1

MEJORA TUS DESTREZAS

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA (I)

A.1. A continuación tienes cuatro rectas (nombradas con las letras r, s, t y u y 5 puntos

representados con las letras A, B, C, D y E. r

s E A t D C B u

Completa las siguiente frases: a) Por el punto ____ pasan las rectas s y t. b) La recta _____ contiene a los puntos B y C. c) Las rectas _____ y _____ no tienen ningún punto en común. d) La recta u es la única de las dibujadas que pasa por el punto _____. e) La recta u corta a las rectas _____ y ____.

A.2. Indica en cada caso qué elementos geométricos (puntos, recta o plano) te surgiere

cada uno de los siguientes objetos:

a) Un cable eléctrico. b) Un rayo de luz. c) Una esquina de un edificio. d) Una pizarra. e) Un nudo hecho en un hilo. f) Una ventana. g) El suelo de una habitación. h) Una estrella lejana. i) La portada de un libro. j) Una antena de radio. k) Las vías del tren. l) Un campo de fútbol. m) Un espejo. n) Un cuadro. o) Un grano de arena. p) Una cuerda tensa.

2

MEJORA TUS DESTREZAS

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA (II)

A.1. ¿Cuántas rectas que pasen por

un mismo punto podemos trazar? Haz un dibujo

A.2. Indica algunos planos, líneas y puntos que puedas observar en tu aula.

A.3. ¿Cuántas rectas que pasen por dos puntos podemos trazar? Haz un dibujo.

A.4. ¿Qué elemento geométrico se obtiene al cortase dos planos?

A.5. ¿Cuántos planos pueden contener a dos rectas que se cortan?

A.6. Si dos rectas no se cortan, ¿es seguro que son paralelas?

A.7. Si dos planos son paralelos, ¿cómo serán las rectas que contenga uno de ellos, respecto al otro plano?

A.8. Indica cosas que se puedan representar: a) Mediante líneas. b) Mediante puntos.

A.9. ¿Tiene principio una línea recta? ¿Y final?

A.10. Pon cuatro ejemplos que representen líneas verticales.

A.11. Nombra tres ejemplos de líneas horizontales que aparezcan a tu alrededor.

A.12. Si dejas caer una piedra, ¿qué dirección sigue hasta llegar al suelo?

A.13. Nombra varios objetos que contengan rectas paralelas.

A.14. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Dos rectas perpendiculares

se cortan. b) Dos rectas paralelas se

cortan. c) Dos rectas que se cortan

son siempre perpendiculares.

A.15. Di cuáles de los siguientes ejemplos representan planos horizontales: a) Un campo de fútbol. b) Un tejado. c) La terraza de un edificio. d) Un folio. e) La superficie del agua en reposo. f) La ladera de una montaña. g) La superficie de una mesa.

3

RECORDANDO LOS ÁNGULOS

C.1. Dibuja un ángulo recto,

un ángulo agudo, un ángulo obtuso, un ángulo llano y un ángulo completo.

C.2. Los ángulos menores que un ángulo llano se llaman convexos. Los mayores Cóncavos. Dibuja dos ángulos convexos y dos ángulos cóncavos.

C.3. Dos ángulos se llaman complementarios cuando su suma es un ángulo recto.

Dibuja dos ángulos complementarios.

C.4. Dos ángulos se llaman suplementarios cuando su suma es un ángulo llano.

Dibuja dos ángulos suplementarios.

C.5. Dos ángulos se llaman consecutivos cuando tienen el mismo vértice y un lado en común.

Dibuja dos ángulos consecutivos.

C.6. Dos ángulos se llaman adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.

Dibuja dos ángulos adyacentes.

C.7. Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los del otros. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. Dibuja dos ángulos opuestos por el vértice.

4

RECORDANDO IGUALDAD DE ÁNGULOS

C.8. Dos ángulos convexos

cuyos lados sean paralelos o son iguales o son suplementarios. Dibuja varios de éstos ángulos.

