geometria recreativa - yakov perelman

CONTENIDO

PresentacinGeometra en el bosque1.Geometra junto al ro2.Geometra a campo raso3.Geometra de viaje4.Sin tablas ni frmulas5.Donde la Tierra se junta conel Cielo

6.

Geometra de los robinsones7.Geometra a ciegas8.Lo antiguo y nuevo sobre elcrculo

9.

Geometra sin mediciones niclculos

10.

Grande y pequeo engeometra

11.

Economa Geomtrica12.

Captulo 5Trigonometra de Campaa sin Tablas ni Frmulas

Contenido:

Clculo del seno1.Extraer raz cuadrada2.Encontrar el ngulo conociendo el seno3.Altura del Sol4.Distancia hasta la isla5.El ancho de un lago6.Terreno triangular7.Clculo del ngulo sin ningn tipo de medicin8.

1. Clculo del seno.En este captulo vamos a ensear, como calcular los lados del tringulo con unaprecisin hasta 2% y los ngulos con una precisin hasta 1, usando nicamente elconcepto del seno, sin apelar a tablas ni frmulas. Esta simplificacin trigonomtricapuede ser til durante un paseo, cuando no se tienen tablas y se han olvidado lasfrmulas. Robinson Crusoe en su isla, pudo usar exitosamente este procedimientotrigonomtrico.Imaginemos, que todava no conocemos la trigonometra o que la hemos olvidado.No es difcil de imaginar, verdad? Empezaremos a estudiar desde el principio. Ques el seno del ngulo agudo? Es la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa deun tringulo cortado por la perpendicular trazada desde el vrtice de un ngulo hastauno de sus lados. Por ejemplo, el seno del ngulo (figura 87) es:

Se observa que, por semejanza de tringulos, todas esas razones son equivalentesentre s.Cunto valen los senos de diversos ngulos entre 1 y 90? Cmo saberlos sin usartablas? Es fcil: se necesita crear nuestra propia tabla de senos. Eso es lo que vamosa hacer ahora.Empezaremos por aquellos ngulos, donde ya conocemos los senos, a partir de lageometra.Primero, el ngulo de 90, su seno es 1. Luego el de 45, su seno se calculafcilmente mediante el teorema de Pitgoras; equivale a:

es decir, que vale 0,707. Luego averiguamos el seno de 30; como el cateto, opuesto

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a este ngulo, equivale a la mitad de la hipotenusa, entonces, el seno de 30 = .

Figura 87. Cul es el seno de un ngulo agudo?

O sea, que sabemos los senos (se denotan con: sen) de los tres ngulos:

sen 30 = 0,500sen 45 = 0,707sen 90 = 1,000

Evidentemente, esto no es suficiente; debemos conocer los senos de todos losngulos intermedios, por lo menos los de cada nmero entero de grados. Para buscarel seno de ngulos muy pequeos podemos utilizar, en vez de calcular la razn entreel cateto opuesto y la hipotenusa, la razn entre el arco y el radio: en la figura 87 (ala izquierda), vemos que la razn:

no tiene gran diferencia con:

Esta ltima es fcil de calcular. As, por ejemplo, para ngulo de 1, el arco:

y, por lo tanto, para el sen 1 podemos tomar el equivalente a:

De esta manera encontramos:

sen 2 = 0,0349sen 3 = 0,0524sen 4 = 0,0698sen 5 = 0,0873

Pero debemos cerciorarnos hasta qu punto podemos elaborar esta tabla, sin cometererrores significativos. S, por ejemplo, buscamos de esta forma el sen 30,obtendremos 0,524 en vez de 0,500: El error es de 24/500, es decir, 5%. Es un errorbastante grande, aunque solo en nuestro caso. Para hallar el lmite, hasta el quepodemos aplicar este mtodo para calcular los senos, intentaremos hallar el sen 15de una forma ms exacta. Para esto utilizaremos la siguiente construccin, no muycomplicada (figura 88).Sea,

Prolongamos BC hasta D; unimos A con D, as obtenemos dos tringulos iguales: ADCy ABC, y el ngulo BAD equivale a 30. Bajamos hasta AD la perpendicular BE; se haconstruido un tringulo rectngulo BAE con un ngulo de 30 ( BAE ), entonces:


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Entonces,

ED = AD AE = AB 0,866 x AB = 0,134 x AB.

