geometria diferencial de curvas y superficies

5/7/2018 Geometria Diferencial de Curvas y Superficies - slidepdf.com

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GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVASY SUPERFICIES

GRUPO F¤

Curso 03 - 04

Índice General

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 71.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAL . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Estructura vectorial de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Estructura afín de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Espacio vectorial tangente en un punto de Rn . . . . . 91.1.4 Estructura euclídea de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 CURVAS Y CAMPOS A LO LARGO DE CURVAS . . . . . . 141.2.1 Funciones diferenciables de variable real. Curvas . . . . 141.2.2 Campos a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Velocidad y aceleraciones de una curva . . . . . . . . . 171.2.4 Vectores tangentes y velocidades de curvas . . . . . . . 18

1.3 PARAMETRIZACIONES DE CURVAS REGULARES . . . . 181.3.1 Parámetro de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Curva regular. Parametrización por la longitud de arco 20

1.4 REFERENCIA MOVIL DE FRENET . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 Referencia móvil. Curva alabeada . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Referencia de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 Fórmulas de Frenet. Curvaturas . . . . . . . . . . . . . 241.4.4 Teorema fundamental de la teoría de curvas . . . . . . 25

1.5 CURVAS ALABEADAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.1 Diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura . . . . . . . . 29

1.6 CURVAS ALABEADAS EN EL ESPACIO . . . . . . . . . . . 291.6.1 Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura y la torsión . 31

¤Estos apuntes son reelaboración de unas notas de Javier Lafuente

1



ÍNDICE GENERAL 2

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 32

2.1 PRELIMINARES DE ANÁLISIS . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.1 Aplicaciones diferenciables en Rn. Matriz Jacobiana . . 322.1.2 Vectores tangentes y derivaciones . . . . . . . . . . . . 332.1.3 Diferencial y regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . 342.1.4 Difeomor…smos. Teoremas de la función inversa e im-

plícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.5 Integración. Teoremas de Fubini y del cambio de variable 39

2.2 SUPERFICIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.1 Parametrizaciones locales de subconjuntos de Rn . . . 422.2.2 Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3 Cartas en super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3 APLICACIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES.PLANO TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.1 Aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del es-

pacio afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.2 Plano tangente a una super…cie en un punto . . . . . . 492.3.3 Diferencial y regla de la cadena para aplicaciones entre

subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.4 Representación local de aplicaciones entre super…cies . 532.3.5 Difeomor…smos entre super…cies. Teorema de la fun-

ción inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 CAMPOS DE VECTORES SOBRE SUPERFICIES . . . . . . 58

2.4.1 Campos de vectores sobre subconjuntos del espacio afín 582.4.2 Campos de vectores tangentes a super…cies . . . . . . . 592.4.3 Derivación natural en el espacio afín . . . . . . . . . . 62

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO 653.1 PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Estructura euclídea de los espacios tangentes a E3 . . . 653.1.2 Formas bilineales sobre super…cies . . . . . . . . . . . . 673.1.3 Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.4 Longitudes de curvas en super…cies . . . . . . . . . . . 713.1.5 Áreas en entornos coordenados . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 743.2.1 Orientación de super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.2 Curvatura normal de curvas en super…cies orientadas . 753.2.3 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.4 Una interpretación geométrica de la segunda forma

fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 APLICACIÓN DE (GAUSS-)WEINGARTEN . . . . . . . . . 80

3.3.1 Aplicación de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.2 Curvaturas de super…cies orientadas. Bases adaptadas 82



ÍNDICE GENERAL 3

3.3.3 Aplicación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.4 Expresión local de super…cies como grá…cas de funciones 863.3.5 Clasi…cación de los puntos de una super…cie. Direccio-

nes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3.6 Fórmula de Euler. Direcciones asintóticas . . . . . . . 883.3.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas. Geodésicas . . 90

3.4 ISOMETRÍAS Y CONGRUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . 923.4.1 Isometrías entre super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.2 Super…cies localmente homogéneas . . . . . . . . . . . 953.4.3 Congruencias entre super…cies. Rigidez . . . . . . . . . 97

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 994.1 DERIVACION COVARIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.1 Las proyecciones tangente y normal . . . . . . . . . . . 1004.1.2 Derivada covariante en una super…cie . . . . . . . . . . 1004.1.3 Expresión local de la derivada covariante. Símbolos de

Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1.4 Carácter intrínseco de la derivación covariante y de la

curvatura de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2 TRANSPORTE PARALELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2.1 Transporte paralelo. Carácter intrínseco . . . . . . . . 1064.2.2 Transporte paralelo, geodésicas e isometrías . . . . . . 108

4.2.3 Transporte paralelo y curvatura de Gauss . . . . . . . 1124.3 CURVATURA Y TOPOLOGIA* . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.1 Triangulaciones e integración en super…cies . . . . . . . 1204.3.2 Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.3.3 Super…cies topológicas de R3 . . . . . . . . . . . . . . . 125

5 APÉNDICES 1265.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO126

5.1.1 Aplicaciones en un espacio euclídeo. Demostración dela Proposición 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.1.2 Invariancia de las curvaturas de una curva alabeada.Demostración de la Proposición 1.22 . . . . . . . . . . 1275.1.3 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales* . . . . . 1295.1.4 Curvas alabeadas en el espacio. Demostración del Teo-

rema 1.29 (teorema fundamental)* . . . . . . . . . . . 1305.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN . . . . . . . . . . . . 131

5.2.1 Diferenciabilidad de las componentes locales de un cam-po tangente. Demostración del Lema 2.32 . . . . . . . 131

5.2.2 Curvas integrales de un campo* . . . . . . . . . . . . . 1325.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO . . . . . . . . . 133



ÍNDICE GENERAL 4

5.3.1 Coordenadas ortogonales. Demostración de la Propo-

sición 3.7* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.2 Aplicaciones autoadjuntas. Demostración de la Propo-

sición 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.3 Indicatriz de Dupin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.3.4 Rigidez de la esfera. Demostración del Teorema 3.33

(Hilbert-Liebmann)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES . . 138

5.4.1 Carácter intrínseco de la derivación covariante. De-mostración de la Proposición 4.4* . . . . . . . . . . . . 138

5.4.2 Carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Demos-

tración del Teorema 4.7* . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.4.3 Super…cies en el espacio euclídeo. Ecuaciones de com-patibilidad* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6 EJERCICIOS 1426.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO142

6.1.1 (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia) . . . 1426.1.2 (Hélices 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.1.3 (Determinación diferenciable del ángulo) . . . . . . . . 1436.1.4 (Torsión y curva plana / Normales y circunferencia) . . 1436.1.5 (Tangentes y recta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.1.6 (Evolutas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.1.7 (Catenarias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.1.8 (Cicloides) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.1.9 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión

bidimensional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.1.10 (Diferenciabilidad, regularidad, alabeo) . . . . . . . . . 1446.1.11 (Ángulo polar como parámetro) . . . . . . . . . . . . . 1456.1.12 (Curvas sobre esferas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.1.13 (Máximos de la distancia de un punto a una curva) . . 1456.1.14 (Tangente, normal y binormal) . . . . . . . . . . . . . 146

6.1.15 (Hélices 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.1.16 (Plano osculador) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.1.17 (Plano osculador y círculo osculador) . . . . . . . . . . 1476.1.18 (Proyección sobre el plano osculador) . . . . . . . . . . 1476.1.19 (Aceleraciones de una curva) . . . . . . . . . . . . . . . 1476.1.20 (Modelos 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.1.21 (Modelos 2, cicloide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.1.22 (Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos) . . 1496.1.23 (Curvas planas ”en implícitas”) . . . . . . . . . . . . . 1506.1.24 (”El ocho”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN . . . . . . . . . . . . 151



ÍNDICE GENERAL 5

6.2.1 (Super…cies que son conjuntos de nivel) . . . . . . . . . 151

6.2.2 (Plano tangente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.3 (¿Super…cies?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.4 (Cilindros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.5 (”El ocho” en super…cies) . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2.6 (Ejemplo de helicoide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2.7 (Super…cies de revolución) . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2.8 (Planos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2.9 (Proyección estereográ…ca) . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2.10 (Banda de Moebius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2.11 (Campos tangentes a super…cies 1) . . . . . . . . . . . 155

6.2.12 (Campos tangentes a super…cies 2) . . . . . . . . . . . 1566.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO . . . . . . . . . 1566.3.1 (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo) . . . . 1566.3.2 (Normales y esfera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.3.3 (PFF de la esfera en proyección estereográ…ca) . . . . . 1576.3.4 (PFF de la esfera en polares) . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.5 (PFF de super…cies de revolución en coordenadas) . . . 1576.3.6 (Gradiente de funciones sobre super…cies) . . . . . . . . 1576.3.7 (Super…cies no orientables) . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3.8 (Diferenciabilidad de las curvaturas principales) . . . . 1586.3.9 (SFF de super…cies de revolución en coordenadas) . . . 1596.3.10 (Curvatura de Gauss sin parametrización) . . . . . . . 1596.3.11 (Tangencia, extremos y curvaturas principales) . . . . . 1606.3.12 (Direcciones asintóticas y líneas asintóticas) . . . . . . 1606.3.13 (Líneas de curvatura y líneas asintóticas) . . . . . . . . 1606.3.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 1) . . . . . . 1616.3.15 (Puntos no umbílicos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.3.16 (Meridianos y paralelos en super…cies de revolución) . . 1616.3.17 (Geodésicas, curvas planas y líneas de curvatura) . . . 1626.3.18 (Super…cie de binormales de una curva alabeada) . . . 1626.3.19 (Geodésicas planas y esferas o planos) . . . . . . . . . 162

6.3.20 (Isometrías e isometrías locales 1) . . . . . . . . . . . . 1626.3.21 (Ejemplo de super…cie de revolución 1) . . . . . . . . . 1636.3.22 (Ejemplo de super…cie de revolución 2) . . . . . . . . . 1636.3.23 (De todo un poco 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.3.24 (De todo un poco 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES.VARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.4.1 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas) . . . . . 1656.4.2 (Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva ala-

beada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.4.3 (Geodésicas en el plano, cilindro y esfera) . . . . . . . . 165



ÍNDICE GENERAL 6

6.4.4 (Reparametrización de geodésicas) . . . . . . . . . . . 166

6.4.5 (Super…cies geodésicamente completas) . . . . . . . . . 1666.4.6 (Transporte paralelo en el plano) . . . . . . . . . . . . 1676.4.7 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera)1676.4.8 (Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia) 1676.4.9 (Transporte paralelo y reparametrizaciones) . . . . . . 1686.4.10 (Isometrías e isometrías locales 2) . . . . . . . . . . . . 1686.4.11 (Super…cies simétricas respecto de un plano) . . . . . . 1696.4.12 (Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un pa-

raboloide de revolución) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.4.13 (Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva)170

6.4.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 2) . . . . . . 1706.4.15 (Super…cie de Schwarzschild) . . . . . . . . . . . . . . . 171



1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 7

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ES-PACIO EUCLÍDEO

Prerrequisitos académicos del curso:Algebra lineal. Cálculo diferencial en varias variables reales, incluyendo

los teoremas de la función inversa e implícita. Cálculo integral en variasvariables, incluyendo el teorema del cambio de variable.

1.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAL

1.1.1 Estructura vectorial de Rn

Como es habitual, Rn representa el cuerpo de los números reales. Los ele-mentos del conjunto Rn de n-tuplas ordenadas de números reales pueden serconsiderados como vectores de un espacio vectorial euclídeo o como puntosde un espacio afín. Trataremos de precisar aquí este asunto.

Rn tiene estructura natural de espacio vectorial sobre R. Denotamos por

(~e1;:::;~ en) a la base ordenada naturalo canónica, es decir, ~ ei := (0; :::; 1(i; :::; 0);con i = 1;:::;n; de forma que se tiene la identidad:

~ » = (» 1; : : : ; » n) =n

Xi=1

» i~ei , para todo (» 1; : : : ; » n) 2 Rn

Observación 1.1 También podría pensarse que Rn es un espacio vectorial abstracto de dimensión n, en donde se ha destacado una base (~ e1; :::; ~en) que

permite identi…car cada vector ~ » =Pn

i=1 » i~ ei 2 Rn con sus coordenadas

(» 1; : : : ; » n).

Es bien conocido el isomor…smo canónico que existe entre el espacio vecto-rial de las aplicaciones lineales de Rn en Rm y el espacio vectorial R(m; n) delas matrices de m …las y n columnas con coe…cientes reales. La composiciónde aplicaciones lineales corresponde al producto de matrices. Una matriz A

de m …las y n columnas con coe…cientes reales del tipo

A =

0B@ a11 : : : a1n... . . . ...

am1 : : : amn

1CApuede escribirse como el conjunto de sus vectores columna

A = (~a1; : : : ;~an) ; con ~ai =

0B@

a1i...

ami

1CA 2 Rm (i = 1;:::;n) :




Interpretada ahora como aplicación: A : Rn

3~ »

7!A~ »

2R

m (donde A~ »

denota el producto matricial de A por la matriz columna ~ » 2 Rn), la matrizA representa la única aplicación lineal de Rn en Rm que transforma la basecanónica (~e1;:::;~ en) de Rn en el sistema ordenado (~a1; : : : ;~an) de vectores deRm. Todo ello nos permite escribir:

A = ( A~e1 |{z} ~a1

; :::; A~en |{z} ~an

) 2 R(m; n)

y, si B 2 R( p;m), se tiene:

AB = (B(A~ e1);:::;B(A~ en))

2R( p;n) :

En el caso particular m = n, la condición necesaria y su…ciente para quela matriz A = (~a1; : : : ;~an) sea isomor…smo lineal de Rn es que el conjunto(~a1; : : : ;~an) sea base, esto es, det(A) 6= 0. Si det(A) > 0 , se dice que la base(~a1; : : : ;~an) es(tá) positiva(mente orientada), o también que A : Rn 3~ » 7! A~ » 2 Rn preserva la orientación. En particular, la base canónica(~e1;:::;~ en) es positiva.

1.1.2 Estructura afín de Rn

Los elementos p = ( p1;:::;pn) deRn

también pueden pensarse como puntosde un espacio afín Rn sobre el espacio vectorial Rn. Si ~ » = (» 1; : : : ; » n) 2 Rn,

denotamos por ¿ ~ » la traslación de vector ~ » :

¿ ~ » : Rn 3 p 7! p + ~ » 2 Rn :

Si p, q 2 Rn , de…nimos el vector

¡! pq : = q ¡ p 2 Rn ;

y se veri…ca la identidad q = p + ¡! pq .

Llamaremos o ´ (0; :::; 0) 2 Rn : Obsérvese que, si p = ( p1;:::;pn) es unpunto de Rn; entonces ¡!op = ( p1;:::;pn) es un vector de Rn.

Observación 1.2 También podría pensarse que Rn es un espacio afín abs-tracto (sobre un espacio vectorial de dimensión n), en donde se ha des-

tacado una referencia afín (o; ~ e1; :::; ~en) que permite identi…car cada punto p = o +

Pni=1 pi~ei 2 Rn con sus coordenadas ( p1;:::;pn):




1.1.3 Espacio vectorial tangente en un punto de Rn

Si p 2Rn, ~ » 2Rn, denominaremos vector tangente en p correspondientea ~ » al par ( p; ~ » ). Emplearemos la notación

» ´ ~ » p ´ ( p;~ » )

(el uso de la negrita » irá aumentando a medida que nos vayamos familia-rizando con el concepto de vector tangente). Geométricamente, ~ » p se repre-senta por el vector ~ » ”apoyado” en el punto p. Se denomina a ~ » la partevectorial de ~ » p:

El conjunto T pRn :=

f~ » p

j~ »

2Rn

gtiene estructura natural de espacio

vectorial; para ello, basta con declarar que la biyección natural Rn 3 ~ » 7!

~ » p 2 T pRn sea un isomor…smo lineal, es decir:

( ~̧ » + ¹~́) p = ~̧ » p + ¹~́ p ; 8¸; ¹ 2 R y 8~ »; ~́ 2 Rn :

El conjunto ((~e1) p; :::; (~en) p) constituye una base de T pRn, que denomina-

remos canónica. Obviamente se tiene: ~ » p =Pn

i=1 » i(~ei) p .El espacio T pR

n se denomina espacio (vectorial) tangente en p 2 Rn.

1.1.4 Estructura euclídea de Rn

En el espacio vectorial Rn se de…ne el producto escalar canónico por:

< ~ »; ~́ > : =nX

k=1

» k´k , 8~ » ´ (» 1; : : : ; » n); ~́ ´ (´1; : : : ´n) 2 Rn

Fijada cualquier base b ´ (~a1; : : : ;~an), la no-degeneración de la formabilineal simétrica <; > es equivalente (!) a que

det <; >b

´det0@

< ~a1; ~a1 > : : : < ~a1; ~an >: : : : : : : : :

< ~an; ~a1 > : : : < ~an; ~an > 1A 6= 0 ;

mientras que el carácter de…nido positivo de <; > implica (pero, salvo paran = 2, no es equivalente a) que½

< ~ai; ~ai > > 0 ; i = 1;:::;ndet <; >b > 0

:

En efecto: Como se sabe, al ser <; > una forma bilineal simétrica,existen bases ¹b en las que la matriz de productos escalares <; >¹b esdiagonal. La no-degeneración de <; > es entonces equivalente a que,

en dichas bases ¹b, todos los elementos de la diagonal principal de <; >¹b




sean no nulos. Pero es bien conocido (ver la Observación 3.6) que, al

cambiar de base (b = ¹bA), se veri…ca <; >b = AT <; >¹b A. Se sigueque la no-degeneración de <; > es equivalente a que det <; >b 6= 0.

Por otra parte, el carácter de…nido positivo de <; >, aparte de implicarque < ~ai; ~ai > > 0 (i = 1;:::;n), es obviamente equivalente a que,en cualquier base ¹b que haga diagonal a <; >¹b, todos los elementos dela diagonal principal sean positivos, lo que a su vez implica (mismoargumento que antes) que det <; >b > 0

En (Rn; < ; >) existen bases ortonormales. Dado ~ » 2 Rn y dada cualquierbase ortonormal (~a1; : : : ;~an), se tiene la identidad

~ » =nX

i=1

< ~ »; ~ai > ~ai :

La norma de ~ » es j ~ » j:= +

q < ~ »; ~ » > y el coseno del ángulo (no

orientado) ](~ »; ~́) 2 [0; ¼] determinado por los vectores no nulos ~ » y ~́ vienede…nido por

cos](~ »; ~́ ) :=< ~ »; ~́ >

j ~ » jj ~́ j (1)

Cuando consideramos Rn con esta estructura natural de espacio vectorialeuclídeo, lo denotaremos por En. En el caso particular de E3, se de…ne elproducto vectorial por:

~ » £ ~́ : = det

0@ ~ e1 ~e2 ~e3» 1 » 2 » 3´1 ´2 ´3

1A ; 8~ »; ~́ 2 E3

Observación 1.3 1. El módulo¯̄¯~ » £ ~́

¯̄¯

representa el área del paralelogra-

mo determinado por ~ » y ~́, esto es:

¯̄̄~ » £ ~́

¯̄̄=

v uutdet

Ã< ~ »; ~ » > < ~ »; ~́ >

< ~́; ~ » > < ~́; ~́ >

!(1)= j ~ » j |{z}

base

j ~́ j j sen] (~ »; ~́) j |

{z

} altura

:

(2)

En efecto (ver [5], 1.4): Introduciendo el símbolo (con i;j;k 2f1; 2; 3g)

"ijk := 8<:+1 , si fijkg es una permutación par de f123g

¡1 , si

fijk

ges una permutación impar de

f123

g0 , si dos índices son iguales ;




es inmediato comprobar que (

8i; j) : ~ ei

£~e j = P

3m=1 "ij m~ em.

De donde se sigue:

<~ ei£~ e j ; ~ek£~el>=3X

m=1

"ijm"mkl!

= ± ik± jl¡± il± j k=det

µ< ~ ei; ~ ek > < ~ei; ~el >

< ~ e j; ~ek > < ~e j; ~el >

¶y, por la (cuatri)linealidad de ambos miembros, se obtiene:

¯̄̄~ » £ ~́

¯̄̄2=<~ » £ ~́; ~ » £ ~́ >= det

Ã< ~ »; ~ » > < ~ »; ~́ >

< ~́; ~ » > < ~́; ~́ >

!

2. Sean ~ »; ~́; ~ Â 2 E3. Entonces se veri…ca:

< ~ » £ ~́; ~ Â >=det(~ »; ~́; ~ Â) y (~ » £ ~́) £ ~ Â =< ~ »; ~Â > ~́ ¡ < ~́; ~ Â > ~ »

(3)

En efecto (ver [5], 1.4): La primera expresión se deduce inme-

diatamente de la de…nición de producto vectorial (de hecho, es

equivalente a ésta). Para la segunda (que pone de mani…esto que

el producto vectorial no es asociativo), basta tener en cuenta que:

(~ ei£~ e j)£~ek =

3Xl;m=1

"ijm"mkl~ el !=

3Xl=1

(± ik± j l¡± il± jk)~ el =< ~ei; ~ek > ~e j¡ < ~e j; ~ek > ~ ei

y, por la (tri)linealidad de ambos miembros, se obtiene el resul-

tado deseado

3. Sean ~ »; ~́; ~ » 0; ~́ 0 2 E3 tales que ~ » y ~́ son linealmente dependientes de ~ »

0

y ~́ 0, esto es, (~ »; ~́) = (~ » 0; ~́ 0)A; con A una matriz 2 £ 2. Entonces se

veri…ca:~ » £ ~́ = (det A) (~ »

0 £ ~́0) (4)

En efecto: Para todo ~ Â, se tiene:

< ~ » £ ~́; ~ Â >(3)= det(~ »; ~́; ~ Â) = det

µ(~ » 0; ~́ 0; ~ Â)

µA 00 1

¶¶=

= det A det(~ » 0; ~́ 0; ~ Â)

(3)= det A < ~ »

0 £ ~́ 0; ~Â > ;

y, al ser ~ » £ ~́ y ~ » 0 £ ~́ 0 colineales, el resultado se sigue

Dada una matriz A = (~a1; : : : ;~an) 2 R(n; n), la condición para que elconjunto (~a1; : : : ;~an) constituya una base ortonormal es que AT A = I (bas-

ta comprobar que AT A no es sino la matriz de productos escalares de los




elementos de (~a1; : : : ;~an)). En este caso la transformación (o la matriz) A

se dice ortogonal (también se dice que A es una isometría lineal). Elconjunto O(n) de transformaciones ortogonales tiene estructura natural degrupo. Es inmediato ver (!) que A 2 O(n) si y sólo si A preserva el productoescalar, es decir:

< A~ »; A~́ >=< ~ »; ~́ > ; 8~ »; ~́ 2 En

Si A 2 O(n) , es 1 = det(I ) = det(AT A) = (detA)2, con lo que detA = §1.Si detA = 1, se dice que A es ortogonal positiva, o también que la base

(~a1; : : : ;~an) es ortonormal positiva. El conjunto SO(n) := fA 2 O(n) jdet A = 1

ges un subgrupo de O(n) cuyos elementos se llaman rotaciones.

En el caso deE3, es fácil verque A 2 SO(3) si y sólo si A preserva el productoescalar y el vectorial, es decir:

< A~ »; A~́ >=< ~ »; ~́ > y (A~ » ) £ (A~́) = A(~ » £ ~́) , 8~ »; ~́ 2 E3

Observación 1.4 También podría pensarse que En es un espacio vectorial

euclídeo abstracto de dimensión n, en donde se ha destacado una base orto-normal positiva (~ e1; :::; ~en) que permite identi…car los vectores con sus coorde-nadas. El producto escalar quedaría de…nido como antes, independientemente de la base ortonormal elegida; y lo propio ocurriría, si n = 3, con el producto

vectorial, independientemente de la base ortonormal positiva elegida.

Por lo visto en 1.1.2, En posee una estructura canónica de espacio afíneuclídeo. Si p; q 2 En, la distancia entre p y q es d( p;q ) :=j ¡! pq j.

Proposición 1.5 Sea Ã : En ! En una aplicación arbitraria. Considéren-

se las siguientes a…rmaciones: (i) Ã es lineal, (ii) Ã es inyectiva, (iii) Ãpreserva normas de vectores, (iv) Ã preserva distancias entre puntos, (v) Ãpreserva productos e scalares de vectores. Entonces se tienen las siguientes implicaciones:

1. (i) + (iii) , (v)

2. (i) + (iii) ) (iv)

3. (i) + (iv) ) (iii)

4. (iv) ) (ii)

5. (v) ) (i) + (ii)

6. (iii) + (iv) ) (v)

Demostración. Ver Apéndice 5.1.1




Observación 1.6 Se sigue de lo anterior:

1. (v) ) (i) + (ii) + (iii) + (iv)

2. (iv) ) (ii). Además: (iv) + (i) ) (iii) + (iv). Pero: (iv) ; (i)

(Ejemplo: Ã(~ » ) = ~ » +¡!cte)

3. (iii) + (i) ) (ii) + (iv) + (v). Pero: (iii) ; (i) (Ejemplo: Ã(~ » ) =

(¯̄̄~ » ̄̄̄ ; 0; :::0))

Un movimiento en En es una aplicación A : En ! En que preservadistancias entre puntos, es decir, d(

A( p);

A(q )) = d( p;q );

8 p; q

2E

n. Sesigue de la Proposición 1.5(4) que los movimientos son inyectivos. Por otraparte, se prueba fácilmente que A : En ! En es un movimiento si y sólo sipuede expresarse en la forma:

A( p) = A(¡!op ) + ~ » ; (5)

donde A 2 O(n) y ~ » 2 En.

En efecto (ver por ejemplo [8], Cap.22, Teorema 1): La condiciónsu…ciente es inmediata, puesto que tanto las traslaciones (obvio) como

las isometrías lineales (Proposición 1.5(1) y (2)) preservan distancias.Probemos la condición necesaria. Sea ~ » ´ A(o). La aplicación B :

En 3 p 7! A( p) ¡ ~ » 2 E

n preserva obviamente distancias; además,preserva normas de vectores, ya que se tiene

jB(¡!op)j ´¯̄̄B(¡!op ) ¡ ~ 0

¯̄̄ B(o)=o= jB( p) ¡ B(o)j ´ d(B( p); B(o)) = d( p; o) ´ j¡!opj :

Por la Proposición 1.5(6), B preserva productos escalares; y, por laProposición 1.5(1), B es lineal. De donde se sigue: B( p) = A(¡!op),con A

2O(n).

De lo anterior se concluye que:

(1) Los movimientos son biyectivos; la inversa A¡1 de A viene dada por

A¡1 : En 3 p 7! A¡1(¡!op) ¡ A¡1~ » 2 En :

(2) Se veri…ca ¡¡¡¡¡¡!A( p)A(q ) = A(¡! pq ) ; 8 p;q 2 En : (6)




Un movimiento se dice directo si la parte ortogonal A del mismo es una

rotación, esto es, si A 2 SO(n).Para cada p 2 E

n, el espacio T pEn tiene estructura natural (o canónica )

de espacio vectorial euclídeo, de…niendo, para todo ~ » p; ~́ p 2 T pEn;

< ~ » p; ~́ p> := < ~ »; ~́ > 2 R ; (7)

si, además, n = 3, se de…ne:

~ » p£~́ p := (~ » £ ~́) p 2 T pE3 : (8)

Observación 1.7 A partir de aquí, se puede trabajar en el nivel de abstrac-ción sugerido en las observaciones 1.1, 1.2 y 1.4, y suponer que En es un espacio a…n euclídeo abstracto (sobre un espacio vectorial euclídeo de dimen-sión n), en donde se ha destacado una referencia afín euclídea (o; ~e1; :::; ~en)que permite identi…car los puntos y vectores con sus coordenadas.

1.2 CURVAS Y CAMPOS A LO LARGO DE CUR-VAS

1.2.1 Funciones diferenciables de variable real. Curvas

Sea I un intervalo abierto de R . Una función f : I ! R se dirá diferen-ciable si posee derivadas continuas de todos los órdenes (esto es, si es declase C 1). Se denotarán por df

dt ; d2f dt2 ; : : : ; dkf

dtk ; : : : sus derivadas sucesivas. Siel intervalo I no es abierto, se dirá que f : I ! R es diferenciable si existenun intervalo abierto ~I ¾ I y una extensión ~f de f a ~I (esto es, una función~f : ~I ! R tal que ~f jI = f ) diferenciable.

El conjunto F(I ) de funciones diferenciables f : I ! R tiene estructuranatural de anillo (pero no de cuerpo: las funciones que se anulan en algúnpunto no poseen inversa).

Una aplicación ® : I 3 t 7! (®1(t); : : : ; ®n(t)) 2 Rn se dirá diferenciable

si cada componente ®i : I ! R(i = 1;:::;n) es una función diferenciable.La derivada de ® es la aplicación d®

dt: I 3 t 7! (d®1

dt(t); : : : ; d®n

dt(t)) 2 R

n.Se denotarán por d2®

dt2 ; : : : ; dk®dtk ; : : : las derivadas sucesivas de ®:

Cuando una aplicación diferenciable ® : I ! Rn se considera aplicaciónsobre Rn como espacio afín se llama curva. Cuando se considera aplicaciónsobre Rn como espacio vectorial, se denota por ~ ® : I ! R

n y se denominacurva vectorial. La variable en I se denomina parámetro de la curva.

Ejemplo 1.8 Curvas: (a) ® : R 3 t 7! (t; 0) 2 R2 (imagen, recta); (b)

® : R

3t

7!( p1 + r cos t; p2 + rsent)

2R2 (no inyectiva; imagen, circunfe-

rencia de radio r); (c) ® : R 3 t 7! (t3; t2) 2 R2 (imagen con ”pico”); (d)




® : [

¡2¼; 2¼]

3t

7!( p1 + t cos t; p2 + tsent)

2R2 (no inyectiva; imagen,

”cardioide”); (e) la aplicación ® : R 3 t 7! (t; jtj) 2 R2 no es una curva; (f )® : (¡¼; ¼) 3 t 7! (sent; sen2t) 2 R2 (inyectiva; imagen, ”el ocho”).

Observación 1.9 De…nimos pues las curvas como aplicaciones; la imagen de una curva (subconjunto de Rn) es sólo uno de los ”ingredientes” de és-ta. A veces, no obstante, se denomina a una curva por su imagen (recta,circunferencia, catenaria, cicloide,...); se trata de un abuso de lenguaje.

En el Ejercicio 6.1.23d se propone una de…nición alternativa de curva plana, a saber: subconjunto de R2 que admite una ”parametrizacón (local,1-dimensional)” en torno a cada uno de sus puntos (en cuanto a la termino-

logía, ver 2.2.1). Esta de…nición sería análoga a la que más adelante (2.2.2)daremos para super…cies de R3. Sin embargo, adoptar aquí esta de…nición de curva supondría dejar fuera de consideración subconjuntos con ”picos”, ocon ”autointersecciones”, o del tipo ”el ocho” (Ejercicio 6.1.24), lo que noparece razonable. Después de todo, el estudio de muchas curvas tiene su ori-gen en la mecánica, donde el parámetro es el tiempo, las curvas están ”para ser recorridas” (Ejercicios 6.1.20 y 6.1.21) y las c itadas peculiaridades noson en absoluto rechazables.

El conjunto de todas las curvas vectoriales de…nidas sobre el intervalo I tiene estructura natural de R-espacio vectorial y de F(I )-módulo.

Sean ~ V ; ~ W : I ! Rn dos curvas vectoriales con el mismo parámetro ysea f : I ! R una función diferenciable. Entonces se veri…ca:

d

dt(~ V + ~ W ) =

d

dt~ V +

d

dt~ W ;

d

dt(f ~ V ) =

df

dt~ V + f

d

dt~ V : (9)

Si consideramos Rn como espacio euclídeo (esto es, En), se veri…ca tam-bién:

d

dt< ~ V ; ~ W >=<

d

dt~ V ; ~ W > + < ~ V ;

d

dt~ W > ; (10)

y si, además, n = 3, se tiene:d

dt(~ V £ ~ W ) =

d

dt~ V £ ~ W + ~ V £ d

dt~ W (11)

1.2.2 Campos a lo largo de una curva

Un campo (diferenciable) de vectores V a lo largo de una curva ® :I ! Rn viene determinado por una curva vectorial (con el mismo parámetro)~ V : I ! R

n; y se de…ne como la aplicación:

V ´~ V ® : I 3 t 7! V(t) := ³~ V (t)´®(t) 2 T ®(t)Rn




Se denomina a ~ V la parte vectorial de V. Obviamente se tiene, para

todo t 2 I :

V(t) =nX

i=1

V i(t)(~ ei)®(t)

y las funciones diferenciables V i : I ! R reciben el nombre de componentesde ~ V ( y de V).

Ejemplo 1.10 (conviene hacer un dibujo) (a) sobre una curva ® : I !R2

arbitraria, se da el campo V(t) = (0; 1)®(t) (campo ”constante”, ”vertical” y

unitario), con parte vectorial ~ V (t) = (1; 0); (b) sobre la curva ® : R 3 t 7!(0; t) 2 R

2

, se da el campo V(t) = (1; t)®(t), con parte vectorial ~ V (t) = (1; t);(c) sobre la curva ® : R 3 t 7! ( p1 + cos t; p2 + sent) 2 R2, se da el campo

V(t) = (®(t) ¡ p)®(t) (normal unitaria ”exterior” a la circunferencia Im ®),

con parte vectorial ~ V (t) = ®(t) ¡ p.

La familia X® de campos a lo largo de la curva ® tiene estructura naturalde R-espacio vectorial y de F(I )-módulo.

Considerando Rn como espacio vectorial euclídeo (esto es, En), y dadosV; W 2X® y t 2 I , se de…ne, de acuerdo con (7):

< V; W > (t) :=< ~ V (t); ~ W (t) > 2 R ;

y si, además, n = 3, se de…ne:

(V £ W)(t) : = (~ V (t) £ ~ W (t))®(t) 2 T ®(t)E3:

De…niendo …nalmente la derivada de V como el campo V0 2 X® tal que

V0(t) : =

Ãd~ V

dt(t)

!®(t)

, 8t 2 I ;

resulta inmediato ver que las reglas formales análogas a las establecidas en(9) para ~ V y ~ W siguen siendo válidas ahora cuando V; W son campos (a lo

largo de ®)

(V + W)0 = V0 + W

0 ; (f V) 0 =df

dtV + f V0 ;

siéndolo también la análoga a (10) si consideramos Rn como espacio euclídeo(esto es, En)

d

dt< V; W >=< V

0; W > + < V; W0 > ;

así como la análoga a (11) si n = 3

(V £ W)0 = V0 £ W + V £ W0 :




1.2.3 Velocidad y aceleraciones de una curva

Se de…ne la velocidad de una curva ® : I ! Rn como el campo ®0 2 X®

determinado por la derivada d®dt

de la curva ®, esto es,

®0 : I 3 t 7! ®0(t) :=

µd®

dt(t)

¶®(t)

2 T ®(t)Rn :

Nótese que, al ser

d®

dt(t) = lim

¢t!0

¡¡¡¡¡¡¡¡¡!®(t)®(t + ¢t)

¢t;

esta derivada es ya una curva vectorial

Así, la parte vectorial de ®0(t) es d®dt

(t) y se tiene:

®0(t) =nX

i=1

d®i

dt(t)(~ei)®(t) :

El campo ®00 := (®0)0 2 X® se denomina la aceleración de la curva ®.En general, el campo ®(k) := (®(k¡1))0 2 X®, que veri…ca

®(k)(t) = µdk®dtk

(t)¶®(t)

, 8t 2 I ;

se denomina (k ¡ 1)-ésima aceleración de la curva ®.

Ejemplo 1.11 (conviene hacer un dibujo) (a) Sea la curva ®(t) := (t3; t2) 2R2; el campo de velocidades es ®0(t) = (3t2; 2t)®(t), con parte vectorial d®

dt(t) =

(3t2; 2t); el campo de aceleraciones es ®00(t) = (6t; 2)®(t), con parte vectorial d2®dt2

(t) = (6t; 2). (b) Sea la curva ®(t) := ( p1 + cos t; p2 + sent) 2 R2; el

campo de velocidades es ®0(t) = (¡sent; cos t)®(t), con parte vectorial d®dt

(t) =

(¡sent; cos t); el campo de aceleraciones es ®00(t) = ¡(cos t; sent)®(t) (normal unitaria ”interior” a la circunferencia Im ®), con parte vectorial d2®

dt2(t) =

¡(cos t; sent).

Proposición 1.12 Sea ® : I ! Rn una curva. Consideremos Rn como es-

pacio euclídeo (esto es, En) y sea A : En ! En un movimiento con aplicación ortogonal A : En ! E

n, como en (5). En tal caso, la curva A ± ® : I ! En

se denomina congruente con ® y se veri…ca:

dk(A ± ®)

dtk

(t) = Aµdk®

dtk

(t)¶ ;

8t

2I;

8k = 1; 2;:::




Demostración. Al ser

A(®(t)) = A(

¡¡!o®(t)) + ~ » ;

8t

2I (y para

cierto ~ » 2 En); se tiene:

d(A ± ®)

dt(t) =

d(A(¡!o®))

dt(t) = lim

¢t!0

A(¡¡¡¡¡¡¡!o®(t + ¢t)) ¡ A(

¡¡!o®(t))

¢t=

= A( lim¢t!0

¡¡¡¡¡¡¡¡¡!®(t)®(t + ¢t)

¢t) = A

d®

dt(t) ;

y así sucesivamente

1.2.4 Vectores tangentes y velocidades de curvas

Sea ® : I ! Rn una curva tal que 0 2 I y ®(0) = p . Se dice entonces que

® es una curva por (el punto) p 2 Rn.Si S es un subconjunto de Rn tal que p 2 S , una curva por p en S es

una curva por p cuya imagen (y la de alguna extensión diferenciable a unintervalo abierto, si el dominio de la curva no lo es) está contenida en S .Denotaremos por C ( p;S ) a la familia de dichas curvas.

Fijemos p 2 Rn. Si ® 2 C ( p;Rn); el vector ®0(0) pertenece a T pRn y se

veri…ca: ®0(0)1:2:3=Pn

i=1d®i

dt (0)(~ ei) p . Además, para cada ~ » p 2 T pRn; la curva® : R 3 t 7! p + t~ » 2 Rn veri…ca ®0(0) = ~ » p . De donde se concluye:

T pRn = f®0(0) j ® 2 C ( p;Rn)g :

Este es el primer paso para hacer de los vectores tangentes algo ”analíti-camente útil” (ver luego, apartado 2.1.2).

1.3 PARAMETRIZACIONES DE CURVAS REGU-LARES

1.3.1 Parámetro de una curva

Sea ® : I ! Rn

una curva. Como ya dijimos antes, la variable t de I sedenomina parámetro de ®.Un difeomor…smo f : J 3 s 7! t = f (s) 2 I entre intervalos de R se

dice que preserva la orientación si df ds

(s) > 0 ; 8s 2 J . Si df ds

(s) < 0 ;

8s 2 J ; se dice que invierte la orientación. Por ejemplo, el difeomor…smof : (¡b;¡a) 3 s 7! t = ¡s 2 (a; b) invierte la orientación.

Aplicando la bien conocida regla de la cadena (2.1.3) a la composición de

funciones de la forma J f ! I ! R

n; resulta:

Proposición 1.13 Sea ® : I ! Rn una curva y sea f : J 3 s 7! t = f (s) 2 I

un difeomor…smo entre intervalos. Entonces:




1. Se veri…ca:

(® ± f )0 = df ds

(®0 ± f ) :

2. Dado V 2 X®, se veri…ca:

(V ± f )0 =df

ds(V

0 ± f ) :

Demostración: para todo s 2 J , se tiene:

(®±f )0(s)1:2:3= µ

d(® ± f )

ds(s)¶(®±f )(s)

= µdf

ds(s)

d®

dt(f (s))¶®(f (s))

1:2:3=

df

ds(s) ®0(f (s))

y también

(V±f )0(s)1:2:2=

Ãd(~ V ± f )

ds(s)

!(®±f )(s)

=

Ãdf

ds(s)

d~ V

dt(f (s))

!®(f (s))

1:2:2=

df

ds(s) V

0(f (s))

Un difeomor…smo f : J ! I , que permite pasar de ® a ®±f , se denominaun cambio de parámetro de ®; la nueva curva ®

±f : J

!R

n se denomina

una reparametrización de ®. Tanto la relación de ”ser reparametrización”como la de ”ser reparametrización con la misma orientación” son de equiva-lencia sobre la familia de curvas y de…nen, por paso al cociente, los conceptosde trayectoria (imagen de la curva) y de trayectoria orientada (imagendotada de un sentido de recorrido).

Ejemplo 1.14 Las curvas ® : R 3 t 7! (t; 0) 2 R2 y ¯ : R 3 t 7! (t3; 0) 2 R2

poseen la misma trayectoria pero no son reparametrización una de la otra (sí lo serían si el dominio de ambas fuera R+).

1.3.2 Longitud de una curvaConsideremos Rn como espacio euclídeo (esto es, En).

Sea ® : I = [a; b] ! En una curva. Se llama longitud de ® a la integral

(ver 2.1.5)

L(®) :=

Z b

a

j ®0(t) j dt

Observación 1.15 1. Si el intervalo de de…nición es abierto por algún lado, p.e. I = [a; b), se de…ne obviamente L(®) := limx!b

R xa j ®0(t) j dt

(suponiendo que el límite exista; por ejemplo, la curva ® : (0; 1] 3 t 7!(3; ln t) 2 R2 posee longitud in…nita).




2. Una curva continua ® : I = [a; b]

!E

n se dice recti…cable si existe

un número a > 0 que acota superiormente la longitud de cualquier po-ligonal inscrita en ella (ver [2], De…nición 8.24). Condición necesaria y su…ciente para que ® sea recti…cable es ([2], Teorema 8.25) que cada

componente ®i : I = [a; b] ! E1 (i = 1;:::;n) sea de variación acotada.

Para ello es a su vez su…ciente ([2], Teorema 8.6) que cada d®i

dt exista y esté acotada en (a; b). Así pues, nuestras curvas (diferenciables) son todas recti…cables. Para convencerse de que nuestra de…nición de lon-

gitud coincide con la habitual para curvas continuas recti…cables (estoes, el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas), ver [5],1.3, Ejercicio 8, [1], 2.3, Teorema 13.

Proposición 1.16 Sea ® : I = [a; b] ! En una curva y f : J = [c; d] !

[a; b] un cambio de parámetro de ®. Entonces

L(® ± f ) = L(®) :

Demostración. Es consecuencia directa de la Proposición 1.13(1) yde la fórmula del cambio de variable en integrales de Riemann cuandola derivada del cambio de variable no se anula nunca (Teorema 2.11en 2.1.5):

L(®±f ) :=Z d

c

j (®±f ) 0(s) j ds =Z d

c

j ®0(f (s)) j j df ds

(s) j ds =Z b

a

j ®0(t) j dt

1.3.3 Curva regular. Parametrización por la longitud de arco

Una curva ® : I ! Rn se dice regular en t0 2 I si ®0(t0) 6= ~ 0®(t0) . Se dice

que ® es regular si es regular en todo t 2 I . Se sigue de la Proposición1.13(1) que, si ® : I ! Rn es regular y f : J ! I es un cambio de parámetrode ®, entonces ® ± f es también regular.

Conviene distinguir, de entre las entidades matemáticas asociadas a una

curva regular, las que dependen sólo de la trayectoria y las que dependen dela parametrización regular concreta. Así, por ejemplo, el campo ®0 dependeobviamente de la parametrización, mientras que el campo ®0= j ®0 j dependesólo de la trayectoria orientada, y el conjunto de rectas a…nes tangentes a ®depende sólo de la trayectoria.

Se dice que una curva regular ® : I ! En está parametrizada por lalongitud de arco si veri…ca la condición j ®0(s) j= 1; 8s 2 I . En tal casose tiene

L(® j[a;b]) = b ¡ a ; 8a; b 2 I ; a < b

Intuitivamente, si una curva ® está parametrizada por la longitud de arco

y …jamos un punto x0 = ®(s0), cualquier otro punto x de la imagen de ®




queda determinado por la distancia (con signo) que hay que recorrer sobre

la curva para llegar desde x0 hasta x.Obsérvese que, si j ®0 j= 1, se tiene: < ®0; ®00 >= 0 (esto es, velocidad y

aceleración son ortogonales).

Proposición 1.17 Sea ® : I ! En una curva regular y t0 2 I . La aplicación

g : I 3 t 7! s ´ g(t) :=

Z t

t0

j ®0(t) j dt 2 g (I ) ´ J

veri…ca dgdt (t) =j ®0(t) j> 0 y su inversa f = g¡1 : J ! I es un cambio de

parámetro de ®. Además, la curva ®±

g¡1 : J !En está parametrizada por

la longitud de arco.

Demostración:

j (®±g¡1)0(s) jProp. 1.13(1)= j dg¡1

ds(s) j j ®0(g¡1(s)) j= 1

j ®0(t) j j ®0(t) j= 1

Ejemplo 1.18 La curva (hélice) ® : (0; 1) 3 t 7! (3 cos t2

; 3sen t2

; 5t) 2 E3

veri…ca j®0(t)j =p 1092

. Haciendo s ´ g(t) :=

R t

t0j ®0(t) j dt =

p 1092

t, se

obtiene: t = 2sp 109

; la reparametrización de ® por la longitud de arco es la

curva ® ± g¡1 : (0; p 1092

) 3 s 7! (3cos sp 109

; 3sen sp 109

; 10sp 109

) 2 E3. En general,la di…cultad en reparametrizar una curva regular por su longitud de arco no

está tanto en hallar el nuevo intervalo J o en encontrar la función g : I ! J (lo que supone calcular una integral), sino en invertir g.

1.4 REFERENCIA MOVIL DE FRENET

Comenzamos con algunas de…niciones básicas:

1.4.1 Referencia móvil. Curva alabeada

Una referencia móvil (a lo largo) de una curva ® : I ! En es un

sistema ordenado (E1;:::; En) de campos Ei a lo largo de ® de forma que,para cada t 2 I , el sistema (E1(t);:::; En(t)) es una base de T ®(t)E

n . Si paracada t 2 I esta base es ortonormal positiva, entonces se dice que (E1; :::; En)es una referencia móvil euclídea de ®.

Obsérvese que, de acuerdo con lo dicho en 1.2.2, para cada t 2 I se tiene

Ei(t) = ( ~ E i(t))®(t)

´ (®(t); ~ E i(t)) ;

donde~ E i : I !

En

es cierta curva vectorial (i = 1;:::;n).




El que la base (E1(t); :::; En(t)) de T ®(t)En sea ortonormal positiva equiva-

le (recordar 1.1.4) a que, escribiendo los Ei(t) en la base ((~ e1)®(t); :::; (~en)®(t)),la matriz

A(t) ´ (E1(t) ; :::; En(t))

veri…queAT (t)A(t) = I n y det A(t) = 1 :

Una curva ® : I ! En (n ¸ 2) se dice alabeada en t0 2 I si el conjuntode n ¡ 1 vectores (®0(t0); : : : ; ®(n¡1)(t0)) de T ®(t0)E

n es linealmente indepen-diente. Se dice ® es alabeada si es alabeada en todo t

2I . Toda curva

alabeada es regular. Aplicando repetidamente la regla de la cadena se com-prueba que el concepto de ”ser alabeada” depende sólo de la trayectoria yno de la parametrización regular concreta.

En efecto: Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® (por tantodf ds no se anula nunca). Se tiene:

8>>>>><>>>>>:

(® ± f )0Prop: 1:13(1)

= df ds (®0 ± f )

(® ± f )00 = ¡df ds (®0 ± f )¢0 = d

2

f ds2 (®0 ± f ) + df ds (®0 ± f )0Prop: 1:13(2)

=

= d2f ds2 (®0 ± f ) + ( df

ds)2 (®00 ± f ) ;

con lo que ((®±f )0; (®±f )00) son linealmente independientes si y sólosi lo son (®0 ± f; ®00 ± f ). Y así sucesivamente

1.4.2 Referencia de Frenet

Una referencia de Frenet de una curva ® : I ! En es una referencia

móvil euclídea (E1; :::; En) de ® que veri…ca, para cada t

2I , la propiedad:

Span(E1(t); :::; Ek(t)) = Span(®0(t); : : : ; ®(k)(t)) ; para k = 1; : : : n ¡ 1 :

El resultado fundamental es el siguiente:

Teorema 1.19 Sea ® : I ! En una curva. Entonces se tiene:

1. Si ® admite una referencia de Frenet, entonces necesariamente ® es alabeada.

2. Si ® es alabeada, entonces ® admite una referencia de Frenet, que puede

de…nirse inductivamente de la siguiente forma:




(a) Se de…ne el campo E1

2X® como

E1 :="1

j "1 j , con "1 := ®0

(b) Supuesto que se han de…nido (E1;:::; Ek¡1), con k = 2;:::;n ¡ 1 ,se de…ne

Ek :="k

j "k j , con "k := ®(k) ¡k¡1Xi=1

< ®(k); Ei > Ei

(c) Supuesto que se han de…nido (E1; :::; En¡1); queda determinado un único E

ntal que (E

1;:::; E

n) es una referencia de Frenet de ®.