C.9. Dos ángulos convexos cuyos lados sean respectivamente perpendiculares o son iguales o son suplementarios. Dibuja varios de éstos ángulos.

INVESTIGANDO ÁNGULOS QUE SE FORMAN AL CORTAR DOS RECTAS POR UNA

SECANTE

Ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas por una secante. Si dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, se forman ocho ángulos, muchos de los son iguales entre sí por tener sus lados paralelos. A.1. Dibuja dos rectas paralelas y córtalas

por una recta secante a éstas. Comprueba que se forman ocho ángulos y que muchos de éstos son iguales.

5

INVESTIGANDO MEDIDA DE ÁNGULOS

Recuerda que un ángulo recto tiene 90º. Por tanto, los ángulos llano y completo tienen 180º y 360º, respectivamente.

A.1. Dibuja un ángulo recto, otro llano y otro completo.

El grado es la unidad de medida sexagesimal. Como ya sabes, a éstos grados se les llama sexagesimales por la forma de partirse de 60 en 60.

A.2. Ejercítate. Mide con el transportador los ángulos A, B y C

A.3. Pasa a segundos los ángulos:

a) 54º 43’ 15’’ b) 85º 25’

c) 125º 18’ 35’’

A.4. Pasa a grados, minutos y segundos los ángulos: a) 35.420’’ b) 58.427’’

c) 125.269’’

SUBMÚTIPLOS DEL GRADO: Para afinar en la medida de ángulo, utilizaremos los submúltiplos del grado: Minuto = 1/60 de grados. Es decir, 1º = 60’ Segundo =1/60 de minuto. Es decir, 1’ = 60’’

A.5. Busca en una enciclopedia para que sirven los siguientes instrumentos de medidas y dibújalos:

SEXTANTE: GONIÓMETRO: TEODOLITO:

6

INVESTIGANDO ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO: Como sabes, de cursos anteriores, la suma de los ángulos de un triángulo es 180º

A.1. Recorta un triángulo cualquiera y colorea cada vértice de un color por ambas caras. Pliega uno de los vértices sobre el lado opuesto. Pliega los otros dos vértice hasta coincidir los tres ángulos. Comprueba que suman 180º. Realiza, aquí el dibujo correspondiente explicativo de tu experiencia.

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN CUADRILÁTERO: La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360º. Como los cuadrados y los rectángulos tienen cuatro ángulos iguales, cada uno de ellos mide: 90º

A.2. Dibuja un cuadrilátero cualquiera y trázale una diagonal. Al trazar la diagonal, el cuadrilátero se divide en dos triángulos. La suma de los ángulos de cada triángulo es 180º. Entre los dos triángulos, los ángulos suman 360º. Realiza, aquí el dibujo correspondiente explicativo de tu experiencia.

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN PENTÁGONO: Los ángulos de un pentágono suman 540º. Por tanto, cada ángulo del pentágono regular mide 108º.

A.3. Dibuja un pentágono y traza las diagonales correspondiente a uno de sus vértices. Comprueba que el pentágono se descompone en tres triángulos. Cada uno de ellos tiene unos ángulos que suman 180º. Entre los tres, los ángulos suman 540º. Realiza, aquí el dibujo correspondiente explicativo de tu experiencia.

ÁNGULOS DE UN POLÍGONOS CUALQUIERA:

Reflexiona: • ¿En cuántos triángulos, cómo mínimo, se puede

descomponer un hexágono? • ¿Cuántos suman todos sus ángulos? • ¿Cuántos suman, por tanto, los ángulos de cualquier

hexágono? • ¿Cuánto mide cada ángulo de un hexágono regular?