Ahora del tringulo BED calcularemos BD:

BC es la mitad de BD, es decir que BC es 0,259 x AB, de aqu se deduce que el senobuscado es:

Este es el valor de sen 15 con tres cifras significativas. Su valor se aproxima alencontrado por nosotros, 0,262.Comparando los valores 0,259 y 0,262 y vemos que si limitamos su valor a dos cifrassignificativas, obtendremos:

0,26 y 0,26

es decir, que los resultados son idnticos. El error del resultado ms exacto (0,259) alaproximarlo a 0,26, se calcula como 1/1000, es decir, 0,4%. Este error es aceptablepara los clculos durante el viaje, y por lo tanto, podremos calcular los senos de losngulos de 1 hasta 15 con el procedimiento descrito.Para ngulos entre 15 y 30, podemos calcular los senos con ayuda de lasproporciones. Vamos a discurrir as: la diferencia entre sen 30 y sen 15 es 0,50 0,26 = 0,24. Asumiendo que con cada aumento de un grado en el ngulo, su senoaumenta, aproximadamente, en 1/15 de esta diferencia, es decir, en:

0,24/15 = 0,016.

En realidad no es as, pero se presenta el error en la tercera cifra significativa, la quenosotros hemos suprimido. Aadiendo 0,016 al sen 16, obtenemos los senos de 16,17, 18, etc.:

sen 16 = 0,26 + 0,016 = 0,28sen 17 = 0,26 + 0,032 = 0,29sen 18 = 0,26 + 0,048 = 0,31...sen 25 = 0,26 + 0,16 = 0,42 , etc.

Figura 88. Cmo calcular el seno de 15?

Todos estos senos son correctos en las primeras cifras decimales, es decir, sonsuficiente para nuestros objetivos.De la misma manera se calculan los senos de los ngulos entre 30 y 45.La diferencia es:

sen 45 - sen 30 = 0,707 0,5 = 0,207.


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Dividiendo este valor por 15, tenemos 0,014. Este resultado se le aade al sen 30;obtenemos:

sen 31 = 0,54 0,014 = 0,51sen 32 = 0,54 0,028 = 0,53...sen 40 = 0,5 + 0,14 = 0,64 y etc.

Solo nos queda encontrar los senos de los ngulos agudos mayores de 45. Para estonos servimos del teorema de Pitgoras. S queremos encontrar, por ejemplo, el sen53, es decir, (figura 90) la razn:

Como el ngulo B = 37, entonces podemos calcular su seno con base en el anterior:es equivalente a 0,5 + 7 x 0,014 = 0,6. Por otra parte sabemos, que:

Donde AC = 0,6 x AB. Sabiendo AC, resulta fcil calcular BC. Este segmento es:

En principio el clculo no es tan difcil; solo es necesario calcular las races cuadradas.

Figura 89. Clculo del seno de ngulos mayores de 45.

2. Extraer raz cuadrada.En los manuales mos de geometra hay un modo simplificado y muy antiguo paraextraer la raz cuadrada por medio de la divisin. Aqu voy a explicar el otro modoantiguo, que es ms fcil, como aquellos modos del curso de lgebra.

Supongamos que necesitamos encontrar . Ella est entre 3 y 4, por lo tanto, esequivalente a 3 con fraccin, el que indicaremos por x. Entonces,

=3+x

elevando al cuadrado (aplicacin del cuadrado del binomio) entonces:

13 = 9 + 6x + x2

El cuadrado de la porcin x es pequeo, y por lo tanto, para tener una primeraaproximacin, no le tomaremos en cuenta.Luego tenemos:

13 = 9 + 6x

de donde:

6x = 4 y x = 2/3 = 0,67.

