geometría lorentziana: de galileo a la relatividad general

IntroduccionI. Sistemas de referencia inerciales

II. Modelos de e.t. (aproximacion lineal)III. Modelo general (no lineal)

IV. Descripcion del modelo lorentziano

Geometrıa Lorentziana:de Galileo a la Relatividad General

Miguel Sanchez Caja

Universidad de Granada

Cordoba, 27 de Marzo de 2012

Miguel Sanchez Geometrıa Lorentziana

Geometrıas Riemanniana y LorentzianaObjetivos

Euclides, Riemann, Lorentz, Minkowski, Einstein

Ga Lorentziana: rama de la Geometrıa que extiende a las Ga

Euclidiana y Ga Riemanniana, desarrollada a partir de la Teorıa dela Relatividad de Einstein.

Ga Euclidiana y Riemanniana

Ga Euclidiana: se desarrolla a partir de postulados tomados denuestra intuicion del espacio fısico tridimensional.Matematicamente, ligada al algebra lineal, los espaciosvectoriales y afines (de dimension finita, dotados de unproducto escalar euclidiano) —aparte de otras aproximaciones.

Ga Riemanniana: estudia espacios “curvados” muy generales,para los cuales la Ga Euclidiana sirve de aproximacion lineal(de primer orden).Matematicamente, generaliza la Ta de Curvas y Superficiesdel espacio euclidiano a espacios mucho mas generales, lasvariedades diferenciables (de dimension finita, dotadas conuna metrica riemanniana).

Ga Riemanniana: estudia espacios “curvados” muy generales,para los cuales la Ga Euclidiana sirve de aproximacion lineal(de primer orden).

Matematicamente, generaliza la Ta de Curvas y Superficiesdel espacio euclidiano a espacios mucho mas generales, lasvariedades diferenciables (de dimension finita, dotadas conuna metrica riemanniana).

Ga Riemanniana: estudia espacios “curvados” muy generales,para los cuales la Ga Euclidiana sirve de aproximacion lineal(de primer orden).Matematicamente, generaliza la Ta de Curvas y Superficiesdel espacio euclidiano a espacios mucho mas generales, lasvariedades diferenciables (de dimension finita, dotadas conuna metrica riemanniana).

Geometrıa Riemanniana

En Ga Riemanniana, se estudia:

variedades diferenciables (de dimension arbitraria n):

espacio general M que puede describirse “localmente”(alrededor de cada uno de sus puntos p) con n coordenadasreales, las cuales le dotan de una estructura diferenciable(sistemas lagrangianos/hamiltonianos, termodinamicos...)

dotadas con una metrica riemanniana , i.e.:un espacio vectorial euclidiano se asigna (diferenciablemente)a cada punto de la variedad, de tal modo que la GeometrıaEuclidiana queda como la aproximacion lineal en cada punto ala Ga Riemanniana (p. ej. superficie de la Tierra).

variedades diferenciables (de dimension arbitraria n):espacio general M que puede describirse “localmente”(alrededor de cada uno de sus puntos p) con n coordenadasreales, las cuales le dotan de una estructura diferenciable(sistemas lagrangianos/hamiltonianos, termodinamicos...)

dotadas con una metrica riemanniana , i.e.:

un espacio vectorial euclidiano se asigna (diferenciablemente)a cada punto de la variedad, de tal modo que la GeometrıaEuclidiana queda como la aproximacion lineal en cada punto ala Ga Riemanniana (p. ej. superficie de la Tierra).

Ga Lorentziana frente a Ga Riemanniana

En Geometrıa Lorentziana los productos escalares euclidianos(definidos positivos) se reemplazan por productos escalareslorentzianos —formas bilineales simetricas no degeneradas conındice 1 (−,+ . . . ,+) en ambos niveles:

Geometrıa Lorentziana afın/vectorial: analoga a la euclidiana Relatividad Especial

Geometrıa Lorentziana de variedades: analoga a lariemanniana Relatividad General

El cambio Euclides/Riemann ↔ Lorentz viene impuesto por lainclusion del tiempo como una coordenada a anadir a las espaciales+ ciertas consideraciones fısicas o matematicas.

