0

X define un

producto interno en Tx0X.

• Para cualquier otra elección L2 en la fibra sobre x0 existe A 2 O(n) tal que el siguiente diagrama conmuta.

• Por tanto, el producto interno en Tx0X no depende de la

elección de L.

Isometrías

• Todo difeomorfismo : X ! X define un difeomorfismo:

donde L esta en la fibra sobre x0.• La acción de (1) desciende a la de .• Las acciones de (1) y Gl(n, R) conmutan.

Isometrías• Dada una H-estructura P½L(X), el difeomorfismo : X ! X es una

isometría si (1)(P) = P. En tal caso, el siguiente diagrama conmuta, para cualesquiera L1,L22P en las fibras correspondientes.

• También tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

Grupos y H-Estructuras

• Algunos problemas generales:1. Condiciones para la existencia de una H-estructura.2. Estudiar las propiedades del grupo de isometrías de

una H-estructura.3. Dada una G-acción sobre X, determinar las H-

estructuras invariantes.4. Clasificar las H-estructuras por sus propiedades.5. Determinar las H-estructuras que admiten una

conexión o invariantes similares a una conexión.• En tales problemas hay dos enfoques:

1. Fijar H y estudiar las H-estructuras.2. Considerar diferentes posibles grupos H. En este

caso, podemos fijar una G-acción sobre X.

Geometría y Sistemas Dinámicos

• Dado un grupo G, nos interesa estudiar las G-acciones (la dinámica de G) empleando estructuras geométricas.

• Opciones para G:– G compacto. Topología de G es interesante, pero la

dinámica de G-acciones es “trivial”.– G soluble. Dinámica interesante pero “relajada” en

exceso.– G semisimple sin factores compactos. Dinámica

interesante y con propiedades rígidas.

Programa de Zimmer

• Clasificar las variedades compactas X que admiten una acción de un grupo de Lie G simple no compacto.

• Conjetura: Todas las acciones son de tipo algebraico:

1. X = K\H/, G subgrupo de H, K½CH(G).2. X = G/P, P parabólico.3. Construcciones algebraicas o topológicas

(cirugía) de los ejemplos anteriores.

Grupos Simples y Superrigidez

• Enunciaremos algunos resultados que muestran que la dinámica de los grupos semisimples sin factores compactos es rígida.

• Algunas de la herramientas empleadas:– Teoría ergódica.– Geometría algebraica.– Estructuras geométricas con (algún tipo de) conexión.– Teoría de grupos algebraicos.– Teoría de representación de álgebras de Lie.– Flujo de calor y mapeos armónicos.– Geometría de foliaciones.– Geometrías de grupos discretos (gráficas de Cayley).

Grupos Simples y Superrigidez

Teorema (Zimmer):Sea G un grupo de Lie semisimple conexo y sin factores compactos. Si G preserva una H-estructura (H algebraico) y una medida finita sobre una variedad X, entonces existe un encaje local G ! H

Teorema (Zimmer):Sea G un grupo de Lie semisimple conexo y sin factores compactos. Si G preserva una medida finita suave sobre una variedad X, entonces G actúa localmente libre sobre X. En particular las G-órbitas en X definen una foliación.

Grupos Simples y Superrigidez

Teorema (Zimmer):Sea G un grupo de Lie simple conexo y no compacto. Si G preserva una métrica de Lorentz sobre una variedad compacta X, entonces G es localmente isomorfo a Sl(2,R).

Grupos Simples y Superrigidez

Teorema del Centralizador (Gromov, Candel-Quiroga):Sea G un grupo simple conexo no compacto que actúa analíticamente sobre una variedad X preservando (algún tipo de) conexión y un volumen finito. Entonces en el recubrimiento universal de X existe un grupo local G de isometrías tal que:

1. El grupo local G es 1(X)-invariante.2. La acción de G centraliza a la acción de G.3. Las G-órbitas contienen a las G-órbitas.

Teorema (Gromov, Candel-Quiroga):Con G y X como antes, existe una representación : 1(X) ! Gl(m,R) cuya imagen posee una cerradura de Zariski que contiene un grupo localmente isomorfo a G. En particular, 1(X) no es “amenable”.

Grupos Simples y Superrigidez

Teorema (Quiroga):Con las hipótesis anteriores, supongamos además que n0=m0, donde n0, m0 son las dimensiones de los conos nulos de X y G, resp. Entonces existe una fibración principal:

donde H es un grupo de Lie, K es compacto y es un subgrupo discreto. Es decir, hasta un recubrimiento finito tenemos

X = K\(G £ H)/

Grupos Simples y Superrigidez

Teorema (Quiroga):

Con las hipótesis anteriores, supongamos ahora que X es irreducible. Entonces:

• dim X ¸ dim G + dim V, donde V es un G-módulo irreducible no trivial de dimensión minimal.

• Si dim X = dim G + dim V, entonces G = SO(p,q) (hasta recubrimiento finito) y el recubrimiento universal de X es Spin(p,q+1) o Spin(p+1,q).

Este resultado concluye que la variedad X misma es esencialmente un grupo de Lie.