Entonces, aproximadamente,


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Si queremos saber el resultado de la raz ms exacto, escribiremos ecuacin:

donde habr una fraccin positiva o negativa no muy grande. De aqu:

Quitando y2, hallaremos que y es equivalente : 2/33 = -0,06Por lo tanto en la otra aproximacin:

La tercera aproximacin se encuentra por del mismo modo y as sucesivamente.Por el mtodo habitual, que nos ensea el lgebra, obtendremos 13 con una precisinde 0,01, tambin 3,61.

3. Encontrar el ngulo conociendo el seno.Ya podemos calcular el seno de cualquier ngulo de 0 a 90 con dos cifras decimales.No hace falta tener las tablas a mano; para efectuar clculos aproximados siempreque se requiera, podemos elaborar las tablas.Pero para solucionar las tareas trigonomtricas se necesita saber calcular los ngulosconocido el seno. Eso tampoco es difcil. Se necesita encontrar el ngulo cuyo seno es0,38. Como el seno es menor de 0,5, entonces el ngulo buscado ser menor de 30.Pero es mayor de 15, como bien sabemos, sen 15 es 0,26. Para encontrar unngulo entre 15 y 30, seguimos las explicaciones del apartado anterior: Clculo delseno.

0,62 - 0,5 = 0,12

Entonces el ngulo buscado es 22,5.Otro ejemplo, encontrar el ngulo cuyo seno es 0,62.El ngulo buscado es, aproximadamente, 38,6.Finalmente, el tercer ejemplo. Encontrar el ngulo, cuyo seno es 0,91.Como el seno dado se encuentra entre 0,71 y 1, entonces, el ngulo buscado estentre 45 y 90. En la figura 91, BC es el seno de ngulo A, si BA = 1. Sabiendo BC,es fcil de encontrar el seno de ngulo B:

Ahora encontraremos el valor de ngulo B, cuyo seno es 0,42; despus de esto serfcil encontrar el ngulo A, que equivale a 90 - B. Como 0,42 se encuentra entre0,26 y 0,5, entonces ngulo B est entre 15 y 30. Se encuentra as:


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Ahora tenemos todo lo necesario para solucionar las tareas trigonomtricas, pues yasabemos buscar los senos a partir de los ngulos, y hallar los ngulos, conocidos sussenos, con exactitud suficientemente para nuestros objetivos.

Figura 90. Clculo del ngulo agudo con base en su seno.

Pero, es solo basta conocer el seno? No deberemos tener en cuenta otras funcionestrigonomtricas, como coseno, tangente, etc.? Ahora vamos a dar un par deejemplos, donde solo se requiere saber el valor del seno, en nuestra trigonometrasimplificada.

4. Altura del Sol.ProblemaLa sombra BC (figura 91) de la prtiga AB con altura de 4,2 m tiene 6,5 m delongitud. Cul es la altura del Sol sobre horizonte en ese momento, o sea, cul es elvalor del ngulo C?

SolucinEs fcil comprender, que el seno del ngulo C es:

Pero:

Por eso el seno buscado equivale a:

Por el mtodo descrito anteriormente, buscamos el ngulo correspondiente y nos da33.La altura del Sol es de 33, con una precisin de .


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Figura 91. Encontrar la altura del Sol sobre el horizonte

5. Distancia hasta la isla.ProblemaPaseando con una brjula, cerca de ro, vemos una isla A (figura 92) y deseamoshallar la distancia hasta ella, desde el punto B, situado en la orilla. Para ello buscamosel valor de ngulo ABN, formado por la lnea NS, en direccin norte sur, y por larecta BA. Luego medimos la recta BC y buscamos el valor del ngulo NBC entre ella yNS. Finalmente, hacemos lo mismo en el punto C para la recta AC.Nuestros resultados son:

La lnea AB, se inclina respecto a NS, 52 hacia al esteLa lnea BC, se inclina respecto a NS, 110 hacia al esteLa lnea AC, se inclina respecto a NS, 27 hacia al estelongitud de BC = 187 m.