Programa

Explicar el porque del cambio desde un punto de vista matematicoy sus consecuencias:

I Aproximaciones lineales al espaciotiempo: Sistemas deReferencia Inerciales (SRI) :

Formalizables rigurosamenteSe determinan geometricamente ¡por un ejercicio de matrices!

II Descripcion de los modelos geometricos compatibles con SRI’s(solucion del ejercicio):

Espacios clasicos de Galileo y Lorentz-Minkowski.y muy pocos (¡a lo sumo dos!) mas.

Programa

III Modelos Generales (no lineales) de e.t en variedades:

Modelo global a partir de aproximaciones linealesGalileo-Newton frente a Lorentz

IV El modelo lorentziano relativista (aproximacion nonecesariamente lineal y no cuantica al espaciotiempo)

Algunos elementos basicosUn resultado “geometrico-filosofico“ de muestra

Nocion de SRIUn ejercicio de matrices

¿Que es un SRI?

Aunque parezcan sencillos, los SRI suelen desconcertar a losmatematicos:

“Los SRI no estan acelerados ni rotan”

¿en que espacio(matematico)? ¿cual es la nocion de aceleracion ahı?

“Los puntos de vista de dos SRI son intercambiables” ¿que significa esto exactamente?

Las consideraciones elementales sobre los SRI suelen partir dealgun conocimiento fısico previo conducente a circularidad.

¿Que es un SRI?

“Los SRI no estan acelerados ni rotan” ¿en que espacio(matematico)? ¿cual es la nocion de aceleracion ahı?

¿Que es un SRI?

“Los puntos de vista de dos SRI son intercambiables”

¿que significa esto exactamente?

¿Que es un SRI?

Los SRI son “lineales”

Cuando se asume la existencia de observadores inerciales en elespacio/tiempo hay dos suposiciones matematicas implıcitas:

Los SRI generan coordenadas en la totalidad de espacio ytiempo, y el cambio de coordenadas entre dos de tales SRIafın

el espacio y tiempo fısicos constituyen un espacio afın(o mas propiamente: los SRI introducen una aproximacionlineal al espacio/tiempo).

Si (t, x), (t ′, x ′) son sistemas de coordenadas para O,O ′(t ′

(a bc d

)[Nota: Por simplicidad 2 coordenadas (t, x) en vez de 4: una“temporal” distinguida t frente a tres espaciales x1, x2, x3].

Los SRI generan coordenadas en la totalidad de espacio ytiempo, y el cambio de coordenadas entre dos de tales SRIafın el espacio y tiempo fısicos constituyen un espacio afın(o mas propiamente: los SRI introducen una aproximacionlineal al espacio/tiempo).

(a bc d

Los SRI generan coordenadas en la totalidad de espacio ytiempo, y el cambio de coordenadas entre dos de tales SRIafın el espacio y tiempo fısicos constituyen un espacio afın(o mas propiamente: los SRI introducen una aproximacionlineal al espacio/tiempo).

(a bc d

La simetrıa basica entre SRI

Existe algun tipo de simetrıa en el cambio de coordenadasentre dos de tales sistemas O,O ′:

(t ′

(a bc d

Concretamente:

1 ∂t ′/∂t(=: a) = ∂t/∂t ′ (incluso, eventualmente 6= 0, or > 0 )El tiempo de O ′ medido por el reloj de O cambia como eltiempo de O medido por O ′.

2 ∂x ′/∂x(=: d) = ∂x/∂x ′

El resultado de la medicion por O de la unidad espacial de O ′

es como el de la medicion por O ′ de la unidad espacial de O.

(t ′

(a bc d

)Concretamente:

2 ∂x ′/∂x(=: d) = ∂x/∂x ′

(t ′

(a bc d

)Concretamente:

2 ∂x ′/∂x(=: d) = ∂x/∂x ′

Resumen: postulados para los SRI

Los SRI son cartas coordenadas del espaciotiempo (e.t.) fısico queverifican:

1 Son aproximaciones lineales al e.t. (el cambio de coordenadases afın)

2 Inercialidad: no hay privilegios entre dos SRI(en dimension dos:(0 6= a :=)∂t ′/∂t = ∂t/∂t ′,(d :=)∂x ′/∂x = ∂x/∂x ′).

Resumen: postulados para los SRI

Los SRI son cartas coordenadas del espaciotiempo (e.t.) fısico queverifican:

1 Son aproximaciones lineales al e.t. (el cambio de coordenadases afın)

2 Inercialidad: no hay privilegios entre dos SRI(en dimension dos:(0 6= a :=)∂t ′/∂t = ∂t/∂t ′,(d :=)∂x ′/∂x = ∂x/∂x ′).

Ejercicio de matrices 2× 2

Ejercicio

Considerese una matriz real regular arbitraria 2× 2 A y su inversaA−1:

(a bc d

)A−1 =

Hallense las que satisfacen:

a = a d = d

y (por simplicidad) a 6= 0.