3. La referencia de Frenet de ® construída en el apartado 2 es la única que veri…ca además la siguiente propiedad:

< ®(k); Ek > > 0 ; k = 1; : : : ; n ¡ 1 : (12)

Demostración. Los apartados 1 y 2 son inmediatos. Probemos 3:

Obviamente la referencia (E1; :::; En) de Frenet de ® construída en 2veri…ca (12), ya que, para k = 1; : : : ; n ¡ 1, se tiene:

< ®(k); Ek >=< Ãj "k j Ek +

k¡1Xi=1

< ®(k); Ei > Ei! ; Ek >=j "k j> 0 :

Sea (F1;:::; Fn) otra referencia de Frenet de ® que veri…ca (12). En-tonces necesariamente E1 = F1. Fijemos k = 2;:::;n ¡ 1 y suponga-mos que Ei = Fi, para i = 1; : : : k ¡ 1; de la de…nición de referenciade Frenet se tiene:½

®(k) =Pk

i=1 < ®(k); Ei > Ei ´ Pk¡1i=1 < ®(k); Ei > Ei+ < ®(k); Ek > Ek

®(k) =

Pki=1 < ®(k); Fi > Fi =

Pk¡1i=1 < ®(k); Ei > Ei+ < ®(k); Fk > Fk

; )

) < ®(k)

; Ek > Ek =< ®(k)

; Fk > Fk ;al ser, por (12), < ®(k); Ek >;< ®(k); Fk > positivos y Ek; Fk unita-rios, se deduce que Ek = Fk. Finalmente, supongamos que Ei = Fi,para i = 1; : : : n ¡ 1; se concluye que En = Fn

Observación 1.20 1. Por lo que respecta al subconjunto (E1;:::; En¡1),el método de construcción dado en el apartado 2 no es sino el métodode ortonormalización de Schmidt aplicado a (®0; : : : ; ®(n¡1)).

2. Denominaremos a la única referencia de Frenet de ® que veri…ca la propiedad (12) la referencia de Frenet de ®: En lo sucesivo, no se

considerarán otras referencias de Frenet.




1.4.3 Fórmulas de Frenet. Curvaturas

Sea ® : I ! En una curva alabeada y sea (E1; :::; En) su referencia de Frenet.

Si V es un campo a lo largo de ® podemos escribir la identidad:

V =nX

i=1

< V; Ei > Ei ;

en particular, escribiremos (para todo j = 1;:::;n):

E0

j =n

Xi=1

!ij Ei ; con !ij :=< Ei; E0

j > :

Ahora bien, se tiene (para j = 1;:::;n ¡ 1):(E j 2 Span(®0; : : : ; ®( j)) ; ) E

0 j 2 Span(®0; : : : ; ®( j+1)) ; ) !ij = 0; si i > j + 1

< Ei; E j >= cte; para todo i ; ) 0 = ddt < Ei; E j >

(10)= ! ji + !ij; para todo i

Se deduce que las anteriores expresiones de las E0

j ( j = 1;:::;n) puedenescribirse en forma matricial:

(E01; :::; E

0n) = (E1; :::; En)0BBB@

0 ¡!21 ¢ ¢ ¢ 0

!21 0 . . ....... . . . 0 ¡!n;n¡1

0 ¢ ¢ ¢ !n;n¡1 0

1CCCA (13)

y se conocen por el nombre de fórmulas de Frenet.

Observación 1.21 Se veri…ca: !i+1;i > 0 ; i = 1;:::;n ¡ 2. Unicamente !n;n¡1 puede tener cualquier signo.

En efecto: Por de…nición, cualquier referencia de Frenet (E1; :::; En)

de ® veri…ca (para todo i = 1;:::;n):

®(i) =i¡1X

j=1

< ®(i); E j > E j+ < ®(i); Ei > Ei ´ Vi¡1+'iEi (¤) ;

con Vi¡1 2 Span(®0; : : : ; ®(i¡1)); de donde se deduce que

®(i+1) = V0i¡1 +

d'i

dtEi + 'iE

0i ´ Wi + 'iE

0i (¤¤) ;

con Wi

2Span(®0; : : : ; ®(i)):




Sea ahora i = 1;:::;n

¡1. Se tiene:

! i+1;i :=< Ei+1; E0i >

(¤¤)= < Ei+1;

1

'i

®(i+1) >(¤)=

'i+1

'i

:

Pero, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de ®, se veri…ca (para

i = 1;:::;n ¡ 1): 'i

(12)> 0. Se sigue de lo anterior que (para i =

1;:::;n ¡ 2): !i+1;i > 0

Sea ® : I ! En una curva alabeada y sea (E1; :::; En) su referencia deFrenet. Con las notaciones del apartado anterior, se denomina curvatura

i-ésima (i = 1;:::;n ¡ 1) a la función diferenciable

·i :=!i+1;i

j®0j : I ! R ;

se sigue de la Observación 1.21 que (para i = 1;:::;n ¡ 2): ·i > 0:

1.4.4 Teorema fundamental de la teoría de curvas

El interés de las curvaturas (de una curva alabeada) está en que son objetossólo dependientes de la trayectoria orientada (Proposición 1.22(1)) y en quedeterminan, salvo movimientos directos, la curva (Teorema 1.24):

Proposición 1.22 (Invariancia de las curvaturas) Sea ® : I ! En (n ¸ 2)

una curva alabeada con curvaturas ·i : I ! R (i = 1;:::;n ¡ 1):

1. Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® que preserva orientación y consideremos la curva ~® := ® ± f :J ! E

n: Entonces, si ~·i : J ! R

(i = 1;:::;n ¡ 1) son las curvaturas de ~®; se tiene

~·i = ·i ± f (i = 1;:::;n ¡ 1)

2. Sea A

: En

!En un movimiento directo y consideremos la curva ~® :=

A ± ® : I ! En. Entonces, si ~·i : I ! R (i = 1;:::;n ¡ 1) son las curvaturas de ~®, se tiene

~·i = ·i (i = 1;:::;n ¡ 1)

Demostración. Ver Apéndice 5.1.2

Observación 1.23 Si el cambio de parámetro en el apartado 1 no preservara orientación, se tendría (ver Ejercicio 6.1.22a)

½ ~·1 =¡

·1

±f ( para n= 2)

~·1 = ·1 ± f y ~·2 = ·2 ± f ( para n= 3) :




Por otra parte, si el movimiento en el apartado 2 no fuera directo, se

tendría (ver Ejercicio 6.1.22b)½~·i = ¡·1 ( para n= 2)~·1 = ·1 y ~·2 = ¡·2 ( para n = 3)

:

Teorema 1.24 (Teorema fundamental de la teoría de curvas) Dadas ·i :

I 3 s 7! ·i(s) 2 R funciones diferenciables (i = 1;:::;n ¡ 1); con ·i > 0 para i = 1;:::;n ¡ 2; existe una única (salvo movimientos directos) curva alabeada ® : I 3 s 7! ®(s) 2 En parametrizada por la longitud de arco y con curvaturas ·i (i = 1;:::;n ¡ 1):

Demostración. La versión bidimensional de este teorema es fácil(Ejercicio 6.1.9) de demostrar. La versión tridimensional (Teorema1.29), esencialmente análoga a la versión general, exige para su demos-tración ciertas nociones de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales(ver Apéndice 5.1.3*) y se demuestra en el Apéndice 5.1.4*

1.5 CURVAS ALABEADAS PLANAS

1.5.1 Diedro de Frenet

En el caso de una curva plana ® : I !E2, resulta lo mismo decir regular que

decir alabeada. Si ® es regular, su única curvatura ·1 := !21j®0 j se denota por

· y se denomina curvatura de ®. Si (E1; E2) es la referencia de Frenet (odiedro de Frenet) de ®, es habitual llamar:

T ´ E1 campo tangente y N ´ E2 campo normal :

Las fórmulas de Frenet (13) se reducen entonces a:

(T0; N

0) = (T; N)

µ0 ¡j®0j ·

j®0j · 0

¶; (14)

con· :=

1

j®0j < N; T0> :

Observación 1.25 Sea ® : I ! E2 una curva plana regular.

1. Nótese que, si bien ® ”proporciona” la tangente T de Frenet, es el espa-cio euclídeo E2 el que induce la normal N. Fijado t0 2 I , y escribiendopara la parte vectorial de la tangente ~ T (t0) ´ (cosµ0;sen µ0), con µ0 2R, la parte vectorial de la normal resulta ser ~ N (t0) = (¡sen µ0; cos µ0).




2. En realidad, existe (pero esto es algo que hay que demostrar, ver Ejerci-

cio 6.1.3a) una función diferenciable µ : I ! R tal que ~ T = (cos µ; sen µ).Además esta función µ veri…ca (Ejercicio 6.1.3b): dµ

dt =j ®0 j ·.

3. Consideremos la curva vectorial ~ N : I ! E2 que asocia, a cada punto

de I , la parte vectorial de la normal de Frenet. Nótese que, en realidad,~ N toma sus valores en la circunferencia unidad centrada en el origen.

Sea un subintervalo I ½ I y sea t 2 I . Entonces se tiene:

lim I!ftg

L( ~ N j I )L(® j I )

= j ·(t) j :

En efecto: L( ~ N j I ) = R I ¯̄̄d ~ N

dt(t)¯̄̄ dt

(14)= R

I j·(t)j ¯̄d®dt

(t)¯̄ dt, y

el resultado se sigue

Cotéjese esta expresión en los casos sencillos (Ejercicio 6.1.1) de la curva (de curvatura · = 0 y con imagen una recta)

®(t) = p + t~ » ; ) ~ T (t) =~ » ¯¯̄~ » ̄

¯̄; ) ~ N (t) = cte ; ) L( ~ N j I ) = 0

y de la curva (de curvatura · =1r y con imagen una circunferencia)

®(t) = p + r(cos t; sen t) ; ) ~ T (t) = (¡sen t; cos t) ; )) ~ N (t) = (¡ cos t; ¡sen t) ; ) L( ~ N j I ) = 1

rL(® j I ) :

Las fórmulas (14) son especialmente signi…cativas en el caso de que lacurva esté parametrizada por la longitud de arco s (es decir, si j ®0 j= 1).Si tomamos una referencia afín euclídea con origen el punto ® (0) ´ (0; 0) ycon base ortonormal la dada por ( ~ T (0); ~ N (0)), la curva tiene unas coordena-das ® (s) = (x (s) ; y (s)) cuyo desarrollo en serie de Taylor en s = 0 resulta

determinado, en este caso, por los valores de la curvatura y sus sucesivasderivadas en el 0: En efecto, teniendo en cuenta que ~ T (s) =¡dx

ds (s) ; dyds (s)

¢y las fórmulas (14), podemos expresar las derivadas de cualquier orden de~ T en función de la base ( ~ T ; ~ N ) , con unos coe…cientes que resultan ser com-binaciones de las sucesivas derivadas de la curvatura. El proceso comienzaasí: 8>>>>>><

>>>>>>:

d ~ T

ds= · ~ N ;

d2~ T

ds2=

d

ds

³· ~ N ́ =

d·

ds~ N + ·

d ~ N

ds= ¡·2~ T +

d·

ds~ N ;

d3~ T

ds3 = µ¡3·

d·

ds¶ ~ T + µ¡·3

+

d2·

ds2¶ ~ N ; etc.




Al ser

®(s) = ®(0)+d®

ds(0) |

{z } ~ T (0)

s +1

2

d2®

ds2(0) | {z

} d ~ T ds

(0)

s2 +1

3!

d3®

ds3(0) | {z

} d2~ T

ds2(0)

s3 +1

4!

d4®

ds4(0) | {z

} d3~ T

ds3(0)

s4 + ::: ;

obtenemos …nalmente:8>><

>>:

x (s) = s ¡ 1

3!·2 (0) s3 +

1

4!

µ¡3· (0)

d·

ds(0)

¶s4 + : : :

y (s) =1

2· (0) s2 +

1

3!

d·

ds(0) s3 +

1

4!

µ¡·3 (0)+

d2·

ds2(0)

¶s4 + : : :

En el caso de que la curva plana sea analítica, las expresiones anteriores sonválidas para todo s 2 I y constituyen la expresión explícita de lo predicho porel Teorema 1.24 para esta clase de curvas, a saber, que quedan determinadas,salvo movimientos directos, por los valores de la curvatura y sus sucesivasderivadas en un punto.

Observación 1.26 De lo anterior se desprenden muchas otras propiedades geométricas interesantes. Por ejemplo, se ve que

· (0) = lims!0

2y (s)

s2;

esta expresión (no intrínseca) permite intuir tanto el signo de · como el hechode que la curvatura cambia de signo cuando cambia el sentido de recorrido.

Por otra parte, tomando módulos y teniendo en cuenta que la curva está

parametrizada por la longitud de arco, se ve que

j · (0) j = lims!0

2d (s)

L(® j[0;s])2;

donde d (s) es la distancia entre el punto ®(s) y la recta afín que pasa por

®(0) y tiene por dirección ~ T (0); esta expresión (intrínseca) permite intuirque el módulo de la curvatura no depende de la parametrización.

Sea ® : I ! E2 una curva alabeada y sea (T; N) su diedro de Frenet.

Para cada t 2 I , las rectas a…nes que pasan por ®(t) y tiene por direccio-nes ~ T (t) y ~ N (t) se denominan recta tangente y recta normal de ® ent, respectivamente. Intuitivamente, la curvatura mide cuánto se desvía laimagen de la curva de estar contenida en su recta tangente (Ejercicio 6.1.1a).Por otra parte, la propiedad de que la distancia de la curva a un punto …jotuviera un máximo local para algún valor (interior al dominio) del parámetroacotaría inferiormente la curvatura en dicho valor del parámetro (Ejercicio

6.1.13).




1.5.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura

Proposición 1.27 Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura.

Entonces se veri…ca:

· =det(®0; ®00)

j®0j3 : (15)

Se sigue que:signo(·) = signo(< ®00; N >) :

Además, si j®0j = 1, se deduce: j·j = j®00j .

Demostración. Recordar que, por ser (T; N) una referencia móvil

euclídea, es det(T; N) = 1. Se tiene:(®0 =: j®0j T

T0 (14)= j®0j ·N

; ) (®0; ®00) = (T; N)

µ j®0j dj®0jdt

0 j®0j2 ·

¶; )

) det(®0; ®00) =det(T; N) |

{z } 1

det

µ j®0j dj®0jdt

0 j®0j2 ·

¶= j®0j3 · :

Se sigue que el signo de · es el signo del determinante de la matrizque transforma la base (T; N) en la base (®0; ®00). Pero, al ser T y ®0

colineales y con el mismo sentido, este signo resulta ser igual al signodel producto escalar < ®00; N >.

Finalmente, si j®0j = 1, es ®00 = ·N; de donde se sigue j·j = j®00j

1.6 CURVAS ALABEADAS EN EL ESPACIO

1.6.1 Triedro de Frenet

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Sus curvaturas ·1 := !21

j®0 j > 0 y·2 := !32

j®0j reciben ahora los nombres de curvatura · y torsión ¿ de ®,respectivamente . Si (E1; E2; E3) es la referencia de Frenet (o triedro de

Frenet) de ®, es habitual llamarT ´ E1 campo tangente ; N ´ E2 c. normal principal y B ´ E3 c. binormal ;

por ser (T; N; B) una referencia ortonormal positiva, resulta de (3)

T £ N = B :

Las fórmulas de Frenet (13) quedan en la forma:

(T0; N

0; B0) = (T; N; B)0@

0 ¡j®0j · 0

j®0

j· 0

¡j®0

j¿

0 j®0j ¿ 0 1A ; (16)




con

· := 1j®0j < N; T0 > y ¿ := 1j®0j < B; N0> :

De forma análoga a como se hizo en el caso de las curvas planas, se puedecalcular el desarrollo de Taylor (en el parámetro) de la curva, expresada éstaen la referencia afín euclídea con origen el punto ® (0) y con base ortonormalla dada por (~ T (0); ~ N (0); ~ B(0)) . Los primeros términos de dicho desarrollo,cuando ® está parametrizada por la longitud de arco s (es decir, cuandoj ®0 j= 1), son

8>>>><>>>>:x (s) = s

¡

1

3!

·2 (0) s3 +1

4!

(

¡3·(0)

d·

ds

(0))s4 + : : :

y (s) =12

· (0) s2 +13!

d·ds

(0) s3 +14!

(¡·3(0)+d2·ds2

(0) ¡ ·(0)¿ 2(0))s4 + : : :

z (s) =1

3!· (0) ¿ (0) s3 +

1

4!(2

d·

ds(0) ¿ (0) + ·(0)

d¿

ds(0))s4 + : : :

Observación 1.28 De nuevo se deducen de lo anterior propiedades de la geometría de la curva. Por ejemplo, se ve que

¿ (0) = lims!0

3!z (s)

·(0)s3;

esta expresión (no intrínseca) permite intuir tanto el signo de ¿ como el hechode que la torsión no cambia de signo cuando cambia el sentido de recorrido(recordar que la curvatura · es siempre positiva).

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de Fre-net. Para cada t 2 I , las rectas a…nes que pasan por ®(t) y tienen pordirecciones ~ T (t); ~ N (t) y ~ B(t) se denominan recta tangente, recta nor-mal principal y recta binormal de ® en t, respectivamente. Y los pla-nos a…nes que pasan por ®(t) y tienen por planos (vectoriales) directoresSpan( ~ T (t); ~ N (t)); Span( ~ N (t); ~ B(t)) y Span( ~ T (t); ~ B(t)) se denominan planoosculador, plano normal y plano recti…cante de ® en t, respectivamen-te. Intuitivamente, la curvatura mide cuánto se desvía la imagen de la curvade estar contenida en su recta tangente y la torsión mide cuánto se desvía deestar contenida en su plano osculador (Ejercicio 6.1.4a).

Teorema 1.29 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión tri-dimensional) Sean ·; ¿ : I ! R funciones diferenciables, con · > 0 (sin

pérdida de generalidad, supondremos que 0 2 I ). Sea p 2 E3 y sea (³ ´

~ ³ p; ´ ´ ~́ p; Â ´ ~ Â p) una base ortonormal positiva de T pE3. Existe una úni-

ca curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco, con

curvatura · y torsión ¿ , y veri…cando ®(0) = p; T(0) = ³ ; N(0) = ´ y

B(0) = Â.




Demostración. Ver Apéndice 5.1.4* (exige ciertas nociones de sis-

temas lineales de ecuaciones diferenciales, que pueden encontrarse enel Apéndice 5.1.3*)

1.6.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura y la torsión

Proposición 1.30 Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sean · y ¿ su

curvatura y torsión, respectivamente. Entonces se veri…ca:

· =j®0 £ ®00j

j®0j3 y ¿ =det(®0; ®00; ®000)

j®0 £ ®00j2 : (17)

Además, si j®0j = 1, se deduce:

· = j®00j y ¿ =det(®0; ®00; ®000)

j®00j2 :

Demostración. Recordar que, por ser (T; N; B) una referencia móvil eu-clídea, es det(T; N; B) = 1. Se tiene:8

><>:®0 =: j®0j T

T0 (16)= j®0j ·N

N0(16)

= ¡j®0j ·T+ j®0j ¿ B

; )

) (®0; ®00; ®000) = (T; N; B)

0@ j®0j dj®0jdt ¤

0 j®0j2 · ¤0 0 j®0j3 ·¿

1A ; )

)

8>>>>>><>>>>>>:

j®0 £ ®00j (4)=

¯̄̄̄det

µ j®0j dj®0 jdt

0 j®0j2 ·

¶¯̄̄̄jT £ Nj |

{z

} 1

= j®0j3 ·

det(®0; ®00; ®000) =det(T; N; B) |

{z } 1

det0@j®0j dj®0j

dt¤

0

j®0

j2 ·

¤0 0 j®0j3 ·¿ 1A =

j®0

j6 ·2¿

:

Finalmente, si j®0j = 1, es8><>:®0 = T

T0 (16)= ·N

N0 (16)= ¡·T+¿ B

; ) (®0; ®00; ®000) = ( T; N; B)

0@ 1 0 ¡·2

0 · d·dt

0 0 ·¿

1A ; )

) · = j®00j y ¿ =det(®0; ®00; ®000)

j®00

j2




2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

Se estudian aquí las super…cies del espacio afín R3, sin usar aún la estruc-tura euclídea. Conviene recordar lo dicho en los apartados 1.1.1 al 1.1.3.Comenzamos reinterpretando algunas nociones preliminares y resultados delanálisis de funciones de varias variables.

2.1 PRELIMINARES DE ANÁLISIS

En lo que sigue, consideraremos el espacio afín Rn con su topología usual.Hay que advertir que, aunque dicha topología es la inducida por la distanciaeuclídea estándar (1.1.4), todas las nociones de distancia enRn que provienende una norma inducen la misma topología, por lo que ésta no presupone unadistancia concreta. Hasta el apartado 2.1.5, no será necesario por tantoconsiderar un producto escalar concreto en Rn.

2.1.1 Aplicaciones diferenciables en Rn. Matriz Jacobiana

Sean (x1;:::;xn) las coordenadas canónicas de Rn, esto es, tales que:

xi : Rn 3 (a1;:::;an) 7! ai 2 R (proyección i-ésima):

Denotaremos por (y1;:::;ym) las coordenadas análogas en Rm:

Sea U un abierto de Rn . Una aplicación F : U ! Rm se determina porsus componentes F j ´ y j ± F : U ! R . Decimos entonces que

y j = F j(x1;:::;xn) ( j = 1;:::;m)

son las ecuaciones de F . Sea U un abierto de Rn. Una función f : U! R se dirá diferenciable si posee derivadas parciales continuas de todos

los órdenes (esto es, si es de clase C 1). Recordemos aquí la de…nición dederivada parcial (de 1er orden) de f con respecto a xi (i = 1;:::;n)

en p 2 Rn :@f

@xi( p) :=

d

dt(f ± ®)(0) ;

siendo ® : I ! Rn la curva ®(t) = p + t~ei (en la Observación 2.2(2) veremos

que, de hecho, podríamos tomar aquí como curva ® cualquiera que veri…cara®0(0) = (~ei) p).

Una aplicación F : U ! Rm se dirá diferenciable si todas sus compo-

nentes F j : U ! R ( j = 1;:::;m) son funciones diferenciables.




Sea F : U

!R

m una aplicación diferenciable. La Jacobiana de F en p

2 U es la matriz (m £ n) dada por:

DF ( p) :=

µ@ (F 1; : : : ; F m)

@ (x1;:::;xn)

¶( p) ´

0B@ @F 1=@x1 ¢ ¢ ¢ @F 1=@xn...

...@F m=@x1 ¢ ¢ ¢ @F m=@xn

1CA ( p) :

2.1.2 Vectores tangentes y derivaciones

Sean p 2 Rn y ~ » p 2 T pRn. Resulta útil considerar el vector tangente ~ » pbajo el punto de vista de una ”derivación de funciones”: dada una función

diferenciable f :U

!R

de…nida sobre un abiertoU

deRn

que contiene a p,se de…ne la derivada direccional de f según ~ » p como el número real

~ » p(f ) := Df ( p)(~ » ) =nX

i=1

@f

@xi

( p)» i :

Esto signi…ca, para los elementos de la base canónica (recordar 1.1.3)((~e1) p; :::; (~en) p) de T pRn :

(~ei) p(f ) =@f

@xi( p) (i = 1;:::;n) ;

lo que justi…ca introducir la notaciónµ@

@xi

¶ p

´ (~ei) p (i = 1;:::;n) :

Con esta notación estamos de hecho reinterpretando el vector tan-gente (~ei) p, que pasa, de ser (recordar 1.2.4) la velocidad ®0(0) de lacurva ®(t) := p + t~ei, a ser el ”operador” que asocia, a cada fun-ción f de…nida en un entorno de p, su derivada parcial @f=@xi en p. Este es el segundo paso para hacer de los vectores tangentes algo

”analíticamente útil”

Así, la base canónica de T pRn se escribiráÃµ

@

@ x1

¶ p

; : : : ;

µ@

@xn

¶ p

!

y la velocidad de una curva ® : I ! Rn en ¿ 2 I tendrá la expresión:

®0(¿ )1:2:3=

n

Xi=1

d®i

dt

(¿ ) µ@

@xi¶®(¿ )

:




2.1.3 Diferencial y regla de la cadena

Sea F : U ! Rm una aplicación diferenciable de…nida sobre un abierto U de

Rn. Se llama diferencial de F en p 2 U a la aplicación lineal

dF j p : T pRn 3 ~ » p 7! (DF ( p)(~ » ))F ( p) 2 T F ( p)R

m ;

es decir, se trata de la aplicación lineal que tiene por matriz, respecto de lasbases canónicas de T pR

n y de T F ( p)Rm, la matriz jacobiana DF ( p) . Se tiene

así:

dF

j p µ

@

@xi¶ p

=m

X j=1

@F j

@xi

( p) µ@

@y j¶F ( p)

(i = 1;:::;n) (18)

Observación 2.1 En particular, se tiene:

1. Si ® : I ! Rn es una curva y ¿ 2 I :

d® j¿

µd

dt

¶¿

(18)=

nXi=1

d®i

dt(¿ )

µ@

@xi

¶®(¿ )

2:1:2= ®0(¿ ) :

2. Si f : U ! R es una función diferenciable, p 2 U y ~ » p 2 T pRn, se

tiene:

df j p ~ » p =Ã nX

i=1

@f

@xi( p)» i

!f ( p)

2:1:2=³~ » p(f )

´f ( p)

:

Es frecuente (y muy útil en desarrollos posteriores de la geometría dife-

rencial) identi…car el vector tangente ³

~ » p(f )´

f ( p)2 T f ( p)R con su parte

vectorial, esto es, con el número ~ » p(f ) 2 R. Si se hace esta identi…ca-

ción, se encuentra: df j p ~ » p =Pn

i=1@f @xi

( p) » i =Pn

i=1@f @xi

( p) (dxi j p ~ » p);

y, al ser ~ » p 2 T pRn arbitrario, se obtiene la expresión

df j p =nX

i=1

@f

@xi( p) dxi j p ;

que resultará familiar del curso de cálculo diferencial.

Sean U ½ Rn, V ½ R

m abiertos y F y G aplicaciones diferenciables:

UF ! V

G! Rl ;

entonces G ± F : U ! Rl es una aplicación diferenciable, y se veri…ca para

todo p

2U

d(G ± F ) j p = dG jF ( p) ± dF j p : (19)




Esta es exactamente la versión geométrica de la clásica regla de la cadena,

que establece, en términos de matrices jacobianas, la igualdad:

D(G ± F )( p) = DG(F ( p))DF ( p)

y que, en coordenadas, se escribe:

@ (z k ± G ± F )

@xi( p) =

mX j=1

@ (z k ± G)

@y j(F ( p))

@ (y j ± F )

@xi( p) (k = 1;:::;l ; i = 1;:::;n) ;

en donde se han tomado coordenadas (xi) en Rn, (y j) en Rm, (z k) en Rl y

se supone que y j = F j(x1;:::;xn) ( j = 1;:::;m) y z k = Gk(y1;:::;ym) (k =1;:::;l) son las ecuaciones de F y G respectivamente.

Observación 2.2 :

1. Si F : (Rn ¾)U ! Rm es una aplicación diferenciable y ® : I ! U es

una curva, se tiene para todo ¿ 2 I :

(F ± ®) 0(¿ )Obs:2:1(1)

= d(F ± ®) j¿

¡ddt

¢¿

(19)=

= (dF j®(¿ ) ±

d®j¿

)¡ d

dt¢¿

Obs:2:1(1)= dF

j®(¿ )®0(¿ ) :

(20)

Surge así la siguiente interpretación geométrica de la diferencial: Dados p 2 U; » 2 T p Rn y cualquier curva diferenciable ® por p (1.2.4) tal

que ®0(0) = », se tiene:

dF j p » = (F ± ®)0(0) :

2. Si f : U ! R es una función diferenciable, p 2 U, ~ » p 2 T pRn y ® : I !

Rn es cualquier curva por p tal que ®0(0) = ~ » p, se tiene:

~ » p(f )Obs: 2:1(2)

= P arte vect: de ³df j p ~ » p´ (20)

= d(f ± ®)dt

(0) : (21)

En particular, la curva ® por p utilizada para de…nir (2.1.1) la deri-vada parcial @f

@xi( p) podría haber sido cualquiera que veri…cara ®0(0) =³

@ @xi ́p

.




2.1.4 Difeomor…smos. Teoremas de la función inversa e implícita

Sean U y V abiertos de Rn. Una aplicación diferenciable F : U ! V se llamadifeomor…smo si es biyectiva y si su inversa F ¡1 : V ! U es tambiéndiferenciable. La composición de difeomor…smos es un difeomor…smo.

Si F : U ! V es un difeomor…smo, se tiene (8 p 2 U):

IdT pRn = d IdU j p= d(F ¡1 ± F ) j p(19)= d(F ¡1) jF ( p) ± dF j p :

Se concluye que dF j p: T pRn ! T F ( p)R

n es un isomor…smo lineal y que

(dF j p)¡1 = d(F ¡1) jF ( p) :

El recíproco es también (localmente) cierto y constituye el

Teorema 2.3 (función inversa) Sea F : (Rn ¾)U ! Rn una aplicación diferenciable de…nida sobre un abierto U y sea p 2 U. Supóngase que la matriz (DF )( p) es no singular. Existen entonces entornos A( ½ U) de p y B( ½ R

n)de F ( p) tales que F (A) = B y F jA: A ! B es un difeomor…smo.

Demostración. Ver [2], Teorema 7.5

Sea F : (Rn ¾)U ! Rr (con n > r) una aplicación diferenciable de…nida

sobre un abierto U (cuando r = 1, a la imagen inversa de cada valor de F

se le llama un conjunto de nivel de F ). Se dice que p 2 U es un puntoregular para F si la matriz jacobiana DF ( p) es de rango (máximo) r. Sesigue que, si p 2 U es un punto regular para F , entonces p posee un entornoenU de puntos regulares para F . Se dice que S ½ U es un conjunto regularpara F si todos los puntos de S son puntos regulares para F .

El teorema general de la función implícita a…rma que: si p 2 U es un puntoregular para F : (Rn ¾)U ! R

r, entonces la imagen inversa F ¡1(F ( p)) puedeexpresarse localmente (en torno a p) como la grá…ca de una cierta funcióndiferenciable & : (Rn¡r ¾)- ! Rr. Vamos a ver la demostración de esteteorema en el caso particular n = 3; r = 1, que aplicaremos a super…cies deR3

(el caso n = 2; r = 1, aplicable a curvas planas y que se usa en el Ejercicio6.1.23, es similar y más sencillo).

Teorema 2.4 (función implícita) Sea f : (R3 ¾)U ! R una función

diferenciable de…nida sobre un abierto U (s.p.d.g., 0 2 f (U)). Supongamos que p es un punto regular para f perteneciente al conjunto de nivel f ¡1(0)(½U) (s.p.d.g. y eligiendo adecuadamente las coordenadas cartesianas (x;y;z )en R3, se tendrá (@f=@z ) ( p) 6= 0). Escribiremos p ´ (a;b;c). Entonces

existen:

8<:un entorno (R2

xy ¾) - de (a; b)un entorno (Rz

¾) J de c ¾ con - £ J ½ U

una función diferenciable & : - ! J




tales que

f(x;y;z ) 2 - £ J j f (x ; y; z ) = 0g = f(x;y;& (x; y)) j (x; y) 2 - g ;

esto es, tales que

f ¡1(0) \ (- £ J ) = gr¶afica de &

Demostración (ver [2], Teorema 7.6, [5], 2.2, Proposición 2 y [8],Teorema 15.1). Sea © : (R3 ¾)U ! R

3 ; (x ; y ; z ) 7! (x;y;f (x;y;z )) ,con lo que se tendrá: det(D©( p)) = (@f=@z ) ( p) 6= 0. Por el Teore-ma 2.3 existen entornos A(

½U ) de p y B(

½R3) de ©( p) tales que

©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo. Para la aplicación(© jA)¡1 : B ! A escribamos (© jA)¡1(x;y;t) ´ (x;y;Ã(x;y;t)).

Denotemos por ¼12 y ¼3 las proyecciones½¼12 : R3 3 (x;y;z ) 7! (x; y) 2 R2

xy

¼3 : R3 3 (x;y;z ) 7! z 2 Rz:

Sean

8<:el entorno (!) (R2

xy ¾) - := ¼12(A) de (a; b)el entorno (!) (Rz

¾) J := ¼3(A) de c ¾

; s.p.d.g. A = - £ J :

la función diferenciable & : - 3 (x; y) 7! Ã(x;y; 0) 2 J

Al ser ©(f ¡1(0) \A) = B \ ft = 0g, se concluye que:

f ¡1(0) \ (- £ J ) = (© jA)¡1(B \ ft = 0g) = gr¶afica de &

Observación 2.5 El teorema de la función implícita responde a la siguiente idea intuitiva: de la ecuación f (x;y;z ) = 0 puede despejarse localmente z en torno a cualquier punto p en el que (@f=@z ) ( p) 6= 0. Naturalmente el

teorema admite un enunciado análogo si se supone que es (@f=@x) ( p)6= 0,

o que es (@f=@y)( p) 6= 0 .

Sea U un abierto de Rn. Un cambio de coordenadas en U es undifeomor…smo Ã : (Rn ¾)U ! U. Sean xi (i = 1;:::;n) las coordenadascanónicas en U y llamemos ¹xi (i = 1;:::;n) a las coordenadas canónicas enU. Estrictamente hablando, correspondería escribir

Ã¡1( p) = ((¹x1 ± Ã¡1)( p); :::; (¹xn ± Ã¡1)( p)) ;

para p 2 U. No obstante, y presuponiendo que se ha …jado de antemano el

difeomor…smo Ã, las funciones (¹x1;:::; ¹xn) se considerarán indistintamente




funciones de…nidas sobre U = Ã¡1(U) o sobre el propio U; por lo que valdrán

las identi…caciones ¹xi ´ ¹xi ± Ã¡1 (i = 1;:::;n); escribiremos

p = (¹x1( p); :::; ¹xn( p)) ´ ( ¹x1(Ã¡1( p)); :::; (¹xn(Ã¡1( p)) )

y diremos que (¹x1( p); :::; ¹xn( p)) son las nuevas coordenadas de p.Las correspondientes ecuaciones

¹xi = ¹xi(x1;:::xn) ´ (¹xi ± Ã¡1)(x1;:::xn) (i = 1;:::;n)

se llaman ecuaciones del cambio de coordenadas.

Observación 2.6 Sea Ã : U

!U un cambio de coordenadas. Se tiene

( 8 p 2 U):µ@

@ ¹xi

¶ p

Notaci¶on´ dÃ jÃ¡1( p)µ

@

@ ¹xi

¶Ã¡1( p)

(18)=

nX j=1

@ (x j ± Ã)

@ ¹xi(Ã¡1( p)) | {z

} N otaci¶on´ @xj =@ ¹xi( p)

µ@

@x j

¶ p

(22)y también (haciendo la identi…cación de vectores tangentes a R con sus partes

vectoriales, recordar la Observación 2.1(2)):

d¹xi j pNotaci¶on

´ d(¹xi ± Ã¡1

) j pObs: 2:1(2)

=

n

X j=1

@ (¹xi

±Ã¡1)

@x j ( p) | {z

} N otaci¶on´ @ ¹xi=@xj( p)

dx j j p : (23)

Por lo demás, si Ã : U ! U no es afín, las nuevas coordenadas de U noserán a…nes, esto es, no existirá ninguna referencia afín (¹o; ~ f 1; :::; ~ f n) de Rn

tal que p = ¹o +Pn

i=1 ¹xi( p) ~ f i (8 p 2 U).

Ejemplo 2.7 Considérese el cambio Ã : U ! U de cartesianas a polares en R3, de…nido por

8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

U = R

3

¡ f(x ; y; z ) 2 R3

j x · 0; y = 0gU = (0; 1) £ (0; ¼) £ (¡¼; ¼)Ã(r ´ ¹x; # ´ ¹y; Á ´ ¹z ) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) ; )

) Ã¡1(x;y;z ) = ( r =p

x2 + y2 + z 2 ; # = arccos zp x2+y2+z2

;

Á =

8><>:arccos(0;¼)

xp x2+y2

; si y > 0

0 ; si y = 0¡ arccos(0;¼)

xp x2+y2

; si y < 0)

:

Este cambio no es afín. Escribir en detalle la expresión de la Jacobiana

DÃ ´ ³@ (x;y;z)

@ (r;#;Á)´ y de su inversa DÃ¡1

´ ³@ (r;#;Á)

@ (x;y;z)´.




2.1.5 Integración. Teoremas de Fubini y del cambio de variable

Consideremos Rn como espacio euclídeo (esto es, En). Los preliminares con-tenidos en este apartado (ver p.ej. [6], Cap. 8) se usarán básicamente en losCapítulos 3 y 4.

Dados dos subconjuntos A; B ½ En y una función f : A ! R, denotare-

mos f B : B ! R a la función dada por f B(x) :=

½f (x) ; si x 2 A0 ; si x =2 A

(esto

es, f B coincide con f en la intersección A \ B y se anula en BnA). Dado unsubconjunto A ½ E

n, se llama función característica de A a la función

(1En

A =)1A : En ! R, dada por 1A(x) :=

½1 ; si x 2 A0 ; si x =

2A

.

Si A = [~a;~ b] ´ [a1; b1] £ ::: £ [an; bn] (intervalo n-dimensional cerrado)y f : A ! R es acotada, se dice que f es integrable (-Riemann) si losnúmeros (

inf fU (P; f ) j P partición de [~a;~ b]gsupfL(P; f ) j P partición de [~a;~ b]g

(que están bien de…nidos, siendo el primero mayor o igual que el segundo,y donde U (P; f ) y L(P; f ) son las sumas de Riemann superior e inferior,respectivamente) toman el mismo valor. En tal caso, se llama integral def;

R [~ a;~ b] f ; a dicho valor común.

Si A ½ E

n

es acotado y f : A ! R es acotada, se dice que f que esintegrable (-Riemann) si lo es f [~a;~ b], siendo [~a;~ b](½ En) algún (y, por

tanto, cualquiera) intervalo n-dimensional cerrado que contenga a A. En talcaso, se llama integral de f;

R A f ; a la integral

R [~a;~ b] f [~a;~ b] (para cualquiera

tal [~a;~ b]). Esta de…nición se extiende sin di…cultad, sucesivamente (ver [6],8.7), a los casos:

(1) A arbitrario y f (¸ 0) acotada: f se dice integrable si existe el límitelima!1

R [¡a;a]n f [¡a;a]n , siendo [¡a; a]n ´ [¡a; a] £ ::: £ [¡a; a]; lo que

obviamente requiere que exista la integral R [¡a;a]nf [¡a;a]n para cualquier

cubo [¡a; a]n. En tal caso, se llama integral de f; R A f ; al citadolímite.

(2) A arbitrario y f ¸ 0 : f se dice integrable si existe el límite limM !1R

Af M ,

siendo f M : A ! R la función dada por f M (x) :=

½f (x) ; si f (x) · M 0 ; si f (x) > M

;

lo que obviamente requiere que exista la integralR

A f M para cualquierM > 0. En tal caso, se llama integral de f;

R A

f ; al citado límite.

(3) A arbitrario y f arbitraria: f se dice integrable si existen

R A f + y

R A f ¡

, siendo f §

: En

!R las funciones dadas por f +(x) :=




½ f (x) ; si f (x) ¸ 0

0 ; si f (x) < 0y f ¡(x) := ½ ¡f (x) ; si f (x) · 0

0 ; si f (x) > 0. En tal ca-

so, se llama integral de f;R

Af ; a la diferencia

R A

f + ¡ R A

f ¡.

Este proceso de de…niciones sucesivas pone de mani…esto que, dados unsubconjunto A ½ E

n y una función f : A ! R, la integrabilidad de f es unacuestión que tiene una parte ”delicada” (la integrabilidad de ciertas funcionesacotadas de…nidas en subconjuntos acotados) y una parte de ”cálculo” (laeventual existencia de límites de las integrales anteriores). Si A es un subcon-

junto de En, se dice que A es medible(-Jordan) si su función característica1A : En ! R es integrable. En tal caso, se llama contenido(-Jordan n-dimensional) de A al número cA := R A 1A (

¸0). El contenido de A se

llama longitud si n = 1, área si n = 2 y volumen si n = 3 (cualquierintervalo [~a;~ b] es medible y c[~ a;~ b] = (b1 ¡ a1) ¢ ::: ¢ (bn ¡ an)).

Si A ½ En es acotado y f : A ! R es acotada, la integrabilidad de f

queda determinada por el Teorema de Lebesgue (ver [2], Teorema 10.19, [6],Teorema 8.3) que a…rma:

f es integrable , ¹mDisc(f En ) = 0 ;

siendo Disc(f En

) el conjunto (acotado) de discontinuidades de f En y siendo

¹mDisc(f En ) la ”medida” (exterior de Lebesgue) de dicho conjunto. Se sigueque A es medible si y sólo si ¹m@A = 0, siendo @A la frontera de A (en En).

Cuando tratemos con subconjuntos acotados A ½E

n

(n ¸ 2), nos res-tringiremos a aquéllos cuya frontera @A pueda expresarse como unión …nita

de grá…cas de funciones continuas; se demuestra que, en tal caso, ¹m@A = 0,con lo que los subconjuntos A resultarán medibles. Cuando tratemos confunciones acotadas f : A ! R de…nidas en estos subconjuntos, nos restrin-giremos a aquéllas que sean continuas ; así, Disc(f E

n

) ½ @A, con lo que lasfunciones f resultarán integrables.

Es importante disponer de métodos de evaluación de integrales que evitentener que aplicar la de…nición de integral como límite de una suma. En elcaso n = 1, ello viene dado por el Teorema fundamental del cálculo, quea…rma que, si f : [a; b]

!R es una función continua (por tanto, integrable),

entonces f posee una antiderivada g (esto es, una función g : [a; b] ! R

continua, diferenciable en (a; b) y con derivada primera igual a f j(a;b)) y setiene:

R ba f (x)dx ´ R

[a;b] f = g(b) ¡ g(a) (para cualquier tal g). El análogopara n = 2 (el caso n arbitrario es similar) lo constituye el teorema de Fubini,que reduce la integral a dos integraciones sucesivas en dimensión 1:

Teorema 2.8 (Fubini) Sea [~a;~ b] ´ [a1; b1] £ [a2; b2] ½ E2 un intervalo 2-

dimensional cerrado y sea f : [~a;~ b] ! R una función continua (por tanto,integrable). Entonces se tiene:

Z [~a;~ b] f = Z b2

a2 (Z b1

a1 f (x; y)dx)dy = Z b1

a1 (Z b2

a2 f (x; y)dy)dx ;




donde la variable y se mantiene constante en el integrando de R b1

a1f (x; y)dx

(y la x en el de R b2a2 f (x; y)dy).

Demostración. Ver [2], Teorema 10.20, [6], Teorema 9.1

Una aplicación del Teorema de Fubini la constituye el Teorema de Green,que se usará en el Teorema 4.20. El teorema de Green tiene una primeraversión para rectángulos (o para discos), que es fácil de demostrar. Necesi-taremos una versión algo más general (Corolario 2.10).

Un camino en En (n ¸ 2) es una aplicación continua ® : [a; b] ! E

n

que veri…ca la siguiente propiedad (diferenciabilidad a trozos): existe unapartición a = t0 < t1 <

¢ ¢ ¢< tk = b de forma que cada ®i

´®

j[ti¡1;ti ] (i =

1;:::;k) es una curva (diferenciable). Por lo dicho antes, ¹mIm® = 0. Se diceque ® une ®(a) y ®(b). El camino ® se dice cerrado si ®(a) = ®(b); y sedice simple si la aplicación ® j[a;b) es inyectiva.

Observación 2.9 * Una curva continua ® : I = [a; b] ! En se dice de

Jordan si ®(a) = ®(b) y si la aplicación ® j[a;b) es inyectiva. Así pues,nuestros caminos cerrados y simples son curvas de Jordan diferenciables a trozos.

Mencionamos a continuación (sin demostración) dos propiedades globales de las curvas de Jordan en E2. Usaremos la primera en la formulación del Corolario 2.10 (Green) y la segunda (sólo incidentalmente) en el Ejemplo4.23. El teorema de la curva de Jordan (ver [2], Teorema 8.40, sin de-

mostración, y [5], 5.7, Teorema 1, demostración en el caso de que ® sea, nosólo diferenciable a trozos, sino diferenciable) a…rma que, si ® es una curva de Jordan en E2, entonces E2 ¡ Im ® está constituido por dos abiertos cone-xos disjuntos, uno de ellos acotado, con Im ® como frontera común; además,

la unión R del abierto acotado y su frontera es homeomorfa a un disco ce-rrado. Y el teorema de rotación de tangentes (ver [5], 5.7, Teorema 2)a…rma que, si ® es una curva de Jordan diferenciable y regular en E2, enton-ces (sobreentendiendo elegida una referencia afín euclídea en E2) la función

diferenciable µ : [a; b]

!R de…nida por (Ejercicio 6.1.3a) ~ T =: (cos µ;senµ)

veri…ca µ(b) ¡ µ(a) = §2¼.

Corolario 2.10 (Green) Sea ® : I = [a; b] ! E2 un camino cerrado y sim-

ple. Sea R la unión del abierto acotado de E2 ¡ Im ® y su frontera Im ®(por lo dicho antes, R es medible). Supongamos que ® está recorrido en

sentido ”positivo” (esto es, de manera que el compacto R quede siempre a la izquierda; ver [2], De…nición 8.23). Sea U ½ E

2 un abierto que contenga a R y sean P; Q : U !R funciones con derivadas parciales primeras continuas.Entonces se tiene:

Z Rµ @Q

@x1 ¡@P

@x2¶ = Z b

a µ(P ±

®)d®1

dt+ (Q

±®)

d®2

dt ¶ dt :




Demostración. Ver [2], Teorema 10.39 (versión para rectángulos) y

[2], Teorema 10.43 (versión general)

Recordemos por último la siguiente versión del teorema del cambio devariable:

Teorema 2.11 (cambio de variable) Sean U;U abiertos de En y sea Ã : U !U un cambio de coordenadas en U (esto es, un difeomor…smo). Sea R(½ U)un subconjunto acotado y medible y sea f : R ! R una función acotada y continua (por tanto, integrable). Entonces se tiene:

Z R f = Z Ã¡1(R)

(f ±

Ã)jdet DÃ

j:

Demostración Ver [2], Teorema 10.30 y [6], Teorema 9.3

2.2 SUPERFICIES

2.2.1 Parametrizaciones locales de subconjuntos de Rn

Sea S un subconjunto de Rn y sea r < n. Una parametrización (local,r-dimensional) de S es un homeomor…smo ' : (Rr ¾)U ! U , donde U esun abierto de Rr y

U es un abierto de S en la topología relativa (esto es,

U es intersección de S con un abierto de Rn), que además posee la siguientepropiedad de regularidad: considerada como aplicación de U en R

n, ' esdiferenciable y veri…ca rg(D'(u1;:::;ur)) = r; para todo (u1;:::;ur) 2 U.

Con las notaciones que venimos utilizando se tiene

'(u1;:::;ur) = ((x1 ± ') | {z

} '1

(u1;:::;ur); :::::; (xn ± ') | {z } 'n

(u1;:::;ur)) ;

para (u1;:::;ur) 2 U . Diremos entonces que

xi = 'i(u1;:::;ur) (i = 1;:::::;n)

son las ecuaciones de '.

2.2.2 Super…cies

Un subconjunto M de R3 se llama super…cie si, para cada punto p 2 M ,existe una parametrización (local, 2-dimensional) ' :(R2 ¾)U ! U de M con p 2 U .

En adelante mantendremos una doble notación para las coordenadas, asaber: si tomamos coordenadas (x;y;z ) en R3 , implícitamente las estaremosidenti…cando con (x1; x2; x3) según la regla x

´x1 , y

´x2 , z

´x3 .

Coordenadas (u; v) en R2 se identi…carán con (u1; u2) según u ´ u1, v ´ u2




Observación 2.12 1. De…nimos pues las super…cies como subconjuntos

de R3, de los que las parametrizaciones son sólo descripciones locales.Si un subconjunto de R3 es localmente una super…cie, es una super…cie.Cualquier abierto de una super…cie es también una super…cie.

2. No deseamos que las super…cies tengan ”autointersecciones” ni ”bor-des”, a …n de que pueda de…nirse sin ambigüedad el plano tangente en cada punto. Pues bien, la inyectividad de las parametrizaciones ' : U !R3 evita algunos tipos de autointersecciones (piénsese en la

aplicación

' : (R2

¾)(

¡¼

¡"; ")

£R

3(u; v)

7!(sen u; sen 2u; v)

2R3 ;

que es diferenciable pero no es inyectiva). Por otra parte, la continuidad

de las inversas '¡1 : U ! U evita otros tipos de autointersecciones (piénsese en la aplicación

' : (R2 ¾)(¡¼; ¼) £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v)2 R3 ;

que es diferenciable y biyectiva sobre su magen, pero cuya inversa '¡1

no es continua) y garantiza que los cambios de carta serán difeomor…s-mos (ver Observación 2.18(1)).

El que las parametrizaciones ' sean diferenciables con rg(D') = 2,

junto con la inyectividad de ' y la continuidad de '¡1, garantizará la existencia de un plano tangente en cada punto de una super…cie (Proposición 2.20).

Teorema 2.13 Dado un subconjunto S de R3, considérense las siguientes a…rmaciones: (i) S es una super…cie, (ii) S es un conjunto de nivel regular

para una función diferenciable, (iii) S es la grá…ca de una función diferen-ciable. Entonces se veri…ca: (iii) ) (ii) ) (i) y las tres a…rmaciones son localmente equivalentes.

Demostración. Hay que tener en cuenta que las a…rmaciones (ii) y

(iii) son de naturaleza ”global”, mientras que (i) es ”local”. Se tiene:

1. (ii)loc:) (iii) . Teorema 2.4 (contraejemplo a que la implicación sea global,

la esfera).