Cmo hallar la distancia BA a partir de estos datos?

Figura 92. Cmo calcular la distancia hasta la isla?

SolucinEn el tringulo ABC conocemos:El lado BC.El ngulo ABC = 110 - 52 = 58El ngulo ACB = 180 - 110 - 27 = 43.Trazamos en este tringulo (figura 92, a la derecha) la altura BD y tenemos:

Calculando el sen 43 por el mtodo visto, obtenemos 0,68. Entonces,

BD = 187 x 0,68 = 127.

Ahora en el tringulo ABD conocemos el cateto BD, el ngulo A=180 - (58 - 43)=79, el ngulo ABD = 90 - 79 = 11; calculamos el sen 11 y obtenemos el valor:0,19. Por lo tanto AD/AB = 0,19. Por otra parte, por teorema de Pitgoras:

AB2 = BD2 + AD2.

Colocando 0,19 x AB, en lugar de AD, y 127 en lugar de BD, tenemos:

AB2 = 1272 + (0,19 x AB)2,


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De donde: AB 128.Entonces la distancia hasta la isla es 128 m.No creo que los lectores tengan problemas para buscar el lado AC, s acaso hace falta.

6. El ancho de un lago.ProblemaPara conocer el ancho del lago (figura 93), ustedes encontraron con la brjula, que larecta AC se inclinaba 21 hacia el oeste, y BC se inclinaba 21 hacia el este. Lalongitud BC =68 m, y la de AC = 35 m. Efectuar el clculo a partir de estos datos.

SolucinEn el tringulo ABC conocemos el ngulo de 43 y las longitudes de sus lados, 68 m y35 m. Trazamos la altura (figura 93, a la derecha) desde el vrtice AD; tenemos que:sen 43 = AD/ACCalculamos, independientemente de esto, el sen 43 y obtenemos: 0,68. EntoncesAD/AC = 0,68, AD =0,68 x 35 = 24. Luego calculamos el valor de CD:

CD2 = AC2 AD2 = 352 242 = 649; CD = 25,5;

BD = BC CD = 68 25,5 = 42,5.

Figura 93. Clculo del ancho del lago.

Ahora, del tringulo ABD tenemos:

AB2 = AD2 + BD2 = 242 + 42,52 = 2380;

AB 49.

Entonces, anchura buscada de lago es, aproximadamente, 49 m.Si necesitamos encontrar los otros dos ngulos, en el tringulo ABC, entonces, unavez hallado AB = 49, procedemos as:

Se encuentra el tercer ngulo, C, restando de 180 la suma de los ngulos de 29 y43; y se obtiene un valor de 108.Puede ocurrir, que en el caso estudiado de la solucin de tringulos (conocidos doslados y el ngulo entre ellos se hallan los dems elementos) el ngulo no sea agudo,sino obtuso. Si, por ejemplo, en el tringulo ABC (dibujo 94) se conocen el nguloobtuso y los dos lados adyacentes, AB y AC, entonces, se calculan los elementosrestantes de la siguiente manera:SE traza la altura BD, se calculan BD y AD en el tringulo BDA; luego se averigua elvalor de DA + AC, y se hallan BC y sen C, calculando el valor de la razn BD/BC.


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Figura 94. Para resolver el tringulo obtuso.

7. Terreno triangular.ProblemaDurante la una excursin nosotros habamos medido a pasos los lados de un terrenotriangular y encontramos que miden 34, 60 y 54. Cules son ngulos del tringulo?

Figura 95. Encontrar los ngulos de este tringulo: 1) mediante clculos, 2) conayuda del transportador.

SolucinEste es el caso ms difcil de resolver: Calcular los elementos del tringulo conocidossus tres lados. Sin embargo, podemos lograrlo, sin utilizar ninguna funcin diferenteal seno.Trazando la altura BD (figura 95) sobre el lado AC, tenemos:

BD2 = 432 AD2, BD2 = 542 DC2,

de donde:

432 AD2 = 542 DC2,

DC2 AD2 = 542 432 = 1070.

