geometria rm en triangulo rectangulo
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7/23/2019 Geometria Rm en Triangulo Rectangulo
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SAN MARCOS
SEMANA
RELACIONES MTRICAS
EN TRINGULOS
1. En el rectngulo ABCD donde
BC = 2AB = 8, calcule x si O
es el centro del arco ED.
A) 2,6 B) 2,8 C) 3,0
D) 3,2 E) 1,2
RESOLUCIN
* MAO:
2 22x 2 2 8 x
x 3,2 RPTA.: D
2. Se tienen 2 circunferenciassecantes y congruentes de radiocuya medida es 8 m y la distanciaentre sus centros es 10 m.Calcule la medida de la cuerdacomn.
A) 2 13m B) 6 m
C) 2 15m D) 2 39m
E) 39m
RESOLUCIN
MN = x
xMH 2
1 2O H HO 5
1MHO :
2
2 2x 8 52
x 2 39 RPTA.: D
3.
En un tringulo acutngulo ABC laproyeccin de AB sobre BC midela cuarta parte de BC. Calcule BC
si: 2 2
AC AB 8
A) 2 B) 4 C) 8D) 16 E) 6
RESOLUCIN
* Por Euclides: (< 90)
2 2 2 xAC AB x 2x
4
2
2 2 2 xAC AB x2
C
A
B
D
x
E O
M
x
x4
A
B
C
C8
A
B
D
x2M
2
2
x
8
(8-x)
4
o
8 8
M
1O 2O
10 H
N
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2x8 x 4
2
RPTA.: B
4. En el grfico, calcule HR, si:
BQ 1 y QC =2
A) 6 B)6
2
C) 63
D) 66
D)6
12
RESOLUCIN
* BHC(Thales):
1 x
2 RC RC 2x
* HQC :
22 3x 2x
24
x6 6
x3
RPTA.: C
5. En una circunferencia de dimetroAB y centro O, se traza la
cuerda AC y CH AB .
Calcule la distancia de O a ACsiAH = 3 y HB = 4.
A) 7 B) 2 3 C) 3
D) 2 7 E) 5
RESOLUCIN
* ACB:
2
2x 4 7
x 7 RPTA.: A
6. En el tringulo rectngulo ABCrecto en B, se traza la altura BH y
la mediatriz de BHque intersecta
a BCen P. Calcule 2 2
AP HP
si AB = 4
A) 16 B) 4 C) 8
D) 12 E) 32
RESOLUCIN
Sea: 2 2
x AP HP
ABP:
2 224 HP AP
2 2
16 AP HP
x =16RPTA.: D
7. En el rectngulo ABCD de
permetro 20, se traza CE
B
CAH
Q
R
B
CA
1
xH
2
Q
R
2x
x
C
OH3 4
A B
P
B
A H C
4
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perpendicular a BD siendo
AC CE 5 . Calcule BD.
A) 2 15 B) 9 C) 3 10
D) 4 5 E) 2 10
RESOLUCIN
* 2a 2b 20 a b 10
2 2a b 10
2 2a b 2ab 100
2x 2 BD.CE 100 2x 2(5) 100
x 90 3 10 RPTA.: C
8. En el trapecio ABCD donde lasdiagonales se intersectan
perpendicularmente BC // AD ,se traza la altura CE siendoAE = 4, ED = 7 y BC = 2.Calcule CE.
A) 2 3 B) 3 2 C) 2 6
D) 6 E) 5
RESOLUCIN
* Se traza CP //BD
* Por paralelogramo BCPD:BC DP 2 mACP mAOD 90
ACP:2
x AE ED 2x 4 9 x 6
RPTA.: D
9. En el cuadriltero ABCD donde lasdiagonales se cortan en O,calcule OP si P es el punto
medio de DC, AB= 6 2, BC = 6,
CD = 8 y AD = 10.
A) 5 B) 3 2 C) 4D) 6 E) 4 2
RESOLUCIN
* Se cumple:
2
2 2 26 10 6 2 8
m DOC 90 * DOC:
DC 8x 4
2 2
RPTA.: C
10. En el tringulo rectngulo ABCrecto en B, se trazan: la altura BHy la bisectriz interior AS que seintercectan en P. Calcule BP siAS. PS = 36
A) 3 2 B) 3 3 C) 6
aa
b
b
C
DA
B
x
E
2
XO
EA D P
2
CB
4 7
6
10 8
CP
A
62
O
x
D
B
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D) 4 2 E) 3
RESOLUCIN
* BPS: (Issceles)
PSBP BS x;PM MS
2
* ABS: 2
BS AS HS
2 PSx AS2
2 AS PS 36x 18
2 2
x 3 2 RPTA.: A
11. En un romboide ABCD se cumple:
2 2
BC AB 4 AC . Calcule la
longitud de la proyeccin de BD
sobre AC
A) 1 B) 2 C) 2,5D) 4 E) 1,5
RESOLUCIN
*x
EO OF2
* Proyeccin de la mediana: ABC
2 2a b 2AC EO
4 AC 2 ACx
2
x = 4
RPTA.: D
12.
