7/23/2019 Geometria Rm en Triangulo Rectangulo

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SAN MARCOS

SEMANA

RELACIONES MTRICAS

EN TRINGULOS

1. En el rectngulo ABCD donde

BC = 2AB = 8, calcule x si O

es el centro del arco ED.

A) 2,6 B) 2,8 C) 3,0

D) 3,2 E) 1,2

RESOLUCIN

* MAO:

2 22x 2 2 8 x

x 3,2 RPTA.: D

2. Se tienen 2 circunferenciassecantes y congruentes de radiocuya medida es 8 m y la distanciaentre sus centros es 10 m.Calcule la medida de la cuerdacomn.

A) 2 13m B) 6 m

C) 2 15m D) 2 39m

E) 39m

RESOLUCIN

MN = x

xMH 2

1 2O H HO 5

1MHO :

2

2 2x 8 52

x 2 39 RPTA.: D

3.

En un tringulo acutngulo ABC laproyeccin de AB sobre BC midela cuarta parte de BC. Calcule BC

si: 2 2

AC AB 8

A) 2 B) 4 C) 8D) 16 E) 6

RESOLUCIN

* Por Euclides: (< 90)

2 2 2 xAC AB x 2x

4

2

2 2 2 xAC AB x2

C

A

B

D

x

E O

M

x

x4

A

B

C

C8

A

B

D

x2M

2

2

x

8

(8-x)

4

o

8 8

M

1O 2O

10 H

N

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2x8 x 4

2

RPTA.: B

4. En el grfico, calcule HR, si:

BQ 1 y QC =2

A) 6 B)6

2

C) 63

D) 66

D)6

12

RESOLUCIN

* BHC(Thales):

1 x

2 RC RC 2x

* HQC :

22 3x 2x

24

x6 6

x3

RPTA.: C

5. En una circunferencia de dimetroAB y centro O, se traza la

cuerda AC y CH AB .

Calcule la distancia de O a ACsiAH = 3 y HB = 4.

A) 7 B) 2 3 C) 3

D) 2 7 E) 5

RESOLUCIN

* ACB:

2

2x 4 7

x 7 RPTA.: A

6. En el tringulo rectngulo ABCrecto en B, se traza la altura BH y

la mediatriz de BHque intersecta

a BCen P. Calcule 2 2

AP HP

si AB = 4

A) 16 B) 4 C) 8

D) 12 E) 32

RESOLUCIN

Sea: 2 2

x AP HP

ABP:

2 224 HP AP

2 2

16 AP HP

x =16RPTA.: D

7. En el rectngulo ABCD de

permetro 20, se traza CE

B

CAH

Q

R

B

CA

1

xH

2

Q

R

2x

x

C

OH3 4

A B

P

B

A H C

4

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perpendicular a BD siendo

AC CE 5 . Calcule BD.

A) 2 15 B) 9 C) 3 10

D) 4 5 E) 2 10

RESOLUCIN

* 2a 2b 20 a b 10

2 2a b 10

2 2a b 2ab 100

2x 2 BD.CE 100 2x 2(5) 100

x 90 3 10 RPTA.: C

8. En el trapecio ABCD donde lasdiagonales se intersectan

perpendicularmente BC // AD ,se traza la altura CE siendoAE = 4, ED = 7 y BC = 2.Calcule CE.

A) 2 3 B) 3 2 C) 2 6

D) 6 E) 5

RESOLUCIN

* Se traza CP //BD

* Por paralelogramo BCPD:BC DP 2 mACP mAOD 90

ACP:2

x AE ED 2x 4 9 x 6

RPTA.: D

9. En el cuadriltero ABCD donde lasdiagonales se cortan en O,calcule OP si P es el punto

medio de DC, AB= 6 2, BC = 6,

CD = 8 y AD = 10.

A) 5 B) 3 2 C) 4D) 6 E) 4 2

RESOLUCIN

* Se cumple:

2

2 2 26 10 6 2 8

m DOC 90 * DOC:

DC 8x 4

2 2

RPTA.: C

10. En el tringulo rectngulo ABCrecto en B, se trazan: la altura BHy la bisectriz interior AS que seintercectan en P. Calcule BP siAS. PS = 36

A) 3 2 B) 3 3 C) 6

aa

b

b

C

DA

B

x

E

2

XO

EA D P

2

CB

4 7

6

10 8

CP

A

62

O

x

D

B

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D) 4 2 E) 3

RESOLUCIN

* BPS: (Issceles)

PSBP BS x;PM MS

2

* ABS: 2

BS AS HS

2 PSx AS2

2 AS PS 36x 18

2 2

x 3 2 RPTA.: A

11. En un romboide ABCD se cumple:

2 2

BC AB 4 AC . Calcule la

longitud de la proyeccin de BD

sobre AC

A) 1 B) 2 C) 2,5D) 4 E) 1,5

RESOLUCIN

*x

EO OF2

* Proyeccin de la mediana: ABC

2 2a b 2AC EO

4 AC 2 ACx

2

x = 4

RPTA.: D

12.