Pero:

DC2 AD2 = (DC + AD) (DC AD) = 60 (DC AD).

Se deduce que:

60 (DC AD) = 1070 y DC AD = 17,8.

De las dos ecuaciones:

DC AD = 17,8 y DC + AD = 60

Obtenemos:

2DC = 77,8,

es decir que

DC = 38,9.

Ahora es fcil de calcular la altura:De aqu encontramos:


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El tercer ngulo vale:

B = 180 -(A + C) = 76

Si en este caso se efecta el clculo con ayuda de las tablas, siguiendo todas lasreglas de trigonometra, obtendremos los ngulos, expresados en grados y minutos.Como los lados se midieron a pasos, entonces, sera un error dar los resultados engrados y minutos, porque las distancias medidas a pasos, presentan un error entre 2y 3%. Entonces, para qu llamarnos a engao, debemos redondear los verdaderosvalores de los ngulos obtenidos, a valores enteros, en grados. Y luego obtenemos losmismos resultados, como lo hicimos antes, aplicando un mtodo ms sencillo. Sehace evidente ac la importancia de nuestra trigonometra de campaa.

8. Clculo del ngulo sin ningn tipo de medicin.Para medir los ngulos de un terreno necesitamos por lo menos una brjula; sinembargo, a veces basta con usar los dedos o una caja de cerillas. Pero se puedepresentar el caso extremo de medir los ngulos en un mapa o en un plano.Evidentemente, si tenemos transportador, entonces se resuelve el problemafcilmente. Y si no se tiene? Un gemetra no se pierde en este caso. Cmo sesoluciona este problema?

ProblemaEn la figura 96 hay un ngulo AOB, menor que 180. Encuentren su valor sin efectuarninguna medicin.

SolucinDesde un punto cualquiera del lado BO se puede trazar una perpendicular al lado AO,en el tringulo rectngulo obtenido, se miden los catetos y la hipotenusa, seencuentra el seno del ngulo, y luego el valor de dicho ngulo (veamos el apartadoEncontrar el ngulo conociendo el seno). Pero esta solucin no corresponde anuestras difciles condiciones: Sin efectuar ninguna medicin!Empleamos entonces la solucin que propuso Z. Rupeyka, de la ciudad Kaunas, en elao 1946.

Figura 96. Cmo encontrar el valor del ngulo AOB, utilizando solo el comps?

Desde el vrtice O, como centro, con una abertura arbitraria del comps, trazamosuna circunferencia. Por sus puntos de interseccin, C y D, trazamos el segmento entrelos lados del ngulo.Ahora con centro en el punto C y con radio CD, trazamos con el comps otracircunferencia. Repetimos el procedimiento, en el mismo sentido, con la mismaapertura del comps, tomando como centro el punto de interseccin entre lacircunferencia con centro en O y la ltima circunferencia trazada, hasta que al trazaruna nueva circunferencia, esta pase de nuevo por el punto C. Despus de esto, contamos cuantas vueltas dimos alrededor de la circunferencia ycuantas cuerdas tendimos sobre la circunferencia inicial.Supongamos, que dimos n vueltas alrededor de circunferencia y tendimos S cuerdasde longitud CD. Entonces, el ngulo buscado ser:

En realidad, se aprecia mejor el ngulo de x; tendiendo la cuerda CD sobre lacircunferencia, S veces, como si aumentramos S veces el ngulo de x, pero como


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dimos n vueltas alrededor de la circunferencia, entonces el ngulo se calcula sobreuna distancia de 360 x n, es decir que, x x S = 360; de aqu se obtiene laexpresin:

Si se tiene un ngulo con, n = 3, S = 20; este medir, AOB = 54(Comprubenlo!). A falta de comps, podemos circunscribir la circunferencia conayuda de un alfiler y una tira de papel; trazamos la cuerda, utilizando tambin la tirade papel.

ProblemaEncuentren mediante el mtodo descrito, los ngulos del tringulo de la figura 95.


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