Piensa en la definición siguiente:

“Un polígono de n lados se puede descomponer en n – 2 triángulos. La suma de todos sus ángulos es de (n – 2) · 180º. Cada ángulo del polígono regular de n lados mide:

[(n –2) · 180º] / n

7

INVESTIGANDO LOS POLÍGONOS

En el mundo en que vivimos podemos observar muchos objetos con formas geométricas. En la Naturaleza abundan más las líneas curvas, pero en los objetos construidos por los seres humanos predominan las rectas. Muchas de las figuras planas que puedes contemplar a tu alrededor están limitadas por segmentos, por ejemplo, ventanas, puertas, baldosas, cuadros, etc. Estas figuras se llaman polígonos. Los polígonos reciben diferentes nombres según el número de lados que tenga. Recuerda que un polígono es una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego está compuesta por "poli" (varios) y "gono" (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos de los términos que utilizamos en geometría, proceden del griego; este hecho no nos debe extrañar, ya que fue en la antigua Grecia donde la geometría adquirió gran relieve. A.1. Completa la tabla siguiente:

Nombre del polígono

Número de lados Número ángulos Número de diagonales

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

6

Heptágono

8

Eneágono

Decágono

Analiza la tabla anterior. ¿ Puedes encontrar algún hecho curioso? A.2. Contesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Puede ocurrir que un lado de un polígono mida más que la suma de los dos restantes?

2. ¿Varía el valor de los lados y los ángulos de un polígono cuando lo cambias de posición?

3. ¿Existe algún polígono que tenga mayor número de lados que diagonales? ¿Y que tenga igual número de lados que de diagonales?

4. ¿Halla cuántas diagonales tiene un polígono de doce lados? ¿Y de 25 lados

8

INVESTIGANDO LOS POLÍGONOS REGULARES

Algunos polígonos tienen todos sus lados y sus ángulos iguales. Se les llaman polígonos regulares. ¿Reciben algún nombre especial los polígonos regulares de tres lados? .................... ¿Y los de cuatro? .................. ¿Cómo se llaman los que tienen cinco lados? .................. Los polígonos regulares tienen los mismos elementos característicos que los que no lo son, pero, además, tienen algunos propios. Intenta descubrirlos respondiendo a la siguiente pregunta: ¿Hay algún punto en un polígono regular que esté a la misma distancia de todos sus vértices? ............................ El punto que está a la misma distancia de todos los vértices recibe el nombre de centro del polígono regular. Si unes el centro con el punto medio de las caras obtienes un segmento llamado apotema. A.1. Contesta a las siguientes preguntas:

1. Dibuja un cuadrado, un pentágono y un hexágono regular. Sitúa el centro y la apotema correspondiente a un lado en cada uno de ellos.

2. En muchos polígonos regulares las diagonales se cortan en el centro. ¿Existen algunos dónde no ocurra así?. Dibuja uno de cada clase.

¿Hay algún polígono regular que no tenga diagonales?

3. ¿Qué ángulo forma la apotema con su lado correspondiente?

4. Si un polígono tiene 35 diagonales, ¿de cuántos lados es el polígono? ¿Y si tiene 27 diagonales?

9

MEJORA TUS DESTREZAS LADOS Y ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS REGULARES

A.1. Completa la siguiente tabla:

Polígono Nº de lados Nº de ángulos interiores

Nº de vértices

3 4 5 6 7 8 9 10 N

A.2. Completa el número de diagonales que tiene un polígono

Nº de lados Nº de vértices Nº de diagonales que salen de un

vértice

Total de diagonales

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 N

A.3. Escribe la fórmula del número de diagonales que tiene un polígono:

10

INVESTIGANDO LOS POLÍGONOS CONCAVOS Y CONVEXOS

Los polígonos se pueden clasificar también en cóncavos y convexos. Te presentamos

algunos de cada uno de ellos y tú tendrás que investigar cuál es el criterio que se ha seguido para clasificarlos.

Los siguientes polígonos son convexos: Estos son cóncavos ¿Cuál crees que ha sido el criterio para su clasificación?

Seguramente conoces mejor los polígonos convexos que los cóncavos. A.1. Contesta a las siguientes preguntas:

1. Si unes dos puntos cualquiera de un polígono convexo, ¿está el segmento que los une comprendido totalmente dentro del polígono? ¿Y si haces lo mismo con dos puntos de un polígono cóncavo?