2. (iii) ) (i) . En efecto (ver [5], 2.2): si & : (R2 ¾)- ! R es una funcióndiferenciable, la aplicación

' : - 3 (x; y) 7! (x;y;& (x; y)) 2 R3

tiene por imagen la grá…ca de & , es continua, es inyectiva, posee inversa'¡1 = ¼12

jgr¶afica de & continua, es diferenciable y veri…ca rg(D'(x; y)) =

2; así ' resulta ser una parametrización global de la grá…ca de & .




3. (ii)

)(i) . Consecuencia de 1 y 2:

4. (i)loc:) (iii) . En efecto (ver [5], 2.2, Proposición 3, p,74): Sea ' : U !U

una parametrización de M con p 2 U ; s.p.d.g. podemos suponer que severi…ca det(@ ('1; '2)=@ (u; v)) ('¡1( p)) 6= 0. Consideremos la aplicacióndiferenciable

h := ¼12 ± ' : (R2 ¾)U ! R2 ;

que veri…ca:

det(Dh('¡1( p))) = det

0BBBBB@µ 1 0 00 1 0 ¶ 0@ @'1=@u @'1=@v

@'2=@u @'2=@v@'3=@u @'3=@v

1A ('¡1( p)) | {z

} D'('¡1( p))

1CCCCCA =

= det³

@ ('1 ;'2)@ (u;v)

´('¡1( p)) 6= 0 :

Por el Teorema 2.3 existen entornos A(½ U ) de '¡1( p) y - (½ R2) de

h('¡1( p)) = ¼12( p) tales que h(A) = - y la aplicación h jA: A ! - es undifeomor…smo. Se sigue que la función diferenciable

& := '3 ± (h jA)¡1 : (R2 ¾) - ! R

veri…ca

'(A) ´ f('1(u; v); '2(u; v); '3(u; v)) j (u; v) 2 Ag = f(x ; y; & (x; y)) j (x; y) 2 - g ;

que es la grá…ca de & . Pero, por ser ' una parametrización de M , '(A) esun abierto de M y el resultado se sigue (contraejemplo a que la implicaciónsea global, la banda de Moebius o, en general, toda super…cie no orientable;ver más adelante 3.2.1).

5. (iii) ) (ii) . En efecto: si M es la grá…ca de

& : (R2 ¾)- 3 (x; y) 7! & (x; y) 2 R ;

entonces resulta M = f ¡1(0), con

f : (R3 ¾)- £ R 3 (x;y;z ) 7! & (x; y) ¡ z 2 R ;

y se veri…ca (8 p 2 - £R): rg(Df ( p)) = rg¡

@& @x

( p) @& @y

( p) ¡1¢

= 1:

6. (i)loc:

)(ii) . Consecuencia de 4 y 5




Se sigue de lo anterior que una super…cie siempre puede expresarse lo-

calmente como conjunto de nivel regular para alguna función diferenciablef : (R3 ¾)U ! R; se dice entoncesque la super…cie está dada ”en implícitas”.También se sigue de lo anterior que una super…cie puede expresarse localmen-

te incluso como la grá…ca de alguna función diferenciable & : (R2 ¾)- ! R;concretaremos esto más adelante (3.3.4) para super…cies en el espacio eu-clídeo.

Ejemplo 2.14 Determinar, para cada valor de r ¸ 0, si el subconjuntoM r := f(x;y;z ) 2 R3 j

p x2 + y2 ¡ z 2 = rg es o no una super…cie.

En primer lugar, se tiene: M r = f ¡1(r), con f : R3 3 (x;y;z ) 7!p x2

+ y2

¡ z 2

2R

, que es diferenciable en el abiertoU

´R

3

¡ f(0; 0; 0)g,en el cual se tiene:

D(f jU)(x;y;z ) = (xp

x2 + y2 ¡ z 2

yp x2 + y2 ¡ z 2

¡z p x2 + y2 ¡ z 2

) :

Si r > 0, el ”hiperboloide de 1 hoja” M r es (globalmente) un conjunto

de nivel de la función diferenciable f jU. Puesto que rg(D(f jU)) = 1, M res (globalmente) un conjunto de nivel regular de una función diferenciable y,por el Teorema 2.13, M r es una super…cie.

Si r = 0, el ”cono” M 0 contiene al punto (0; 0; 0), en el que f no es

diferenciable. Ahora bien, M 0 = g¡1

(0), con g : R3

3 (x;y;z ) 7! x2

+y2

¡z 2

2R, que sí es diferenciable (en todo R3). Pero Dg(x;y;z ) = (2x 2y 2z ), cuyorango es 0 en el punto (0; 0; 0). Podemos pues asegurar que M 0 ¡ f(0; 0; 0)ges una super…cie. En cuanto al conjunto completo M 0, podríamos intentar

buscar un entorno (R3 ¾)V de (0; 0; 0) y una función diferenciable h : V ! R

tal que M 0 \ V fuera un conjunto de nivel regular para h; en tal caso, el conjunto M 0 sería (localmente) un conjunto de nivel regular de una función

diferenciable y, por el Teorema 2.13, sería una super…cie. Pero la tarea está condenada al fracaso: porque, si ello fuera posible, M 0 debería poder expresarse (también por el Teorema 2.13), localmente, como la grá…ca de función diferenciable, del tipo

x = & (y; z ) ó y = & (x; z ) ó z = & (x; y) ;

y esto es imposible (ya que las proyecciones de M 0 sobre los planos coordena-dos yz ; xz y xy no son inyectivas en el entorno de (0; 0; 0)). Se concluye que M 0 no es una super…cie. Incluso el ”semicono superior” M 0 \ fz ¸ 0gtampoco es una super…cie (aunque la proyección de M 0 \ fz ¸ 0g sobre el plano coordenado xy sí es inyectiva, la función & (x; y) =

p x2 + y2, cuya

grá…ca es el conjunto M 0 \ fz ¸ 0g, no es C 1 en (0; 0); ver [5], Ejemplo 5,p.76).




2.2.3 Cartas en super…cies

Si ' : (R2¾) U !U es una parametrización de una super…cie M y denotamospor '¡1 = (u; v) : U !U la aplicación inversa, se denomina carta de M alpar ( U ; '¡1). Diremos que U es un entorno coordenado de M .

Con las notaciones que venimos utilizando correspondería escribir

'¡1( p) = ((u ± '¡1)( p); (v ± '¡1)( p)) ;

para p 2 U . No obstante, y presuponiendo que se ha …jado de antemano

la carta '¡1, las funciones (u; v) se considerarán indistintamente funciones de…nidas sobre U = '¡1( U ) o sobre el propio U ; por lo que valdrán las

identi…caciones u ´ u ± '¡1

; v ´ v ± '¡1

; escribiremos

p = (u( p); v( p)) ´ ( u('¡1( p)); v('¡1( p)) )

y diremos que (u( p); v( p)) son las coordenadas de p con respecto a lacarta ( U ; '¡1).

Ejemplo 2.15 (carta polar en la esfera) La esfera M := f(x;y;z ) 2 R3 jx2 + y2 + z 2 = r2 > 0g admite la parametrización local ' : (R2 ¾)U ! U (½M ) de…nida por

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

U = (0; ¼)£

(¡

¼; ¼)'(# ´ u; Á ´ v) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) ; )

) '¡1(x;y;z ) = (# = arccos zr

; Á =

8><>:arccos(0;¼)

xp x2+y2

; si y > 0

0 ; si y = 0

¡ arccos(0;¼)xp

x2+y2; si y < 0

)

U = M ¡ f(x;y;z ) 2 M j x · 0; y = 0g

:

En efecto: (1) ' es inyectiva, ya que:

8><>:

cos #1 = cos #2#i2(0;¼)) #1 = #2

cos Á1 = cos Á2

senÁ1 = senÁ2 ¾Ái2(¡¼;¼)) Á1 = Á2

;

(2) rg(D') = rg0@ r cos # cos Á ¡r sen # sen Á

r cos # sen Á r sen # cos Á¡r sen # 0

1A = 2, ya que: detµ

a21 a22a31 a32

¶=

r2sen# cos Á 6= 0 ; y …nalmente (3) '¡1 es continua, ya que: limy!0¡;x>0 Á =0 = limy!0+;x>0 Á .

La carta ( U ; '¡1) se denomina (una) carta polar de la esfera M y las coordenadas # y Á se llaman colatitud y azimut, respectivamente. La carta polar en la esfera puede obviamente obtenerse también a partir del cambio a coordenadas polares en R3 (recordar el Ejemplo 2.7), tomando las

restricciones Uaqu¶{ = Uall¶{

\ fr = cte:

g; 'aqu¶{ = Ãall¶{

jUall¶{

\fr=cte:

gy

U aqu¶{ =

Uall¶{ \ M .




2.3 APLICACIONES DIFERENCIABLES ENTRE SU-

PERFICIES. PLANO TANGENTE2.3.1 Aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del espacio

afín

Este apartado generaliza 2.1.1.Sean S un subconjunto de Rn, ¹S un subconjunto de Rm y F : S ! ¹S una

aplicación. Obsérvese que, para S genérico, la misma noción de ”derivadasparciales” de F en un punto de S carece de sentido. La aplicación F : S ! ¹S se dirá diferenciable si, para cada punto p 2 S , existen un entorno U(½ R

n)de p y una extensión ~F de F

jU\S a U (esto es, una aplicación ~F : U

!R

m

tal que ~F jU\S = F jU\S ) diferenciable. En particular, si F es diferenciable,es continua.

Ejemplo 2.16 Si S un subconjunto de Rn y p 2 Rn, la función S 3 q 7!p Pn

i=1(xi(q ) ¡ xi( p))2 2 R es diferenciable si y sólo si p =2 S . Por otra parte, la función S 3 q 7! Pn

i=1(xi(q )¡ xi( p))2 2 R siempre es diferenciable.

El conjunto F(S ) de funciones diferenciables f : S ! R tiene estructurade anillo.

Resulta inmediato que la composición de aplicaciones diferenciables en-tre subconjuntos del espacio afín es también diferenciable. Una aplicacióndiferenciable F : S ! ¹S se dirá que es un difeomor…smo si es biyectiva ysi su inversa F ¡1 : ¹S ! S es también diferenciable.

Concentrémonos en el caso de un subconjunto de R3 que sea una super…-cie. Utilizando el teorema de la función inversa (Teorema 2.3) se demuestrainmediatamente el siguiente

Lema 2.17 Sea ' : (R2 ¾)U !U una parametrización de una super…cie M .

Entonces:

1. Existe una ”extensión” diferenciable © de ' a U£ R(½ R3) de manera

que, para cada p 2 U , existen entornos A( ½ U£ R) de ('¡1

( p); 0) y B(½ R

3) de p tales que ©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo.

2. La aplicación diferenciable ' : U! U es un difeomor…smo cuya inversa es la carta '¡1 : U ! U.

Demostración. Probemos 1. Supongamos s.p.d.g. que

det (@ ('1; '2)=@ (u; v)) ('¡1( p)) 6= 0 :

Consideremos la siguiente extensión diferenciable de '

© : U£R 3 (u;v;w) 7! ('1(u; v); '2(u; v); '3(u; v) + w) 2 R3




(identi…caremosU

½R

2 conU

£f0

g ½R

3), que veri…ca

D©('¡1( p); 0) = D©('¡1( p); 0) =

0@D'('¡1( p)) |

{z } 3£2

¯̄̄̄¯̄ 0

01

1A ; )

) det(D©)('¡1( p); 0) = det (@ ('1; '2)=@ (u; v)) ('¡1( p)) 6= 0 :

Sea p 2 U . Por el Teorema de la función inversa (Teorema 2.3),existen entornos A(½ U£ R ) de ('¡1( p); 0) y B(½ R

3) de p talesque ©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo.

Y probemos 2. Sea p

2 U . Por el resultado anterior y por ser '¡1

continua, podremos encontrar un entorno V (½ U \ B) de p tal que'¡1(V ) ½ (U£ f0g) \A. Lo que implica, al ser © jU£f0g= ', que

'¡1 jV ́ (© jA)¡1 ± © jA ±'¡1 jV = (© jA)¡1 jV ;

y esta última es una aplicación diferenciable (cuidado con lo que pa-saría si '¡1 no fuera continua!). Al ser p arbitrario, la aplicación'¡1 : U ! U resulta ser una aplicación diferenciable

Observación 2.18 1. Por la identi…cación de U ½ R2 con U £ f0g ½

R3

, el propio dominioU

de la parametrización puede considerarse una super…cie en R3. En este sentido, cualquier parametrización de una super…cie es un difeomor…smo entre super…cies cuya inversa es la carta asociada.

2. Sea M una super…cie y sea f : M ! R una función. El apartado 1implica que f será diferenciable en p 2 M si y sólo si, para alguna (y, por tanto, para cualquiera) parametrización local ' : (R2 ¾)U ! U ½ M en torno a p, la función compuesta f ± ' : (R2 ¾)U ! R es diferenciable en '¡1( p).

3. Sea M una super…cie y sea ® : I ! M una curva (por tanto, diferenciable) por p 2 M . El apartado 1 también implica que, dada cualquier parametrización ': U !U de M en torno a p, la aplicación ('¡1 ± ®) : I ! U es también diferenciable y, por tanto, es una curva,que denominaremos expresión local de ® en la carta ( U ; '¡1).

Si ( U ; '¡1 : U ! U), ( U ; ¹'¡1 : U ! U) son dos cartas de una super…cieM , con U \ U no vacío, resulta inmediato del lema anterior que la aplicacióncambio de carta

¹'¡1 ± ' : (U ¾) '¡1( U \ U ) ! ¹'¡1( U \ U ) (½ U) (24)




es un difeomor…smo. Las correspondientes ecuaciones:½ ¹u = ¹u(u; v) ´ (¹u ± ¹'¡1 ± ') (u; v)¹v = ¹v(u; v) ´ (¹v ± ¹'¡1 ± ') (u; v)

;

abreviadamente ¹ui = ¹ui(u; v) (i = 1; 2); se llaman ecuaciones del cambiode carta. La matriz Jacobiana del cambio de carta ¹'¡1 ± ' está de…nida en'¡1( U \ U )(½ U) y se escribe

D(¹'¡1 ± ') =

µ@ (¹u; ¹v)

@ (u; v)

¶´µ

@ ¹u=@u @ ¹u=@v@ ¹v=@u @ ¹v=@v

¶:

Ejemplo 2.19 El paraboloide hiperbólico M :=

f(x;y;z )

2R

3

jz = x2

¡y2

gadmite las parametrizaciones locales (comprobar que lo son!) ' : (R2 ¾)U ! U (½ M ) y ¹' : (R2 ¾)U ! U (½ M ), de…nidas por 8<: U = R

2 ; U = M '(u; v) = (x = u + v; y = u ¡ v; z = 4uv) ; )

) '¡1(x;y;z ) = (u = x+y2

; v = x¡y2

) y8<

:

U = f(¹u; ¹v) 2 R2 j ¹u 6= 0g ; U = M \ fz > 0g¹'(¹u; ¹v) = (x = ¹u cosh ¹v; y = ¹u senh¹v; z = ¹u2) ; )

) ¹'¡1(x;y;z ) = (¹u = (signo x)p

z; ¹v = arc tanh yx)

:

Entonces las ecuaciones del cambio de carta

¹'¡1 ± ' : (U ¾) f(u; v) 2 R2 j uv > 0g ! f(¹u; ¹v) 2 R2 j ¹u 6= 0g (= U)

son ½¹u = ¹u(u; v) = signo(u + v) 2

p uv

¹v = ¹v(u; v) = arc tanh u¡vu+v

:

2.3.2 Plano tangente a una super…cie en un punto

Sea S un subconjunto de Rn y p 2 S . Generalizando la expresión hallada en1.2.4 para el espacio tangente T pRn, denominamos conjunto tangente a S

en p al conjunto

T pS := f®0(0) j ® 2 C ( p;S )g ½ T pRn;

donde C ( p;S ) es la familia de curvas por p en S . Obsérvese que, cuando U es abierto de S (en la topología relativa) y p 2 U , el conjunto T p U coincidecon el conjunto T pS ; en particular, T pU = T pRn cuando U es abierto de Rn

y p 2 U .Como sabemos (1.1.3), T pRn tiene estructura natural de espacio vectorial.

Pues bien, el conjunto T pS no tiene por qué (!) ser un subespacio vectorialde T pRn; sin embargo, como vamos a ver, sí lo es cuando S es una super…cie

de R3:




Proposición 2.20 Sea M una super…cie, sea p

2M y sea T pM el conjunto

tangente a M en p. Entonces:

1. Si ' : U ! U es cualquier parametrización (local) de M en torno a p,entonces se veri…ca:

T pM = Im(d' j'¡1( p) ) :

2. El conjunto T pM es un espacio vectorial de dimensión 2, denominadoplano tangente a M en p.

3. Si V (½ M ) es un entorno de p de la forma V = f ¡1(0), donde f es una cierta función diferenciable (de…nida en un abierto de R3 y valuada en

R) con rg(Df ) jV = 1 (recordar el Teorema 2.13), entonces se veri…ca:

T pM = ker(df j p ) :

Demostración. Probemos 1 (ver [5], 2.4, Proposición 1): Por de…ni-ción, si » 2 T pM , existe una curva ® 2 C ( p; U ) tal que ®0(0) = »; en-tonces su expresión local (Observación 2.18(3)) '¡1±® 2 C ('¡1( p);U)

veri…ca: d' j'¡1( p) ('¡1±®)0(0)(20)= », con lo que T pM ½ Im

¡d' j'¡1( p)

¢.

Viceversa: si ´ 2 T '¡1( p)R2, existe una curva ¯ 2 C ('¡1( p);U)

tal que ¯ 0(0) = ´; se sigue que la curva ' ± ¯ 2 C ( p; U ) veri…ca

(' ± ¯ )0(0)(20)

= d' j'¡1( p) ´, con lo que Im(d' j'¡1( p) ) ½ T pM .El apartado 2 es consecuencia inmediata de 1 y de que la aplicaciónlineal d' j'¡1( p) :T '¡1( p)R

2 ! T pR3 tiene (2.2.1) rango 2.

Probemos 3. Si » 2 T pM , existe una curva ® 2 C ( p;f ¡1(0)) talque ®0(0) = »; se sigue:

df j p »(20)= (f ± ®)0(0) = 0f ( p) ;

con lo que T pM ½ ker(df j p ). Por otra parte, puesto que

dim ker(df

j p) = dim T pR

3

¡dim Im(df

j p) = 2 = dim T pM

(la segunda igualdad, al ser rg(Df ( p)) = 1), se sigue: ker(df j p) =T pM

Observación 2.21 Dada una super…cie M y un punto p 2 M , hemos optado

(siguiendo a [5], 2.4) por dar una de…nición ”intrínseca” de T pM , quedandoluego la tarea de probar que T pM = Im(d' j'¡1( p) ), para cualquier parame-trización local ' de M en torno a p. Otros textos (por ejemplo, [1], 3.32)pre…eren de…nir T pM := Im(d' j'¡1( p) ), para cierta parametrización local

' de M en torno a p, quedando luego la tarea de probar que esta de…ción no depende de la ' empleada. En cualquier caso, lo que queda por probar

siempre requiere saber que las parametrizaciones ' son difeomor…smos.




Ejemplo 2.22 Calculemos el plano tangente a la esfera M :=

f(x;y;z )

2R3 j x2 + y2 + z 2 = 1g en el punto p ´ (1; 0; 0). Considerando la parametri-zación local de M (inversa de una carta polar, Ejemplo 2.15)

' : U´ (0; ¼) £ (¡¼; ¼) 3 (#; Á) 7! (sen # cos Á; sen # sen Á; cos #) 2 U ;

con jacobiana D' =

0@ cos # cos Á ¡ sen # sen Ácos # sen Á sen # cos Á¡ sen # 0

1A, se tendrá, en el punto

p = '(# = ¼2 ; Á = 0):

T pM Prop. 2.20(1)

= ³Im d'

j(#=¼

2 ;Á=0)´ =

fµD'(# =¼

2

; Á = 0)(¸¹

)¶ p j¸; ¹

2R

g=

= f(0; ¹; ¡¸) p j ¸; ¹ 2 Rg :

Por otra parte, considerando que M es (globalmente) el conjunto de nivel regular M = f ¡1(0) para la función diferenciable f : R3 3 (x;y;z ) 7! x2 +y2 + z 2 ¡ 1 2 R, con jacobiana Df ((x;y;z )) =

¡2x 2y 2z

¢, obtenemos el

mismo (faltaría más!) resultado. En efecto, se tendrá:

T pM Prop. 2.20(3)

= ker(df j p) = f~ » p j Df ((1; 0; 0))(~ » ) = 0g =

= f~ » p j » 1 = 0g = f(0; » 2; » 3) p j » 2; » 3 2 Rg :

Sea M una super…cie y sea '¡1 : U ! U una carta de M con parame-trización local asociada ' : U 3 (u; v) 7! (x;y;z ) 2 U . Se sigue del lemaanterior que, para todo p 2 U ,

³d' j'¡1( p)

¡@

@u

¢'¡1( p)

; d' j'¡1( p)¡

@ @v

¢'¡1( p)

´constituye una base del espacio vectorial tangente T pM . Introducimos ahorala notaciónµ

@

@ui

¶ p

Notaci¶on´ d' j'¡1( p)µ

@

@ ui

¶'¡1( p)

(18)=

3X j=1

@' j

@ui('¡1( p))

µ@

@x j

¶ p

(i = 1; 2) ;

(25)así, (( @

@u) p

; ( @

@v) p

) constituye una base de T p

M , que denominaremos baseinducida por la carta ( U ; '¡1).

Observación 2.23 Con esta notación, la velocidad de una curva ® : I ! U en ¿ 2 I se escribe:

®0(¿ )(20)= d' j'¡1(®(¿ )) ('¡1 ± ®)0(¿ ) 2:1:2=

= d' j'¡1(®(¿ ))

Ã2X

i=1

d(ui ± ®)

dt(¿ )

µ@

@ui

¶'¡1(®(¿ ))

!´

2Xi=1

d(ui ± ®)

dt(¿ )

µ@

@ui

¶®(¿ )

;

siendo ('¡1

±®)(t)

´((u

±®)(t); (v

±®)(t)) la correspondiente expresión local

(Observación 2.18(3)) de ®.




2.3.3 Diferencial y regla de la cadena para aplicaciones entre sub-

conjuntosEste apartado generaliza 2.1.2 y 2.1.3.

Sean S un subconjunto de Rn y sean p 2 S y » 2 T pS . Dada una funcióndiferenciable (2.3.1) f : S ! R, se de…ne la derivada direccional de f según » como el número real

»(f ) := »( ~f ) 2 R ;

siendo ~f : U(½ Rn) ! R cualquier extensión (local) diferenciable de f .

La expresión (21) garantiza que este número está bien de…nido (esto es, no

depende de la extensión~f local elegida).

Observación 2.24 Sean M una super…cie, ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M y p 2 U . Sea f : U ! R una función diferenciable (y sea ~f cualquier extensión (local) diferenciable de f ). Entonces se tiene:µ

@

@ui

¶ p

(f ) :=

µ@

@ui

¶ p

( ~f )(25)=

3X j=1

@' j

@ui('¡1( p))

µ@

@x j

¶ p

( ~f )2:1:2=

=3

X j=1

@ (x j ± ')

@ui('¡1( p))

@ ~f

@x j( p)

2:1:3=

@ ( ~f ± ')

@ui('¡1( p)) =

@ (f ± ')

@ui('¡1( p)) :

Sean S un subconjunto de Rn, ¹S un subconjunto de Rm y p 2 S . Dadauna aplicación diferenciable (2.3.1) F : S ! ¹S , se de…ne la diferencial deF en p como la aplicación (no necesariamente lineal, en la medida en que elconjunto T pS no tiene por que ser un subespacio vectorial de T pR

n)

dF j p: T pS 3 » 7! d ~F j p » 2T F ( p)¹S ;

siendo ~F : U(½ Rn) ! R

m cualquier extensión (local) diferenciable de F . Laexpresión (20) garantiza que esta aplicación está bien de…nida (esto es, nodepende de la extensión ~F local elegida y su imagen pertenece efectivamente

a T F ( p) ¹S ). En el caso de una función (diferenciable) f : S ! ¹S ½ R, sededuce de la Observación 2.1(2): df j p » = (»(f ))f ( p).

Naturalmente, la diferencial dF j p que acabamos de de…nir es la restric-ción a T pS de la aplicación lineal d ~F j p: T pR

n ! T F ( p)Rm. Cuando T pS sea

subespacio vectorial, dF j p será a su vez una aplicación lineal; este será elcaso cuando S sea un abierto de Rn o una super…cie (Proposición 2.20(2)).

Si F : S ! S 0 ; G : S 0 ! S 00 son aplicaciones diferenciables entre sub-conjuntos del espacio afín, también lo es la aplicación G ± F : S ! S 00 y severi…ca para cada p 2 S :

d(G ± F ) j p (19)= dG jF ( p) ± dF j p ; (26)




además, si ® : I

!S es una curva, se tiene (para todo ¿

2I ):

(F ± ®)0(¿ )(20)= dF j®(¿ ) ®0(¿ ) : (27)

2.3.4 Representación local de aplicaciones entre super…cies

Sea F : M ! ¹M una aplicación continua (entre super…cies). Entonces, paracada punto p 2 M y cada carta ( U ; ¹'¡1) en torno a F ( p) 2 ¹M , existe otracarta ( U ; '¡1) en torno a p de manera que F ( U ) ½ U y la aplicación

F '¹' := ¹'¡1 ± F ± ' : '¡1( U ) ! ¹'¡1( U )

resulta ser una aplicación continua entre abiertos de R2 . Se denomina a F '¹'

representación local de F en ('; ¹') y a las correspondientes ecuaciones8>>><>>>:¹u ± F j U = ( ¹u ± F )(u; v) ´ (¹u ± ¹'¡1 ±F ± ') | {z

} F '¹'1

(u; v)

¹v ± F j U = (¹v ± F )(u; v) ´ (¹v ± ¹'¡1 ±F ± ') | {z

} F ' ¹'2

(u; v)(28)

ecuaciones locales de F en ('; ¹').

Lema 2.25 Sea F : M

!¹M una aplicación continua (entre super…cies).

Entonces:

1. F es diferenciable si (y sólo si) admite una representación local (en torno a cada punto p 2 M ) diferenciable.

2. Si F es diferenciable, cualquier representación local de F lo es.

3. Si F es diferenciable, p 2 M y F '¹' es una representación local de F en torno a p, se tiene:

dF j p µ @

@ui¶ p

=2

X j=1

@ F '¹' j

@ui('¡1( p)) µ @

@ ¹u j¶F ( p)

(i = 1; 2) (29)

Demostración. Los apartados 1 y 2 son inmediatos, por la Obser-vación 2.18(2). Probemos 3. Teniendo en cuenta la de…nición de F '¹' ,se deduce, 8 p 2 U (i = 1; 2) :

dF j pµ

@

@ui

¶ p

(25)´ dF j pÃ

d' j'¡1( p)

µ@

@ui

¶'¡1( p)

!(26)=

= d ¹' jF '¹'

('¡1

( p)) ÃdF

'¹'

j'¡1

( p) µ @

@ui¶'¡1( p)! (18)

=




= d¹' j¹'¡

1(F ( p)) Ã2

X j=1

@F '¹' j

@ui ('¡1

( p)) µ @

@ ¹u j¶¹'¡1(F ( p))! (25)

´

´2X

j=1

@F '¹' j

@ui('¡1( p))

µ@

@ ¹u j

¶F ( p)

Ejemplo 2.26 Sean las super…cies (comprobar que lo son!) M := f(x;y;z ) 2R3 j z = xyg y ¹M := f(x;y;z ) 2 R

3 j 4z = y2 ¡ x2g. Considérese la aplica-ción R3 3 (x;y;z ) 7! (x¡ y; x + y; z ) 2 R3, que es diferenciable y lleva M en ¹M . Así, la aplicación F : M ! ¹M ”correspondiente” (esto es, de…nida por

la misma expresión que que la de partida) resulta ser una aplicación diferen-

ciable entre super…cies. Por ser M y ¹M (globalmente) grá…cas de funciones diferenciables de la forma & : (R2 ¾)- 3 (x; y) 7! & (x; y) 2 R, admiten cartas naturales (globales) '¡1 y ¹'¡1, dadas por las respectivas proyecciones sobre el plano xy. La representación local de F en ('; ¹') será:

F '¹' := ¹'¡1±F ±' : (u; v)'7! (u;v;uv)

F 7! (u¡v; u + v;uv)¹'¡17! (u¡ v; u + v) ;

esto es,

F '¹'(u; v) = (u ¡ v

|{z} ¹u

; u + v

|{z} ¹v

) ; que tiene por Jacobiana DF '¹' =

µ1 ¡11 1 ¶

;

con lo que, para cualquier punto p ´ (x;y;z ) 2 M , se tendrá:(dF j(u;v)

¡@

@u

¢(u;v)

=¡

@ @ ¹u + @

@ ¹v

¢(¹u=u¡v;¹v=u+v)

dF j(u;v)

¡@

@v

¢(u;v)

=¡¡ @

@ ¹u+ @

@ ¹v

¢(¹u=u¡v;¹v=u+v)

:

Observación 2.27 1. (Coherencia de la notación) Sea ( U ; '¡1) una car-ta de una super…cie M y sea p 2 U . Tomando como F la propia

'¡1 : U ! U y, como cartas, '¡1 en U y la canónica idU en U, se tiene: F ' idU = idU. De donde se sigue:

d'¡1 j pµ @

@ ui

¶ p

(29)=µ @

@ui

¶'¡1( p)

(i = 1; 2) ;

lo que es coherente con la notación introducida en (25).

2. (Cambio de carta) Sean ( U ; '¡1), ( U ; ¹'¡1) dos cartas de una super…cie M y sea p 2 U \ U . Tomando como F la identidad en M , se tiene:F '¹' = ¹'¡1 ± ' (la aplicación cambio de carta, 2.3.1). De donde se sigue:

µ @

@ui¶ p

(29)=

2

X j=1

@ ¹u j

@ui('

¡1( p)) µ @

@ ¹u j¶ p

(i = 1; 2)




(con ¹u = ¹u(u; v) ; ¹v = ¹v(u; v) las ecuaciones del cambio de carta) o,

en otras palabras,

(

µ@

@u

¶ p

;

µ@

@v

¶ p

) = (

µ@

@ ¹u

¶ p

;

µ@

@ ¹v

¶ p

)

µ@ (¹u; ¹v)

@ (u; v)

¶('¡1( p)) ;

con ³

@ (¹u;¹v)@ (u;v)

´la matriz Jacobiana del cambio de carta.

2.3.5 Difeomor…smos entre super…cies. Teorema de la funcióninversa

Este apartado generaliza 2.1.4.Sean M y ¹M super…cies. Recordemos (2.3.1) que una aplicación diferen-ciable F : M ! ¹M se llama difeomor…smo si es biyectiva y si su inversaF ¡1 : ¹M ! M es también diferenciable.

Si existe un difeomor…smo F : M ! ¹M , las super…cies M y ¹M se dicendifeomorfas. Como la identidad, la inversa de un difeomor…smo y la com-posición de difeomor…smos son difeomor…smos, se concluye que la relación”ser difeomorfas” es de equivalencia.

Sabemos (Observación 2.18(1)) que, dada cualquier carta ( U ; '¡1) de unasuper…cie M , la aplicación '¡1 : U ! U es un difeomor…smo con inversa': U

! U . Puesto que las bolas (euclídeas) abiertas constituyen una base

de la topología de R2 y son todas difeomorfas, se deduce (de la de…nición desuper…cie) que, localmente, todas las super…cies son difeomorfas.

Si F : M ! ¹M es un difeomor…smo, se tiene (8 p 2 M ):

IdT pM = d IdM j p= d(F ¡1 ± F ) j p(26)= d(F ¡1) jF ( p) ± dF j p ;

se concluye que dF j p: T pM ! T F ( p)¹M es un isomor…smo lineal y que

(dF j p)¡1 = d(F ¡1) jF ( p) :

El recíproco es también (localmente) cierto y constituye el

Teorema 2.28 (función inversa para super…cies) Sea F : M ! ¹M una aplicación diferenciable entre super…cies y sea p 2 M . Si dF j p: T pM !T F ( p)

¹M es un isomor…smo lineal, existe un abierto U de M , con p 2 U , tal que F ( U ) es abierto de ¹M y F j U : U !F ( U ) es un difeomor…smo.

Demostración. Vamos a demostrar este resultado para F aplicandoel teorema de la función inversa (Teorema 2.3) a su representación localF '¹' . Sean cartas (

U ; '¡1) en torno a p

2M y (

U ; ¹'¡1) en torno




a F ( p)

2¹M tales que F (

U )

½ U . Entonces resulta (Lema 2.25(2))

que F '¹' : (R2 ¾)U! U(½ R2) es diferenciable y veri…ca

rg¡

dF '¹' j'¡1( p)¢ (26)

= rg¡

d¹'¡1 jF ( p) ± dF j p ± d' j'¡1( p)¢

= 2 ;

la última igualdad por ser ' y ¹' difeomor…smos entre super…cies ypor veri…carse rg(dF j p) = 2 .

Se deduce del Teorema 2.3 que F '¹' es localmente un difeomor…smoy s.p.d.g. (restringiendo adecuadamente los abiertos U y U) que F '¹'

es un difeomor…smo. Al ser ' y ¹' difeomor…smos, se concluye que

F j U = ¹' ± F '¹'

± '¡1

: U ! F ( U ) = U es un difeomor…smo

Sean M y ¹M super…cies. Una aplicación diferenciable F : M ! ¹M sellama difeomor…smo local si, en cada punto p 2 M , su diferencial dF j p:T pM ! T F ( p)

¹M es un isomor…smo lineal. Obviamente, todo difeomor…smoes un difeomor…smo local.

Lema 2.29 Sean M y ¹M super…cies y sea F : M ! ¹M una aplicación

diferenciable. Entonces:

1. F es un difeomor…smo local si y sólo si F es localmente un difeomor- …smo.

2. F es inyectiva y un difeomor…smo local si y sólo si F es un difeomor- …smo sobre su imagen.

3. F es un difeomor…smo local si y sólo si, para cada punto p 2 M , existen cartas ( U ; '¡1 = (u; v)) de M en torno a p y ( U ; ¹'¡1 = (¹u; ¹v)) de ¹M en torno a F ( p), con F ( U ) ½ U , tales que F '¹' = idU o, en otras palabras,

tales que las ecuaciones locales (28) de F en ('; ¹') son

¹uk ± F j U = uk (k = 1; 2) ;

estas cartas se llaman adaptadas al difeomor…smo local F .

Demostración. Probemos 1. Condición su…ciente, obvia. Condi-ción necesaria: Teorema 2.28.

Probemos 2. Condición su…ciente, obvia. Condición necesaria: basta-rá probar que F (M ) es abierto en ¹M y que F ¡1 : F (M ) ! M esdiferenciable. Sea p

2F (M ). Por el apartado 1, existe un abierto

U de M , con F ¡1( p) 2 U , tal que F ( U ) es abierto de ¹M y F j U :




U !F (

U ) es un difeomor…smo. Se sigue que F ¡1

jF ( U )= (F

j U )¡1,

que es diferenciable. La arbitrariedad en la elección de p prueba queF (M ) es abierto en ¹M y que F ¡1 es diferenciable

Y probemos 3. Condición necesaria: sea ( U ; '¡1) una carta tal queF j U : U :! F ( U ) sea un difeomor…smo. Si ' : U ! U es laparametrización local asociada, tómese

¹' := F ± ' : U ! F ( U ) ;

con lo que resulta U = F ( U ) y ¹'¡1 = '¡1 ± (F j U )¡1 . Trivialmenteentonces F '¹' = idU. Condición su…ciente: el que, para cada p 2 M ,

existan cartas ( U ; '¡1

) de M en torno a p y ( U ; ¹'¡1

) de¹

M entorno a F ( p), con F ( U ) ½ U , tales que F '¹' = idU, prueba queF j U = ¹' ± '¡1; que es un difeomor…smo. Y el resultado se sigue porel apartado 1

Observación 2.30 En 2.2.1 se dio la de…nición de parametrización de un subconjunto de R3. Cuando ya se sabe que el subconjunto M es una super- …cie, para concluir que una aplicación diferenciable ' : (R2 ¾)U ! M es de hecho una parametrización de M basta probar que ' es inyectiva y que rg(D'(q )) = 2 ; 8q 2 U (y no es necesario comprobar que '¡1 : '(U)! U

es continua).

En efecto (ver [5], 2.2, Proposición 4, p.75; aquí damos otra de-

mostración, aprovechando que disponemos ya de un teorema de la función inversa para super…cies) Para todo q 2 U, la aplicación li-

neal d' jq : T q U ! T '(q )R3 tiene (por hipótesis) rango 2 y, puesto

que su imagen Im(d' jq ) está contenida (!) en T '(q )M (que es un

plano vectorial), da lugar a un isomor…smo lineal T q U ! T '(q )M .Al ser ' : U ! M una aplicación diferenciable entre super…cies (por

la identi…cación del dominio U ½ R2 con la super…cie U £ f0g en

R3), ' resulta ser un difeomor…smo local y, al ser inyectiva, resulta

ser (Lema 2.29(2)) un difeomor…smo sobre su imagen. En particular,'(U) es abierto en M y '¡1 : '(U)! U es continua. De donde se

sigue que ' es una parametrización de M

Ejemplo 2.31 Sea r > 0. Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada

por la longitud de arco, con curvatura ·(< 1=r) y torsión ¿ constantes, y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Considérese el conjunto M := Im ©, siendo

© : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) + r cos v ~ N (u) + rsen v ~ B(u) 2 E3 :

El conjunto M es un ”tubo” de radio r centrado en Im ® (en el caso ¿

6=

0, Im ® es una hélice; recordar el Ejercicio 6.1.15a). Supongamos que M




constituye una super…cie. Vamos a ver que © induce, por restricción, una

parametrización local ' : U ! U en torno a cada punto de M .La aplicación © es suprayectiva, continua, diferenciable y veri…ca ( 8(u; v) 2

I £ R):

rg (D©(u; v))(16)= rg

³(1 ¡ ·r cos v) ~ T (u) + ¿ r

h¡senv ~ N (u) + cos v ~ B(u)

irh¡senv ~ N (u) + cos v ~ B(u)

i´= 2 :

A partir de aquí, podemos seguir dos caminos:Primer camino. La aplicación © admite la siguiente ”extensión” diferen-

ciable:

~© : I £R£R 3 (u;v;w) 7! ®(u)+(1 + w)h

r cos v ~ N (u) + rsen v ~ B(u)i

2 E3 :

Sea p 2 M ; ) 9u0 2 I y 9v0 2 R tales que p = ~©(u0; v0; 0) : Puesto que

rg³

D ~©(u0; v0; 0)´

= rg³

(1 ¡ ·r cos v0) ~ T (u0) + ¿rh¡senv0 ~ N (u0) + cos v0 ~ B(u0)

irh¡senv0 ~ N (u0) + cos v0 ~ B(u0)

irh

cos v0 ~ N (u0) + rsen v0 ~ B(u0)i ´

= 3 ;

se sigue (Teorema 2.3) que ~© es, localmente en torno a (u0; v0; 0), un difeo-mor…smo; por tanto, © es, localmente en torno a (u0; v0), inyectiva. Puestoque hemos supuesto que M es una super…cie, se sigue de la Observación 2.30 que existe un entorno U(½ I £R) de (u0; v0) tal que ' := © jU: U ! U ½ M es una parametrización local de M en torno a ©(u0; v0) = p.

Segundo camino. Una vez que sabemos que rg (D©(u; v)) = 2 ; 8(u; v) 2I £ R; se sigue del Teorema de la función inversa para super…cies (Teorema 2.28) que: 8 p 2 M ; 9U ½ I £ R tal que U ´ ©(U) es abierto de M (con p 2 U ) y © jU: U ! U es un difeomor…smo. Con lo que ' := © jU será una

parametrización local de M en torno a p.

2.4 CAMPOS DE VECTORES SOBRE SUPERFICIES

2.4.1 Campos de vectores sobre subconjuntos del espacio afín

Un campo (diferenciable) de vectores X sobre un subconjunto S deR

n viene determinado por una aplicación diferenciable ~ X ´ (X 1;:::;X n) :S ! R

n, y se de…ne como la aplicación

X : S 3 p 7! X( p) :=³

~ X ( p) ́p

2 T pRn:




Se denomina a ~ X la parte vectorial de X. Sean (x1; :::xn) las coorde-

nadas canónicas de Rn. Obviamente se tiene, para todo p 2 S :

X( p) =

nXi=1

X i( p)

µ@

@xi

¶ p

;

y las funciones diferenciables X i : S ! R reciben el nombre de componentesde ~ X ( y de X).

Lo anterior permite introducir (para cada i = 1;:::;n) el campo de vecto-res sobre S

@

@xijS ;

que hace corresponder a cada p 2 S el vector (no necesariamente tangente aS ) (@=@xi) p 2 T pR

n. Obsérvese que la parte vectorial del campo @=@xi jS esel vector constante ~ei := (0; : : : ; 1i); ; : : : ; 0) .

La familia XS de los campos de vectores sobre un subconjunto S de Rn

tiene estructura natural de R-espacio vectorial. Además es un F(S )-módulo,donde F(S ) es el anillo de las funciones diferenciables f : S ! R.

Puesto que, dado un campo X 2 XS , existen funciones X i 2 F(S ) talesque

X =

n

Xi=1

X i µ@

@xi jS ¶ ;

se concluye que el conjunto (@=@x1 jS ; : : : ; @ = @ xn jS ) constituye una base(esto es, un sistema generador F(S )-linealmente independiente), llamada ca-nónica , del F(S )-módulo XS .

2.4.2 Campos de vectores tangentes a super…cies

Un campo de vectores X 2 XS sobre un subconjunto S de R se dice tangentea S si, para todo p 2 S , se veri…ca X( p) 2 T pS . Se denota por X(S ) alconjunto de los campos tangentes a S . Obviamente se tiene: X(S ) ½ XS .

En general,X

(S ) no es unF

(S )-submódulo deX

S (en la misma medida enque, dado p 2 S , el conjunto tangente T pS no tiene por qué ser un subespaciovectorial de T pR

n, recordar 2.3.2). Obsérvese que:

(1) Si U es un abierto de Rn, entonces X(U) = XU . En particular, X(U) esun F(U)-módulo.

En efecto: 8 p 2 U; f®0(0) j ® 2 C ( p;U)g = f®0(0) j ® 2 C ( p;Rn)g

(2) Si M es una super…cie de R3, entonces X(M ) está estrictamente conte-nido en XM y constituye un F(M )-submódulo de XM .




(3) Si

U es un abierto de una super…cie M y V

2X(M ), entonces V

j U 2X( U ).

Sea M una super…cie y sea ( U ; '¡1) es una carta de M . Entonces laasignación (para cada i = 1; 2)

@

@ui;

que hace corresponder a cada p 2 U el vector tangente (@=@ui) p 2 T pM (recordar (25)), veri…ca:

@

@ui=

3X j=1

(@' j

@ui± '¡1) µ @

@x jj U ¶ (i = 1; 2) ; (30)

por tener componentes diferenciables, @ @ui

constituye un campo de vectorestangente a U , que denominaremos i-ésimo campo coordenado (corres-pondiente a la carta ( U ; '¡1)).

Si ( U ; ¹'¡1 = (¹u; ¹v)) es otra carta de M , con ¹' : U ! U la parametrizaciónlocal asociada, se deduce de la Observación 2.27(2) que, en U \ U , se tiene:

(@

@u;

@

@v) = (

@

@ ¹u;

@

@ ¹v) (

µ@ (¹u; ¹v)

@ (u; v)¶± '¡1) ; (31)

con³

@ (¹u;¹v)@ (u;v)

´la matriz Jacobiana del cambio de carta.

Sea ahora V =P3

j=1 V j

³@

@xjjM ́ 2 X(M ) un campo tangente a una

super…cie M y sea ( U ; '¡1) una carta de M: Puesto que, para cada p 2 U ,el conjunto (( @

@u1) p; ( @

@u2) p) constituye (2.3.2) una base de T pM , es claro que

existirán funciones V '1 ; V '2 : U ! R (no necesariamente diferenciables, por

el momento) tales que se podrá escribir

V

j U =

2

Xi=1

V 'i

@

@ui

; (32)

esta expresión se denomina expresión local de V en la carta ( U ; '¡1) ylas V 'i (i = 1; 2) son las componentes locales de V en la carta ( U ; '¡1).

Ahora bien, las funciones V j 2 F(M ) ( j = 1; 2; 3) restringen a funcionesdiferenciables V jj U 2 F( U ) y entre éstas y las V 'i (i = 1; 2) existen, comoconsecuencia de (30), las siguientes relaciones:

V jj U =2X

i=1

V 'i (@' j

@ui± '¡1) ( j = 1; 2; 3) ; (33)

en base a estas relaciones es posible demostrar el siguiente




Lema 2.32 Sean M una super…cie, V

2X(M ) un campo tangente y V

j U =P2

i=1 V '

i @ @ui su expresión local en una cierta carta ( U ; '¡1) de M . Entonces las componentes locales V 'i : U ! R son funciones diferenciables.

Demostración: ver Apéndice 5.2.1

Se concluye que la pareja (@=@ u; @ =@v ) de campos coordenados constituyeuna base (esto es, un sistema generador F( U )-linealmente independiente) delF( U )-módulo X( U ).

Ejemplo 2.33 Sea la esfera M := f(x;y;z ) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2g y

considérese el campo (diferenciable) de vectores X := (¡y @ @x

+x @ @y

) jM 2 XM ,

con parte vectorial ~ X = (¡

yj

M ; xj

M ; 0). Puesto que M = f ¡1(0), con

f : R3 3 (x;y;z ) 7! x2 + y2 + z 2 ¡ r2 2 R ; se tendrá ( 8 p 2 M ):

T pM Prop. 2.20(3)

= ker(df j p) = f~ » p j Df ( p)(~ » ) = 0g = f~ » p j3X

i=1

2xi( p)» i = 0g :

Al ser P3

i=1 (xiX i) jM = (¡xy + yx) jM = 0, se concluye que X es tangente a M . Con lo que, en la carta polar ( U ; '¡1) de la esfera M (Ejemplo 2.15)

' : U ´ (0; ¼)£(¡¼; ¼) 3 (#; Á) 7!0

@rsen# cos Á

| {z

} ´'1

; rsen#senÁ

|

{z

} ´'2

; r cos #

| {z

} ´'3

1

A2 U ;

se veri…cará: X j U = X '1@

@# + X '2@

@Á 2 X( U ), para ciertas funciones (”com-

ponentes locales” de X en la carta ( U ; '¡1)) X '1 ; X '2 2 F( U ). Para determi-narlas, escribamos

X j U =µ

¡y@

@x+ x

@

@y

¶j U = ¡rsen#senÁ

@

@xj U +rsen# cos Á

@

@yj U ;

y, puesto que 8<:

@ @#

(30)=

P3

j=1(@'j

@#± '¡1) @

@xjj U = r cos # cos Á @

@xj U +r cos #senÁ @

@yj U ¡rsen# @

@zj U

@

@Á

(30)= P3

j=1(

@'j

@Á ±'¡1) @

@xj j U =

¡rsen#senÁ @

@x j U +rsen# cos Á @

@y j U ;

se deduce el siguiente sistema de ecuaciones de 3 ecuaciones para las 2 fun-ciones X '1 ; X '2 (no olvidar que ya sabemos que el sistema tiene que tener solución única!)8<: ¡rsen#senÁ = X '1 (r cos # cos Á) + X '2 (¡rsen#senÁ)

rsen# cos Á = X '1 (r cos #senÁ) + X '2 (rsen#cos Á)0 = X '1 (¡rsen#)

;

cuya solución es: X '1 = 0 ; X '2 = 1. Con lo que, …nalmente queda:

X

j U =

@

@Á:




2.4.3 Derivación natural en el espacio afín

Recogemos aquí la formalización de las operaciones de derivación habitual en abiertos de Rn, extendiéndolas al caso de super…cies de R3. Interesareunir ahora las propiedades más relevantes de esta derivación habitual, paracompararlas más adelante con las de la llamada ”derivación covariante” sobresuper…cies de E3.

Sea S un subconjunto dado de Rn. Nos interesa restringirnos al caso en que T pS sea un subespacio vectorial de T pRn, para todo p 2 S ; de esta formase garantiza que el conjunto X(S ) de los campos de vectores tangentes a S forma un submódulo del F(S )-módulo XS de campos sobre S . Ciertamente,los únicos ejemplos quenos interesan son aquéllos en los que S es un abierto deRn o una super…cie (de R3). Consideramos en Rn las coordenadas canónicas(x1;:::;xn):

Dada una función diferenciable (2.3.1) f 2 F(S ), ya sabemos (2.3.3) cómode…nir la derivada direccional de f según » 2 T pS , a saber, como el númeroreal

»(f ) := »( ~f ) ; (34)

siendo ~f : U(½ Rn) ! R cualquier extensión (local) diferenciable de f .

