geometria segmentos - angulos

7/30/2019 GEOMETRIA SEGMENTOS - ANGULOS

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Conceptos Geomtricos Fundamentalesngulos en el Plano-Congruencias en el ngulo

CONCEPTOS FUNDAMENTALESDEFINICIN:La Geometra es una parte de la

matemtica que estudia las propiedades yrelaciones de las llamadas Figuras Geomtricas.

CONCEPTO ETIMOLGICO:La voz Geometra proviene del griego:

Geos : = Tierra y Metron : = Medida.Etimolgicamente significa:

Medicin de la Tierra

DIVISIN:Se divide en dos grandes campos:

Geometra Plana o Planimetra: Que se ocupade todas aquellas figuras cuyos puntos sehallan en un mismo plano.Geometra del Espacio o Estereometra: Quese ocupa de todas aquellas figuras cuyospuntos no se hallan en un mismo plano.

OBJETIVO DE LA GEOMETRA:Consiste en el estudio de las propiedades de lasfiguras geomtricas y la medida de su extensin,utilizando el mtodo Racional.

DEFINICIONES PRELIMINARES:

PUNTO : Es un concepto abstracto cuya existenciaaceptamos dotndolo de la propiedad de ser tanpequeo que no tiene dimensin y se representamediante una marca designada por la letra mayscula

. A se lee punto A

LNEA: Es el conjunto de infinitos puntos dispuestosiguiendo la trayectoria descrita por el desplazamientode un punto .Una lnea limitada tiene por extensin sulongitud. Entre los tipo de lneas tenemos:

1. La Lnea Recta:

2. Lnea Curva:

3.- La Lnea Quebrada :

4. La Lnea Mixta:

C

D

SUPERFICIE: Es el conjunto de infinitos puntosgenerados por el desplazamiento de una lnea. Cuandosta es limitada ; su extensin es el rea

LNEA RECTAEs un conjunto de infinitos puntos siguiendo unatrayectoria igual a la que describe un haz de luz en elvaco.. Tambin se define como una geomtricaformada por una sucesin de puntos que siguen unamisma direccin

A B

Notacin: Recta AB =

AB

SEMIRRECTA:Decimos que un punto P de una recta L 1 conjuntamentecon algn otro punto C de la misma, determina lasemirrecta P

Donde: PC semirrecta PC

203

SEGMENTOS NGULOS CAPTULO I

OBJETIVOS: Al finalizar el presente captulo, el alumno estar en la capacidad de:

Comprender los conceptos de los segmentos y ngulos.

Reconocer las operaciones que se pueden realizar con los segmentos y ngulos

Comprender los conocimientos demostrando habilidad para el manejo de informacin

en la solucin de los problemas planteados en clase.

A

B

A

B

P CL

1


2/7

JP JE

n

JO

n 11 +=+

La circunferencia pequea encima de P indica queeste punto no es origen y la flecha de P hacia C sealael sentido .SEGMENTO DE RECTA:Definicin: Dados dos puntos diferentes A y B de unamisma recta se denomina segmento AB, denotadocomo AB , al conjunto de los puntos: A , B y todos loapuntos que estn comprendidos entre A y BEn la figura adjunta A y B son los extremos delsegmento AB pertenecientes al segmento

La longitud de AB es una cantidad positiva queexpresa la distancia entre A y B

A BNotacin: AB = segmento AB

OPERACIONES CON SEGMENTOS:Los segmentos se pueden operar bsicamente a nivelde Adicin y Sustraccin.

Adicin : Dados los segmentos AB y BC ,tal que B est entre A y C , se establece laadicin de estos segmentos , denotada por

AB BC , al segmento AC , llamadosegmento suma que se constituye como elconjunto de puntos comprendidos entre A y C

AC = AB BC

Grficamente:

m( AC ) = a + b

Diferencia : El segmento mayor y elsegmento menor origina otro segmento menor

AB ACBC = o tambinm( BC ) = ( a + b ) - a

CASOS PARTICULARES1.- Si en una recta se tienen los puntos consecutivos A,B ,C y D el segmento EF que une los puntos

medios de CDyAB , se puede expresar de lasiguiente manera:

2.- Si en una recta se tienen 4 puntos consecutivos A,B, C y D; y adems "C" es punto medio delsegmento BD , entonces se cumple la siguienteigualdad:

A B C D

DIVISIN ARMONICA

Sean A, B, C, y D puntos colneales y consecutivosconstituyen una Cuaterna Armnica si se cumple :

RELACIN DE DESCARTES :La relacin de Descartes se establece bajo las mismascondiciones de la divisin armnica y de donde sededuce la siguiente relacin:

AC

2

AD

1

AB

1=+

B D A C

PROPIEDADES :

1. Si :

Y adems :

se cumple :

2. Si :

Y adems :

se cumple :

204

A B C

ba

3ro4to

2do1ro

=

CDAD

BCAB

=

A 2dod 3 ror

4 tot

B

C

D

1 ror

)2BC2AC(22AD2AB +=+

A B C

ba

2

B DA Cx

+=

x

A E B C DF

E

O

E OPJ

OP

JP n

EO

JE = n R

+

OE PJ

OP

JP

EO

JE

n=

n

JP

n

JE JO

n

+=1


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TEOREMA DE NEWTON :Siendo C y D conjugados armnicos de A y B, yadems O es punto medio de AB , entonces secumple:

OD.OC AO2 =

DIVISIN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMARAZN:

Si el punto O se encuentra entre los puntos A y B, delmodo que OB AO > ( AO es seccin aurea del AB ).Si se cumple la siguiente relacin : OB AB AO .

2=

, entonces :

EJERCICOS DE RESUELTOS

PROBLEMA N 01Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, E,R y U tal que : ER RU PE 2=+ y 21=+ RU PR .Calcular la longitud de ER .

Resolucin:1er Paso) Se grafica la recta tomando en cuenta lascondiciones del problema2do Paso) Asignamos una variable a cada uno de lossegmentos :

3er Paso) Reemplazamos cada una de las variablesasignadas, en las ecuaciones dadas por el problema :

ER RU PE 2=+ y z x 2=+ ........... ec. 1

21=+RU PR 21=++ z y x ............ ec. 2

4to Paso) Reemplazamos la ec. 1 en la ec. 2 :

21=++ z y x212 =+ y y

213 = y

7= y

PROBLEMA N 02El segmento AB mide 20cm, el segmento AM = 15cm ;cunto mide el segmento AN, siendo N elconjunto armnico de M con relacin a AB.

Resolucin:1er Paso) Se grafica la recta tomando en cuenta lascondiciones del problema2do Paso) Asignamos una variable a cada uno de lossegmentos :

3er Paso) Si x = AN BN = x - 204to Paso) Aplicamos relacin de laDivisin armnica

205

15

== x x

BN AN

MB AM

x x =603 602 = x 30= x

DEFINICIN:El ngulo e s el espacio formado por dos rayostrazados desde un mismo punto llamado vrtice.Tambin se llama ngulo a la abertura que forma dosrayos que tiene el mismo origen .

Notacin:

AOB

AOB

ELEMENTOS:1. Lados : Son los rayos:

OA ,

OB

2. Vrtice : Es el punto comn a los dos rayos : O

3. Abertura Medida : Es

CONGRUENCIA DE NGULOS :Dos ngulos son congruentes cuando tiene igualmedida

BmAm BA = Se lee El ngulo A es congruente al ngulo B si solo sila medida del ngulo A es igual a la medida del nguloB

205

APRENDIENDO A RESOLVER RESOLVIENDO!

COB

X X

DA

O BA

AB AO .2

15

=

E R UP

YX Z

M B NA515 X - 20X

A

B

O

A

40 o

B

40 o


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BISECTRIZ DE UN NGULO:Es el rayo que partiendo del vrtice divide al ngulo endos ngulos congruentes.

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS:Segn su Medida :

1. ngulo Nulo o Perigono:Es aquel ngulo cuya medida es 0 O.

O B A

AOB = 0

2. ngulo Convexo :Es aquel ngulo cuya medida es mayor de 0 peromenor de 180.

0 < < 180

A su vez puede ser: ngulo Agudo: Es aquel ngulo cuya

medida es mayor que 0 pero menor que 90. A

O B

0 < < 90

ngulo Recto : Es aquel ngulo cuyamedida es 90, es:

B AOB = 90

O A

ngulo Obtuso: Es aquel ngulo cuyamedida es menor de 180, pero mayor de 90.

90 < < 180

3.- ngulo Llano: Es aquel ngulo cuya medida es180.