2. ¿Cuál es el menor número de lados que puede tener un polígono convexo? ¿Y un polígono cóncavo?

3. Dibuja tres polígonos convexos y otros tres cóncavos distintos de los que aparecen en esta hoja.

11

INVESTIGANDO LOS ÁNGULOS INTERIORES DE LOS

POLÍGONOS CONVEXOS

A.1. Dibuja varios triángulos. Con la ayuda del transportador, mide los ángulos de cada uno

de los triángulos y comprueba que suman 180º. Puede ocurrir que por errores de precisión no te salga 180º; en tal caso te recomendamos que recortes las puntas de los triángulos y las adjuntes en posición de suma de ángulos. Observa así que su suma es 180º.

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º. A.2. Completa la tabla calculando el número de triángulos obtenidos en un polígono al

trazar diagonales desde un vértice.

Polígono Número de lados Número de triángulos

Suma de los ángulos interiores

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Polígono de n lados

A.3. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo es de 1080º, ¿cuántos

vértices tiene? ¿Cuántas diagonales? En el caso de que fuese regular, ¿cuánto valdría el ángulo central, formado al unir dos vértices consecutivos en el centro?

12

INVESTIGANDO ÁREAS DE POLÍGONOS

Recuerda que una figura plana es cualquier parte de un plano que está limitada por una línea cerrada. El área de una figura plana es la medida de superficie. Medir una superficie es averiguar cuántas veces contiene a otra que se toma como unidad. Por tanto, para medir es necesario acordar previamente la unidad. La medida se puede realizar en forma directa o indirecta:

Se mide en forma directa cuando nos limitamos a contar cuántas veces está contenida la unidad de medida en la superficie a medir. Como unidad de medida se toma la superficie de un cuadrado.

Se mide en forma indirecta cuando se utilizan fórmulas matemáticas para averiguar

el área. E.1. Aunque en la vida real las superficies se nos presentan con distintos contornos,

sucede a menudo que éstos tienen forma poligonal.

Fíjate en las siguientes figuras. Dibuja al lado de ellas un cuadrado de medio centímetro de lado. Averigua la superficie de cada una de ellas:

1º) En forma directa: Utilizando el cuadrado que has dibujado como unidad.

2º) En forma indirecta: Utilizando las fórmulas que conoces para averiguar la superficie de estas figuras.

13

RECORDANDO ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (I)

Partiendo del área del rectángulo vamos a obtener las áreas de las figuras geométricas utilizando transformaciones.

* OBTENCIÓN DEL ÁREA DIBUJO DE LA TRANSFORMACIÓN REALIZADA A PARTIR DEL RECTÁNGULO.

Triángulo

Cuadrado

Rombo

Romboide

Trapecio

Trapezoide

Hexágono

Cualquier polígono regular

14

RECORDANDO ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (II)

Partiendo del área del círculo, que a su vez se obtendrá como si fuera un polígono de n lados y teniendo en cuenta en algunos casos el área del triángulo obtendremos el área de las siguientes figuras circulares.

* OBTENCIÓN DEL ÁREA DIBUJO DE LA TRANSFORMACIÓN REALIZADA.

Círculo

Corona circular

Sector circular

Segmento circular

Trapecio circular

15

RECORDANDO LAS MEDIDAS DE SUPERFICIES

Las calles, aceras, solares, plazas, tu vivienda, tu aula, esta hoja, son superficies. La medida de la extensión de una superficie es su área.* Si establecemos una unidad de superficie, podemos medir la extensión de cualquier figura comparándola con la unidad. El número que expresa esta medida se llama área de la figura y depende de la unidad elegida. A lo largo de la historia se han utilizado unidades de superficie basadas en tres criterios. a) Según el trabajo agrícola realizado. Así, por ejemplo, 1 jornal era la extensión de

tierra que se podía trabajar en un día. b) Según la siembra. Se tenía en cuenta la extensión de tierra que se podía sembrar con

cierta cantidad de granos. De esta forma aparecen determinadas medidas agrarias como la fanega (6439,57 m²), la aranzada (4471,92 m²), el celemín (536,63 m²), el cuartillo (134,15 m²), el estadal cuadrado (11,17 m²), la vara cuadrada (0,69 m²) y el pie cuadrado (0,07 m²).