Calcule la medida de la altura deun trapecio si las bases miden 6 y8, las diagonales miden 13 y 15.
A) 10 B) 11 C) 11,5D) 12 E) 10,5
RESOLUCIN
* Se traza CE//BD:* Paralelogramo: BCED:BC=DE=6,
CE = BD = 15* ACE (Hern):
13 15 14 42p 212 2
2
x 21 21 13 21 14 21 1514
x= 12RPTA.: D
13. En un romboide ABCD se trazanlas bisectrices de loa ngulos A yB, que se intersectan en G.
Calcule GD si GC = 12 ,AB =10 y BC = 14
A) 2 17 B) 6 2 C) 2 19
D) 4 5 E) 2 21
RESOLUCIN
Ex
a D
b
CaB
b
A
F
O
B
DA
C
15
1513
x
6
E8 6
B
A
10
12
x
10
G
14 C
D
M
4
10
P
B
S
CHA
P
x
x
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* ABP (Issceles):
BG GP, AB AP 10
* Trapecio BCDP: (GM mediana):
14 4GM 9
2
* GCD (la mediana):
222 2 10
x 12 2 9 2
x = 2 17
RPTA.: A
14. En el cuadrado ABCD AB = 10
Calcule BP, P: punto de tangencia.
A) 1 B) 2 C) 3
D)5
3 E)
5
4
RESOLUCIN
* Auxiliar
x10 10
2
x = 2RPTA.: B
15. En el trapecio escaleno ABCD
BC // AD se cumple:
2 2
AC CD m . Calcule el
producto de las longitudes de lasbases.
A) m B)m
2 C)
m
3
D)m
4 E)
m
6
RESOLUCIN
P
A D
B C
B C
AD BC
P
A D
B C
x/2
Q
10
10
10
10
x/2
37/237/2
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* Teorema de Euler:
2 2 2 2
AD BC AB CD
2
2 2 AD BCAC BD 4
2
AD 2 2
BC 2 2
AB CD
2 2
AC BD AD 2
BC 2
2AD BC
m
2AD BC 2m m AD BC2
RPTA.: B
16. En el cuadriltero ABCDm ABC m ADC 90 , lasdiagonales se intersecan en O.Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y
m
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18. En la figura: ABCD es un
cuadrado, AP = 3 y PQ = 2.
Calcule QD.
A) 2 B) 1,5 C) 2,5D) 3 E) 1
RESOLUCIN
* APQ: 22 2AQ 2 3
AQ 7
* APT: 2 2 2
2 7 3 PT
QT 3 5 PT * AQT (T. Mediana):
2
22 2
2 77 3 2x
2
27 9 2x 14 x = 1
RPTA.: E
19. En el romboide ABCD, BE=3EC=9,EF = 3FD = 6, EP = EF. CalculeEQ.
A) 21 B) 2 21 C) 3 21
D) 4 21 E) 5 21
RESOLUCIN
* BPE APD: 6 9
y 8y 12
* AED (Menelao):
y 6 z 6 2 12 z
z 4 * AEQ (Steward):
2 2 214 4 x 12 8 16 12 4 16
x 2 21 RPTA.: B
20. En el tringulo acutngulo ABC deincentro I, excentro E relativo
a BC, el inradio mide 2 y el
exradio relativo a BC mide 6.
Calcule 2 2
IE BC
A) 8 B) 12 C) 14D) 16 E) 4
RESOLUCIN
A D
B C
QP
Q
C
E
F
P
B
A
2
A D
B C
T7
73
P
Q
3
7
B E
66
P
mm
2
I
2
O
C
nn
Q
H
A
B 9
y
3
F
C
x
QzD12
6
6P
2
E
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En el trapecio IPEQ*
6 2 4OH 2
2 2
* IBEC:(Teorema de Euler):
2 2 2 2 2 2 2
BI BE EC IC BC IE 4 2
2
IE + 2
IE = 2
BC IE 2
4 4
2 2
IE BC 16
RPTA.: D