Calcule la medida de la altura deun trapecio si las bases miden 6 y8, las diagonales miden 13 y 15.

A) 10 B) 11 C) 11,5D) 12 E) 10,5

RESOLUCIN

* Se traza CE//BD:* Paralelogramo: BCED:BC=DE=6,

CE = BD = 15* ACE (Hern):

13 15 14 42p 212 2

2

x 21 21 13 21 14 21 1514

x= 12RPTA.: D

13. En un romboide ABCD se trazanlas bisectrices de loa ngulos A yB, que se intersectan en G.

Calcule GD si GC = 12 ,AB =10 y BC = 14

A) 2 17 B) 6 2 C) 2 19

D) 4 5 E) 2 21

RESOLUCIN

Ex

a D

b

CaB

b

A

F

O

B

DA

C

15

1513

x

6

E8 6

B

A

10

12

x

10

G

14 C

D

M

4

10

P

B

S

CHA

P

x

x

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* ABP (Issceles):

BG GP, AB AP 10

* Trapecio BCDP: (GM mediana):

14 4GM 9

2

* GCD (la mediana):

222 2 10

x 12 2 9 2

x = 2 17

RPTA.: A

14. En el cuadrado ABCD AB = 10

Calcule BP, P: punto de tangencia.

A) 1 B) 2 C) 3

D)5

3 E)

5

4

RESOLUCIN

* Auxiliar

x10 10

2

x = 2RPTA.: B

15. En el trapecio escaleno ABCD

BC // AD se cumple:

2 2

AC CD m . Calcule el

producto de las longitudes de lasbases.

A) m B)m

2 C)

m

3

D)m

4 E)

m

6

RESOLUCIN

P

A D

B C

B C

AD BC

P

A D

B C

x/2

Q

10

10

10

10

x/2

37/237/2

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* Teorema de Euler:

2 2 2 2

AD BC AB CD

2

2 2 AD BCAC BD 4

2

AD 2 2

BC 2 2

AB CD

2 2

AC BD AD 2

BC 2

2AD BC

m

2AD BC 2m m AD BC2

RPTA.: B

16. En el cuadriltero ABCDm ABC m ADC 90 , lasdiagonales se intersecan en O.Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y

m

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18. En la figura: ABCD es un

cuadrado, AP = 3 y PQ = 2.

Calcule QD.

A) 2 B) 1,5 C) 2,5D) 3 E) 1

RESOLUCIN

* APQ: 22 2AQ 2 3

AQ 7

* APT: 2 2 2

2 7 3 PT

QT 3 5 PT * AQT (T. Mediana):

2

22 2

2 77 3 2x

2

27 9 2x 14 x = 1

RPTA.: E

19. En el romboide ABCD, BE=3EC=9,EF = 3FD = 6, EP = EF. CalculeEQ.

A) 21 B) 2 21 C) 3 21

D) 4 21 E) 5 21

RESOLUCIN

* BPE APD: 6 9

y 8y 12

* AED (Menelao):

y 6 z 6 2 12 z

z 4 * AEQ (Steward):

2 2 214 4 x 12 8 16 12 4 16

x 2 21 RPTA.: B

20. En el tringulo acutngulo ABC deincentro I, excentro E relativo

a BC, el inradio mide 2 y el

exradio relativo a BC mide 6.

Calcule 2 2

IE BC

A) 8 B) 12 C) 14D) 16 E) 4

RESOLUCIN

A D

B C

QP

Q

C

E

F

P

B

A

2

A D

B C

T7

73

P

Q

3

7

B E

66

P

mm

2

I

2

O

C

nn

Q

H

A

B 9

y

3

F

C

x

QzD12

6

6P

2

E

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En el trapecio IPEQ*

6 2 4OH 2

2 2

* IBEC:(Teorema de Euler):

2 2 2 2 2 2 2

BI BE EC IC BC IE 4 2

2

IE + 2

IE = 2

BC IE 2

4 4

2 2

IE BC 16

RPTA.: D