c) Si se trataba de una superficie geométrica se usaban patrones. Actualmente se toman como unidades de superficie los cuadrados que tienen por lado las unidades de longitud. Tenemos, entonces: Unidad fundamental: - m² (área de un cuadrado de 1 m de lado). Múltiplos: - Dm² (área de un cuadrado de 1 Dm de lado). - Hm² (área de un cuadrado de 1 Hm de lado). - Km² (área de un cuadrado de 1 Hm de lado). Divisores: - dm² (área de un cuadrado de 1 dm de lado). - cm² (área de un cuadrado de 1 cm de lado). - mm² (área de un cuadrado de 1 mm de lado). EL METRO CUADRADO

ANÁLISIS

Averigua cuántos mm² hay dentro de un cm²

*Dibuja sobre una superficie mediana (suelo, papel de envolver objetos, pizarra) un m², en el vértice inferior de éste, dibuja un dm², en el vértice del dm², dibuja un cm² y a su vez, en el mismo vértice un mm².

¿Cuántos cm² hay dentro de un m²?

16

PRACTICA LA SUPERFICIE DE TU AULA

* DIBUJO ANÁLISIS

Dibuja en el plano todos los cm² que hay dentro del contorno de la clase y cuenta los que hay.

Teniendo en cuenta la escala utilizada (1/100), el número de cm² que hay en el plano de tu clase y las unidades de superficies. ¿Cuántos m² tiene realmente tu clase?

Calcula la superficie del aula utilizando fórmulas de áreas de figuras planas.

Vas a realizar un plano de tu aula a escala 1/100 en papel milimetrado (recuerda que un 1 m de la realidad tiene que convertirlo en 1 cm en el papel).

Compara el resultado obtenido de las dos maneras. ¿Qué medida es mejor? ¿Por qué?

17

MEJORA TUS DESTREZAS ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS I

Calcula el área: a) De un cuadrado de 15 cm de

lado. b) De un rectángulo de 8 cm de

largo y 12 cm de ancho.

Halla la superficie de un terreno cuadrado de 16 cm de lado.

¿Qué área tiene una habitación rectangular que mide 4, 5 m de largo y 3, 5 m de ancho?

Un campo de deportes mide 120 m de largo y 68 m de ancho. ¿Qué área tiene? Dejando dos metros por cada lado hay que vallar este campo con una valla que vale 1500 pesetas el metro, ¿cuánto costará cercar el terreno de juego?

El perímetro de un cuadrado es igual al de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado?

Para cubrir el suelo de una habitación de 5,6 metros de largo y 4,8 m de ancho se utilizan baldosas cuadradas de 30 cm de lado. ¿Cuántas baldosas necesitaremos? ¿Cuánto costará en total si cada una vale 250 pesetas?

Las casillas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado. Calcula cuánto mide el lado y el área del tablero de ajedrez.

Una cometa tiene forma de rombo y las diagonales mide 40 cm y 30 cm. ¿Cuánto mide su superficie?

18

MEJORA TUS DESTREZAS ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS II

¿Cuánto costará barnizar una mesa que tiene forma de hexágono regular de un metro de lado y 86, 6 cm de apotema, si por cada metro cuadrado piden 2.500 pesetas?

La señal de STOP tiene forma de octógono regular de 30 cm de lado y 36,21 cm de apotema. Calcula su superficie.

Sabiendo que el área de un círculo es 250 cm², ¿cuánto medirá su radio?

Dibuja un círculo de radio 3 cm y en él un sector circular de ángulo central 30º. Después calcula el área de dicho sector circular.