B O A

AOB = 180 4.- ngulo Cncavo: Es aquel ngulo cuya medida

es mayor de 180 pero menor de 360.

180 < < 360

5.- ngulo de una Vuelta: Es aquel ngulo cuyamedida es 360.

II. Segn su Posicin:1. ngulos Consecutivos:Son varios ngulos que tienen el mismo vrtice yun lado comn dos a dos, es decir uno acontinuacin del otro.

2. ngulos Adyacentes:Son dos ngulos que tienen un mismo vrtice y unlado comn. Estos estn situados a diferentessentidos del lado comn.

A

B 0 C

3. ngulos Opuestos por el Vrtice:Son dos ngulos originados al trazar dos rectassecantes, dichos ngulos son congruentes.

III. Segn sus Caractersticas:1.- ngulos Complementarios: Los ngulos son

complementarios cuando la suma de sus medidases 90.

+ = 90

206

A

X

B

O

OX = Bisectriz AOX = XOB

O

D

C

O1

BA


5/7

2

4

3

6

5

7

8

1

= = + =180 + =180

= =

Propiedad: Si el Complemento es par : es el ngulo

C x = par.......... = x Si el complemento es impar : es 90 O

menos el nguloC x = Impar ....... = 90 O x

El complemento de un ngulo " " es:

90 -

2. ngulos Suplementarios: Los ngulos sonsuplementarios cuando la suma de sus medidas es180.

+ = 180

Propiedad : Si el Suplemento es par : es el ngulo

S x = par .......... = x Si el Suplemento es impar : es 180 O

menos el ngulo S x = Impar ....... = 180 O x

Propiedades especiales :1. Si SC X = y y = 90 + x

Adems : RnSC =

no R += 902. Si CS X = y y = x - 90

Adems : RnCS =

On R 90= 3. Si:

=SSCSC SCSSCCCCCS

CSC =

NGULOS FORMADOS POR DOS RECTASPARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Si las rectas L 1 y L 2 son paralelas y estn cortadas por una secante se determinan ocho ngulos.

L 1

L 2

I. ngulos Internos* Alternos Internos * Conjugados Internos

63 omm 18064 =+ 54 omm 18053 =+

II. ngulos Externos

* Alternos Externos * Conjugados Externos

72 omm 18082 =+ 81 omm 18071 =+

Correspondientes51 ; 62

73 ; 84

PROPIEDADES:1. Si L 1 // L2

2. Si : L 1 // L2

ngulos de Lados Paralelos1.

2.

3.

ngulos de lados perpendiculares

1. 2.

3.

207

O D

C

O1

B

A

fa + b + c = d + e + f a + b + c = d + e + f

a + b + c = ea + b + c = e

+ =180 + =180

= =

= =


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208


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EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA N 01Se tiene los ngulos suplementarios KOV, VOC, cuyasmedidas se diferencian en 10 . Calcular la medida delngulo obtuso.Resolucin:1er Paso) Se grafican los ngulos, asignado unavariable a cada uno de ellos :

2do Paso) Planteamos las ecuaciones tomando encuenta las condiciones del problema :

o10= ..... ec. 1 o10=+ ..... ec. 2

3er Paso) Sumamos la ec. 1 y ec. 2 :o1902 =

o95 =

PROBLEMA N 02Encuentre dos ngulos donde la suma de ellos equivaleal triple de la suma de sus complementos y adems eldoble del complemento de uno de ellos excede en 12 alsuplemento del otro ngulo.Resolucin:Planteamos las ecuaciones que me ayudarn a calcular los valores de los

ngulos y

)9090(3 +=+ .... Ec.1 12180)90(2 += ..... Ec.2 8649 == y Rpta.

PROBLEMA N 03Dados los ngulos consecutivos BO A Y C O B ,tenemos : O BOC m 90= la bisectriz ON del BOC es OAa . Hallar el ngulo formado por la bisectriz del

ngulo BO A

con ON.

1er Paso)Como ON es bisectriz de BOC CON = NOB =45

2do Paso)si NOB = 45

BOA = 45

3er Paso)OM es bisectriz del AOB: AOM = MOB = 22.5

4to Paso)Ahora hallamos x: MON = X = 45 + 22.5 = 67.5 Rpta

209

APRENDIENDO A RESOLVER RESOLVIENDO!

V

KO

C

O95VOKobtusoesKOVel =

A

C

45

N

B

M45

22.522.5

x

O

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