Es inmediato comprobar que la aplicación

T pS £ F(S ) 3 (»; f ) 7! »(f ) 2 R

resulta ser R-lineal en ambas entradas y veri…ca una regla de Leibnitz paraproductos en la segunda, esto es, »(fg) = »(f )g( p) + f ( p)»(g). Además, siS = U es un abierto de Rn, se tiene (2.1.2):µ

@

@xi

¶ p

(f ) =@f

@xi( p) (i = 1;:::;n) ;

por otra parte, si S = M es una super…cie y ( U ; '¡1) es una carta de M , setiene (Observación 2.24):

µ @

@ ui

¶ p

(f ) =@ (f ± ')

@ui

('¡1( p)) (i = 1; 2) :

En base a lo anterior, resulta natural de…nir la derivada de f 2 F(S ) conrespecto a un campo tangente V 2 X(S ) como la función V(f ) 2 F(S )tal que:

(V(f ))( p) := V( p)(f ) , para todo p 2 S : (35)

Se deduce inmediatamente de las propiedades de (34) que la aplicación

X(S ) £ F(S ) 3 (V; f ) 7! V(f ) 2 F(S )




resulta ser R-lineal en ambas entradas, F(S )-lineal en la primera y veri…ca

una regla de Leibnitz para productos en la segunda, esto es, V(fg) = V(f )g+f V(g). Además, si S = U es un abierto de Rn, se tiene:µ

@

@xi

¶(f ) =

@ f

@ xi(i = 1;:::;n) ;

mientras que, si S = M es una super…cie y ( U ; '¡1) es una carta de M , setiene: µ

@

@ui

¶(f ) =

@ (f ± ')

@ui

± '¡1 (i = 1; 2) : (36)

Vamos ahora a de…nir la ley de derivación ”natural” de campos de vectoressobre S . Dado un campo de vectores (2.4.1) X =

Pni=1 X i

³@

@xijS ́ 2 XS ,

de…nimos la derivada direccional de X según » 2 T pS como el vector(no necesariamente tangente a S )

D» X : =

nXi=1

»(X i)

µ@

@xi

¶ p

2 T pRn : (37)

Así pues, en esta de…nición ”natural” de derivación de un campo de vec-tores, el vector derivador » actúa exclusivamente sobre las componentes (o

parte vectorial) del campoX

(sin afectar en absoluto a los campos de la basecanónica (@=@x1 jS ; : : : ; @ = @ xn jS ) de XS ). De nuevo se deduce inmediata-mente de las propiedades de (34) que la aplicación

T pS £XS 3 (»; X) 7! D»X 2 T pRn

es R-lineal en ambas entradas y no es F(S )-lineal en la segunda, sino que severi…ca: D»(f X) = »(f )X( p) + f ( p)D»X.

Es conveniente en este momento intercalar aquí una ley de derivación queya conocemos. Dado un campo de vectores V =

Pni=1 V i

³@

@xi± ®

´2 X® a lo

largo de una curva ® : I ! S , ya sabemos (1.2.2) cómo de…nir la derivadade V, a saber, como el campo (atención al cambio de notación, que en 1.2.2 era V

0 )DV

dt:=

nXi=1

dV idt

µ@

@ xi± ®

¶2 X® : (38)

Se obtenía así una aplicación D=dt : X® ! X®, que era R-lineal, perono F(I )-lineal, sino que veri…caba: D(f V)=dt = (df=dt)V + f DV=dt. Elmotivo de recordar aquí esta ley de derivación es que se tiene la siguiente(importantísima) propiedad que la relaciona con (37): si X 2 XS , entonces

D(X

±®)

dt (t) = D®0(t)X ; 8t 2 I ;




o, en otros términos (de…niendo (D®0X)(t) := D®0(t)X , para todo t

2I ):

D(X ± ®)

dt= D®0X : (39)

En efecto: Sea X =Pn

i=1 X i

³@

@xijS ́ ; entonces se tiene:

D(X ± ®)

dt(t) =

D

dt

ÃnX

i=1

(X i ± ®)

µ@

@xi± ®

¶!(t) =

=

n

Xi=1 d(X i

±®)

dt (t)µ @

@xi¶®(t)

(34)

=

n

Xi=1 ®0(t)(X i)µ @

@xi¶®(t)

(37)

= D®0

(t)X

Finalmente de…nimos la derivada de X 2 XS con respecto a V 2 X(S )como el campo DVX 2XS tal que:

(DVX)( p) := DV( p)X , para todo p 2 S : (40)


X(S ) £ XS 3 (V; X) 7! DVX 2 XS

es R-lineal en ambas entradas y es F(S )-lineal en la primera pero no en lasegunda, sino que se veri…ca: DV(f X) = V(f )X+f DVX. Además, si S = U

es un abierto de Rn, entonces XS = X(S ) y se tiene:

D @ @xi

X =nX

j=1

@X j@ xi

µ@

@x jjS

¶(i = 1;:::;n) ;

en particular, D @ @xi ³

@ @xj

jS ´ = 0 (los campos de la base canónica (@=@x1 jS

; : : : ; @ = @ xn jS ) de XS poseen derivada nula). Por otra parte, si S = M esuna super…cie y ( U ; '¡1) es una carta de M , se tiene:

D@=@ui

@

@u j

(30)=

3Xk=1

(@ 2'k

@ui@u j±'¡1)

µ@

@xkj U ¶

(30)= D@=@uj

@

@ui(i = 1; 2) ; (41)

es decir, D@=@ui

@ @uj

es el elemento de X U cuya parte vectorial es:

µ@ 2'1

@ui@u j

± '¡1;@ 2'2

@ui@u j

± '¡1;@ 2'3

@ui@u j

± '¡1

¶´ @ 2'

@ui@u j

± '¡1 :



3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO 65

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLI-

DEOEn este epígrafe se estudiarán aquellos aspectos y propiedades de las super-…cies del espacio E3 que tienen que ver con la estructura euclídea canónicade éste.

3.1 PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL

3.1.1 Estructura euclídea de los espacios tangentes a E3

Recordar el apartado 1.1.4; en particular que, en cada punto p 2En

, la basecanónicaµ³

@ @x1 ́p

; : : : ;³

@ @xn ́p

¶de T pE

n es ortonormal.

Sea S un subconjunto de En tal que T pS es subespacio vectorial de T pEn,para todo p 2 S (usualmente, S es un abierto U o una super…cie M de E3).Si X; Y 2 XS , se de…ne:

< X; Y > : S 3 p 7!< X( p); Y( p) > 2 R ;

que resulta ser una función diferenciable, ya que se tiene:

< X; Y > =

nXi=1

X iY i , para X ´nX

i=1

X iµ @ @xijS ¶ , Y ´

nXi=1

Y iµ @ @xijS ¶ :

En el caso particular n = 3 , se de…ne:

X £ Y : S 3 p 7! X( p) £ Y( p) 2 T pE3 ;

que resulta ser un campo de vectores (diferenciable) sobre S , ya que se tiene:

X £ Y = det

0@

@ @x jS

@ @y jS

@ @z jS

X 1 X 2 X 3

Y 1 Y 2 Y 3

1A :

En cuanto a derivaciones de productos escalares de campos, se tiene elsiguiente resultado:

Proposición 3.1 Sea S un subconjunto de En tal que T pS es subespaciovectorial de T pE

n, para todo p 2 S .

1. Sean X; Y 2 XS y sea » 2 T pS . Entonces se tiene (recordar (37)):

» < X; Y > = < D»X; Y( p)> + < X( p); D» Y >

2R :




2. Sea ® : I

!S una curva y sean X; Y

2X® . Entonces la función

< X; Y >: I 3 t ! < X(t); Y(t) > 2 R es diferenciable y se tiene (recordar (38)):

d < X; Y >

dt= <

DX

dt; Y > + < X;

DY

dt> 2 F(S ) :

3. Sean X; Y 2 XS y sea V 2 X(S ). Entonces se tiene (recordar (40)):

V(< X; Y >) = < DVX; Y > + < X; DVY > 2 F(S ) :

Demostración. Probemos 1. EscribiendoX

´ Pn

i=1 X i ³ @

@xi jS ́ ,Y ´ Pn

i=1Y i³

@ @xi

jS ́ , con X i; Y i 2 F(S ) (i = 1;:::;n), se tiene:

» < X; Y >= »

ÃnX

i=1

X iY i

!(34)=

nXi=1

(»(X i) Y i( p) + X i( p) »(Y i))(37)=

=< D» X; Y( p)> + < X( p); D» Y >

El apartado 2 es similar (de hecho, sólo supone un cambio de notaciónrespecto de lo que ya se vio en 1.2.2).

Probemos 3. Escribiendo nuevamente X ´ Pni=1 X i

³@

@xijS ́ , Y ´Pn

i=1 Y i

³@

@xijS ́ , se tiene:

V(< X; Y >) = V

ÃnX

i=1

X iY i

!(35)=

nXi=1

(V(X i) Y i + X i V(Y i))(40)=

=< DVX; Y > + < X; DVY >

La estructura euclídea deE3

permite de…nir, para cada función diferen-ciable f : (E3 ¾)U ! R, su gradiente, denotado grad f 2 X(U), comoel único campo de vectores sobre U que veri…ca, para todo p 2 U y todo» 2 T pU:

< (grad f )( p); » >: = Df ( p)(~ » ) =3X

i=1

@f

@xi( p)» i ;

de donde inmediatamente se sigue:

grad f =3

Xi=1

@f

@xi µ@

@xijU¶

:




Sea M una super…cie en el espacio euclídeo E3, sea

V ½M un abierto

(en la topología relativa) de la forma V = f ¡1(0), donde f es una ciertafunción diferenciable (de…nida en un abierto de E

3 y valuada en R) conrg(Df jV ) = 1 (recordar el Teorema 2.13). Sea p 2 V . Entonces, de lacaracterización del plano tangente T pM como el núcleo de la aplicación df j p(recordar la Proposición 2.20(3)) se deduce inmediatamente que:

< (grad f )( p); T pM > = 0 : (42)

Ejemplo 3.2 La función diferenciable f : E3 3 p 7!j p j22 R tiene por gradiente grad f =

P3i=1 2xi

@ @xi

2 X(E3). Dado el punto p ´ (1; 0; 0) de

la esfera M := f ¡1

(1), resulta ser T pM = f~ » p j<

~ »; (1; 0; 0) >= 0g (simple reelaboración del Ejemplo 2.22).

Observación 3.3 La expresión (grad f )( p) =P3

i=1@f @xi

( p)³

@ @xi ́p

no se

mantiene bajo cualquier cambio lineal de coordenadas, mucho menos bajoun cambio arbitrario (Ejercicio 6.3.1a); por el contrario,sí se mantiene bajoun cambio arbitrario de coordenadas la expresión df j p=

P3i=1

@f @xi

( p) dxi j p(ver el Ejercicio 6.3.1b, donde se explica el contexto de dicha expresión).

3.1.2 Formas bilineales sobre super…cies

Una forma bilineal sobre una super…cie M del espacio afín R3 es unacorrespondencia B que asocia, a cada punto p 2 M , una forma bilinealB p : T pM £T pM ! R veri…cando la siguiente propiedad de diferenciabilidad:para todo par de campos V; W 2 X( U ) de…nidos sobre un abierto U de M;la función:

B(V; W) :

U 3p

7! B p(V( p); W( p))

2R

es una función diferenciable.La forma bilineal B induce una aplicación (denotada por la misma letra)

B : X( U ) £ X( U ) 3 (V; W) 7! B(V; W) 2 F( U ) que es F( U )-bilineal,es decir, que veri…ca, para todo U; V; W 2X( U ) y todo f; g 2 F( U ); laspropiedades:

(1) B(f U + gV; W) = f B(U; W) + gB(V; W)

(2) B(U ; f V + gW) = f B(U ; V) + gB(U; W) :




Además, si

V es abierto contenido en

U , se veri…ca:

B(V

jV ; W

jV ) =

B(V; W) jV :Si ( U ; '¡1 = (u; v)) es una carta de M y ' : U ! U la parametrización

local asociada, las funciones:

bij := B(@

@ui;

@

@u j) 2 F( U ) (i; j = 1; 2)

determinan completamente B en U ; ya que, si V =P2

i=1 V 'i

@ @ui

2 X( U ) yW =

P2i=1 W 'i

@ @ui

2 X( U ) , se tiene:

B(V; W) =2X

i;j=1

bijV 'i W ' j :

Las funciones bij : U ! R se denominan componentes de B en la carta( U ; '¡1).

Observación 3.4 Se deduce de la última expresión que una forma bilineal B sobre una super…cie M es diferenciable si y sólo si sus componentes bij en cualquier carta de M son funciones diferenciables.

Proposición 3.5 Sea B una forma bilineal sobre M , sean ( U ; '¡1), ( U ; ¹'¡1)dos cartas de M y sean bij; ¹bij las correspondientes componentes de B. Si la aplicación cambio de carta (24)

¹'¡1 ± ' : '¡1( U \U ) ! ¹'¡1( U \ U )

tiene por ecuaciones ¹u = ¹u(u; v); ¹v = ¹v(u; v), entonces se veri…ca:

bij =2

Xk;l=1

¹bkl(@ ¹uk

@ui± '¡1)(

@ ¹ul

@u j± '¡1) (i; j = 1; 2) ;

donde se entiende que ¹bij(¹u; ¹v) = ¹bij(¹u(u; v); ¹v(u; v))

Demostración. En efecto:

bij := B( @ @ui

; @ @uj

)(31)= B(

P2k=1( @ ¹uk

@ui± '¡1) @

@ ¹uk;P2

l=1( @ ¹ul

@uj± '¡1) @

@ ¹ul) =

=P2

k;l=1¹bkl(@ ¹uk

@ui± '¡1)( @ ¹ul

@uj± '¡1)




Observación 3.6 Sea V un espacio vectorial con una forma bilineal si-

métrica B. Sea b = (e1;:::;en) una base cualquiera de V y escribamos B(v; w) = vT

b Bbwb para simbolizar B(v; w) =Pn

i;j=1 viBijw j. Sea ¹b =

(¹e1; :::; ¹en) otra base, A la matriz que las relaciona y escribamos b = ¹bApara simbolizar ei =

Pn j=1 ¹e jA j i (de donde se deduce v¹b = Avb, que simboliza

¹vi =Pn

j=1 Aijv j). Entonces se tiene:

vT b Bbwb = vT

¹b B¹bw¹b = vT b AT B¹bAwb ; 8v; w ; ) Bb = AT B¹bA :

Este es el contenido algebraico de la proposición anterior.

3.1.3 Primera forma fundamentalSi M es una super…cie de E3 y p 2 M , entonces T pM es un subespaciovectorial 2-dimensional de T pE3 y, por tanto, es un plano euclídeo. En estascondiciones, se tiene:

Dada una super…cie M de E3, se denomina primera forma fundamen-tal de M a la forma bilineal G sobre M que asocia, a cada punto p 2 M , laforma bilineal G p : T pM £ T pM ! R dada por

G p(»; ´) :=< »; ´ > .

DadosV

;W 2X( U ), usualmente escribiremos <

V;

W> en lugar de G(

V;

W).

Para comprobar que la de…nición dada de G corresponde a la deuna forma bilineal sobre M basta tener en cuenta que, escribiendo

V ´ P3i=1 V i

³@

@xij U ́ , W ´ P3

i=1 W i

³@

@xij U ́ , con V i; W i 2

F( U ) (i = 1; 2; 3), resulta

G(V; W) =3X

i=1

V iW i ;

que es una función diferenciable

Obviamente G es simétrica.

Sea M una super…cie de E3. Presuponiendo que se ha …jado de antemanouna carta ( U ; '¡1 = (u; v)) de M , las componentes gij de la primera formafundamental G se escriben:

gij :=<@

@ui

;@

@u j

>(30)=

3Xk=1

(@ 'k

@ui

± '¡1)(@' k

@ u j

± '¡1) :




Introducimos las siguientes notaciones (que son estándar en la bibliogra-

fía) para los coe…cientes gij:8<:E ´ g11 =

P3k=1( @'k

@u± '¡1)2

F ´ g12 =P3

k=1(@'k

@u ± '¡1)( @'k

@v ± '¡1)

G ´ g22 =P3

k=1(@'k

@v ± '¡1)2: (43)

que se denominan coe…cientes de la primera forma fundamental deM en la carta ( U ; '¡1) (no confundir el coe…ciente F ´ g12 con alguna

aplicación entre super…cies F : M ! ¹M ).

Si V

´P2i=1 V 'i

@ @u

i

; W

´ P2i=1 W 'i

@ @u

i 2X(

U ) , se tiene:

< V; W > =2X

i;j=1

gijV 'i W ' j = ( V '1 ; V '

2 )

µE F F G

¶µW '1W '2

¶;

en particular,jVj2 = E (V '1 )2 + 2F V '

1 V '2 + G(V '2 )2 :

Hay que hacer notar que, al ser el producto escalar euclídeo de…nidopositivo, se veri…ca (recordar 1.1.4):

E > 0 ; G > 0 y EG ¡ F

2

> 0 :Se dice que una carta ( U ; '¡1) de M es ortogonal (o también, que es

un sistema de coordenadas ortogonales) si los campos coordenados @ @u y

@ @v son mutuamente ortogonales en cada punto de U ; con las notaciones queacabamos de introducir, ello es así si y sólo si F = 0.

Proposición 3.7 Sea una super…cie M de E3: Existe un sistema de coorde-nadas ortogonales en el entorno de cada punto de M .

Demostración* ([5], 3.4, Corolario 2): ver Apéndice 5.3.1

Ejemplo 3.8 Considérese la esfera M := f(x;y;z ) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 =

r2 > 0g y la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15. De la expresión '(# ´ u; Á ´ v) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) se deduce:½ @'

@#(#; Á) = (r cos # cos Á ; r cos # senÁ ; ¡r sen#)

@'@Á

(#; Á) = (¡r sen# senÁ ; r sen# cos Á ; 0):

Entonces, los coe…cientes (43) de la primera forma fundamental de M en dicha carta vienen dados por (con las identi…caciones ui ´ ui ± '¡1, recordar 2.2.3):

E = r2 ; F = 0 ; G = r2sen2# :




Ejemplo 3.9 Considérese la super…cie M dada en el Ejemplo 2.31 y la carta

( U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo. De la expresión '(u; v) = ®(u) +r cos v ~ N (u) + rsen v ~ B(u) se deduce:8<:

@'@u

(u; v) = (1 ¡ ·r cos v) ~ T (u) + ¿r³¡senv ~ N (u) + cos v ~ B(u)

´@'@v (u; v) = r

³¡senv ~ N (u) + cos v ~ B(u)

´ :

Entonces, los coe…cientes (43) de la primera forma fundamental de M en

dicha carta vienen dados por:

E = (1

¡·r cos v)2 + ¿ 2r2 ; F = ¿ r2 ; G = r2 :

3.1.4 Longitudes de curvas en super…cies

Sea M una super…cie de E3 y sea ® : I = [a; b] ! M una curva. En elapartado 1.3.2 se de…nió la longitud de ® como la integral L(®) :=

R ba

j ®0(t) jdt. Vamos a ver la expresión que toma esta integral cuando la imagen de ®está contenida en un entorno coordenado (cuando no, siempre puede hacerseuna partición de [a; b] tal que la imagen de cada segmento esté contenida enun entorno coordenado; la integral total será la suma de las correspondientesa los distintos tramos).

Sea ( U ; '¡1

= (u; v)) una carta de una super…cie M deE3

, sea ® : [a; b] ! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local en la carta( U ; '¡1) (Observación 2.18(3)). Entonces se tiene la siguiente expresión parala longitud de ®:

L(®) :1:3:2=

Z b

a

j ®0(t) j dt Obs: 2:23=

Z b

a

j2X

i=1

dui

dt(t)

µ@

@ui

¶®(t)

j dt(43)=

=

Z b

a

r (E ± ®)(

du

dt)2 + 2(F ± ®)

du

dt

dv

dt+ (G ± ®)(

dv

dt)2 (t) dt ´

´ Z b

a

r E (u; v)(

du

dt)2 + 2F (u; v)

du

dt

dv

dt+ G(u; v)(

dv

dt)2 (t) dt :

3.1.5 Áreas en entornos coordenados

Sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de una super…cie M de E3, con ' : U! U laparametrización local asociada. Se tiene:¯

¯̄̄@

@u£ @

@v

¯¯̄̄(2)=q

det(gij) =p

EG ¡ F 2 2 F( U ): (44)




Una función f :

U !R se dice integrable(-Riemann) si lo es f

±' : U ! R; en tal caso, se llama integral de f en M al número real:Z M

f :=

Z U

(f ± ') (

¯̄̄̄@

@u£ @

@v

¯̄̄̄± ')

(44)=

Z U

(f ± ') (p

EG ¡ F 2 ± ') ´

´Z U

f (u; v)p

E (u; v)G(u; v) ¡ F (u; v)2 :

Un subconjunto R ½ U se dice medible(-Jordan) si lo es '¡1(R ) ½ R2 ;

o, en otras palabras, si '¡1(R ) posee área. Por lo visto en 2.1.5, todo sub-conjunto acotado de U cuya frontera (en M ) sea la imagen de un camino

® : [a; b] ! M (½ E3

) cerrado y simple es medible. Si R ½ U es un sub-conjunto medible, se de…ne el área de R como la integral de su funcióncaracterística:

A(R ) : =

Z M

1R =

Z '¡1(R )

(p

EG ¡ F 2 ±') ´Z

'¡1(R )

p E (u; v)G(u; v) ¡ F (u; v)2 ;

(45)(no confundir con el área de '¡1(R )).

Si f : U ! R es integrable y R ½ U es medible, se llama integral de f en R al número real:

Z R f := Z M

f 1R = Z '¡1(R )

(f ± ')(p EG ¡ F 2 ± ') ´

´Z

'¡1(R )

f (u; v)p

E (u; v)G(u; v) ¡ F (u; v)2 :

Observación 3.10 1. En este curso sólo integraremos funciones cuyos dominios puedan incluirse (salvo subconjuntos de medida nula) en algún entorno coordenado (ver no obstante el apartado 4.3.1).

2. Se demuestra que, tanto la medibilidad y el área de un subconjunto

como la integrabilidad y la integral de una función, no dependen de la parametrización ' utilizada.

Veamos en detalle esto último: Sean ( U ; '¡1 = (u; v)) y

( U ; ¹'¡1 = (¹u; ¹v)) dos cartas de una super…cie M de E3, con

U \ U 6= ;; sean ' : U! U y ¹' : U ! U las parametrizaciones

locales asociadas y sea Ã ´ ¹'¡1±' : U ! U la aplicación cambio

de carta (24). Si denotamos DÃ ´³

@ (¹u;¹v)@ (u;v)

´la matriz Jacobiana

de Ã, resulta que, en U \ U , se tiene:

(@

@u ;@

@v )(31)

= (@

@ ¹u;@

@ ¹v ) (DÃ ± '¡1) ;(4)

)




)@

@u £@

@v= (det DÃ

±'¡1) (

@

@ ¹u £@

@ ¹v) :

Sea ahora R(½ U \ U ) un subconjunto (acotado) cuya frontera

(en U ) sea la imagen de un camino cerrado y simple ( R es por tanto medible) y sea f : R !R una función acotada y continua

( f es por tanto integrable). Llamando

g ´ (f ± ¹') (

¯̄̄̄@

@ ¹u£ @

@ ¹v

¯̄̄̄± ¹') : U ! R y S ´ ¹'¡1(R) ½ U ;

y usando el Teorema 2.11 (del cambio de variable, esto es, del cambio de coordenadas en integrales de Riemann), se obtiene Z

'¡1(R)

(f ± ')(

¯̄̄̄@

@u£ @

@v

¯̄̄̄± ') =

=

Z '¡1(R)

(f ±')(

¯̄̄̄@

@ ¹u£ @

@ ¹v

¯̄̄̄±') jdet DÃj ´

Z Ã¡1(S )

(g±Ã) jdet DÃj Teor: 2:11=

=

Z S

g ´Z ¹'¡1(R)

(f ± ¹')(

¯̄̄

¯@

@ ¹u£ @

@ ¹v

¯̄̄

¯± ¹')

3. Acerca de la de…nición (45) de área de un subconjunto medible R (½ M )contenido en un entorno coordenado U (ver [5], 2.8 y [8], Cap.17, …g.17.1): tener en cuenta (1.1.4) que las áreas de los rectángulos ge-nerados por las bases 8<:

³¡@

@u

¢'¡1( p)

;¡

@ @v

¢'¡1( p)

´en T '¡1( p)R2 y ³¡

@ @u

¢ p

;¡

@ @v

¢ p

´en T pM

son

8<: ¯̄̄¡@

@u¢'¡1( p)£¡

@ @v¢'¡1( p)¯̄̄

=j ~e1 £ ~e2 j= 1 y

¯̄̄¡ @ @u¢ p £ ¡ @ @v¢ p ¯̄̄ (44)= p EG ¡ F 2( p);

respectivamente; por lo que, si bien es (obviamente) A('¡1R ) :=R '¡1(R ) 1'¡1(R ), la expresión de A(R) ”deberá ser” la dada en (45).

Todo ello es similar a lo que ocurre con la de…nición de longitud (1.3.2)de una curva ® : I ! U , donde j®0(t)j puede verse como el ”factor de magni…cación” entre la norma de

¡ddt

¢t2 T tR (que es igual a 1) y la de

®0(t) 2 T ®(t)M .

A partir de la de…nición (45), resulta inmediato ”recuperar” la expre-sión del Teorema de Pappus para el área de una super…cie (acotada) de

revolución (ver Ejercicio 6.3.5).




3.2 SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

3.2.1 Orientación de super…cies

Recordar el apartado 1.1.4.Sea p 2 E3 y sea ¦ un plano (vectorial) de T pE3. Un vector ~º p 2 T pE3 se

dice que es normal unitaria a ¦ si veri…ca: < ~º p; ~º p >= 1 y < ~ º p; ¦ >=

0 . Existen exactamente dos normales unitarias (§~º p) a ¦, y cada una deellas de…ne una orientación de ¦ en el siguiente sentido: una base (~ » p; ~́ p)de ¦ se dice que es(tá) positiva(mente orientada) con respecto a ~º p siel vector ~ » p £ ~́ p tiene el mismo sentido que ~ º p , es decir, si < ~ » p £ ~́ p;~º p > espositivo, lo cual equivale a decir, teniendo en cuenta (3), que det(~ »; ~́; ~º ) > 0.

En caso contrario, se dice que (~ » p; ~́ p) es(tá) negativa(mente orientada)con respecto a ~ º p.

Sea M una super…cie M de E3. Un campo º 2 XM se dice que esnormal unitaria a M si º ( p) es normal unitaria a T pM , para todo p 2 M .No siempre existe una normal unitaria º 2 XM a una super…cie M pero,cuando existe, se dice que M es orientable y º de…ne una orientación enM: Así, dar una orientación en M supone establecer una orientación sobrecada espacio tangente T pM y que esta orientación varíe diferenciablemente almover el punto p sobre la super…cie. Si la super…cie M es conexa y orientable,admite exactamente dos orientaciones.

Si una super…cie M resulta ser (globalmente) un conjunto de nivel regularpara una función diferenciable, esto es, M = f ¡1(0), siendo f : (E3 ¾)D ! R

una función diferenciable tal que Df ( p) es de rango 1, para todo p 2 M ,entonces, habida cuenta de (42), se podrá tomar como normal unitaria

º : =(grad f ) jM

j(grad f ) jM j 2 XM ;

por lo que M resultará orientable. Se sigue de ello y del Teorema 2.13 quetoda super…cie es localmente orientable .

En particular, una carta (

U ; '¡1 = (u; v)) de M induce una orientación

sobre U , que es la de…nida por la normal unitaria

º ': =@=@u £ @=@v

j@=@u £ @=@vj(44)=

@=@u £ @=@vp EG ¡ F 2

2 X U :

Se dice que dos cartas ( U ; '¡1) y ( U ; ¹'¡1) de…nen la misma orien-tación si, o bien º ' j U\U = º ¹' j U\U cuando U\U 6= ;; o bien U\U = ;.En caso contrario, esto es, si U\U 6= ; y º ' j U\U = ¡º ¹' j U\U , se diceque de…nen orientaciones opuestas. Dos cartas tales como ( U ; (u; v)) y( U ; (¹u = ¡u; ¹v = v)) de…nen orientaciones opuestas, ya que por (31) se obtie-

ne: @=@ ¹u = ¡@=@u y @=@ ¹v = @=@v. Finalmente, si (M; º ) es una super…cie




orientada de E3, se dice que una carta (

U ; '¡1) de M es positiva respecto

de º si º j U = º '.Se tiene entonces el siguiente resultado:

Proposición 3.11 Sea M una super…cie.

1. Dos cartas ( U ; '¡1) y ( U ; ¹'¡1), con U\U 6= ;; de…nen la misma orien-tación si y sólo si la Jacobiana del cambio de carta (24) tiene determi-nante positivo:

det

µ@ (¹u;¹v)

@ (u; v)

¶± '¡1 j U\U > 0

2. M es orientable si y sólo si admite un sistema de cartas que recubren M y de…nen la misma orientación.

Demostración. El apartado 1 es consecuencia de que, en U \U , setiene:

( @ @u

; @ @v

)(31)= ( @

@ ¹u; @

@ ¹v) (³

@ (¹u;¹v)@ (u;v)

´± '¡1) ;

(4))

) @ @u

£ @ @v

= (det³

@ (¹u;¹v)@ (u;v)

´± '¡1)

¡@

@ ¹u£ @

@ ¹v

¢:

El apartado 2 (ver [5], 2.6, Proposición 1) es consecuencia: (a) de lade…nición de orientabilidad, (b) del hecho de que una super…cie puedeser recubierta por abiertos que son dominios de cartas, y …nalmente(c) del hecho de que, si º es una orientación de M y ( U ; '¡1) escualquier carta, debe veri…carse º j U = §º '

Una condición su…ciente para garantizar que una super…cie no es orien-table se trata en el Ejercicio 6.3.7a. La banda de Moebius (Ejercicio 6.2.10)resulta así no-orientable (Ejercicio 6.3.7b) y, por lo dicho anteriormente, nopodrá expresarse globalmente como conjunto de nivel regular para una fun-

ción diferenciable (lo que ya se mencionó en la demostración del Teorema2.13).

3.2.2 Curvatura normal de curvas en super…cies orientadas

Sea ® : I ! M una curva regular y sea T 2X® su campo (unitario) tangente.Se llama curvatura normal de ® en (M; º ) a la función diferenciable

·®º :=

1

j ®0 j <DT

dt; º ± ® > 2 F(I ) :




En el caso de que la curva ® fuera además alabeada, su curvatura

· veri…caría DT

dt

(16)= j ®0 j ·N ;

siendo (T; N; B) el triedro de Frenet de ®. Denotando en tal caso por# : I ! [0; ¼] el ángulo (no orientado) determinado por N y º ±®, setendría:

·®º = · < N; º ±® > = · cos # ; (46)

obsérvese que, en los puntos t 2 I en los que fuera N(t) = §º (®(t)),se tendría ·®

º (t) = §·(t)

Puesto que < T; º ± ® >= 0, se veri…ca:

·®º

Prop: 3:1(2)=

¡1

j ®0 j < T;D (º ± ®)

dt>

(39)=

¡1

j ®0 j < D®0º ; T >=¡1

j ®0 j2 < D®0º ; ®0 > :

Como consecuencia se obtiene el siguiente:

Teorema 3.12 (Meusnier) :

1. Todas las curvas regulares en (M; º ) que tienen en un punto dado de su dominio la misma recta tangente tienen en dicho punto la misma curvatura normal.

2. Todas las curvas alabeadas en (M; º ) que tienen en un punto dado de su dominio el mismo plano osculador tienen en dicho punto la misma curvatura normal.

Demostración. Sean ® : I ! M y ¯ : I ! M curvas regularestales que ®(t0) = ¯ (t0), para algún t0 2 I .

Probemos 1. Supongamos que ®0(t0) = ¸¯ 0(t0),con ¸

6= 0. Entonces:

·®º (t0) =

¡1

j ®0(t0) j2 < D®0(t0)º ; ®0(t0) >=¡1

j ¯ 0(t0) j2 < D¯ 0(t0)º ; ¯ 0(t0) >= ·¯ º (t0) :

Probemos 2. Supongamos que ® y ¯ son alabeadas y poseen en algúnt0 2 I el mismo plano osculador ¦. Si ¦ 6= T ®(t0)M , entonces debeser ®0(t0) = ¸¯ 0(t0), con ¸ 6= 0, y el apartado 1 conduce a que·®

º (t0) = ·¯ º (t0). Si ¦ = T ®(t0)M , entonces las normales N

®(t0) yN¯ (t0) son ortogonales a º (®(t0)) = º (¯ (t0)), y de (46) se sigue que·®

º (t0) = 0 = ·¯ º (t0)




El teorema de Meusnier revela que la noción de ”curvatura normal” (en

una super…cie orientada) no es tanto una noción relativa a curvas (regulares)en la super…cie como a direcciones tangentes a la misma. Como consecuen-cia de ello, dados p 2 M y »(6= ~ 0 p) 2 T pM , se llama curvatura normalde (M; º ) en la dirección de » al número real

·º (») :=¡1

j » j2 < D»º ; » > ; (47)

la terminología ”en la dirección de” es intencional, en el sentido de que estenúmero real depende, no ya del vector tangente (no nulo) propiamente dicho,sino de su clase proyectiva en T pM .

Observación 3.13 Dados p 2 M y »(6= ~ 0 p) 2 T pM , consideremos el plano

afín euclídeo ¦ que pasa por p y tiene por vectores directores ~ » y ~º ( p). La intersección M \ ¦ puede vere como la imagen de una cierta curva regular en ¦. La curvatura · de esta curva plana veri…ca entonces

· = §·º (») :

3.2.3 Segunda forma fundamental

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. Se denomina segunda formafundamental de la super…cie orientada (M; º ) a la forma bilineal Hsobre M que asocia, a cada punto p 2 M , la forma bilineal H p : T pM £T pM ! R dada por

H p(»; ´) := ¡ < D»º ; ´ > : (48)

Se sigue que, dados V; W 2X( U ), se tiene: H(V; W)(40)= ¡ < DVº ; W >.

Para comprobar que la de…nición dada de H corresponde a lade una forma bilineal sobre M basta tener en cuenta que, escri-

biendo V = P3i=1 V i ³ @ @xi j U ́ , W = P3i=1 W i ³ @

@xi j U ́ y º j U =P3i=1 º i

³@

@xij U ́ , con V i; W i; º i 2 F( U ) (i = 1; 2; 3), resulta:

H(V; W) = ¡3X

i;j=1

(DVº ) jW j = ¡3X

i;j=1

V i@º j@xi

W j ;

que es una función diferenciable

De la expresión que acabamos de obtener se deduce que H es simétrica.




Observación 3.14 1. Si p

2M y »; ´

2T pM , se deduce de la Proposi-

ción 3.1(1): H p(»; ´) =< D» W; º ( p) >;

donde W es cualquier campo tangente a M , de…nido en un entorno de p y veri…cando W( p) = ´.

2. Si p 2 M y »( 6= ~ 0 p) 2 T pM , se deduce de (47):

·º (») =H p(»; »)

G p(»; »)(49)

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. Presuponiendo que se ha …jadode antemano una carta ( U ; '¡1 = (u; v)) de M , las componentes hij de lasegunda forma fundamental H se escriben:

hij := ¡ < D @ @ui

(º j U );@

@u j>=< D @

@ui

@

@ u j; º j U >(41)

=3X

k=1

(@ 2'k

@ui@u j±'¡1) (º k j U ) :

Introducimos las siguientes notaciones (que son estándar en la bibliogra-fía) para los coe…cientes hij:

8><>:e

´h11 = P

3k=1(

@ 2'k

@u2

±'¡1) (º k

j U )

f ´ h12 = P3k=1( @ 2

'k@u@v ± '¡1) (º k j U )

g ´ h22 =P3

k=1( @ 2'k

@v2 ± '¡1) (º k j U ); (50)

que se denominan coe…cientes de la segunda forma fundamental de(M; º ) en la carta ( U ; '¡1).

Si V ´P2i=1 V 'i

@ @ui

; W ´ P2i=1 W 'i

@ @ui

2 X( U ) , se tiene:

H(V; W) =2

Xi;j=1

hijV 'i W ' j = (V '1 ; V '

2 )

µe f f g

¶µW '1W '2

¶;

en particular,

H(V; V) = e(V '1 )2 + 2f V '1 V '

2 + g(V '2 )2 :

Ejemplo 3.15 Considérese la esfera M := f(x;y;z ) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 =

r2 > 0g y la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15. De la expresión '(# ´ u; Á ´ v) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) se deduce:8

><>:@ 2'

@#2(#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; ¡r cos #)

@ 2'@#@Á

(#; Á) = (

¡r cos # senÁ ; r cos # cos Á ; 0)

@ 2'@Á

2 (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; 0)

:




Por otra parte, es inmediato convencerse de que la normal unitaria º ' :=@

@# £@

@Á

j @ @#£ @

@Á j (44)=@

@# £@

@Áp EG¡F 2

2 X U es ”exterior” a la esfera, por lo que deberá ser:

º '(#; Á) = (

¡¡¡¡¡!o'(#; Á)

r)'(#;Á) = ( sen# cos Á ; sen# senÁ ; cos #)'(#;Á) :

Se deduce de lo anterior que los coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º ') en la carta ( U ; '¡1) serán (con las identi…caciones ui ´ ui ± '¡1,

recordar 2.2.3):

e =

¡r ; f = 0 ; g =

¡rsen2# :

Ejemplo 3.16 Considérese la super…cie M dada en el Ejemplo 2.31 y la carta ( U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo. Resulta inmediato comprobar

que el campo º 2 X U con parte vectorial ~º (u; v) := cos v ~ N (u) + senv ~ B(u)es normal a M ; para convencerse de ello, basta veri…car (habida cuenta de las expresiones de @'

@u y @'@v halladas en el Ejemplo 3.9, donde se calculaban

los coe…cientes de la primera forma fundamental de M ) que, efectivamente,< º ; @

@u>= 0 =< º ; @

@v>. Pero también puede deducirse directamente que

º = ¡º ' = ¡ @ @u£ @

@vp EG¡F

2; basta efectuar el producto vectorial del numerador,

teniendo en cuenta que ~ T

£~ N = ~ B.

Y, puesto que se tiene:8><>:@ 2'@u2

(u; v) = ·¿rsenv ~ T (u) + (· ¡ (·2 + ¿ 2) r cos v) ~ N (u) ¡ ¿ 2rsenv ~ B(u)@ 2'

@u@v(u; v) = ·rsenv ~ T (u) ¡ ¿ r cos v ~ N (u) ¡ ¿rsenv ~ B(u)

@ 2'@v2

(u; v) = ¡r³

cos v ~ N (u) + senv ~ B(u)´ ;

se deduce de lo anterior que los coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º ) en la carta ( U ; '¡1 = (u; v)) serán (con las identi…caciones ui ´ui ± '¡1, recordar 2.2.3):

e = · cos v(1 ¡ ·r cos v) ¡ ¿ 2r ; f = ¡¿r ; g = ¡r :

3.2.4 Una interpretación geométrica de la segunda forma funda-mental.

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea p un punto de M . De…nimosla aplicación altura sobre p (respecto de la normal º ( p)) por:

h p : E3 3 q 7! < ¡! pq;~ º ( p) > 2 R :

Así, los puntos q

2M para los que h p(q ) sea positivo estarán situados a

un lado del plano afín tangente a M en p; y los q 2 M para los que h p(q ) sea




negativo, al otro. La función h p : E3

!R es diferenciable (atención, que la

función : E3 3 q 7!j q ¡ p j2 R no es diferenciable en p, Ejemplo 2.16)Pues bien, es inmediato ver que es precisamente la segunda forma fun-

damental H p la que proporciona (hasta el ”segundo orden”) la informaciónsobre la función (diferenciable) h p jM 2 F(M ) en las proximidades de p:

En efecto: Sea » 2 T pM y sea ® : I ! M una curva tal que®(0) = p y ®0(0) = » . Estudiemos el comportamiento, en torno al0 2 I , de la función h p ± ® : I ! R. Se tiene:8>>>><>>>>:

(h p ± ®)(0) = 0d(hp±®)

dt (0) = d<¡¡¡!

p®(t);~º ( p)>dt (0) =< d®

dt (0) ; ~ º ( p) >=< ®0(0) ; º ( p) >= 0d2(hp±®)

dt2(0) = d2<¡¡¡! p®(t);~º ( p)>

dt2(0) =< d2®

dt2(0) ; ~º ( p) >=< D®0

dt(0) ; º ( p) >Pr op. 3.1(2)=

= ¡ < ®0(0); D(º ±®)dt (0) >

(39)= ¡ < ®0(0);D®0(0)º >=: H p(»; »)

Lo anterior nos permite concluir que, efectivamente, H p controla (has-ta el ”segundo orden”) el comportamiento de ® en las proximidadesde p: Si, por ejemplo, fuera H p(»; ») 6= 0, entonces h p ±® presentaríaun extremo local estricto en 0 2 I y ello nos permitiría concluir que,para I pequeño, ®(I ) estaría situada a un solo lado del plano afíntangente a M en p

De esta interpretación pueden sacarse interesantes propiedades geométri-cas sobre cómo es la super…cie. Por ejemplo, si la segunda forma funda-mental es de…nida en el punto p, la super…cie debe estar, en un entorno dedicho punto, a un solo lado del correspondiente espacio afín tangente; y sies no-degenerada y no de…nida en p, entonces deben existir dos rectas en elcorrespondiente espacio afín tangente que dividen a éste en cuatro sectores,estando la super…cie por encima o por debajo de ellos alternativamente (vermás detalles en 3.3.4).

3.3 APLICACIÓN DE (GAUSS-)WEINGARTEN

3.3.1 Aplicación de Weingarten

Sea E un espacio vectorial euclídeo y denotemos por <; > su producto esca-lar. Dada una aplicación lineal L : E ! E , se de…ne la forma bilineal B

asociada a L por

B(v; w) :=< Lv; w > ; 8v; w 2 E:

Se dice que L es autoadjunta si < Lv;w >=< v;Lw>, para todo v; w 2 E.Se sigue que B es simétrica si y sólo si L es autoadjunta.

La siguiente proposición contiene resultados conocidos del álgebra lineal

euclídea:




Proposición 3.17 Sea L : E

!E una aplicación lineal en un espacio vec-

torial euclídeo E (de dimensión n) y sea B su forma bilineal asociada.

1. L es autoadjunta si y sólo si tiene, respecto de alguna (y toda) base ortonormal de E, una matriz representativa simétrica.

2. L es autoadjunta si y sólo si, respecto de alguna (y toda) base b de E,las matrices Lb , <; >b y Bb , representativas de L , <; > y B en dicha base, respectivamente, veri…can Lb =<; >¡1

b Bb. En particular, L es autoadjunta si y sólo si, respecto de alguna (y toda) base ortonormal de E, las matrices de L y de su forma bilineal asociada B coinciden.

3. L es autoadjunta si y sólo si existe una base ortonormal formada por autovectores de L (las direcciones de esta base son únicas si y sólo si los autovalores son todos distintos). Esto signi…ca que, respecto de dicha base, la representación matricial de L (y de B) es una matriz diagonal:0B@ ¸1

. ..¸n

1CA :

4. Por otra parte, si B : E£ E ! R es una forma bilineal simétrica, existe una única aplicación lineal autoadjunta L : E

!E que tiene a B por

forma bilineal asociada

Demostración: Ver Apéndice 5.3.2

Sea M una super…cie de E3. La primera forma fundamental de…ne, encada espacio tangente T pM , una forma bilineal simétrica; la aplicación linealautoadjunta asociada (Proposición 3.17(4)) es la aplicación identidad.

Sea (M; º ) una super…cie orientada deE3. La segunda forma fundamentalde…ne, en cada espacio tangente T pM , una forma bilineal simétrica, a laque corresponde (Proposición 3.17(4)) una aplicación lineal autoadjunta L p :T pM

!T pM , llamada aplicación de Weingarten de (M; º ) en el punto

p, que viene dada por

L p» : = ¡D»º ; 8 » 2 T pM ; (51)

y que obviamente veri…ca:

< L p»; ´ >(48)= H p(»; ´) ; 8 »; ´ 2 T pM : (52)

Hay que comprobar que, en efecto, D» º 2T pM . Pero ello esinmediato ya que se tiene:

< D»º ; º ( p) >

Prop. 3.1(1)

=

1

2 » < º ; º >= 0




Se llama aplicación de Weingarten de (M; º ) a la correspondencia

Lque asocia, a cada punto p 2 M , la aplicación de Weingarten L p en dichopunto. Para cada abierto U de M , la aplicación de Weingarten L induce unaaplicación (denotada por la misma letra) L : X( U ) 3 V 7! ¡ DVº 2 X( U ),que es F( U )-lineal.

Si ( U ; '¡1 = (u; v)) es una carta de M y consideramosla base (@=@u;@=@v)del F( U )-módulo X( U ), necesariamente existirán funciones diferenciables lij 2F( U ) (i; j = 1; 2), llamadas coe…cientes de la aplicación de Weingartende (M; º ) en la carta ( U ; '¡1), que veri…carán

½L( @

@u ) = l11@

@u + l21@

@v

L(

@

@v ) = l12@

@u + l22@

@v

(53)

Es fácil ver que los coe…cientes lij se obtienen a partir de los coe…cientesgij y hij de las dos formas fundamentales; en efecto, se veri…ca la siguienteimportante igualdad entre matrices de funciones (de…nidas en U ):

(lij)P rop: 3:17(2)

= (gij)¡1(hij) ; (54)

o de forma más explícita:

µl11 l12

l21 l22 ¶ =1

EG ¡ F 2 µG ¡F

¡F E ¶µe f

f g ¶3.3.2 Curvaturas de super…cies orientadas. Bases adaptadas

Fijado un punto p de una super…cie orientada (M; º ) de E3, los invariantesgeométricos (traza, determinante, autovalores, etc.) de la aplicación de Wein-garten L p determinan invariantes geométricos de la super…cie, que a su veznos permiten determinar el aspecto geométrico de ésta en las proximidadesdel punto p. Se llaman:

(1) Curvaturas principales k1( p); k2( p) de (M; º ) en p a los autovalores

de L p:

(2) Curvatura de Gauss K ( p) de (M; º ) en p al determinante de L p.

(3) Curvatura media H ( p) de (M; º ) en p a la mitad de la traza de L p.

Obsérvese que la curvatura de Gauss no depende de la orientación (local o global) de la super…cie, ya que det(L p) = det(¡L p).

Aplicando la Proposición 3.17(3), se concluye que existe una base orto-normal (»1; »2) de T pM , positiva respecto de º ( p) y formada por autovectores

de L p. Según la de…nición anterior, se tiene:




L p»1 = k1( p) »1 ; L p»2 = k2( p) »2 ;

K ( p) = k1( p)k2( p) ; H ( p) =k1( p) + k2( p)

2;

cualquier base (»1; »2) como la que acabamos de construir se llama baseadaptada a (M; º ) en p.

En el dominio U de una carta se tiene la siguiente fórmula local, que ponede mani…esto que la curvatura de Gauss K : M ! R de una super…cie de E3

es una función diferenciable (recordar que EG ¡ F 2 > 0):

K j U := det L j U (54)=eg ¡ f 2

EG ¡ F 22 F( U ) ;

en cuanto a la diferenciabilidad de las curvaturas principales k1; k2 : M ! R

(cuando hablamos de las funciones , elegimos la notación de forma que seak1 ¸ k2), ver el Ejercicio 6.3.8.

Ejemplo 3.18 El cálculo de las curvaturas principales de planos y esferas no requiere coordenadas.

Todo plano M en E3 veri…ca M = f ¡1(0), siendo f : E3 3 x 7!< x ¡q; ~́ >2

R, con q; ~́ 2

E3

. Eligiendo como normal unitaria º a M la dada por º ( p) :=

~ ´p

j~ ´j =P3

i=1´i

j~ ´j³ @

@xi ́p, se tiene (para todo ~ » p 2 T pM ): L p

~ » p: =

¡D~ »pº

(37)= 0. Con lo que k1 = k2 = 0 y K = 0.

Por otra parte, toda esfera M en E3 veri…ca M = f ¡1(0), siendo f :E3 3 x 7!< x ¡ q; x ¡ q > ¡r2 2 R, con q 2 E

3; r > 0. Eligiendo como

normal unitaria º a M la dada por º ( p) := ( p¡q )p

r=P3

i=1 pi¡q i

r

³@

@xi ́p, se

tiene (para todo ~ » p 2 T pM ): L p~ » p: = ¡D~ »p

º (37)= ¡1

r

P3i=1

~ » p(xi)³

@ @xi ́p

=

¡1r P

3i=1

~ » i ³ @ @xi

́p

= ¡1r

~ » p. Con lo que k1 = k2 = ¡1r

y K = 1r2

.

Ejemplo 3.19 Sea una carta ( U ; '¡1) de una super…cie orientada (M; º ).Una vez calculados los coe…cientes gij y hij de las dos formas fundamentales en dicha carta, resulta inmediato calcular las curvaturas prinicipales, media y de Gauss en U utilizando la expresión (54).

Así, en la esfera de radio r y en la carta polar del Ejemplo 2.15, puede aplicarse lo obtenido en los Ejemplos 3.8 y 3.15 para llegar a la expresión

(lij) =

µ ¡1r 00 ¡1

r

¶; de donde se concluye lo que ya sabíamos, esto es, que

las curvaturas principales son k1 = k2 = ¡1r

y la curvatura de Gauss es

K = 1r2 .




Análogamente, en la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (

U ; '¡1 =

(u; v)) de…nida en el mismo, la matriz de la aplicación de Weingarten resul-ta (teniendo en cuenta los resultados de los Ejemplos 3.9 y 3.16): (lij) =µ

·cosv1¡·r cosv

0

¤ ¡1r

¶(¿cómo es que no sale simétrica?); de donde se concluye

(!) que las curvaturas principales son k1 j U = · cosv1¡·r cos v y k2 j U = ¡1

r y la curvatura de Gauss es K j U = ¡·cosv

r(1¡·r cosv):

3.3.3 Aplicación de Gauss

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. Se denomina aplicación de

Gauss de (M; º ) a la aplicación ~ º : M !S2

(dondeS2

es la esfera unitariade E3 centrada en el origen) que asocia, a cada punto de M , la parte vectorialde la normal unitaria en dicho punto.