La rueda de un camión mide 90 cm de radio. ¿Cuánto avanza el camión cuando la rueda ha dado 1.000 vueltas? ¿Cuántas vueltas dará para recorrer 5 Km?

Calcula el área de un segmento circular que determina un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio.

Calcula el área de una corona circular que tiene de radio mayor 1 metro y de radio menor 75 cm.

19

INVESTIGA EL TEOREMA DE PITÁGORAS

MATERIAL: Escuadra, cartabón, regla, semicírculo y compás. DESCRIPCIÓN: La acción de medir, en geometría viene asociada a la idea de

número, lo que en la antigüedad supuso un estudio profundo de éstos como de sus propiedades y relaciones. En este sentido sobresale la figura de Pitágoras que junto con sus discípulos intentó penetrar en la armonía de los números. Así lo confirma Aristóteles cuando dice: " Los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron, y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de las cosas.

Antes de proceder con la investigación sería conveniente que te informarás de quién era Pitágoras (Época en la que vivió, lugar geográfico donde nació y vivió, sociedad de su tiempo, aspectos que estudió y fundamentalmente los que tienen relación con lo que estamos investigando)

Una vez que conocemos la figura sobresaliente de Pitágoras, te sugerimos que investigues el teorema que lleva su nombre siguiendo las instrucciones recogidas en la siguiente tabla:

* DIBUJO ANÁLISIS

Dibuja un triángulo rectángulo de catetos b = 3 cm y c = 4 cm. Comprueba que su hipotenusa a mide 5 c.

Construye un cuadrado sobre la

hipotenusa y cuadrados sobre cada uno.

Halla superficie de cada cuadrado en función de lo que mide un lado.

Compara los tres cuadrados y contesta a las siguientes preguntas: A) ¿Cuál es el cuadrado más grande? B) ¿Qué cuadrado tiene más superficie? C) ¿Qué relación encuentras entre la

superficie del cuadrado trazado sobre la hipotenusa y los cuadrados trazados sobre los catetos del triángulo?

20

MEJORA TUS DESTREZAS EL TEOREMA DE PITÁGORAS

En la siguiente tabla dispone de los catetos (b y c) correspondientes a diferentes triángulos rectángulos con sus respectivas hipotenusas (a). Rellena la siguiente tabla y generaliza:

* a b c a² b² c² Relación entre a², b² y c²

5 4 3

10 8 6

13 12 5

17 15 8

25 24 7

x y z

Completa la siguiente tabla:

* Hipotenusa (a) 13 20 20 30 1225

Cateto (b) 12 9 15 18

Cateto (c) 12 12 16 20 28

Construye, con la ayuda de la regla y el compás, un triángulo de lados 5, 7 y 8 cm. ¿Es rectángulo? ¿Verifica el teorema de Pitágoras? En consecuencia, ¿crees que este teorema permite decidir si un triángulo es rectángulo?

*

CONCLUSIONES

*Escribe el teorema de Pitágoras.

21

INVESTIGA LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

MATERIAL: Caja de cuerpos geométricos. DESCRIPCIÓN: Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan forman muy

variadas, sin embargo, la mayoría de ellos se aproximan bastante a formas geométricas como las que puedes encontrar en la caja de cuerpos geométricos. Así, por ejemplo, un dado, un cucurucho, una caja de cerillas, una pelota o una lata de conservas, no son sino vistas imperfectas de los cuerpos geométricos.

Con esta experiencia pretendemos realizar una clasificación en

la caja de cuerpos geométricos siguiendo las siguientes directrices:

*1. Abre la caja de cuerpos geométricos. Observa cada una de las figuras que allí se encuentran.

¿Sería capaz de clasificarlas

teniendo en cuenta alguna característica?

Escribe como lo harías.

2. Al parecer algunos de los cuerpos de la caja son poliedros. Busca información sobre éstos y escribe las conclusiones obtenidas.

3. Observa con más detenimiento las figuras de la caja. Clasifícalas en dos grupos:

A) Poliedros. B) No poliedros.