Observacion: Solucionando el ejercicio se obtienen losposibles cambios de coordenadas entre SRI (y todas lasestructuras geometricas asociadas).

Ejercicio

(a bc d

)A−1 =

a = a d = d

Ejercicio

(a bc d

)A−1 =

a = a d = d

Generalizacion a dimensiones 1 + 3

Hallense las matrices 4× 4 tales que:

(a00 ahatv A

)=⇒ A−1 =

(a00 ahatv At

)(eventualmente con a00 6= 0)

Tecnicamente, el problema es mas difıcil, pero las soluciones yconclusiones son analogas

Generalizacion a dimensiones 1 + 3

Hallense las matrices 4× 4 tales que:

(a00 ahatv A

)=⇒ A−1 =

(a00 ahatv At

)(eventualmente con a00 6= 0)Tecnicamente, el problema es mas difıcil, pero las soluciones yconclusiones son analogas

Solucion del ejercicioDescripcion de los modelosGalileo frente a Lorentz

Solucionando el ejercicio: resultado tecnico

Tal matriz A satisface detA = ±1 y ∃k ∈ R ∪ ω := ±∞ s. t.:

At I (k)A = I (k), where I (k) =

(k 00 1

)(para k = ω, tomense inversas y pongase k = 1/k = 0).

Ademas, k es esencialmente unico:SeanA,A′ dos matrices no diagonales tales que ellas y A · A′satisfacen la propiedad del ejercicio. Entonces k = k ′.

Solucionando el ejercicio: resultado tecnico

Tal matriz A satisface detA = ±1 y ∃k ∈ R ∪ ω := ±∞ s. t.:

At I (k)A = I (k), where I (k) =

(k 00 1

)(para k = ω, tomense inversas y pongase k = 1/k = 0).

Ademas, k es esencialmente unico:SeanA,A′ dos matrices no diagonales tales que ellas y A · A′satisfacen la propiedad del ejercicio. Entonces k = k ′.

Grupos O(k)(2,R)

Sea O(k)(2,R) = A ∈ Gl(2,R) : detA = ±1, At I (k)A = I (k)

Cada O(k)(2,R) es un grupo de Lie conocido:

1 Para k ∈ (0,∞), es conjugado al grupo ortogonal clasico

O(1)(2,R) := (

cos θ sin θ∓ sin θ ± cos θ

): θ ∈ R

2 Para k ∈ (−∞, 0), es conjugado al grupo de Lorentz

O(−1)(2,R) := ±(

cosh θ sinh θ± sinh θ ± cosh θ

): θ ∈ R

3 Para k = ω, el grupo de Galileo (no orientado temporal)

O(ω)(2,R) := (±1 0

): v ∈ R

4 Para k = 0, es dual al grupo de GalileoO(0)(2,R) := At : A ∈ O(ω)(2,R).

Grupos O(k)(2,R)

Sea O(k)(2,R) = A ∈ Gl(2,R) : detA = ±1, At I (k)A = I (k)Cada O(k)(2,R) es un grupo de Lie conocido:

O(1)(2,R) := (

): θ ∈ R

O(−1)(2,R) := ±(

): θ ∈ R

O(ω)(2,R) := (±1 0

): v ∈ R

Grupos O(k)(2,R)

O(1)(2,R) := (

): θ ∈ R

O(−1)(2,R) := ±(

): θ ∈ R

O(ω)(2,R) := (±1 0

): v ∈ R

Grupos O(k)(2,R)

O(1)(2,R) := (

): θ ∈ R

O(−1)(2,R) := ±(

): θ ∈ R

O(ω)(2,R) := (±1 0

): v ∈ R

Grupos O(k)(2,R)