Nótese que, por ser las componentes º i (i = 1; 2; 3) funciones diferencia-bles (recordar que esto implica que admiten extensiones locales ~º i diferen-ciables en torno a cada punto de M ½ E

3), la aplicación de Gauss es una aplicación diferenciable entre super…cies . Por otra parte, para cada p 2 M ,y puesto que los espacios tangentes a M en p y a S2 en ~º ( p) veri…can T pM =

f~ » p 2 T pR3 j< ~ »; ~º ( p) >= 0g y T ~ º ( p)S2 = f~ » ~ º ( p) 2 T ~ º ( p)R

3 j< ~ »; ~º ( p) >= 0g,

la correspondencia canónica

³@

@xi´ p$³

@ @xi´~ º ( p)

identi…ca T pM con T ~ º ( p)S2

(ambos espacios tangentes tienen la misma ”parte vectorial”).La siguiente proposición identi…ca (salvo el signo) la aplicación de Wein-

garten en el punto p con la diferencial en p de la aplicación de Gauss yproporciona una interesante interpretación geométrica (del valor absoluto)de la curvatura de Gauss jK ( p)j:

Proposición 3.20 1. Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea ~º : M ! S

2 la aplicación de Gauss. Sea p 2 M . Utilizando la identi…-

cación T pM identif:´ T ~ º ( p)S

2 anterior, se tiene:

¡L p = d~º j p

2. Sea ( U ; '¡1) una carta de M . Sea R(½ U ) un subconjunto medible de M y sea p 2 R. Entonces, se tiene:

limR!f pg

A(~ º (R))

A(R)= jK ( p)j ;

donde A(R) y A(~º (R)) son las áreas de los subconjuntos R de M y ~º (R) de S2, respectivamente.




Demostración: Probemos 1. Se veri…ca (

8~ » p

2T pM ):

¡L p~ » p := D~ »p

º (37)=

3X j=1

~ » p(º j)

µ@

@x j

¶ p

=3X

i;j=1

» i@ ~º j@xi

( p)

µ@

@x j

¶ p

identif:´

´3X

i;j=1

» i@ ~º j

@xi( p)

µ@

@x j

¶~ º ( p)

(18)=

3Xi=1

» i d~º j pµ

@

@xi

¶ p

= d~º j p ~ » p :

Y probemos 2 (ver [5], 3.3, Proposición 2): El área del recinto R ½ M es

A(R) :(45)= Z '¡1(R )

( ¯̄̄̄ @ @u £ @

@v¯̄̄̄ ± ') (30)= Z

'¡1(R )¯̄̄̄@'

@ u £ @'@v¯̄̄̄ ;

y análogamente, el área del recinto ~º (R) ½ S2 vendrá dada por

A(~ º (R)) =

Z '¡1(R)

¯̄̄̄@ (~º ± ')

@u£ @ (~º ± ')

@v

¯̄̄̄:

De la expresión º =P3

j=1 º j

³@

@xjj U ́ se deduce:

D @ @ui

º (40)=3X

j=1

µ @ @ui

¶ (º j) µ @ @x j

j U ¶ (36)=3X

j=1

( @ (º j ± ')@ui

±'¡1) µ @ @x j

j U ¶ ; )

)¯̄̄D @

@uº £D @

@vº ̄̄̄ =

¯̄̄̄@ (~º ± ')

@u£ @ (~º ± ')

@v

¯̄̄̄± '¡1 (¤) ;

y por otra parte, se tiene:

(D @ @u

º ; D @ @v

º )(51)= : (¡L @

@u; ¡L @

@ v) = (

@

@u;

@

@v)

µl11 l12l21 l22

¶; )

) ¯̄̄D @ @u

º £D @ @v

º ̄̄̄ (4)= jK j ¯̄̄̄ @ @u

£ @ @v¯̄̄̄ (30)= jK j (¯̄̄̄@'

@u£ @'

@v¯̄̄̄±'¡1) (¤¤) :

Se sigue de (¤) y (¤¤) que:¯̄̄̄@ (~º ± ')

@u£ @ (~º ± ')

@v

¯̄̄̄= (jK j ± ')

¯̄̄̄@'

@u£ @'

@v

¯̄̄̄;

y …nalmente se concluye:

lim

R!f pg

A(~º (R))

A(R)

= lim

R! p R

'¡1(R)(jK j ± ')

¯̄@'@u

£ @'@v

¯̄R '¡1(R) ¯̄@'

@u £@'

@v ¯̄ =

jK ( p)

j




El resultado de la Proposición 3.20(2) representa el análogo en super…cies

de la expresión para curvas planas (Observación 1.25(3)):

lim I!ftg

L( ~ N j I )L(® j I )

= j ·(t) j :

Esta es la de…nición original de curvatura dada por Gauss. Es quizá lamás natural de todas. Hace evidente, por ejemplo, que un plano o un cilindrotienen curvatura K = 0, mientras que una esfera de radio r tiene curvaturaconstante K = 1=r2 .

3.3.4 Expresión local de super…cies como grá…cas de funcionesSea (M; º ) una super…cie orientada de E3, sea p un punto de M y sea (»1; »2)

una base de T pM adaptada a (M; º ) en p (esto es, ortonormal, positivarespecto de º ( p) y formada por autovectores de L p; ver 3.3.2). Elijamoscomo coordenadas (x;y;z ) en E3 las dadas por la referencia cartesiana conorigen p = (0; 0; 0) y con base ortonormal (~ » 1; ~ » 2; ~º ( p)); es decir, para todoq 2 E3, se tiene: 8<

:x(q ) :=< ¡! pq; ~ » 1 >

y(q ) :=< ¡! pq;~ » 2 >z (q ) :=< ¡! pq;~ º ( p) >

´h p(q )

(la aplicación h p 2 F(E3), altura sobre p, fue introducida en 3.2.4).

Obsérvese que la proyección ortogonal (respecto de ~º ( p)) de M sobre el plano afín euclídeo fz = 0g ½ E

3 es la aplicación: M 3 q 7! p + x(q )~ » 1 + y(q )~ » 2 2 fz = 0g

Es inmediato comprobar que se obtiene así, en torno a p, una carta( U ; '¡1 = (x; y)) de M , que llamaremos carta (en torno a p) adapta-da a (»1; »2; º ( p)).

En efecto: el que la aplicación ¼12 jM : M ! fz = 0g inducede hecho un difeomor…smo entre un cierto entorno (abierto) U de p ´ (0; 0; 0) 2 M y un entorno U de (0; 0; 0) 2 fz = 0g es inme-diata consecuencia de que d¼12 j p : T (0;0;0)fz = 0g ´ T (0;0;0)M !T (0;0;0)fz = 0g es la aplicación identidad y del Teorema de la funcióninversa para super…cies (Teorema 2.28).

Resulta así obvio que la parametrización asociada ' : U ! U tiene porecuaciones:

'(x; y) = (x;y;z = (h p± (¼12 j U )¡1

| {z

} '

)(x; y)) ;




ello concreta lo que a…rmaba en general el Teorema 2.13, a saber, que toda

super…cie es localmente la grá…ca de una función diferenciable & : (R2 ¾)U !R (aquí, & = h p ± '). Por otra parte, y puesto que

¡@

@x

¢ p

= »1;³

@ @y

́p= »2

y »1 £ »2 = º ( p), resulta claro que º j U = º ' :=@

@x£ @

@y

j @ @x£ @

@y j (piénsese que

necesariamente debía ser º j U = §º ').

Introduzcamos las siguientes notaciones (que son clásicas en la bibliogra-fía):

( p ´ @ (hp±')@x ± '¡1 ; q ´ @ (hp±')

@y ± '¡1 ;

r ´ @ 2

(hp±')@x2 ± '¡1 ; s ´ @

2

(hp±')@x@y ± '¡1 ; t ´ @

2

(hp±')@y2 ± '¡1 ;

(obsérvese que p( p) = 0 = q( p), puesto que la función h p jM posee un extremoen p). Con ellas, los coe…cientes (43) y (50) de las dos formas fundamentalesde M en la carta ( U ; '¡1) vienen dados por:µ

E F F G

¶=

µ1 + p2 pq

pq 1 + q2

¶;

µe f f g

¶=

1p 1 + p2 + q2

µr ss t

¶;

tener en cuenta quep

EG ¡ F 2 =

p 1 + p2 + q2. Atención: ( U ; '¡1) no es,

en general, una carta ortogonal .En el punto p, se obtiene:µE F F G

¶( p) =

µ1 00 1

¶;

µe f f g

¶( p) =

µr( p) s( p)s( p) t( p)

¶=

µk1( p) 0

0 k2( p)

¶;

tener en cuenta que (gij)¡1(hij) = (lij) y que (lij)( p) debe ser diagonal , porser (»1; »2) base tangente adaptada a (M; º ) en p.

3.3.5 Clasi…cación de los puntos de una super…cie. Direccionesprincipales

Sea M una super…cie de E3 y sea p un punto de M . Sea K la curvatura deGauss de M y sean k1( p) y k2( p) las curvaturas principales (3.3.2) de M en p (respecto de alguna normal unitaria de…nida en torno a p). Se dice que pes (la adscripción de p a alguno o algunos de los siguientes casos constituyesu carácter):

(1) hiperbólico si K ( p) < 0.

(2) parabólico si K ( p) = 0 y k1( p); k2( p) no son ambas nulas.

(3) elíptico si K ( p) > 0.




(4) plano si k1( p) = k2( p) = 0.

(5) umbílico si k1( p) = k2( p).

Puesto que estas de…niciones involucran la curvatura de Gauss y/o laanulación de (alguna de) las curvaturas principales, la clasi…cación de lospuntos de una super…cie por su carácter es independiente de la orientación

(local o global) elegida en ésta.La clasi…cación de los puntos de una super…cie en: hiperbólicos, parabóli-

cos, elípticos y planos, es exhaustiva y excluyente . Umbílicos son todos lospuntos planos y (eventualmente) algunos de los elípticos.

Sea p un punto de una super…cie M de E3. Se dice que un vector tangente(no nulo) » 2 T pM de…ne una dirección principal si » es autovector deL p. Al igual que en el apartado anterior, la noción de dirección principal esindependiente de la orientación (local o global) elegida en la super…cie.

El punto p resulta ser:

(1) no umbílico si y sólo si T pM posee exactamente dos direcciones princi-pales distintas; en tal caso, éstas son mutuamente ortogonales y estánde…nidas por los vectores »1 y »2 de una base adaptada.

(2) umbílico si y sólo si todas las direcciones en T p

M son principales.

En efecto: el que L p posea sólo dos direcciones principales está ligadoal hecho de que los dos autovalores de L p sean distintos (recordar laProposición 3.17(3))

3.3.6 Fórmula de Euler. Direcciones asintóticas

Sea p un punto de una super…cie orientada (M; º ) de E3. Sea (»1; »2) unabase de T pM adaptada a (M; º ) en p (esto es, ortonormal, positiva respectode º ( p) y formada por autovectores de L p; ver 3.3.2) y sean k1( p) y k2( p) las

curvaturas principales en p, esto es, L p(»i) = ki( p)»i (i = 1; 2). Elegimos lanotación de forma que se tenga: k1( p) ¸ k2( p).Un vector genérico » 2 T pM se puede escribir:

» =j » j (cos µ »1 + senµ »2) ;

para cierto µ 2 [0; 2¼). Entonces la curvatura normal (3.2.2) de (M; º ) en ladirección de » veri…ca:

·º (»)(47):=

¡1

j » j2 < D»º ; » > =:1

j » j2 < L p»; » >= k1( p)cos2 µ + k2( p) sen2 µ:

(55)




La fórmula que acabamos de obtener (llamada fórmula de Euler) mues-

tra que los valores de la curvatura normal de (M; º ) en p son una combinaciónafín y ”convexa” (ya que cos2 µ ¸ 0 ; sen2 µ ¸ 0 y su suma es uno) de lascurvaturas principales k1( p) y k2( p) en p. Al variar µ entre 0 y 2¼, obte-nemos todos los valores del intervalo [k2( p); k1( p)]; en particular k1( p) paraµ = 0 (y ¼) y k2( p) para µ = ¼=2 (y 3¼=2). De esta forma concluimos quelas curvaturas principales k1( p) y k2( p) son los valores máximo y mínimo,respectivamente, de la curvatura normal de (M; º ) en p. La curvatura deGauss K ( p) = k1( p)k2( p) resulta ser (salvo quizás el signo) el cuadrado dela media geométrica de los (módulos de los) dos valores extremos, mientrasque la curvatura media H ( p) es la media aritmética de estos extremos. Es

decir, otra forma de interpretar la curvaturas de Gauss y media en un puntoes como las medias geométrica y aritmética de los valores extremos de lacurvatura normal en dicho punto.

Sea p un punto de una super…cie M de E3. Se dice que un vector tangente(no nulo) » 2 T pM de…ne una dirección asintótica si < L p»; » >= 0, loque equivale a decir que la curvatura normal ·º (») de (M; º ) en la direcciónde » es nula. Entonces el punto p es:

(1) hiperbólico si y sólo si T pM posee exactamente dos direcciones asintóti-cas distintas.

(2) parabólico si y sólo si T pM posee una única dirección asintótica.

(3) elíptico si y sólo si T pM no posee direcciones asintóticas.

(4) plano si y sólo si todas las direcciones de T pM son asintóticas.

En efecto: si º es una orientación (local) de M en torno a p y(»1; »2) es una base adaptada a (M; º ) en p, sabemos (55) que

·º (») = k1( p)cos2 µ + k2( p) sen2 µ ;

siendo » ´j » j (cos µ »1 + senµ »2) , para cierto µ 2 [0; 2¼). Elnúmero de direcciones asintóticas (dos, una, ninguna o in…nitas) deT pM está pues ligado a que los dos autovalores de L p sean distintoso no y a su signo. En el caso de que k1( p) > 0 > k2( p) , las dosdirecciones asintóticas corresponden a los valores µ0 y 2¼ ¡µ0 , donde

µ0 = arctgp

¡k1( p)=k2( p) ;

en el caso de que k1( p) > 0 = k2( p) , la dirección asintótica corres-ponde al valor µ0 = ¼

2




Ejemplo 3.21 Se sigue del Ejemplo 3.18 que cualquier punto de un plano

es plano y cualquier punto de una esfera es elíptico y umbílico. Cualquier dirección tangente a un plano es principal y asintótica. Cualquier dirección tangente a una esfera es principal y ninguna es asintótica.

En la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta ( U ; '¡1 = (u; v)) de- …nida en el mismo, se obtiene (teniendo en cuenta el resultado del Ejem-plo 3.19) que los puntos de U son hiperbólicos, parabólicos o elípticos según que su coordenada v veri…que cos v > 0; cos v = 0 ó cos v < 0 (esto es,

v 2 (¡¼2 ; ¼

2 ); v = §¼2 ó v 2 ( ¼

2; 3 ¼2 ), módulo 2¼), respectivamente.

Una construcción interesante, que codi…ca el carácter de un punto de unasuper…cie, es la indicatriz de Dupin , que se describe en el Apéndice 5.3.3*.

3.3.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas. Geodésicas

Sea M una super…cie de E3: Se dice que una curva regular ® : I ! M de…neuna línea de curvatura de M (respectivamente, una línea asintóticade M ) si, para cada t 2 I , el vector ®0(t) de…ne una dirección principal(respectivamente, una dirección asintótica) de T pM . Es importante observarque en ambos casos se trata de propiedades de las trayectorias (”líneas”) delas curvas y no de las curvas (regulares) mismas.

Una consecuencia inmediata (recordar (38)) de la de…nición algebraica

que hemos dado de dirección principal es que una curva regular ® : I !M de…ne una línea de curvatura si y sólo si, para cualquier elección (nonecesariamente global) de normal unitaria º , se veri…ca el siguiente sistemade ecuaciones diferenciales de 1er. orden en las componentes de la velocidadde ®:

d (~º ± ®)

dt= ¡k

d®

dt;

donde la función k : I ! R da lugar, en cada t 2 I , a un autovalor (curvaturaprincipal) de L®(t) . Este resultado se conoce como teorema de Olinde-Rodrigues (ver [5], 3.2, Proposición 3).

Similarmente, es inmediato ver (recordar (38)) que una curva regular® : I ! M de…ne una línea asintótica si y sólo si, para cualquier elección (nonecesariamente global) de normal unitaria º , se veri…ca la siguiente ecuacióndiferencial de 1er. orden en las componentes de la velocidad de ®:

<d (~º ± ®)

dt;

d®

dt>= 0 :

Se dice que una curva ® : I ! M esuna geodésica de M si su aceleración®00 ´ D®0

dtes normal a M . Si ® : I ! M es una geodésica de M , entonces se

tiene:

d < ®0; ®

0>

dt

Prop: 3:1(2)

= 2 <D®

0dt ; ®0 >= 0 ;




por lo que

j®0

j: I

!R es una función constante. Por tanto, si

j®0(0)

j= 1;

entonces ® está necesariamente parametrizada por la longitud de arco.

Observación 3.22 Sea ® : I ! M es una curva con j ®0 j constante. Si ® no es una geodésica de M , ninguna reparametrización (1.3.1) de ® puede serlo.

En efecto: para que ® ± f : J ! M sea geodésica de M , debe ser:

j (® ± f )0 j= cte: ;Prop: 1:13(1)) df

ds= cte: ; ) d2f

ds2= 0 :

Pero entonces se tiene:

(® ± f )00 1:4:1=

d2f

ds2(®0 ± f ) + (

df

ds)2 (®00 ± f ) = (

df

ds)2 (®00 ± f ) ;

con lo que, si ®00 no es paralela a º ± ®, tampoco (® ± f )00 puede ser

paralela a º ± ® ± f

Ejemplo 3.23 Cualquier curva regular en un plano de…ne una línea de cur-vatura y asintótica. Cualquier c urva regular en una esfera de…ne una línea

de curvatura; la esfera no posee líneas asintóticas.

Todas las curvas con velocidad constante cuyas imágenes son rectas en el plano, hélices (también rectas o circunferencias) en el cilindro o círculos máximos en la esfera son geodésicas (Ejercicio 6.4.3a-c); probar que todaslas geodésicas en estas tres super…cies son de esa forma (Ejercicio 6.4.3d)requiere esperar (hasta el apartado 4.2.2).

En la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta ( U ; '¡1 = (u; v)) de…-

nida en el mismo, se obtiene (teniendo en cuenta la expresión de la normal obtenida en el Ejemplo 3.16) que, para cada u 2 I , la curva ¯ u : R 3 t 7!®(u) + r cos t ~ N (u) + rsen t ~ B(u) 2 M veri…ca ( 8t 2 R):

¯ 0u

(t) =¡

r ³sen t ~ N (u)¡

cos t ~ B(u)´¯ u(t)

;)

) ¯ 00u(t) = ¡r³

cos t ~ N (u) + sen t ~ B(u)´

¯ u(t)= ¡r (º ± ¯ u) (t) ;

con lo que ¯ u es geodésica de M . Por otra parte:

L¯ u(t) (¯ 0u(t)) := ¡D¯ u(t)º =¡D(º ± ¯ u)

dt(t) =

³sen t ~ N (u) ¡ cos t ~ B(u)

´¯ u(t)

=¡1

r¯ 0u(t) ;

con lo que ¯ u de…ne una línea de curvatura de M .




3.4 ISOMETRÍAS Y CONGRUENCIAS

3.4.1 Isometrías entre super…cies

Sean M y ¹M super…cies de E3. Una aplicación diferenciable F : M ! ¹M se llama isometría si es biyectiva y si, para cada p 2 M , su diferencialdF j p: T pM ! T F ( p)

¹M es una isometría lineal, es decir:

< dF j p » ; dF j p ´ >=< »; ´ > ; 8»; ´ 2T pM : (56)

Por la regla de la cadena (2.3.3) se concluye que la composición de isometríases una isometría.

Si F : M

!¹M es una isometría, la condición (56) implica (Proposición

1.5(5)) que dF j p es un isomor…smo lineal para todo p 2 M . Se sigue (2.3.5)que: toda isometría es un difeomor…smo.

Observación 3.24 No existe, para las isometrías, un ”análogo” a lo que el teorema de la función inversa (Teorema 2.28) es para los difeomor…smos

entre super…cies. Concretamente: si F : M ! ¹M es una aplicación diferen-ciable (entre super…cies de E3) y si dF j p: T pM ! T F ( p)

¹M es una isometría lineal para cierto p 2 M , no existe en general un abierto U de M , con p 2 U ,tal que F j U : U !F ( U ) sea una isometría. La razón de esta diferencia es que

la condición de que dF j p sea un isomor…smo lineal es ”abierta”, mientras que la de que sea una isometría lineal es ”cerrada”.

Sean M y ¹M super…cies de E3. Una aplicación diferenciable F : M ! ¹M

se llama isometría local si, en cada punto p 2 M , su diferencial dF j p:T pM ! T F ( p)

¹M es una isometría lineal. Resulta así:

(1) (del concepto de difeomor…smo local, ver 2.3.5) Toda isometría local esun difeomor…smo local y, por tanto, localmente una isometría.

(2) (directamente de las de…niciones) Una aplicación diferenciable es unaisometría si y sólo si es una biyección y una isometría local.

El siguiente resultado proporciona la caracterización en coordenadas dela isometrías locales:

Proposición 3.25 Sean M y ¹M super…cies de E3. Una aplicación diferen-ciable F : M ! ¹M es una isometría local si y sólo si, para cada punto p 2 M ,

existen cartas ( U ; '¡1 = (u; v)) de M en torno a p y ( U ; ¹'¡1 = (¹u; ¹v)) de ¹M en torno a F ( p), con F ( U ) ½ U , tales que

¹uk ± F j U = uk (k = 1; 2) (¤) ;

y, además, en algún (y en todo) par de cartas de este tipo se veri…ca

¹gij ± F j U = gij (i; j = 1; 2) (¤¤) :




Demostración: Comencemos con un cálculo previo. Sean (

U ; '¡1)

y ( U ; ¹'¡1) dos cartas cualesquiera de M y ¹M , respectivamente, conF ( U ) ½ U . Sea p 2 M . Habida cuenta de

dF j pµ

@

@ui

¶ p

(29)=

2Xk=1

@F '¹'k

@ui('¡1( p))

µ@

@ ¹uk

¶F ( p)

(i = 1; 2) ;

resulta inmediato que dF j p será una isometría lineal si y sólo si severi…ca (8i; j = 1; 2):

gij( p) =2

Xk;l=1

¹gkl (F ( p))@F '¹'k

@ui

('¡1( p))@F '¹'

l

@u j

('¡1( p)) : (57)

Probemos ahora el Teorema. Por lo dicho antes, F será una isometríalocal si y sólo si F es un difeomor…smo local cuya diferencial en cadapunto es una isometría lineal. Pero sabemos (Lema 2.29 en 2.3.5) queF será un difeomor…smo local si y sólo si, para cada punto p 2 M ,existen cartas ( U ; '¡1) de M en torno a p y ( U ; ¹'¡1) de ¹M en torno aF ( p), con F ( U ) ½ U , tales que se veri…que (¤). Pues bien, insertandoesta condición en la ecuación (57), se obtiene (¤¤)

Si existe una isometría F : M !¹

M , las super…cies M y¹

M se dicen iso-métricas. Como la identidad, la inversa de una isometría y la composiciónde isometrías son isometrías, se concluye que la relación ”ser isométricas” esde equivalencia.

Las isometrías locales veri…can:

Proposición 3.26 Sean M y ¹M super…cies de E3 y sea F : M ! ¹M una

isometría local. Entonces:

1. F preserva la longitud , es decir: para toda curva ® : I ! M , se tiene L(F

±®) = L(®)

2. F preserva la curvatura de Gauss: ¹K (F ( p)) = K ( p) ; 8 p 2 M ( teorema egregio de Gauss)

Demostración. Probemos 1. Escribiendo I ´ [a; b], se tiene:

L(F ± ®) :=

Z b

a

j (F ± ®)0(t) j dt2:3:3=

Z b

a

j (dF j®(t) ®0(t)) j dt =

= Z b

a

j ®0(t) j dt =: L(®) :




Veamos 2. El punto difícil de la demostración de 2 consiste en probar

que, aunque la curvatura de Gauss de una super…cie depende en princi-pio de las dos formas fundamentales sobre ésta (ver 3.3.2), en realidad

sólo depende de la primera (esto es, constituye lo que se denomina unobjeto geométrico ”intrínseco” de la super…cie). Pospondremos la de-mostración de este punto hasta el Teorema 4.7, después de introducirla noción de ”derivación covariante” en super…cies.

Una vez probada la citada a…rmación, se sigue que, si ( U ; '¡1) y( U ; ¹'¡1) son cartas cualesquiera en torno a p 2 M y F ( p) 2 ¹M (respectivamente), con gij y ¹gij (i; j = 1; 2) los coe…cientes de laprimera forma fundamental en dichas cartas, se tendrá:

K j U = f (gij) y ¹K j U = f (¹gij) (¤) ;

donde la notación indica que f es una cierta función diferenciable (lamisma en ambos casos!) de los coe…cientes de la primera forma funda-mental. Ahora bien, si F es una isometría local, sabemos (Proposición3.25) que, para cualquier p 2 M , existen cartas ( U ; '¡1) en torno a p 2 M y ( U ; ¹'¡1) en torno a F ( p) 2 ¹M en las que se veri…ca:

¹gij ± F j U = gij (i; j = 1; 2) ;(¤)) ¹K ± F j U = K j U ;

y, por la arbitrariedad de p, resulta ¹K ± F = K

Observación 3.27 También puede probarse que las isometrías locales pre-servan las geodésicas. Sin embargo, esperaremos a formalizar este resultado(a diferencia de lo que hemos hecho respecto de la preservación de la curva-tura de Gauss) hasta que estemos en condiciones de probarlo por completo(Proposición 4.14(2) en 4.2.2), después de introducir la noción de ”transporte paralelo” en super…cies.

Ejemplo 3.28 Vamos a probar, utilizando coordenadas polares (½; Á) en el plano, que el semiplano M :=

f(x1; x2; 0)

2E3

jx2 > 0

ges isométrico al

cono ¹M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j 3x21 + 3x22 ¡ x23 = 0 ; x3 > 0g privado de una generatriz (ver [5], 4.2, Ejemplo 3, p.226; ver [8], Ch. 23, Example 4,p.222).

Para empezar, ambas super…cies poseen curvatura de Gauss nula (Ejem-plo 3.18 y Ejercicio 6.3.10b), con lo que la Proposición 3.26(2) no supone ninguna obstrucción. Sean las parametrizaciones ½

' : U ´ (0; 1) £ (0; ¼) 3 (½; v) 7! (½ cos v ; ½ senv ; 0) 2 M

¹' : U ´ (0; 1) £ (0; ¼) 3 (½; v) 7! ( ½2

cos2v ; ½2

sen2v ;p 32

½) 2 ¹M :

La aplicación ' es la parametrización polar ”obvia” del semiplano M , y

es global. Por otra parte, ¹' se parece (pero no es igual) a la parametrización




obvia (0;

1)

£(0; 2¼)

3(u; Á)

7!(u cos Á; usenÁ;

p 3u) del cono ¹M como

super…cie de revolución (generada por la curva plana ® : (0; 1) 3 u 7! (x1 =u; x3 =

p 3u) al girar en torno al eje x3; recordar el Ejercicio 6.2.7b); la

imagen de ¹' es U = ¹M ¡ f(x1; x2; x3) 2 ¹M j x1 > 0; x2 = 0g, esto es, ¹M

privado de una generatriz.De…niendo la aplicación f := ¹'±'¡1 : M ! U (utilizamos la f minúscula

para no confundir la aplicación con el coe…ciente F de la primera forma fundamental), automáticamente resulta f '¹' = id jU. Pues bien, un sencillo

cálculo nos da los siguientes coe…cientes para la PFF del semiplano M en la parametrización global ' y del cono ¹M en la parametrización local ¹':

E (½; v) = 1 ; F (½; v) = 0 ; G(½; v) = ½2 y ¹E (½; v) = 1 ; ¹F (½; v) = 0 ; ¹G(½; v) = ½2 ;

respectivamente. Se sigue que ¹gij(½; v) = gij(½; v), o también, ¹gij ± f =gij (i; j = 1; 2). Al ser f biyectiva por construcción, f resulta ser (Proposi-ción 3.25) una isometría entre M y U . Y hemos terminado.

El proceso que establece la isometría entre U y M es el ”cortar” el cono¹M por la generatriz y ”desarrollarlo” sobre el plano. Es este proceso (impor-

tante para la fabricación de pantallas de lámpara) el que hace ”natural” a la parametrización ¹' : U ! ¹M (y no a la obvia de ¹M como super…cie de revolu-ción). En efecto, al desarrollar un sector (abierto) de generatriz ½ y amplitud ¢Á(= 2¼) de un cono de ”abertura” a, lo que resulta es un sector circular

plano (abierto) de radio ½ y amplitud ¢v = ¢Á sena(= 2¼ sena). Como la abertura de ¹M veri…ca: tan a =

p x21+x22x3

= 1p 3

; ) sena = 12, se concluye que

la amplitud del sector circular plano resultante es ¢v = ¢Á2 = ¼. Así, el des-

arrollo del abierto U del cono asocia, al punto original (u cos Á; usenÁ;p

3u),el radio ½ = 2u y el ángulo polar v = Á

2.

3.4.2 Super…cies localmente homogéneas

Una super…cie M de E3 se dice localmente homogénea si, para cada parde puntos p; q

2M , existen entornos

U de p y

V de q y una isometría

F : U ! V con F ( p) = q . Naturalmente, por la proposición anterior se veque una super…cie localmente homogénea tiene necesariamente curvatura deGauss constante. Pero también el recíproco es cierto:

Teorema 3.29 (Minding) Sean M y ¹M super…cies de E3 con la misma curvatura de Gauss constante. Entonces, dados dos puntos cualesquiera p 2M y ¹ p 2 ¹M , existen entornos U de p y U de ¹ p isométricos.

Demostración* (Ver [5], 4.6, Teorema, p. 290). En efecto: paracualquier super…cie M de E3, es posible probar, en un cierto tipo decoordenadas (½; #) (llamadas ”geodésicas polares” y que existen en el

entorno de cualquier punto), que los coe…cientes de la primera forma




fundamental veri…can : E = 1 ; F = 0 y @ 2p

G@½2 + K

p G = 0. Si

K = c (constante), se sigue que G = f c(½), donde f c es cierta funcióndiferenciable (la misma para todas las super…cies con K = c). Seaahora ¹M otra super…cie con curvatura de Gauss ¹K = c y sean dospuntos cualesquiera p 2 M; ¹ p 2 ¹M . Utilicemos cartas geodésicaspolares ( U ; '¡1) de M en torno a p y ( U ; ¹'¡1) de ¹M en torno a ¹ pcon la misma imagen U ½ R

2. Denotando Ã ´ ¹'±'¡1 : U ! U (conlo que Ã'¹' = id jU), se sigue que: ¹E ± Ã = 1 = E ; ¹F ± Ã = 0 =F ; ( ¹G ± Ã)(½; #) = f c(½) = G(½; #). Se concluye que Ã : U ! U es una isometría

Ejemplo 3.30 Sean M y ¹

M super…cies de E3

y supongamos que exista un difeomor…smo F : M ! ¹M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien,F no tiene por qué ser una isometría (no existe un ”recíproco” del teorema egregio de Gauss). Veamos un ejemplo: Sea r > 0, sean ®,¹® : I ! E

3

curvas alabeadas parametrizadas por la longitud de arco, con curvaturas · =

¹·(< 1=r) y torsiones ¿ 6= ¹¿ constantes, y sean (T; N; B) y (T; N; B) sus respectivos triedros de Frenet. Considérense los conjuntos M := Im© y ¹M := Im ¹©, siendo

(© : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) + r cos v ~ N (u) + rsen v ~ B(u) 2 E3

¹© : I £

R3 (u; v) 7! ¹®(u) + r cos v ¡!

¹N (u) + rsen v ¡!

¹B (u) 2

E3

( M y ¹M son ”tubos” de radio r centrados en Im ® y Im ¹®, respectivamente)y supongamos que ambos son super…cies. Sabemos (Ejemplo 2.31) que cada punto (u; v) 2 I £R posee un entorno U(½ I £R) sobre el que © y ¹© inducen,por restricción, parametrizaciones locales ' : U! U y ¹' : U ! U de M y ¹M ,respectivamente. De…niendo la aplicación f := ¹'±'¡1 : U ! U (utilizamos la f minúscula para no confundir la aplicación con el coe…ciente F de la primera forma fundamental), automáticamente resulta f '¹' = id jU. Pues bien, en el Ejemplo 3.9, obteníamos las siguientes expresiones para los coe…cientes de la PFF de M en la parametrización ' y de ¹M en la parametrización ¹':8<: E (u; v) = (1 ¡ ·r cos v)2 + ¿ 2r2 6= (1 ¡ ·r cos v)2 + ¹¿ 2r2 = ¹E (u; v)

F (u; v) = ¿ r2 6= ¹¿ r2 = ¹F (u; v)G(u; v) = r2 = ¹G(u; v)

;

de donde se concluye (Proposición 3.25) que el difeomor…smo f : U ! U noes una isometría. Y sin embargo, en el Ejemplo 3.9 obteníamos las siguientes expresiones para las curvaturas de Gauss de M en la parametrización ' y de ¹M en la parametrización ¹':

K (u; v) = ¡· cos v

r (1 ¡ ·r cos v) = ¹K (u; v) ;




con lo que el difeomor…smo f :

U ! U sí preserva la curvatura de Gauss.

De nuevo, sean M y ¹M super…cies y supongamos que exista un difeomor- …smo f : M ! ¹M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, inclusosi M y ¹M tienen curvatura de Gauss constante, no sólo f no tiene por qué

ser una isometría, sino que no tiene por qué existir una isometría M ! ¹M y ni tan siquiera una isometría local M ! ¹M ; un ejemplo de todo esto puede verse en el Ejercicio 6.4.10b (cuya resolución más directa utiliza el resultadode que las isometrías locales preservan las geodésicas, lo que se probará en el

apartado 4.2.2). En este sentido, el resultado del Teorema de Minding debe ser leído con sumo cuidado.

3.4.3 Congruencias entre super…cies. RigidezSea A un movimiento en E3, esto es (1.1.4), una biyección de la forma

A : E3 3 p 7! A(¡!op) + ~ » 2 E3 ;

donde A 2 O(n) y ~ » 2 E3. Ya vimos que la inversa

A¡1 : E3 3 p 7! A¡1(¡!op ) ¡ A¡1~ » 2 E3

es otro movimiento. Como los movimientos son diferenciables, resultan ser

difeomor…smos deE3

.Sea M una super…cie de E3. De lo anterior y de la propia de…nición desuper…cie (existencia de parametrizaciones locales en torno a cada punto) sededuce inmediatamente que, si A : E3 ! E

3 es un movimiento, A(M ) es unasuper…cie de E3.

Sean M y ¹M super…cies de E3. Una aplicación F : M ! ¹M se llamacongruencia si existe un movimiento A : E3! E

3 de forma que F = A jM

y ¹M = A(M ). En tal caso, las super…cies M y ¹M se dicen congruentes.Como los movimientos en E3 son difeomor…smos, también lo son las con-

gruencias entre super…cies.Más aún: escribiendo de nuevo

A( p) = A(

¡!op) + ~ » , para cada p

2M , se

sigue que: DA( p) ´ ³@ Ai

@xj

´ ( p) = A. Por tanto, la diferencial dA j p veri…ca:

dA j p: T pE3 3 ~́ p 7! (A~́)A( p) 2 T A( p)E3

y, por ser A 2 O(n), resulta ser una isometría lineal. Teniendo en cuenta quedF j p: T pM ! T F ( p)

¹M es (2.3.3) la restricción a T pM de la diferencial dA j p,se concluye que, para cada p 2 M , la diferencial dF j pes una isometría lineal.Así pues, toda congruencia entre super…cies es también una isometría .

Puesto que, evidentemente, la identidad, la inversa de una congruencia yla composición de congruencias son congruencias, se tiene:




Proposición 3.31 La relación de congruencia entre super…cies es de equi-

valencia. Además, dos super…cies congruentes son isométricas

Como un ejemplo de lo que acabamos de ver sobre congruencias, ver elEjercicio 6.3.21c.

Una excelente caracterización de las congruencias viene dada por el si-guiente:

Teorema 3.32 Sean M y ¹M super…cies de E3. Un difeomor…smo F : M !¹M es una congruencia si y sólo si, para cada p 2 M , la diferencial dF j p:

T pM ! T F ( p)¹M preserva la primera y la segunda (para ciertas elecciones de

orientación local) formas fundamentales.

Demostración*. La condición necesaria es relativamente sencilla deprobar (ver [8], Cap. 22, Teorema 2). Probar la condición su…cientees algo más difícil (ver [8], Cap. 22, Teorema 3). La condición su…-ciente está relacionada con el Teorema de Bonnet (Teorema 5.1, en elApéndice 5.4.3*): éste es un resultado local, pero incluye, además dela unicidad, una a…rmación de existencia (lo que implica resolver unsistema de ecuaciones en derivadas parciales), mientras que nuestracondición su…ciente es global, si bien sólo incluye una a…rmación deunicidad

El recíproco de la Proposición 3.31, esto es, el que dos super…cies isométri-cas tengan que ser congruentes, es falso; pero si, …jada M , la implicación escierta para todo ¹M , se dice que M es rígida; es decir, una super…cie es rígidasi toda super…cie isométrica a ella es congruente con ella.

Intuitivamente hablando, una super…cie rígida es aquélla que no puedecambiar de forma sin ”estiramientos”. Así, por ejemplo, de la experienciacomún se deduce que una hoja de papel no es rígida; otro ejemplo de super…cieno-rígida puede verse en [5], 5.2. Un ejemplo de super…cie rígida es la esfera;para probar la rigidez de la esfera es su…ciente demostrar el siguiente:

Teorema 3.33 (Hilbert-Liebmann) Si M es una super…cie de E3 conexa,compacta y con curvatura de Gauss constante K , entonces M es necesaria-mente una esfera.

Demostración*: ver el Apéndice 5.3.4



4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 99

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DESUPERFICIES

Imaginemos unos hipotéticos seres bidimensionales (pero con sentido de ladistancia euclídea), que habitaran sobre una super…cie del espacio euclídeo E3

ignorantes del espacio ambiente que les rodea. Los elementos geométricos deesta super…cie (longitudes, áreas, etc.) capaces de ser observados o medidospor estos seres constituyen lo que se denomina ”geometría intrínseca” de

la super…cie. Nos ocuparemos aquí de observadores locales, cuya vista sóloalcanza un entorno coordenado.Precisando un poco más los conceptos: diremos que un cierto objeto

geométrico (local) sobre una super…cie M de E3 es intrínseco si puede ex-presarse exclusivamente en función de la primera forma fundamental de M .Que es razonable adoptar esta de…nición lo prueba el que la primera formafundamental codi…ca equivalentemente las longitudes de curvas sobre M .

En efecto: es claro que el conocimiento de la primera forma fun-damental permite calcular longitudes de curvas (recordar 3.1.4). Re-cíprocamente, el conocimiento de las longitudes de curvas arbitrariassobre M permite calcular los coe…cientes gij (i; j = 1; 2) de la prime-ra forma fundamental en cualquier carta ( U ; '¡1 = (u; v)) de M ; yaque, para todo p 2 U y designando como ®; ¯ y ° curvas en U talesque

®0(0) =

µ@

@u

¶ p

; ¯ 0(0) =

µ@

@v

¶ p

y ° 0(0) =

µ@

@u

¶ p

+

µ@

@v

¶ p

;

se obtiene:

E ( p) = (

dL(®)

dt j0)2

; G( p) = (

dL(¯ )

dt j0)2

y (E +G+2F )( p) = (

dL(° )

dt j0)2

Puesto que las isometrías locales entre super…cies vienen caracterizadas

(56) como aquéllas aplicaciones diferenciables que preservan la primera formafundamental, podemos a…rmar que los objetos geométricos (locales) intrínse-cos serán precisamente aquéllos que se preserven bajo las isometrías locales;recordar a este respecto la Proposición 3.26, referida a la ”longitud de cur-vas” y a la ”curvatura de Gauss” (aunque el carácter intrínseco de ésta seprobará en el Teorema 4.7 de este Capítulo).




4.1 DERIVACION COVARIANTE

En el apartado 2.4.3 habíamos recordado (o introducido) las nociones habi-tuales de derivación de campos de…nidos sobre subconjuntos S de Rn (sobre-entendiendo que T pS fuera subespacio vectorial de T pRn; 8 p 2 S ). Usaremosaquí estos conceptos para mostrar que, cuando S es una super…cie M delespacio euclídeo E3; aparece una noción intrínseca de derivación de campostangentes a M , que denominaremos ”derivación covariante”.

4.1.1 Las proyecciones tangente y normal

Sea M una super…cie de E3. Fijado p 2 M , cada vector tangente » 2 T pE3

se descompone de forma única en suma » = »T an

+ »Nor

; donde la partenormal»Nor :=< »; º ( p) > º ( p)

es ortogonal a T pM y la parte tangente

»T an := » ¡ »Nor

pertenece a T pM: Las proyecciones Nor : T pE3 3 » 7! »N or 2 T pE3 y T an :

T pE3 3 » 7! »Tan 2 T pM son homomor…smos de espacios vectoriales.Sea U un abierto de M . Un campo X 2 X U puede pues descomponerse

en X = XT an + X

Nor; donde la parte normal XNor viene de…nida por

XNor( p) := X( p)Nor y la parte tangente XTan por XTan( p) := X( p)T an

; 8 p 2 U . Evidentemente se veri…ca: XNor =< X; º > º 2 X U y X

Tan =X ¡ X

Nor 2 X( U ). Las correspondientes aplicaciones Nor : X U ! X U yT an : X U ! X( U ) son homomor…smos de F( U )-módulos.

4.1.2 Derivada covariante en una super…cie

Dado un campo de vectores tangente V 2 X(M ), de…nimos la derivadacovariante direccional de V según » 2T pM como el vector (tangente aM )

r» V : = (D» V)T an

2 T pM (58)Se deduce inmediatamente de las propiedades de (37) que la aplicación

T pM £X(M ) 3 (»; V) 7! r» V 2 T pM

es R-lineal en ambas entradas y no es F(M )-lineal en la segunda, sino quecumple: r» (f V) = »(f )V( p)+f ( p)r» V. Además, se deduce inmediatamen-te de la Proposición 3.1(1) que se veri…ca: » < V; W >=< r»V; W( p) >+ < V( p); r» W >.

Si ® : I

!M es una curva, un campo V a lo largo de ® (recuérdese la

notación: V 2 X® de 1.2.2) se dice tangente a M si V(t) 2 T ®(t)M; 8t 2 I .




El conjunto X®(M ) de campos a lo largo de ® que son tangentes a M cons-

tituye un R-espacio vectorial y un F(I )¡módulo. Obviamente ®0 2 X®(M ).Dado un campo de vectores V 2 X®(M ), se de…ne la derivada covariantede V como el campo

rV

dt:=

µDV

dt

¶T an

2 X®(M ) : (59)

Se deduce inmediatamente de las propiedades de (38) que la aplicaciónr=dt : X®(M ) ! X®(M ) es R-lineal, pero no F(I )-lineal, sino que cumple:r(f V)=dt = (df=dt)V + f rV=dt; y también que, si U 2 X(M ), entonces:

r(U ± ®)dt

(t) = r®0(t) U ; 8t 2 I ; (60)

o, en otros términos (de…niendo (r®0U)(t) := r®0(t)U , para todo t 2 I ):

r(U ± ®)

dt= r®0U :

Además, se deduce inmediatamente de la Proposición 3.1(2) que se veri-…ca: d

dt < V; W >=< rVdt ; W > + < V; rWdt >.

Finalmente, sean dos campos tangentes V; W 2 X(M ) . Se de…ne la

derivada covariante de W con respecto a V como el camporVW : = ( DVW)T an 2 X(M ) ; (61)

obsérvese que se veri…ca la expresión (que podría tomarse como de…niciónalternativa de rVW):

(rVW)( p) = rV( p)W , para todo p 2 M :

En efecto:

(

rVW)( p) := (DVW)T an( p) = (DVW)( p)

¡< (DVW)( p); º ( p) > º ( p)

(40)=

= DV( p)W¡ <DV( p)W; º ( p) > º ( p) =¡

DV( p)W¢T an (58)

=: rV( p)W


X(M ) £ X(M ) 3 (V; W) 7! rVW 2 X(M )

esR-lineal en ambas entradas, es F(S )-lineal en la primera y cumple: rU(f V) =U(f )V + f rUV. Además, se deduce inmediatamente de la Propos. 3.1(3)

que se veri…ca: U < V; W >=< rUV; W > + < V; rUW >.Por otra parte, de la de…nición de la segunda forma fundamental (3.2.3)

y de la aplicación de Weingarten (3.3.1) se obtiene la siguiente:




Proposición 4.1 Sea M una super…cie de E3. Para todo V; W

2X(M ),

se veri…ca ( ecuación de Gauss):

rVW = DVW¡ H(V; W)º |

{z } <LV;W>

; (62)

donde º es cualquier normal unitaria (o necesariamente global) a M .

Demostración. En efecto: rVW :=DVW¡ < DVW; º > º =

= DVW+ < DVº ; W > º =:DVW ¡ H(V; W)º . Obsérve-se que la elección de ¡º como normal unitaria invierte a su vez

H(V; W)

Ejemplo 4.2 Antes de ver la expresión que toma en coordenadas la deriva-

ción covariante en una super…cie arbitraria, resulta interesante explorar di-rectamente su aspecto en un caso bien conocido, como es el de la esfera M :=f(x;y;z ) 2 R

3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g en la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á))del Ejemplo 2.15. De la ecuación de Gauss (62) se deduce, para los campos

coordenados ( @ @u1

´ @ @# ; @

@u2´ @

@Á ), la expresión: r @ @u i

@ @uj

= D @ @ui

@ @uj

¡ hijº ',

siendo hij (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la segunda forma fundamental res-

pecto de la normal unitaria (exterior) º ' :=@

@#£ @

@Á

j@

@#

£@

@Á

j 2X U . Y de la expresión

'(#; Á) = (rsen# cos Á; rsen#senÁ; r cos #) se deduce (Ejemplo 3.15):8>>>>><>>>>>:

D @ @#

@ @# (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; ¡r cos #)(#;Á)

D @ @Á

@ @#

(#; Á) = (¡r cos # senÁ ; r cos # cos Á ; 0)(#;Á)

D @ @Á

@ @Á (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; 0)(#;Á)

º '(#; Á) = (sen# cos Á ; sen# sen Á ; cos #)'(#;Á)

e ´ h11 = ¡r ; f ´ h12 = 0 ; g ´ h22 = ¡rsen2#

;

con todo lo cual se obtiene …nalmente (conviene pensar despacio en el resul-tado):8>><>>:

r @ @#

@ @#

(#; Á) = ~ 0(#;Á)

r @ @Á

@ @#

(#; Á) = cot #³

@ @Á

´(#;Á)

( ) r @ @Á

@ @#

j(¼=2;Á)= ~ 0(¼=2;Á) )

r @ @Á

@ @Á (#; Á) = ¡sen# cos #

¡@

@#

¢(#;Á)

( ) r @ @Á

@ @Á j(¼=2;Á)= ~ 0(¼=2;Á) )

:

4.1.3 Expresión local de la derivada covariante. Símbolos de Chris-to¤el

Sea M una super…cie de E3 y sea r el operador de derivación covariante en

M . Sea ( U ; '¡1

= (u; v)) una carta de M . El campo r @ @ui

@

@u j 2 X( U ) se




podrá escribir en la forma:

r @ @ui

@

@u j

=:2X

k=1

¡kij

@

@uk

; (63)

para ciertas funciones ¡kij ´ ¡k

ij(u; v) 2 F ( U ) (i;j;k = 1; 2), llamadassímbolos de Christo¤el de M en la carta ( U ; '¡1). Los símbolos deChristo¤el son simétricos en los índices inferiores, ya que se tiene (para todoi;j;k = 1; 2):

D @ @u

i

@

@ u j

(40)= D @

@uj

@

@ui

;

) r@

@ui

@

@u j

=

r@

@uj

@

@ ui

; ;

)¡k

ij = ¡k ji

Los símbolos de Christo¤el determinan completamente la derivación cova-riante dentro del dominio U . En efecto, recordemos que la pareja (@=@u;@=@v)de campos coordenados constituye (Lema 2.32) una base del F( U )-móduloX( U ); por lo que cualquier campo U 2 X( U ) podrá escribirse como U =P2

i=1 U 'i

@ @ui

; con U 'i 2 F( U ) (i = 1; 2) y cualquier campo (a lo largo de

® : I ! U y tangente a M ) V 2 X®(M ) podrá escribirse como V =P2i=1 V '

i ( @ @ui

± ®); con V 'i 2 F(I ) (i = 1; 2). Usando las propiedades de

(59) y (61), se concluye:

Proposición 4.3 Sea M una super…cie de E3 y sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M .

1. Sea ® : I ! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Sea un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) V ´P2

i=1 V 'i ( @

@u i± ®) 2 X®(M ); con V '

i 2 F(I ) ( i = 1; 2): Se tiene:

rV

dt=

2Xk=1

ÃdV '

k

dt+

2Xi;j=1

dui

dtV '

j (¡kij ± ®)

!µ@

@uk

± ®

¶(64)

2. Sean los campos U ´ P2i=1 U 'i

@ @ui

; W ´ P2i=1 W 'i

@ @ui

2 X( U ); con U 'i ; W ' j 2 F( U ) (i; j = 1; 2). Se tiene:

rUW =2X

k=1

Ã2X

i=1

U 'i@W 'k@ui

+2X

i;j=1

U 'i W ' j ¡kij

!@

@uk(65)

Demostración. Probemos 1:

rV

dt

=rdt Ã

2

X j=1

V ' j (

@

@u j ±®)!