22

MEJORA TUS DESTREZAS LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

MATERIAL: Policubos. DESCRIPCIÓN: Con los policubos podemos obtener infinidad de cuerpos

geométricos. Si tomamos dos cubos y los unimos por una cara obtenemos un dicubo. Si le agregamos otro obtenemos un tricubo; en este caso existen dos posibilidades de unir el cubo: en forma de I o L. Si a cualquier tricubo le añadimos un nuevo cubo obtenemos un tetracubo. Y así sucesivamente podemos ir obteniendo diversos cuerpos geométricos.

Con esta actividad se pretende que construya todos los cuerpos geométricos con dos, tres, cuatro y cinco policubos, los dibuje desde una determinada perspectiva y averigües su volumen en función del volumen de un cubo. A modo de curiosidad señalar que hay 18.598.427 dodecacubos. Si quieres puedes obtener la regla y comprobarlo.

*Nº DE

POLICUBOS

Nº TOTAL Y DIBUJO VOLUMEN

2

3

4

5

23

INVESTIGA LOS POLIEDROS

MATERIAL Caja de cuerpos geométricos. DESCRIPCIÓN: Los elementos básicos que componen todo poliedro son las

caras, los ángulos de las caras (ángulos diedros), las aristas, los vértices y los ángulos triedros. Busca en primer lugar información sobre éstos elementos y después va a analizar algunas de las características generales de los poliedros.

*1. Busca información sobre los elementos básicos que componen todo poliedro y escribe tus conclusiones:

Caras: Aristas: Ángulos diedros: Ángulos triedros: Vértices:

2. Analiza cada uno de los poliedros de la caja de cuerpos geométricos teniendo en cuenta sus elementos básicos.

A) ¿Qué figuras geométricas son las caras de los poliedros? B) Si tenemos tres polígonos que concurren en un punto, ¿formarán éstos

polígonos un poliedro? C) Cómo mínimo, ¿cuántos polígonos se precisan para formar un poliedro de

los que hay en la caja de cuerpos geométricos?

3. Sigue buscando información sobre los poliedros. Posiblemente haya otros tipos de poliedros distintos a los que hay en la caja. Piensa que características tendrán.

Las respuestas que anteriormente has ido dando, ¿serán las mismas?

4. Trata de organizar tus ideas y define qué es un poliedro.

24

INVESTIGA LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

MATERIAL: Caja de cuerpos geométricos. Láminas de poliedros. DESCRIPCIÓN: Si analizamos a simple vista los poliedros de la caja de cuerpos

geométricos, observamos que presentan diferencias entre ellos. Estas diferencias se hacen más notables cuando utilizamos algún criterio para analizar los poliedros: como sus elementos básicos o determinadas cualidades (como la inclinación).

Clasifica todas las figuras de la caja de cuerpos geométricos, teniendo en cuenta:

* CRITERIOS INFÓRMATE DE LOS NOMBRES Y ESCRÍBELOS.

1º) Sus caras son: A) Polígonos. B) No son polígonos.

A = B =

2º) Los polígonos de sus caras: A) Iguales. B) Regulares. C) Iguales y regulares. D) Iguales e irregulares. E) Desiguales y regulares. F) Desiguales e irregulares.

A = B = C = D = E =

3º) Sus vértices. Si todos son: A) Del mismo orden. B) De distintos ordenes.

A = B =

4º) Su inclinación (pirámide y primas). A) Recto. B) Oblicuo.

A = B =

25

INVESTIGA LOS POLIEDROS REGULARES

MATERIAL Troquelados de papel DESCRIPCIÓN: Los troquelados de papel son piezas en forma de polígonos

regulares de igual lado. Las piezas se pueden engarzar lado con lado haciendo coincidir los vértices por medio de cinta adhesiva, o si tienen pestañas, éstas se pueden sujetar con gomas elásticas o por medio de adecuados diseños de entrantes y salientes en los correspondientes lados de las piezas.