O(1)(2,R) := (

): θ ∈ R

O(−1)(2,R) := ±(

): θ ∈ R

O(ω)(2,R) := (±1 0

): v ∈ R

Grupos O(k)(2,R)

O(1)(2,R) := (

): θ ∈ R

O(−1)(2,R) := ±(

): θ ∈ R

O(ω)(2,R) := (±1 0

): v ∈ R

Estructuras associadas a O(k)(2,R)

Discusion. Para un e.t. equivale decir:

El e.t. admite un conjunto de SRI (sistemas de referenciatodos afın e inercialmente relacionados) o

El e.t. es un espacio afın A, al que se le asigna un Ok(2,R)de modo que V queda dotado de una de las siguientes 4estructuras (aproximaciones lineales al e.t.),

1 Para k ∈ (0,∞): un producto escalar euclidiano2 Para k ∈ (−∞, 0): un producto escalar lorentziano3 Para k = ω: una estructura galileana, esto es, una forma 6= 0

(salvo signo) t : V → R (el tiempo absoluto) mas un productoescalar euclidiano en Nuc t (el espacio absoluto)

4 Para k = 0: una estructura dual galileana —vector v 6= 0(salvo signo) mas un producto escalar euclidiano en Nucv ⊂ V ∗)

1 Para k ∈ (0,∞): un producto escalar euclidiano

2 Para k ∈ (−∞, 0): un producto escalar lorentziano3 Para k = ω: una estructura galileana, esto es, una forma 6= 0

1 Para k ∈ (0,∞): un producto escalar euclidiano2 Para k ∈ (−∞, 0): un producto escalar lorentziano

3 Para k = ω: una estructura galileana, esto es, una forma 6= 0(salvo signo) t : V → R (el tiempo absoluto) mas un productoescalar euclidiano en Nuc t (el espacio absoluto)

Conclusion

Tenemos solo 4 modelos de e.t. compatibles con un SRI. Y...

El caso euclidiano k ∈ (0,∞) es el caso cuando hay una“simetrıa total” entre las coordenadas t y x (y esto aa = ∂t/∂t ′ = 0 en algunos casos) se descarta el modeloeuclidiano como una representacion de ambos, espacio ytiempo simultanemente.

En los casos k 6∈ (0,∞), la raız√|k | admite una

interpretacion natural como supremo de todas las velocidadesposibles entre SRI (u observadores) se descarta el dual deGalileo (k = 0).

Con un mınimo de “aceptacion de nuestra experiencia comun”solo el modelo lorentziano y el galileano sobreviven

Conclusion

Los dos modelos seleccionados

Tenemos dos modelos de aproximaciones al e.t. caracterizados por√|k | (supremo de velocidades relativas):

Lorentz-Minkowski:√|k | finito (k ∈ (−∞, 0)).

Galileo-Newton:√|k | infinito (k = ω).

¿cual de los dos modelos es preferible?

Los dos modelos seleccionados

Tenemos dos modelos de aproximaciones al e.t. caracterizados por√|k | (supremo de velocidades relativas):

Lorentz-Minkowski:√|k | finito (k ∈ (−∞, 0)).

Galileo-Newton:√|k | infinito (k = ω).

¿cual de los dos modelos es preferible?

Preferencia por el lorentziano

Aproximacion estandar: razones fısicas conocidas para el casolorentziano:

Razones experimentales (y metafısicas) conducen a que lavelocidad c la propagacion de una onda en el vacıo (luz) debeser finita e igual para todos los SRI

preferencia por√|k | = c(<∞) (Lorentz)

Aparte de esta razon conocida, daremos otra de economıamatematica en favor del caso lorentziano desde el punto de vistageneral (no lineal)

Modelo global a partir de las aproximaciones linealesGalileo-Leibniz frente a Lorentz en variedades

Modelo mas general

Hasta ahora, solo hemos considerado aproximaciones lineales a laestructura del e.t.

En general, se espera:

El e.t. fısico se representa por una variedad diferenciable M y,en cada punto (suceso “aquı-ahora”) p ∈ M la aproximacionlineal vive en el espacio tangente a la variedad TpM.