(59)=

2

X j=1 µdV '

j

dt

(@

@u j ±®) + V ' j (

r®0

@

@u j

)¶(60)=




=

2

X j=1

ÃdV ' j

dt (

@

@u j ± ®) +

2

Xi=1

dui

dt V

'

j (r@

@ui

@

@u j ± ®)! (63)

=

=2X

k=1

ÃdV 'k

dt+

2Xi;j=1

dui

dtV '

j (¡kij ± ®)

!(

@

@uk

± ®) :

Y probemos 2:

rUW = r(P2

i=1 U 'i

@ @ui

)

Ã2X

j=1

W ' j

@

@u j

!(61)=

2Xi;j=1

U 'i

µ@ W ' j

@ui

@

@u j

+ W ' j (r @ @ui

@

@u j

)

¶(63)=

=

2

Xk=1 Ã2

Xi=1 U

'

i

@W 'k

@ui +

2

Xi;j=1U

'

i W

'

j ¡

k

ij! @

@uk

4.1.4 Carácter intrínseco de la derivación covariante y de la cur-vatura de Gauss.

Como la derivación covariante depende (localmente) de los símbolos de Chris-to¤el, para demostrar que tiene carácter intrínseco será su…ciente demostrarque, en una carta arbitraria ( U ; '¡1 = (u; v)), los símbolos ¡k

ij (i;j;k = 1; 2)

pueden ponerse en función de los coe…cientes gij ´< @ @ui

; @ @uj

> (i; j = 1; 2)

de la primera forma fundamental. En efecto, ello es así y se tiene:

Proposición 4.4 Sea M una super…cie de E3 y sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sean gij 2 F( U ) (i; j = 1; 2) y ¡k

ij 2 F( U ) (i;j;k = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental y los símbolos de Christo¤el,respectivamente, de M en la carta ( U ; '¡1). Entonces se veri…ca ( 8i;j;h =1; 2):

¡hij =

1

2

2Xk=1

gkh

µ@ (gik ± ')

@u j± '¡1 +

@ (g jk ± ')

@ui± '¡1 ¡ @ (gij ± ')

@ uk± '¡1

¶;

(66)siendo (g kh) la matriz inversa de la matriz (gij).

Demostración*: ver el Apéndice 5.4.1

Observación 4.5 Con los coe…cientes E; F ; G 2 F( U ) de la primera for-

ma fundamental introducidos en (43), con los abusos de notación @gij

@uk

abuso´@ (gij±')

@uk±'¡1 : U ! R, y teniendo en cuenta que (gkh) = 1

EG¡F 2

µG ¡F

¡F E

¶,

las fórmulas (66) se escriben:8><>:

¡111=

G @E@u¡2F @F

@u+F @E

@v

2 (EG¡F 2) ; ¡112=

G@E@v¡F @G

@u

2 (EG¡F 2) ; ¡122=

2G@F @v¡G@G

@u¡F @G

@v

2(EG¡F 2) ;

¡211=¡F @E@u +2E

@F @u ¡E

@E@v

2(EG¡F 2) ; ¡212=¡F @E@v +E

@G@u

2(EG¡F 2) ; ¡222 =¡2F @F @v +F

@G@u +E

@G@v

2 (EG¡F 2) :

;




en particular, si (

U ; '¡1 = (u; v)) es un sistema de coordenadas ortogonales

(esto es, si F = 0), se concluye:

¡111 =

@E @u

2E ; ¡1

12 =@E @v

2E ; ¡1

22 = ¡@G@u

2E ; ¡2

11 = ¡@E @v

2G; ¡2

12 =@G@u

2G; ¡2

22 =@G@v

2G(67)

Ejemplo 4.6 En el caso de la esfera M := f(x;y;z ) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 =

r2 > 0g en la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15 (para la que se veri…ca: E = r2; F = 0 y G = r2sen2 #, ver Ejemplo 3.8), de la expresión

(67) se obtiene

¡111 = 0 ; ¡1

12 = 0 ; ¡122 = ¡sen# cos # ; ¡2

11 = 0 ; ¡212 = cot # ; ¡2

22 = 0 ;

lo que puede usarse en (63) para deducir rápidamente la expresión de las derivadas covariantes r @

@ui

@ @uj

, hallada ”a mano” en el Ejemplo 4.2.

El siguiente teorema (uno de los más importantes en la geometría localde super…cies) a…rma que la curvatura de Gauss de una super…cie de E3 esun objeto geométrico intrínseco, esto es, depende sólo de la primera formafundamental.

Teorema 4.7 Sean M una super…cie de E3 y K 2 F(M ) su curvatura de Gauss. Sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sean gij 2 F( U ) (i; j = 1; 2)los coe…cientes de la primera forma fundamental en dicha carta y

rel opera-

dor de derivación covariante en M . Entonces, denotando U ´ @ @u ; V ´ @ @v 2X( U ), se tiene:

K j U =< ¡rUrVU + rVrUU ; V >

det(gij); (68)

con lo que la curvatura de Gauss resulta ser un objeto geométrico intrínseco.

Demostración*: Para la demostración de la expresión (68), ver elApéndice 5.4.2. Como la derivación covariante r es (por la Proposi-ción 4.4) intrínseca, el primer miembro de (68) también lo es

Observación 4.8 Sea (

U ; '¡1 = (u; v)) un sistema de coordenadas ortogo-

nales (esto es, con F = 0). Entonces, con los abusos de notación @gij

@uk

abuso´@ (gij±')

@uk± '¡1 : U ! R, se puede ahora demostrar (!), a partir de (67) y (68),

que se veri…ca:

K j U = ¡1

2p

EG

µ@

@v

µ@E=@vp

EG

¶+

@

@u

µ@G=@up

EG

¶¶: (69)

El resultado (Teorema 4.7) de que la curvatura de Gauss, concepto de…-nido a partir de las dos formas fundamentales sobre una super…cie, dependesólo de la primera de ellas hace sospechar que, entre ambas formas deben exis-tir ciertas relaciones de compatibilidad ; esta cuestión se trata en el Apéndice

5.4.3*.




4.2 TRANSPORTE PARALELO

En cada punto p 2 Rn habíamos construido (recordar 1.1.3) el espacio vecto-rial tangente T pRn := f» ~́ » p j ~ » 2 Rng de los vectores ”apoyados” en p. Hayun ”transporte paralelo natural” para llevar vectores que se apoyan en unpunto p 2 Rn hasta otro punto q 2 Rn , que viene de…nido por el isomor…smolineal T pRn 3 ~ » p 7! ~ » q 2 T q R

n. Se dice por ello que los espacios tangentes deR

n están canónicamente conectados. Otra manera de ver esto es la siguiente:Sea ® : [a; b] 7! Rn una curva que une los puntos p = ®(a) y q = ®(b).

Dado un vector ~ » p 2 T pRn; existe un único campo (a lo largo de ®) V 2 X®

tal que V(a) = ~ » p y DVdt

= 0. En efecto, la segunda condición implica,

escribiendoV ´Pn

i=1 V i(@

@xi ±®) , que se debe veri…cardV i

dt = 0 (i = 1;:::;n),es decir, las funciones V i son todas constantes; y la primera condición obligaa que V i = » i (i = 1;:::;n) . Si se de…ne el ”transporte paralelo natural” delvector ~ » p de p a q como el resultado de evaluar el campo V en el valor b delparámetro, se obtiene el vector tangente V(b) = ~ » q (independientemente dela curva ® sobre la que se hace el transporte).

Sea M una super…cie de E3 y sean p; q 2 M . Resulta evidente (pensarun ejemplo trivial!) que los espacios tangentes T pM y T q M no están (en general) canónicamente conectados . Sin embargo, vamos a ver que el puntode vista expuesto en el anterior párrafo sobre la conexión canónica en R

n

permite extender la idea de ”transporte paralelo” a los vectores tangentes aM .

4.2.1 Transporte paralelo. Carácter intrínseco

Sea ® : I ! M una curva en una super…cie M de E3 y sea V 2 X®(M )un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M . Se dice que V esparalelo (habría que decir ”r-paralelo”) si rV

dt = 0.Si denotamos por Xjj®(M ) al conjunto de campos (a lo largo de ® y tangen-

tes a M ) paralelos, de las propiedades de rVdt

en (59) se concluye que Xjj®(M )constituye un R-espacio vectorial (cuidado: no constituye un F(I )-módulo!)y que, para cualesquiera V; W 2 X

jj®(M ), el producto escalar < V; W > es

constante a lo largo de ®.

Teorema 4.9 Sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sea ® : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada.

1. Sea el campo (a lo largo de ® y tangente a M ) V ´ P2i=1 V 'i ( @

@ui±®) 2

X®(M ); con V 'i 2 F(I ) (i = 1; 2): Entonces: V es paralelo si y sólo si

las funciones V 'i satisfacen el sistema lineal de ecuaciones diferenciales




de 1er. orden:

dV 'k

dt+

2X j=1

Ã 2Xi=1

dui

dt(¡k

ij ± ®)!

V ' j = 0 (k = 1; 2) : (70)

2. Fijado cualquier t0 2 I , la aplicación

Xjj®(M ) 3 V 7! V(t0) 2 T ®(¿ )M

es un isomor…smo lineal. Como consecuencia, el R-espacio vectorial Xjj®(M ) posee dimensión 2. Denotaremos por

T ®(t0)M 3 » 7! V»2Xjj®(M )

al isomor…smo lineal inverso del anterior. Nótese que se veri…ca V»(t0) = ».

3. Si a; b 2 I , la aplicación jj®a;b: T ®(a)M 3 » 7! V» (b) 2T ®(b)M es un

isomor…smo lineal, que se denomina transporte paralelo de p = ®(a)a q = ®(b) a lo largo de ®. Además jj®

a;b es una isometría lineal y, si ¿ 2 (a; b); se veri…ca: jj®a;b = jj®

¿;b ± jj®a;¿ .

Demostración. El apartado 1 es consecuencia inmediata de la Pro-

posición 4.3(1).El apartado 2 es consecuencia inmediata del resultado mencionadoen el Apéndice 5.1.3* sobre existencia y unicidad de solución globaldel sistema lineal (70) de ecuaciones diferenciales de 1er orden, paracualquier condición inicial (V '

1 (t0); V '2 (t0)).

Probemos 3. La aplicación jj®a;b es, por el apartado 2, la composición

de dos isomor…smos. Además, si V; W 2 Xjj®(M ), se tiene:

d

dt< V; W >

(59)= <

rV

dt; W > + < V;

rW

dt>= 0 ;

y jj®a;b resulta ser una isometría lineal

Puesto que las nociones de ”campo paralelo” y de ”transporte paralelo” seexpresan via las ecuaciones (70), que son intrínsecas debido a las ecuaciones(66), se concluye que tanto la noción de campo paralelo como la de transporte paralelo son intrínsecas.

Observación 4.10 Recordemos (2.1.5) que un camino en En (n ¸ 2) es una aplicación continua ® : [a; b] ! E

n que es diferenciable a trozos. Si ® : [a; b]

!M (

½E3) es un camino, es posible encontrar una partición

a = t0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tk = b de [a; b] de manera que cada imagen ®([ti¡1; ti])




esté contenida en el dominio de una carta. Resulta entonces posible de…nir

sin ambigüedad la aplicación

jj®a;b := jj®

tr¡1;b ± ¢ ¢ ¢ ± j j®a;t1

: T ®(a)M ! T ®(b)M ;

que es una isometría lineal.

Ejemplo 4.11 En una super…cie, la noción de transporte paralelo entre dos puntos a lo largo de una cierta curva regular es invariante frente a repara-metrizaciones de ésta (Ejercicio 6.4.9).

El transporte paralelo en un plano afín ¦ ½ E3 coincide con el ”transporte

paralelo natural” inducido en ¦

¼R

2 vía cualquier referencia afín (Ejercicio

6.4.6).Cuando dos super…cies se cortan a lo largo de una curva, las dos nociones

de paralelismo (para campos de vectores a lo largo de ésta que sean tangentes a ambas) no tienen por qué coincidir; sí lo hacen cuando las super…cies son mutuamente tangentes a lo largo de ® (Ejercicios 6.4.8 y 6.4.13c).

Si ® : I ! M es una curva en una super…cie M de E3 y V 2 X®(M ) es un campo (a lo largo de ® y tangente a M ), el criterio de paralelismo para V

dado en el Teorema 4.9(1) requiere coordenadas (y es molesto). Cuando ®es geodésica de M , hay un criterio sin coordenadas (ver el Ejercicio 6.4.1),mucho más cómodo de manejar y que se aplica con frecuencia.

4.2.2 Transporte paralelo, geodésicas e isometrías

Sea ° : I ! M una curva en una super…cie M de E3 y sea r el operadorde derivación covariante en M . En 3.3.7 de…nimos ° como geodésica si su

aceleración ° 00 ´ D° 0

dt era normal a M . Puesto que r° 0

dt :=³

D° 0

dt

´Tan

, resulta

que ° es geodésica si y sólo si r° 0

dt = 0, esto es, si y sólo si su campo develocidades es paralelo.

Se dice que la geodésica ° : I ! M es una geodésica por » 2 T pM ,si 0

2I y ° 0(0) = » (obviamente, en tal caso ° (0) = p). Y se dice que °

es maximal, si no existe ninguna geodésica ~° : ~I 7! M que ”extienda” a ° (esto es, tal que ~I contenga estrictamente a I y se veri…que ~° jI = ° ).

Ya vimos en 3.3.7 que, si ° : I ! M es geodésica, j ° 0 j: I ! R es unafunción constante. Además se tiene:

Proposición 4.12 Sea M una super…cie de E3.

1. Sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M , sea ° : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Entonces ° es una geodésica si y sólo si las funciones u1(t) ´ u(t); u2(t) ´ v(t)




veri…can el sistema (en general, no lineal!) de ecuaciones diferenciales

de segundo orden:

d2uk

dt2+

2Xi;j=1

dui

dt

du j

dt(¡k

ij ± ° ) = 0 (k = 1; 2) (71)

2. Para cada p 2 M y cada » 2 T pM , existe una geodésica ° : I ! M por » (esto es, tal que ° 0(0) = »).

3. Dos geodésicas por » 2 T pM coinciden en la intersección de sus domi-nios.

4. Para cada p 2 M y cada » 2 T pM , existe una única geodésica maximal por », que denotaremos ° » : I » ! M .

5. Fijados » 2 T pM y s 2 R , se veri…ca:½st 2 I » , t 2 I s» y ° »(st) = ° s»(t)

(72)

Demostración. Probemos 1. El sistema (71) es directa conse-cuencia del sistema (70), que da la expresión analítica (local) de

la condición de paralelismo, y del hecho de que (Observación 2.23)(° 0)'

k = duk

dt (k = 1; 2).

Probemos 2, 3 y 4. Escribamos½uk( p) ´ ak (k = 1; 2)

» ´P2k=1 » k (@=@uk) p

:

El apartado 2 (respectivamente, los apartados 3 y 4) es directa conse-cuencia de que el sistema de dos ecuaciones diferenciales de 2 o orden(71) es equivalente al sistema de cuatro ecuaciones diferenciables de1er orden ½ duk

dt ¡ f k = 0df kdt +

P2i;j=1 f if j (¡k

ij ± ° ) = 0(k = 1; 2)

y del resultado mencionado en el Apéndice 5.1.3* sobre existencia(respectivamente, sobre unicidad) de solución maximal de este últimosistema para la condición inicial½

uk(0) = ak

f k(0) = » k(k = 1; 2) ;

esto es, para (° (0) = p ; ° 0(0) = »):




Probemos 5 ¤. Fijados »

2T pM y s

2R , la curva ® : t

7!° » (st) es

(hasta donde pueda de…nirse) una geodésica (ya que sus coordenadassatisfacen (71)) con velocidad inicial ®0(0) = s° 0» (0) = s» . De losapartados 3 y 4 se deduce que ® = ° s» jDom ®. Y por tanto se sigue:st 2 I » , t 2 I s» , veri…cándose ° »(st) = ° s»(t)

Observación 4.13 Se puede demostrar (pero no lo haremos en este curso)que, si una curva entre dos puntos de una super…cie posee longitud mínima (entre todas las que unen dichos puntos), necesariamente es una geodésica (ver p.ej. [8], Cap.19, Teorema 1); y que, si dos puntos de una super…cie están ”su…cientemente próximos”, existe entre ellos una geodésica de longitud mínima (ver [8], Cap.19, Teorema 3).

Ya hemos dicho al comienzo de este Capítulo que, puesto que las isome-trías locales entre super…cies (3.4.1) venían caracterizadas (56) por preservarla primera forma fundamental, preservarían todos los objetos geométricos(locales) intrínsecos de las super…cies. Ya hemos comprobado (Proposición3.26 y Teorema 4.7) que así ocurre con las longitudes de curvas y con la cur-vatura de Gauss. Vamos a continuación a comprobar que lo mismo sucedecon el transporte paralelo y con las geodésicas.

Proposición 4.14 Sean M y ¹

M super…cies de E3

y sea F : M !¹

M una isometría local. Entonces:

1. F preserva el transporte paralelo, es decir: para toda curva ® : I ! M y para todo V 2 X

jj®(M ), se veri…ca (dF j® V) 2 X

jjF ±®( ¹M ) , siendo

(dF j® V) (t) := dF j®(t) (V(t)).

2. F preserva las geodésicas: si ° : I ! M es geodésica, también lo es F ± ° : I ! ¹M

Demostración. Probemos 1. Usaremos cartas ( U ; '¡1) en M y

( U ; ¹'¡1

)en ¹

M como las construídas en la Proposición 3.25, esto es,

tales que:8<: ¹uk ± F j U = uk ;(29)) dF j p

³@

@uk ́p=³

@ @ ¹uk

´F ( p)

; 8 p 2 U (k = 1; 2)

¹gij ± F j U = gij ;(66)) ¹¡k

ij ± F j U = ¡kij (i;j;k = 1; 2)

:

Suponiendo s.p.d.g. que ®(I ) ½ U y escribiendo V ´ P2i=1 V '

i

³@

@ui± ®´

,

se ve inmediatamente que

dF j®V

=

2

Xi=1 V

'

i µ @

@ ¹ui ± F ± ®¶ 2 XF ±®(¹

M ) :




Entonces se tiene, para las componentes V 'i de dF

j® V:

dV 'kdt

+2X

j=1

Ã 2Xi=1

d(¹ui ± F ± ° )

dt

¡¹¡k

ij ± F ± ° ¢!

V ' j =

=dV '

k

dt+

2X j=1

Ã2X

i=1

d(ui ± ° )

dt

¡¡k

ij ± ° ¢!

V ' j

(70)= 0 ;

del Teorema 4.9(1) se sigue que (dF j® V) 2 XjjF ±®( ¹M ):

Probemos 2. Usando cartas ( U ; '¡1) en M y ( U ; ¹'¡1) en ¹M como

en el apartado 1 y suponiendo s.p.d.g. que (localmente) ° (I ) ½ U , setiene:

d2(¹uk ± F ± ° )

dt2+

2Xi;j=1

d(¹ui ± F ± ° )

dt

d(¹u j ± F ± ° )

dt

¡¹¡k

ij ± F ± ° ¢

=

=d2(uk ± ° )

dt2+

2Xi;j=1

d(ui ± ° )

dt

d(u j ± ° )

dt

¡¡k

ij ± ° ¢ (71)

= 0 ;

de la Proposición 4.12(1) se sigue que (F

±° )0

2XjjF

±° (

¹M ):

En realidad, se puede dar una demostración más elegante (sin coor-denadas) de este apartado 2. Basta, en efecto, aplicar el resultado delapartado 1 al campo ° 0 2 X

jj° (M ) y se obtiene:

(F ± ° )0(27)= dF j° ° 0

Aptdo:12 XjjF ±° (

¹M )

Ejemplo 4.15 En una super…cie, la noción de geodésica es invariante frente a reparametrizaciones a…nes (Ejercicio 6.4.4).

Ya sabemos (Ejemplo 3.23) que todas las curvas con velocidad constante

cuyas imágenes son rectas en el plano, hélices (también rectas o circunferen-cias) en el cilindro o círculos máximos en la esfera son geodésicas. Podemos ahora probar que todas las geodésicas en estas tres super…cies son de esa forma (Ejercicio 6.4.3d).

En cuanto a que las isometrías preserven las geodésicas (Proposición 4.14(2)), retomamos aquí una cuestión que dejamos a medias al …nal del Ejemplo 3.30. Sean M y ¹M super…cies y supongamos que exista un difeo-mor…smo f : M ! ¹M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, incluso

si M y ¹M tienen curvatura de Gauss constante, no sólo f no tiene por qué ser una isometría, sino que no tiene por qué existir una isometría M ! ¹M y ni tan siquiera una isometría local M

!¹M (Ejercicio 6.4.10b).




4.2.3 Transporte paralelo y curvatura de Gauss

Estudiaremos aquí la relación que existe entre la curvatura de Gauss de unasuper…cie M de E3 y el ángulo que giran los vectores tangentes a M cuandolos transportamos paralelamente a lo largo de un camino en M cerrado,simple y su…cientemente pequeño. Entre otras aplicaciones, esta relaciónserá fundamental para poder establecer en 4.3.2 el teorema de Gauss-Bonnet(Teorema 4.27).

Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º ) de E3 ysea V 2 X®(M ) un campo de vectores (a lo largo de ® y tangente a M )unitario, es decir j V j= 1. Sea r el operador de derivación covariante enM . Entonces se tiene:

0 =d

dt< V; V >

(59)= 2 <

rV

dt; V > ;

como, por otra parte, es < rVdt ; º ± ®> = 0 , resulta que rV

dt debe serproporcional a (º ± ®) £ V . Por tanto, existirá una función diferenciable·rV

dt

¸: I ! R ;

denominada valor algebraico de rVdt , tal que:

rV

dt=:·rV

dt

¸(º ± ®) £ V ; )

)·rV

dt

¸= <

rV

dt; (º ± ®) £ V >=<

DV

dt; (º ± ®) £ V > : (73)

Observación 4.16 Supongamos que ® es regular y está parametrizada por la longitud de arco, es decir, j®0j = 1. En tal caso, se de…ne la curvatura geodésica ·®

g de ® como el valor algebraico de la derivada covariante de su velocidad

·®g := ·r®0

ds¸ : I ! R

(donde s es el parámetro de ®, esto es, su longitud de arco), y resulta:

·®g

(73)= < ®00; (º ± ®) £ ®0 >

(3)= det(®00 ; (º ± ®) ; ®0) : (74)

Por supuesto, si la curva unitaria ® es una geodésica, su curvatura geo-

désica es nula.Por otra parte, se veri…ca:

®00 ´D®

0ds = r

®0

ds + <D®

0ds ; º ± ®> º ± ® = ·®g ((º ± ®) £ ®0) + ·®º (º ± ®) ;




siendo ·®º la curvatura normal de ® en (M; º ) (recordar 3.2.2). Puesto que

(º ± ®) £ ®0 es tangente a M y º ± ® es normal a M , ·®g representa (salvoquizás el signo) la longitud de la proyección tangente a M de la aceleración de ®. Si la curva unitaria ® es alabeada, y recordando que su curvatura ·®

veri…ca (Proposición 1.30) ·® = j®00j, se obtiene la igualdad:

(·®)2 = (·®g )2 + (·®

º )2

Comenzamos probando el siguiente

Lema 4.17 Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º )de E3 y sean U; V

2X®(M ) campos de vectores (a lo largo de ® y tangentes

a M ) unitarios. Entonces:

1. Existe una función diferenciable µ : I ! R , tal que:

V = cos µ U + senµ ~U ;

donde denotamos ~U ´ (º ± ®) £ U . La función µ, determinada salvouna constante aditiva múltiplo entero de 2¼, se denomina una deter-minación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V)

2. Si µ es una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V),

se veri…ca: ·rV

dt

¸=·rU

dt

¸+

dµ

dt;

donde r denota la derivación covariante en M .

Demostración. Probemos 1 (ver [5], 4.4, Lema 1): Obviamente setiene: V = f 1U + f 2 ~U, con f 1; f 2 2 F(I ) y f 21 + f 22 = 1.

Si existiera una tal función diferenciable µ, debería veri…carse

½df 1dt =

¡senµ dµ

dt

df 2dt = cos µ dµdt ; )dµ

dt = ¡f 2

df 1

dt + f 1

df 2

dt (¤) :

Este criterio necesario da la ”pista” para demostrar la existencia dela función deseada.

Fijemos t0 2 I y sea µ0 2 R tal que f 1(t0) = cos µ0 y f 2(t0) =

senµ0. De…niendo ahora la función diferenciable

µ : I 3 t 7!Z t

t0

(f 1df 2dt

¡ f 2df 1dt

)(t) dt + µ0 2 R ( ) µ(t0) = µ0) ;

probaremos que f 1 = cos µ y f 2 = senµ o, equivalentemente, que(f 1 ¡ cos µ)2 + (f 2 ¡ senµ)2 = 0.




Ahora bien, teniendo en cuenta que½ (f 1 ¡ cos µ)2 + (f 2 ¡ senµ)2 = 2 ¡ 2(f 1 cos µ + f 2senµ)

(f 1 cos µ + f 2senµ)(t0) = cos2 µ0 + sen2µ0 = 1;

bastará probar que f 1 cos µ + f 2senµ = cte: Y en efecto:

d

dt(f 1cos µ+f 2 sen µ) =

df 1dt

cos µ+df 2dt

sen µ+(¡f 1 sen µ+f 2 cos µ)dµ

dt

(¤)=

=df 1dt

cos µ(1¡f 22 )+df 2dt

sen µ(1¡f 21 )+f 1f 2sen µdf 1dt

+f 1f 2 cos µdf 2dt

f 21+f 22=1=

= f 1(f 1df 1dt

+f 2df 2dt

) cos µ+f 2(f 1df 1dt

+f 2df 2dt

)sen µf 1 df 1

dt+f 2 df 2

dt=0

= 0 :

Probemos 2 (ver [5], 4.4, Lema 2): Se tiene:

(º ± ®) £ V |

{z } ´eV

Aptdo:1= (º ±®)£(cos µ U+senµ (º ± ®) £ U |

{z } ´eU

)(3)= ¡senµ U+cos µ eU :

Por otra parte:

rU

dt

jUj=cte:

» eU yreUdt

jeUj=cte:

» eeU (3)

= ¡U

:

Con lo cual se tiene:·rV

dt

¸(73)= <

rV

dt; eV >

Aptdo. 1=

=< ¡senµdµ

dtU+cos µ

rU

dt |{z} »eU

+cosµdµ

dteU+senµ

reUdt |

{z} »U

; ¡senµ U+ cos µ eU>=

= dµdt +cos2 µ < rU

dt ; eU > ¡sen2µ < reUdt ; U > | { z

} ¡<rU

dt;eU>

=

=dµ

dt+ <

rU

dt; eU >

(73)=

dµ

dt+

·rU

dt

¸Observación 4.18 Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada

(M; º ) de E3 y sean U; V 2 X®(M ) campos de vectores (a lo largo de ® y tangentes a M ) unitarios. El apartado 1 del Lema nos asegura que existe una función diferenciable µ : I ! R tal que V = cos µ U+senµ ~U. Consideremos




la función continua ¹µ : I

![0; ¼] dada por cos ¹µ :=< U; V > (ángulo no

orientado de…nido por el producto escalar). Es inmediato ver que se tiene:

¹µ = jµ ¡ 2k¼ j ; si µ 2 [(2k ¡ 1)¼; (2k + 1)¼] (k entero) :

Ahora bien: ya sabemos (Teorema 4.9(3)) que, si ambos campos U y V son paralelos, ¹µ tiene que ser constante, lo que implica dµ

dt = 0. El apartado 2 del Lema nos añade pues la información de que, si uno de los campos U ó V

es paralelo, la derivada dµdt

es independiente de la elección de dicho campo.En particular, si U = ®0 (ello presupone que ® está parametrizada por la longitud de arco) y V es paralelo, entonces ¡dµ

dt = ·®g , la curvatura geodésica

de ® (Observación 4.16).

Proposición 4.19 Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea ( U ; '¡1= ( u; v))una carta ortogonal (esto es, F = 0; recordar la Proposición 3.7) posi-tiva (esto es, º j U = º ') de M . Sea ® : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Sea el campo (a lo

largo de ® y tangente a M ) unitario U ´ @=@up E

± ® 2 X®(M ) y sea r el operador de derivación covariante en M . Abusaremos de la notación y es-

cribiremos @gij

@uk

abuso´ @ (gij±')

@uk± '¡1 : U ! R. Entonces:

1. Se tiene: ·rU

dt

¸= ¡(

@E=@v

2p

EG± ®)

du

dt+ (

@G=@u

2p

EG± ®)

dv

dt:

2. Sea V 2 X®(M ) otro campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario.

Sea µ una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V).Si V es paralelo, entonces se tiene:

dµ

dt= (

@E=@v

2p

EG± ®)

du

dt¡ (

@G=@u

2p

EG± ®)

dv

dt:

Demostración. Probemos 1 (ver [5], 4.4, Proposición 3): En primerlugar, se veri…ca:

eU ´ (º '±®)£U3:2:1= (

@=@u £ @=@vp EG

£@=@up E

)±®(3)=

@=@vp G

±® (¤) :

Por otra parte:

rdt

(@

@ul± ®)

(64)=

2

Xk;i=1

dui

dt(¡k

il ± ®)(@

@uk± ®) (¤¤) :




Con lo cual se tiene:·rU

dt

¸ (73)= <

rU

dt; eU>

(¤)=<

rdt

(@=@up

E ± ®);

@=@vp G

± ® >F =0=

= (1p EG

± ®) <rdt

(@

@u± ®); (

@

@v± ®) >

(¤¤)=

= (1p EG

± ®) <2X

i=1

dui

dt(¡2

i1 ± ®)(@

@v± ®); (

@

@ v± ®) >=

= (r G

E ±®)

2

Xi=1

dui

dt

(¡2i1

±®)

(67)=

¡(

@E=@v

2p EG±®)

du

dt

+(@G=@u

2p EG±®)

dv

dt

:

El apartado 2 es inmediata consecuencia del apartado 1 y del Lema4.17(2)

Recordando el Corolario 2.10 (Green), se obtiene el siguiente:

Teorema 4.20 Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea ( U ; '¡1= (u; v))

una carta ortogonal (esto es, F = 0; recordar la Proposición 3.7) positi-va (esto es, º j U = º ') de M . Sea R ½ U un subconjunto cerrado y acotado, cuya frontera topológica @ R(½ R) en U sea la imagen de un ca-

mino ® : [a; b]! U ½

E3 cerrado y simple. Elijamos ® de forma que

el sentido de recorrido sea positivo respecto de º (esto es, de forma que (º ± ®) £ ®0 apunte, allí donde esté de…nido y no sea nulo, hacia el interior de R). Sea V 2 X®(M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario

y sea µ : [a; b] ! R una determinación diferenciable del ángulo (orientado)

](U ´@=@up E

± ®; V). Si V es paralelo, entonces se tiene:

µ(b) ¡ µ(a) =

Z R

K :

Demostración. Sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) la expresión local

de ® en la carta ( U ; '¡1

). Se tiene:Z R

K 3:1:5=

Z '¡1(R)

K (u; v)p

E (u; v)G(u; v)(69)=

=

Z '¡1(R)

0BBB@ @

@v

µ¡@E=@v

2p

EG

¶ |

{z

} ´¡P

+@

@u

µ¡@G=@u

2p

EG

¶ | { z

} ´Q

1CCCA Cor: 2:10=

= Z b

a µ(@E=@v

2p EG ±®)

du

dt+ (

¡@G=@u

2p EG ±®)

dv

dt¶dtProp: 4:19(2)

= Z b

a

dµ

dtdt = µ(b)

¡µ(a)




Observación 4.21 El Teorema 4.20 nos dice que:

1. El incremento µ(b) ¡ µ(a) del ángulo orientado de U ´@=@up E

± ® a V

(paralelo) resulta independiente de la elección del V y sólo depende del comportamiento de la curvatura en la región R.

En realidad, el resultado mantiene su validez (ver [8], Teorema 21.1) sin hacer mención alguna de la carta ortogonal positiva ( U ; '¡1= (u; v)),simplemente exigiendo que la región cerrada R esté contenida en el do-minio (abierto) de algún campo X (tangente a M ) unitario y tomandoU ´ X ± ®.

2. Si el área de R es su…cientemente ”pequeña”, la determinación £ 2(¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el punto ®(a) = ®(b))resulta ser igual a µ(b) ¡ µ(a) y es, por tanto, independiente de la elección del V.

En efecto: por la de…nición de £,

V(b) = cos £ V(a) + sen £ eV(a) (¤) ;

donde

eV ´ (º ± ®) £ V. Por otra parte, por la de…nición de µ

(y para todo t

2I ),

V(t) = cos µ(t) U(t) + sen µ(t) eU(t) ;(3))

) eV(t) = cos µ(t) eU(t) ¡ sen µ(t) U(t) :

Se sigue:

cos µ(b) U(b) |

{z

} U(a)

+sen µ(b) eU(b) |{z

} eU(a)= V(b)

(¤)=

= cos£³cos µ(a) U(a) + senµ(a) eU(a)´+

+sen£³

cos µ(a) eU(a) ¡ senµ(a) U(a)´

=

= cos(£ + µ(a)) U(a) + sen(£ + µ(a)) eU(a) ; )

)µZ

RK

Teor:4:20=

¶µ(b) ¡ µ(a) = £ + 2k¼ ; k entero :

Pero £ 2 (¡¼; ¼]. Si el área de R es su…cientemente ”pequeña”,p.ej. si

¯̄R R K

¯̄< ¼, entonces debe ser k = 0 y resulta: £ =

R R K




En otras palabras, si el área de

Res su…cientemente pequeña, el trans-

porte paralelo jj®a;b: T pM ! T pM de p = ®(a) a p = ®(b) a lo largo de ® corresponde a una rotación en T pM de ángulo orientado £ =

R R K .

Ejemplo 4.22 En el caso de la esfera M := f(x;y;z ) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 =r2 > 0g, la integral de la curvatura de Gauss K (= 1

r2 , ver el Ejemplo 3.18)en un ”triángulo” (ver 4.3.1 para una de…nición rigurosa de este concepto)

T (½ M ) que tiene un vértice en el polo norte y dos en el ecuador y por lados dos arcos de meridiano y un arco de ecuador de amplitud ¢Á 2 (0; 2¼],es (ayudándonos de la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15, que veri…ca T ½ U salvo un conjunto de medida nula y en la que sabemos que se

tiene E = r2

; F = 0 y G = r2

sen2

#):Z T

K :3:1:5=

Z '¡1(T )

1

r2

p EG

Teor: 2:8=

1

r2

Z ¢Á

0

(

Z ¼=2

0

r2sen# d#)dÁ | {z } A(T )

= ¢Á :

Sea ahora º 2 XM la normal unitaria exterior a la esfera y sea ® : [a; b] !M ½ E

3 un camino cerrado, simple, positivo respecto de º y tal que Im ® =@T (la frontera de T en M ). Sea V 2 X®(M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y paralelo (el hecho de que ® no sea diferenciable,sino sólo ”diferenciable en tres trozos”, no plantea mayor problema para que V sea diferenciable); es muy fácil seleccionar un tal V (por ejemplo, con el criterio dado en el Ejercicio 6.4.1) y es inmediato (!) comprobar que la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el polonorte ®(a) = ®(b)) resulta ser ½

£ = ¢Á ; si 0 · ¢Á · ¼

£ = ¢Á ¡ 2¼ ; si ¼ < ¢Á · 2¼:

Resulta por tanto claro que, si A(T ) · ¼r2, se cumple lo a…rmado en la

Observación 4.21(2), a saber, que £ =

R T K .

El Teorema 4.20 a…rma además que, si eligiéramos una carta ortogonal positiva de M cuyo dominio (abierto) contuviera al recinto T (cerrado) de integración (una tal carta existe; por ejemplo, la dada por la proyección este-

reográ…ca desde el polo sur sobre el plano ecuatorial, ver el Ejercicio 6.3.3),entonces se tendría

R T

K = µ(b) ¡ µ(a), siendo µ : [a; b] ! R una determina-

ción diferenciable del ángulo (orientado) ](U ´@=@up E

± ®; V). Atención: para

la comprobación del valor de µ(b) ¡ µ(a) no podremos utilizar la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á)) que nos ha servido para calcular la integral

R T

K : el que el polo norte ®(a) = ®(b) no pertenezca a U ”no tiene remedio” (y, de hecho,

el cálculo en dicha carta arroja el resultado: ](U ´@=@#p E

± ®; V) j(a;b)= cte:).




Ejemplo 4.23 De nuevo en el caso de la esfera M :=

f(x;y;z )

2R

3

jx2 + y2 + z 2 = r2 > 0g, la integral de la curvatura de Gauss K (= 1r2 , ver el Ejemplo 3.18) en un ”casquete esférico” R(½ M ) centrado en el polo norte y de amplitud ¢# 2 (0; ¼

2] es (ayudándonos de la carta polar ( U ; '¡1 = (#; Á))

del Ejemplo 2.15, que veri…ca R ½ U salvo un conjunto de medida nula y en la que sabemos que se tiene E = r2; F = 0 y G = r2sen2#):Z R

K :3:1:5=

Z '¡1(R)

1

r2

p EG

Teor: 2:8=

1

r2

Z 2¼

0

(

Z ¢#

0

r2sen# d#)dÁ | {z

} A(R)

= 2¼(1¡cos¢#) :

Sea ahora º 2 XM la normal unitaria exterior a la esfera y sea ® : [a; b] !M ½ E3 un camino cerrado, simple, positivo respecto de º y tal que Im ® =

@ R (la frontera de R en M ). Sea V 2 X®(M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y r-paralelo. Obsérvese que, a menos que sea ¢# = 2¼, ya no es tan fácil como en el ejemplo anterior determinar un tal V.Sin embargo, si denotamos por ¹M al cono que es tangente a M a lo largo de ®, el campo V 2 X®( ¹M ) resultará ser también (Ejercicio 6.4.8b) ¹r-paralelo.Ahora bien, un sector (abierto) de generatriz ½ y amplitud ¢Á(= 2¼) de un cono de ”abertura” a(= ¼

2 ¡ ¢#) es isométrico (Ejemplo 3.28) a un sector circular plano (abierto) de radio ½ y amplitud ¢v = ¢Á sena(= 2¼ cos¢#),donde los campos paralelos ”no giran” (Ejercicio 6.4.6). Es entonces inme-diato (!) comprobar que la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientadode V(a) a V(b) (en el polo norte ®(a) = ®(b)) resulta ser ½

£ = ¡¢v + 2¼ = 2¼(1 ¡ cos ¢#) ; si 0 < ¢# · ¼3

£ = ¡¢v = ¡2¼ cos¢# ; si ¼3 < ¢# · ¼

2

:

Resulta por tanto claro que, si A(R) · ¼r2, se cumple lo a…rmado en la

Observación 4.21(2), a saber, que £ =R

T K .El Teorema 4.20 a…rma además que, si eligiéramos una carta ortogonal

positiva de M cuyo dominio (abierto) contuviera al recinto R (cerrado) de

integración, entonces se tendría R R K = µ(b)¡µ(a), siendo µ : [a; b] ! R una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ]( @=@up

E ± ®; V). Para la

comprobación del valor de µ(b)¡µ(a) (al igual que en el ejemplo anterior, nopodemos utilizar la carta polar ( U ; '¡1)) elijamos el camino ® diferenciable y unitario (podemos hacerlo, ya que Im ® es la frontera de un casquete esférico),esto es, ®(s) := (rsen¢# cos s

rsen¢#;rsen¢#sen srsen¢#; r cos¢#), con a ´

0; b ´ 2¼rsen¢#; con ello, podremos escribir: µ = µ1 + µ2, donde µ1 :[a; b] ! R y µ2 : [a; b] ! R son determinaciones diferenciables de los ángulos

orientados ]( @=@up E

± ®; ®0) y ](®0; V), respectivamente. El cálculo de µ1(b) ¡µ1(a) puede hacerse, equivalentemente, en el dominio euclídeo de la carta

positiva (respecto de º ) elegida; aceptando sin entrar en detalles que dicha




carta lleva caminos positivos (respecto de º ) en caminos positivos en E2, el

teorema de rotación de tangentes (Observación 2.9*) permite concluir que

µ1(b) ¡ µ1(a) = 2¼ :

En cuanto al cálculo de µ2(b) ¡ µ2(a), teniendo en cuenta que º (®(s)) :=1r

(®(s))®(s), se obtiene:

µ2(b) ¡ µ2(a) =

Z 2¼rsen¢#

0

dµ

dsds

Lema 4:17(2)= = ¡

Z 2¼rsen¢#

0

·r~®0

ds

¸ds

(74)=

=

¡Z 2¼rsen¢#

0

det(®00; (º

±®); ®0) ds

(!)=

¡Z 2¼rsen¢#

0

ds

r tan¢#

=

¡2¼ cos¢# :

De lo anterior se deduce que, efectivamente:

µ(b) ¡ µ(a) = µ1(b) ¡ µ1(a) + µ2(b) ¡ µ2(a) = 2¼(1 ¡ cos¢#) =

Z R

K :

4.3 CURVATURA Y TOPOLOGIA*

Estamos ahora en condiciones de abordar algunos resultados que muestranla estrecha relación que existe entre la curvatura de una super…cie y su to-pología.

Conocemos el signi…cado y sabemos calcular (recordar 3.1.5) la integralde una función (integrable) en un subconjunto (medible) de una super…cie,siempre que el subconjunto esté contenido en un entorno coordenado. Enel caso de que la super…cie sea compacta, es posible de…nir la integral ensubconjuntos (medibles) arbitrarios y, en particular, en toda la super…cie: laidea consiste en establecer una partición de la región su…cientemente …na, deforma que cada parte esté incluida en un entorno coordenado, y en sumartodas las integrales parciales.

Uno de los resultados más profundos y paradigmáticos de la teoría glo-bal intrínseca de super…cies lo constituye el teorema de Gauss-Bonnet, querelaciona la integral de la curvatura de Gauss sobre una super…cie compactacon el ”género” (topológico) g de la super…cie.

4.3.1 Triangulaciones e integración en super…cies

Un triángulo en una super…cie M de E3 es un subconjunto T ½ M conexo, cerrado, acotado y cuya frontera topológica @T (½ T ) en M es laimagen de un camino

° : [t0; t3] ! M

diferenciable en tres trozos (respecto de una partición t0 < t1 < t2 < t3),cerrado y simple. Por lo visto en 3.1.5, todo triángulo contenido en el dominio

de una carta es medible.




Los puntos pi

´° (ti) (i = 1; 2; 3) son los vértices de T y los ”segmentos”

° ([ti¡1; ti]) (i = 1; 2; 3) los lados de T . El triángulo T se dirá geodésico sisus tres lados son imágenes de geodésicas (de M ).

Una triangulación de una super…cie M de E3 es una familia …nitaT = fT 1;:::;T ng de triángulos tal que:

(1) [ni=1T i = M

(2) Si T i \ T j 6= ; , entonces, o bien T i \ T j es un único vértice, o bien esexactamente un lado común (con sus dos vértices incluidos)

Puede probarse (!) que, en estas condiciones, se veri…ca además la pro-

piedad:

(3) Cada lado de T es exactamente intersección de dos triángulos distintosde T .

Denotaremos por nv y nl, respectivamente, el número de vértices y ladosde T . Consecuencia inmediata de (3) es que: 2nl = 3n.

Se denomina característica de Euler de la super…cie M respectode la triangulación T = fT 1;:::;T ng al entero (ver [7], 1.8):

Â

T (M ) := n + nv

¡nl

Cuando disponemos, en una super…cie M , de una triangulación T =fT 1;:::;T ng cuyos triángulos están contenidos en entornos coordenados , po-demos de…nir la integral de una función continua f : M ! R por:Z

M

f :=

nXi=1

Z T i

f ;

donde las integrales sobre los triángulos T i fueron ya de…nidas en 3.1.5. Sedemuestra (!) que el valor de esta integral es independiente de la triangula-ción

T elegida; en particular, es independiente de que los triángulos sean o

no geodésicos.

4.3.2 Teorema de Gauss-Bonnet

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. Dado un triángulo T en M ,

elijamos un camino regular en tres trozos ° que parametrice su borde @T . Enestas condiciones, se denominan ángulos externos a los ángulos (orientadospor la normal º y dentro de la determinación (¡¼; ¼]):

"i := ](° 0i(ti); ° 0i+1(ti)) 2 (¡¼; ¼] (i = 1; 2; 3 ; ° 4 ´ ° 1) ;

y se denominan ángulos internos a los ángulos (no orientados):




¶i := ¼ ¡ "i 2 [0; 2¼) (i = 1; 2; 3) :

En la geometría del plano euclídeo, la suma de los ángulos internos deun triángulo vale ¼ radianes. En una super…cie arbitraria, es intuitivo (yfácil de probar rigurosamente) que, si tomamos el triángulo su…cientementepequeño, podemos conseguir que la suma de sus ángulos internos no sea muydistinta de ¼ radianes, lo que motiva la siguiente

De…nición 4.24 Sea M una super…cie de E3 con curvatura de Gauss K .Diremos que un triángulo T en M es pequeño si está contenido en el dominio

de un sistema de coordenadas ortogonales y si se veri…ca:¯̄̄̄Z T

K ̄̄̄̄ < ¼ y j¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼j < ¼ .

Vamos a ver que la suma de los ángulos internos de un triángulo geodésicopequeño excede a ¼ radianes en un valor que coincide con la integral de lacurvatura de Gauss sobre la super…cie del triángulo:

Teorema 4.25 (Gauss) Sea M una super…cie de E3 con curvatura de Gauss K y sea T un triángulo geodésico pequeño en M . Se tiene:Z

T

K = ¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼

Demostración. Sea T un triángulo geodésico pequeño en M . Así,T estará contenido en el dominio U de un sistema de coordenadasortogonales ( U ; '¡1 ´ (u; v)). Elijamos como normal unitaria (quedetermina la elección del sentido positivo en la medición de ángulos)º ': = @=@u£@=@vp

EG2 X U y como sentido de recorrido (para el camino

regular a trozos ° que parametriza el borde @ T de T en M ) el positivo

respecto de º ' (esto es, tal que (º ' ± ° i) £ ° 0i apunte hacia el interiorde T , para cada i = 1; 2; 3). Tomaremos cada ° i ´ ° j[ti¡1 ;ti] (i =1; 2; 3) geodésica y parametrizada por la longitud de arco.

Sea V 2 Xjj° (M ) cualquier campo (a lo largo de ° y tangente a

M ) unitario y paralelo y sea µV : [t0; t3] ! R una determinacióndiferenciable del ángulo (orientado) ](U ´ @=@up

E ± °; V) (recordar

Lema 4.17(1)).

Para cada i = 1; 2; 3, consideremos el campo (a lo largo de ° i ytangente a M ) unitario y paralelo ° 0i 2 X

jj° i (M ) y sea µ° 0

i: [ti¡1; ti] !

R una determinación diferenciable del ángulo (orientado)](U; ° 0i

), de




forma que, una vez elegida la determinación de µ° 01sin restricciones,

µ° 02 y µ° 03 veri…quen:½µ° 01

(t1) = µ° 02(t1) ¡ "1 (en el vértice p1)

µ° 02(t2) = µ° 03

(t2) ¡ "2 (en el vértice p2);

como no podemos predeterminar lo que ocurrirá en el vértice p3, noslimitaremos a escribir

µ° 03(t3) = µ° 01

(t0) ¡ "3 + 2k¼ ; para cierto kentero .

Se sigue de la Proposición 4.19(2) que (para cada i = 1; 2; 3):

dµVdt =

dµ° 0i

dt ; ) µV(ti)¡µV(ti¡1) = µ° 0i(ti)¡µ° 0i (ti¡1) (¤) ;

con lo cual resulta:Z T

K Teor: 4:20

= µV(t3) ¡ µV(t0) ´3X

i=1

(µV(ti) ¡ µV(ti¡1))(¤)=

=¡

µ° 03(t3) ¡ µ° 0

3(t2)

¢+¡

µ° 02(t2) ¡ µ° 0

2(t1)

¢+¡

µ° 01(t1) ¡ µ° 0

1(t0)

¢´´¡µ° 01

(t1) ¡ µ° 02(t1)

¢ |

{z } ¡"1

+¡

µ° 02(t2) ¡ µ° 03

(t2)¢

| {z } ¡"2

+¡

µ° 03(t3) ¡ µ° 01

(t0)¢

|

{z } ¡"3+2k¼

=

= ¡"1¡"2¡"3+2k¼ = ¶1+¶2+¶3¡¼+2(k¡1)¼ ; con k entero .En principio, ¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼ 2 [¡¼; 5¼). Pero, al haberse supuestoT pequeño, debe veri…carse¯̄̄̄Z

T

K ̄̄̄̄ < ¼ y j¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼j < ¼ ;

se sigue que debe ser k = 1 y así resulta:R

T K = ¶1+ ¶2+ ¶3¡¼

Usaremos ahora sin demostración el siguiente resultado:

Proposición 4.26 Sobre una super…cie M de E3 compacta existe siempre alguna triangulación T formada por triángulos geodésicos pequeños

Estamos ya en condiciones de probar el resultado fundamental de estasección:

Teorema 4.27 (Gauss-Bonnet) Sea M una super…cie de E3 compacta y sea T una triangulación de M formada por triángulos geodésicos pequeños.

Se tiene entonces: Z M

K = 2¼ÂT (M ) ;

siendo K : M

!R la curvatura de Gauss de M y Â

T la característica de

Euler de M respecto de T .