Dado que la investigación tiene como objeto que se construyan los poliedros regulares, que son aquellos que tienen las caras iguales formadas por polígonos regulares y los vértices también iguales, has de tener en cuenta dos cuestiones principalmente: ¿Qué poliedros se pueden construir? Y ¿cuántos? Para ello comienza la construcción de poliedros utilizando solo triángulos, después con cuadrados, pentágonos,..., hasta conseguirlos todos fundamentando el porqué no se pueden obtener más.

* NOMBRE Nº DE CARAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARISTAS

FUNDAMENTA TU INVESTIGACIÓN

*Para que se formen esquina en el poliedro la suma de los ángulos de los polígonos que concurren en un vértice tiene que ser menor que..........

Cómo mínimo en cada vértice del poliedro tienen que concurrir...... caras.

A medida que aumenta el número de lados de un polígono regular aumenta el........ de éste.

¿Puede existir un poliedro que sus caras sean hexágonos regulares? ...... ¿Porque?.................................................................

Comprueba con cada uno de los poliedros la fórmula de Euler: Nº de caras + Nº vértices = Nº de aristas + 2 Busca información sobre Leonardo Euler (Época en la que vivió, dónde nació y vivió, la sociedad de su tiempo, aspectos que estudio y fundamentalmente los que tienen relación con lo aquí estudiado)

26

CONSTRUCCIÓN LOS PRIMAS

MATERIAL: Caja de cuerpos geométricos. Lámina de cartón grueso. Hilo de

coser. DESCRIPCIÓN: Un prisma es un poliedro que consta de: Dos caras iguales

situadas en planos paralelos que se llaman bases y varias caras que son paralelogramos que se llaman caras laterales.

Para visualizar primas toma una lámina de cartón grueso y

recorta dos polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos y manteniendo las bases paralelas tendrás multitud de primas según la tensión a que someta al hilo.

*Infórmate qué son primas rectos y oblicuos. Escribe las conclusiones obtenidas. Clasifica los prismas de la caja de cuerpos geométricos en rectos y oblicuos.

Dibuja un prisma recto y señala los siguientes elementos: bases, aristas básicas, caras laterales, aristas laterales, vértices y altura.

Dibuja un prisma oblicuo y señala los siguientes elementos: bases, aristas básicas, caras laterales, aristas laterales, vértices y altura.

Infórmate qué son prismas regulares e irregulares y escribe las conclusiones obtenidas. Clasifica los prismas de la caja en regulares e irregulares.

Dibuja un prisma regular y señala sus principales elementos básicos.

Dibuja un prisma irregular y señala sus principales elementos básicos

Contesta: A) ¿Todos los prismas son poliedros? ¿Por qué?

Contesta: A) ¿Todos los poliedros son prismas? ¿Por qué?

27

CONSTRUYE LAS PIRÁMIDES

Las pirámides nos recuerda al antiguo Egipto y los monumentos que allí sirven de tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la Kéops, que data del 2600 a. C. Aproximadamente y es de base cuadrada con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista básica y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesan aproximadamente 20 toneladas.

*1. Puedes visualizar pirámides del mismo modo que los primas. Para ello recorta en un cartón grueso un polígono regular. Uniendo los vértices del polígono con un hilo a un punto común que llamaremos vértices de la pirámide obtendremos una pirámide. Para obtener pirámides de más altura, sólo es necesario cambiar la situación del punto que hemos considerado como vértice. En el caso que queramos obtener otras pirámides, tendremos que recortar en cartón un nuevo polígono regular y proceder de igual modo que anteriormente.

Busca más información sobre las

pirámides, saca conclusiones y define qué es una pirámide.

2. Dibuja la pirámide de Kéops a escala 1/5000 y señala los elementos básicos (base, aristas básicas, caras laterales, aristas laterales, apotema y altura de la pirámide.

3. Dibuja una pirámide recta y otra oblicua con todos sus elementos básicos.

4. Dibuja una pirámide regular y otra irregular con todos sus elementos básicos.