Debieramos poner de manera suave (continua, diferenciable)en cada punto una de las 4 aproximaciones obtenidas

Modelo mas general

Hasta ahora, solo hemos considerado aproximaciones lineales a laestructura del e.t. En general, se espera:

Modelo mas general

Hasta ahora, solo hemos considerado aproximaciones lineales a laestructura del e.t. En general, se espera:

4 modelos...

Se tiene ası:

Si en cada TpM ponemos un producto escalar lorentziano:metrica de Lorentz g sobre M.

Analogamente, si en cada TpM pusieramos un productoescalar euclidiano: metrica riemanniana g sobre M

Si en cada TpM ponemos un modelo de Galileo: estructuraleibniziana sobre M (una forma diferencial sin ceros Ω y unametrica riemanniana h en NucΩ)Analogamente, si en cada TpM posieramos un modelo dual deGalileo: estructura anti-leibniziana sobre M (una formadiferencial sin ceros Ω y una metrica riemanniana h en Nuc Ω)

4 modelos...

Se tiene ası:

Si en cada TpM ponemos un producto escalar lorentziano:metrica de Lorentz g sobre M.Analogamente, si en cada TpM pusieramos un productoescalar euclidiano: metrica riemanniana g sobre M

4 modelos...

Se tiene ası:

Si en cada TpM ponemos un modelo de Galileo: estructuraleibniziana sobre M (una forma diferencial sin ceros Ω y unametrica riemanniana h en NucΩ)

Analogamente, si en cada TpM posieramos un modelo dual deGalileo: estructura anti-leibniziana sobre M (una formadiferencial sin ceros Ω y una metrica riemanniana h en Nuc Ω)

4 modelos...

Se tiene ası:

...mas un modelo que lo engloba todo

Se tendrıan ası cuatro modelos de e.t.: lorentziano, riemanniano,leibniziano y anti-leibniziano.

Los cuatro unificables en uno solo: una metrica de signaturacambiante g sobre M, lorentziana en alguna region, riemannianaen otra, y con lımite una estructura leibniziana o anti-leibnizianaen las partes donde la signatura de g cambia.(Posibilidad tenida en en cuenta seriamente desde la “no boundaryproposal” de Hawking).

...mas un modelo que lo engloba todo

Se tendrıan ası cuatro modelos de e.t.: lorentziano, riemanniano,leibniziano y anti-leibniziano.Los cuatro unificables en uno solo: una metrica de signaturacambiante g sobre M, lorentziana en alguna region, riemannianaen otra, y con lımite una estructura leibniziana o anti-leibnizianaen las partes donde la signatura de g cambia.(Posibilidad tenida en en cuenta seriamente desde la “no boundaryproposal” de Hawking).

Comparacion entre los dos modelos no lineales principales

¿Cual es la principal diferencia entre metricas de Lorentz yestructuras de Leibniz desde el punto de vista matematico?

Metrica lorentziana g : el analogo al “lema fundamental de laGa Riemannianiana” (el “milagro” de la Ga Riemanniana) semantiene: g selecciona una “conexion afın canonica”∇(= ∇g ) (un modo de hacer derivadas independente decoordenadas), la conexion de Levi-Civita. Por tanto, se puedendefinir nociones como geodesicas y curvatura

Una estructura leibniziana (Ω, h) no (habrıa que fijar unatal conexion).

Nota: Leibniz frente a Newton

Esta diferencia matematica esta relacionada con una controversiahistorica entre Newton y Leibniz:

Leibniz afirmaba que los SRI de Newton no tenıan sentidoporque, desde el punto de vista de la geometrıa euclidianatridimensional no podemos distinguir entre si un SRIesta rotando o no

Newton respondio que la inclinacion del agua en un cubo deagua rotante permitıa distinguir si un SRI solidario con elcubo estaba en rotacion o no.

Matematicamente, Leibniz vislumbraba que la “estructuraleibniziana” requerıa de una “conexion afın” compatible con ella.Los espacios afines de la aproximacion lineal admiten una talconexion afın canonica, que Newton usaba implıcitamente.

Nota: Leibniz frente a Newton

Esta diferencia matematica esta relacionada con una controversiahistorica entre Newton y Leibniz:

Leibniz afirmaba que los SRI de Newton no tenıan sentidoporque, desde el punto de vista de la geometrıa euclidianatridimensional no podemos distinguir entre si un SRIesta rotando o no

Newton respondio que la inclinacion del agua en un cubo deagua rotante permitıa distinguir si un SRI solidario con elcubo estaba en rotacion o no.