Demostración. Si ®i, ¯ i, ° i son los ángulos internos del triángulo

T i de T = fT 1;:::;T ng, del Teorema 4.25 se sigue:Z M

K :=nX

i=1

Z T i

K =nX

i=1

(®i + ¯ i + ° i) ¡ n¼ :

Pero es evidente que se veri…ca

nXi=1

(®i + ¯ i + ° i) = 2¼nv ;

además se tiene (por la propiedad (3) de las triangulaciones): 2nl =3n.

Con todo lo cual se concluye:Z M

K = 2nv¼ ¡ n¼ = (2n + 2nv ¡ 2nl)¼ =: 2¼ÂT (M )

Observación 4.28 La condición de que los triángulos de T (supuesto que

todos ellos estén contenidos en entornos coordenados, par poder de…nir las integrales) sean geodésicos y pequeños no es necesaria para la validez del teorema. Para convencerse de ello, basta:

(a) observar (por consideraciones elementales) que un re…namiento T 0 de

T (en donde cada T i 2 T se subdivide en triángulos T 0 j 2 T 0) da la misma característica de Euler para la super…cie compacta M .

(b) recordar (apartado 4.3.1) que la integral R

M K no depende de la trian-

gulación elegida para calcularla.

De lo anterior, se deduce:

Corolario 4.29 Sea M una super…cie de E3 compacta. La característi-ca de Euler ÂT (M ) no depende de la triangulación

T que se utilice para

calcularla

Ejemplo 4.30 Resulta inmediato comprobar en la esfera M (de radio r) la validez de los Teoremas 4.25 y 4.27, utilizando por ejemplo una triangulación T = fT 1;:::;T 8g de M por triángulos octantes geodésicos. En efecto, se tiene (para cada i = 1;:::; 8):

R T i

K = 1r2

A(T i) = ¼2

y ®i + ¯ i + ° i ¡ ¼ = ¼2

; por otra parte, ÂT (M ) := (n + nv ¡ nl) = 8 + 6 ¡ 12 = 2.




4.3.3 Super…cies topológicas de R3

La característica de Euler Â(M ) puede de…nirse a nivel topológico y es de he-cho invariante por homeomor…smos. Recordaremos ahora algunos resultadossobre clasi…cación de super…cies topológicas, que ponen de relieve el alcancedel Teorema 4.27.

Una super…cie topológica de R3 es un subconjunto M de R3 con lapropiedad de que, por cada punto p 2 M , existen abiertos U de R2 y U de M (con p 2 U ) y existe una aplicación ' :U! U , llamada ”parame-trización local”, a la que sólo se le exige ser un homeomor…smo. Puedende…nirse entonces, a este nivel, los conceptos de triángulo T , triangulación T y característica Â

T (M ). El resultado fundamental es el siguiente:

Teorema 4.31 Una super…cie topológica M de R3 compacta siempre admite una triangulación T . Además se tiene:

1. Si T y T 0 son dos triangulaciones de M , entonces ÂT (M ) = ÂT 0(M );este número entero, denotado por Â(M ), se denomina característica de Euler de M .

2. Existe un entero no negativo g(M ), llamado género (topológico) deM , de forma que Â(M ) = 2 ¡ 2g(M ). Intuitivamente, el género es el número de ”agujeros” de M , entendiendo que la esfera no tiene aguje-ros, el toro tiene un agujero, etc.

3. Dos super…cies topológicas M y ¹M de R3 conexas y compactas son homeomorfas si y sólo si tienen la misma característica de Euler

El resultado del Corolario 4.29 es entonces inmediata consecuencia delapartado 1 de este teorema. Y de los apartados 2 y 3 se deduce, por ejemplo:

Corolario 4.32 Si M es una super…cie (diferenciable) de E3 conexa, com-pacta y con curvatura de Gauss K ¸ 0, entonces M es homeomorfa a una

esfera.

Demostración. Puede probarse (ver Ejercicio 6.3.11c) que, por sercompacta, M posee (al menos) un punto elíptico, con lo que K no esidénticamente nula. Entonces se tiene:

0 <

Z M

K Teor: 4:27

= 2¼Â(M ) ;Teor: 4:31(2))

) Â(M ) = 2 ;Teor: 4:31(3)) M es homeomorfa a una esfera



5 APÉNDICES 126

5 APÉNDICES

5.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIOEUCLÍDEO

5.1.1 Aplicaciones en un espacio euclídeo. Demostración de laProposición 1.5

(Ver por ejemplo [8], Cap. 22):Dentro del apartado 1, probemos (v) ) (i): Si Ã preserva productos

escalares, entonces, 8~ » 1; ~ » 2 2 En y 8¸1; ¸2 2 R, se tiene (usando cualquierbase ortonormal (~a1; : : : ;~an)):

<Ã(¸1~ » 1 + ¸2

~ » 2) ¡ ¸1 Ã(~ » 1) ¡ ¸2 Ã(~ » 2) ; Ã(~ai)>(v)=

=< ¸1~ » 1 + ¸2

~ » 2 ; ~ai > ¡¸1 < ~ » 1; ~ai > ¡¸2 < ~ » 2; ~ai >= 0 (i = 1; :::n) ;

ahora bien, puesto que n vectores unitarios que no generen todo En no puedenser mutuamente ortogonales, se deduce que (Ã (~a1) ; : : : ; Ã (~an)) también esuna base ortonormal; y de ahí se concluye:

Ã(¸1~ » 1 + ¸2

~ » 2) ¡ ¸1 Ã(~ » 1) ¡ ¸2 Ã(~ » 2) = 0 :

Y probemos (i) + (iii) ) (v) :

< Ã(~ » 1); Ã(~ » 2) >´ 1

2

³j Ã(~ » 1) + Ã(~ » 2) j2 ¡ j Ã(~ » 1) j2 ¡ j Ã(~ » 2) j2

´(i)+(iii)

=

=1

2

³j ~ » 1 + ~ » 2 j2 ¡ j~ » 1 j2 ¡ j ~ » 2 j2

´´< ~ » 1;~ » 2 > ; 8~ » 1;~ » 2 2 En :

Los apartados 2 y 4 son inmediatos. Probemos 3:

j Ã(~ » ) j (i)= j Ã(~ » ) ¡ Ã(~ 0) j=: d(Ã(0); Ã(» ))

(iv)= d(0; » ) :=j ~ » j

El apartado 5 (si la aplicación Ã preserva productos escalares, entonceses lineal e inyectiva y, por tanto, un isomor…smo) es simplemente la unión de1, 2 y 4.

Finalmente probemos 6:

< Ã(~ » 1); Ã(~ » 2) >´ 1

2

³¡ j Ã(~ » 1) ¡ Ã(~ » 2) j2 + j Ã(~ » 1) j2 + j Ã(~ » 2) j2

´(iv)+(iii)

=

=1

2

³¡ j ~ » 1 ¡~ » 2 j2 + j ~ » 1 j2 + j ~ » 2 j2

´´< ~ » 1; ~ » 2 >



5 APÉNDICES 127

5.1.2 Invariancia de las curvaturas de una curva alabeada. De-

mostración de la Proposición 1.22Probemos 1. Sea s el parámetro de ~® = ® ± f :J ! En.

(a) Vamos a ver primero que, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de®, entonces la referencia de Frenet (eE1;:::; eEn) de ~® veri…ca:eEi = Ei ± f (i = 1;:::;n) :

Haremos la demostración para los casos n = 2 y n = 3 (la demostración paran arbitrario sigue las mismas pautas, aunque resulta algo más tediosa):

(Caso n = 2. Introduzcamos las notaciones T

É1 y N

É2). En

efecto, se tiene:

e"1 := ~®0Prop: 1:13(1)

=df

ds(®0 ± f ) =

df

ds("1 ± f ) ;

df ds

>0) eT = (T ± f ) ;

al ser (T; N) y (eT = T ± f; eN) bases ortonormales positivas, se sigue:

det (T ± f; N ± f ) |

{z

} 1

=det³eT; eN´ |

{z } 1

= det³

T ± f; eN´ ; ) eN = (N ± f ) :

(Caso n = 3. Introduzcamos las notaciones T

É1; N

É2 y B

É3).

En efecto, se tiene:

e"1 := ~®0Prop: 1:13(1)

=df

ds(®0 ± f ) =

df

ds("1 ± f ) ;

df

ds>0) eT = (T ± f ) ; )

) e"2 := ~®00¡ < ~®00; eT > eT Prop: 1:13(2)=

µ(

df

ds)2 (®00 ± f ) +

d2f

ds2(®0 ± f )

¶¡

¡ <

µ(

df

ds)2 (®00 ± f ) +

d2f

ds2(®0 ± f )

¶; T ± f > T ± f

®02Span(E1)=

= (df

ds

)2 (®00

±f )

¡< (

df

ds

)2 (®00

±f ) ; T

±f > T

±f =: (

df

ds

)2 ("2

±f ) ;

) eN = (N

±f ) ;

al ser (T; N; B) y (eT = T ± f; eN = N ± f; eB) bases ortonormales positivas,se sigue:

det (T ± f; N ± f; B ± f ) |

{z } 1

=det³eT; eN; eB´ | { z }

1

= det³

T ± f; N ± f; eB´ ; ) eB = (B ± f ) :

(b) Una vez probado que eEi = Ei ± f (i = 1;:::;n), se deduce (8i =1;:::;n ¡ 1):

~!i+1;i :=< eEi+1; eE0i >=< Ei+1 ± f; (Ei ± f )0 >Prop: 1:13(2)=



5 APÉNDICES 128

=df

ds< Ei+1

±f; E

0i

±f >=:

df

ds(! i+1;i

±f ) ;

)) ~·i :=

~!i+1;i

j~®0jProp: 1:13(1)

=df ds

(!i+1;i ± f )¯̄df ds

¯̄j®0 ± f j = ·i ± f :

Probemos 2. Sea t el parámetro de ~® := A ± ® : I ! En y sea A la parte

lineal (ortogonal) del movimiento directo A (ver 1.1.4).

(a) Vamos a ver primero que, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de®; entonces la referencia de Frenet (

eE1;:::;

eEn) de ~® veri…ca:

eEi(t) = (A ~ E i(t))~®(t) (i = 1;:::;n) :

Haremos la demostración para los casos n = 2 y n = 3 (la demostración paran arbitrario sigue las mismas pautas, aunque resulta algo más tediosa):

(Caso n = 2 Como antes, introduzcamos las notaciones T ´ E1 y N ´ E2).En efecto, se tiene:

¡!~" 1 := d ~®=dt

Prop: 1:12= A (d®=dt) ;

A2O(n))¡!~T = A~ T ;

al ser (~ T ; ~ N ) y (¡!

~T = A ~ T ;¡!~N ) bases ortonormales positivas, se sigue:

det³

~ T ; ~ N ́ | { z } 1

= detµ

A ~ T ;¡!~N ¶

| { z } 1

=det A |{z

} 1

¢ det( ~ T ; A¡1¡!~N ) ; )¡!~N = A ~ N :

(Caso n = 3. Como antes, introduzcamos las notaciones T ´ E1; N ´ E2

y B ´ E3). En efecto, se tiene:

¡!~" 1 := d~®=dt

Prop: 1:12= A (d®=dt) ;

A2O(n))¡!~T = A~ T ; )

) ¡!~" 2 :=

d2~®

dt2 ¡ <

d2~®

dt2 ; ¡!~T > ¡!~T

Prop: 1:12

= = Aµd2®

dt2 ¶¡ < Aµd2®

dt2 ¶ ; A~ T > A~ T =

A2O(n)= A

µd2®

dt2¡ <

d2®

dt2; ~ T > ~ T

¶=: A (~"2) ; )

¡!~N = A ~ N ;

al ser (~ T ; ~ N; ~ B) y (¡!~T = A ~ T ;

¡!~N = A ~ N ;

¡!~B ) bases ortonormales positivas,

se sigue:

det³

~ T ; ~ N; ~ B´

|

{z

} 1

=det

µA~ T ; A ~ N;

¡!~B

¶

| {z } 1

=det A

|

{z} 1

¢ det( ~ T ; ~ N; A¡1¡!~B ) ; )¡!

~B = A ~ B:



5 APÉNDICES 129

(b) Una vez probado que eEi(t) = (A ~ E i(t))~®(t) (i = 1;:::;n), se deduce

(para i = 1;:::;n ¡ 1):

~!i+1;i :=< eEi+1; eE0i >

1:2:2= <

¡!~E i+1;

d

dt

¡!~E i >=< A ~ E i+1;

d

dt(A ~ E i) >

A2O(n)=

=< ~ E i+1;d

dt~ E i >1:2:2= < Ei+1; E

0i >=: !i+1;i ; )

) ~·i :=~!i+1;i

j~®0j =! i+1;i¯̄A( d®

dt )¯̄ =

!i+1;i

j®0j = ·i

5.1.3 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales*

Sea A = (Aij) una matriz cuadrada cuyas entradas Aij : I ! R son funcionesdiferenciables, de…nidas en un intervalo abierto I de R. Se considera elsistema de ecuaciones diferenciales (de 1er. orden):0@ d'1

dt(t)

¢ ¢ ¢d'n

dt(t)

1A = A(t)

0@ '1(t)¢ ¢ ¢

'n(t)

1A . (75)

Estos sistemas de ecuaciones diferenciales se llaman lineales porque, en laintersección de los dominios de dos soluciones, cualquier combinación lineal

de éstas con coe…cientes reales es también solución.La teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales (ver Apéndice

5.2.2*) asegura que, para cada t0 2 I y cada ~ » 2 Rn, existe una solución~ ' ´ ('1; : : : 'n) : J ! Rn de (75), tal que t0 2 J (abierto ½ I ) y ~ '(t0) =~ » (”condición inicial”). Por otra parte, si ~ Ã es cualquier solución de (75)veri…cando la misma condición inicial ~ Ã(t0) = ~ » , entonces ~ ' y ~ Ã coinciden enla intersección de sus dominios. Esto último conduce a la noción de solución maximal (para la citada condición inicial), que es única. Este resultado seusa en el apartado 4.2.2 al hablar de geodésicas en super…cies.

Ahora bien, la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

asegura además que el dominio de cualquier solución maximal de (75) es todoel intervalo I (esto se expresa también diciendo que ”cualquier solución ma-ximal es global”). Resulta de ello que el conjunto © de soluciones maximalesdel sistema (75) es un R-espacio vectorial. Por otra parte, …jado cualquiert0 2 I , y como consecuencia de esta unicidad y (respectivamente) existenciade solución global del sistema lineal (75) de ecuaciones diferenciales de 1er.orden (para cualquier condición inicial ~ '(t0)), la aplicación lineal:

© 3 ~ ' 7! ~ '(t0) 2 Rn

resulta ser inyectiva y (respectivamente) suprayectiva, esto es, resulta ser

un isomor…smo lineal. Como consecuencia, el R-espacio vectorial © posee



5 APÉNDICES 130

dimensión n. Este resultado se usa en la demostración (Apéndice 5.1.4*) del

teorema fundamental de la teoría de curvas en E3 y también en el apartado4.2.1 al hablar del transporte paralelo en super…cies.

5.1.4 Curvas alabeadas en el espacio. Demostración del Teorema1.29 (teorema fundamental)*

(ver por ejemplo [5], 1.5 y 4.Apéndice):Con la notación: 8

<:~ T ´ ('1; '2; '3)~ N ´ ('4; '5; '6)~ B

´('

7; '

8; '

9)

;

la parte vectorial de las fórmulas de Frenet (para curvas parametrizadas porla longitud de arco) 8<:

d ~ T=ds = · ~ N

d ~ N=ds = ¡· ~ T +¿ ~ B

d ~ B=ds = ¡¿ ~ N

(76)

constituye un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma

0@ d'1=ds

¢ ¢ ¢d'9=ds

1A = A0@ '1

¢ ¢ ¢'9

1A ;

donde los coe…cientes de la matriz A dependen diferenciablemente del pa-rámetro s 2 I y son conocidos a partir de las funciones · y ¿ . Usando elresultado del Apéndice 5.1.3 se concluye que, al …jar

~a ´ (³ 1; ³ 2; ³ 3; ´1; ´2; ´3; Â1; Â2; Â3) 2 R9 ;

existe una única solución maximal ~ '~a : I ! R9 de dicho sistema lineal y tal

que ~ '~a

(0) = ~a , lo que signi…ca que existen curvas vectoriales únicas ~ T ; ~ N ;~ B : I ! E

3 que veri…can las ecuaciones de Frenet (76) y tales que³~ T (0); ~ N (0); ~ B(0)

´= (~ ³; ~́ ; ~Â) :

Veamos que la tripleta (~ T ; ~ N , ~ B) constituye una base ortonormal móvil delespacio vectorial euclídeo E3. Para ello, consideremos las derivadas de sus



5 APÉNDICES 131

productos escalares que, de acuerdo nuevamente con (76), deben veri…car8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

dds

D~ T ; ~ T

E= 2·

D~ T ; ~ N

Ed

ds

D~ T ; ~ N

E= ·

D~ N; ~ N

E¡ ·

D~ T ; ~ T

E+ ¿

D~ T ; ~ B

Ed

ds

D~ T ; ~ B

E= ·

D~ T ; ~ B

E¡ ¿

D~ T ; ~ N

Ed

ds

D~ N; ~ N

E= ¡2·

D~ T ; ~ N

E+ 2¿

D~ N; ~ B

Ed

ds

D~ N; ~ B

E= ¡·

D~ T ; ~ B

E+ ¿

D~ B; ~ B

E¡ ¿

D~ N; ~ N

Ed

ds

D~ B; ~ B

E= ¡2¿

D~ N; ~ B

E

;

ello da lugar, escribiendoD~ T ; ~ T

E´ Á1;

D~ T ; ~ N

E´ Á2;

D~ T ; ~ B

E´ Á3;

D~ N; ~ N

E´ Á4;

D~ N; ~ B

E´ Á5 y

D~ B; ~ B

E´ Á6;

a un nuevo sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma0@ dÁ1=ds

¢ ¢ ¢dÁ6=ds

1A = B

0@ Á1

¢ ¢ ¢Á6

1A ;

para el que (Á1 ´

1 ; Á2 ´

0 ; Á3 ´

0 ; Á4 ´

1 ; Á5 ´

0 ; Á6 ´

1) es soluciónmaximal (Apéndice 5.1.3) con condición inicial (1; 0; 0; 1; 0; 1) y, por la uni-cidad de la solución maximal, la tripleta de curvas vectoriales ( ~ T ; ~ N , ~ B) esortonormal.

Una vez determinada ~ T : I ! E3, sólo queda calcular su integral. Así, lacurva

®(s) = p +

Z s

0

~ T (s)ds

es la única curva alabeada I ! E3; parametrizada por la longitud de arco,

con curvatura · y torsión ¿ , y veri…cando ®(0) = p; T(0) = ³ ; N(0) = ´ yB(0) = Â

5.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN

5.2.1 Diferenciabilidad de las componentes locales de un campotangente. Demostración del Lema 2.32

Veamos que, en efecto, las funciones V 'i (i = 1; 2), de…nidas por (32) y cuyo

cálculo, en cada caso concreto, se efectúa resolviendo directamente el sistemalineal (33), son diferenciables: Sea p 2 U . Sean la extensión diferenciable© : (R3 ¾)U £ R ! R

3 de ' y los entornos A( ½ U£R) de ('¡1( p); 0) yB(

½R

3) de p construidos en el Lema 2.17(1).



5 APÉNDICES 132

Para cada i = 1; 2; 3, denotemosµ @

@ui

¶ p

´ d© j('¡1( p);0)

µ @

@ui

¶('¡1( p);0)

(18)=

3X j=1

@ © j

@ui('¡1( p); 0)

µ @

@ x j

¶ p

;

debido a que © jU£f0g= ' , esta notación coincide, para i = 1; 2, con la quevenimos usando desde (25). Al ser © jA: A ! B un difeomor…smo, se tiene:µ

@

@x j

¶ p

=3X

i=1

@ ©¡1i

@x j( p)

µ@

@ui

¶ p

( j = 1; 2; 3) :

Pues bien, de las igualdades en p

3X j=1

V i( p)µ @

@x j

¶ p

= V( p)(32)=

2Xi=1

V 'i ( p)µ @

@ui

¶ p

se deduce inmediatamente

V 'i ( p) =3X

j=1

@ ©¡1i

@x j( p) V j( p) (i = 1; 2) ;

y de la arbitrariedad del punto p 2 U resulta:

V '

i =

3X j=1

@ ©¡1i@x j V jj U (i = 1; 2) ;

de donde se deduce que las V 'i (i = 1; 2) son de hecho diferenciables

5.2.2 Curvas integrales de un campo*

Sea X 2 X(U) un campo de vectores sobre un abierto U de Rn. Una curva® : J ! U se dice curva integral de X si X(®(t)) = ®0(t) para todo t 2 J .

Tomando enRn coordenadas (x1;:::;xn) y escribiendo ®(t) ´ (®1(t);:::;®n(t))

y ~ X ´ (X 1;:::;X n), la condición necesaria y su…ciente para que ® sea curva

integral de X es que las funciones ®i(t) veri…quen el sistema de ecuacionesdiferenciales (de 1er. orden)

d®i

dt(t) = X i(®1(t);:::;®n(t)) (i = 1;:::;n) :

La teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales asegura que(”existencia y unicidad de solución maximal”), para cada t0 2 R y cada p 2 U, existe una curva integral ® : J ! U de X tal que t0 2 J y ®(t0) = p(”condición inicial”). Por otra parte, si ¯ es cualquier curva integral de X

veri…cando la misma condición inicial ¯ (t0) = p, entonces ® y ¯ coinciden enla intersección de sus dominios. Esto último conduce a la noción de curva

integral maximal (para la citada condición inicial), que es única.



5 APÉNDICES 133

Más aún: se puede demostrar (”dependencia diferenciable de la solu-

ción respecto de las condiciones iniciales”) que, para cada t0 2 R ycada p 2 U , existen8<:

un entorno J (½ R) de t0un entorno V(½ U) de puna función diferenciable Ã : V£ J ! U

tales que, 8q 2 V, la función Ã(q; ¢) : J ! U es una curva integralde X con Ã(q; t0) = q: Pero no lo usaremos en este curso.

Si el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal , esto es (Apéndice 5.1.3),

es de la forma

X i(®1(t);:::;®n(t)) =nX

j=1

Aij(t)® j(t) (i = 1;:::;n) ;

con Aij 2 F(I ) (i; j = 1;:::;n), para cierto I ½ Rn, se obtiene J = I .

Para el caso lineal, ya hemos usado este resultado en el Apéndice 5.1.4 yvolveremos a usarlo en el apartado 4.2.1 al hablar del transporte paralelo ensuper…cies. En el caso general, lo usaremos en el apartado 4.2.2 al hablar degeodésicas en super…cies.

5.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

5.3.1 Coordenadas ortogonales. Demostración de la Proposición3.7*

Sea ( U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M en torno a p. Sean E; F ; G los coe…-cientes de la primera forma fundamental de M en esta carta. Consideremoslos campos U1 := @

@u ; U2 := ¡F E

@ @u + @

@v 2 X( U ), que son linealmente inde-pendientes y ortogonales en todo U . Vamos a probar que existe una carta( U ; ¹'¡1 = (¹u; ¹v)) de M en torno a p de foma que U1 j U es proporcional a

@=@ ¹u yU

2 j U es proporcional a @=@ ¹v (con lo que se tendrá: <

@

@ ¹u;

@

@ ¹v >= 0).Y en efecto (ver [5], 3.4, Teorema): Utilizaremos el resultado del Apéndice5.2.2 sobre dependencia diferenciable (respecto de las condiciones iniciales)de las curvas integrales de un campo. Para cada i = 1; 2, y al ser Ui( p) 6= ~ 0 p,puede probarse (ver [5], 3.4, Lema) que existen½

un entorno Di(½ U ) de p

una función diferenciable f i : Di ! R

tales que

½ para todo q 2

'¡1(D

i) , rg(D(f i±

')(q )) = 1

para toda curva integral ®i de Ui jDi , f i ± ®i = cte:



5 APÉNDICES 134

(se llama a f i una ”integral primera” del campo Ui

jDi

).

Además, al ser U1( p) y U2( p) linealmente independientes, se ve inmedia-tamente que la aplicación

f := (f 1; f 2) jD1\D2 : D1 \ D2 ! R2

veri…ca det(D(f ± ')('¡1( p))) 6= 0. Por el Teorema de la función inversa(Teorema 2.3), existen entornos A(½ '¡1(D1 \ D2)) de '¡1( p) y B(½ R

2)de f ( p) tales que (f ± ')(A) = B y (f ± ') jA: A ! B es un difeomor…smo.Por tanto, f j'(A): '(A)! B es un difeomor…smo.

Sea U := '(A) ½ D1 \ D2 y sean ¹u := f 2 j U ; ¹v := f 1 j U . Se sigue que(

U ; ¹'¡1 := (¹u; ¹v)) es una carta en torno a p y que se veri…ca:½

para toda curva integral ®1 de U1 j U , ¹v ± ®1 = cte:para toda curva integral ®2 de U2 j U , ¹u ± ®2 = cte:

;

lo que signi…ca que U1(¹v) = 0 y U2(¹u) = 0; escribiendo U1 j U y U2 j U comocombinaciones F( U )-lineales de @=@ ¹u y @=@ ¹v , se deduce que, en realidad,U1 j U es proporcional a @=@ ¹u y U2 j U es proporcional a @=@ ¹v

5.3.2 Aplicaciones autoadjuntas. Demostración de la Proposición3.17

Sea b = (e1;:::;en) una base cualquiera de E y escribamos8<:L(b) = bLb ; ) (Lv)b = Lbvb

< Lv;w >= vT b LT

b <; >b wb

B(v; w) = v T b Bbwb

;

para simbolizar8<:

L(ei) =Pn

j=1 e jL ji ; ) (Lv)i =Pn

j=1 Lijv j

< Lv; w >=Pn

i;j;k=1 viL ji < e j; ek > w k

B(v; w) = Pni;j=1 viBijw j

;

respectivamente.Que B sea la forma bilineal asociada a L equivale por tanto a que se

veri…que:

Bb = LT b <; >b ; para alguna (y toda) base b de E (¤) ;

por otra parte, que L sea autoadjunta equivale a que se veri…que

LT b <; >b=<; >b Lb ; para alguna (y toda) base b de E (¤¤) :

Probemos 1. Se deduce de (¤¤) que la autoadjuntía de L es equivalente a

que se veri…que:



5 APÉNDICES 135

LT b = Lb ; para alguna (y toda) base ortonormal b de E :

Probemos 2. Se deduce de (¤) y (¤¤) que la autoadjuntía de L es equiva-lente a que se veri…que:

Bb =<; >b Lb ; para alguna (y toda) base b de E :

Probemos 3. De < Lv;w >=< v; Lw >; 8v; w 2 E, se deduce: (1) que elsubespacio ortogonal a un subespacio L-invariante es también L-invariante(inmediato); y también (2) que L posee un autovector (no nulo).

Veamos esto último: se puede ver en tres fases:

(a) Un vector v 2 E se dice que es L-maximal si es unitario y sijLvj ¸ jLwj, para todo w unitario. Al ser el conjunto de vectoresunitarios compacto y la aplicación E 3 v 7! jLvj 2 R continua,existen (teorema del máximo) vectores que son L-maximales.

(b) Se de…ne jLj := jLvj, para cualquier v L-maximal. Si v 2 E esL-maximal, se tiene:

jLj2 :=< Lv; Lv >L autoadjunta

= < L2v;v >Schwartz· ¯

¯L2v

¯¯

jvj

|{z} 1

w´Lv´¯̄

¯̄L

w

jwj¯̄

¯̄jwj v es L¡max:·

· jLvj2 =: jLj2 ; ) < L2v;v >= ¯̄L2v¯̄ ; Schwartz) L2v = jLj2 v :

(c) Tomando v 2 E que sea L-maximal, se tiene:

L(Lv¡jLj v)(b)= ¡ jLj (Lv¡jLj v) ; )

½o bien Lv ¡ jLj v es L-autovectoro bien v es L-autovector :

De donde se sigue inmediatamente la conclusión.Probemos 4. De acuerdo con (¤), basta tomar Lb := BT

b (= Bb), para todabase ortonormal b de E

5.3.3 Indicatriz de Dupin*Sea p un punto de una super…cie orientada (M; º ) de E3. Sean k1( p) y k2( p)

las curvaturas principales en p. Sea (»1; »2) una base ortonormal de T pM .Un vector genérico » 2 T pM se puede escribir: » = ¸1»1 + ¸2»2, para ciertosnúmeros ¸1; ¸2 2 R . El conjunto

D p := f» 2 T pM j H p(»; ») = §1g = f¸1»1+¸2»2 j k1( p) ¸21 + k2( p) ¸2

2 = §1gse denomina indicatriz de Dupin de (M; º ) en p. Se deduce de (49) que,si » 2D p , se veri…ca: ·º (») = § 1= j » j2 :

La indicatriz de DupinD

p codi…ca el carácter (3.3.5) del punto p, ya que p resulta ser:



5 APÉNDICES 136

(1) hiperbólico si y sólo si

D p consiste en un par de hipérbolas. En tal caso,

las asíntotas tienen direcciones ¸1»1 + ¸2»2 2 T pM de…nidas por laecuación k1( p) ¸2

1 + k2( p) ¸22 = 0.

(2) parabólico si y sólo si D p consiste en un par de rectas distintas.

(3) elíptico si y sólo si D p es una elipse.

(4) plano si y sólo si D p es vacío.

(5) umbílico (y no plano) si y sólo si D p es una circunferencia.

En efecto:

1. En este caso, K ( p) < 0 ; , k1( p) > 0 > k2( p). Entonces:

D p = f¸1»1 + ¸2»2 j ¸21

1=k1( p)¡ ¸2

2

1= j k2( p) j = §1g :

2. En este caso, K ( p) = 0 y (s.p.d.g.) k1( p) 6= 0 ; , k1( p) > 0 =k2( p). Entonces:

D p = f¸1»1 + ¸2»2 j k1( p)¸21 = 1g :

3. En este caso, K ( p) > 0 ; , (s.p.d.g.) k1( p) ¸ k2( p) > 0.Entonces:

D p = f¸1»1 + ¸2»2 j ¸21

1=k1( p)+

¸22

1=k2( p)= 1g :

4. En este caso, k1( p) = k2( p) = 0. Entonces D p es vacío.

5. En este caso k1( p) = k2( p) 6= 0 y (s.p.d.g.) k1( p) = k2( p) > 0.Entonces:

D p = f¸1»1 + ¸2»2 j ¸21 + ¸22 = 1=k1( p)g

Supongamos que la base ortonormal (»1; »2) de T pM está además adap-tada a (M; º ) en p (esto es, es además positiva respecto de º y está formadapor autovectores de L p; ver 3.3.2). Elijamos como coordenadas (x;y;z ) enE3 las dadas por la referencia cartesiana con origen p = (0; 0; 0) y con baseortonormal (~ » 1; ~ » 2; ~º ( p)) y consideremos la carta ( U ; '¡1 = (u; v)) inducida(3.3.4) en torno a p por la tripleta (»1; »2; º ( p)).

Dado un número " > 0 , consideremos el conjunto (que puede ser vacío)

C " := U \ fz = §"2g = f(u; v) 2 U j h p(u; v) = §"2g ;



5 APÉNDICES 137

resulta evidente la importancia del conjunto C " (para " pequeño) a …n de

obtener información sobre la forma de la super…cie M alrededor del punto p.Pues bien: supuesto que el punto p no sea plano, y para cada valor de "

su…cientemente pequeño, el conjunto C " resulta ser (hasta el segundo orden)homotético (con factor 1=

p 2") a la indicatriz de Dupin.

En efecto: consideremos el desarrollo de Taylor truncado de la fun-ción h p en un punto (u; v) 2 U cercano a p = (0; 0) (notaciones comoen 3.3.4):

h p(u; v) =h p( p) |{z

} 0

+0@p( p) |{z} 0

u+ q( p) |{z} 0

v1A+

1

2 0B@r( p) |{z} k1( p)

u2

+ 2 s( p) |{z} 0

uv+ t( p) |{z} k2( p)

v21CA+::: =

=1

2(k1( p)u2 + k2( p)v2) + ::: =

1

2H p(»u;v; »u;v) + ::: ;

donde »u;v ´ u»1 + v»2 2 T pM . Se sigue que

C " = f(u; v) 2 U j H p(»u;v; »u;v) + ::: = §2"2g :

Comparando con la de…nición de la indicatriz de Dupin D p se concluyeque: a menos de términos de orden 3 (y superior) en las coordenadas

u; v (y supuesto que los términos de orden 2 no se anulen, esto es,supuesto que p no sea plano), el conjunto C " es homotético (con factor1=

p 2") a la indicatriz de Dupin

5.3.4 Rigidez de la esfera. Demostración del Teorema 3.33 (Hilbert-Liebmann)*

La demostración depende de tres resultados preliminares, el segundo de loscuales es de tipo técnico y el tercero es una importante caracterización de laesfera.

Resultado 1: Toda super…cie deE3

compacta posee (al menos) un puntoelíptico (Ejercicio 6.3.11c).Resultado 2 (Hilbert): Sea M una super…cie de E3 y sea p 2 M un punto

en el que la curvatura de Gauss K es positiva y en el que las (funciones)curvaturas principales ki : M ! R (i = 1; 2), de…nidas por½

k1(x) = maxfcurvaturas principales en xgk2(x) = minfcurvaturas principales en xg ; 8x 2 M

(así pues, k1 ¸ k2), poseen un máximo (local) y un mínimo (local), respec-tivamente. Entonces p es un punto umbílico de M (ver [5], 5.2, Lema 1; ver

también [4], 5.6, Lema 6.2)



5 APÉNDICES 138

Resultado 3. La esfera es la única super…cie conexa y compacta que tiene

todos sus puntos umbílicos (ver [5], 3.2, Proposición 4; ver también [4], 5.6,Proposición 6.1).

Probemos el Teorema. Por ser M compacta, posee (Resultado 1) unpunto elíptico; y, por ser K constante, debe ser K > 0:

Las funciones k1 y k2 son continuas (ver Ejercicio 6.3.8). Por ser M compacta y ser K = k1k2 constante, existe un punto p 2 M en el que k1

alcanza su valor máximo y, simultáneamente, k2 su mínimo. Por ser K ( p) > 0

y por el Resultado 2, el punto p es umbílico y se tiene, para todo x 2 M :

k1(x)·

k1( p) = k2( p)·

k2(x) ;

al ser k1 ¸ k2 , M tiene todos sus puntos umbílicos y, por el Resultado 3, esuna esfera (obviamente, de radio R = 1=

p K )

5.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPER-FICIES

5.4.1 Carácter intrínseco de la derivación covariante. Demostra-ción de la Proposición 4.4*

Comenzamos calculando las derivadas parciales de las gij:@ (gij±')

@uk± '¡1

(36)=

³@

@uk

´<

@

@ui

;@

@u j

> |

{z

} gij

(61)=

= < r @ @uk

@ @ui

; @ @uj

> + < @ @ui

; r @ @uk

@ @uj

>(63)= ¡kij + ¡ kji ;

donde se usa la notación

¡ijk

´

2

Xh=1

¡hijgkh (i;j;k = 1; 2) : (77)

Teniendo en cuenta ahora que ¡kij = ¡ikj; se concluye inmediatamenteque (8i;j;k = 1; 2):

¡ijk ´ 1

2((¡ijk + ¡kji) + (¡ijk + ¡kij) ¡ (¡kij + ¡kji)) =

=1

2((¡ jik + ¡ jki) + (¡ijk + ¡ikj) ¡ (¡kij + ¡kji)) =

=1

2 µ@ (gik ± ')

@u j ±'¡1 +

@ (g jk ± ')

@ui ±'¡1

¡@ (gij ± ')

@uk ±'¡1¶ : (78)



5 APÉNDICES 139

De lo anterior se concluye que es posible despejar los ¡hij en función de los

gij, obteniéndose (8i;j;h = 1; 2):

¡hij =

2Xl=1

¡lij± hl =

2Xl=1

¡lij

Ã2X

k=1

gkhgkl

!(77)=

2Xk=1

gkh¡ijk(78)=

=1

2

2Xk=1

gkh

µ@ (gik ± ')

@u j± '¡1 +

@ (g jk ± ')

@ui± '¡1 ¡ @ (gij ± ')

@uk± '¡1

¶

5.4.2 Carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Demostración

del Teorema 4.7*Probaremos la expresión (68). Sea º 2 XM cualquier normal unitaria local ysean hij 2 F( U ) (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la segunda forma fundamentalde (M; º ) en la carta ( U ; '¡1). Se tiene (denotando por D el operador dederivación natural en R3):

DUDVU(41)= DU (

P3k=1( @ 2'k

@v@u ± '¡1)³

@ @xk

j U ́ )(40)=

=

P3k=1 U(@ 2'k

@v@u± '¡1)

³@

@xkj U ´

(36)=

P3k=1( @ 3'k

@u@v@u± '¡1)

³@

@xkj U ´

= DVDUU (¤) :

Con lo cual se tiene:

¡rUrVU+rVrUU(62)= ¡rU (DVU¡ < LV; U > º )+rV (DUU¡ < LU; U > º ) =

= (¡DUDVU + DU(< LV; U > º ))T an+(DVDUU ¡ DV(< LU; U > º ))T an (¤)=

=< LV; U >(DUº )Tan |

{z } =DUº

¡ < LU; U >(DVº )Tan | {z }

=DVº

= ¡ < LV; U > LU+ < LU; U > LV ;

) < ¡rUrVU+rVrUU; V >= detµ< LU; U > < LU; V ><

LV; U > <

LV; V > ¶

(52)= det(hij) :

De la igualdad matricial (54) en 3.3.1 se sigue que K j U = det(gij)¡1 det(hij)

y, …nalmente, se concluye:

K j U = < ¡rUrVU + rVrUU ; V >

det(gij)

5.4.3 Super…cies en el espacio euclídeo. Ecuaciones de compati-bilidad*

Sea M una super…cie de E3. Fijada una carta ( U ; '¡1 = (u; v)), es claro que

el conjunto de campos locales ( @ @u ; @ @v ; º ') , donde º ' es la normal unitaria



5 APÉNDICES 140

inducida por la carta (recordar 3.2.1), constituye una base del módulo X U .

Las derivadas naturales (40) con respecto a @ @u y @ @v de los tres campos deesta base local se podrán a su vez escribir como combinaciones lineales deestos mismos campos; de hecho, conocemos ya todos los coe…cientes de estascombinaciones lineales: son los símbolos de Christo¤el, los coe…cientes de lasegunda forma fundamental y los del operador de Weingarten. En efecto, laecuación (62) da en particular:

D @ @ui

@

@u j= r @

@ui

@

@u j+ hijº '

(63)=

2Xk=1

¡kij

@

@uk+ hijº ' (i; j = 1; 2) ;

mientras que la de…nición del operador de Weingarten (53) da:

¡D @ @ui

º ' =2X

j=1

l j i@

@u j(i = 1; 2) ;

utilizando los coe…cientes (50) de la segunda forma fundamental podemosreescribir estos dos conjuntos de ecuaciones como:8

>>>>><>>>>>:

D @ @u

@ @u = ¡1

11@

@u + ¡211

@ @v + eº '

D @ @u

@ @v = ¡1

12@

@u + ¡212

@ @v + f º '

D @ @v

@

@v = ¡1

22

@

@u + ¡2

22

@

@v + gº '¡D @ @u

º ' = l11@

@u+ l21

@ @v

¡D @ @v

º ' = l12@

@u+ l22

@ @v

: (79)

Es importante observar ahora que todos los coe…cientes que aquí aparecense obtienen a partir de los de las dos formas fundamentales (gij) y (hij). Enefecto:

(1) los símbolos de Christo¤el ¡kij dependen sólo (Proposición 4.4) de los

coe…cientes gij de la primera forma fundamental.

(2) los coe…cientes (lij) veri…can (54) la igualdad matricial (lij) = (gij)¡1(hij).

La consistencia de las igualdades (79) exige la existencia de relacionesentre las (gij) y las (hij) . Ya en el Teorema 4.7 se vio que la condición(DUDVU)Tan = (DVDUU )Tan implica cierta relación (68) que hace patenteel carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Si ahora introducimos lasnotaciones Ui ´ @

@uiy K ijkl ´< ¡rUi

rUjUk +rUj

rUiUk; Ul > (i;j;k;l =

1; 2) , esta relación (68) equivale a

K 1212 = det(hij) ; (80)

que se denomina fórmula de Gauss.



5 APÉNDICES 141

Por otra parte, volviendo a la notación U

´@

@u ; V

´@

@v y teniendo en

cuenta (79), se encuentra:8<: (DUDVU)Nor =¡

DU¡

¡112

@ @u + ¡2

12@

@v + f º ¢¢Nor

=³

¡112e + ¡2

12f + @ (f ±')@u ± '¡1

´º

(DVDUU)Nor

=¡

DV¡

¡111

@ @u

+ ¡211

@ @v

+ eº ¢¢Nor

=³

¡111f + ¡2

11g + @ (e±')@v

± '¡1´

º

y análogamente (intercambiando los papeles de u y v)8<:

(DVDUV)Nor =¡

DV¡

¡112

@ @u

+ ¡212

@ @v

+ f º ¢¢Nor

=³

¡112f + ¡2

12g + @ (f ±')@v

± '¡1´

º

(DUDVV)Nor = ¡DU ¡¡122

@ @u

+ ¡222

@ @v

+ gº ¢¢Nor

= ³¡122e + ¡2

22f + @ (g±')

@u± '¡1´º

Así, de la condición (DUDVU)Nor = (DVDUU)Nor y de su análoga (inter-cambiando los papeles de u y v) (DVDUV)Nor = (DUDVV)Nor se obtienen:(

@ (e±')@v

± '¡1 ¡ @ (f ±')@u

± '¡1 = ¡112e + (¡2

12 ¡ ¡111)f ¡ ¡2

11g@ (g±')

@u ± '¡1 ¡ @ (f ±')@v ± '¡1 = ¡2

12g + (¡112 ¡ ¡2

22)f ¡ ¡122e

; (81)

que se denominan ecuaciones de Mainardi-Codazzi.Las ecuaciones (80) y (81) se denominan ecuaciones de compatibi-

lidad. Es importante recalcar que no existen otras relaciones de compati-

bilidad entre la primera y la segunda forma fundamentales; concretamente,se veri…ca el siguiente resultado, que es una especie de análogo al teoremafundamental de la teoría de curvas:

Teorema 5.1 (Bonnet) Sean E;F;G;e;f;g : U ! R funciones diferencia-bles de…nidas sobre un abierto U de R2 (con coordenadas (u; v)), siendo

E > 0; G > 0; EG ¡ F 2 > 0, y veri…cando formalmente las igualdades (80) y (81), con las ¡k

ij dadas por las ecuaciones (66). Existe entonces una parametrización global ' : U ! U de una super…cie U en E3 para la que las funciones E;F;G;e;f;g son los coe…cientes de sus formas fundamentales.

Además la super…cie U

está determinada salvo movimientos.

Demostración. Ver [5], 4.3, Teorema, con demostración en el Apén-dice al Capítulo 4



6 EJERCICIOS 142

6 EJERCICIOS

Los enunciados de los ejercicios que siguen proporcionan muchos ejemplospara el desarrollo de la teoría. Intentar resolverlos (y lograrlo en bastantescasos) constituye una parte fundamental del curso. Repensarlos una vez re-sueltos ilustra en muchos casos sobre el ”puesto” que ocupa cada ejercicioen el desarrollo de la teoría. Se ha renunciado deliberadamente a dar indi-caciones sobre el grado de di…cultad de cada ejercicio (eventuales ”pistas”pueden surgir en las clases prácticas o en las tutorías). Para colecciones deproblemas resueltos, ver por ejemplo [3] (cuyos convenios y notaciones sonlos de [4]); en todo caso, téngase en cuenta que no es ni mucho menos lo

mismo intentar resolver problemas que ”estudiar” problemas resueltos.

6.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIOEUCLÍDEO

6.1.1 (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia)

Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura. Probar que:

(a) La trayectoria de ® es un segmento de recta si y sólo si ·(t) = 0(constante):

(b) La trayectoria de ® es un arco de circunferencia de radio r > 0 siy sólo si j ·(t) j= 1=r (constante).

6.1.2 (Hélices 1)

Sean a;b;c 2 R , con a y c no nulos. Considérese la curva ® : R 3 s 7!¡a cos

¡sc

¢;asen

¡sc

¢; bs

c

¢ 2 E3. Si b 6= 0, se dice que la trayectoria de ® es

una hélice.

(a) ¿Es el parámetro s la longitud de arco?

(b) Determinar la curvatura y la torsión de ®.

(c) Demostrar que la recta (afín) normal principal de ® en s corta aleje z bajo un ángulo igual a ¼=2 (independiente de s).

(d) Demostrar que las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ánguloconstante con el eje z .

(e) Suponiendo c2 = a2 + b2, hallar el plano (afín) osculador de ®.



6 EJERCICIOS 143

6.1.3 (Determinación diferenciable del ángulo)

Sea ® : I ! E2 una curva plana, regular y sea T 2X® su campo (unitario)

tangente.

(a) Probar que existe una función diferenciable µ : I ! R de formaque ~ T = (cos µ; sen µ).

(b) Probar que se veri…ca: dµdt

=j ®0 j · , siendo · la curvatura de ®.

6.1.4 (Torsión y curva plana / Normales y circunferencia)

Sea ® : I !E3 una curva alabeada y sea ¿ su torsión. Probar que:

(a) La trayectoria de ® está sobre un plano (esto es, la curva es plana)si y sólo si ¿ (t) = 0 (constante).

(b) La trayectoria de ® está sobre una circunferencia si y sólo si lasrectas (a…nes) normales principales de ® pasan todas por un punto…jo.

6.1.5 (Tangentes y recta)

Sea ® : I

!E3 una curva regular.

(a) Probar que la trayectoria de ® está sobre una recta si y sólo si lasrectas (a…nes) tangentes de ® pasan todas por un punto …jo.

(b) ¿Se satisface todavía la conclusión de (a) si ® no es regular?

6.1.6 (Evolutas)

Sea ® : I ! E2 una curva regular, con curvatura ·(t) 6= 0 para todo t 2 I .

Sea N 2X® su campo (unitario) normal. La curva

¯ (t) := ®(t) +1

·(t) ~ N (t) ; t 2 I

se denomina la evoluta de ® (su imagen es el lugar geométrico de los ”cen-tros de curvatura” de ®).

(a) Demuéstrese que, si d·dt (t) 6= 0, la recta (afín) normal de ® en t es

tangente a ¯ en t.

(b) Considérense las rectas normales de ® en dos valores próximos(pero distintos) t1 y t2 del parámetro: Aproxímese t1 a t2 y de-muéstrese que el punto de intersección de ambas rectas convergehacia un punto de la trayectoria de la evoluta de ®.



6 EJERCICIOS 144

6.1.7 (Catenarias)

La trayectoria de…nida por la curva plana ® : R 3 t 7! (t;cosh t) 2 E2 se

denomina catenaria.

(a) Hallar la curvatura de ®.(b) Hallar la evoluta de ®.

6.1.8 (Cicloides)

La curva ® : [0; 2¼] ! E2 de ecuaciones x = rt ¡ rsen t; y = r ¡ r cos t

describe el movimiento de un punto …jo de una circunferencia C de radio r

cuando ésta rueda apoyada sobre el eje x. La trayectoria de ® se denominacicloide.

(a) ¿Es ® una curva regular?. Hallar su longitud. Reparametrizar ®por la longitud de arco.

(b) Hallar la curvatura de ®.

(c) Demostrar que la trayectoria de la evoluta de ® es otra cicloide.

6.1.9 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión bidi-

mensional)Dada una función diferenciable f : I ! R , demuéstrese que existe una única(salvo movimientos directos) curva regular ® : I ! E

2 parametrizada por lalongitud de arco y con curvatura f .

6.1.10 (Diferenciabilidad, regularidad, alabeo)

Considérese la aplicación ® : R ! E3 dada por

®(t) := 8<:(t ; e¡1=t2 ; 0) si t < 0

(0; 0; 0) si t = 0

(t ; 0 ; e¡1=t2) si t > 0

(a) Estudiar si ® es una curva (esto es, si es diferenciable).

(b) Estudiar si ® es regular, si es alabeada y qué ocurre con su curva-tura.

(c) Probar que el límite de los planos osculadores de ® cuando t ! 0¡

es el plano z = 0, pero que dicho límite es el plano y = 0 cuandot ! 0+:

(d) Demostrar que la torsión de ® es nula en todos los puntos en losque está de…nida.



6 EJERCICIOS 145

6.1.11 (Ángulo polar como parámetro)

Sea la curva plana ® : [a; b] 3 Á 7! (radio = ½(Á); ¶angulo = Á) 2 E2 ¡

forigeng, con ½ : [a; b] ! R+ cierta función diferenciable. La curva está puesdada en coordenadas polares y con el propio ángulo como parámetro.

(a) Demostrar que la longitud de ® veri…ca:

L(®) =

Z b

a

s (

d½

dÁ)2 + ½2 dÁ

(b) Demostrar que, si ® es regular, su curvatura · veri…ca:

· =2( d½

dÁ)2 ¡ ½ d2½dÁ2

+ ½2

(( d½dÁ )2 + ½2)3=2

(c) Calcular la longitud y la curvatura de la curva (cuya imagen esuna espiral logarítmica) ® : [0; 1) 3 Á 7! (½(Á); Á) 2 E

2, donde½(Á) = ae¡bÁ (con a; b 2 R+). Reparametrizar ® por la longitudde arco.

6.1.12 (Curvas sobre esferas)

Sea una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco y

sean · y ¿ su curvatura y torsión, respectivamente.

(a) Probar que una condición necesaria para que la trayectoria de ®se encuentre sobre una esfera de radio r es que se veri…que:

§¿ p

r2 ¡ ·¡2 = ·¡2d·

ds:

(b) Probar que, si p r2 ¡ ·¡2 6= 0, la condición de (a) es tambiénsu…ciente.