Matematicamente, Leibniz vislumbraba que la “estructuraleibniziana” requerıa de una “conexion afın” compatible con ella.Los espacios afines de la aproximacion lineal admiten una talconexion afın canonica, que Newton usaba implıcitamente.

Preferencia por el modelo lorentziano

La existencia automatica de la conexion de Levi-Civita ∇ da unapoyo matematico adicional al modelo lorentziano para el e.t.:

Matematicamente, en una variedad lorentziana podemosrealizar derivadas (covariantes),

Estas se pueden interpretar fısicamente:

∇ se identifica con el campo gravitatoriociertas geodesicas con partıculas en caıda librela curvatura se relaciona con la materia/energıa e.t....

Preferencia por el modelo lorentziano

La existencia automatica de la conexion de Levi-Civita ∇ da unapoyo matematico adicional al modelo lorentziano para el e.t.:

Matematicamente, en una variedad lorentziana podemosrealizar derivadas (covariantes),

Estas se pueden interpretar fısicamente:

∇ se identifica con el campo gravitatoriociertas geodesicas con partıculas en caıda librela curvatura se relaciona con la materia/energıa e.t....

Algunos elementos lorentzianos basicosUn resultado geometrico-filosofico

Espacios vectoriales lorentzianos

Definition

Sea (V , g) un esp. vect. dotado con unproducto escalar lorentziano. Un vectorv ∈ V , v 6= 0 es:

temporal si g(v , v) < 0luminoso si g(v , v) = 0causal si es temporal o luminosoespacial si g(v , v) > 0

Los vectores temporales se distribuyen en dosconos, una orientacion temporal es la eleccionde uno de ellos, al que se llamara cono futuro

Nocion de espaciotiempo

Definition

Una variedad lorentziana es una variedad diferenciable M dotadade una metrica lorentziana g .Un espaciotiempo es una variedad lorentziana conexa dotada deuna orientacion temporal (eleccion continua de uno de los dosconos en cada punto).

Causalidad

Consistentemente, se define para un e.t. M y “sucesos” p, q ∈ M:

curva temporal dirigida al futuro o pasado, luminosa o causalγ: cuando lo es γ′ en todo punto.

p q (resp. p ≤ q): cuando existe una curva temporaldirigida-futuro (resp. causal o constante) de p a q.

Futuro cronologico y causal de un punto p:I +(p) = q ∈ M : p qJ+(p) = q ∈ M : p ≤ qy analogamente para los pasados I−(p), J−(p)

Nocion de e.t. globalmente hiperbolico

Definition

Un e.t. M es globalmente hiperbolico cuando es causal y nocontiene singularidades desnudas.

Causal: sin curvas causales (temporales oluminosas) cerradas la materia/energıano viajan al pasado

No singularidades desnudas:J+(p) ∩ J−(q) compacto—no perdida (ni aparicion) demateria/energıa/informacion detectablepor otros

Definition

Un resultado sobre e.t. glob. hip.

Theorem

Para un e.t. M, equivalen:

M es globalmente hiperbolico

M admite una hipersurperficie espacial que es Cauchy( el “espacio en un instante” donde se plantean lascondiciones iniciales a las ecuaciones para predecir laevolucion!!)

M admite una funcion temporal de Cauchy( Un tiempo (no-unico) t emerge, y cada nivelt =constante es el “espacio a cada instante” !!)

Theorem

Conclusion

El teorema asegura que en e.t. globalmente hiperbolicos se puedehablar de elementos fısica y filosoficamente atractivos:

De la definicion:

1 No paradojas de viajes al pasado2 No observacion de materia que aparezca o desaparezca

subitamente

Del teorema:

1 Espacio y tiempo globales emergen (y son “metricamenteortogonales”, aunque no unicos)

2 Predictabilidad/determinismo: es posible formular quecondiciones bien planteadas sobre “el presente” (unahypersuperficie de Cauchy espacial) determinan el futuro.

Conclusion

De la definicion:

subitamente

Del teorema:

Conclusion

De la definicion:

subitamente

Del teorema:

Conclusion

De la definicion:

subitamente

Del teorema:

geometría lorentziana: de galileo a la relatividad general

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