6.1.13 (Máximos de la distancia de un punto a una curva)

Sea ® : I = (a; b) ! E2 una curva regular. Supóngase que existen q 2 E

2 yt0 2 I tales que la distancia j ®(t) ¡ q j de q a la trayectoria de ® tenga unmáximo local en t0. Demostrar que la curvatura · de ® veri…ca j ·(t0) j¸1= j ®(t0) ¡ q j :



6 EJERCICIOS 146

6.1.14 (Tangente, normal y binormal)

Sea una curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco y

cuya torsión nunca es nula.

(a) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial ~ T (t) aso-ciada al campo tangente de ® determina la curvatura y la torsiónde ®.

(b) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial ~ B(t) aso-ciada al campo binormal de ® determina la curvatura y el valorabsoluto de la torsión de ®, pero deja indeterminado el signo dela torsión. Poner un ejemplo de esta indeterminación.

(c) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial ~ N (t) aso-ciada al campo normal principal de ® deja indeterminadas la cur-vatura y la torsión de ®. Poner un ejemplo de esta indetermina-ción.

(d) Probar que, si existe ~ » 2 E3 tal que se veri…ca una de las dos

condiciones siguientes(< ~ T (t); ~ » >= 0 ; para todo t 2 I

< ~ B(t);~ » >= 0 ; para todo t 2 I ;

entonces necesariamente es ~ » = ~ 0. No ocurre lo propio con lacondición

< ~ N (t);~ » >= 0 ; para todo t 2 I ;

poner un ejemplo.

6.1.15 (Hélices 2)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada cuya torsión nunca se anula. En general,se dice que Im ® es una hélice si las rectas (a…nes) tangentes de ® formanun ángulo constante con alguna dirección …ja. Pruébese que:

(a) Im ® es una hélice si y sólo si ·=¿ = cte.

(b) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) normales princi-pales de ® son paralelas a algún plano …jo.

(c) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) binormales de ®forman un ángulo constante con alguna dirección …ja.

(d) Si a;b;c 2 R, los tres no nulos, y µ : I ! R es una funcióndiferenciable con derivada nunca nula, entonces la curva ® : I 3s 7!

¡ac R

senµ(s)ds ; ac R

cos µ(s)ds ; bcs

¢2 E3 tiene por imagen

una hélice.



6 EJERCICIOS 147

6.1.16 (Plano osculador)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco.

Sea P un plano afín que satisface las siguientes condiciones:

i. Existe s0 2 I tal que P contiene a la recta (afín) tangente de® en s0.

ii. Dado cualquier entorno J ½ I de s0, existen puntos de ®(J )a ambos lados de P .

Pruébese que P es el plano osculador de ® en s0.

6.1.17 (Plano osculador y círculo osculador)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco.Demuéstrese que:

(a) La posición límite de los planos a…nes que pasan por los puntos®(s); ®(s+ h1) y ®(s+h2), cuando h1; h2 ! 0, es el plano osculadorde ® en s.

(b) La posición límite de los círculos que pasan por los puntos ®(s); ®(s+h1) y ®(s + h2), cuando h1; h2

!0, es aquel círculo del plano os-

culador de ® en s cuyo centro está sobre la recta normal principalde ® en s y cuyo radio es 1=·(s) . Este círculo se llama círculoosculador de ® en s.

6.1.18 (Proyección sobre el plano osculador)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Pruébese que, para cada t 2 I , la

curvatura ·(t) es el valor absoluto de la curvatura en t de la curva plana¼t ± ®, siendo ¼t la proyección normal de E3 sobre el plano (afín) osculadorde ® en t.

6.1.19 (Aceleraciones de una curva)

Dada una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco,

probar que se veri…ca

< ®0; ®0000 >= ¡3·d·

ds;

siendo · la curvatura de ®.



6 EJERCICIOS 148

6.1.20 (Modelos 1)

Considérense dos partículas puntuales que se muevan diferenciablemente enE3. Probar que la distancia entre ellas (no nula) se mantiene constante si ysólo si las proyecciones de sus velocidades sobre la dirección de la recta quelas une son iguales.

6.1.21 (Modelos 2, cicloide)

Considérese la curva plana ® : [0; 2¼] 3 t 7! (rt ¡ rsent ; r + r cos t) 2 E2,cuya trayectoria es una cicloide ”invertida” (ver Ejercicio 6.1.8).

(a) Dados t0 2 (0; ¼) y g 2 R+, reparametrícese ® j[t0;¼] por un cambiode parámetro f : [0; ¿ f ] 3 ¿ 7! t 2 [t0; ¼] tal que se veri…que

1

2(

dL(® ± f )

d¿ )2 = g(®2(t0) ¡ ®2 ± f ) (¤) :

Probar que ¿ f no depende de t0.

Observación: lo anterior puede reformularse así: si una bolita caesin rozamiento siguiendo la trayectoria de una cicloide invertida

dada, el tiempo que tarda (en llegar abajo) es independiente dela altura de partida (se dice en este sentido que la cicloide es”tautócrona”). El ”tiempo” es el nuevo parámetro ¿ y la condición(¤) expresa la ”conservación de la energía” (no rozamiento) en elcampo de aceleraciones (supuesto uniforme y de módulo g) en elque tiene lugar la caída.

(b) Considérese la evoluta ¯ : [0; 2¼] 3 t 7! ¯ (t) 2 E2 de ®. Por

el Ejercicio 6.1.8c, su trayectoria será otra cicloide invertida, ”a-delantada” ¼ unidades (del parámetro común t) y ”elevada” 2r

unidades de ordenada (altura) con respecto a ®. Probar que, paratodo t 2 [0; ¼], se veri…ca:

j¯ (t) ¡ ®(t)j + L(¯ j[t;¼]) = 4r (independiente de t) :

Observación: lo anterior constituye el fundamento del llamado”péndulo de Huygens”, en el que se basaron los primeros cro-nómetros: un péndulo inextensible de longitud 4r, tendido desdeel vértice de una cicloide invertida de altura 2r e impedido de so-

brepasar la trayectoria de ésta, describirá al oscilar otra cicloide



6 EJERCICIOS 149

(Parte b) y, bajo la in‡uencia sólo de la gravedad, mantendrá su

período independientemente de la amplitud de la oscilación (Par-te a). Ello mejora el comportamiento de un péndulo simple, cuyoperíodo sólo es independiente de la amplitud si ésta es pequeña.

6.1.22 (Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos)

Sea ® : I ! En (n ¸ 2) una curva alabeada y sea (E1; :::; En) su referencia

de Frenet.

(a) Sea f : J

!I un cambio de parámetro de ® que invierte orien-

tación y consideremos la curva ~® = ® ± f :J ! En: Entonces lareferencia de Frenet (eE1; :::; eEn) de ~® veri…ca:

eEi = (¡1)i (Ei ± f ) (i = 1; :::n¡1) ; eEn = (¡1)n(n¡1)=2 (En ± f ) ;

de donde se obtiene:½~!i+1;i = ¡df

ds (!i+1;i ± f ) (i = 1;:::;n ¡ 2)

~!n;n¡1 = ¡(¡1)n(n+1)=2 df ds(!n;n¡1 ± f )

;

y, …nalmente, ½~·i = ·i ± f (i = 1;:::;n ¡ 2)~·n¡1 = (¡1)n(n+1)=2 (·n¡1 ± f )

:

(b) Sea A : En ! En un movimiento no directo y consideremos lacurva ~® = A ± ® : I ! E

n. Entonces la referencia de Frenet(eE1; :::; eEn) de ~® veri…ca (8t 2 I ):

eEi(t) = (A ~ E i(t))~®(t) (i = 1; :::n¡1) ; eEn(t) = ¡(A ~ E n(t))~®(t) ;

de donde se obtiene:½~!i+1;i = !i+1;i (i = 1;:::;n ¡ 2)~!n;n¡1 = ¡!n;n¡1

;

y, …nalmente, ½~·i = ·i (i = 1;:::;n ¡ 2)~·n¡1 = ¡·n¡1

:

Probar las expresiones anteriores para n = 2 y n = 3.



6 EJERCICIOS 150

6.1.23 (Curvas planas ”en implícitas”)

Sea g : (R2 ¾)U ! R una función diferenciable de…nida sobre un abierto U(s.p.d.g., 0 2 g(U)). Supongamos que p 2 g¡1(0)(½ U) es un punto ”regular”para g; esto es, se veri…ca rg(Dg( p)) = 1, donde Dg es la matriz Jacobianade g (s.p.d.g., y eligiendo adecuadamente las coordenadas cartesianas (x; y)en R2, (@g=@y)( p) 6= 0; y escribiremos p ´ (a; b)).

(a) Probar que g¡1(0) admite una ”parametrización (local, 1-dimensional)”en torno a p, esto es (2.2.1), que existen un abierto U (3 p) deg¡1(0) en la topología relativa y una curva regular e inyectiva® : I

!R

2 tales que ®(I ) =

U y la aplicación inversa ®¡1 :

U !I

es continua.

Indicación: utilizar el teorema de la función implícita (Teorema2.4), que garantiza la existencia de8<:

un entorno (Rx ¾) - de a

un entorno (Ry ¾) J de b

¾con - £ J ½ U

una función diferenciable & : - ! J

tales que

f(x; y)

2-

£J

jg(x; y) = 0

g=

f(x; & (x))

jx

2-g

;

esto es, tales que

g¡1(0) \ (- £ J ) = gr¶afica de & .

(b) Probar que la curvatura · de ® veri…ca

· =¡sgn

³@g@y

´h@ 2g@x2

( @g@y

)2 ¡ 2 @ 2g@x@y

@g@x

@g@y

+ @ 2g@y2

( @g@x

)2i

[(

@g

@x )2

+ (

@g

@y )2

]3=2

± ® :

(c) Concretar lo anterior para la función g : R2 3 (x; y) 7! x2 + y2 ¡r2 2 R (con r > 0) en torno al punto p ´ (0; 1) 2 R2.

(d) Supongamos la siguiente de…nición alternativa de ”curva plana”:subconjunto de R

2 que admite una parametrización (local, 1-dimensional) en torno a cada uno de sus puntos. Aceptada estade…nición, probar que: todo punto de una ”curva plana” está con-tenido en un abierto de la misma (en la topología relativa) que esla grá…ca de una función diferenciable & : (R ¾) - ! R, con -abierto.



6 EJERCICIOS 151

6.1.24 (”El ocho”)

Sea la curva (regular e inyectiva) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2E2, cuya trayectoria denominaremos ”el ocho”.

(a) Probar que existe una función diferenciable g : R2 ! R tal que®(I ) = g¡1(0).

(b) Probar que cualquier función diferenciable ¹g : R2 ! R tal que®(I ) = ¹g¡1(0) veri…ca: D¹g(0; 0) =

¡0 0

¢(ninguna función ¹g

que tenga a ®(I ) por conjunto de nivel puede ser regular en ®(0)).

(c) Comprobar que la aplicación ®¡1 : (E2 ¾)®(I ) ! I (½ R) no es

continua en ®(0).(d) Sea la curva (regular e inyectiva) ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sen s; sen 2s) 2

E2, cuya trayectoria es también el ocho. Comprobar que la apli-

cación®¡1 ± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! (¡¼; ¼)(½ R)

no es diferenciable (y, por tanto, ®¡1 ± ¯ no es un cambio deparámetro de ®, la curva ¯ no es una reparametrización de ® y laaplicación ®¡1 ± ¯ no es una curva en R).

6.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN

6.2.1 (Super…cies que son conjuntos de nivel)

Determinar los valores de v para los que es una super…cie el conjunto de nivelf ¡1(v) 2 R3, donde:

(a) f (x;y;z ) := x2

a2 + y2

b2 + z2

c2

(b) f (x;y;z ) := x2

a2+ y2

b2¡ z2

c2

(c) f (x;y;z ) := x2

a2 + y2

b2

¡z

(d) f (x;y;z ) := x2

a2¡ y2

b2¡ z

(e) f (x;y;z ) := xyz ¡ 1

(con a;b;c > 0).



6 EJERCICIOS 152

6.2.2 (Plano tangente)

Considérense las super…cies (cuádricas) M de R3 de…nidas por las ecuaciones:

(a) x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1 (elipsoide)

(b) x2

a2+ y2

b2¡ z2

c2= 1 (hiperboloide de 1 hoja)

(c) x2

a2+ y2

b2¡ z = 0 (paraboloide elíptico)

(d) x2

a2 ¡ y2

b2 ¡ z = 0 (paraboloide hiperbólico)

(con a; b; c > 0). Determinar el plano tangente a cada una de ellas en el

punto p de coordenadas x( p) = a ; y( p) = 0.

6.2.3 (¿Super…cies?)

Determinar si son super…cies los siguientes conjuntos:

(a) f(x;y;z ) 2 R3 j z = 0 ; x2 + y2 < 1g(b) f(x;y;z ) 2 R3 j z = 0 ; x2 + y2 · 1g(c) f ¡1(0) , siendo f (x;y;z ) := z 2 .

6.2.4 (Cilindros)

Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse como un

conjunto de nivel regular para alguna función diferenciable de (un abiertode) R2 en R.

(a) Probar que el conjunto M ´ ®(I ) £ R (½ R3) es una super…cie

(denominada cilindro sobre ®(I ))

(b) Sea un abierto J

½I tal que ®

jJ : J

!R

2 es regular e inyectiva.

Probar que la aplicación

' : R2 ¾ J £ R 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u); v) 2 M

es una parametrización local de M



6 EJERCICIOS 153

6.2.5 (”El ocho” en super…cies)

Sea la curva (inyectiva y regular) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2R2, cuya trayectoria es ”el ocho” (recordar Ejercicio 6.1.24).

(a) Probar que

i. El conjunto S ´ ®(I ) £R(½ R3) puede expresarse como con-

junto de nivel f ¡1(0) para cierta función diferenciable f :

R3 ! R.

ii. El conjunto S ¡ f(0; 0; z ) j z 2 Rg es una super…cie.

(b) Considérese la aplicación diferenciable

' : (R2

¾)U ´ I £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v) 2 S (½ R3

) :i. Probar que ' no es una parametrización de S .

ii. Sea la curva ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sens; sen2s; 0) 2 S .Probar que la aplicación

'¡1 ± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! U(½ R2)

no es una curva.iii. Sea la extensión diferenciable © de ' dada por

© : (R3 ¾)U£ R 3 (u;v;w) 7! (sen u; sen 2u + w; v) 2 R3 :

(resulta © jU£f0g= '). Probar que existen entornos A( ½U£R) de (0; 0; 0) y B(½ R

3) de ©(0; 0; 0) = (0; 0; 0) tales que©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo. Probar sinembargo que:

(© jA)¡1 jS \B 6= '¡1 jS \B :

(c) Probar que el conjunto S no es una super…cie.

6.2.6 (Ejemplo de helicoide)

Sea la hélice ®(s) := (cos s;sens;s). El subconjunto M de R3

constituidopor las rectas (a…nes) normales principales de ® se denomina helicoide.

(a) Probar que la aplicación

' : R2 3 (s; t) 7! (t cos s; t sens; s) 2 R3

constituye una parametrización global de M (y, por tanto, M resulta ser una super…cie).

(b) Encontrar una función diferenciable f : R3 ! R tal que f ¡1(0) =M y rg(Df ( p)) = 1, para todo p 2 M .

(c) Determinar T pM para los puntos p de la forma (0; 0; z ).



6 EJERCICIOS 154

6.2.7 (Super…cies de revolución)

Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse localmente

como un conjunto de nivel regular para alguna función función diferenciablede (un abierto de) R2 en R.

(a) Probar que el subconjunto M de R3 obtenido al girar la imagen®(I ) (supuesta en el plano x1x2 de R3 y con ®2 > 0) en torno aleje x1 es una super…cie (denominada super…cie de revolucióngenerada por ®(I ) al girar en torno al eje x1).

(b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ : J ! R2 es regular e inyectiva.

Probar que la aplicación

' : (R2 ¾)J £(¡¼; ¼) 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u)cos v; ®2(u)sen v) 2 M

es una parametrización local de M .

(c) Dibujar y encontrar parametrizaciones para las super…cies de re-volución generadas por ®(I ) al girar en torno al eje x1 en los casossiguientes:

i. ® : R 3 t 7! (t; 1) 2 R2. La super…cie es un cilindro (Ver

Ejercicio 6.2.4).

ii. ® : R 3 t 7! (t; cosh t) 2 R2

. La super…cie es un catenoide.iii. ® : [¡¼; ¼] 3 t 7! (b cos t; a + b sen t) 2 R

2 ; a > b > 0. Lasuper…cie es un toro.

6.2.8 (Planos)

Sea L : R2 ! R3 una aplicación lineal de rango 2, sea p 2 R3 y consideremos

la aplicación ' : R2 3 q 7! L(¡!oq ) + p 2 R3.

(a) ¿Qué clase de conjunto es '(R2)?

(b) Sean q 0; ~v0 2 R2. Dada la curva ® : I 3 t 7! q 0 + t~v0 2 R2, ¿cuál

es la velocidad (' ± ®)0(0)?

6.2.9 (Proyección estereográ…ca)

Sea la esfera M := f(x1; x2; x3) 2 R3 j x21+x2

2+x23 = r2g y sea p+ ´ (0; 0; r) 2

M su ”polo norte”. Considérese la aplicación ' : R2 ´ R2 £ f0g ! M quehace corresponder, a cada q = (q 1; q 2; 0), el punto (distinto de p+) donde larecta que pasa por q y p+ corta a M:



6 EJERCICIOS 155

(a) Determinar las ecuaciones de ' y probar que ' es una parametri-

zación (local) de M.(b) Determinar las ecuaciones de la carta '¡1 (denominada proyec-

ción estereográ…ca de M desde el polo norte sobre el planoecuatorial).

(c) Determinar las ecuaciones del cambio de carta entre '¡1 y la pro-yección estereográ…ca ¹'¡1 desde el ”polo sur” p¡ ´ (0; 0; ¡r) 2M:

6.2.10 (Banda de Moebius)

Sean r; l 2 R con r > l > 0. Sea la circunferencia C := f(x;y; 0) 2 R3 j

x2 + y2 = r2g y sea el segmento abierto S := f(0; r ; z ) 2 R3 jj z j< lg,cuyo punto medio m pertenece a C . Movamos S de manera que, mientras elpunto m recorre sobre C un ángulo u, el segmento S gira (en torno a m ymanteniéndose ortogonal a C ) un ángulo ¡u=2. El subconjunto M := fS u ju 2 [0; 2¼]g de R3, constituído por las sucesivas posiciones S u del segmentoS , se denomina banda de Moebius.

(a) Probar que la aplicación

' : (0; 2¼) £ (¡l; l) 3 (u; v) 7!7! (¡(r + v sen u

2 ) sen u ; (r + v sen u2)cos u ; v cos u

2) 2 R3

constituye una parametrización local de M

(b) Probar que M es una super…cie.

6.2.11 (Campos tangentes a super…cies 1)

Sea el campo X 2 X(R3) con parte vectorial

~ X : R3 3 (x;y;z ) 7! (¡zx; ¡zy;r2 ¡ z 2) 2 R3:

(a) Demostrar que la restricción de X a la esfera M := f(x;y;z ) 2R3 j x2 + y2 + z 2 = r2g es tangente a ésta.

(b) Determinar la expresión analítica local de la restricción X jM 2X(M ) en las coordenadas (u; v) de la proyección estereográ…ca(Ejercicio 6.2.9) de M desde el polo norte (0; 0; r) sobre el planoecuatorial.



6 EJERCICIOS 156

6.2.12 (Campos tangentes a super…cies 2)

Sea el campo de vectores X := xz @ @x

+ yz @ @y

+ (1 + z 2) @ @z

2 X(R3):

(a) Demostrar que la restricción de X al hiperboloide de 1 hoja M :=f(x;y;z ) 2 R3 j x2 + y2 ¡ z 2 = 1g es tangente a éste.

(b) Demostrar que la aplicación

' : R£(¡¼; ¼) 3 (t; #) 7! (cosh t cos # ; cosh t sen # ; senh t) 2 R3

es una parametrización local de M .

(c) Determinar la expresión analítica local de la restricción X

jM

2X(M ) en las coordenadas (t; #).

6.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

6.3.1 (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo)

Sea f : E3 ! R una función diferenciable. Considérese el cambio Ã : U ! U

de coordenadas cartesianas a polares dado en el Ejemplo 2.7 y sea p 2 U.Teniendo en cuenta las identi…caciones r ´ r ± Ã¡1; # ´ # ± Ã¡1; Á ´ Á ± Ã¡1

(2.1.4):

(a) Probar que la expresión (recordar la Observación 2.1(2), donde seidenti…caba el vector tangente df j p ~ » p 2 T pR con su parte vectorial~ » p(f ) 2 R, para todo ~ » p 2 T pE

3) df j p =P3

i=1@f @xi

( p) dxi j p semantiene bajo el cambio Ã, esto es, se veri…ca :

df j p =@ f

@ r( p) dr j p +

@f

@#( p) d# j p +

@f

@Á( p) dÁ j p :

(b) Probar que la expresión (3.1.1) (grad f )( p) =

P3i=1

@f @xi

( p)

³@

@xi

´ p

no se mantiene bajo el cambio Ã, sino que se obtiene:

(grad f )( p) =@f

@ r( p)

µ@

@r

¶ p

+1

r2@f

@#( p)

µ@

@#

¶ p

+1

r2sen2#

@f

@Á( p)

µ@

@Á

¶ p

:

6.3.2 (Normales y esfera)

Sea M una super…cie conexa de E3. Probar que las rectas (a…nes) normalesa M pasan todas por un punto …jo si y sólo si M está sobre una esfera. ¿Quéocurre si M no es conexa?



6 EJERCICIOS 157

6.3.3 (PFF de la esfera en proyección estereográ…ca)

Obtener los coe…cientes de la primera forma fundamental de la esfera de radior en la carta de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) desde el polonorte sobre el plano ecuatorial.

6.3.4 (PFF de la esfera en polares)

Sea M ½ E3 una esfera de radio r. Sean # (colatitud) y Á (azimut) coorde-

nadas polares en M . Considérese la curva en M con expresión local asociada(Observación 2.18(3))

½ #(t) = ¼2 ¡ t

Á(t) = ln¡

cot( ¼4

¡ t2

)¢ ; t 2 [0;

¼2

) :

Determinar su longitud y comprobar que forma un ángulo Â constantecon los paralelos # = cte (la trayectoria de ® se llama loxodroma).

6.3.5 (PFF de super…cies de revolución en coordenadas)

Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en elEjercicio 6.2.7.

(a) Suponiendo que I es acotado y que la curva generadora ® : I ! E2

es regular e inyectiva y está parametrizada por la longitud de arco,probar que el área A(M ) de la super…cie M viene dada por laexpresión

A(M ) = 2¼

Z I

½(s) ds ;

siendo ½(s) la distancia de ®(s) al eje de rotación (teorema dePappus).

(b) Aplicar lo anterior para calcular el área del toro de…nido por la

ecuación(q

x21 + x2

2 ¡ a)2 + x23 ¡ b2 = 0 ;

donde a > b > 0.

6.3.6 (Gradiente de funciones sobre super…cies)

Sea M una super…cie de E3 y sean f : M ! R una función diferenciable y( U ; '¡1) una carta de M . Se de…ne el gradiente de f como el campo devectores grad f 2 X(M ) que veri…ca (8 p 2 M y 8» 2 T pM )

< (grad f )( p) ; » >:= »(f ) :



6 EJERCICIOS 158

Probar que se tiene:

grad f j U =G ¢ ¡ @

@u¢

(f ) ¡ F ¢ ¡ @ @v¢

(f )

EG ¡ F 2@

@ u+

E ¢ ¡ @ @v¢

(f ) ¡ F ¢ ¡ @ @u¢

(f )

EG ¡ F 2@

@v;

donde E; F ; G son los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en

la carta ( U ; '¡1) y donde³

@ @ui

´(f )

(36)= @ (f ±')

@u i± '¡1 ; i = 1; 2.

6.3.7 (Super…cies no orientables)

Supóngase que una super…cie M puede ser recubierta por los dominios cone-

xos de dos cartas ( U ; '¡1) y ( U ; ¹'¡1), de forma que la intersección U \ U seala unión de dos componentes conexas (disjuntas), V 1 y V 2 , y se veri…que:

det

µ@ (¹u; ¹v)

@ (u; v)

¶jV 1> 0 y det

µ@ (¹u; ¹v)

@ (u; v)

¶jV 2< 0 .

(a) Probar que M no es orientable.

(b) Aplicar lo anterior para demostrar que la banda de Moebius (Ejer-cicio 6.2.10) no es orientable.

6.3.8 (Diferenciabilidad de las curvaturas principales)

Considérense las curvaturas principales k1; k2 : M ! R (cuando hablamosde las funciones , elegimos la notación de forma que sea k1 ¸ k2) de unasuper…cie orientada (M; º ) de E3.

(a) Probar que k1 y k2 son continuas en todo M y diferenciables (almenos) en aquellos puntos de M en los que son distintas entre sí (puntos no umbílicos).

(b) Probar que, en cualquier carta ( U

; '¡1) de M , las funciones k1j U y k2 j U son las soluciones de la ecuación cuadrática

det

µe ¡ kE f ¡ kF f ¡ kF g ¡ kG

¶= 0 ;

siendo E; F ; G y e;f;g; los coe…cientes de las dos formas funda-mentales de (M; º ) en dicha carta.



6 EJERCICIOS 159

6.3.9 (SFF de super…cies de revolución en coordenadas)

Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en elEjercicio 6.2.7. Supóngase que la curva generadora ® : I ! E2 está en elplano x1x2 de E3, con ®2 > 0. Utilizando la parametrización local de M dada por

' : J £ (¡¼:¼) 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u)cos v; ®2(u) senv) 2 M ;

donde J ½ I es un abierto tal que ® jJ es regular e inyectiva:

(a) Determinar los coe…cientes de la segunda forma fundamental.(b) Determinar las curvaturas principales, la curvatura de Gauss K y

la curvatura media.(c) Probar que las líneas u = cte: y v = cte: de…nen líneas de curva-

tura.(d) Probar que, si ® está parametrizada por la longitud de arco, se

veri…ca:d2®2

du2+ (K ± ®) ®2 = 0 :

(e) Aplicar lo anterior al cálculo de las curvaturas principales, la cur-vatura de Gauss K y la curvatura media del toro (de…nido en elEjercicio 6.2.7c).

6.3.10 (Curvatura de Gauss sin parametrización)

Sea M una super…cie de E3 y sea p 2 M .

(a) Sea p 2 M , sea Z un campo (nunca nulo) normal a M y localmentede…nido en torno a p y sea (»; ´) una base de T pM . Probar quese veri…ca:

K ( p) =det

¡D» Z D´ Z Z( p)

¢jZ( p)

j2 det ¡ » ´ Z( p) ¢

:

(b) Aplicar (a) para calcular la curvatura de Gauss de las super…ciesde…nidas por las siguientes ecuaciones:

i. x21 + x2

2 ¡ x23 = 0 ; x3 > 0 (cono)

ii. x21a2 + x22

b2 ¡ x23c2 = 1 (hiperboloide de 1 hoja)

iii. x21a2

+ x22b2

¡ x3 = 0 (paraboloide elíptico)

iv. x21a2

¡ x22b2

¡ x3 = 0 (paraboloide hiperbólico)

v. x21a2 ¡ x22

b2 = 1 (cilindro hiperbólico)

(con a; b; c > 0).



6 EJERCICIOS 160

6.3.11 (Tangencia, extremos y curvaturas principales)

Sea M una super…cie de E3.

(a) Probar que, si N es otra super…cie de E3 que corta a M en unúnico punto, entonces M y N son necesariamente tangentes endicho punto.

(b) Probar que, si un plano afín de E3 que corta a M en un únicopunto, entonces la curvatura de Gauss de M en dicho punto esno-negativa.

(c) Supóngase que M es compacta. Probar que M posee (al menos)un punto elíptico.

(d) Supóngase que M es compacta y conexa. Probar que la curvaturade Gauss de M es no nula en todo punto si y sólo si todos lospuntos de M son elípticos.

6.3.12 (Direcciones asintóticas y líneas asintóticas)


(a) Probar que, si M posee curvatura media igual a cero en un punto,entonces en ese punto hay (al menos) dos direcciones asintóticasmutuamente ortogonales.

(b) Sea ® : I ! M una curva regular con trayectoria rectilínea. Pro-bar que ® de…ne una línea asintótica.

(c) Sea ® : I ! M una curva alabeada. Probar que ® de…ne una líneaasintótica si y sólo si su plano osculador en cada punto coincidecon el plano tangente a M en dicho punto.

(d) Sea p 2 M . Estudiar qué relaciones existen entre las siguientesa…rmaciones:

i. Hay dos direcciones asintóticas en T pM mutuamente ortogo-

nales.ii. La curvatura media de M en p es nula.

iii. La curvatura de Gauss de M en p es no-positiva.iv. Por p pasan dos rectas (o segmentos de recta) mutuamente

ortogonales contenidas en M .

6.3.13 (Líneas de curvatura y líneas asintóticas)

Hallar las líneas de curvatura y las líneas asintóticas del hiperboloide de 1hoja M de…nido por la ecuación x2

1

+ x2

2 ¡x2

3

= r2 :



6 EJERCICIOS 161

6.3.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 1)


(a) Estudiar el carácter (hiperbólico, parabólico, elíptico o plano) delos puntos de M cuando ésta es una de las super…cies de revolucióndel Ejercicio 6.2.7c (cilindro, catenoide y toro).

(b) Supóngase que, en un punto p 2 M , la aplicación de WeingartenL p : T pM ! T pM es una isometría lineal.

i. Probar que p no puede ser plano ni parabólico.ii. Probar que, si p es elíptico, entonces es umbílico.

iii. Probar que, si p es hiperbólico, entonces la curvatura mediade M en p es nula.

6.3.15 (Puntos no umbílicos)

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea p 2 M . Probar que p esno umbílico si y sólo si, en cualquier carta ( U ; '¡1) de M en torno a p, severi…ca:

det

µfE ¡ eF 1

2(gE ¡ eG)

12 (gE ¡ eG) gF ¡ fG

¶( p) < 0 ;

siendo E; F ; G y e;f;g; los coe…cientes de las dos formas fundamentales de(M; º ) en dicha carta.

6.3.16 (Meridianos y paralelos en super…cies de revolución)

Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en elEjercicio 6.2.7. Supóngase que la curva generadora ® : I ! E2 está en elplano x1x2 de E3, con ®2 > 0 y es regular. Considérese, para cada v 2(¡¼; ¼), la curva (con trayectoria llamada meridiano) ®v : I ! M dadapor

®v : I 3 u 7! (®1(u); ®2(u)cos v; ®2(u) sen v) 2 M

(obsérvese que ®0 = ®) y asimismo, para cada u 2 I , la curva (con trayectoriallamada paralelo) ¯ u : (¡¼; ¼) ! M dada por

¯ u : (¡¼; ¼) 3 v 7! (®1(u); ®2(u)cos v; ®2(u) sen v) 2 M :

(a) Probar que meridianos y paralelos se cortan siempre ortogonal-mente.

(b) Probar que la curva ®v es geodésica de M si y sólo si j®0j = cte:

(c) Probar que la curva ¯ u es geodésica de M si y sólo si d®2du

(u) = 0:



6 EJERCICIOS 162

6.3.17 (Geodésicas, curvas planas y líneas de curvatura)

Sea M una super…cie de E3 y sea ® : I ! M una curva alabeada. Demostrarlas siguientes a…rmaciones, si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos,si se piensa que son falsas. ¿Qué ocurriría en cada caso si Im ® fuera rectilínea(con lo que ® no sería alabeada)?

(a) Si ® es geodésica y de…ne una línea de curvatura, entonces esplana.

(b) Si ® es plana y de…ne una línea de curvatura, entonces es geodési-ca.

(c) Si ® es geodésica y plana, entonces de…ne una línea de curvatura.(d) Si ® es geodésica, la norma de su aceleración es constante.

6.3.18 (Super…cie de binormales de una curva alabeada)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Supóngase que el conjunto M , unión de

todas las rectas a…nes binormales de ®, es una super…cie de E3.

(a) Encontrar una parametrización local en torno a cada punto de M .

(b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo de-pende de la torsión de ®.

(c) Estudiar si ® es geodésica de M .

6.3.19 (Geodésicas planas y esferas o planos)

Probar que, si todas las geodésicas de una super…cie conexa son curvas planas,entonces la super…cie está contenida en una esfera o en un plano.

Indicación: puede utilizarse libremente, sin necesidad de demostrarlo, el

siguiente resultado: si todos los puntos de una super…cie conexa son umbíli-cos, entonces la super…cie está contenida en una esfera o en un plano.

6.3.20 (Isometrías e isometrías locales 1)

(a) Sean M el plano x1x2 de E3 y ¹M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x2

1 + x22 =

r2g un cilindro sobre una circunferencia. Probar que la aplicaciónF : M 3 (x1; x2; 0) 7! (r cos x1

r ; r senx1r ; x2) 2 ¹M es una isometría

local. Encontrar un abierto U de M tal que F j U : U ! F ( U ) seauna isometría.



6 EJERCICIOS 163

(b) Sean M el plano x1x2 deE3 y ¹M :=

f(x1; x2; x3)

2E3

j(p x

21 + x2

2

¡a)2 + x23 = b2 ; a > b > 0g un toro. Probar que la aplicación F :M 3 (x1; x2; 0) 7! ((a+b cos x1) cos x2; (a+b cos x1) senx2; b senx1) 2¹M no es una isometría local. ¿Era esperable que no lo fuera?

(c) Sean M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x1sen x3 = x2 cos x3g un helicoidey ¹M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j cosh x3 =

p x21 + x2

2g un catenoide.Probar que existen abiertos U de M y U de ¹M que son isométricos.Probar que existe una isometría local F : M ! ¹M .

6.3.21 (Ejemplo de super…cie de revolución 1)

Sea f : R ! R una función diferenciable con f (0) = 0.

(a) Demostrar que el conjunto M ½ E3, obtenido al hacer girar la

grá…ca (supuesta en el plano xz de E3) de la función z = f (x2) entorno al eje z , es una super…cie.

(b) Demostrar que el punto p = (0; 0; 0) es un punto umbílico de M yprobar que la curvatura de Gauss de M en dicho punto K ( p) sólodepende de la derivada de f en 0.

(c) Fijado ½0(> 0) 2 R, probar que la curvatura de Gauss de M es

constante en los puntos de la curva8<: x(t) = ½0 cos ty(t) = ½0sen tz (t) = f (½20)

; 0 · t · 2¼ :

6.3.22 (Ejemplo de super…cie de revolución 2)

Sea el conjunto M =

f(x;y;z )

2R3

j4z = x4+ y4+ 2x2y2

gy sea p = (0; 0; 0)

Se pide:

(a) Probar que M es una super…cie de revolución.

(b) Probar que p es un punto plano de M .

(c) Encontrar todos los puntos umbílicos de M .

(d) Demostrar que el valor de la curvatura de Gauss en los puntosumbílicos (excluído p) es 1

33p

4.



6 EJERCICIOS 164

6.3.23 (De todo un poco 1)

Sea M una super…cie de E3. Demostrar las siguientes a…rmaciones si sepiensa que son ciertas, o dar contraejemplos si se piensa que son falsas:

(a) En todo punto no umbílico de M hay exactamente dos direccionesprincipales.

(b) Todo punto de M con una única dirección asintótica es necesaria-mente parabólico.

(c) Toda curva plana en M que de…na una línea de curvatura y estéparametrizada por la longitud de arco es necesariamente geodésica

de M .(d) Si M es de revolución, las trayectorias de sus geodésicas son siem-

pre meridianos o paralelos.

(e) Toda isometría de M transforma puntos elípticos en puntos elíp-ticos.

(f) Si M es la esfera unitaria, existen curvas alabeadas ® : I ! M con curvatura menor que dos tercios.

6.3.24 (De todo un poco 2)Sea M una super…cie de E3. Demostrar las siguientes a…rmaciones si sepiensa que son ciertas, o dar contraejemplos si se piensa que son falsas:

(a) En todo punto no umbílico de M hay exactamente dos direccionesasintóticas.

(b) Toda geodésica de M que de…na una línea asintótica tiene imagenrectilínea.

(c) En cada punto no plano de M , dos direcciones asintóticas sonsiempre mutuamente ortogonales.

(d) Toda isometría de M transforma puntos planos en puntos planos.

(e) Toda recta contenida en M de…ne una línea de curvatura.

(f) (esta a…rmación no tiene obviamente nada que ver con M ) Haycurvas alabeadas en E3 con curvatura constante cuya trayectoriano está sobre una circunferencia



6 EJERCICIOS 165

6.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPER-

FICIES. VARIOS6.4.1 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas)

Sean M una super…cie de E3, ® : I ! M una geodésica no trivial de M yV un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M . Probar que V esparalelo a lo largo de ® si y sólo si la norma j V j y el ángulo que forma V

con ®0 son constantes a lo largo de ®.

6.4.2 (Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva alabea-

da)Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Paracada t 2 I , llamemos bisectriz recti…cante de ® en t a la recta afín quepasa por ®(t) y tiene por dirección la del vector ~ T (t)+ ~ B(t). Supongamos queel conjunto M , unión de todas las bisectrices recti…cantes de ®, constituyeuna super…cie M de E3.

(a) Dar una parametrización local en torno a cada punto de M .

(b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo de-

pende de la curvatura y de la torsión de ®.(c) Demostrar que la curva ® es plana si y sólo si la curvatura mediade M en los puntos de la imagen de ® es nula.

(d) Estudiar si ® es geodésica de M .

(e) Estudiar si ® de…ne una línea de curvatura de M .

(f) Probar que, si las funciones curvatura y torsión de ® coinciden,entonces cualquier recta afín contenida en M y que corte a laimagen de ® es una bisectriz recti…cante de ®.

(g) Estudiar si el campo T + B, tangente a M , es paralelo a lo largo

de ®.

6.4.3 (Geodésicas en el plano, cilindro y esfera)

Probar que las siguientes curvas ® : I ! M son geodésicas de las siguientessuper…cies M de E3:

(a) ®(t) := p + t~ » (con p 2 M , ~ » 2 E3) y M un plano que contenga(de hecho, M podría ser cualquier super…cie que contuviera) a laimagen de ®.



6 EJERCICIOS 166

(b) ®(t) := (r cos(at+b); r sen(at+b); ct+d) (con a;b;c;d;r(> 0)

2R)

y M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2g (cilindro).(c) ®(t) := r(cos at)~ » + r(sen at)~́ (con a; r(> 0) 2 R y ~ »; ~́ 2 E3

ortonormales) y M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x2

1 + x22 + x2

3 = r2g(esfera).

(d) Probar que, en los tres casos (plano, cilindro y esfera), todas lasgeodésicas de M son de esa forma.

6.4.4 (Reparametrización de geodésicas)

Sea ° : I ! M una geodésica de una super…cie M de E3:

(a) Supongamos que ° es no trivial y sea f : J ! I un cambio deparámetro de ° . Probar que ° ± f : J ! M es geodésica de M siy sólo si existen a; b 2 R tales que

f (s) = as + b ; 8s 2 J :

(b) Sean p ´ ° (t0); » ´ ° 0(t0) , para cierto t0 2 I . Sea ° » la geodésicamaximal por ». Probar que ° (t) = ° »(t ¡ t0) ; 8t 2 I:

(c) Supóngase que ° (t0) = ° (t1); ° 0(t0) = ° 0(t1); para ciertos t0; t1 2 I .Probar que ° es periódica, de período t1 ¡ t0.

6.4.5 (Super…cies geodésicamente completas)

Una super…cie M deE3 se dice geodésicamente completa si toda geodésicamaximal de M tiene por dominio R. ¿Cuáles de las siguientes super…cies songeodésicamente completas?:

(a) La esfera M :=

f(x1; x2; x3)

2E3

jx21 + x22 + x2

3 = r2

g:

(b) La esfera exceptuado el polo norte M := f(x1; x2; x3) 2 E3 jx21 + x22 + x2

3 = r2; x3 6= rg:

(c) El cono M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 ¡ x2

3 = 0; x3 > 0g:

(d) El cilindro M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x2

2 = r2g:

(e) El cilindro exceptuada una generatriz M := f(x1; x2; x3) 2 E3 jx21 + x22 = r2; x1 6= rg:



6 EJERCICIOS 167

6.4.6 (Transporte paralelo en el plano)

Sea M un plano afín de E3. Dados dos puntos p; q 2 M y un vector tangente~ » p 2 T pM , probar que, para cualquier curva ® : [a; b] ! M que una p y q , laimagen de ~ » p por el transporte paralelo hasta q a lo largo de ® es ~ » q .

6.4.7 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera)

Sea la esfera M := f(x;y;z ) 2 E3 j x2 + y2 + z 2 = r2g y sea p ´ (0; 0; r) su

”polo norte”.

(a) Consideremos la curva (cuya trayectoria es un semimeridiano deazimut Á 2 R)

®Á : [0; ¼] 3 t 7! (r sen t cos Á; r sen t sen Á; r cos t) 2 M :

i. Dado » =(1; 0; 0) p 2 T pM , hallar V» 2 Xk®Á

(M ). Hallar eltransporte paralelo de » de p = ®Á(0) a ®Á(¼) a lo largo de®Á:

ii. Dado ´ =(v1; v2; 0) p 2 T pM , hallar el transporte paralelo de´ de p = ®0(0) a ®0(¼) a lo largo de ®0:

(b) Sean »; ´ 2 T pM tales que j » j= j ´ j. Probar que existe uncamino cerrado ® : [a; b] ! M con ®(a) = ®(b) = p tal que laimagen de » por el transporte paralelo hasta p a lo largo de ® es´:

6.4.8 (Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia)

Sean M 1 y M 2 dos super…cies de E3 (con derivadas covariantes r1 y r2) ysea ® : I ! E

3 una curva tal que ®(I ) ½ M 1 \ M 2. Supongamos V 2 X® talque sea tangente a ambas super…cies a lo largo de ®.

(a) Probar con un ejemplo que V puede ser r1-paralelo (a lo largo de®) y a la vez no ser r2-paralelo (a lo largo de ®).

(b) Probar que, si M 1 y M 2 son tangentes a lo largo de ®, entoncesV es r1-paralelo si y sólo si es r2-paralelo. En particular, ® esgeodésica de M 1 si y sólo si es geodésica de M 2.



6 EJERCICIOS 168

6.4.9 (Transporte paralelo y reparametrizaciones)

Sea M una super…cie de E3, sea ® : I ! M una curva regular y sea f : J ! I un cambio de parámetro de ®. Probar que:

(a) Un campo de vectores V 2 X®(M ) es paralelo a lo largo de ® si ysólo si V ± f 2 X®±f (M ) es paralelo a lo largo de ® ± f .

(b) Dados dos puntos p; q 2 M , el transporte paralelo de p a q a lolargo de una curva ® que los une es el mismo que a lo largo decualquier reparametrización de ® que preserve la orientación.

(c) Dados dos puntos p; q 2 M , el transporte paralelo de p a q a

lo largo de una curva ® que los une es el inverso del transporteparalelo de q a p a lo largo de cualquier reparametrización de ®que invierta la orientación.

6.4.10 (Isometrías e isometrías locales 2)

(a) ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones Ã son isometrías locales?:

i. F : S2(1) 3 p 7! 2 p 2 S2(2), donde S2(r) es la esfera de radior de E3 centrada en el origen.

ii. F :S2

(r) 3 p 7! ¡ p 2 S2

(r) .iii. F : M 3 (x1; x2; x3) 7! ((a+ b x1r )cos x3; (a +b x1

r )senx3; b x2r ) 2

¹M ; siendo½M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x2

1 + x22 = r2g (cilindro)

¹M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j (p

x21 + x2

2 ¡ a)2 + x23 = b2 ; a > b > 0g (toro)

(b) Sean los cilindros de E3

½M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x2

1 + x22 = r2g

¹M :=

f(x1; x2; x3)

2E3

jx21 + x2

2 = ¸2r2 ; ¸ > 0

g

:

i. Dada una aplicación diferenciable F : M ! ¹M , probar queF no puede ser una isometría local si ¸ 6= 1

n; con n 2 Z+.

ii. Probar que M y ¹M no pueden ser isométricos si ¸ 6= 1.iii. Probar que, para todo ¸ > 0, existen abiertos U de M y U de

¹M que son isométricos (recordar el Teorema de Minding).

(c) Sean M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x1sen x3 = x2 cos x3g un helicoide

(Ejercicio 6.2.6) y ¹M la super…cie de revolución de E3 generada(notaciones como en el Ejercicio 6.2.7) por Im ® (supuesta en elplano x1x3) al girar en torno al eje x3, siendo ® : (0;

1)

!E2

la curva dada por ®(t) := (t; log t). Encontrar un difeomor…smo



6 EJERCICIOS 169

entre abiertos de M y ¹M que preserva la curvatura de Gauss pero

que no es una isometría. Concluir que el ”recíproco” del teoremaegregio de Gauss (Proposición 3.26(2)) no es cierto.

6.4.11 (Super…cies simétricas respecto de un plano)

Sea M una super…cie de E3 que es simétrica por re‡exión respecto de unplano afín ¦.

(a) Probar que toda geodésica de M que pase por un punto de ¦ ytenga allí una velocidad tangente a ¦ está necesariamente conte-

nida en ¦.

A partir de ahora, supóngase que la intersección ¦ \ M es laimagen de una curva regular ° : [0; L] ! M tal que ° (0) = ° (L)

(puede utilizarse, sin necesidad de demostración, que, en estascondiciones, ¦ no es nunca tangente a M ).

(b) Sea º cualquier elección de normal unitaria (local) a M . Probarque º ± ° es tangente a ¦.

(c) Probar que ° de…ne una línea de curvatura.

A partir de ahora, supóngase que j° 0j = cte:

(d) Probar que ° es geodésica.

(e) Probar que ° 0(0) = ° 0(L).

6.4.12 (Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un para-boloide de revolución)

Considérese el paraboloide (elíptico) de revolución M de E3 de…nido por laecuación 2z = x2 + y2 . Sea la curva

® : [0; 2¼] 3 t 7! (½0 cos t; ½0 sent;½202

) 2 M ;

donde ½0 > 0 es una constante.

(a) ¿Puede alguna reparametrización de ® ser geodésica de M ?

(b) Calcular la curvatura de Gauss de M .

(c) Determinar todas las geodésicas de M que pasan por el origeno = (0; 0; 0).



6 EJERCICIOS 170

(d) Demostrar que toda isometría F : M

!M veri…ca F (Im ®) =

Im ® y, en particular, deja …jo el punto o.(e) Denótese p = ®(0) = ®(2¼). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que

forma cualquier vector tangente a M en p con su transportadoparalelo de nuevo hasta p a lo largo de ®.

6.4.13 (Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva)

Sean M una super…cie y P un plano de E3. Supóngase que M \ P = Im ®,donde ® : [0; 1] ! E

3 es una curva regular, parametrizada por la longitud de

arco y tal que ®(0) = ®(1). Supóngase además que M y P son tangentes alo largo de ®.

(a) Probar que ® de…ne una línea de curvatura y asintótica de M .

(b) Probar que los puntos de Im ® son puntos parabólicos o planos deM .

(c) Denótese p = ®(0) = ®(1). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] queforma cualquier vector tangente a M en p con su transportadoparalelo de nuevo hasta p a lo largo de ®.

(d) ¿Es posible que ® sea geodésica de M ?

(e) Poner un ejemplo concreto de M , P y ®.

6.4.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 2)

Sea p un punto de una super…cie M de E3. Estudiar las implicaciones lógicasque existen entre las siguientes a…rmaciones, dando una demostración (si sepiensa que la posible implicación es cierta) o un contraejemplo (si se piensaque es falsa):

(a) El punto p es un punto plano de M .(b) Por p pasan tres (segmentos de) rectas distintas contenidas en M .

(c) Todas las geodésicas de M que pasan por p son no-alabeadas a supaso por p.

(d) La curvatura de Gauss de M en p es nula.



6 EJERCICIOS 171

6.4.15 (Super…cie de Schwarzschild)

Sea ¹ un número real positivo. Considérese la curva plana ® : (2¹;1) 3½ 7! (2

p 2¹(½ ¡ 2¹); ½) 2 E2.

(a) Calcular la curvatura ·® de ®.

(b) Probar que el subconjunto M de E3 obtenido al girar la imagende ® en torno al eje x1 es una super…cie. Encontrar una parame-trización local en torno a cada punto de M .

(c) Calcular los coe…cientes de la primera forma fundamental de M

en la carta asociada a la parametrización anterior.

(d) Calcular la curvatura de Gauss de M y clasi…car los puntos de M .(e) Estudiar si ® es geodésica de M , si de…ne una línea de curvatura

de M y si de…ne una línea asintótica de M .

(f) Encontrar una base de campos (a lo largo de ® y tangentes a M )paralelos (respecto de la derivada covariante en M ).

La super…cie ”de Schwarzschild” M es la versión 2-dimensionalde ciertos conjuntos de simultaneidad en la descripción relativistadel sistema solar; el parámetro ¹ representa una longitud carac-

terística relacionada con la masa del sol.



REFERENCIAS 172

Referencias

[1] A. M. Amores. Curso básico de curvas y super…cies . Sanz y Torres, 2001.

[2] T. M. Apostol. Análisis matemático. Reverté, 1979.

[3] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Ejercicios de Geometría Dife-rencial de Curvas y super…cies . Sanz y Torres, 1998.

[4] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Notas de Geometría Diferencial de Curvas y super…cies . Sanz y Torres, 2001.

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geometria diferencial de curvas y superficies

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